Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I"

Transkriptio

1 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19

2 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja mitä vielä oppimatta., 2/19

3 Kertausta: Matriisit a 11 a a 1n a 21 a a 2n A =... a m1 a m2... a mn Matriisi A on m n -matriisi eli sen tyyppi on m n. Rivillä i sarakkeessa j olevaa alkiota merkitään A(i, j). Kaikkien reaalikertoimisten m n -matriisien joukkoa merkitään R m n., 3/19

4 Kertausta: Matriisien laskutoimitukset Matriiseja voidaan laskea yhteen ja kertoa skalaareilla. Matriisikertolasku on hieman monimutkaisempi operaatio. Matriisipotenssi määritellään matriisikertolaskun avulla. Kaikissa laskutoimituksissa (skalaarikertolaskua lukuunottamatta) on tarkistettava, että matriisit ovat sopivaa tyyppiä., 4/19

5 Kertausta: Matriisien laskusääntöjä Lause 1 Seuraavat säännöt pätevät matriiseille A, B ja C sekä reaaliluvulle a, jos laskutoimitukset on määritelty: (a) A + B = B + A (b) A + (B + C) = (A + B) + C (c) A(BC) = (AB)C (d) A(B + C) = AB + AC (e) (A + B)C = AC + BC (f) a(ab) = (aa)b = A(aB) Huomaa, että yleisessä tapauksessa AB BA!, 5/19

6 Kertausta: Ykkösmatriisi Ykkösmatriisi: I n =. R n n Ykkösmatriiseja on eri kokoisia. Usein koko jätetään merkitsemättä: I n = I. Ykkösmatriisi on aina neliömatriisi. Ykkösmatriisi käyttäytyy matriisien kertolaskussa kuin luku 1: I m A = A ja AI n = A, 6/19

7 Transpoosi Määritelmä Oletetaan, että A on m n -matriisi. Sen transpoosi A on n m -matriisi, joka saadaan vaihtamalla matriisin A rivit ja sarakkeet keskenään. Esimerkiksi matriisin transpoosi on A = [ 1 3 ] A 1 5 = Matriisin A sanotaan olevan symmetrinen, jos A = A., 7/19

8 Käänteismatriisi Määritelmä Olkoon A neliömatriisi. Jos on olemassa matriisi B, jolle pätee AB = I ja BA = I, sanotaan, että A on kääntyvä ja B on matriisin A käänteismatriisi., 8/19

9 Esimerkki Matriisin A = käänteismatriisi on B = 1 0 1, sillä AB = = ja BA = = , 9/19

10 Tehtävä Onko jokin seuraavista matriiseista matriisin A = käänteismatriisi? [ ] B =, C = , D = , 10/19

11 Käänteismatriisien ominaisuuksia Jos matriisi A on kääntyvä, sen käänteismatriisille käytetään merkintää A 1. Käänteismatriisit vastaavat käänteislukuja. Kaikki ominaisuudet eivät kuitenkaan ole samoja! Lause 2 Matriisilla on korkeintaan yksi käänteismatriisi., 11/19

12 Käänteismatriisien ominaisuuksia Lause 3 Oletetaan, että matriisit A ja B ovat kääntyviä. Tällöin myös matriisit A 1 ja AB ovat kääntyviä. Niiden käänteismatriisit ovat seuraavat: (a) (A 1 ) 1 = A (b) (AB) 1 = B 1 A 1, 12/19

13 Luentotehtävä 1 Osoite: m.socrative.com Huone: Mikä seuraavista joukoista on eräs R 3 :n aliavaruus? (Tässä oli vahingossa kaksi oikeaa ratkaisua.) A {(1, 0, 1) + s( 1, 0, 1) + t(2, 4, 5) s, t R} B {(s + t, 2s t) s, t R} C {(v 1, v 2, v 3 ) R 3 v 1 = v 2 + v 3 } D {(v 1, v 2, v 3 ) R 3 v 1 = v 2 + v 3 + 1}, 13/19

14 Luentotehtävä 2 Mikä seuraavista ei kävisi vapauden määritelmäksi? A Yhtälöstä c 1 v c k v k = 0 saatavan yhtälöryhmän ratkaisu on yksikäsitteinen. B Yhtälö c 1 v c k v k = 0 pätee, jos c 1 = 0,..., c k = 0. C Jokainen w span( v 1,..., v k ) voidaan esittää vain yhdellä tavalla vektorien v 1,..., v k lineaarikombinaationa. D Nollavektori voidaan esittää vain yhdellä tavalla vektorien v 1,..., v k lineaarikombinaationa. E Yhtälöstä c 1 v c k v k = 0 saatavassa matriisissa on kerroinsarakkeiden määrä k korkeintaan yhtä suuri kuin rivien määrä n ja nollarivien määrä yhtä suuri kuin n k., 14/19

15 Sarakevektorit Avaruuden R n vektori (v 1, v 2,..., v n ) voidaan samastaa matriisin v 1 v 2. Rn 1 v n kanssa. Joukon R n 1 alkioita kutsutaan sarakevektoreiksi., 15/19

16 Esimerkki Vektoria v R n voidaan kertoa matriisilla A R m n. Lasketaan matriisin 2 4 A = ja vektorin v = ( 5, 3) tulo., 16/19

17 Matriisikertolasku ja lineaariset yhtälöryhmät Tutkitaan yhtälöryhmää a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Merkitään a 11 a 11 a 1n x 1 a 21 a 22 a 2n A =.., x = x 2. ja b = a m1 a m2 a mn x n b 1 b 2.. b m, 17/19

18 Matriisikertolasku ja lineaariset yhtälöryhmät Nähdään, että a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n A x =.. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n Yhtälöryhmä voidaan näin ollen kirjoittaa muodossa A x = b., 18/19

19 Kääntyvyyden vaikutus yhtälöryhmään Lause 4 Jos matriisi A on kääntyvä, yhtälöllä on A x = b täsmälleen yksi ratkaisu. Jos yhtälöryhmälle halutaan täsmälleen yksi ratkaisu, riittää tutkia kerroinmatriisia A., 19/19

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden

Lisätiedot

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia 9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä

Lisätiedot

Matriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n.

Matriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n. Matriisipotenssi Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: Määritelmä Oletetaan, että A on n n -matriisi (siis neliömatriisi) ja k

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 4.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Viimeiset harjoitukset on palautettava torstaina 13.6. Laskaripisteensä ja läsnäolonsa voi kukin tarkistaa

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä

Lisätiedot

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 6.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Kertausta: Kääntyvien matriisien lause Lause 1 Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä.

Lisätiedot

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaarinen yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, (1) voidaan esittää

Lisätiedot

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 23.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Käytännön asioita Ensimmäiset tehtävät olivat sujuneet hyvin. Kansilehdet on oltava mukana tehtäviä palautettaessa,

Lisätiedot

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä 1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x

Lisätiedot

Matematiikka B2 - TUDI

Matematiikka B2 - TUDI Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Ortogonaalisen kannan etsiminen Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,

Lisätiedot

Kurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa.

Kurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa. 7 Matriisilaskenta Kurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa. 7.1 Lineaariset yhtälöryhmät Yhtälöryhmät liittyvät tilanteisiin, joissa on monta tuntematonta

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1

Lisätiedot

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla:

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla: 11 Determinantti Neliömatriisille voidaan laskea luku, joka kertoo muun muassa, onko matriisi kääntyvä vai ei Tätä lukua kutsutaan matriisin determinantiksi Determinantilla on muitakin sovelluksia, mutta

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Matriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0

Matriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0 MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 22 Virittääkö vektorijoukko S vektoriavaruuden V, kun a V = R 3 ja S = {(1,0, 1,(2,0,4,( 5,0,2,(0,0,1} b V = P 2 (R ja S = {t1,t 2 1,t 2 t} ( ( 1 0 c

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä 7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan

Lisätiedot

Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi Matriisit, kertausta Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/81 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 )

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2014 Harjoitus 4 Ratkaisujen viimeinen palautuspäivä: pe 662014 klo 1930 Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun

Lisätiedot

Determinantit. Kaksirivinen determinantti. Aiheet. Kaksirivinen determinantti. Kaksirivinen determinantti. Kolmirivinen determinantti

Determinantit. Kaksirivinen determinantti. Aiheet. Kaksirivinen determinantti. Kaksirivinen determinantti. Kolmirivinen determinantti Determinantit 1 2 2-matriisin ( A = on det(a) = a 11 a 12 a 21 a 22 a 11 a 12 a 21 a 22 ) = a 11a 22 a 12 a 21. 1 2 2-matriisin on det(a) = Esim. Jos A = ( a 11 a 12 a 21 a 22 A = a 11 a 12 a 21 a 22 )

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Oppimistavoitematriisi

Oppimistavoitematriisi Oppimistavoitematriisi Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Arvosanaan 1 2 riittävät Arvosanaan 5 riittävät Yhtälöryhmät (YR) Osaan ratkaista ensimmäisen asteen yhtälöitä ja yhtälöpareja Osaan muokata

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi Matriisit, L20 Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio.

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

1 Kannat ja kannanvaihto

1 Kannat ja kannanvaihto 1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Kertaa tarvittaessa materiaalin lukuja 1 3 ja 9. Tarvitset myös luvusta 4 määritelmän 4.1.

Tehtäväsarja I Kertaa tarvittaessa materiaalin lukuja 1 3 ja 9. Tarvitset myös luvusta 4 määritelmän 4.1. HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 25.5.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Kertaa tarvittaessa materiaalin lukuja

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Oppimistavoitematriisi

Oppimistavoitematriisi Oppimistavoitematriisi Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Esitiedot Arvosanaan 1 2 riittävät Arvosanaan 3 4 riittävät Arvosanaan 5 riittävät Yhtälöryhmät (YR) Osaan ratkaista ensimmäisen asteen yhtälöitä

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2015 Harjoitus 4 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 862015 klo 1615 Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Lotta Oinonen ja Johanna Rämö 6. joulukuuta 2012 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos 2012 Sisältö 1 Avaruus R n 4 1 Avaruuksien R 2 ja R 3 vektorit.....................

Lisätiedot

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi Matriisit, L20 Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ( 0, 4, ( ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin (amer. kirjoissa

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Vektorien virittämä aliavaruus

Vektorien virittämä aliavaruus Vektorien virittämä aliavaruus Esimerkki 13 Mikä ehto vektorin w = (w 1, w 2, w 3 ) komponenttien on toteutettava, jotta w kuuluu vektoreiden v 1 = (3, 2, 1), v 2 = (2, 2, 6) ja v 3 = (3, 4, 5) virittämään

Lisätiedot

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut 2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Matriisitulo Determinantti

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Matriisitulo Determinantti Talousmatematiikan perusteet: Luento 1 Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Matriisitulo Determinantti Viime luennolta Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2

Lisätiedot

Vektoreiden virittämä aliavaruus

Vektoreiden virittämä aliavaruus Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä) Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Lineaarialgebra (muut ko)

Lineaarialgebra (muut ko) Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/103 Lineaarialgebra (muut ko) Tero Laihonen Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/103 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/310 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät

Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät LuK-tutkielma Jesse Salo 2309369 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sisältö Johdanto 2 1 Kongruensseista 3 1.1 Kongruenssin ominaisuuksia...................

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa I Jokke Häsä, Lotta Oinonen, Johanna Rämö 27. marraskuuta 2015 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Vektoriavaruuksien R 2 ja R 3 vektorit........................

Lisätiedot

x 2 x 3 x 1 x 2 = 1 2x 1 4 x 2 = 3 x 1 x 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili

x 2 x 3 x 1 x 2 = 1 2x 1 4 x 2 = 3 x 1 x 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili 6 4 2 x 2 x 3 15 10 5 0 5 15 5 3 2 1 1 2 3 2 0 x 2 = 1 2x 1 0 4 x 2 = 3 x 1 x 5 2 5 x 1 10 x 1 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili Sisältö

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Similaarisuus. Määritelmä. Huom.

Similaarisuus. Määritelmä. Huom. Similaarisuus Määritelmä Neliömatriisi A M n n on similaarinen neliömatriisin B M n n kanssa, jos on olemassa kääntyvä matriisi P M n n, jolle pätee Tällöin merkitään A B. Huom. Havaitaan, että P 1 AP

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.

Lisätiedot

Seuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117

Seuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Seuraava luento ti 31.10 on salissa XXII Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/117 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Talousmatematiikan perusteet: Luento 10 Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Lineaarikuvaus Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta, jossa käytetään

Lisätiedot

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa I Jokke Häsä, Lotta Oinonen, Johanna Rämö 9 heinäkuuta 2013 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Avaruuksien R 2 ja R 3 vektorit 4 11 Kaksiulotteisen

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:

Lisätiedot

Determinantti. Määritelmä

Determinantti. Määritelmä Determinantti Määritelmä Oletetaan, että A on n n-neliömatriisi. Merkitään normaaliin tapaan matriisin A alkioita lyhyesti a ij = A(i, j). (a) Jos n = 1, niin det(a) = a 11. (b) Muussa tapauksessa n det(a)

Lisätiedot

Determinantti. Määritelmä

Determinantti. Määritelmä Determinantti Määritelmä Oletetaan, että A on n n-neliömatriisi Merkitään normaaliin tapaan matriisin A alkioita lyhyesti a ij = A(i, j) (a) Jos n = 1, niin det(a) = a 11 (b) Muussa tapauksessa n det(a)

Lisätiedot

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen Informaatiotieteiden yksikkö Lineaarialgebra 1A Pentti Haukkanen Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen . 2 Sisältö 1 Matriisit, determinantit ja lineaariset yhtälöryhmät 4 1.1 Matriisit..............................

Lisätiedot

802118P Lineaarialgebra I (4 op)

802118P Lineaarialgebra I (4 op) 802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät 1 1 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT Muotoa 11 Lineaariset yhtälöryhmät (1) a 1 x 1 + a x + + a n x n b oleva yhtälö on tuntemattomien x 1,, x n lineaarinen yhtälö, jonka kertoimet ovat luvut a 1,,

Lisätiedot

802120P Matriisilaskenta (5 op)

802120P Matriisilaskenta (5 op) 802120P Matriisilaskenta (5 op) Marko Leinonen Matemaattiset tieteet Syksy 2016 1 / 220 Luennoitsija: Marko Leinonen marko.leinonen@oulu.fi MA333 Kurssilla käytetään Noppaa (noppa.oulu.fi) Luentomoniste

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 17.5.2017 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Martina Aaltonen, martina.aaltonen@helsinki.fi, 1/18 Siirry istumaan jonkun viereen. Kaikilla on

Lisätiedot

Muistutus: Matikkapaja ke Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta yms.

Muistutus: Matikkapaja ke Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta yms. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/139 Ensi viikon luennot salissa X Muistutus: Matikkapaja ke 14-16 Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta

Lisätiedot

Käänteismatriisin ominaisuuksia

Käänteismatriisin ominaisuuksia Käänteismatriisin ominaisuuksia Lause 1.4. Jos A ja B ovat säännöllisiä ja luku λ 0, niin 1) (A 1 ) 1 = A 2) (λa) 1 = 1 λ A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1 4) (A T ) 1 = (A 1 ) T. Tod.... Ortogonaaliset matriisit

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa I Jokke Häsä, Lotta Oinonen, Johanna Rämö 11. syyskuuta 2016 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Vektoriavaruuksien R 2 ja R 3 vektorit........................

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan. Juha Honkala 2017

Johdatus lineaarialgebraan. Juha Honkala 2017 Johdatus lineaarialgebraan Juha Honkala 2017 Sisällysluettelo 1 Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit 11 Lineaariset yhtälöryhmät 12 Matriisit 13 Matriisien alkeismuunnokset ja porrasmatriisit 14 Yhtälöryhmien

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa

Lisätiedot

Ratkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45

Ratkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45 Ratkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45 Tehtävä : Olkoot A, B, X R n n, a, b R n ja jokin vektorinormi. Kätetään vektorinormia vastaavasta operaattorinormista samaa merkintää. Nätä, että. a + b a b, 2. A

Lisätiedot

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159 Ensi viikon luennot salissa X Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/159 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 ) Skalaarilla

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen Informaatiotieteiden yksikkö Lineaarialgebra 1A Pentti Haukkanen Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen . 2 Sisältö 1 Matriisit, determinantit ja lineaariset yhtälöryhmät 4 1.1 Matriisin määritelmä.......................

Lisätiedot

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä 4. Ryhmät Tässä luvussa tarkastelemme laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimitukselta oletamme muutamia yksinkertaisia ominaisuuksia: Määritelmä 4.1. Laskutoimituksella varustettu joukko

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen Informaatiotieteiden yksikkö Lineaarialgebra 1A Pentti Haukkanen Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen . 2 Sisältö 1 Matriisit, determinantit ja lineaariset yhtälöryhmät 4 1.1 Matriisin määritelmä.......................

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

Aiheet. Kvadraattinen yhtälöryhmä. Kvadraattinen homogeeninen YR. Vapaa tai sidottu matriisi. Vapauden tutkiminen. Yhteenvetoa.

Aiheet. Kvadraattinen yhtälöryhmä. Kvadraattinen homogeeninen YR. Vapaa tai sidottu matriisi. Vapauden tutkiminen. Yhteenvetoa. Yhtälöryhmän ratkaisujen lukumäärä, L8 Esimerkki kvadraattinen Haluamme ratkaista n 4x + y z = x + y + z = 5 x + y + z = 4 4 x 4 + y x y z = + z 5 4 = 5 4 Esimerkki kvadraattinen Yhtälöryhmä on kvadraattinen,

Lisätiedot