Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit

Transkriptio

1 Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaarinen yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m, (1) voidaan esittää matriisien avulla merkitsemällä a 11 a 12 a 1n x 1 a 21 a 22 a 2n A =.., x = x 2. ja b = a m1 a m2 a mn x n b 1 b 2.. b m LM1, Kesä /53

2 Matriisia A kutsutaan yhtälöryhmän kerroinmatriisiksi. Laskemalla matriisitulo havaitaan a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n A x =.. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n Matriisissa A x näkyy siis yhtälöryhmän vasen puoli. Yhtälöryhmä voidaan näin ollen kirjoittaa muodossa A x = b. Huom. Jo aikaisemmin yhtälöryhmiä on ratkaistu tekemällä alkeisrivitoimituksia täydennetylle matriisille [A b]. LM1, Kesä /53

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja kääntyvät matriisit Lause 6 Jos matriisi A on kääntyvä, niin yhtälöllä on A x = b täsmälleen yksi ratkaisu. LM1, Kesä /53

4 Lauseen 6 perustelu: Oletetaan, että matriisi A on kääntyvä. Tällöin on olemassa käänteismatriisi A 1. Tarkasteltavan yhtälön yksi ratkaisu on A 1 b, sillä A(A 1 b) = (AA 1 ) b = I b = b. Siis yhtälöllä on ainakin yksi ratkaisu. Oletetaan, että ȳ on tarkasteltavan yhtälön ratkaisu. Tällöin Aȳ = b. Kerrotaan yhtälön molemmat puolet matriisilla A 1, jolloin saadaan A 1 (Aȳ) = A 1 b ja edelleen ȳ = A 1 b. Siis yhtälöllä on enintään yksi ratkaisu. Näin ollen ratkaisuja on tasan yksi: A 1 b. LM1, Kesä /53

5 Määritelmä Alkeismatriisit Matriisi on alkeismatriisi, jos se on saatu ykkösmatriisista yhdellä alkeisrivitoimituksella. Esimerkki 7 Esimerkiksi seuraavat matriisit ovat alkeismatriiseja: E 1 = , E = , E = Nämä alkeismatriisit on saatu ykkösmatriisista tekemällä alkeisrivitoimitukset 5R 3, R 2 R 4 ja R 3 + 3R 1. LM1, Kesä /53

6 Esimerkki 8 Ovatko seuraavat matriisit alkeismatriiseja? (a) (b) (c) [ 1 0 ] (d) (e) (f) [ ] LM1, Kesä /53

7 (a) Ei; tarvitaan kaksi alkeisrivitoimitusta. (b) Ei; nollariviä ei saa ykkösmatriisiin alkeisrivitoimituksella. (c) Ei; ei ole edes neliömatriisi. (d) Ei; tarvitaan kaksi alkeisrivitoimitusta. (e) Kyllä; esimerkiksi alkeisrivitoimitus 1 R 1. (f) Kyllä; alkeisrivitoimitus R 2 + 8R 1. LM1, Kesä /53

8 Alkeisrivitoimitukset ja alkeismatriiseilla kertominen Voidaan osoittaa, että alkeismatriisilla kertominen vastaa alkeisrivitoimituksen tekemistä. Esimerkki 9 Merkitään a 11 a 12 a 13 a A = 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 41 a 42 a 43 ja kerrotaan sitä esimerkin 7 alkeismatriiseilla. Saadaan a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a a E 1 A = 21 a 22 a a 31 a 32 a 33 = a 21 a 22 a 23 5a 31 5a 32 5a a 41 a 42 a 43 a 41 a 42 a 43 LM1, Kesä /53

9 a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a a E 2 A = 21 a 22 a a 31 a 32 a 33 = a 41 a 42 a 43 a 31 a 32 a a 41 a 42 a 43 a 21 a 22 a a 11 a 12 a a E 3 A = 21 a 22 a a 31 a 32 a a 41 a 42 a 43 a 11 a 12 a 13 a = 21 a 22 a 23 3a 11 + a 31 3a 12 + a 32 3a 13 + a 33. a 41 a 42 a 43 LM1, Kesä /53

10 Voidaan osoittaa (mutta tässä sitä ei tehdä) seuraavat tulokset: Lemma 7 Oletetaan, että A R n m. Oletetaan, että E R n n on alkeismatriisi, joka saadaan tekemällä jokin alkeisrivitoimitus ykkösmatriisille I n. Jos matriisille A tehdään sama alkeisrivitoimitus, tuloksena on matriisi EA. Lause 8 Alkeismatriisit ovat kääntyviä, ja alkeismatriisin käänteismatriisi on sekin alkeismatriisi. LM1, Kesä /53

11 Esimerkki 10 Etsitään alkeismatriisin E = käänteismatriisi. Matriisi vastaa alkeisrivitoimitusta R 3 + 3R 1. LM1, Kesä /53

12 Tämän alkeisrivitoimituksen voi kumota tekemällä alkeisrivitoimituksen R 3 3R 1. Sitä vastaava alkeismatriisi on F = Laskemalla voi vielä varmistaa, että EF = I ja FE = I. Siis E 1 = F. LM1, Kesä /53

13 Käänteismatriisilause Lause 9 Oletetaan, että A on n n-neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä: (a) Matriisi A on kääntyvä. (b) Yhtälöllä A x = b on tasan yksi ratkaisu kaikilla b R n 1. (c) Yhtälöllä A x = 0 on vain triviaali ratkaisu x = 0. (d) Matriisista A saadaan alkeisrivitoimituksilla ykkösmatriisi. (e) Matriisi A on alkeismatriisien tulo. LM1, Kesä /53

14 Lauseen 9 perustelu: Osoitetaan, että (a) (b) (c) (d) (e) (a). Tämä riittää osoittamaan, että mistä tahansa ehdosta seuraa mikä tahansa toinen ehto. (a) (b) : Tämä on osoitettu lauseessa 6. (b) (c) : Oletetaan, että yhtälöllä A x = b on tasan yksi ratkaisu kaikilla b R n 1. Tällöin erityisesti yhtälöllä A x = 0 on tasan yksi ratkaisu. Tiedetään, että sen yksi ratkaisu on x = 0. Muita ratkaisuja ei edellä todetun mukaan ole. LM1, Kesä /53

15 (c) (d) : Oletetaan, että yhtälön A x = 0 ainoa ratkaisu on x = 0. Merkitään A(i, j) = a ij kaikilla i, j {1, 2,..., n}. Yhtälöä A x = 0 vastaavan lineaarisen yhtälöryhmän täydennetty matriisi on a 11 a 12 a 1n 0 a 21 a 22 a 2n 0.. a n1 a n2 a nn 0 Koska yhtälöryhmällä on täsmälleen yksi ratkaisu, täytyy vastaavassa redusoidussa porrasmatriisissa kerroinmatriisin puolella olla johtava alkio jokaisessa sarakkeessa (muuten tulisi vapaa muuttuja). Siten johtavia alkioita on n kpl. A on neliömatriisi, joten rivejä ja sarakkeita on yhtä paljon. Siis myös jokaisella rivillä on johtava alkio (samalla rivillä ei voi olla kahta johtavaa alkiota). LM1, Kesä /53

16 Vastaava redusoitu porrasmatriisi on siis eli [I 0]. Tämä tarkoittaa, että matriisista A saadaan alkeisrivitoimituksilla ykkösmatriisi. LM1, Kesä /53

17 (d) (e) : Oletetaan, että matriisista A saadaan alkeisrivitoimituksilla ykkösmatriisi. Olkoot E 1,..., E k ne alkeismatriisit, joilla kertomalla matriisista A saadaan ykkösmatriisi. Siis E k E 1 A = I. Kertomalla tämän yhtälön molemmat puolet vasemmalta matriisilla Ek 1 saadaan yhtälö E k 1 E 1 A = Ek 1. Kertomalla tämän yhtälön molemmat puolet vasemmalta matriisilla Ek 1 1 saadaan E k 2 E 1 A = Ek 1 1 E k 1. Jatkamalla samaan tapaan päädytään yhtälöön A = E 1 1 E 1 k 1 E 1 k. Alkeismatriisin käänteismatriisi on itsekin alkeismatriisi, joten A on alkeismatriisien tulo. LM1, Kesä /53

18 (e) (a) : Oletetaan, että A = E 1 E k, missä E 1,..., E k ovat alkeismatriiseja.alkeismatriisit ovat kääntyviä, joten voidaan merkitä B = Ek 1 E1 1. Tällöin AB = (E 1 E k )(Ek 1 E1 1 ) = E 1 E k Ek 1 E1 1 = E 1 E k 1 Ek 1 1 E 1 1 = = E 1 E1 1 = I ja BA = (Ek 1 E 1 = E 1 k Näin ollen B = Ek 1 on kääntyvä. E 1 1 E 1 E k 1 )(E 1 E k ) = Ek 1 E2 1 E 2 E k = = Ek 1 E k = I. E 1 1 on matriisin A käänteismatriisi. Siis A LM1, Kesä /53

19 Käänteismatriisin etsiminen Lauseen 9 mukaan neliömatriisi A on kääntyvä, jos ja vain jos matriisi A voidaan muuttaa alkeisrivitoimituksilla ykkösmatriisiksi I. Jos onnistutaan muuttamaan A alkeisrivitoimituksilla ykkösmatriisiksi I, niin A on kääntyvä eli on olemassa A 1. Tehtyjä alkeisrivitoimituksia vastaavat alkeismatriisit E 1, E 2,..., E k, joilla Tällöin toisaalta E k... E 2 E 1 A = I. A 1 = IA 1 = (E k... E 2 E 1 A)A 1 = E k... E 2 E 1 (AA 1 ) = E k... E 2 E 1 I. Tämä tarkoittaa, että tekemällä samat alkeisrivitoimitukset ykkösmatriisille I päädytään matriisiin A 1. LM1, Kesä /53

20 Käänteismatriisin etsiminen Käänteismatriisin olemassaolo tutkitaan pyrkimällä matriisista [A I] alkeisrivitoimituksilla matriisiin [I C]. Jos tämä onnistuu, C = A 1. Esimerkki 11 Merkitään A = ja B = Onko matriisi A kääntyvä? Entä matriisi B? Jos on, määritä käänteismatriisi. LM1, Kesä /53

21 [A I] = r 2 3r r 3 + 2r r 3 + r Nollarivin vuoksi matriisista A ei saada ykkösmatriisia. Siis A ei ole kääntyvä. LM1, Kesä /53

22 [B I] = r 2 r r 3 + 4r r 2 + r r 1 + r LM1, Kesä /53

23 Matriisista B saatiin tehtyä alkeisrivitoimituksilla ykkösmatriisi, joten B on kääntyvä. Sen käänteismatriisi on B = Huom. Voit tarkistaa laskemalla, että todella BB 1 = I ja B 1 B = I. LM1, Kesä /53