Neliömuodoista, matriisin ominaisarvoista ja avaruuden kierroista
|
|
- Aarne Pentti Karjalainen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Neliömuodoista matriisin ominaisarvoista ja avaruuden kierroista Marko Moisio 1 Neliömuodoista ja matriisin ominaisarvoista Tarkastellaan toisen asteen tasokäyrän määräävää yhtälöä a + by 2 + 2cxy = d missä a b c d ovat vakioita Tässä vasemmalla puolella esiintyvää polynomia kutsutaan neliömuodoksi Pyrimme sopivalla tason kierrolla saattamaan tämän yhtälön diagonaalimuotoon αu 2 + βv 2 = d Yhtälö a + by 2 + 2cxy = d voidaan kirjoittaa matriisimuodossa x 1 x ya = d y missä A = a c c b Havaitaan että A on symmetrinen ts A = A T Olkoon P = P 1 P 2 reaalinen ja säännöllinen 2 2-matriisi ja sijoitetaan yhtälöön 1 x u = P y v jolloin yhtälön 1 vasen puoli on muotoa T u u u P AP = u vp T AP v v v Tavoitteena on siis löytää sellainen matriisi P jolle P T AP = D missä α 0 D = α β R 0 β Tällöin 1 saadaan diagonaalimuotoon 2 αu 2 + βv 2 = d Voimme siis ajatella matriisia P kuvauksena f : R 2 R 2 fx = P X joka kuvaa käyrän α + βy 2 = d käyräksi a + by 2 + 2cxy = d Mikäli f on tason kierto niin käyrä a + by 2 + 2cxy = d voidaan ajatella käyräksi joka saadaan kun käyrää α + βy 2 = d kierretään origon suhteen kuvauksen P määräämän kulman verran Käsittelemme kiertoja tarkemmin luvussa 2 Kysymystä neliömuodon diagonalisoimisesta voidaan tarkastella yleisemminkin Jatkossa samaistamme n 1-matriisin X = x 1 x n T ja koordinaattivektorin x 1 x n R n
2 2 Olkoon hx 1 x n neliömuoto eli homogeeninen astetta kaksi oleva polynomi ts n hx 1 x n = a ij x i x j = x 1 x n Ax 1 x n T ij=1 missä a 11 a 12 a 1n a A = 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn on symmetrinen ts A = A T Tavoitteena on löytää matriisi P jolle P T AP = D missä λ λ D = λ n Tällöin nimittäin muuttujan vaihdolla x 1 x n T = P u 1 u 2 u n T saadaan neliömuoto hx 1 x n diagonaaliseksi neliömuodoksi hu 1 u n = λ 1 u λ n u 2 n Miten P tulisi valita? Oletetaan että P = P 1 P 2 P n on ortonormaali n n-matriisi ts P T P = I Tällöin P on säännöllinen P 1 = P T ja P T AP = D P 1 AP = D AP = DP AP 1 = λ 1 P 1 AP n = λ n P n Täten on voimassa seuraava tulos: Lemma 1 Jos P P T = I niin P T AP = D jos ja vain jos P 1 P n ovat vastaavasti yhtälöiden AX = λ 1 X AX = λ n X jotkin ratkaisut joillakin reaaliluvuilla λ 1 λ n Osoittautuu että myös käänteinen tulos pätee ts jos A on symmetrinen niin on olemassa reaaliluvut λ i ja vektorit P i joille AP i = λ i P i kaikilla i = 1 n ja P P T = I kun P = P 1 P 2 P n Miten luvut λ ja niitä vastaavat vektorit X λ voidaan löytää? Kysymys on niin keskeinen että asetamme seuraavan yleisen määritelmän Määritelmä Olkoon B kompleksilukukertoiminen n n-matriisi ja λ C Jos yhtälöllä BX = λx on jokin nollavektorista eroava ratkaisu X λ sanotaan lukua λ matriisin B ominaisarvoksi ja vektoria X λ siihen kuuluvaksi ominaisvektoriksi Edellinen kysymys voidaankin asettaa yleisemmässä muodossa: miten matriisin B ominaisarvot ja niihin liittyvät ominaisvektorit voidaan löytää? Vastaus on ainakin periaatteessa helppo: koska X 0 niin BX = λx B λix = 0 detb λi = 0
3 Täten ominaisarvot ovat n-asteisen polynomiyhtälön detb ti = 0 eli B:n ominaisarvoyhtälön ratkaisut ja ominaisarvoon t = λ kuuluvat ominaisvektorit ovat yhtälön B λix = 0 ratkaisut X R 2 \ { 0} Rajoitutaan nyt hetkeksi tapaukseen missä A on reaalinen symmetrinen 2 2-matriisi a c A = c 0 c b Lause 2 Matriisin A ominaisarvot ovat reaaliset ja erisuuret ja niitä vastaavat ominaisvektorit ovat toisiaan vasten kohtisuorassa Todistus Nyt deta ti = 0 a tb t c 2 = 0 t 2 a + bt + ab c 2 = 0 Koska c 0 niin tämän yhtälön juuret α = a + b + a b 2 + 4c 2 ja β = a + b a b 2 + 4c ovat reaaliset ja erisuuret Koska matriisin A λi rivit ovat lineaarisesti riippuvat jos λ on A:n ominaisarvo niin c A λix λ = 0 a λx 1 + c = 0 X λ = s λ a Täten s R X α X β = 0 c 2 + α aβ a = 0 c 2 + αβ α + βa + a 2 = 0 3 Koska α + β = a + b ja αβ = ab c 2 niin väite seuraa Lemman 1 ja Lauseen 2 nojalla saamme menetelmän matriisin P konstruoimiseksi ja näin menetelmän yhtälön 1 diagonalisoimiseksi eli saattamiseksi muotoon 2: 5 Olkoot α ja β ominaisarvoyhtälön deta ti = 0 ratkaisut 6 Olkoot X α ja X β yhtälöryhmien A αix = 0 ja A βix = 0 nollavektorista eroavia ratkaisuja 7 P = P 1 P 2 missä P 1 = Xα X α ja P 2 = X β X β Yhtälöistä 6 riittää ratkaista vain toinen Nimittäin jos esim X α = x 1 T niin vektorien X α ja X β kohtisuoruuden nojalla voidaan valita X β = x 1 T Nyt x 1 T on välttämättä ominaisarvoon β kuuluva ominaisvektori sillä x 1 T kuuluu X α :n virittämän R 2 :n aliavaruuden ortogonaalikomplementtiin joka puolestaan on X β :n virittämä Voidaan siis valita ks Lauseen 2 todistus: 1 X α = α a ja X β = c missä α = a+b+ a b 2 +4c 2 2 ts α a c 1
4 4 1 X α = s + c s2 + 1 c s c s2 + 1 ja X β = c 1 missä s = b a 2c Täten yhtälön 1 diagonalisoiva matriisi P = 1 1 s c s2 + 1 c X α s + c s c jota vastaava lineaarikuvaus f kiertää xy-tason uv-tasoksi missä u-akseli on vektorin ī + s + c s2 + 1 j suuntainen ja v-akseli on vektorin s + c s2 + 1ī + j suuntainen c c Esimerkki 1 Diagonalisoidaan yhtälö 5 +4xy +2y 2 = 1 ja tarkastellaan sen kuvaajaa Tämän yhtälön matriisi A = jonka ominaisarvot α ja β ovat yhtälön deta ti = 5 t2 t 4 = 0 juuret ts α = 7+5 = 6 β = 7 5 = 1 Täten yhtälö 5 + 4xy + 2y 2 = 1 on uvkoordinaatistossa muotoa 6u 2 + v 2 = 1 ja vastaava tasokäyrä on siis ellipsi Koska nyt s = 2 5 = 3/4 niin u-akseli on vektorin ī j = ī j 2 2 suuntainen ja v-akseli on vektorin 1 2ī + j suuntainen Kyseessä on siis tason kierto vastapäivään kulman arctan1/ verran Esimerkki 2 Diagonalisoidaan yhtälö 12xy + 6y 2 + x + y = 2 ja tarkastellaan sen kuvaajaa Nyt neliömuodon 12xy + 6y 2 matriisi on A = jonka ominaisarvot α ja β ovat yhtälön deta ti = 1 t6 t 36 = 0
5 juuret ts α = = 10 β = = 3 Nyt s = b a 2c = = = 3 2 joten ja X α = 1 3/2 P = /2 3/2 1 3/2 ja X β = 1 = ja s + c c 1 + s2 = joka vastaa tason kiertoa kulman arctan3/ verran myötäpäivään Lisäksi x u = P = 1 2u + 3v y v 13 3u + 2v Täten yhtälö 12xy + 6y 2 + 3x + 2y = 2 on uv-koordinaatistossa muotoa 10u 2 3v u + 3v u + 2v = 2 10u 2 3v v = u 2 3 v 2 3 v = u 2 3 v = = u v = Tätä yhtälöä vastaava käyrä on hyperbeli jonka symmetriapisteen koordinaatit ovat u v = 0 13/6 eli x y = 1/2 1/3 Palataan sitten yleiseen tapaukseen missä A on reaalinen ja symmetrinen n n-matriisi
6 6 Jos n > 2 niin suurin muutos tapaukseen n = 2 verrattuna on se että nyt A:n ominaisarvoyhtälöllä voi olla vähemmän kuin n erisuurta juurta Toisaalta Lause 2 yleistyy Lauseiksi 3 ja 4: Lause 3 Matriisin A ominaisarvot ovat reaaliset Todistus Olkoon λ C A:n ominaisarvo ts AX = λx jollakin X C n \ { 0} Olkoon X vektorin X kompleksikonjugaatti ts X X = X 2 Koska X AX = X λx = λx X = λ X 2 ja toisaalta X AX = X T AX = A T X T X = A T X X = AX X = λx X = λ X 2 niin λ λ X 2 = 0 Koska X 0 niin λ = λ ts λ R Lause 4 Matriisin A eri ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa Todistus Olkoot α ja β A:n ominaisarvoja α β Koska A T = A niin βx α X β = X α βx β = X α AX β = AX α X β = αx α X β ja näin ollen α βx α X β = 0 Koska α β niin X α X β = 0 Seuraus Matriisin A ominaisvektoreista voidaan muodostaa R n :n ortonormali kanta jos A:n ominaisarvot ovat pareittain erisuuret Todistus Algebran peruslauseen nojalla A:lla on n ominaisarvoa Lauseen 3 nojalla ne ovat kaikki reaalisia ja oletuksen ja Lauseen 4 nojalla niitä vastaavat ominaisvektorit ovat pareittain toisiaan vastaan kohtisuorassa ja täten lineaarisesti riippumattomia Esimerkki 3 Diagononalisoidaan yhtälö y 2 + 5z 2 12xy + 12xz = 1 Neliömuodon y 2 + 5z 2 12xy + 12xz matriisi A = jonka ominaisarvoyhtälö on 2 t = A ti = 6 11 t 0 = t = t t t t t 2 t t Täten matriisin A ominaisarvot ovat α = 7 β = 7 γ = 14 Lasketaan vastaavat ominaisvektorit:
7 7 A αix = 0 A βix = A γix = x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 = = = x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 = t = t t R t R = t 3 6 t R 2 Täten neliömuodon diagonalisoivaksi matriisiksi P voidaan valita ks Lemma 2 esim P = Siispä yhtälön y 2 + 5z 2 12xy + 12xz = 1 määräämä pinta on hyperboloidin 7 + 7y z 2 = 1 kuva kuvauksessa f : R 3 R 3 fx = P X Luvussa 2 näemme että kuvaus f vastaa avaruuden R 3 kiertoa vektorin 2ī + j suuntaisen suoran ympäri kulman arccos2/7 734 verran vastapäivään Täten yhtälön 2 +11y 2 +5z 2 12xy+12xz = 1 määräämä pinta on uvw-koordinaatiston hyperboloidi 7u 2 +7v 2 +14w 2 = 1 kun u-akseli on vektorin 6ī+2 j 3 k v-akseli vektorin 2ī + 3 j + 6 k ja w-akseli vektorin 3ī 6 j + 2 k suuntainen Tarkastellaan sitten yleistä tapausta missä A:n ominaisarvot eivät olekaan välttämättä pareittain erisuuria Silloinkin pätee seuraava tulos: Lause 5 Matriisin A ominaisvektoreista voidaan muodostaa R n :n ortonormali kanta Tämä on melko syvällinen tulos ja sen todistamiseksi kehittelemme vielä hivenen lineaarialgebran koneistoa Olkoon V vektoriavaruuden R n m-dimensioinen aliavaruus ja V = { v 1 v m } sen jokin kanta Olkoon f lineaarikuvaus f : V V ja M f kuvauksen f matriisi kannan V suhteen ts
8 8 jos f v i = a 1i v 1 + a 2i v a mi v m i = 1 m niin M f = a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m a m1 a m2 a mm Jos nyt x = x 1 v 1 + +x m v m V niin selvästi f x = M f X missä X = x 1 x m T Määritelmä Olkoon f : V V lineaarikuvaus ja λ R Jos yhtälöllä f x = λ x on jokin nollavektorista eroava ratkaisu x λ V sanotaan lukua λ lineaarikuvauksen f ominaisarvoksi ja vektoria x λ siihen kuuluvaksi ominaisvektoriksi Koska f x = M f X niin vektori x on reaalilukuun λ kuuluva f:n ominaisvektori jos ja vain jos X on λ:aan kuuluva M f :n ominaisvektori Määritelmä Lineaarikuvaus f : V V on symmetrinen jos f x ȳ = x fȳ kaikilla x ȳ V Lemma 2 Olkoon f : V V lineaarikuvaus ja M f sen matriisi jonkin ortonormaalin kannan V suhteen Tällöin f on symmetrinen jos ja vain jos M f on symmetrinen Todistus Koska V on ortonormaali niin x ȳ = X Y kaikilla x ȳ V Täten f x ȳ = x fȳ x ȳ V M f X Y = X M f Y X Y R m M f X T Y = X T M f Y X Y R m X T Mt T Y = X T M f Y X Y R m X Mf T Y = X M f Y X Y R m X Mf T Y M f Y = 0 X Y R m Täten Mf T Y M fy = 0 kaikilla Y R m eli Mf T M fy = 0 kaikilla Y R m Siispä Mf T = M f Lause 4' Olkoon f : V V symmetrinen lineaarikuvaus missä dim V = m Kuvauksella f on m ominaisarvoa eivät välttämättä erisuuria ja ne ovat reaalisia Todistus Olkoon M f kuvauksen F matriisi jonkin ortonormaalin kannan suhteen Koska M f :n ominaisarvopolynomin aste on m niin algebran peruslauseen nojalla sillä on m ominaisarvoa Lemman 2 nojalla M f on symmetrinen joten Lauseen 4 nojalla M f :n ja täten f:n ominaisarvot ovat reaalisia Lauseen 5 todistus Olkoon f A:n määräämä lineaarikuvaus ts f : R n R n fx = AX Lemman 2 ja Lauseen 4' nojalla f:llä on n reaalista ominaisarvoa
9 Olkoon U 1 ominaisarvoon λ 1 kuuluvan f:n ominaisvektorin ū 1 virittämä R n :n aliavaruus Nyt R n voidaan hajottaa suoraksi summaksi R n = U 1 U 1 {ū 1 v 2 v n } missä v 2 v n U 1 9 ja sille saadaan kanta Osoitetaan että fu1 U1 Olkoon v U 1 Nyt f:n symmetrisyyden nojalla joten fu 1 U 1 ū 1 f v = fū 1 v = λ 1 ū 1 v = 0 Koska dim U1 = n 1 ja f on symmetrinen myös rajoitettuna U1 :lle niin Lauseen 4' nojalla sillä ja siis A:lla on n 1 reaalista ominaisarvoa joihin kuuluvat ominaisvektorit U 1 Olkoon U 2 ominaisarvoon λ 2 kuuluvan ominaisvektorin ū 2 virittämä U1 :n aliavaruus Nyt R n = U 1 U 2 U 1 + U 2 ja sillä on kanta {ū 1 ū 2 v 3 v n } missä v 3 v n U 1 + U 2 Lisäksi f:n lineaarisuuteen nojautuen nähdään kuten edellä että fu 1 + U 2 T U 1 + U 2 T Jatkamalla prosessia saadaan R n :lle lopulta A:n ominaisvektoreista ū 1 ū 2 ū n ortogonaalinen kanta Esimerkki 4 Diagononalisoidaan yhtälö y z 2 36xy + 12xz 24yz = 1 Neliömuodon y z 2 36xy + 12xz 24yz matriisi A = jonka ominaisarvoyhtälö on 58 t = A ti = t 12 = t 3 196t t t = t 49 2 t 98 Täten matriisin A ominaisarvot ovat α = 49 β = 49 γ = 98 Lasketaan vastaavat ominaisvektorit käyttäen Lauseen 5 todistuksessa käytettyä menetelmää vaikka ne voitaisiin toki laskea ilmankin sitä Ensinnäkin A αix = x 1 = 0 0 x 1 = t 2 3 t R x 3 0 x 3 6 Valitaan ū 1 = 2ī + 3 j + 6 k Jos U 1 on tämän vektorin virittämä aliavaruus niin U 1 :n kannaksi voidaan valita esim { v 2 v 3 } missä v 2 = 3ī 2 j ja v 3 = 3ī k Olkoon nyt fx = AX rajoitetaan se U :lle ja lasketaan tämän rajoittuman matriisi M f Koska f v 2 = 3fī 2f j = 358ī 18 j + 6 k 2 18ī + 85 j 12 k = 210ī 224 j + 42 k = 112 v 2 42 v 3
10 10 ja niin M f = f v 3 = 3fī f k = 358ī 18 j + 6 k 6ī 12 j + 53 k = 168ī 42 j 35 k = 21 v v Lasketaan ominaisarvoon β = 49 liittyvä ominaisvekori ū U : koska x1 0 M f 49IX = 0 = x1 1 = t 3 niin voidaan valita ū 2 = v v 3 = 6ī + 2 j 3 k Lopuksi valitsemme vektorin ū 3 avaruudesta U + U T joten voidaan valita ū 3 = 3ī 6 j + 2 k Näin ollen neliömuodon diagonalisoivaksi matriisiksi P voidaan valita P = joka sattuu olemaan täsmälleen sama matriisi kuin edellisessä esimerkissä Täten yhtälön y z 2 36xy + 12xz 24yz = 1 määräämä pinta on uvw-koordinaatiston ellipsoidi 49u v w 2 = 1 missä jälleen u-akseli on vektorin 6ī + 2 j 3 k v-akseli vektorin 2ī + 3 j + 6 k ja w-akseli vektorin 3ī 6 j + 2 k suuntainen
11 11 2 Avaruuden R n kierroista Edellisessä luvussa väitimme että tietyt ortonormaalit n n-matriisit vastaavat avaruuden R n kiertoja kun n = 2 3 Mitä on vaadittava esimerkiksi 2 2-matriisilta P että sitä vastaava lineaarikuvaus olisi tason R 2 kierto? Ainakin sen on säilytettävä vektorien pituudet ja niiden väliset kulmat Yleisemmin: olkoon n positivinen kokonaisluku P n n-matriisi ja f : R n R n fx = P X Tarkastellaan kuvauksia f jotka toteuttavat seuraavat ehdot: 1 f säilyttää vektorien pituudet ts P X = X X R n 2 f säilyttää vektorien väliset kulmat ts P X P Y = X Y X Y R n Osoittautuu että ehdot 1 ja 2 toteutuvat jos ja vain jos matriisi P on ortonormaali ts pystyrivit P 1 P n muodostavat ortonormaalin joukon ts P P T = I Koska 1 = detp P T = detp detp T = detp 2 niin ehdot 1 ja 2 toteuttavan kuvauksen f matriisin determinantti on aina ±1 Lause 1 Olkoon P = P 1 P 2 P n n n-matriisi Lineaarikuvaus f : R n R n fx = P X säilyttää vektorien pituudet ja niiden väliset kulmat jos ja vain jos P P T = I Todistus Olkoot X Y R n jolloin P X = x 1 P x n P n ja P Y = y 1 P y n P n Koska P i P j = 0 jos i j niin eli f säilyttää pituuden Nyt =1 =1 {}}{{}}{ P X 2 = P X P X = 1 P n P n 2 = X 2 Osoitetaan että f säilyttää pistetulon: P :n ortonormaalisuuden nojalla P X P Y = x 1 P x n P n y 1 P y n P n = x 1 y x n y n = X Y eli f säilyttää kulman P X P Y = P X P Y P X P Y = X Y X Y = X Y Oletetaan sitten että f säilyttää vektorien pituudet ja niiden väliset kulmat Tällöin f säilyttää pistetulon joten X Y = P X P Y = P X T P Y = X T P T P Y = X P T P Y X Y R n ekvivalentisti X Y P T P Y = 0 X Y R n Täten Y P T P Y = 0 kaikilla Y R n eli I P T P Y = 0 kaikilla Y R n ja näin ollen P T P = I eli P on ortogonaalinen Lemma 1 Olkoon f : R n+1 R n+1 lineaarikuvaus jonka matriisi P on ortonormaali Jos fū = cū joillakin ū R n+1 \ { 0} ja c R niin on olemassa R n+1 :n kanta jonka
12 12 suhteen f:n matriisi Q on muotoa c a Q = 11 a 1n 0 a n1 a nn missä A = a 11 a 1n a n1 a nn on ortonormaali Todistus Täydennetään joukko {ū} avaruuden R n+1 ortonormaaliksi kannaksi V = {ū ū 1 ū n } Nyt Koska f säilyttää kulmat niin cu k fū = cū + 0 ū ū n fū 1 = u 1 ū + a 11 ū a n1 ū n fū n = u n ū + a 1n ū a nn ū n = fū fū k = 0 kaikilla k = 1 n Koska välttämättä c 0 niin nyt u 1 = = u n = 0 Nyt myös 0 = fū i fū j = a 1i a 1j + + a ni a nj kaikilla i j ja 1 = fū j = a 1j a nj koska f säilyttää myös pituudet Täten Q ja A ovat väitettyä muotoa Oletetaan että n = 2 olkoon f ehdot 1 ja 2 täyttävä lineaarikuvaus ja a c P = b d sen matriisi luonnollisen kannan {ī j} suhteen Koska P on ortogonaalinen niin ac + bd = 0 Jotta f olisi tason kierto vaadimme ehtojen 1 ja 2 lisäksi että pätee ehto: 3 f säilyttää x- ja y-akselien keskinäisen järjestyksen Esimerkki 1 Jos P = niin sitä vastaava kuvaus f toteuttaa ehdot 1 ja 2 muttei ehtoa 3 sillä se vaihtaa x-akselin y-akseliksi ja y-akselin x-akseliksi eli f on peilaus suoran y = x suhteen Jotta saisimme laskennallisen kriteerin joka vastaa ehtoa 3 niin ajatellaan xy-tason kiertoa kiertona avaruudessa R 3 : xy-tasoa kierretään z-akselin ympäri niin että vektorit fī ja f j ja vektori k muodostavat oikeankätisen systeemin ts vektorien fī ja f j
13 13 ristitulon on oltava vektorin k suuntainen Koska fī = aī + b j ja f j = cī + d j niin ī j k fī f j = a b 0 c d 0 = ad bc k = detp k Täten f toteuttaa ehdon 3 jos ja vain jos fī f j on vektorin k suuntainen jos ja vain jos detp > 0 jos ja vain jos detp = 1 Täten f on xy-tason kierto eli toteuttaa ehdot 1 2 ja 3 jos ja vain P on muotoa a b P = b a missä a 2 + b 2 = 1 Koska tällöin P 1 0 = a b niin f kiertää tasoa kulman α verran missä a = cos α ja b = sin α ts cos α sin α P = sin α cos α Entäpä jos f toteuttaa ehdot 1 ja 2 muttei ehtoa 3 ts detp = 1? Nyt P on ortogonaalinen ja sen determinantti on 1 joten se on muotoa a b 1 0 a b P = = b a 0 1 b a missä a 2 + b 2 = 1 Täten f on kuvaus joka ensin kiertää xy-tasoa kulman arccosa verran ja sitten peilaa sen x-akselin suhteen Osoittautuu kuitenkin että f voidaan ajatella pelkkänä peilauksena suoran l suhteen jonka yhtälö seuraavassa määritetään Osoitetaan ensin että fū = ū jollakin ū R 2 ts P X = X jollakin X R 2 Ensinnäkin P X = X P IX = 0 Koska detp I = a 2 1 b 2 a 1 b b a 1 x = y 0 0 = 0 niin P I:n vaakarivit ovat lineaarisesti riippuvat ja täten on olemassa ū R 2 jolle fū = ū Lisäksi P x y = x y jos ja vain jos x ja y toteuttavat suoran l yhtälön kun { y = 0 jos a = 1 l : a 1x + by = 0 jos a 1 Osoitetaan sitten että f on peilaus suoran l suhteen Lemman 1 nojalla on olemassa kanta {ū v} jonka suhteen f:n matriisi A = Koska deta = detp = 1 niin c = 1 Täten on todistettu seuraava: c
14 14 Lause 2 Olkoon f : R 2 R 2 lineaarinen kuvaus joka toteuttaa ehdot 1 ja 2 P sen matriisi luonnollisen kannan suhteen ja λ = detp Tällöin 1 0 a b 1 0 cos α sin α P = = 0 λ b a 0 λ sin α cos α a Jos λ = 1 niin f toteuttaa ehdon 3 ja on xy-tason kierto kulman α verran b Jos λ = 1 niin f ei toteuta ehtoa 3 ja on xy-tason peilaus suoran l suhteen kun l : { y = 0 jos a = 1 a 1x + by = 0 jos a 1 Tarkastellaan vielä kahta peräkkäistä kiertoa: kierretään xy-tasoa ensin kulman β verran ja sitten kulman α verran jolloin tasoa on kierretty kulman α + β verran Olkoon f α f β ja f α+β ko kiertoja vastaavat lineaarikuvaukset Koska f α+β = f α f β niin nyt Lauseen 2 nojalla cosα + β sinα + β sinα + β cosα + β cos α sin α cos β sin β = sin α cos α sin β cos β Täten saamme seuraavat tutut kosinin ja sinin yhteenlaskukaavat: cosα + β = cos α cos β sin α sin β sinα + β = sin α cos β + cos α sin β Oletetaan sitten että n = 3 Lemma 2 Olkoon P ortonormaali 3 3-matriisi Yhtälö P X = detp X on ratkeava jollakin X R 3 \ { 0} ts fū = detp ū jollakin ū R 3 Todistus Olkoon λ = detp = ±1 Riittää osoittaa että detp λi = 0 Ensinnäkin havaitaan että P T P λi = I λp T = λλi P T = λλi P T Koska λ detp T = λ detp = λ 2 = 1 niin detp λi = λ detp T detp λi = λ detp T P λi = λ detλλi P T = λ 4 detλi P T = detλi P = detp λi ja näin ollen detp λi = 0 Avaruuden R 3 kierrolla tarkoitamme kuvausta f joka kiertää avaruuden R 3 jonkin origon kautta kulkevan suoran eli kiertoakselin u ympäri ts jos ū on kiertoakselin suuntainen vektori ja V = {ū v w} on jokin oikeakätinen ortonormaali joukko niin f:n matriisi tämän kannan suhteen on missä a c b d vastaa vw-tason kiertoa Q = a c 0 b d
15 Oletetaan että f on ehdot 1 ja 2 täyttävä lineaarikuvaus ja oletetaan että on olemassa ū R 3 jolle fū = ū Olkoon V = {ū v w} jokin oikeakätinen ortonormaali joukko Jotta f olisi avaruuden R 3 kierto vaadimme nyt että ehtojen 1 ja 2 lisäksi pätee ehto: 3' f säilyttää joukon V oikeakätisyyden ts {fū f v f w} on oikeakätinen Lemman 1 nojalla kuvauksen f matriisi Q kannan V suhteen on muotoa Q = a c 0 b d missä on ortonormaali a c A = b d Koska {fū f v f w} on oikeakätinen niin ristitulon f v f w = ad bcū = detaū on oltava vektorin fū = ū suuntainen Täten ehdon fū = ū täyttävä lineaarikuvaus täyttää ehdon 3' jos ja vain jos deta = 1 jos ja vain jos detp = detq = 1 Toisaalta Lemman 2 ja Lauseen 1 nojalla jokaisella ehdot 1 ja 2 täyttävällä lineaarikuvauksella f : R 3 R 3 on kiertoakseli ts sellainen vektori ū että fū = ū Entäpä jos f toteuttaa ehdot 1 ja 2 muttei ehtoa 3'? Nyt detp = 1 ja Lemmojen 1 ja 2 nojalla on olemassa ortonormaali kanta {ū v w} jonka suhteen f:n matriisi Q on muotoa: Q = a c 0 b d = missä A = a c b d on ortonormaali ja deta = 1 Täten on todistettu seuraava: a c 0 b d Lause 3 Olkoon f : R 3 R 3 lineaarinen kuvaus joka toteuttaa ehdot 1 ja 2 olkoon λ = detp ja ū R 3 jolle fū = λū Olkoon V = {ū v w} jokin oikeakätinen ortonormaali joukko Silloin kannan V suhteen f:n matriisi on: Q = λ a b = λ cos α sin α 0 b a 0 sin α cos α missä f v = a v + b w a Jos λ = 1 niin f toteuttaa myös ehdon 3' ja f on avaruuden R 3 kierto u-akselin ympäri kulman α verran b Jos λ = 1 niin f ei toteuta ehtoa 3' ja f on a-kohdan kierron ja peilauksen u v w u v w yhdistetty kuvaus 15
16 16 Esimerkki 2 Esimerkin 1 peilausta voidaan ajatella avaruuden R asteen kiertona f missä kiertoakseli on vektorin ū = 1 2 ī + j suuntainen ts fī = j f j = ī ja f k = k Täten kierron f matriisi P luonnollisen kannan {ī j k} suhteen on P = Valitaan sitten v = 1 2 ī j ja w = k jolloin joukko V = {ū v w} oikeakätinen ja ortogonnormaali ja lasketaan f:n matriisi Q tämän kannan suhteen Koska niin fū = ū f v = 1 fī j = 1 fī f j 2 2 A = joka tosiaankin vastaa avaruuden R 3 ympäri Esimerkki 3 Olkoon P = = 1 2 j ī = v 180 asteen kiertoa vektorin u suuntaisen suoran ja tarkastellaan sen määräämää lineaarikuvausta f : R 3 R 3 fx = P X Nyt detp = 1 joten P X = X jollakin X R 3 Nyt P X = X x y z = 7 x y z x y z = ja täten voidaan valita x y z = ts ū = 1 5 2ī+ j Valitaan lisäksi v = 1 5 ī 2 j ja w = k jolloin V = {ū v w} on ortonormaali ja oikeakätinen Lasketaan f:n matriisi Q tämän kannan suhteen Koska 7f v = 7 5 fī 2f j = 1 5 6ī + 2 j 3 k 4ī + 6 j + 12 k = 1 5 2ī 4 j 15 k niin 7f v = c v + d w 1 5 2ī 4 j 15 k = c 1 5 i 2 j d k c = 2 ja d = 3 5
17 ja näin ollen f v = 2 v w Siispä Q = 0 2/7 3 5/ /7 2/7 Täten f on kierto joka kiertää avaruuden R 3 vektorin ū suuntaisen suoran ympäri kulman arccos5/ verran vastapäivään Olkoon S avaruuden R 3 toisen asteen pinta jonka määräävä yhtälö on diagonaalimuotoa ts S : a + by 2 + cz 2 = 1 ekvivalentisti S : X T DX = 1 missä X = x y z ja D = a b c Havainnollistetaan animaatioiden avulla tällaisten pintojen kiertoa jonkin kiertoakselin ympäri Olkoon siis ū R 3 ja f α avaruuden R 3 kierto kulman α verran vektorin ū suuntaisen kiertoakselin ympäri Olkoon {ū v w} jokin ortonormaali oikeakätinen joukko Tämän kannan suhteen lineaarikuvauksen f α matriisi on Q α = cos α sin α 0 sin α cos α Olkoon M kannavaihdon {ī j k} {ū v w} matriisi ts ū = M1 0 0 T v = M0 1 0 T ū = M0 0 1 T Koska M on nyt ortonormaali niin M 1 = M T luonnollisen kannan {ī j k} suhteen on P α = MQ α M T 17 ja kierron f α matriisi Nyt U = P α X jos ja vain jos X = P T α U joten X T DX = 1 jos ja vain jos U T P α DP T α U = 1 Täten f α on R 3 :n kierto joka kuvaa pinnan S pinnaksi R α : X T P α DP T α X = 1 Esimerkki 4 Olkoon vaikkapa ū = 1 14 ī + 2 j + 3 k v = ī 3 j + k ja w = ī + 8 j 9 k Tässä animaatiossa yksivaippaista hypeboloidia S : 3y 2 + 5z 2 = 1 kierretään kulman α verran vektorin ū suuntaisen kiertoakselin ympäri kun 2 x y z 2 ja α kulkee toistuvasti arvosta 0 arvoon 62 2π askelpituudella 01 Tässä animaatiossa puolestaan kierretään kaksivaippaista hypeboloidia S : 3y 2 5z 2 = 1 saman kiertoakselin ympräri Tässä animaatiossa taasen kierrettävä objekti on ellipsoidi S : 2 + 3y 2 + 5z 2 = 1 kun 2 x y z 2 ja kiertoakseli on edelleen sama kuin edellä
Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja
7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien
Lisätiedot6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI
6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotAlkeismuunnokset matriisille, sivu 57
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Lisätiedot6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI
0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
LisätiedotMatemaattinen Analyysi / kertaus
Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:
LisätiedotPäättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1
Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon
LisätiedotDemorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Ensi viikolla luennot salissa X Torstaina 7.12. viimeiset demot (12.12. ja 13.12. viimeiset luennot). Torstaina 14.12 on välikoe 2, muista ilmoittautua! Demorastitiedot
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
LisätiedotOrtogonaalisen kannan etsiminen
Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotOminaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä
LisätiedotMatriisialgebra harjoitukset, syksy 2016
MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 7 Onko kuvaus F : R R, F(x 1,x = (x 1 +x,5x 1, x 1 +6x lineaarinen kuvaus? Jos on, niin määrää sen matriisi luonnollisen kannan suhteen Jos ei ole, niin
LisätiedotMatikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81
Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/81 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 )
LisätiedotBijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.
Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin
Lisätiedot5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
Lisätiedot(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
Lisätiedot1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
LisätiedotOMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA
1 OMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA Olkoon x = (x 1,..., x n ) avaruuden R n piste (l. vektori). Vektori x samaistetaan n 1-matriisin (x 1 x 2... x n ) T kanssa, ts. voidaan yhtä hyvin kirjoittaa x1
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotOminaisarvo-hajoitelma ja diagonalisointi
Ominaisarvo-hajoitelma ja a 1 Lause 1: Jos reaalisella n n matriisilla A on n eri suurta reaalista ominaisarvoa λ 1,λ 2,...,λ n, λ i λ j, kun i j, niin vastaavat ominaisvektorit x 1, x 2,..., x n muodostavat
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotMatriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?
Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotEsimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt
Esimerkki 4.4. Määrää matriisin 2 2 1 A = 1 3 1 2 4 3 ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt det(a λi ) = 1 + 2 λ 2 1 + 1 λ 1 λ 1 3 λ 1 = 1 3 λ 1 2 4 3 λ 2 4 3 λ 1 λ = 1 4 λ 1 = (1 λ)( 1)1+1 4 λ 1 2 6 3
LisätiedotKantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen
Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin
LisätiedotMS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotMatikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210
Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2
LisätiedotHavainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.
Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.
LisätiedotOminaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170
Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170 Seuraavissa luvuissa matriisit ja vektori ajatellaan kompleksisiksi, ts. kertojakuntana oletetaan olevan aina kompleksilukujoukko C Huomaa, että reaalilukujoukko
LisätiedotMatematiikka B2 - Avoin yliopisto
6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/310 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotVapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotSimilaarisuus. Määritelmä. Huom.
Similaarisuus Määritelmä Neliömatriisi A M n n on similaarinen neliömatriisin B M n n kanssa, jos on olemassa kääntyvä matriisi P M n n, jolle pätee Tällöin merkitään A B. Huom. Havaitaan, että P 1 AP
LisätiedotTehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2.
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2016 Harjoitus 3 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 29.8.2016 klo 13.15. Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
Lisätiedot3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset
31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2292015 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita
LisätiedotRistitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti
14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on
Lisätiedot3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h
HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)
LisätiedotInsinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
Insinöörimatematiikka D, 06 laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Alla olevat esimerkkiratkaisut ovat melko ksitiskohtaisia Tenttivastauksissa ei leensä tarvitse muistaa lauseiden, määritelmien, esimerkkien
Lisätiedot5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT
5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön
LisätiedotDeterminantti 1 / 30
1 / 30 on reaaliluku, joka on määritelty neliömatriiseille Determinantin avulla voidaan esimerkiksi selvittää, onko matriisi kääntyvä a voidaan käyttää käänteismatriisin määräämisessä ja siten lineaarisen
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.
LisätiedotTällä viikolla viimeiset luennot ja demot. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162
Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/162 Kertausta Vektorin u = (u 1,u 2 ) R 2 pituus u = u 2 1 +u2 2 Vektorien u ja v = (v 1,v 2
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotMatematiikka B2 - TUDI
Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotTyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5
MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää
LisätiedotMS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42 Tehtävät 1-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ryhmissä, ja ryhmien ratkaisut esitetään harjoitustilaisuudessa (merkitty kirjaimella L = Lasketaan).
LisätiedotTampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö
Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö Kevät 017 Luennot: Kerkko Luosto Muistiinpanot: Jesse Railo (013) ja Jussi Klemetti (017) 6 Kartioleikkaukset Vanhan ajan geometrian merkittävimpiä tuloksia
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2014 164/246 Kertausta:
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
Lisätiedotominaisvektorit. Nyt 2 3 6
Esimerkki 2 6 8 Olkoon A = 40 0 6 5. Etsitäänmatriisinominaisarvotja 0 0 2 ominaisvektorit. Nyt 2 0 2 6 8 2 6 8 I A = 40 05 40 0 6 5 = 4 0 6 5 0 0 0 0 2 0 0 2 15 / 172 Täten c A ( )=det( I A) =( ) ( 2)
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 6.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Kertausta: Kääntyvien matriisien lause Lause 1 Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä.
LisätiedotLineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi
Lineaarikuvaukset aiheita ten ten 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja
LisätiedotLineaarialgebra (muut ko)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/103 Lineaarialgebra (muut ko) Tero Laihonen Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/103 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v
Lisätiedot1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät
1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n
LisätiedotMatriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit
Matriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit Antti Rasila 2016 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1/5 Määritelmä Skalaari λ C on matriisin A C n n ominaisarvo ja vektori v C n sitä
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotMääritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.
1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:
Lisätiedot(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa).
NUMEERISET MENETELMÄT DEMOVASTAUKSET SYKSY 20.. (a) Absoluuttinen virhe: ε x x ˆx /7 0.4 /7 4/00 /700 0.004286. Suhteellinen virhe: ρ x x ˆx x /700 /7 /00 0.00 0.%. (b) Kahden desimaalin tarkkuus x ˆx
Lisätiedot6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio
6 Vektoriavaruus R n 6.1 Lineaarikombinaatio Määritelmä 19. Vektori x œ R n on vektorien v 1,...,v k œ R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että x = i v i. i=1 Esimerkki 30.
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 Tehtävä 1 (L): Oletetaan, että AB = AC, kun B ja C ovat m n-matriiseja. a) Näytä, että jos A on kääntyvä, niin B = C. b) Seuraako yhtälöstä AB = AC yhtälö
Lisätiedot1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa
MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 /
MS-A3/A5 Matriisilaskenta, II/27 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 / 3. 7..27 Tehtävä (L): Etsi kaikki yhtälön Ax = b ratkaisut, kun 3 5 4 A = 3 2 4 ja b = 6 8 7 4. Ratkaisu : Koetetaan ratkaista
LisätiedotOrtogonaaliset matriisit, määritelmä 1
, määritelmä 1 Määritelmä (a). Neliömatriisi Q on ortogonaalinen, jos Q T Q = I. Määritelmästä voidaan antaa samaa tarkoittavat, mutta erilaiselta näyttävät muodot: Määritelmä (b). n n neliömatriisi Q,
LisätiedotSuorat ja tasot, L6. Suuntajana. Suora xy-tasossa. Suora xyzkoordinaatistossa. Taso xyzkoordinaatistossa. Tason koordinaattimuotoinen yhtälö.
Suorat ja tasot, L6 Suora xyz-koordinaatistossa Taso xyz-koordinaatistossa stä stä 1 Näillä kalvoilla käsittelemme kolmen laisia olioita. Suora xyz-avaruudessa. Taso xyz-avaruudessa. Emme nyt ryhdy pohtimaan,
Lisätiedotsitä vastaava Cliffordin algebran kannan alkio. Merkitään I = e 1 e 2 e n
Määritelmä 1.1 Algebran A keskus C on joukko C (A) = {a A ax = xa x A}. Lause 1. Olkoon Cl n Cliffordin algebra, jonka generoi joukko {e 1,..., e n }. Jos n on parillinen, niin C (Cl n ) = {λ λ R}. Jos
Lisätiedot1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.
ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.9.015 Reaalinen
LisätiedotJ1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6
MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 J (II.6.9) Päättele, että avaruusvetorit a, b ja c ovat lineaarisesti riippuvat täsmälleen un vetoreiden virittämän suuntaissärmiön tilavuus =. Tuti tällä riteerillä ovato
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia/Exercises 2017 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotVektorien virittämä aliavaruus
Vektorien virittämä aliavaruus Esimerkki 13 Mikä ehto vektorin w = (w 1, w 2, w 3 ) komponenttien on toteutettava, jotta w kuuluu vektoreiden v 1 = (3, 2, 1), v 2 = (2, 2, 6) ja v 3 = (3, 4, 5) virittämään
LisätiedotJohdatus lineaarialgebraan
Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä
LisätiedotVektoreiden virittämä aliavaruus
Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
LisätiedotSeuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117
Seuraava luento ti 31.10 on salissa XXII Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/117 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v
LisätiedotEnsi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66
Ensi viikon luennot salissa X Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/66 Redusoitu porrasmuoto 1 1 2 4 1 1 4 6 2 2 5 9 1 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 Eli aste r(a) = 2 ja vaakariviavaruuden
Lisätiedot110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3
4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
Lisätiedot