MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48

Transkriptio

1 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo? Jos on, etsi sitä vastaava ominaisvektori. Ratkaisu: a) Vektori x C n, x on matriisin A C n n ominaisvektori, jos pätee jollakin λ C. Ax = λx Saadaan suoralla laskulla: = = Siis vektori 3 on matriisin 4 5 ominaisvektori Ominaisvektoria vastaava ominaisarvo on. 2 2 b) Mikäli λ = 3 on matriisin 3 2 ominaisarvo, niin pätee λ λ λ Saadaan alideterminanttikehitelmällä: λ λ λ = = ( 2) = ( 2 6) 2( 6) =

2 Siis λ = 3 on annetun matriisin ominaisarvo. Ominaisvektori saadaan ratkaisemalla vektori v yhtälöstä x x 2 x 3 { x 3x 3 = x 2 2x 3 = = λi v = : Jos x 3 = t, jossa t R ja t, niin saadaan [ x 2 = 2t, x = 3t. Tällöin ominaisarvoa λ = 3 3 vastaavaksi ominaisvektoriksi saadaan x = t. 2 [ 7 4 Tehtävä 2 (L): Laske matriisin A = ominaisarvot ja jotkin niitä vastaavat ominaisvektorit. Mitä nämä kertovat matriisin A esittämästä 3 lineaarikuvauksesta? Ratkaisu: Ominaisarvot saadaan laskemalla det(a λi 2 ) = : 7 λ 4 3 λ = (7 λ)( λ) + 2 = [ [ 6 4 x = 3 2 x 2 [ λ 2 6λ + 5 = λ = 3 ± 2 Ominaisarvoiksi saadaan siis λ = ja λ 2 = 5. Ominaisvektorit saadaan laskemalla vektori v i yhtälöstä (A λ i I) v i = : { 6x + 4x 2 = 3x 2x 2 = [ 2 v = 3 [ [ [ { 2 4 x 2x + 4x 2 = = 3 6 x 2 3x 6x 2 = [ 2 Jos x 2 = v 2 = Valitaan esimerkiksi x = 2: 2

3 [ [ 2 2 Ominaisvektoreita ovat siis esimerkiksi v = ja v 3 2 = lähtöavaruuden vektoreita ominaissuorien suuntaisesti, katso kuva.. Kuvauksessa skaalataan Kuva : Ylemmässä kuvassa näkyvät lähtöavaruuden kantavektorit, kuvauksen A ominaissuorat sekä lähtöavaruuden eräs osajoukko (keltaisella). Alemmassa kuvassa on näiden pisteiden kuvaukset kuvajoukolle. Kuvaus A skaalaa kaikkia lähtöavaruuden vektoreita ominaisvektoreiden suuntaisesti. Pisteet B ja D ovat ominaissuoralla v = (2 3) T eivätkä siirry kuvauksessa. Sen sijaan pisteet A ja C ovat ominaissuoralla v 2 = ( 2 ) T ja venyvät viisinkertaisesti. Muut lähtöavaruuden vektorit (esimerkiksi E ja F ) skaalautuvat ominaisvektoreiden mukaan. 3

4 Tehtävä 3 (P): Laske matriisin A = [ 3 5 ominaisarvot ja jotkin niitä vastaavat ominaisvek- 2 5 torit. Ratkaisu: Ominaisarvot saadaan laskemalla det(a λi 2 ) = : 3 λ λ = (3 λ)(5 λ) + = λ 2 8λ + 25 = λ = 4 ± 3i Ominaisarvoiksi saadaan siis λ = 4 3i ja λ 2 = 4 + 3i. Ominaisvektorit saadaan laskemalla vektori v i yhtälöstä (A λ i I) v i =. Ominaisarvolle λ = 4 3i saadaan: [ 3 (4 3i) (4 3i) [ x x 2 = [ (3i )x + 5x 2 = Valitaan esimerkiksi x = 5. Tällöin saadaan x 2 = 3i. Ominaisarvolle λ 2 = 4 + 3i saadaan: [ 3 (4 + 3i) (4 + 3i) [ x x 2 = [ ( + 3i)x 5x 2 = Valitaan esimerkiksi x = 5. Tällöin saadaan x 2 = + 3i. [ [ 5 Ominaisvektoreita ovat siis esimerkiksi v = ja v 3i 2 = 5 + 3i Tehtävä 4 (P): a) Oletetaan, että λ C on kääntyvän matriisin A ominaisarvo. Osoita, että λ ja että λ on matriisin A ominaisarvo. b) Osoita, että jos matriisi A 666 on nollamatriisi, niin matriisin A ainoa ominaisarvo on. (Tässä siis A k+ = A k A ja A = A.). 4

5 Ratkaisu: a) Koska neliömatriisi A on kääntyvä niin A on olemassa. Osoittaaksemme että λ tehdään vastaoletus λ =. Tällöin voidaan ratkaista ominaisvektori x seuraavasti: Ax = λx A (...) Ix = λa x x = A x x =. Määritelmän mukaan ominaisvektori ei kuitenkaan voi olla nollavektori. Koska x = on yhtälön ainoa ratkaisu, päätellään että λ. Olkoon nyt x eräs matriisin A ominaisarvoa λ vastaava ominaisvektori. Tällöin A x = A (x) = A ( λ λx) λ C, λ, λ C siten että λ λ = = λ A (λx) = λ A (Ax) määritelmä : Ax = λx = λ (A A)x = λ Ix = λ x Nyt matriisin A ominaisarvo on λ. b) Olkoon λ mikä tahansa A:n ominaisarvo ja v jokin sitä vastaava ominaisvektori. Tällöin pätee: Av = λv Yhtälö voidaan kertoa puolittain 665 kertaa matriisilla A: Tiedetään että A 666 = : A 666 v = A 665 λv. v = λa 665 v Koska v on matriisin A ominaisvektori, sen kertominen A:lla vastaa ominaisarvolla λ kertomista. Yhtälön oikea puoli saadaan näin ollen muotoon: v = λ 666 v λ 666 = λ = Näin ollen λ = on matriisin A ainoa ominaisarvo. 5

6 Tehtävä 5 (L): Mitkä ovat matriisin A = ominaisarvojen algebralliset ja geometriset kertaluvut? Ratkaisu: Ominaisarvon λ C algebrallisella kertaluvulla m a (λ) tarkoitetaan karakteristisen polynomin det(a λi) nollakohdan λ kertalukua. Ominaisarvon λ C geometrisella kertaluvulla m g (λ) puolestaan tarkoitetaan ominaisarvoa λ vastaavien ominaisvektorien virittämän vektoriavaruuden dimensiota. Matriisin A ominaisarvot saadaan selville ratkaisemalla karakteristisen polynomin det(a λi) nollakohdat: λ det(a λi) = 3 λ 4 3 λ = ( λ) 3 λ 3 λ 4 λ 3 λ 4 3 = ( λ) 2 ( 3 λ) + 3 4(3 + λ) = λ 3 λ 2 + λ 2 =. Tämän kolmannen asteen polynomin voi ratkaista joko koneratkaisimella (ei kokeessa) tai löytämällä ensimmäisen nollakohdan λ = 2 (esim. root_theorem), ja sitten jakamalla polynomin tekijällä (λ + 2) esimerkiksi polynomien jakokulmassa. Tällöin loput nollakohdat saadaan jäljelle jääneestä toisen asteen polynomista. Ratkaisuiksi saadaan siis λ = 2, λ 2 = + i 3 ja λ = i 3. Koska 3 3-matriisilla A 2 2 on kolme eri ominaisarvoa, niin ominaisarvojen algebrallinen kertaluku on yksi. Geometrinen kertaluku on aina pienempi tai yhtäsuuri kuin algebrallinen kertaluku, joten kaikkien ominaisarvojen geometrinen kertaluku on myös yksi. Yleisesti n n-matriisin ominaisarvojen λ algebrallisten kertalukujen m a (λ) summa on n. Lisäksi kunkin ominaisarvon λ geometriselle kertaluvulle m g (λ) pätee m g (λ) m a (λ) n. Toinen tapa: Jos polynomilla on moninkertainen nollakohta, myös sen derivaatalla on sama nollakohta (tarkista!). Derivoimalla karakteristista polynomia saadaan yhtälö 3λ 2 2λ + =, jonka ratkaisut ovat toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan mukaan ja /3. Kokeilemalla havaitaan, ettei kumpikaan ratkaisu ole karakteristisen polynomin nollakohta. Koska moninkertaisia nollakohtia ei siis ole, algebralliset kertaluvut ovat, ja koska m g (λ) m a (λ), myös geometriset kertaluvut ovat. 6

7 Tehtävä 6 (L): Osoita, että kolmiomatriisin ominaisarvot ovat sen diagonaalialkiot. Ratkaisu: Aloitetaan ominaisarvon määritelmästä: Ax = λx (A λi n )x = det(a λi n ) = Mikäli A on kolmiomatriisi, on myös (A λi n ) kolmiomatriisi, sillä vain diagonaalilla olevat alkiot muuttuvat. Tälläisen kolmiomatriisin determinantti on sen diagonaalialkioiden tulo. Tämä voidaan selittää alideterminanttikehitelmän avulla. Kun aloitamme alideterminanttikehitelmän teon alakolmiomatriisin ylimmältä riviltä (jossa kaikki paitsi ensimmäinen alkio ovat nollia), saamme det(a) = a det(a 2 n,2 n ). Sama päättely voidaan toistaa yhä pienemmille alakolmiomatriiseille, jolloin saadaan det(a) = Π n i=a ii. Yläkolmiomatriisin tapauksessa voidaan ensin ottaa transpoosi, sillä det(a) = det(a T ). Käyttämällä tätä sääntöä kolmiomatriisille (A λi n ) saadaan karakteristiseksi polynomiksi det(a λi n ) = (a λ) (a 22 λ) (a nn λ) =. Tämän polynomin nollakohdat ovat λ = a, λ 2 = a 22,, λ n = a nn, eli kolmiomatriisin ominaisarvot ovat sen diagonaalialkiot. Tehtävä 7 (P): Tarkastellaan kärjistä ja särmistä koostuvaa graafia, jonka kärjet on numeroitu kokonaisluvuin n. Tällöin graafin vierusmatriisi on n n-matriisi, jonka alkio a ij =, jos kärkien i ja j välillä on särmä, ja, jos ei ole. Olkoot λ i, i =... n, graafin vierusmatriisin A ominaisarvot. Tällöin 2 n i= λ2 i on graafin särmien lukumäärä ja 6 n i= λ3 i on graafin särmistä muodostuvien kolmioiden lukumäärä. Tarkista näiden faktojen paikkansapitävyys oheisen yksinkertaisen graafin tapauksessa: Ratkaisu: Muodostamme ensimmäiseksi vierusmatriisin: A = 7

8 Seuraavaksi selvitämme sen ominaisarvot: det(a λi) = λ 2 (λ 2 4) = Ominaisarvot saadaan siis λ,2 = ± ja λ 3,4 = ±2. λ λ λ λ Nyt voimme laskea särmien lukumäärän kaavan avulla: i= = n=4 λ 2 i = 2 2 ( ( 2) 2 ) = 4. Tämä täsmää graafin särmien lukumäärään. Lasketaan myös muodostuvien kolmioiden lukumäärä: n=4 λ 3 i = 6 6 ( ( 2) 3 ) =. i= Joten jälkimmäinenkin kaava pätee. Tehtävä 8 (P): Alla on annettu matriisi M, joka on erään graafin vierusmatriisi. Tee jompi kumpi (tai molemmat) seuraavista: i) Käyttäen Matlabia tai muuta matematiikkaohjelmaa apuna selvitä graafin särmien ja kolmioiden lukumäärät. ii) Piirrä graafi ja laske siitä särmien ja kolmioiden lukumäärät. M = Ratkaisu: i) Luodaan vierusmatriisi M Matlabiin ja selvitetään sen ominaisarvot: 8

9 >> M = [ ; ; ; ; ; ; ; ; ; >> e = eig(m) Tämä tuottaa vektorin: e = ( ) T Graafin särmien lukumäärä voidaan nyt laskea joko käsin tai käskyllä 2 sum(e.2 ), josta saadaan vastaukseksi 8. Kolmioiden lukumäärät voidaan vastaavasti laskea Käskyllä 6 sum(e.3 ), joka tuottaa vastaukseksi luvun 6. Tämäkin voidaan helposti tarkistaa käsin. Särmien lukumäärä voidaan toki laskea myös suoraan matriisista M komennolla sum(m(:))/2. Kolmioiden lukumäärä saadaan myös komennolla /6 trace(m M M). Tämä tulos voidaan perustella sillä, että matriisin M 3 ominaisarvot ovat matriisin M ominaisarvojen potensseja λ 3 i, ja matriisin jälki (trace) on ominaisarvojen summa. Toisaalta tulos voidaan ymmärtää myös niin, että matriisin M 3 alkio m ij antaa lukumäärän niille kolmen pituisille poluille, jotka alkavat solmusta i ja päättyvät solmuun j. Tällöin alkio m ii antaa lukumäärän kolmen pituisille sykleille, jotka alkavat ja päättyvät solmussa i, ja matriisin jälki on näiden diagonaalialkioiden summa. Kerroin /6 tulee siitä, että kukin kolmio tulee lasketuksi näin kuusi kertaa kolmio kun voidaan kiertää kahteen eri suuntaan aloittaen kolmesta eri solmusta. ii) Piirtämisen tuloksena voisi olla jotain tämän suuntaista: Kuva 2: Kuvasta voidaan laskea, että särmiä on juurikin 8 kappaletta. Samoin särmistä koostuvia kolmioita löytyy 6 kappaletta. 9