Demorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Demorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104"

Transkriptio

1 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Ensi viikolla luennot salissa X Torstaina viimeiset demot ( ja viimeiset luennot). Torstaina on välikoe 2, muista ilmoittautua! Demorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta

2 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/104 Redusoitu porrasmuoto Matriisin redusoitu porrasmuoto

3 Lineaarialgebra (muut ko) p. 3/104 Redusoitu porrasmuoto Matriisin redusoitu porrasmuoto aste r(a) =porrasluku ja V(A):n kanta on portaiden vaakarivit.

4 Lineaarialgebra (muut ko) p. 4/104 Redusoitu porrasmuoto Eli aste r(a) = 2 ja vaakariviavaruuden V(A) kanta {(1,1,0,2),(0,0,1,1)}.

5 Lineaarialgebra (muut ko) p. 5/104 Redusoitu porrasmuoto Myös I on redusoitu porrasmuoto Lause A on säännöllinen A I

6 Lineaarialgebra (muut ko) p. 6/104 Käänteismatriisi alkeismuunnoksilla Alkeismuunnoksilla (A I) (I A 1 )

7 Lineaarialgebra (muut ko) p. 7/104 Ratkaisuavaruuden dimensio Yhtälöryhmän (n tuntematonta) Ax = 0 ratkaisuavaruuden dimensio n r(a)

8 Lineaarialgebra (muut ko) p. 8/104 Johdanto: Kannanvaihto Vektori (2,3) = c 1 (1,0)+c 2 (0,1) Luonnollinen kanta E = {(1,0),(0,1)}

9 Lineaarialgebra (muut ko) p. 9/104 Johdanto: Kannanvaihto Vektori (2,3) = 2 (1,0)+3 (0,1) Luonnollinen kanta E = {(1,0),(0,1)}

10 Lineaarialgebra (muut ko) p. 10/104 Johdanto: Kannanvaihto Vektori (2,3) = c 1 ( 1, 1)+c 2 (3,2) Toinen kanta B = {( 1, 1),(3,2)}

11 Lineaarialgebra (muut ko) p. 11/104 Johdanto: Kannanvaihto Vektori (2,3) = ( 5) ( 1, 1)+( 1) (3,2) Toinen kanta B = {( 1, 1),(3,2)}

12 Lineaarialgebra (muut ko) p. 12/104 Johdanto: Kannanvaihto Eli samalla vektorilla x = (2,3) on luonnollisen kannan suhteen (2,3) = 2 (1,0)+3 (0,1) ja kannan B suhteen (2,3) = ( 5) ( 1, 1)+( 1) (3,2) eli X E = ( 2 3 ) ja X B = ( 5 1 )

13 Lineaarialgebra (muut ko) p. 13/104 Koordinaattivektori Kanta B = {b 1,...,b n } avaruudelle R n. Vektorin x R n koordinaattivektori X B = r 1 r 2. r n missä kantaesitys x = r 1 b 1 + +r n b n.

14 Lineaarialgebra (muut ko) p. 14/104 Koordinaattivektori Olkoon x = (1,2,3) R 3 :n luonnollisen kannan suhteen 1 X E = 2 3 Kannan B = {(1,1,1),(1,0,2),( 1,2,1)} suhteen X B = 4/5 4/5 3/5

15 Lineaarialgebra (muut ko) p. 15/104 Kannanvaihdon matriisi Toinen kanta C = {c 1,...,c n }. Kannanvaihdon B C matriisi: c 1 = p 11 b 1 + +p n1 b n. c n = p 1n b 1 + +p nn b n. P B C = p 11 p 1n..... p n1 p nn Muista transponointi!

16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 16/104 Kannanvaihdon matriisi X C = P C B X B P B C = (P C B ) 1

17 Lineaarialgebra (muut ko) p. 17/104 Kuvauksista Kuvaus f : A B A B f x y A = määrittelyjoukko B = maalijoukko Yleensä A = R n ja B = R m

18 Lineaarialgebra (muut ko) p. 18/104 Kuvauksista Kuvaus f : A B A B f x u z y Ei ole kuvaus!

19 Lineaarialgebra (muut ko) p. 19/104 Kuvauksista Kuvaus f : A B A f B Im(f) = {f(a) a A} kuvajoukko

20 Lineaarialgebra (muut ko) p. 20/104 Kuvauksista Kuvaus f : A B A f B B B 0 f 1 (B 0 ) = {a A f(a) B 0 } alkukuva

21 Lineaarialgebra (muut ko) p. 21/104 Kuvauksista Kuvaus f : A B A f B f on surjektio, jos Im(f) = B

22 Lineaarialgebra (muut ko) p. 22/104 Kuvauksista Kuvaus f : A B A B f a y b Kuvauksessa voi olla

23 Lineaarialgebra (muut ko) p. 23/104 Kuvauksista Kuvaus f : A B A B f a y b z f on injektio, jos a b f(a) f(b) a,b A Bijektio, jos surjektio ja injektio

24 Lineaarialgebra (muut ko) p. 24/104 Kuvauksista Kuvaus f : A B ja kuvaus g : A B ovat yhtäsuuret, jos f(a) = g(a) a A Merkitään f = g

25 Lineaarialgebra (muut ko) p. 25/104 Kuvauksista Kuvaus f : A B ja g : B C A B C f g x g(f(x)) f(x) Yhdistetty kuvaus g f : A C, (g f)(x) = g(f(x))

26 Lineaarialgebra (muut ko) p. 26/104 Kuvauksista Kuvaus f : A B ja g : B A A B f x y g Käänteiskuvauksia, jos f g = id B ja g f = id A. f 1 olemassa f on bijektio

27 Lineaarialgebra (muut ko) p. 27/104 Lineaarikuvaus Kuvaus f : R n R m on lineaarinen, jos L1: f(x 1 +x 2 ) = f(x 1 )+f(x 2 ) x 1,x 2 R n L2: f(ax) = af(x) x R n,a R. Muista f(0) = 0.

28 Lineaarialgebra (muut ko) p. 28/104 Lineaarikuvaus Kuvaus f : R n R m on lineaarinen, jos L1: f(x 1 +x 2 ) = f(x 1 )+f(x 2 ) x 1,x 2 R n L2: f(ax) = af(x) x R n,a R. Muista f(0) = 0. Kantavektorien kuvien avulla f(b i ) = y i määräytyy koko f(x) yksikäsitteisesti.

29 Lineaarialgebra (muut ko) p. 29/104 Lineaarikuvaus Kuvaus f : R 2 R 2,f(x,y) = (x y,x+y) on lineaarinen.

30 Lineaarialgebra (muut ko) p. 30/104 Lineaarikuvaus Matriisi A M m n indusoi lineaarikuvauksen f : R n R m,f(x) = Ax.

31 Lineaarialgebra (muut ko) p. 31/104 Lineaarikuvaus Matriisi A M m n indusoi lineaarikuvauksen f : R n R m,f(x) = Ax. Matriisi A = ( ) indusoi lineaarikuvauksen ( 1 1 f(x,y) = 1 1 )( x y ) = ( x y x+y ) eli f : R 2 R 2,f(x,y) = (x y,x+y)

32 Lineaarialgebra (muut ko) p. 32/104 Lineaarikuvaus Matriisi A M m n indusoi lineaarikuvauksen f : R n R m,f(x) = Ax. Lineaarikuvauksen f : R n R m matriisi M B,C (f) B = {b 1,...,b n } kanta R n :ssä C = {c 1,...,c m } kanta R m :ssä

33 Lineaarialgebra (muut ko) p. 33/104 Lineaarikuvauksen matriisi kuvien kantaesitykset f(b 1 ) = a 11 c 1 + +a m1 c m.. f(b n ) = a 1n c 1 + +a mn c m M B,C (f) = a 11. a 1n.... a m1 a mn Muista transponointi!

34 Lineaarialgebra (muut ko) p. 34/104 Lineaarikuvaus y = f(x) Y C = M B,C (f) X B

35 Lineaarialgebra (muut ko) p. 35/104 Lineaarikuvaus y = f(x) Y C = M B,C (f) X B Jos B = E ja C = E, niin y = f(x) y = M E,E (f) x

36 Lineaarialgebra (muut ko) p. 36/104 Lineaarikuvaus y = f(x) Y C = M B,C (f) X B Jos B = E ja C = E, niin y = f(x) y = M(f) x

37 Lineaarialgebra (muut ko) p. 37/104 Lineaarikuvaus y = f(x) Y C = M B,C (f) X B Jos B = E ja C = E, niin y = f(x) y = M E,E (f) x Jos sama lähtö- ja maaliavaruus f : R n R n, niin yleensä sama kanta molemmilla puolilla ja merkitään M B (f) = M B,B (f).

38 Lineaarialgebra (muut ko) p. 38/104 Indusoidulle lineaarikuvaukselle Matriisin A M m n indusoima lineaarikuvaus f : R n R m,f(x) = Ax. Tällöin A = M E,E (f).

39 Lineaarialgebra (muut ko) p. 39/104 Lineaarikuvaus Lause 2.4.8: Jos f : R n R m ja g : R m R k ovat lineaarisia, niin g f on lineaarinen ja sen matriisi saadaan M B,D (g f) = M C,D (g)m B,C (f).

40 Lineaarialgebra (muut ko) p. 40/104 Lineaarikuvaus Lause 2.4.8: Jos f : R n R m ja g : R m R k ovat lineaarisia, niin g f on lineaarinen ja sen matriisi saadaan M B,D (g f) = M C,D (g)m B,C (f). Matriisien kertolasku

41 Lineaarialgebra (muut ko) p. 41/104 Lineaarikuvaus ja kannanvaihto Lineaarikuvauksen matriisin muuttuminen kannanvaihdossa B B ja C C : R n m R f M

42 Lineaarialgebra (muut ko) p. 42/104 Lineaarikuvaus ja kannanvaihto Lineaarikuvauksen matriisin muuttuminen kannanvaihdossa B B ja C C : R n m R f M M B,C (f) = P C CM B,C (f)p B B

43 Lineaarialgebra (muut ko) p. 43/104 Lineaarikuvaus ja kannanvaihto Sama lähtö- ja maaliavaruus eli n = m Lineaarikuvauksen matriisin muuttuminen kannanvaihdossa B B molemmissa R n m R f M M B (f) = P 1 M B (f)p missä P = P B B

44 Lineaarialgebra (muut ko) p. 44/104 Miksi kannanvaihto? Lineaarikuvauksen matriisi M E (f) =

45 Lineaarialgebra (muut ko) p. 45/104 Miksi kannanvaihto? Vaihtamalla E B matriisiksi M B (f) =

46 Lineaarialgebra (muut ko) p. 46/104 Miksi kannanvaihto? Vaihtamalla E B matriisiksi M B (f) = Onnistuuko? Mistä kanta B? Mitkä luvut diagonaalilla?

47 Lineaarialgebra (muut ko) p. 47/104 Miksi kannanvaihto? Vaihtamalla E B matriisiksi M B (f) = Onnistuuko? Mistä kanta B? Mitkä luvut diagonaalilla? Näihin vastaaminen on loppukurssin tavoite!

48 Lineaarialgebra (muut ko) p. 48/104 Ydin ja kuva Lineaarikuvauksen ydin ja kuva-avaruus f 0 0 Ker(f) Im(f) Ker(f) = {x R n f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x R n }

49 Lineaarialgebra (muut ko) p. 49/104 Dimensioyhtälö Lineaarikuvauksen f : R n R m dimensioyhtälö n = dim Ker(f)+dim Im(f)

50 Lineaarialgebra (muut ko) p. 50/104 Matriisin avulla Jos niin A = M E,E (f) Im(f) = V(A T ). Alkeismuunnoksilla V(A T ):lle eli Im(f):lle kanta porrasmatriisin portaista.

51 Lineaarialgebra (muut ko) p. 51/104 Helppoa Lineaarikuvaus f : R n R m on injektio Ker(f) = {0}.

52 Lineaarialgebra (muut ko) p. 52/104 Helppoa Lineaarikuvaus f : R n R n on injektio surjektio bijektio

53 Lineaarialgebra (muut ko) p. 53/104 Aliavaruuksien summa Aliavaruuksien summa U 1 +U 2 U+ U 1 2 U 1 U 2 0 U 1 +U 2 = {u 1 +u 2 u 1 U 1,u 2 U 2 }.

54 Lineaarialgebra (muut ko) p. 54/104 Kertausta Suora summa U 1 U 2 jos yksikäsitteinen esitys x = u }{{} 1 + u }{{} 2 U 1 U 2,

55 Lineaarialgebra (muut ko) p. 55/104 Aliavaruuksien summa Suora summa U 1 U 2 Ehto 1: jos U 1 U 2 = {0}.

56 Lineaarialgebra (muut ko) p. 56/104 Aliavaruuksien summa Suora summa U 1 U 2 Ehto 1: jos U 1 U 2 = {0}. Ehto 2: jos u 1 +u 2 = 0, missä u 1 U 1 ja u 2 U 2, niin u 1 = u 2 = 0.

57 Lineaarialgebra (muut ko) p. 57/104 Aliavaruuksien summa Kahden aliavaruuden leikkaus on myös aliavaruus. U 1 U 2

58 Lineaarialgebra (muut ko) p. 58/104 Kannat aliavaruuksien summassa Summan kannat u k u 2 u y 1 1 y 2 y m U+ U 1 2

59 Lineaarialgebra (muut ko) p. 59/104 Kannat aliavaruuksien summassa Suoran summan kannat u k u u 2 1 y y 1 2 U+ U y 1 2 m dim(u 1 U 2 ) = dimu 1 +dimu 2.

60 Lineaarialgebra (muut ko) p. 60/104 Kannat aliavaruuksien summassa Summan kannat u k u 2 u y 1 1 y 2 y m U+ U 1 2 dim(u 1 +U 2 ) = dimu 1 +dimu 2 dim(u 1 U 2 ).

61 Lineaarialgebra (muut ko) p. 61/104 Usean aliavaruuden summa Usean aliavaruuden summa U 1 + +U m on suora summa eli U 1 U m jos ja vain jos Tällöin u }{{} u m = 0 u }{{} 1 = = u m = 0 U 1 U m dim(u 1 U m ) = dimu 1 + +dimu m.

62 Lineaarialgebra (muut ko) p. 62/104 Usean aliavaruuden summa Usean aliavaruuden summa U 1 + +U m on suora summa eli U 1 U m jos ja vain jos Tällöin u }{{} u m = 0 u }{{} 1 = = u m = 0 U 1 U m dim(u 1 U m ) = dimu 1 + +dimu m. Ehto U i U j = {0} ei enää toimi, kts. monisteen huomautus sivulla 26.

63 Lineaarialgebra (muut ko) p. 63/104 Usean aliavaruuden summa Usean aliavaruuden summa U 1 + +U m on suora summa eli U 1 U m jos ja vain jos Tällöin u }{{} u m = 0 u }{{} 1 = = u m = 0 U 1 U m dim(u 1 U m ) = dimu 1 + +dimu m. Ehto: kaikille i = 1,...,m täytyy olla U i (U 1 + +U i 1 +U i+1 + +U m ) = {0}

64 Lineaarialgebra (muut ko) p. 64/104 Miksi kannanvaihto? Lineaarikuvauksen matriisi M E (f) =

65 Lineaarialgebra (muut ko) p. 65/104 Miksi kannanvaihto? Vaihtamalla E B matriisiksi M B (f) =

66 Lineaarialgebra (muut ko) p. 66/104 Miksi kannanvaihto? Vaihtamalla E B matriisiksi M B (f) = Onnistuuko? Mistä kanta B? Mitkä luvut diagonaalilla?

67 Lineaarialgebra (muut ko) p. 67/104 Johdanto Meillä oli esimerkki M E (f) = ( 20/7 3/7 2/7 15/7 ) saatiin sopivalla kannanvaihdolla M B (f) = ( )

68 Lineaarialgebra (muut ko) p. 68/104 Johdanto Yleisestikin pyritään M B (f) = λ λ λ n Onnistuuko aina? Miten löydetään kanta?

69 Lineaarialgebra (muut ko) p. 69/104 Kompleksiluvut Muodossa missä a,b R ja i 2 = 1. a+bi

70 Lineaarialgebra (muut ko) p. 70/104 Kompleksiluvut Muodossa a+bi missä a,b R ja i 2 = 1. (1+2i)+(3+4i) = 4+6i (1+2i) (3+4i) = i+2i 3+2i 4i = 3+10i+8i 2 = 5+10i Lavennetaan 1 2i:llä 1 1+2i = 1 2i (1 2i)(1+2i) = 1 2i 5 = i

71 Lineaarialgebra (muut ko) p. 71/104 Johdanto Olkoon f : R n R n lineaarikuvaus. Jos löydetään kanta B = {b 1,...,b n }, jolle f(b i ) = λ i b i (i = 1,...,n) niin M B (f) = λ λ λ n Tavoite: Löytää tällainen kanta ja luvut λ i. Tarkastellaan tätä varten yhtälöä Ax = λx

72 Lineaarialgebra (muut ko) p. 72/104 Johdanto Olkoon f : R n R n lineaarikuvaus. Jos löydetään kanta B = {b 1,...,b n }, jolle f(b i ) = λ i b i (i = 1,...,n) niin M B (f) = λ λ λ n Tavoite: Löytää tällainen kanta ja luvut λ i. Tarkastellaan tätä varten yhtälöä }{{} A x = λx M E (f)

73 Lineaarialgebra (muut ko) p. 73/104 Ominaisarvot Jos Ax = λx missä x 0, niin λ on ominaisarvo ja x siihen kuuluva ominaisvektori.

74 Lineaarialgebra (muut ko) p. 74/104 Ominaisarvot Ominaisarvot löydetään ominaisarvopolynomin nollakohtina. det(a λi) = 0 Ominaisarvoon λ kuuluvat ominaisvektorit löydetään yhtälöryhmästä (A λi)x = 0.

75 Lineaarialgebra (muut ko) p. 75/104 Ominaisarvot Ominaisarvot löydetään ominaisarvopolynomin nollakohtina. det(a λi) = 0 Ominaisarvoon λ kuuluvat ominaisvektorit löydetään yhtälöryhmästä (A λi)x = 0. Huom. x C n ja x 0.

76 Lineaarialgebra (muut ko) p. 76/104 Ominaisarvot Ominaisarvot löydetään ominaisarvopolynomin nollakohtina. det(a λi) = 0 Ominaisarvoon λ kuuluvat ominaisvektorit löydetään yhtälöryhmästä (A λi)x = 0. Huom. x C n ja x 0. Ominaisarvon algebrallinen kertaluku det(a ti) = ( 1) n (t λ 1 ) k 1...(t λ s ) k s.

77 Lineaarialgebra (muut ko) p. 77/104 Polynomin nollakohdista Aputulos 1. Jos kokonaislukukertoimisella yhtälöllä a n x n +a n 1 x n 1 + +a 1 x+a 0 = 0 on (supistettua muotoa oleva rationaalinen) ratkaisu p q, niin p jakaa kertoimen a 0 ja q jakaa kertoimen a n. Aputulos 2. Polynomi P(x) on jaollinen polynomilla x x 1 tarkalleen silloin, kun x 1 on polynomin P(x) nollakohta eli P(x 1 ) = 0.

78 Lineaarialgebra (muut ko) p. 78/104 Polynomin nollakohdista Esimerkki. Mitkä ovat polynomin 2x 3 +5x 2 +8x+3 nollakohdat? Edellinen aputulos 1 sanoo, että jos rationaaliluku p q esiintyy yhtälön 2x 3 +5x 2 +8x+3 = 0 ratkaisuna, niin p jakaa 3:n ja q jakaa 2:n. Eri mahdollisuudet siis ovat {±1,±3,± 1 2,±3 2 }. Kokeilemalla nähdään, että näistä 1 2 nollakohta. on polynomin

79 Lineaarialgebra (muut ko) p. 79/104 Polynomin nollakohdista Aputulos 2 sanoo siis, että 2x 3 +5x 2 +8x+3 = (x ( 1 2 ))Q(x) missä Q(x) on jokin 2. asteen polynomi, joka löydetään jakamalla jakokulmassa polynomi 2x 3 +5x 2 +8x+3 polynomilla x ( 1 2 ) = x Tulokseksi tulee Q(x) = 2x 2 +4x+6. Sen nollakohdat voidaankin sitten laskea toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla (ovat 1±i 2). Tosin sanoen saatiin hajotelma 2x 3 +5x 2 +8x+3 = 2(x+ 1 2 )(x+1+i 2)(x+1 i 2).

80 Lineaarialgebra (muut ko) p. 80/104 Kertausta Matriisin muuttuminen kannanvaihdossa (Lause 2.5.2): missä M B (f) = P 1 M B (f)p P = P B B

81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 81/104 Kertausta Matriisin muuttuminen kannanvaihdossa (Lause 2.5.2): missä M B (f) = P 1 M B (f)p P = P B B Meillä oli esimerkki ( ) = ( 1/7 3/7 2/7 1/7 )( 20/7 3/7 2/7 15/7 )( )

82 Lineaarialgebra (muut ko) p. 82/104 Similaarisuus Matriisin muuttuminen kannanvaihdossa (Lause 2.5.2): missä M B (f) = P 1 M B (f)p P = P B B Matriisi A on similaarinen matriisin B kanssa, jos on olemassa säännöllinen P, jolle A = P 1 BP

83 Lineaarialgebra (muut ko) p. 83/104 Similaarisuus Matriisin muuttuminen kannanvaihdossa (Lause 2.5.2): missä M B (f) = P 1 M B (f)p P = P B B Matriisi A on similaarinen matriisin B kanssa, jos on olemassa säännöllinen P, jolle A = P 1 BP Lause 4.4.3: Similaarisilla matriiseilla sama ominaisarvopolynomi.

84 Lineaarialgebra (muut ko) p. 84/104 Diagonalisoituvuus Matriisi A on diagonalisoituva, jos P 1 AP = D Tällöin D = λ λ λ n missä λ i on A:n ominaisarvo

85 Lineaarialgebra (muut ko) p. 85/104 Diagonalisoituvuus Matriisi A on diagonalisoituva, jos P 1 AP = D Tällöin D = λ λ λ n missä λ i on A:n ominaisarvo Matriisi on diagonalisoituva ominaisvektoreista voidaan muodostaa kanta C n :lle

86 Lineaarialgebra (muut ko) p. 86/104 Diagonalisoituvuus Olkoot λ 1,...,λ s erisuuret ominaisarvot ja k 1,...,k s niiden algebralliset kertaluvut. Jos A on diagonalisoituva, niin D = λ λ 1... λ s... 0 λ s k 1 kpl k s kpl

87 Lineaarialgebra (muut ko) p. 87/104 Diagonalisoituvuus Olkoot λ 1,...,λ s erisuuret ominaisarvot ja k 1,...,k s niiden algebralliset kertaluvut. Jos A on diagonalisoituva, niin P = λ 1 :n... λ s :n ominaisvektoreita ominaisvektoreita k 1 kpl k s kpl

88 Lineaarialgebra (muut ko) p. 88/104 Diagonalisoituvuus Olkoot λ 1,...,λ s erisuuret ominaisarvot ja k 1,...,k s niiden algebralliset kertaluvut. Jos A on diagonalisoituva, niin P = λ 1 :n... λ s :n ominaisvektoreita ominaisvektoreita } {{ } lineaarisesti riippumattomia! k 1 kpl k s kpl

89 Lineaarialgebra (muut ko) p. 89/104 Ominaisavaruus Ominaisavaruus V λ = {x C n (A λi)x = 0} Erisuurille ominaisarvoille λ 1,...,λ s V λ1 V λs

90 Lineaarialgebra (muut ko) p. 90/104 Kertaus: Lause Usean aliavaruuden summa U 1 + +U s on suora summa eli U 1 U s jos ja vain jos Tällöin u }{{} u s = 0 u }{{} 1 = = u s = 0 U 1 U s dim(u 1 U s ) = dimu 1 + +dimu s.

91 Lineaarialgebra (muut ko) p. 91/104 Diagonalisoituvuus Olkoot λ 1,...,λ s erisuuret ominaisarvot ja k 1,...k s niiden algebralliset kertaluvut. Jos A on diagonalisoituva, niin P = λ 1 :n... λ s :n ominaisvektoreita ominaisvektoreita k 1 kpl }{{} lin.riippumattomia k s kpl }{{} lin.riippumattomia

92 Lineaarialgebra (muut ko) p. 92/104 Geometrinen kertaluku Ominaisarvon λ geometrinen kertaluku dimv λ Erisuurille ominaisarvoille λ 1,...,λ s V λ1 V λs Ominaisarvon algebrallinen kertaluku det(a ti) = ( 1) n (t λ 1 ) k 1...(t λ s ) k s. k 1 + +k s = n

93 Lineaarialgebra (muut ko) p. 93/104 Matriisin diagonalisointi: yhteenveto Olkoon n n-matriisin A ominaisarvot λ 1,...,λ n. Pyritään löytämään (jos mahdollista) matriisi P ja diagonaalimatriisi D, joille P 1 AP = D. 1 Jos ominaisarvot ovat kaikki erisuuria, niin diagonalisointi onnistuu. Etsi jokaiselle ominaisarvolle λ j jokin siihen kuuluva ominaisvektori x j. Tällöin P = (x 1 x 2 x n ) ja D = diag (λ 1,λ 2,...,λ n ).

94 Lineaarialgebra (muut ko) p. 94/104 Matriisin diagonalisointi: yhteenveto 2 Jos kaikki ominaisarvot eivät ole erisuuria, niin olkoot λ 1,...,λ s erisuuret ominaisarvot ja det(a ti) = ( 1) n (t λ 1 ) k 1 (t λ 2 ) k2 (t λ s ) k s. Etsi kullekin λ i :lle (i = 1,...,s) algebrallisen kertaluvun k i osoittama määrä lineaarisesti riippumattomia ominaisvektoreita, jos mahdollista. 2a Jos tämä ei onnistu (ts. geometrinen kertaluku dimv λi < k i jollekin ominaisarvolle λ i ), niin matriisi ei ole diagonalisoituva.

95 Lineaarialgebra (muut ko) p. 95/104 Matriisin diagonalisointi: yhteenveto 2b Jos onnistuu, niin muodosta matriisi P laittamalla λ i :n (i = 1,..., s) lineaarisesti riippumattomat ominaisvektorit x 1,i,x 2,i...,x ki,i P :n pystyriveiksi eli P = x 1,1 x 2,1 x k1,1 }{{} λ 1 :n ominaisvektorit x 1,2 x k2,2 }{{} λ 2 :n ominaisvektorit x 1,s x ks,s }{{} λ s :n ominaisvektorit ja siis D = diag (λ 1,λ 1,...,λ }{{} 1,λ 2,...,λ 2,...,λ }{{} s,...,λ s ) }{{} k 1 kpl k 2 kpl k s kpl

96 Lineaarialgebra (muut ko) p. 96/104 Kertausta: Nyt taasr n eikäc n Vektoreiden x,y R n sisätulo (x,y) = x 1 y 1 + +x n y n ortogonaalisuus x y (x, y) = 0 (u,u) = u 2 au = a u Vektorin u ortogonaaliprojektio vektorilla v p = (u,v) v 2 v = (u,v) (v,v) v

97 Lineaarialgebra (muut ko) p. 97/104 Ortonormaalisuus Vektorijoukko {x 1,...,x m } on ortogonaalinen, jos (x i,x j ) = 0 i j ortonormaali, jos ortogonaalinen ja pituudet = 1 eli (x i,x j ) = δ ij = { 0 i j 1 i = j

98 Lineaarialgebra (muut ko) p. 98/104 Ortonormaalisuus Vektorijoukko {x 1,...,x m } on ortogonaalinen, jos (x i,x j ) = 0 i j ortonormaali, jos ortogonaalinen ja pituudet = 1 eli (x i,x j ) = δ ij = { 0 i j 1 i = j pituus ykköseksi, x 0, 1 x x

99 Lineaarialgebra (muut ko) p. 99/104 Ortonormaalikanta Aliavaruudelle U R n ortonormaalikanta? Jos u 1,...,u m on ortonormaalikanta, niin kantaesitys vektorille x U helposti x = m r i u i i=1

100 Lineaarialgebra (muut ko) p. 100/104 Ortonormaalikanta Aliavaruudelle U R n ortonormaalikanta? Jos u 1,...,u m on ortonormaalikanta, niin kantaesitys vektorille x U helposti x = m (x,u i )u i (5.2) i=1

101 Lineaarialgebra (muut ko) p. 101/104 Kertausta Aliavaruudelle U R n ortonormaalikanta? Jos u 1,...,u m on ortonormaalikanta, niin kantaesitys vektorille x U helposti x = m (x,u i )u i (5.2) i=1 Vektorin u ortogonaaliprojektio vektorilla v p = (u,v) v 2 v = (u,v) (v,v) v

102 Lineaarialgebra (muut ko) p. 102/104 Kannasta ortonormaalikanta Aliavaruudella U R n on aina ortonormaalikanta: 1) Gramin-Schmidtin menetelmällä saadaan kannasta {x 1,...,x m } ortogonaalinen: 2) pituudet ykköseksi y 1 = x 1 y j = x j j 1 i=1 { 1 y 1 y 1,..., (x j,y i ) (y i,y i ) y i. 1 y m y m}

103 Lineaarialgebra (muut ko) p. 103/104 Ortogonaalikomplementti Ortogonaalikomplementti U = {x R n x u u U} R n = U U (U ) = U

104 Lineaarialgebra (muut ko) p. 104/104 Transponoinnista kertausta Muistetaan (Osa 1 sivu 14), että sisätulolle (x,y) = x T y. (AB) T = B T A T. Helposti nähdään, että (A+B) T = A T +B T

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna

Lisätiedot

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66 Ensi viikon luennot salissa X Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/66 Redusoitu porrasmuoto 1 1 2 4 1 1 4 6 2 2 5 9 1 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 Eli aste r(a) = 2 ja vaakariviavaruuden

Lisätiedot

Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162

Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162 Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/162 Kertausta Vektorin u = (u 1,u 2 ) R 2 pituus u = u 2 1 +u2 2 Vektorien u ja v = (v 1,v 2

Lisätiedot

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159 Ensi viikon luennot salissa X Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/159 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 ) Skalaarilla

Lisätiedot

Muistutus: Matikkapaja ke Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta yms.

Muistutus: Matikkapaja ke Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta yms. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/139 Ensi viikon luennot salissa X Muistutus: Matikkapaja ke 14-16 Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta

Lisätiedot

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa. LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos

Lisätiedot

Seuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117

Seuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Seuraava luento ti 31.10 on salissa XXII Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/117 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2

Lisätiedot

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on? Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi

Lisätiedot

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja 7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien

Lisätiedot

Lineaarialgebra (muut ko)

Lineaarialgebra (muut ko) Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/103 Lineaarialgebra (muut ko) Tero Laihonen Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/103 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v

Lisätiedot

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI 6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Similaarisuus. Määritelmä. Huom.

Similaarisuus. Määritelmä. Huom. Similaarisuus Määritelmä Neliömatriisi A M n n on similaarinen neliömatriisin B M n n kanssa, jos on olemassa kääntyvä matriisi P M n n, jolle pätee Tällöin merkitään A B. Huom. Havaitaan, että P 1 AP

Lisätiedot

(1.1) Ae j = a k,j e k.

(1.1) Ae j = a k,j e k. Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim

Lisätiedot

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus. 1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:

Lisätiedot

Lineaarialgebra. Osa 2. Turun yliopisto. Markku Koppinen

Lineaarialgebra. Osa 2. Turun yliopisto. Markku Koppinen Lineaarialgebra Osa 2 Turun yliopisto Markku Koppinen Sisältö 1 Koordinaattivektorit ja kannan vaihdot 1 11 Koordinaattivektorit 1 12 Kannan vaihdot 2 2 Lineaarikuvaukset 6 21 Kuvauksista 6 22 Lineaarikuvaukset

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi / kertaus

Matemaattinen Analyysi / kertaus Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen

Lisätiedot

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut 2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/81 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 )

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi

Lisätiedot

Esimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt

Esimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt Esimerkki 4.4. Määrää matriisin 2 2 1 A = 1 3 1 2 4 3 ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt det(a λi ) = 1 + 2 λ 2 1 + 1 λ 1 λ 1 3 λ 1 = 1 3 λ 1 2 4 3 λ 2 4 3 λ 1 λ = 1 4 λ 1 = (1 λ)( 1)1+1 4 λ 1 2 6 3

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 6.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Kertausta: Kääntyvien matriisien lause Lause 1 Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä.

Lisätiedot

Lineaarialgebra II P

Lineaarialgebra II P Lineaarialgebra II 89P Sisältö Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 8 3 Lineaarikuvaus 5 4 Ominaisarvo 5 Luku Vektoriavaruus Määritelmä.. Epätyhjä joukko V on vektoriavaruus, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:.

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Ortogonaalisen kannan etsiminen Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Lineaarikuvaukset Lineaarikuvaus Olkoot U ja V

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Lineaarikuvaus

Lisätiedot

i=1 Tarkastellaan ensin inversio-ongelman injektiivisyys: Kun vaaditaan, että 0 = M x x 2

i=1 Tarkastellaan ensin inversio-ongelman injektiivisyys: Kun vaaditaan, että 0 = M x x 2 Lemma 1. Olkoon V R n lineaarinen aliavaruus. Lineaarisen kuvauksen F : V R m kuvajoukko F (V R m on lineaarinen aliavaruus, joka koostuu lineaarisen kuvauksen F matriisin M pystyvektorien {M i : i 1,...

Lisätiedot

OMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA

OMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA 1 OMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA Olkoon x = (x 1,..., x n ) avaruuden R n piste (l. vektori). Vektori x samaistetaan n 1-matriisin (x 1 x 2... x n ) T kanssa, ts. voidaan yhtä hyvin kirjoittaa x1

Lisätiedot

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006 Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä

Lisätiedot

4. LINEAARIKUVAUKSET

4. LINEAARIKUVAUKSET 86 4 LINEAARIKUVAUKSET 41 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoot V ja V vektoriavaruuksia Tarkastellaan kuvausta L : V V Tällöin jokaiseen vektoriin v V liittyy tietty, L:n ja v:n yksikäsitteisesti määräämä

Lisätiedot

Paikannuksen matematiikka MAT

Paikannuksen matematiikka MAT TA M P E R E U N I V E R S I T Y O F T E C H N O L O G Y M a t h e m a t i c s Paikannuksen matematiikka MAT-45800 4..008. p.1/4 Käytännön järjestelyt Kotisivu: http://math.tut.fi/courses/mat-45800/ Luennot:

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Lineaarialgebra, kertausta aiheita

Lineaarialgebra, kertausta aiheita Lineaarialgebra, kertausta aiheita Matriisitulo käänteismatriisi determinantin kehittäminen determinantin ominaisuudet adjungaatti ja Cramerin kaavat yhtälöryhmän eri esitystavat Gauss-Jordan -algoritmi

Lisätiedot

Neliömuodoista, matriisin ominaisarvoista ja avaruuden kierroista

Neliömuodoista, matriisin ominaisarvoista ja avaruuden kierroista Neliömuodoista matriisin ominaisarvoista ja avaruuden kierroista Marko Moisio 1 Neliömuodoista ja matriisin ominaisarvoista Tarkastellaan toisen asteen tasokäyrän määräävää yhtälöä a + by 2 + 2cxy = d

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 06 laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Alla olevat esimerkkiratkaisut ovat melko ksitiskohtaisia Tenttivastauksissa ei leensä tarvitse muistaa lauseiden, määritelmien, esimerkkien

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

Neliömatriisit A ja B ovat similaareja toistensa suhteen, A B, jos on olemassa kääntyvä matriisi P, jolle pätee A = PBP 1.

Neliömatriisit A ja B ovat similaareja toistensa suhteen, A B, jos on olemassa kääntyvä matriisi P, jolle pätee A = PBP 1. Similaarisuus 1 (Kreyszig 8.4, Lay 5.2) Aalto MS-C1340, 2014, Kari Eloranta Määritelmä Neliömatriisit A ja B ovat similaareja toistensa suhteen, A B, jos on olemassa kääntyvä matriisi P, jolle pätee A

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet

Lisätiedot

LINEAARIALGEBRA A 2016 TOMI ALASTE EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF

LINEAARIALGEBRA A 2016 TOMI ALASTE EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF LINEAARIALGEBRA 83A 6 EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF TOMI ALASTE SISÄLTÖ Sisältö Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 3 Lineaarikuvaus 4 Ominaisarvo 34 5 Esimerkkejä 44 . Lineaariavaruus

Lisätiedot

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus Lineaarikuvaus Ominaisarvo 0-68

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus Lineaarikuvaus Ominaisarvo 0-68 SISÄLTÖ Sisältö pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 0-1 2 Sisätuloavaruus 0-20 3 Lineaarikuvaus 0-41 4 Ominaisarvo 0-68 5 Esimerkkejä 0-88 1. Lineaariavaruus eli V 1 Lineaariavaruus

Lisätiedot

Matematiikka B2 - TUDI

Matematiikka B2 - TUDI Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

LINEAARIALGEBRA P. LUENTOMONISTE ja HARJOITUSTEHTÄVÄT

LINEAARIALGEBRA P. LUENTOMONISTE ja HARJOITUSTEHTÄVÄT LINEAARIALGEBRA II 802119P LUENTOMONISTE ja HARJOITUSTEHTÄVÄT syksy 2008 30 V SISÄTULOAVARUUKSISTA 1. Sisätulon määritelmä Tarkastellaan sisätulon määrittelyä varten kompleksilukujen joukkoa C = {x + iy

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/310 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

Matriisihajotelmat. MS-A0007 Matriisilaskenta. 5.1 Diagonalisointi. 5.1 Diagonalisointi

Matriisihajotelmat. MS-A0007 Matriisilaskenta. 5.1 Diagonalisointi. 5.1 Diagonalisointi MS-A0007 Matriisilaskenta 5. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 25.11.2015 Laskentaongelmissa käsiteltävät matriisit ovat tyypillisesti valtavia.

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä

Lisätiedot

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2014 Harjoitus 4 Ratkaisujen viimeinen palautuspäivä: pe 662014 klo 1930 Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun

Lisätiedot

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa

Lisätiedot

Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo

Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Antti Rasila 2016 Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Jos {v 1, v 2,..., v k } on äärellisulotteisen vektoriavaruuden V lineaarisesti riippumaton

Lisätiedot

Esimerkki 19. Esimerkissä 16 miniminormiratkaisu on (ˆx 1, ˆx 2 ) = (1, 0).

Esimerkki 19. Esimerkissä 16 miniminormiratkaisu on (ˆx 1, ˆx 2 ) = (1, 0). Esimerkki 9 Esimerkissä 6 miniminormiratkaisu on (ˆx, ˆx (, 0 Seuraavaksi näytetään, että miniminormiratkaisuun siirtyminen poistaa likimääräisongelman epäyksikäsitteisyyden (mutta lisääntyvän ratkaisun

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt QR-hajotelma ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto PNS-ongelma PNS-ongelma

Lisätiedot

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2015 Harjoitus 4 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 862015 klo 1615 Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma

Lisätiedot

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2.

Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2. HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2016 Harjoitus 3 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 29.8.2016 klo 13.15. Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Milloin A diagonalisoituva?

Milloin A diagonalisoituva? Milloin A diagonalisoituva? ) Oletus: A on diagonalisoituva eli D = TAT, jollakin D = diag(λ, λ 2,..., λ n ). A:n ja D:n ominaisarvot ovat samat λ, λ 2,..., λ n ovat myös A:n ominaisarvot... D e i = D

Lisätiedot

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä 1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

Singulaariarvohajotelma ja pseudoinverssi

Singulaariarvohajotelma ja pseudoinverssi HELSINGIN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Niko Kaitarinne Singulaariarvohajotelma ja pseudoinverssi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Helmikuu 01 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

ja F =

ja F = MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2016 Tehtävissä 1 ja 2a käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3 A =,B = 7 1 2 2 3,C = 4 4 2 5 3,E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1.

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.

Lisätiedot

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)

Lisätiedot

MATRIISIN HESSENBERGIN MUOTO. Niko Holopainen

MATRIISIN HESSENBERGIN MUOTO. Niko Holopainen MATRIISIN HESSENBERGIN MUOTO Niko Holopainen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2013 Tiivistelmä: Niko Holopainen, Matriisin Hessenbergin muoto Matematiikan

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A

Lisätiedot

Matriisilaskenta. Markku Koppinen

Matriisilaskenta. Markku Koppinen Matriisilaskenta Markku Koppinen Alkusanat 7. joulukuuta 2012 Matriisilaskennan kurssilla perehdytään tavallisimpiin matriiseja koskeviin perusasioihin ja -menetelmiin, joita tarvitaan sekä käytännön sovelluksissa

Lisätiedot

Yleiset lineaarimuunnokset

Yleiset lineaarimuunnokset TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Lineaarikuvaukset. 12. joulukuuta F (A r ) = F (A r ) r .(3) F (s) = s. (4) Skalaareille kannattaa määritellä lisäksi seuraavat tulot:

Lineaarikuvaukset. 12. joulukuuta F (A r ) = F (A r ) r .(3) F (s) = s. (4) Skalaareille kannattaa määritellä lisäksi seuraavat tulot: Lineaarikuvaukset 12. joulukuuta 2005 1 Yleistys multivektoreille Olkoon F lineaarikuvaus vektoriavaruudessa. Yleistetään F luonnollisella tavalla terille F (a 1 a n ) = F (a 1 ) F (a n ), (1) sekä terien

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 23.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Käytännön asioita Ensimmäiset tehtävät olivat sujuneet hyvin. Kansilehdet on oltava mukana tehtäviä palautettaessa,

Lisätiedot