Neliömuodoista, matriisin ominaisarvoista ja avaruuden kierroista

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Neliömuodoista, matriisin ominaisarvoista ja avaruuden kierroista"

Transkriptio

1 Neliömuodoista matriisin ominaisarvoista ja avaruuden kierroista Marko Moisio 1 Neliömuodoista ja matriisin ominaisarvoista Tarkastellaan toisen asteen tasokäyrän määräävää yhtälöä a + by 2 + 2cxy = d missä a b c d ovat vakioita Tässä vasemmalla puolella esiintyvää polynomia kutsutaan neliömuodoksi Pyrimme sopivalla tason kierrolla saattamaan tämän yhtälön diagonaalimuotoon αu 2 + βv 2 = d Yhtälö a + by 2 + 2cxy = d voidaan kirjoittaa matriisimuodossa x 1 x ya = d y missä A = a c c b Havaitaan että A on symmetrinen ts A = A T Olkoon P = P 1 P 2 reaalinen ja säännöllinen 2 2-matriisi ja sijoitetaan yhtälöön 1 x u = P y v jolloin yhtälön 1 vasen puoli on muotoa T u u u P AP = u vp T AP v v v Tavoitteena on siis löytää sellainen matriisi P jolle P T AP = D missä α 0 D = α β R 0 β Tällöin 1 saadaan diagonaalimuotoon 2 αu 2 + βv 2 = d Voimme siis ajatella matriisia P kuvauksena f : R 2 R 2 fx = P X joka kuvaa käyrän α + βy 2 = d käyräksi a + by 2 + 2cxy = d Mikäli f on tason kierto niin käyrä a + by 2 + 2cxy = d voidaan ajatella käyräksi joka saadaan kun käyrää α + βy 2 = d kierretään origon suhteen kuvauksen P määräämän kulman verran Käsittelemme kiertoja tarkemmin luvussa 2 Kysymystä neliömuodon diagonalisoimisesta voidaan tarkastella yleisemminkin Jatkossa samaistamme n 1-matriisin X = x 1 x n T ja koordinaattivektorin x 1 x n R n

2 2 Olkoon hx 1 x n neliömuoto eli homogeeninen astetta kaksi oleva polynomi ts n hx 1 x n = a ij x i x j = x 1 x n Ax 1 x n T ij=1 missä a 11 a 12 a 1n a A = 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn on symmetrinen ts A = A T Tavoitteena on löytää matriisi P jolle P T AP = D missä λ λ D = λ n Tällöin nimittäin muuttujan vaihdolla x 1 x n T = P u 1 u 2 u n T saadaan neliömuoto hx 1 x n diagonaaliseksi neliömuodoksi hu 1 u n = λ 1 u λ n u 2 n Miten P tulisi valita? Oletetaan että P = P 1 P 2 P n on ortonormaali n n-matriisi ts P T P = I Tällöin P on säännöllinen P 1 = P T ja P T AP = D P 1 AP = D AP = DP AP 1 = λ 1 P 1 AP n = λ n P n Täten on voimassa seuraava tulos: Lemma 1 Jos P P T = I niin P T AP = D jos ja vain jos P 1 P n ovat vastaavasti yhtälöiden AX = λ 1 X AX = λ n X jotkin ratkaisut joillakin reaaliluvuilla λ 1 λ n Osoittautuu että myös käänteinen tulos pätee ts jos A on symmetrinen niin on olemassa reaaliluvut λ i ja vektorit P i joille AP i = λ i P i kaikilla i = 1 n ja P P T = I kun P = P 1 P 2 P n Miten luvut λ ja niitä vastaavat vektorit X λ voidaan löytää? Kysymys on niin keskeinen että asetamme seuraavan yleisen määritelmän Määritelmä Olkoon B kompleksilukukertoiminen n n-matriisi ja λ C Jos yhtälöllä BX = λx on jokin nollavektorista eroava ratkaisu X λ sanotaan lukua λ matriisin B ominaisarvoksi ja vektoria X λ siihen kuuluvaksi ominaisvektoriksi Edellinen kysymys voidaankin asettaa yleisemmässä muodossa: miten matriisin B ominaisarvot ja niihin liittyvät ominaisvektorit voidaan löytää? Vastaus on ainakin periaatteessa helppo: koska X 0 niin BX = λx B λix = 0 detb λi = 0

3 Täten ominaisarvot ovat n-asteisen polynomiyhtälön detb ti = 0 eli B:n ominaisarvoyhtälön ratkaisut ja ominaisarvoon t = λ kuuluvat ominaisvektorit ovat yhtälön B λix = 0 ratkaisut X R 2 \ { 0} Rajoitutaan nyt hetkeksi tapaukseen missä A on reaalinen symmetrinen 2 2-matriisi a c A = c 0 c b Lause 2 Matriisin A ominaisarvot ovat reaaliset ja erisuuret ja niitä vastaavat ominaisvektorit ovat toisiaan vasten kohtisuorassa Todistus Nyt deta ti = 0 a tb t c 2 = 0 t 2 a + bt + ab c 2 = 0 Koska c 0 niin tämän yhtälön juuret α = a + b + a b 2 + 4c 2 ja β = a + b a b 2 + 4c ovat reaaliset ja erisuuret Koska matriisin A λi rivit ovat lineaarisesti riippuvat jos λ on A:n ominaisarvo niin c A λix λ = 0 a λx 1 + c = 0 X λ = s λ a Täten s R X α X β = 0 c 2 + α aβ a = 0 c 2 + αβ α + βa + a 2 = 0 3 Koska α + β = a + b ja αβ = ab c 2 niin väite seuraa Lemman 1 ja Lauseen 2 nojalla saamme menetelmän matriisin P konstruoimiseksi ja näin menetelmän yhtälön 1 diagonalisoimiseksi eli saattamiseksi muotoon 2: 5 Olkoot α ja β ominaisarvoyhtälön deta ti = 0 ratkaisut 6 Olkoot X α ja X β yhtälöryhmien A αix = 0 ja A βix = 0 nollavektorista eroavia ratkaisuja 7 P = P 1 P 2 missä P 1 = Xα X α ja P 2 = X β X β Yhtälöistä 6 riittää ratkaista vain toinen Nimittäin jos esim X α = x 1 T niin vektorien X α ja X β kohtisuoruuden nojalla voidaan valita X β = x 1 T Nyt x 1 T on välttämättä ominaisarvoon β kuuluva ominaisvektori sillä x 1 T kuuluu X α :n virittämän R 2 :n aliavaruuden ortogonaalikomplementtiin joka puolestaan on X β :n virittämä Voidaan siis valita ks Lauseen 2 todistus: 1 X α = α a ja X β = c missä α = a+b+ a b 2 +4c 2 2 ts α a c 1

4 4 1 X α = s + c s2 + 1 c s c s2 + 1 ja X β = c 1 missä s = b a 2c Täten yhtälön 1 diagonalisoiva matriisi P = 1 1 s c s2 + 1 c X α s + c s c jota vastaava lineaarikuvaus f kiertää xy-tason uv-tasoksi missä u-akseli on vektorin ī + s + c s2 + 1 j suuntainen ja v-akseli on vektorin s + c s2 + 1ī + j suuntainen c c Esimerkki 1 Diagonalisoidaan yhtälö 5 +4xy +2y 2 = 1 ja tarkastellaan sen kuvaajaa Tämän yhtälön matriisi A = jonka ominaisarvot α ja β ovat yhtälön deta ti = 5 t2 t 4 = 0 juuret ts α = 7+5 = 6 β = 7 5 = 1 Täten yhtälö 5 + 4xy + 2y 2 = 1 on uvkoordinaatistossa muotoa 6u 2 + v 2 = 1 ja vastaava tasokäyrä on siis ellipsi Koska nyt s = 2 5 = 3/4 niin u-akseli on vektorin ī j = ī j 2 2 suuntainen ja v-akseli on vektorin 1 2ī + j suuntainen Kyseessä on siis tason kierto vastapäivään kulman arctan1/ verran Esimerkki 2 Diagonalisoidaan yhtälö 12xy + 6y 2 + x + y = 2 ja tarkastellaan sen kuvaajaa Nyt neliömuodon 12xy + 6y 2 matriisi on A = jonka ominaisarvot α ja β ovat yhtälön deta ti = 1 t6 t 36 = 0

5 juuret ts α = = 10 β = = 3 Nyt s = b a 2c = = = 3 2 joten ja X α = 1 3/2 P = /2 3/2 1 3/2 ja X β = 1 = ja s + c c 1 + s2 = joka vastaa tason kiertoa kulman arctan3/ verran myötäpäivään Lisäksi x u = P = 1 2u + 3v y v 13 3u + 2v Täten yhtälö 12xy + 6y 2 + 3x + 2y = 2 on uv-koordinaatistossa muotoa 10u 2 3v u + 3v u + 2v = 2 10u 2 3v v = u 2 3 v 2 3 v = u 2 3 v = = u v = Tätä yhtälöä vastaava käyrä on hyperbeli jonka symmetriapisteen koordinaatit ovat u v = 0 13/6 eli x y = 1/2 1/3 Palataan sitten yleiseen tapaukseen missä A on reaalinen ja symmetrinen n n-matriisi

6 6 Jos n > 2 niin suurin muutos tapaukseen n = 2 verrattuna on se että nyt A:n ominaisarvoyhtälöllä voi olla vähemmän kuin n erisuurta juurta Toisaalta Lause 2 yleistyy Lauseiksi 3 ja 4: Lause 3 Matriisin A ominaisarvot ovat reaaliset Todistus Olkoon λ C A:n ominaisarvo ts AX = λx jollakin X C n \ { 0} Olkoon X vektorin X kompleksikonjugaatti ts X X = X 2 Koska X AX = X λx = λx X = λ X 2 ja toisaalta X AX = X T AX = A T X T X = A T X X = AX X = λx X = λ X 2 niin λ λ X 2 = 0 Koska X 0 niin λ = λ ts λ R Lause 4 Matriisin A eri ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa Todistus Olkoot α ja β A:n ominaisarvoja α β Koska A T = A niin βx α X β = X α βx β = X α AX β = AX α X β = αx α X β ja näin ollen α βx α X β = 0 Koska α β niin X α X β = 0 Seuraus Matriisin A ominaisvektoreista voidaan muodostaa R n :n ortonormali kanta jos A:n ominaisarvot ovat pareittain erisuuret Todistus Algebran peruslauseen nojalla A:lla on n ominaisarvoa Lauseen 3 nojalla ne ovat kaikki reaalisia ja oletuksen ja Lauseen 4 nojalla niitä vastaavat ominaisvektorit ovat pareittain toisiaan vastaan kohtisuorassa ja täten lineaarisesti riippumattomia Esimerkki 3 Diagononalisoidaan yhtälö y 2 + 5z 2 12xy + 12xz = 1 Neliömuodon y 2 + 5z 2 12xy + 12xz matriisi A = jonka ominaisarvoyhtälö on 2 t = A ti = 6 11 t 0 = t = t t t t t 2 t t Täten matriisin A ominaisarvot ovat α = 7 β = 7 γ = 14 Lasketaan vastaavat ominaisvektorit:

7 7 A αix = 0 A βix = A γix = x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 = = = x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 = t = t t R t R = t 3 6 t R 2 Täten neliömuodon diagonalisoivaksi matriisiksi P voidaan valita ks Lemma 2 esim P = Siispä yhtälön y 2 + 5z 2 12xy + 12xz = 1 määräämä pinta on hyperboloidin 7 + 7y z 2 = 1 kuva kuvauksessa f : R 3 R 3 fx = P X Luvussa 2 näemme että kuvaus f vastaa avaruuden R 3 kiertoa vektorin 2ī + j suuntaisen suoran ympäri kulman arccos2/7 734 verran vastapäivään Täten yhtälön 2 +11y 2 +5z 2 12xy+12xz = 1 määräämä pinta on uvw-koordinaatiston hyperboloidi 7u 2 +7v 2 +14w 2 = 1 kun u-akseli on vektorin 6ī+2 j 3 k v-akseli vektorin 2ī + 3 j + 6 k ja w-akseli vektorin 3ī 6 j + 2 k suuntainen Tarkastellaan sitten yleistä tapausta missä A:n ominaisarvot eivät olekaan välttämättä pareittain erisuuria Silloinkin pätee seuraava tulos: Lause 5 Matriisin A ominaisvektoreista voidaan muodostaa R n :n ortonormali kanta Tämä on melko syvällinen tulos ja sen todistamiseksi kehittelemme vielä hivenen lineaarialgebran koneistoa Olkoon V vektoriavaruuden R n m-dimensioinen aliavaruus ja V = { v 1 v m } sen jokin kanta Olkoon f lineaarikuvaus f : V V ja M f kuvauksen f matriisi kannan V suhteen ts

8 8 jos f v i = a 1i v 1 + a 2i v a mi v m i = 1 m niin M f = a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m a m1 a m2 a mm Jos nyt x = x 1 v 1 + +x m v m V niin selvästi f x = M f X missä X = x 1 x m T Määritelmä Olkoon f : V V lineaarikuvaus ja λ R Jos yhtälöllä f x = λ x on jokin nollavektorista eroava ratkaisu x λ V sanotaan lukua λ lineaarikuvauksen f ominaisarvoksi ja vektoria x λ siihen kuuluvaksi ominaisvektoriksi Koska f x = M f X niin vektori x on reaalilukuun λ kuuluva f:n ominaisvektori jos ja vain jos X on λ:aan kuuluva M f :n ominaisvektori Määritelmä Lineaarikuvaus f : V V on symmetrinen jos f x ȳ = x fȳ kaikilla x ȳ V Lemma 2 Olkoon f : V V lineaarikuvaus ja M f sen matriisi jonkin ortonormaalin kannan V suhteen Tällöin f on symmetrinen jos ja vain jos M f on symmetrinen Todistus Koska V on ortonormaali niin x ȳ = X Y kaikilla x ȳ V Täten f x ȳ = x fȳ x ȳ V M f X Y = X M f Y X Y R m M f X T Y = X T M f Y X Y R m X T Mt T Y = X T M f Y X Y R m X Mf T Y = X M f Y X Y R m X Mf T Y M f Y = 0 X Y R m Täten Mf T Y M fy = 0 kaikilla Y R m eli Mf T M fy = 0 kaikilla Y R m Siispä Mf T = M f Lause 4' Olkoon f : V V symmetrinen lineaarikuvaus missä dim V = m Kuvauksella f on m ominaisarvoa eivät välttämättä erisuuria ja ne ovat reaalisia Todistus Olkoon M f kuvauksen F matriisi jonkin ortonormaalin kannan suhteen Koska M f :n ominaisarvopolynomin aste on m niin algebran peruslauseen nojalla sillä on m ominaisarvoa Lemman 2 nojalla M f on symmetrinen joten Lauseen 4 nojalla M f :n ja täten f:n ominaisarvot ovat reaalisia Lauseen 5 todistus Olkoon f A:n määräämä lineaarikuvaus ts f : R n R n fx = AX Lemman 2 ja Lauseen 4' nojalla f:llä on n reaalista ominaisarvoa

9 Olkoon U 1 ominaisarvoon λ 1 kuuluvan f:n ominaisvektorin ū 1 virittämä R n :n aliavaruus Nyt R n voidaan hajottaa suoraksi summaksi R n = U 1 U 1 {ū 1 v 2 v n } missä v 2 v n U 1 9 ja sille saadaan kanta Osoitetaan että fu1 U1 Olkoon v U 1 Nyt f:n symmetrisyyden nojalla joten fu 1 U 1 ū 1 f v = fū 1 v = λ 1 ū 1 v = 0 Koska dim U1 = n 1 ja f on symmetrinen myös rajoitettuna U1 :lle niin Lauseen 4' nojalla sillä ja siis A:lla on n 1 reaalista ominaisarvoa joihin kuuluvat ominaisvektorit U 1 Olkoon U 2 ominaisarvoon λ 2 kuuluvan ominaisvektorin ū 2 virittämä U1 :n aliavaruus Nyt R n = U 1 U 2 U 1 + U 2 ja sillä on kanta {ū 1 ū 2 v 3 v n } missä v 3 v n U 1 + U 2 Lisäksi f:n lineaarisuuteen nojautuen nähdään kuten edellä että fu 1 + U 2 T U 1 + U 2 T Jatkamalla prosessia saadaan R n :lle lopulta A:n ominaisvektoreista ū 1 ū 2 ū n ortogonaalinen kanta Esimerkki 4 Diagononalisoidaan yhtälö y z 2 36xy + 12xz 24yz = 1 Neliömuodon y z 2 36xy + 12xz 24yz matriisi A = jonka ominaisarvoyhtälö on 58 t = A ti = t 12 = t 3 196t t t = t 49 2 t 98 Täten matriisin A ominaisarvot ovat α = 49 β = 49 γ = 98 Lasketaan vastaavat ominaisvektorit käyttäen Lauseen 5 todistuksessa käytettyä menetelmää vaikka ne voitaisiin toki laskea ilmankin sitä Ensinnäkin A αix = x 1 = 0 0 x 1 = t 2 3 t R x 3 0 x 3 6 Valitaan ū 1 = 2ī + 3 j + 6 k Jos U 1 on tämän vektorin virittämä aliavaruus niin U 1 :n kannaksi voidaan valita esim { v 2 v 3 } missä v 2 = 3ī 2 j ja v 3 = 3ī k Olkoon nyt fx = AX rajoitetaan se U :lle ja lasketaan tämän rajoittuman matriisi M f Koska f v 2 = 3fī 2f j = 358ī 18 j + 6 k 2 18ī + 85 j 12 k = 210ī 224 j + 42 k = 112 v 2 42 v 3

10 10 ja niin M f = f v 3 = 3fī f k = 358ī 18 j + 6 k 6ī 12 j + 53 k = 168ī 42 j 35 k = 21 v v Lasketaan ominaisarvoon β = 49 liittyvä ominaisvekori ū U : koska x1 0 M f 49IX = 0 = x1 1 = t 3 niin voidaan valita ū 2 = v v 3 = 6ī + 2 j 3 k Lopuksi valitsemme vektorin ū 3 avaruudesta U + U T joten voidaan valita ū 3 = 3ī 6 j + 2 k Näin ollen neliömuodon diagonalisoivaksi matriisiksi P voidaan valita P = joka sattuu olemaan täsmälleen sama matriisi kuin edellisessä esimerkissä Täten yhtälön y z 2 36xy + 12xz 24yz = 1 määräämä pinta on uvw-koordinaatiston ellipsoidi 49u v w 2 = 1 missä jälleen u-akseli on vektorin 6ī + 2 j 3 k v-akseli vektorin 2ī + 3 j + 6 k ja w-akseli vektorin 3ī 6 j + 2 k suuntainen

11 11 2 Avaruuden R n kierroista Edellisessä luvussa väitimme että tietyt ortonormaalit n n-matriisit vastaavat avaruuden R n kiertoja kun n = 2 3 Mitä on vaadittava esimerkiksi 2 2-matriisilta P että sitä vastaava lineaarikuvaus olisi tason R 2 kierto? Ainakin sen on säilytettävä vektorien pituudet ja niiden väliset kulmat Yleisemmin: olkoon n positivinen kokonaisluku P n n-matriisi ja f : R n R n fx = P X Tarkastellaan kuvauksia f jotka toteuttavat seuraavat ehdot: 1 f säilyttää vektorien pituudet ts P X = X X R n 2 f säilyttää vektorien väliset kulmat ts P X P Y = X Y X Y R n Osoittautuu että ehdot 1 ja 2 toteutuvat jos ja vain jos matriisi P on ortonormaali ts pystyrivit P 1 P n muodostavat ortonormaalin joukon ts P P T = I Koska 1 = detp P T = detp detp T = detp 2 niin ehdot 1 ja 2 toteuttavan kuvauksen f matriisin determinantti on aina ±1 Lause 1 Olkoon P = P 1 P 2 P n n n-matriisi Lineaarikuvaus f : R n R n fx = P X säilyttää vektorien pituudet ja niiden väliset kulmat jos ja vain jos P P T = I Todistus Olkoot X Y R n jolloin P X = x 1 P x n P n ja P Y = y 1 P y n P n Koska P i P j = 0 jos i j niin eli f säilyttää pituuden Nyt =1 =1 {}}{{}}{ P X 2 = P X P X = 1 P n P n 2 = X 2 Osoitetaan että f säilyttää pistetulon: P :n ortonormaalisuuden nojalla P X P Y = x 1 P x n P n y 1 P y n P n = x 1 y x n y n = X Y eli f säilyttää kulman P X P Y = P X P Y P X P Y = X Y X Y = X Y Oletetaan sitten että f säilyttää vektorien pituudet ja niiden väliset kulmat Tällöin f säilyttää pistetulon joten X Y = P X P Y = P X T P Y = X T P T P Y = X P T P Y X Y R n ekvivalentisti X Y P T P Y = 0 X Y R n Täten Y P T P Y = 0 kaikilla Y R n eli I P T P Y = 0 kaikilla Y R n ja näin ollen P T P = I eli P on ortogonaalinen Lemma 1 Olkoon f : R n+1 R n+1 lineaarikuvaus jonka matriisi P on ortonormaali Jos fū = cū joillakin ū R n+1 \ { 0} ja c R niin on olemassa R n+1 :n kanta jonka

12 12 suhteen f:n matriisi Q on muotoa c a Q = 11 a 1n 0 a n1 a nn missä A = a 11 a 1n a n1 a nn on ortonormaali Todistus Täydennetään joukko {ū} avaruuden R n+1 ortonormaaliksi kannaksi V = {ū ū 1 ū n } Nyt Koska f säilyttää kulmat niin cu k fū = cū + 0 ū ū n fū 1 = u 1 ū + a 11 ū a n1 ū n fū n = u n ū + a 1n ū a nn ū n = fū fū k = 0 kaikilla k = 1 n Koska välttämättä c 0 niin nyt u 1 = = u n = 0 Nyt myös 0 = fū i fū j = a 1i a 1j + + a ni a nj kaikilla i j ja 1 = fū j = a 1j a nj koska f säilyttää myös pituudet Täten Q ja A ovat väitettyä muotoa Oletetaan että n = 2 olkoon f ehdot 1 ja 2 täyttävä lineaarikuvaus ja a c P = b d sen matriisi luonnollisen kannan {ī j} suhteen Koska P on ortogonaalinen niin ac + bd = 0 Jotta f olisi tason kierto vaadimme ehtojen 1 ja 2 lisäksi että pätee ehto: 3 f säilyttää x- ja y-akselien keskinäisen järjestyksen Esimerkki 1 Jos P = niin sitä vastaava kuvaus f toteuttaa ehdot 1 ja 2 muttei ehtoa 3 sillä se vaihtaa x-akselin y-akseliksi ja y-akselin x-akseliksi eli f on peilaus suoran y = x suhteen Jotta saisimme laskennallisen kriteerin joka vastaa ehtoa 3 niin ajatellaan xy-tason kiertoa kiertona avaruudessa R 3 : xy-tasoa kierretään z-akselin ympäri niin että vektorit fī ja f j ja vektori k muodostavat oikeankätisen systeemin ts vektorien fī ja f j

13 13 ristitulon on oltava vektorin k suuntainen Koska fī = aī + b j ja f j = cī + d j niin ī j k fī f j = a b 0 c d 0 = ad bc k = detp k Täten f toteuttaa ehdon 3 jos ja vain jos fī f j on vektorin k suuntainen jos ja vain jos detp > 0 jos ja vain jos detp = 1 Täten f on xy-tason kierto eli toteuttaa ehdot 1 2 ja 3 jos ja vain P on muotoa a b P = b a missä a 2 + b 2 = 1 Koska tällöin P 1 0 = a b niin f kiertää tasoa kulman α verran missä a = cos α ja b = sin α ts cos α sin α P = sin α cos α Entäpä jos f toteuttaa ehdot 1 ja 2 muttei ehtoa 3 ts detp = 1? Nyt P on ortogonaalinen ja sen determinantti on 1 joten se on muotoa a b 1 0 a b P = = b a 0 1 b a missä a 2 + b 2 = 1 Täten f on kuvaus joka ensin kiertää xy-tasoa kulman arccosa verran ja sitten peilaa sen x-akselin suhteen Osoittautuu kuitenkin että f voidaan ajatella pelkkänä peilauksena suoran l suhteen jonka yhtälö seuraavassa määritetään Osoitetaan ensin että fū = ū jollakin ū R 2 ts P X = X jollakin X R 2 Ensinnäkin P X = X P IX = 0 Koska detp I = a 2 1 b 2 a 1 b b a 1 x = y 0 0 = 0 niin P I:n vaakarivit ovat lineaarisesti riippuvat ja täten on olemassa ū R 2 jolle fū = ū Lisäksi P x y = x y jos ja vain jos x ja y toteuttavat suoran l yhtälön kun { y = 0 jos a = 1 l : a 1x + by = 0 jos a 1 Osoitetaan sitten että f on peilaus suoran l suhteen Lemman 1 nojalla on olemassa kanta {ū v} jonka suhteen f:n matriisi A = Koska deta = detp = 1 niin c = 1 Täten on todistettu seuraava: c

14 14 Lause 2 Olkoon f : R 2 R 2 lineaarinen kuvaus joka toteuttaa ehdot 1 ja 2 P sen matriisi luonnollisen kannan suhteen ja λ = detp Tällöin 1 0 a b 1 0 cos α sin α P = = 0 λ b a 0 λ sin α cos α a Jos λ = 1 niin f toteuttaa ehdon 3 ja on xy-tason kierto kulman α verran b Jos λ = 1 niin f ei toteuta ehtoa 3 ja on xy-tason peilaus suoran l suhteen kun l : { y = 0 jos a = 1 a 1x + by = 0 jos a 1 Tarkastellaan vielä kahta peräkkäistä kiertoa: kierretään xy-tasoa ensin kulman β verran ja sitten kulman α verran jolloin tasoa on kierretty kulman α + β verran Olkoon f α f β ja f α+β ko kiertoja vastaavat lineaarikuvaukset Koska f α+β = f α f β niin nyt Lauseen 2 nojalla cosα + β sinα + β sinα + β cosα + β cos α sin α cos β sin β = sin α cos α sin β cos β Täten saamme seuraavat tutut kosinin ja sinin yhteenlaskukaavat: cosα + β = cos α cos β sin α sin β sinα + β = sin α cos β + cos α sin β Oletetaan sitten että n = 3 Lemma 2 Olkoon P ortonormaali 3 3-matriisi Yhtälö P X = detp X on ratkeava jollakin X R 3 \ { 0} ts fū = detp ū jollakin ū R 3 Todistus Olkoon λ = detp = ±1 Riittää osoittaa että detp λi = 0 Ensinnäkin havaitaan että P T P λi = I λp T = λλi P T = λλi P T Koska λ detp T = λ detp = λ 2 = 1 niin detp λi = λ detp T detp λi = λ detp T P λi = λ detλλi P T = λ 4 detλi P T = detλi P = detp λi ja näin ollen detp λi = 0 Avaruuden R 3 kierrolla tarkoitamme kuvausta f joka kiertää avaruuden R 3 jonkin origon kautta kulkevan suoran eli kiertoakselin u ympäri ts jos ū on kiertoakselin suuntainen vektori ja V = {ū v w} on jokin oikeakätinen ortonormaali joukko niin f:n matriisi tämän kannan suhteen on missä a c b d vastaa vw-tason kiertoa Q = a c 0 b d

15 Oletetaan että f on ehdot 1 ja 2 täyttävä lineaarikuvaus ja oletetaan että on olemassa ū R 3 jolle fū = ū Olkoon V = {ū v w} jokin oikeakätinen ortonormaali joukko Jotta f olisi avaruuden R 3 kierto vaadimme nyt että ehtojen 1 ja 2 lisäksi pätee ehto: 3' f säilyttää joukon V oikeakätisyyden ts {fū f v f w} on oikeakätinen Lemman 1 nojalla kuvauksen f matriisi Q kannan V suhteen on muotoa Q = a c 0 b d missä on ortonormaali a c A = b d Koska {fū f v f w} on oikeakätinen niin ristitulon f v f w = ad bcū = detaū on oltava vektorin fū = ū suuntainen Täten ehdon fū = ū täyttävä lineaarikuvaus täyttää ehdon 3' jos ja vain jos deta = 1 jos ja vain jos detp = detq = 1 Toisaalta Lemman 2 ja Lauseen 1 nojalla jokaisella ehdot 1 ja 2 täyttävällä lineaarikuvauksella f : R 3 R 3 on kiertoakseli ts sellainen vektori ū että fū = ū Entäpä jos f toteuttaa ehdot 1 ja 2 muttei ehtoa 3'? Nyt detp = 1 ja Lemmojen 1 ja 2 nojalla on olemassa ortonormaali kanta {ū v w} jonka suhteen f:n matriisi Q on muotoa: Q = a c 0 b d = missä A = a c b d on ortonormaali ja deta = 1 Täten on todistettu seuraava: a c 0 b d Lause 3 Olkoon f : R 3 R 3 lineaarinen kuvaus joka toteuttaa ehdot 1 ja 2 olkoon λ = detp ja ū R 3 jolle fū = λū Olkoon V = {ū v w} jokin oikeakätinen ortonormaali joukko Silloin kannan V suhteen f:n matriisi on: Q = λ a b = λ cos α sin α 0 b a 0 sin α cos α missä f v = a v + b w a Jos λ = 1 niin f toteuttaa myös ehdon 3' ja f on avaruuden R 3 kierto u-akselin ympäri kulman α verran b Jos λ = 1 niin f ei toteuta ehtoa 3' ja f on a-kohdan kierron ja peilauksen u v w u v w yhdistetty kuvaus 15

16 16 Esimerkki 2 Esimerkin 1 peilausta voidaan ajatella avaruuden R asteen kiertona f missä kiertoakseli on vektorin ū = 1 2 ī + j suuntainen ts fī = j f j = ī ja f k = k Täten kierron f matriisi P luonnollisen kannan {ī j k} suhteen on P = Valitaan sitten v = 1 2 ī j ja w = k jolloin joukko V = {ū v w} oikeakätinen ja ortogonnormaali ja lasketaan f:n matriisi Q tämän kannan suhteen Koska niin fū = ū f v = 1 fī j = 1 fī f j 2 2 A = joka tosiaankin vastaa avaruuden R 3 ympäri Esimerkki 3 Olkoon P = = 1 2 j ī = v 180 asteen kiertoa vektorin u suuntaisen suoran ja tarkastellaan sen määräämää lineaarikuvausta f : R 3 R 3 fx = P X Nyt detp = 1 joten P X = X jollakin X R 3 Nyt P X = X x y z = 7 x y z x y z = ja täten voidaan valita x y z = ts ū = 1 5 2ī+ j Valitaan lisäksi v = 1 5 ī 2 j ja w = k jolloin V = {ū v w} on ortonormaali ja oikeakätinen Lasketaan f:n matriisi Q tämän kannan suhteen Koska 7f v = 7 5 fī 2f j = 1 5 6ī + 2 j 3 k 4ī + 6 j + 12 k = 1 5 2ī 4 j 15 k niin 7f v = c v + d w 1 5 2ī 4 j 15 k = c 1 5 i 2 j d k c = 2 ja d = 3 5

17 ja näin ollen f v = 2 v w Siispä Q = 0 2/7 3 5/ /7 2/7 Täten f on kierto joka kiertää avaruuden R 3 vektorin ū suuntaisen suoran ympäri kulman arccos5/ verran vastapäivään Olkoon S avaruuden R 3 toisen asteen pinta jonka määräävä yhtälö on diagonaalimuotoa ts S : a + by 2 + cz 2 = 1 ekvivalentisti S : X T DX = 1 missä X = x y z ja D = a b c Havainnollistetaan animaatioiden avulla tällaisten pintojen kiertoa jonkin kiertoakselin ympäri Olkoon siis ū R 3 ja f α avaruuden R 3 kierto kulman α verran vektorin ū suuntaisen kiertoakselin ympäri Olkoon {ū v w} jokin ortonormaali oikeakätinen joukko Tämän kannan suhteen lineaarikuvauksen f α matriisi on Q α = cos α sin α 0 sin α cos α Olkoon M kannavaihdon {ī j k} {ū v w} matriisi ts ū = M1 0 0 T v = M0 1 0 T ū = M0 0 1 T Koska M on nyt ortonormaali niin M 1 = M T luonnollisen kannan {ī j k} suhteen on P α = MQ α M T 17 ja kierron f α matriisi Nyt U = P α X jos ja vain jos X = P T α U joten X T DX = 1 jos ja vain jos U T P α DP T α U = 1 Täten f α on R 3 :n kierto joka kuvaa pinnan S pinnaksi R α : X T P α DP T α X = 1 Esimerkki 4 Olkoon vaikkapa ū = 1 14 ī + 2 j + 3 k v = ī 3 j + k ja w = ī + 8 j 9 k Tässä animaatiossa yksivaippaista hypeboloidia S : 3y 2 + 5z 2 = 1 kierretään kulman α verran vektorin ū suuntaisen kiertoakselin ympäri kun 2 x y z 2 ja α kulkee toistuvasti arvosta 0 arvoon 62 2π askelpituudella 01 Tässä animaatiossa puolestaan kierretään kaksivaippaista hypeboloidia S : 3y 2 5z 2 = 1 saman kiertoakselin ympräri Tässä animaatiossa taasen kierrettävä objekti on ellipsoidi S : 2 + 3y 2 + 5z 2 = 1 kun 2 x y z 2 ja kiertoakseli on edelleen sama kuin edellä

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja 7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien

Lisätiedot

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI 6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Ortogonaalisen kannan etsiminen Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot

Lisätiedot

OMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA

OMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA 1 OMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA Olkoon x = (x 1,..., x n ) avaruuden R n piste (l. vektori). Vektori x samaistetaan n 1-matriisin (x 1 x 2... x n ) T kanssa, ts. voidaan yhtä hyvin kirjoittaa x1

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

(1.1) Ae j = a k,j e k.

(1.1) Ae j = a k,j e k. Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016 MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 7 Onko kuvaus F : R R, F(x 1,x = (x 1 +x,5x 1, x 1 +6x lineaarinen kuvaus? Jos on, niin määrää sen matriisi luonnollisen kannan suhteen Jos ei ole, niin

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on? Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Esimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt

Esimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt Esimerkki 4.4. Määrää matriisin 2 2 1 A = 1 3 1 2 4 3 ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt det(a λi ) = 1 + 2 λ 2 1 + 1 λ 1 λ 1 3 λ 1 = 1 3 λ 1 2 4 3 λ 2 4 3 λ 1 λ = 1 4 λ 1 = (1 λ)( 1)1+1 4 λ 1 2 6 3

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/310 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Similaarisuus. Määritelmä. Huom.

Similaarisuus. Määritelmä. Huom. Similaarisuus Määritelmä Neliömatriisi A M n n on similaarinen neliömatriisin B M n n kanssa, jos on olemassa kääntyvä matriisi P M n n, jolle pätee Tällöin merkitään A B. Huom. Havaitaan, että P 1 AP

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2.

Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2. HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2016 Harjoitus 3 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 29.8.2016 klo 13.15. Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162

Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162 Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/162 Kertausta Vektorin u = (u 1,u 2 ) R 2 pituus u = u 2 1 +u2 2 Vektorien u ja v = (v 1,v 2

Lisätiedot

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)

Lisätiedot

Matematiikka B2 - TUDI

Matematiikka B2 - TUDI Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2014 164/246 Kertausta:

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 6.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Kertausta: Kääntyvien matriisien lause Lause 1 Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä.

Lisätiedot

Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö

Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö Kevät 017 Luennot: Kerkko Luosto Muistiinpanot: Jesse Railo (013) ja Jussi Klemetti (017) 6 Kartioleikkaukset Vanhan ajan geometrian merkittävimpiä tuloksia

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa).

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa). NUMEERISET MENETELMÄT DEMOVASTAUKSET SYKSY 20.. (a) Absoluuttinen virhe: ε x x ˆx /7 0.4 /7 4/00 /700 0.004286. Suhteellinen virhe: ρ x x ˆx x /700 /7 /00 0.00 0.%. (b) Kahden desimaalin tarkkuus x ˆx

Lisätiedot

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus. 1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:

Lisätiedot

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon

Lisätiedot

Ortogonaaliset matriisit, määritelmä 1

Ortogonaaliset matriisit, määritelmä 1 , määritelmä 1 Määritelmä (a). Neliömatriisi Q on ortogonaalinen, jos Q T Q = I. Määritelmästä voidaan antaa samaa tarkoittavat, mutta erilaiselta näyttävät muodot: Määritelmä (b). n n neliömatriisi Q,

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.9.015 Reaalinen

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä

Lisätiedot

Vektoreiden virittämä aliavaruus

Vektoreiden virittämä aliavaruus Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

LINEAARIALGEBRA P. LUENTOMONISTE ja HARJOITUSTEHTÄVÄT

LINEAARIALGEBRA P. LUENTOMONISTE ja HARJOITUSTEHTÄVÄT LINEAARIALGEBRA II 802119P LUENTOMONISTE ja HARJOITUSTEHTÄVÄT syksy 2008 30 V SISÄTULOAVARUUKSISTA 1. Sisätulon määritelmä Tarkastellaan sisätulon määrittelyä varten kompleksilukujen joukkoa C = {x + iy

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1

Lisätiedot

Lineaarikuvaukset. 12. joulukuuta F (A r ) = F (A r ) r .(3) F (s) = s. (4) Skalaareille kannattaa määritellä lisäksi seuraavat tulot:

Lineaarikuvaukset. 12. joulukuuta F (A r ) = F (A r ) r .(3) F (s) = s. (4) Skalaareille kannattaa määritellä lisäksi seuraavat tulot: Lineaarikuvaukset 12. joulukuuta 2005 1 Yleistys multivektoreille Olkoon F lineaarikuvaus vektoriavaruudessa. Yleistetään F luonnollisella tavalla terille F (a 1 a n ) = F (a 1 ) F (a n ), (1) sekä terien

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Simo Jaakkola. Ortogonaalisuudesta

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Simo Jaakkola. Ortogonaalisuudesta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Simo Jaakkola Ortogonaalisuudesta Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Joulukuu 2015 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö JAAKKOLA, SIMO: Ortogonaalisuudesta

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka

Lisätiedot

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon

Lisätiedot

1. Normi ja sisätulo

1. Normi ja sisätulo Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 3 83 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni Normi ja sisätulo

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima Lineaarialgebra MATH.1040 / voima 1 Seuraavaksi määrittelemme kaksi vektoreille määriteltyä tuloa; pistetulo ja. Määritelmät ja erilaiset tulojen ominaisuudet saattavat tuntua, sekavalta kokonaisuudelta.

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016 Matriisialgebra harjoitukset, syksy 6 MATRIISIALGEBRA, s. 6, Ratkaisuja/ M.Hamina & M. Peltola 8. Olkoon 4 A 6. 4 Tutki, onko A diagonalisoituva. Jos on, niin määrää matriisi D T AT ja siihen liittyvä

Lisätiedot

Lineaarialgebra II P

Lineaarialgebra II P Lineaarialgebra II 89P Sisältö Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 8 3 Lineaarikuvaus 5 4 Ominaisarvo 5 Luku Vektoriavaruus Määritelmä.. Epätyhjä joukko V on vektoriavaruus, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:.

Lisätiedot

Esimerkki 19. Esimerkissä 16 miniminormiratkaisu on (ˆx 1, ˆx 2 ) = (1, 0).

Esimerkki 19. Esimerkissä 16 miniminormiratkaisu on (ˆx 1, ˆx 2 ) = (1, 0). Esimerkki 9 Esimerkissä 6 miniminormiratkaisu on (ˆx, ˆx (, 0 Seuraavaksi näytetään, että miniminormiratkaisuun siirtyminen poistaa likimääräisongelman epäyksikäsitteisyyden (mutta lisääntyvän ratkaisun

Lisätiedot

2 / :03

2 / :03 file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse / 8 76 3:3 Kysymys Pisteet,, Määritellään positiivisten reaalilukujen joukossa R + = {x R x > } yhteenlasku ja skalaarikertolasku seuraavasti:

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista 29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n

Lisätiedot

Tensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0

Tensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0 Tensorialgebroista Esitysteorian kesäopintopiiri, Turun yliopisto, 2012 Jyrki Lahtonen Olkoon k jokin skalaarikunta. Kerrataan k-algebran käsite: A on k-algebra, jos se on sekä rengas että vektoriavaruus

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2015 Harjoitus 4 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 862015 klo 1615 Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt QR-hajotelma ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto PNS-ongelma PNS-ongelma

Lisätiedot

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden

Lisätiedot

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla:

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla: 11 Determinantti Neliömatriisille voidaan laskea luku, joka kertoo muun muassa, onko matriisi kääntyvä vai ei Tätä lukua kutsutaan matriisin determinantiksi Determinantilla on muitakin sovelluksia, mutta

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma

Lisätiedot

tyyppi metalli puu lasi työ I II III metalli puu lasi työ

tyyppi metalli puu lasi työ I II III metalli puu lasi työ MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 29 ( 7 1 1 4 1 1. Olkoot, B = 1 5 2 5 3 Määrää 2A, B 2A, A T, ( 2A) T, (A T ) T. ), C = ( 1 ) 4 4 ja E = 7. 3 2. Olkoot A, B, C ja E kuten edellisessä tehtävässä.

Lisätiedot

Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa Ympyrän ja pallon ominaisuuksia

Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa Ympyrän ja pallon ominaisuuksia 10. Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa 10.1. Ympyrän ja pallon ominaisuuksia 446. Minkä käyrän muodostavat ne tason E 2 pisteet, joista pisteitä ( a,0) ja (a,0) yhdistävä jana (a > 0) näkyy 45

Lisätiedot