Insinöörimatematiikka D

Transkriptio

1 Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 6 1 of 14

2 Kertausta Determinantin määritelmä ja laskeminen Olkoon ( ) a b A =. c d Silloin determinantti det(a) = ad bc. Useampi riviset determinantit lasketaan käyttämällä determinanttien laskusääntöjä sekä kehittämällä determinantti rivien tai sarakkeiden suhteen (jolloin lopulta päädytään 2 2-determinantteihin). Determinantin ominaisuudet det(a) 0 tarkalleen silloin kun A on säännöllinen (eli A 1 on olemassa) det(ab) = det(a) det(b) M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 6 2 of 14

3 Kertausta Huomautus Olkoon A n n-matriisi. Jos det(a) 0, niin A 1 on olemassa ja homogeenisella yhtälöryhmällä Ax = 0 tarkalleen yksi ratkaisu x = A 1 0 = 0. Jos det(a) = 0, on yhtälöllä aina muitakin ratkaisuja x 0. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 6 3 of 14

4 Matriisitulo Diskreettiaikainen lineaarinen systeemi x (t) = Ax (t 1) x (t) = Ax (t 1) = A Ax (t 2) = A 2 Ax (t 3) =... Seuraus: x (t) = A t x (0) A t voi olla työläs määrittää. (Kuten demoissa huomattiin, diagonaalimatriisille se on kuitenkin helppo.) Määritelmä Olkoon A neliömatriisi. λ C on matriisin A ominaisarvo, jos on olemassa x 0 siten, että Ax = λx. Jokaista tämän yhtälön toteuttavaa vektoria x sanotaan ominaisarvoon λ kuuluvaksi ominaisvektoriksi. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 6 4 of 14

5 Esimerkki I x = x = 1 x, joten 1 on identiteettimatriisin ominaisarvo ja mikä hyvänsä x 0 siihen liiittyvä ominaisvektori. Esimerkki ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( 1 = 2 0 ( 0 = 3 1 Siis (1, 0) on ominaisarvoon 2 kuuluva ominaisvektori ja (0, 1) arvoon 3 kuuluva. ) ) M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 6 5 of 14

6 Seuraus 1 Jos Ax = λx, on A i x = A i 1 Ax = A i 1 λx = = λ i x. Seuraus 2 Olkoot λ 1,..., λ n matriisin A ominaisarvoja ja x 1,..., x n näihin kuuluvat ominaisvektorit. Jos x = c 1 x c n x n, on Ax = c 1 Ax c n Ax n = c 1 λ 1 x c n λ n x n, ja induktiolla A i x = c 1 λ i 1x c n λ i nx n. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 6 6 of 14

7 Geometrinen tulkinta Jokainen n n-matriisi A määrittelee lineaarikuvauksen R n R n, x Ax. Jokainen matriisin A ominaisvektori x vastaa sellaista suuntaa, jossa A toimii venyttävänä tai kutistavana kuvauksena: Ax = λx. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 6 7 of 14

8 Ominaisarvojen määrittäminen Vaatimus: Yhtälöllä Ax = λx oltava ratkaisu x 0. Ax = λx Ax = λi x (A λi )x = 0 Ratkaisu x 0 olemassa tarkalleen silloin kun A λi ei ole säännöllinen. Ominaisarvoyhtälö Ratkaisu x 0 on olemassa tarkalleen silloin kun det(a λi ) = 0. Huomautus Jos A on n n-matriisi, on det(a λi ) astetta n oleva λ:n polynomi. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 6 8 of 14

9 Lause Matriisin A ominaisarvot λ ovat tarkalleen seuraavan yhtälön ratkaisut: det(a λi ) = 0. Ominaisvektorien määrittäminen Jos ominaisarvo λ on tunnettu, voidaan siihen kuuluvat ominaisvektorit x määrittää yhtälöstä Gaussin-Jordanin menetelmällä. Ax = λx M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 6 9 of 14

10 Määritelmä Vektoriavaruuden V epätyhjä osajoukko U V on aliavaruus, jos c 1 v 1 + c 2 v 2 U aina kun v 1, v 2 U. Lause Olkoon V n n-matriisin A ominaisarvoon λ liittyvien ominaisvektoreiden joukko. Tällöin V on avaruuden R n aliavaruus. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 6 10 of 14

11 Esimerkki Etsitään matriisin A = ( 4 ) ominaisarvot ja niihin kuuluvat ominaisvektorit. Esimerkki Lasketaan edellisen esimerkin matriisille ( ) A i 5. 7 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 6 11 of 14

12 Määritelmä Neliömatriisit A ja B ovat similaareja, jos on olemassa sellainen säännöllinen matriisi P, että A = P 1 BP. Huomautus Jos A ja B ovat similaarisia, siis A = P 1 BP jollekin säännölliselle matriisille P, on A i = A A... A = P 1 BP P 1 BP... P 1 BP = P 1 B i P. Huomautus Oletetaan, että n n-matriisilla A on n ominaisarvoa λ 1,..., λ n ja näihin liittyvät ominais(pysty)vektorit x 1,..., x n. Merkitään P = (x 1... x n ), jolloin AP = (Ax 1... Ax n ) = (λ 1 x 1... λ n x n ). M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 6 12 of 14

13 Huomautus AP = (Ax 1... Ax n ) = (λ 1 x 1... λ n x n ) ja λ λ (λ 1 x 1... λ n x n ) = (x 1... x n )..... = PD.. } {{ λ n } D Siis AP = PD. Täten P 1 AP = D, jos P:llä on käänteismatriisi. Esimerkki Jatketaan edellistä esimerkkiä. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 6 13 of 14

14 Huomautus Olkoon AP = PD kuten edellä. P 1 on olemassa det(p) 0 P:n sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomat Matriisin A ominaisvektorit muodostavat C n :n kannan Esimerkki Etsitään seuraavan matriisin ominaisarvot: A = M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 6 14 of 14