Ortogonaalisen kannan etsiminen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Ortogonaalisen kannan etsiminen"

Transkriptio

1 Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2, w 1 w 1, w 1 w 1 w 3 = v 3 v 3, w 1 w 1, w 1 w 1 v 3, w 2 w 2, w 2 w 2. w n = v n v n, w 1 w 1, w 1 w 1 v n, w 2 w 2, w 2 w 2 v n, w n 1 w n 1, w n 1 w n 1 LM2, Kesä /310

2 Tällöin ( w 1,..., w k ) on aliavaruuden V k ortogonaalinen kanta jokaisella k {1,..., n}. Erityisesti ( w 1,..., w n ) on sisätuloavaruuden V ortogonaalinen kanta. Jokaisesta ortogonaalisesta kannasta ( w 1,..., w k ) saadaan ortonormaali kanta (ū 1,..., ū k ) asettamalla kaikilla i {1, 2,..., k}. ū i = 1 w i w i LM2, Kesä /310

3 Ortogonaalisen kannan etsiminen Esimerkki 95 Merkitään v 1 = (1, 1, 0) ja v 2 = ( 2, 0, 1). Olkoon V = span( v 1, v 2 ). Etsi ortogonaalinen kanta aliavaruudelle V. Valitaan w 1 = v 1 = (1, 1, 0) w 2 = v 2 v 2 w 1 w 1 w 1 w 1 = v w 1 = v 2 + w 1 = ( 1, 1, 1). Jono ( w 1, w 2 ) on aliavaruuden V ortogonaalinen kanta. LM2, Kesä /310

4 Ortogonaalisen kannan etsiminen v 2 v 1 w2 w 1 w 2 w 1 LM2, Kesä /310

5 Esimerkki 96 Ortogonaalisen kannan etsiminen Etsi avaruudelle R 3 ortogonaalinen kanta, jonka yksi vektori on w 1 = (1, 2, 3). Valitaan aluksi esimerkiksi v 2 = (0, 1, 0) ja v 3 = (0, 0, 1). Tällöin jono ( w 1, v 2, v 3 ) on avaruuden R 3 kanta, sillä yhtälöllä c 1 w 1 + c 2 v 2 + c 3 v 3 = ū on tasan yksi ratkaisu riippumatta vektorista ū R 3. Ortogonalisoidaan kanta ( w 1, v 2, v 3 ): Valitaan w 1 = (1, 2, 3) w 2 = v 2 v 2 w 1 w 1 w 1 w 1 = v w 1 = = ( 1/7, 5/7, 3/7) w 2 = 7 w 2 = ( 1, 5, 3) LM2, Kesä /310

6 ja w 3 = v 3 v 3 w 1 w 1 w 1 w 1 v 3 w 2 w 2 w 2 w 2 = v w w 2 = = ( 3/10, 0, 1/10) w 3 = 10 w 3 = ( 3, 0, 1). Tällöin ( w 1, w 2, w 3 ) on avaruuden R 3 ortogonaalinen kanta. LM2, Kesä /310

7 Lauseen 94 todistus. Osoitetaan induktiolla, että jono ( w 1,..., w k ) on aliavaruuden V k ortogonaalinen kanta kaikilla k {1,..., n}. Alkuaskel: vektori w 1 = v 1 muodostaa aliavaruuden span( v 1 ) ortogonaalisen kannan. Ok. Induktio-oletus: jono ( w 1,..., w k ) on aliavaruuden V k ortogonaalinen kanta. Induktioväite: jono ( w 1,..., w k, w k+1 ) on aliavaruuden V k+1 ortogonaalinen kanta. LM2, Kesä /310

8 Induktioväitteen perustelu: 1. Jonon ( w 1,..., w k, w k+1 ) vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan: Määritelmän mukaan w k+1 = v k+1 v k+1, w 1 w 1, w 1 w 1 v k+1, w 2 w 2, w 2 w 2 v k+1, w k w k, w k w k. Induktio-oletuksen mukaan jono ( w 1,..., w k ) on aliavaruuden V k ortogonaalinen kanta, joten edellä w k+1 = v k+1 proj Vk ( v k+1 ) = perp Vk ( v k+1 ) V k. Näin w k+1 on kohtisuorassa kaikkia ortogonaalisen jonon ( w 1,..., w k ) vektoreita vastaan. LM2, Kesä /310

9 2. Jonon ( w 1,..., w k, w k+1 ) vektorit kuuluvat aliavaruuteen V k+1 : Induktio-oletuksen mukaan jono ( w 1,..., w k ) on aliavaruuden V k ortogonaalinen kanta, joten w 1,..., w k V k = span( v 1,..., v k ) span( v 1,..., v k, v k+1 ) = V k+1. Siis w 1,..., w k V k+1. Lisäksi määritelmän mukaan w k+1 on lineaarikombinaatio vektoreista v k+1, w 1,..., w k V k+1 ja V k+1 on aliavaruus, joten w k+1 V k+1. LM2, Kesä /310

10 3. Mikään jono ( w 1,..., w k, w k+1 ) vektoreista ei ole nollavektori: Induktio-oletuksen mukaan jono ( w 1,..., w k ) on ortogonaalinen, joten w i 0 kaikilla i {1,..., k}. Jos olisi w k+1 = 0, niin kohdan 1. mukaan 0 = v k+1 proj Vk ( v k+1 ) eli v k+1 = proj Vk ( v k+1 ) Tällöin v k+1 V k = span( v 1,..., v k ), mikä on ristiriidassa sen kanssa, että ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta ja siten vapaa. Siis w k+1 0. LM2, Kesä /310

11 4. Jono ( w 1,..., w k, w k+1 ) on aliavaruuden V k+1 kanta: Jono ( v 1,..., v k, v k+1 ) on vapaa (koska se on kannan B osajono) ja siten virittämänsä aliavaruuden V k+1 = span( v 1,..., v k, v k+1 ) kanta. Siis dim(v k+1 ) = k + 1. Kohdat osoittavat, että ( w 1,..., w k, w k+1 ) on ortogonaalinen jono aliavaruudessa V k+1. Siten se on vapaa lauseen 93 nojalla. On mahdollista osoittaa, että mikä tahansa oikean pituinen vapaa jono on kanta. Siten k + 1 vektorista koostuva vapaa jono ( w 1,..., w k, w k+1 ) on aliavaruuden V k+1 kanta. LM2, Kesä /310

12 Kohtisuora komplementti Lause 97 Oletetaan, että V on äärellisulotteinen sisätuloavaruus ja W sen aliavaruus. Tällöin dim(w ) + dim(w ) = dim(v ). Todistus. Oletetaan, että ( w 1,..., w k ) on aliavaruuden W ortogonaalinen kanta ja että ( v 1,..., v l ) on aliavaruuden W ortogonaalinen kanta. Tällaiset kannat ovat olemassa lauseen 94 nojalla. Osoitetaan, että ( w 1,..., w k, v 1,..., v l ) on avaruuden V kanta, mikä todistaa väitteen. LM2, Kesä /310

13 Havaitaan, että w i, v j = 0 kaikilla i {1,..., k} ja j {1,..., l}, sillä w i W ja v j W. Näin jono ( w 1,..., w k, v 1,..., v l ) on ortogonaalinen ja siten vapaa lauseen 93 nojalla. Oletetaan, että ū V. Lauseen 92 mukaan on olemassa yksi sellainen vektori w W ja yksi sellainen vektori w W, että ū = w + w. Vektori w W voidaan kirjoittaa kantavektorien ( w 1,..., w k ) lineaarikombinaatiota ja vektori w W voidaan kirjoittaa kantavektorien ( v 1,..., v l ) lineaarikombinaationa, joten vektori ū voidaan kirjoittaa jonon ( w 1,..., w k, v 1,..., v l ) vektorien lineaarikombinaationa. Siis span( w 1,..., w k, v 1,..., v l ) = V. Näin ollen ( w 1,..., w k, v 1,..., v l ) on avaruuden V kanta. Siis dim(v ) = k + l = dim(w ) + dim(w ). LM2, Kesä /310

14 Kertausta: ortonormaali kanta Vektorin koordinaatit ortonormaalin kannan suhteen on helppo määrittää: Lause 98 Oletetaan, että B = (ū 1,..., ū k ) on sisätuloavaruuden V ortonormaali kanta. Oletetaan, että v V. Tällöin vektorin v koordinaatit kannan B suhteen ovat v, ū 1, v, ū 2,..., v, ū k eli v = v, ū 1 ū 1 + v, ū 2 ū v, ū k ū k. LM2, Kesä /310

15 Ortogonaalinen kanta Vastaavasti voidaan osoitaa seuraava lause: Lause 99 Oletetaan, että B = ( w 1,..., w k ) on sisätuloavaruuden V ortogonaalinen kanta. Oletetaan, että v V. Tällöin vektorin v koordinaatit kannan B suhteen ovat v, w 1 w 1, w 1,..., v, w k w k, w k eli v = v, w 1 w 1, w 1 w 1 + v, w 2 w 2, w 2 w v, w k w k, w k w k. LM2, Kesä /310

16 Ortogonaalinen matriisi Määritelmä Neliömatriisi Q, jonka sarakkeet muodostavat ortonormaalin jonon, on ortogonaalinen matriisi. Esimerkki 100 Matriisi Q = on ortogonaalinen, sillä sen sarakkeiden jono on (ē 3, ē 1, ē 2 ). LM2, Kesä /310

17 Ortogonaalinen matriisi Lause 101 Oletetaan, että Q on neliömatriisi. Matriisi Q on ortogonaalinen, jos ja vain jos Q T Q = I. Todistus. Tarkastellaan tulon Q T Q alkiota (i, j). Se on saatu laskemalla matriisin Q T rivin i ja matriisin Q sarakkeen j pistetulo eli matriisin Q sarakkeiden i ja j pistetulo. : Oletetaan, että matriisi Q on ortogonaalinen. Tällöin sen sarakkeiden jono on ortonormaali, joten Siis Q T Q = I. (Q T Q)(i, j) = { 0 jos i j; 1 jos i = j. LM2, Kesä /310

18 : Oletetaan, että Q T Q = I. Tällöin (Q T Q)(i, j) = { 0 jos i j; 1 jos i = j. Tämä tarkoittaa, että matriisin Q sarakkeiden i ja j pistetulo on 0, jos i j, ja 1, jos i = j. Siis matriisin Q sarakkeiden jono on ortonormaali eli matriisi Q on ortogonaalinen. LM2, Kesä /310

19 Ortogonaalinen matriisi Lause 102 Neliömatriisi Q on ortogonaalinen, jos ja vain jos Q on kääntyvä ja Q 1 = Q T. Todistus. : Oletetaan, että Q on kääntyvä ja Q 1 = Q T. Tällöin Q T Q = Q 1 Q = I, joten matriisi Q on ortogonaalinen lauseen 101 nojalla. LM2, Kesä /310

20 : Oletetaan, että Q on ortogonaalinen. Tällöin lauseen 101 nojalla Q T Q = I. Kertomalla yhtälöä Q x = 0 vasemmalta matriisilla Q T saadaan Q T Q x = 0 eli I x = 0 eli x = 0. Yhtälöllä Q x = 0 on siis ainoastaan triviaaliratkaisu x = 0, joten matriisi Q on kurssin Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I tietojen mukaan kääntyvä. Kertomalla yhtälöä Q T Q = I oikealta käänteismatriisilla Q 1 saadaan Q T = Q 1. LM2, Kesä /310

21 Ortogonaalinen diagonalisointi Määritelmä Neliömatriisi A on ortogonaalisesti diagonalisoituva, jos on olemassa sellainen ortogonaalinen matriisi Q ja sellainen lävistäjämatriisi D, että Q T AQ = D. Lause 103 Oletetaan, että A on neliömatriisi. Matriisi A on ortogonaalisesti diagonalisoituva, jos ja vain jos A on symmetrinen. LM2, Kesä /310

22 Lauseen 103 todistuksen osa. : Oletetaan, että A on ortogonaalisesti diagonalisoituva. Tällöin on olemassa ortogonaalinen matriisi Q ja lävistäjämatriisi D, joilla Q T AQ = D. Ortogonaalinen matriisi Q on kääntyvä ja Q 1 = Q T, joten kertomalla yhtälöä Q T AQ = D vasemmalta matriisilla Q ja oikealta matriisilla Q T saadaan A = QDQ T. Siten transpoosin laskusääntöjen mukaan A T = (QDQ T ) T = (DQ T ) T Q T = (Q T ) T D T Q T = QD T Q T = QDQ T = A. Huomaa, että lävistäjämatriisilla D pätee D T = D. Siis A on symmetrinen. LM2, Kesä /310

23 : Tämä suunta on vaikeampi ja jätetään todistamatta. LM2, Kesä /310

24 Symmetristen matriisien ominaisvektorit Lauseessa 60 osoitettiin, että matriisin mitkä tahansa eri ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat lineaarisesti riippumattomia. Symmetrisillä matriiseilla mitkä tahansa eri ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat jopa ortogonaaliset: Lause 104 Oletetaan, että matriisi A on symmetrinen. Oletetaan, että λ 1 ja λ 2 ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1 ja v 2 ovat jotkin niitä vastaavat ominaisvektorit. Tällöin v 1 v 2. LM2, Kesä /310

25 Lauseen 104 todistus. Havaitaan, että jos ū, w R n, niin ū w = u 1 w 1 + u 2 w u n w n w 1 w 2 ] = [u 1 u 2... u n. = ūt w. Siis vektoreiden pistetuloa voi ajatella myös tietynlaisena matriisitulona. w n LM2, Kesä /310

26 Oletuksesta seuraa, että A v 1 = λ 1 v 1 ja A v 2 = λ 2 v 2. Käyttämällä tätä ja äskeistä havaintoa sekä matriisin A symmetrisyyttä saadaan λ 1 ( v 1 v 2 ) = (λ 1 v 1 ) v 2 = (A v 1 ) v 2 = (A v 1 ) T v 2 = ( v T 1 A T ) v 2 = ( v T 1 A) v 2 = v T 1 (A v 2 ) = v 1 (A v 2 ) = v 1 (λ 2 v 2 ) = λ 2 ( v 1 v 2 ). Siten λ 1 ( v 1 v 2 ) λ 2 ( v 1 v 2 ) = 0 eli (λ 1 λ 2 )( v 1 v 2 ) = 0. Ominaisarvot λ 1 ja λ 2 eivät ole sama, joten λ 1 λ 2 0. Siten v 1 v 2 = 0 eli v 1 v 2. LM2, Kesä /310

27 Ortogonaalinen diagonalisointi Esimerkki 105 Diagonalisoi ortogonaalisesti matriisi A = Huomataan, että matriisi A on symmetrinen, joten se voidaan diagonalisoida ortogonaalisesti lauseen 103 nojalla. LM2, Kesä /310

28 1. Määritetään matriisin A ominaisarvot: Karakteristinen polynomi on 2 λ 1 1 det(a λi) = 1 2 λ λ 2 λ 1 = (2 λ) 1 2 λ λ λ 1 1 = = (4 λ)(λ 1) 2. Siis det(a λi) = 0 (4 λ)(λ 1) 2 = 0 λ = 4 λ = 1. LM2, Kesä /310

29 2. Ominaisarvoja vastaavat ominaisavaruudet: Ominaisarvoa λ 1 = 4 vastaava ominaisavaruus on V 4 = { v R 3 A v = 4 v }. Ratkaistaan yhtälö A x = 4 x eli yhtälö (A 4I) x = 0: Havaitaan, että x 3 on vapaa muuttuja, merkitään x 3 = t R. Tällöin ratkaisut ovat x = (t, t, t), missä t R. Siis V 4 = { t(1, 1, 1) t R } = span ( (1, 1, 1) ). LM2, Kesä /310

30 Ominaisarvoa λ 2 = 1 vastaava ominaisavaruus on V 1 = { v R 3 A v = v }. Ratkaistaan yhtälö A x = x eli yhtälö (A I) x = 0: Havaitaan, että x 2 ja x 3 ovat vapaita muuttujia, merkitään x 2 = s, x 3 = t (s, t R). Tällöin ratkaisut ovat x = ( s t, s, t), missä s, t R. Siis V 1 = { s( 1, 1, 0) + t( 1, 0, 1) s, t R } = span ( ( 1, 1, 0), ( 1, 0, 1) ). LM2, Kesä /310

31 3. Tarvitaan kolme ominaisvektoria, joiden jono on ortonormaali. Edellä havaittiin, että matriisin A ominaisavaruudet ovat V 1 = span ( ( 1, 1, 0), ( 1, 0, 1) ) ja V 4 = span ( (1, 1, 1) ). Lisäksi vektorit v 1 = ( 1, 1, 0) ja v 2 = ( 1, 0, 1) ovat lineaarisesti riippumattomat, joten ne muodostavat ominaisavaruuden V 1 kannan. Ortogonalisoidaan tämä kanta Gramin-Schmdtin menetelmällä: Valitaan w 1 = v 1 = ( 1, 1, 0), w 2 = v 2 v 2 w 1 w 1 w 1 w 1 = v w 1 = ( 1/2, 1/2, 1) ja w 2 = 2 w 2 = ( 1, 1, 2). Jono ( w 1, w 2 ) on ominaisavaruuden V 1 ortogonaalinen kanta ja siten w 1 ja w 2 ovat matriisin A ominaisarvoon 1 liittyviä ominaisvektoreita. LM2, Kesä /310

32 Matriisi A on symmetrinen, joten sen eri ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan lauseen 104 nojalla. Siten ominaisavaruuden V 1 ortogonaalisen kannan ( w 1, w 2 ) vektorit ovat molemmat kohtisuorassa ominaisavaruuden V 4 kantavektoria (1, 1, 1) vastaan. Valitaan ū 1 = 1 w 1 w 1 = 1 2 ( 1, 1, 0) ū 2 = 1 w 2 w 2 = 1 ( 1, 1, 2) ū 3 = (1, 1, 1) = (1, 1, 1). (1, 1, 1) 3 Tällöin (ū 1, ū 2, ū 3 ) on matriisin A ominaisvektoreista muodostuva ortonormaali jono. LM2, Kesä /310

33 4. 5. Ominaisvektoreiden muodostama jono (ū 1, ū 2, ū 3 ) on ortonormaali, joten se on vapaa. Merkitään ] 1/ 2 1/ 6 1/ 3 Q = [ū 1 ū 2 ū 3 = 1/ 2 1/ 6 1/ 3 0 2/ 6 1/ D = ja Tällöin lauseen 69 todistuksen mukaan Q on kääntyvä ja Q 1 AQ = D. Lisäksi Q on ortogonaalinen matriisi (sen sarakkeiden jono on ortonormaali), joten lauseen 101 mukaan Q 1 = Q T. Siten Q T AQ = D. LM2, Kesä /310

34 Schwarzin epäyhtälö Lause 106 (Schwarzin epäyhtälö) Oletetaan, että V on sisätuloavaruus ja v, w V. Tällöin v, w v w. Todistus. Oletetaan ensin, että w = 0. Tällöin v, w = 0 ja w = 0, joten väite pätee muodossa 0 0. LM2, Kesä /310

35 Oletetaan sitten, että w 0. Merkitään W = span( w). Tällöin 0 v proj W ( v), v proj W ( v) = w, v w, v v w, v w, w w, w w = v, v = v 2 = v 2 v, w w, w v, w v, w w, w v, w 2 v, w 2 v, w 2 + w 2 w 2 w 2 v, w 2 w 2. v, w 2 w, v + w, w w, w 2 LM2, Kesä /310

36 Saadusta epäyhtälöstä 0 v 2 v, w 2 w 2 seuraa, että v, w 2 v 2 w 2. Nyt voidaan päätellä, että v, w = v, w 2 v 2 w 2 = v w. LM2, Kesä /310

37 Kolmioepäyhtälö Lause 107 (Kolmioepäyhtälö) Oletetaan, että V on sisätuloavaruus ja v, w V. Tällöin v + w v + w. Todistus. Laskemalla saadaan v + w 2 = v + w, v + w =... = v v, w + w 2 v v, w + w 2. LM2, Kesä /310

38 Schwarzin epäyhtälön nojalla v v, w + w 2 v v w + w 2 = ( v + w ) 2. Yhdistämällä edelliset päättelyt saadaan v + w 2 ( v + w ) 2. Koska normit ovat positiivisia, tästä voidaan päätellä, että v + w v + w. LM2, Kesä /310

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Similaarisuus. Määritelmä. Huom.

Similaarisuus. Määritelmä. Huom. Similaarisuus Määritelmä Neliömatriisi A M n n on similaarinen neliömatriisin B M n n kanssa, jos on olemassa kääntyvä matriisi P M n n, jolle pätee Tällöin merkitään A B. Huom. Havaitaan, että P 1 AP

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2014 164/246 Kertausta:

Lisätiedot

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa. LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.

Lisätiedot

Vektorien virittämä aliavaruus

Vektorien virittämä aliavaruus Vektorien virittämä aliavaruus Esimerkki 13 Mikä ehto vektorin w = (w 1, w 2, w 3 ) komponenttien on toteutettava, jotta w kuuluu vektoreiden v 1 = (3, 2, 1), v 2 = (2, 2, 6) ja v 3 = (3, 4, 5) virittämään

Lisätiedot

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2014 Harjoitus 4 Ratkaisujen viimeinen palautuspäivä: pe 662014 klo 1930 Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä) Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä

Lisätiedot

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2015 Harjoitus 4 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 862015 klo 1615 Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 6.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Kertausta: Kääntyvien matriisien lause Lause 1 Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä.

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2.

Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2. HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2016 Harjoitus 3 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 29.8.2016 klo 13.15. Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä 7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan

Lisätiedot

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja 7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien

Lisätiedot

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006 Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi / kertaus

Matemaattinen Analyysi / kertaus Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

Vektoreiden virittämä aliavaruus

Vektoreiden virittämä aliavaruus Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

Esimerkki 19. Esimerkissä 16 miniminormiratkaisu on (ˆx 1, ˆx 2 ) = (1, 0).

Esimerkki 19. Esimerkissä 16 miniminormiratkaisu on (ˆx 1, ˆx 2 ) = (1, 0). Esimerkki 9 Esimerkissä 6 miniminormiratkaisu on (ˆx, ˆx (, 0 Seuraavaksi näytetään, että miniminormiratkaisuun siirtyminen poistaa likimääräisongelman epäyksikäsitteisyyden (mutta lisääntyvän ratkaisun

Lisätiedot

Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo

Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Antti Rasila 2016 Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Jos {v 1, v 2,..., v k } on äärellisulotteisen vektoriavaruuden V lineaarisesti riippumaton

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

(1.1) Ae j = a k,j e k.

(1.1) Ae j = a k,j e k. Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt QR-hajotelma ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto PNS-ongelma PNS-ongelma

Lisätiedot

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI 6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot

Lisätiedot

Lineaarialgebra II P

Lineaarialgebra II P Lineaarialgebra II 89P Sisältö Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 8 3 Lineaarikuvaus 5 4 Ominaisarvo 5 Luku Vektoriavaruus Määritelmä.. Epätyhjä joukko V on vektoriavaruus, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:.

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 23.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Käytännön asioita Ensimmäiset tehtävät olivat sujuneet hyvin. Kansilehdet on oltava mukana tehtäviä palautettaessa,

Lisätiedot

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

Oppimistavoitematriisi

Oppimistavoitematriisi Oppimistavoitematriisi Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Esitiedot Arvosanaan 1 2 riittävät Arvosanaan 3 4 riittävät Arvosanaan 5 riittävät Yhtälöryhmät (YR) Osaan ratkaista ensimmäisen asteen yhtälöitä

Lisätiedot

Lineaarialgebra, kertausta aiheita

Lineaarialgebra, kertausta aiheita Lineaarialgebra, kertausta aiheita Matriisitulo käänteismatriisi determinantin kehittäminen determinantin ominaisuudet adjungaatti ja Cramerin kaavat yhtälöryhmän eri esitystavat Gauss-Jordan -algoritmi

Lisätiedot

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/310 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Oppimistavoitematriisi

Oppimistavoitematriisi Oppimistavoitematriisi Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Arvosanaan 1 2 riittävät Arvosanaan 5 riittävät Yhtälöryhmät (YR) Osaan ratkaista ensimmäisen asteen yhtälöitä ja yhtälöpareja Osaan muokata

Lisätiedot

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella

Lisätiedot

Ortogonaaliset matriisit, määritelmä 1

Ortogonaaliset matriisit, määritelmä 1 , määritelmä 1 Määritelmä (a). Neliömatriisi Q on ortogonaalinen, jos Q T Q = I. Määritelmästä voidaan antaa samaa tarkoittavat, mutta erilaiselta näyttävät muodot: Määritelmä (b). n n neliömatriisi Q,

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v. Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 25. lokakuuta 2015 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus... 111 16 Aliavaruus... 117 16.1 Vektoreiden

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Esimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt

Esimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt Esimerkki 4.4. Määrää matriisin 2 2 1 A = 1 3 1 2 4 3 ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt det(a λi ) = 1 + 2 λ 2 1 + 1 λ 1 λ 1 3 λ 1 = 1 3 λ 1 2 4 3 λ 2 4 3 λ 1 λ = 1 4 λ 1 = (1 λ)( 1)1+1 4 λ 1 2 6 3

Lisätiedot

OMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA

OMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA 1 OMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA Olkoon x = (x 1,..., x n ) avaruuden R n piste (l. vektori). Vektori x samaistetaan n 1-matriisin (x 1 x 2... x n ) T kanssa, ts. voidaan yhtä hyvin kirjoittaa x1

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Simo Jaakkola. Ortogonaalisuudesta

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Simo Jaakkola. Ortogonaalisuudesta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Simo Jaakkola Ortogonaalisuudesta Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Joulukuu 2015 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö JAAKKOLA, SIMO: Ortogonaalisuudesta

Lisätiedot

Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162

Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162 Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/162 Kertausta Vektorin u = (u 1,u 2 ) R 2 pituus u = u 2 1 +u2 2 Vektorien u ja v = (v 1,v 2

Lisätiedot

Ratkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45

Ratkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45 Ratkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45 Tehtävä : Olkoot A, B, X R n n, a, b R n ja jokin vektorinormi. Kätetään vektorinormia vastaavasta operaattorinormista samaa merkintää. Nätä, että. a + b a b, 2. A

Lisätiedot

Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47

Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 MS-C34 Lineaarialgebra, II/7 Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 Tehtävä : Olkoot M R symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi (i) Näytä, että m > ja m > (ii) Etsi Eliminaatiomatriisi E R siten, että [

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Lotta Oinonen ja Johanna Rämö 6. joulukuuta 2012 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos 2012 Sisältö 1 Avaruus R n 4 1 Avaruuksien R 2 ja R 3 vektorit.....................

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus Lineaarikuvaus Ominaisarvo 0-68

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus Lineaarikuvaus Ominaisarvo 0-68 SISÄLTÖ Sisältö pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 0-1 2 Sisätuloavaruus 0-20 3 Lineaarikuvaus 0-41 4 Ominaisarvo 0-68 5 Esimerkkejä 0-88 1. Lineaariavaruus eli V 1 Lineaariavaruus

Lisätiedot

Matriisihajotelmat. MS-A0007 Matriisilaskenta. 5.1 Diagonalisointi. 5.1 Diagonalisointi

Matriisihajotelmat. MS-A0007 Matriisilaskenta. 5.1 Diagonalisointi. 5.1 Diagonalisointi MS-A0007 Matriisilaskenta 5. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 25.11.2015 Laskentaongelmissa käsiteltävät matriisit ovat tyypillisesti valtavia.

Lisätiedot

Monissa käytännön ongelmissa ei matriisiyhtälölle Ax = b saada ratkaisua, mutta approksimaatio on silti käyttökelpoinen.

Monissa käytännön ongelmissa ei matriisiyhtälölle Ax = b saada ratkaisua, mutta approksimaatio on silti käyttökelpoinen. Pns ratkaisu (Kr. 20.5, Lay 6.5 C-II/KP-II, 20, Kari Eloranta Monissa käytännön ongelmissa ei matriisiyhtälölle Ax = b saada ratkaisua, mutta approksimaatio on silti käyttökelpoinen. Määritelmä Jos A on

Lisätiedot

Matematiikka B2 - TUDI

Matematiikka B2 - TUDI Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaarinen yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, (1) voidaan esittää

Lisätiedot

i=1 Näistä on helppo näyttää ominaisuudet (1)-(4). Ellei toisin mainita, käytetään R n :ssä

i=1 Näistä on helppo näyttää ominaisuudet (1)-(4). Ellei toisin mainita, käytetään R n :ssä Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 003. 8.0.003 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni.. Normi

Lisätiedot

LINEAARIALGEBRA A 2016 TOMI ALASTE EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF

LINEAARIALGEBRA A 2016 TOMI ALASTE EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF LINEAARIALGEBRA 83A 6 EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF TOMI ALASTE SISÄLTÖ Sisältö Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 3 Lineaarikuvaus 4 Ominaisarvo 34 5 Esimerkkejä 44 . Lineaariavaruus

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016 Matriisialgebra harjoitukset, syksy 6 MATRIISIALGEBRA, s. 6, Ratkaisuja/ M.Hamina & M. Peltola 8. Olkoon 4 A 6. 4 Tutki, onko A diagonalisoituva. Jos on, niin määrää matriisi D T AT ja siihen liittyvä

Lisätiedot

Kompaktien operaattoreiden spektraaliteoriasta

Kompaktien operaattoreiden spektraaliteoriasta Kompaktien operaattoreiden spektraaliteoriasta Lauri Horttanainen Matematiikan Pro Gradu -tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2008 Sisältö Johdanto 2 1. Sisätuloavaruuden

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

Neliömatriisit A ja B ovat similaareja toistensa suhteen, A B, jos on olemassa kääntyvä matriisi P, jolle pätee A = PBP 1.

Neliömatriisit A ja B ovat similaareja toistensa suhteen, A B, jos on olemassa kääntyvä matriisi P, jolle pätee A = PBP 1. Similaarisuus 1 (Kreyszig 8.4, Lay 5.2) Aalto MS-C1340, 2014, Kari Eloranta Määritelmä Neliömatriisit A ja B ovat similaareja toistensa suhteen, A B, jos on olemassa kääntyvä matriisi P, jolle pätee A

Lisätiedot

2 / :03

2 / :03 file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse / 8 76 3:3 Kysymys Pisteet,, Määritellään positiivisten reaalilukujen joukossa R + = {x R x > } yhteenlasku ja skalaarikertolasku seuraavasti:

Lisätiedot

Demorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104

Demorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Ensi viikolla luennot salissa X Torstaina 7.12. viimeiset demot (12.12. ja 13.12. viimeiset luennot). Torstaina 14.12 on välikoe 2, muista ilmoittautua! Demorastitiedot

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

1. Normi ja sisätulo

1. Normi ja sisätulo Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 3 83 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni Normi ja sisätulo

Lisätiedot

LINEAARIALGEBRA P. LUENTOMONISTE ja HARJOITUSTEHTÄVÄT

LINEAARIALGEBRA P. LUENTOMONISTE ja HARJOITUSTEHTÄVÄT LINEAARIALGEBRA II 802119P LUENTOMONISTE ja HARJOITUSTEHTÄVÄT syksy 2008 30 V SISÄTULOAVARUUKSISTA 1. Sisätulon määritelmä Tarkastellaan sisätulon määrittelyä varten kompleksilukujen joukkoa C = {x + iy

Lisätiedot

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus. 1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:

Lisätiedot

Singulaariarvohajotelma ja pseudoinverssi

Singulaariarvohajotelma ja pseudoinverssi HELSINGIN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Niko Kaitarinne Singulaariarvohajotelma ja pseudoinverssi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Helmikuu 01 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

HILBERTIN AVARUUKSISTA

HILBERTIN AVARUUKSISTA HILBERTIN AVARUUKSISTA Pro gradu -tutkielma Hannariikka Lehtiniemi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Jyväskylän yliopisto syksy 2014 TIIVISTELMÄ Ääretönulotteiset avaruudet ovat monilta ominaisuuksiltaan

Lisätiedot

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa

Lisätiedot