Demorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104

Transkriptio

1 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Ensi viikolla luennot salissa X Torstaina viimeiset demot ( ja viimeiset luennot). Torstaina on välikoe 2, muista ilmoittautua! Demorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta (markus.niskanen@utu.fi)

2 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/104 Redusoitu porrasmuoto Matriisin redusoitu porrasmuoto

3 Lineaarialgebra (muut ko) p. 3/104 Redusoitu porrasmuoto Matriisin redusoitu porrasmuoto aste r(a) =porrasluku ja V(A):n kanta on portaiden vaakarivit.

4 Lineaarialgebra (muut ko) p. 4/104 Redusoitu porrasmuoto Eli aste r(a) = 2 ja vaakariviavaruuden V(A) kanta {(1,1,0,2),(0,0,1,1)}.

5 Lineaarialgebra (muut ko) p. 5/104 Redusoitu porrasmuoto Myös I on redusoitu porrasmuoto Lause A on säännöllinen A I

6 Lineaarialgebra (muut ko) p. 6/104 Käänteismatriisi alkeismuunnoksilla Alkeismuunnoksilla (A I) (I A 1 )

7 Lineaarialgebra (muut ko) p. 7/104 Ratkaisuavaruuden dimensio Yhtälöryhmän (n tuntematonta) Ax = 0 ratkaisuavaruuden dimensio n r(a)

8 Lineaarialgebra (muut ko) p. 8/104 Johdanto: Kannanvaihto Vektori (2,3) = c 1 (1,0)+c 2 (0,1) Luonnollinen kanta E = {(1,0),(0,1)}

9 Lineaarialgebra (muut ko) p. 9/104 Johdanto: Kannanvaihto Vektori (2,3) = 2 (1,0)+3 (0,1) Luonnollinen kanta E = {(1,0),(0,1)}

10 Lineaarialgebra (muut ko) p. 10/104 Johdanto: Kannanvaihto Vektori (2,3) = c 1 ( 1, 1)+c 2 (3,2) Toinen kanta B = {( 1, 1),(3,2)}

11 Lineaarialgebra (muut ko) p. 11/104 Johdanto: Kannanvaihto Vektori (2,3) = ( 5) ( 1, 1)+( 1) (3,2) Toinen kanta B = {( 1, 1),(3,2)}

12 Lineaarialgebra (muut ko) p. 12/104 Johdanto: Kannanvaihto Eli samalla vektorilla x = (2,3) on luonnollisen kannan suhteen (2,3) = 2 (1,0)+3 (0,1) ja kannan B suhteen (2,3) = ( 5) ( 1, 1)+( 1) (3,2) eli X E = ( 2 3 ) ja X B = ( 5 1 )

13 Lineaarialgebra (muut ko) p. 13/104 Koordinaattivektori Kanta B = {b 1,...,b n } avaruudelle R n. Vektorin x R n koordinaattivektori X B = r 1 r 2. r n missä kantaesitys x = r 1 b 1 + +r n b n.

14 Lineaarialgebra (muut ko) p. 14/104 Koordinaattivektori Olkoon x = (1,2,3) R 3 :n luonnollisen kannan suhteen 1 X E = 2 3 Kannan B = {(1,1,1),(1,0,2),( 1,2,1)} suhteen X B = 4/5 4/5 3/5

15 Lineaarialgebra (muut ko) p. 15/104 Kannanvaihdon matriisi Toinen kanta C = {c 1,...,c n }. Kannanvaihdon B C matriisi: c 1 = p 11 b 1 + +p n1 b n. c n = p 1n b 1 + +p nn b n. P B C = p 11 p 1n..... p n1 p nn Muista transponointi!

16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 16/104 Kannanvaihdon matriisi X C = P C B X B P B C = (P C B ) 1

17 Lineaarialgebra (muut ko) p. 17/104 Kuvauksista Kuvaus f : A B A B f x y A = määrittelyjoukko B = maalijoukko Yleensä A = R n ja B = R m

18 Lineaarialgebra (muut ko) p. 18/104 Kuvauksista Kuvaus f : A B A B f x u z y Ei ole kuvaus!

19 Lineaarialgebra (muut ko) p. 19/104 Kuvauksista Kuvaus f : A B A f B Im(f) = {f(a) a A} kuvajoukko

20 Lineaarialgebra (muut ko) p. 20/104 Kuvauksista Kuvaus f : A B A f B B B 0 f 1 (B 0 ) = {a A f(a) B 0 } alkukuva

21 Lineaarialgebra (muut ko) p. 21/104 Kuvauksista Kuvaus f : A B A f B f on surjektio, jos Im(f) = B

22 Lineaarialgebra (muut ko) p. 22/104 Kuvauksista Kuvaus f : A B A B f a y b Kuvauksessa voi olla

23 Lineaarialgebra (muut ko) p. 23/104 Kuvauksista Kuvaus f : A B A B f a y b z f on injektio, jos a b f(a) f(b) a,b A Bijektio, jos surjektio ja injektio

24 Lineaarialgebra (muut ko) p. 24/104 Kuvauksista Kuvaus f : A B ja kuvaus g : A B ovat yhtäsuuret, jos f(a) = g(a) a A Merkitään f = g

25 Lineaarialgebra (muut ko) p. 25/104 Kuvauksista Kuvaus f : A B ja g : B C A B C f g x g(f(x)) f(x) Yhdistetty kuvaus g f : A C, (g f)(x) = g(f(x))

26 Lineaarialgebra (muut ko) p. 26/104 Kuvauksista Kuvaus f : A B ja g : B A A B f x y g Käänteiskuvauksia, jos f g = id B ja g f = id A. f 1 olemassa f on bijektio

27 Lineaarialgebra (muut ko) p. 27/104 Lineaarikuvaus Kuvaus f : R n R m on lineaarinen, jos L1: f(x 1 +x 2 ) = f(x 1 )+f(x 2 ) x 1,x 2 R n L2: f(ax) = af(x) x R n,a R. Muista f(0) = 0.

28 Lineaarialgebra (muut ko) p. 28/104 Lineaarikuvaus Kuvaus f : R n R m on lineaarinen, jos L1: f(x 1 +x 2 ) = f(x 1 )+f(x 2 ) x 1,x 2 R n L2: f(ax) = af(x) x R n,a R. Muista f(0) = 0. Kantavektorien kuvien avulla f(b i ) = y i määräytyy koko f(x) yksikäsitteisesti.

29 Lineaarialgebra (muut ko) p. 29/104 Lineaarikuvaus Kuvaus f : R 2 R 2,f(x,y) = (x y,x+y) on lineaarinen.

30 Lineaarialgebra (muut ko) p. 30/104 Lineaarikuvaus Matriisi A M m n indusoi lineaarikuvauksen f : R n R m,f(x) = Ax.

31 Lineaarialgebra (muut ko) p. 31/104 Lineaarikuvaus Matriisi A M m n indusoi lineaarikuvauksen f : R n R m,f(x) = Ax. Matriisi A = ( ) indusoi lineaarikuvauksen ( 1 1 f(x,y) = 1 1 )( x y ) = ( x y x+y ) eli f : R 2 R 2,f(x,y) = (x y,x+y)

32 Lineaarialgebra (muut ko) p. 32/104 Lineaarikuvaus Matriisi A M m n indusoi lineaarikuvauksen f : R n R m,f(x) = Ax. Lineaarikuvauksen f : R n R m matriisi M B,C (f) B = {b 1,...,b n } kanta R n :ssä C = {c 1,...,c m } kanta R m :ssä

33 Lineaarialgebra (muut ko) p. 33/104 Lineaarikuvauksen matriisi kuvien kantaesitykset f(b 1 ) = a 11 c 1 + +a m1 c m.. f(b n ) = a 1n c 1 + +a mn c m M B,C (f) = a 11. a 1n.... a m1 a mn Muista transponointi!

34 Lineaarialgebra (muut ko) p. 34/104 Lineaarikuvaus y = f(x) Y C = M B,C (f) X B

35 Lineaarialgebra (muut ko) p. 35/104 Lineaarikuvaus y = f(x) Y C = M B,C (f) X B Jos B = E ja C = E, niin y = f(x) y = M E,E (f) x

36 Lineaarialgebra (muut ko) p. 36/104 Lineaarikuvaus y = f(x) Y C = M B,C (f) X B Jos B = E ja C = E, niin y = f(x) y = M(f) x

37 Lineaarialgebra (muut ko) p. 37/104 Lineaarikuvaus y = f(x) Y C = M B,C (f) X B Jos B = E ja C = E, niin y = f(x) y = M E,E (f) x Jos sama lähtö- ja maaliavaruus f : R n R n, niin yleensä sama kanta molemmilla puolilla ja merkitään M B (f) = M B,B (f).

38 Lineaarialgebra (muut ko) p. 38/104 Indusoidulle lineaarikuvaukselle Matriisin A M m n indusoima lineaarikuvaus f : R n R m,f(x) = Ax. Tällöin A = M E,E (f).

39 Lineaarialgebra (muut ko) p. 39/104 Lineaarikuvaus Lause 2.4.8: Jos f : R n R m ja g : R m R k ovat lineaarisia, niin g f on lineaarinen ja sen matriisi saadaan M B,D (g f) = M C,D (g)m B,C (f).

40 Lineaarialgebra (muut ko) p. 40/104 Lineaarikuvaus Lause 2.4.8: Jos f : R n R m ja g : R m R k ovat lineaarisia, niin g f on lineaarinen ja sen matriisi saadaan M B,D (g f) = M C,D (g)m B,C (f). Matriisien kertolasku

41 Lineaarialgebra (muut ko) p. 41/104 Lineaarikuvaus ja kannanvaihto Lineaarikuvauksen matriisin muuttuminen kannanvaihdossa B B ja C C : R n m R f M

42 Lineaarialgebra (muut ko) p. 42/104 Lineaarikuvaus ja kannanvaihto Lineaarikuvauksen matriisin muuttuminen kannanvaihdossa B B ja C C : R n m R f M M B,C (f) = P C CM B,C (f)p B B

43 Lineaarialgebra (muut ko) p. 43/104 Lineaarikuvaus ja kannanvaihto Sama lähtö- ja maaliavaruus eli n = m Lineaarikuvauksen matriisin muuttuminen kannanvaihdossa B B molemmissa R n m R f M M B (f) = P 1 M B (f)p missä P = P B B

44 Lineaarialgebra (muut ko) p. 44/104 Miksi kannanvaihto? Lineaarikuvauksen matriisi M E (f) =

45 Lineaarialgebra (muut ko) p. 45/104 Miksi kannanvaihto? Vaihtamalla E B matriisiksi M B (f) =

46 Lineaarialgebra (muut ko) p. 46/104 Miksi kannanvaihto? Vaihtamalla E B matriisiksi M B (f) = Onnistuuko? Mistä kanta B? Mitkä luvut diagonaalilla?

47 Lineaarialgebra (muut ko) p. 47/104 Miksi kannanvaihto? Vaihtamalla E B matriisiksi M B (f) = Onnistuuko? Mistä kanta B? Mitkä luvut diagonaalilla? Näihin vastaaminen on loppukurssin tavoite!

48 Lineaarialgebra (muut ko) p. 48/104 Ydin ja kuva Lineaarikuvauksen ydin ja kuva-avaruus f 0 0 Ker(f) Im(f) Ker(f) = {x R n f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x R n }

49 Lineaarialgebra (muut ko) p. 49/104 Dimensioyhtälö Lineaarikuvauksen f : R n R m dimensioyhtälö n = dim Ker(f)+dim Im(f)

50 Lineaarialgebra (muut ko) p. 50/104 Matriisin avulla Jos niin A = M E,E (f) Im(f) = V(A T ). Alkeismuunnoksilla V(A T ):lle eli Im(f):lle kanta porrasmatriisin portaista.

51 Lineaarialgebra (muut ko) p. 51/104 Helppoa Lineaarikuvaus f : R n R m on injektio Ker(f) = {0}.

52 Lineaarialgebra (muut ko) p. 52/104 Helppoa Lineaarikuvaus f : R n R n on injektio surjektio bijektio

53 Lineaarialgebra (muut ko) p. 53/104 Aliavaruuksien summa Aliavaruuksien summa U 1 +U 2 U+ U 1 2 U 1 U 2 0 U 1 +U 2 = {u 1 +u 2 u 1 U 1,u 2 U 2 }.

54 Lineaarialgebra (muut ko) p. 54/104 Kertausta Suora summa U 1 U 2 jos yksikäsitteinen esitys x = u }{{} 1 + u }{{} 2 U 1 U 2,

55 Lineaarialgebra (muut ko) p. 55/104 Aliavaruuksien summa Suora summa U 1 U 2 Ehto 1: jos U 1 U 2 = {0}.

56 Lineaarialgebra (muut ko) p. 56/104 Aliavaruuksien summa Suora summa U 1 U 2 Ehto 1: jos U 1 U 2 = {0}. Ehto 2: jos u 1 +u 2 = 0, missä u 1 U 1 ja u 2 U 2, niin u 1 = u 2 = 0.

57 Lineaarialgebra (muut ko) p. 57/104 Aliavaruuksien summa Kahden aliavaruuden leikkaus on myös aliavaruus. U 1 U 2

58 Lineaarialgebra (muut ko) p. 58/104 Kannat aliavaruuksien summassa Summan kannat u k u 2 u y 1 1 y 2 y m U+ U 1 2

59 Lineaarialgebra (muut ko) p. 59/104 Kannat aliavaruuksien summassa Suoran summan kannat u k u u 2 1 y y 1 2 U+ U y 1 2 m dim(u 1 U 2 ) = dimu 1 +dimu 2.

60 Lineaarialgebra (muut ko) p. 60/104 Kannat aliavaruuksien summassa Summan kannat u k u 2 u y 1 1 y 2 y m U+ U 1 2 dim(u 1 +U 2 ) = dimu 1 +dimu 2 dim(u 1 U 2 ).

61 Lineaarialgebra (muut ko) p. 61/104 Usean aliavaruuden summa Usean aliavaruuden summa U 1 + +U m on suora summa eli U 1 U m jos ja vain jos Tällöin u }{{} u m = 0 u }{{} 1 = = u m = 0 U 1 U m dim(u 1 U m ) = dimu 1 + +dimu m.

62 Lineaarialgebra (muut ko) p. 62/104 Usean aliavaruuden summa Usean aliavaruuden summa U 1 + +U m on suora summa eli U 1 U m jos ja vain jos Tällöin u }{{} u m = 0 u }{{} 1 = = u m = 0 U 1 U m dim(u 1 U m ) = dimu 1 + +dimu m. Ehto U i U j = {0} ei enää toimi, kts. monisteen huomautus sivulla 26.

63 Lineaarialgebra (muut ko) p. 63/104 Usean aliavaruuden summa Usean aliavaruuden summa U 1 + +U m on suora summa eli U 1 U m jos ja vain jos Tällöin u }{{} u m = 0 u }{{} 1 = = u m = 0 U 1 U m dim(u 1 U m ) = dimu 1 + +dimu m. Ehto: kaikille i = 1,...,m täytyy olla U i (U 1 + +U i 1 +U i+1 + +U m ) = {0}

64 Lineaarialgebra (muut ko) p. 64/104 Miksi kannanvaihto? Lineaarikuvauksen matriisi M E (f) =

65 Lineaarialgebra (muut ko) p. 65/104 Miksi kannanvaihto? Vaihtamalla E B matriisiksi M B (f) =

66 Lineaarialgebra (muut ko) p. 66/104 Miksi kannanvaihto? Vaihtamalla E B matriisiksi M B (f) = Onnistuuko? Mistä kanta B? Mitkä luvut diagonaalilla?

67 Lineaarialgebra (muut ko) p. 67/104 Johdanto Meillä oli esimerkki M E (f) = ( 20/7 3/7 2/7 15/7 ) saatiin sopivalla kannanvaihdolla M B (f) = ( )

68 Lineaarialgebra (muut ko) p. 68/104 Johdanto Yleisestikin pyritään M B (f) = λ λ λ n Onnistuuko aina? Miten löydetään kanta?

69 Lineaarialgebra (muut ko) p. 69/104 Kompleksiluvut Muodossa missä a,b R ja i 2 = 1. a+bi

70 Lineaarialgebra (muut ko) p. 70/104 Kompleksiluvut Muodossa a+bi missä a,b R ja i 2 = 1. (1+2i)+(3+4i) = 4+6i (1+2i) (3+4i) = i+2i 3+2i 4i = 3+10i+8i 2 = 5+10i Lavennetaan 1 2i:llä 1 1+2i = 1 2i (1 2i)(1+2i) = 1 2i 5 = i

71 Lineaarialgebra (muut ko) p. 71/104 Johdanto Olkoon f : R n R n lineaarikuvaus. Jos löydetään kanta B = {b 1,...,b n }, jolle f(b i ) = λ i b i (i = 1,...,n) niin M B (f) = λ λ λ n Tavoite: Löytää tällainen kanta ja luvut λ i. Tarkastellaan tätä varten yhtälöä Ax = λx

72 Lineaarialgebra (muut ko) p. 72/104 Johdanto Olkoon f : R n R n lineaarikuvaus. Jos löydetään kanta B = {b 1,...,b n }, jolle f(b i ) = λ i b i (i = 1,...,n) niin M B (f) = λ λ λ n Tavoite: Löytää tällainen kanta ja luvut λ i. Tarkastellaan tätä varten yhtälöä }{{} A x = λx M E (f)

73 Lineaarialgebra (muut ko) p. 73/104 Ominaisarvot Jos Ax = λx missä x 0, niin λ on ominaisarvo ja x siihen kuuluva ominaisvektori.

74 Lineaarialgebra (muut ko) p. 74/104 Ominaisarvot Ominaisarvot löydetään ominaisarvopolynomin nollakohtina. det(a λi) = 0 Ominaisarvoon λ kuuluvat ominaisvektorit löydetään yhtälöryhmästä (A λi)x = 0.

75 Lineaarialgebra (muut ko) p. 75/104 Ominaisarvot Ominaisarvot löydetään ominaisarvopolynomin nollakohtina. det(a λi) = 0 Ominaisarvoon λ kuuluvat ominaisvektorit löydetään yhtälöryhmästä (A λi)x = 0. Huom. x C n ja x 0.

76 Lineaarialgebra (muut ko) p. 76/104 Ominaisarvot Ominaisarvot löydetään ominaisarvopolynomin nollakohtina. det(a λi) = 0 Ominaisarvoon λ kuuluvat ominaisvektorit löydetään yhtälöryhmästä (A λi)x = 0. Huom. x C n ja x 0. Ominaisarvon algebrallinen kertaluku det(a ti) = ( 1) n (t λ 1 ) k 1...(t λ s ) k s.

77 Lineaarialgebra (muut ko) p. 77/104 Polynomin nollakohdista Aputulos 1. Jos kokonaislukukertoimisella yhtälöllä a n x n +a n 1 x n 1 + +a 1 x+a 0 = 0 on (supistettua muotoa oleva rationaalinen) ratkaisu p q, niin p jakaa kertoimen a 0 ja q jakaa kertoimen a n. Aputulos 2. Polynomi P(x) on jaollinen polynomilla x x 1 tarkalleen silloin, kun x 1 on polynomin P(x) nollakohta eli P(x 1 ) = 0.

78 Lineaarialgebra (muut ko) p. 78/104 Polynomin nollakohdista Esimerkki. Mitkä ovat polynomin 2x 3 +5x 2 +8x+3 nollakohdat? Edellinen aputulos 1 sanoo, että jos rationaaliluku p q esiintyy yhtälön 2x 3 +5x 2 +8x+3 = 0 ratkaisuna, niin p jakaa 3:n ja q jakaa 2:n. Eri mahdollisuudet siis ovat {±1,±3,± 1 2,±3 2 }. Kokeilemalla nähdään, että näistä 1 2 nollakohta. on polynomin

79 Lineaarialgebra (muut ko) p. 79/104 Polynomin nollakohdista Aputulos 2 sanoo siis, että 2x 3 +5x 2 +8x+3 = (x ( 1 2 ))Q(x) missä Q(x) on jokin 2. asteen polynomi, joka löydetään jakamalla jakokulmassa polynomi 2x 3 +5x 2 +8x+3 polynomilla x ( 1 2 ) = x Tulokseksi tulee Q(x) = 2x 2 +4x+6. Sen nollakohdat voidaankin sitten laskea toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla (ovat 1±i 2). Tosin sanoen saatiin hajotelma 2x 3 +5x 2 +8x+3 = 2(x+ 1 2 )(x+1+i 2)(x+1 i 2).

80 Lineaarialgebra (muut ko) p. 80/104 Kertausta Matriisin muuttuminen kannanvaihdossa (Lause 2.5.2): missä M B (f) = P 1 M B (f)p P = P B B

81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 81/104 Kertausta Matriisin muuttuminen kannanvaihdossa (Lause 2.5.2): missä M B (f) = P 1 M B (f)p P = P B B Meillä oli esimerkki ( ) = ( 1/7 3/7 2/7 1/7 )( 20/7 3/7 2/7 15/7 )( )

82 Lineaarialgebra (muut ko) p. 82/104 Similaarisuus Matriisin muuttuminen kannanvaihdossa (Lause 2.5.2): missä M B (f) = P 1 M B (f)p P = P B B Matriisi A on similaarinen matriisin B kanssa, jos on olemassa säännöllinen P, jolle A = P 1 BP

83 Lineaarialgebra (muut ko) p. 83/104 Similaarisuus Matriisin muuttuminen kannanvaihdossa (Lause 2.5.2): missä M B (f) = P 1 M B (f)p P = P B B Matriisi A on similaarinen matriisin B kanssa, jos on olemassa säännöllinen P, jolle A = P 1 BP Lause 4.4.3: Similaarisilla matriiseilla sama ominaisarvopolynomi.

84 Lineaarialgebra (muut ko) p. 84/104 Diagonalisoituvuus Matriisi A on diagonalisoituva, jos P 1 AP = D Tällöin D = λ λ λ n missä λ i on A:n ominaisarvo

85 Lineaarialgebra (muut ko) p. 85/104 Diagonalisoituvuus Matriisi A on diagonalisoituva, jos P 1 AP = D Tällöin D = λ λ λ n missä λ i on A:n ominaisarvo Matriisi on diagonalisoituva ominaisvektoreista voidaan muodostaa kanta C n :lle

86 Lineaarialgebra (muut ko) p. 86/104 Diagonalisoituvuus Olkoot λ 1,...,λ s erisuuret ominaisarvot ja k 1,...,k s niiden algebralliset kertaluvut. Jos A on diagonalisoituva, niin D = λ λ 1... λ s... 0 λ s k 1 kpl k s kpl

87 Lineaarialgebra (muut ko) p. 87/104 Diagonalisoituvuus Olkoot λ 1,...,λ s erisuuret ominaisarvot ja k 1,...,k s niiden algebralliset kertaluvut. Jos A on diagonalisoituva, niin P = λ 1 :n... λ s :n ominaisvektoreita ominaisvektoreita k 1 kpl k s kpl

88 Lineaarialgebra (muut ko) p. 88/104 Diagonalisoituvuus Olkoot λ 1,...,λ s erisuuret ominaisarvot ja k 1,...,k s niiden algebralliset kertaluvut. Jos A on diagonalisoituva, niin P = λ 1 :n... λ s :n ominaisvektoreita ominaisvektoreita } {{ } lineaarisesti riippumattomia! k 1 kpl k s kpl

89 Lineaarialgebra (muut ko) p. 89/104 Ominaisavaruus Ominaisavaruus V λ = {x C n (A λi)x = 0} Erisuurille ominaisarvoille λ 1,...,λ s V λ1 V λs

90 Lineaarialgebra (muut ko) p. 90/104 Kertaus: Lause Usean aliavaruuden summa U 1 + +U s on suora summa eli U 1 U s jos ja vain jos Tällöin u }{{} u s = 0 u }{{} 1 = = u s = 0 U 1 U s dim(u 1 U s ) = dimu 1 + +dimu s.

91 Lineaarialgebra (muut ko) p. 91/104 Diagonalisoituvuus Olkoot λ 1,...,λ s erisuuret ominaisarvot ja k 1,...k s niiden algebralliset kertaluvut. Jos A on diagonalisoituva, niin P = λ 1 :n... λ s :n ominaisvektoreita ominaisvektoreita k 1 kpl }{{} lin.riippumattomia k s kpl }{{} lin.riippumattomia

92 Lineaarialgebra (muut ko) p. 92/104 Geometrinen kertaluku Ominaisarvon λ geometrinen kertaluku dimv λ Erisuurille ominaisarvoille λ 1,...,λ s V λ1 V λs Ominaisarvon algebrallinen kertaluku det(a ti) = ( 1) n (t λ 1 ) k 1...(t λ s ) k s. k 1 + +k s = n

93 Lineaarialgebra (muut ko) p. 93/104 Matriisin diagonalisointi: yhteenveto Olkoon n n-matriisin A ominaisarvot λ 1,...,λ n. Pyritään löytämään (jos mahdollista) matriisi P ja diagonaalimatriisi D, joille P 1 AP = D. 1 Jos ominaisarvot ovat kaikki erisuuria, niin diagonalisointi onnistuu. Etsi jokaiselle ominaisarvolle λ j jokin siihen kuuluva ominaisvektori x j. Tällöin P = (x 1 x 2 x n ) ja D = diag (λ 1,λ 2,...,λ n ).

94 Lineaarialgebra (muut ko) p. 94/104 Matriisin diagonalisointi: yhteenveto 2 Jos kaikki ominaisarvot eivät ole erisuuria, niin olkoot λ 1,...,λ s erisuuret ominaisarvot ja det(a ti) = ( 1) n (t λ 1 ) k 1 (t λ 2 ) k2 (t λ s ) k s. Etsi kullekin λ i :lle (i = 1,...,s) algebrallisen kertaluvun k i osoittama määrä lineaarisesti riippumattomia ominaisvektoreita, jos mahdollista. 2a Jos tämä ei onnistu (ts. geometrinen kertaluku dimv λi < k i jollekin ominaisarvolle λ i ), niin matriisi ei ole diagonalisoituva.

95 Lineaarialgebra (muut ko) p. 95/104 Matriisin diagonalisointi: yhteenveto 2b Jos onnistuu, niin muodosta matriisi P laittamalla λ i :n (i = 1,..., s) lineaarisesti riippumattomat ominaisvektorit x 1,i,x 2,i...,x ki,i P :n pystyriveiksi eli P = x 1,1 x 2,1 x k1,1 }{{} λ 1 :n ominaisvektorit x 1,2 x k2,2 }{{} λ 2 :n ominaisvektorit x 1,s x ks,s }{{} λ s :n ominaisvektorit ja siis D = diag (λ 1,λ 1,...,λ }{{} 1,λ 2,...,λ 2,...,λ }{{} s,...,λ s ) }{{} k 1 kpl k 2 kpl k s kpl

96 Lineaarialgebra (muut ko) p. 96/104 Kertausta: Nyt taasr n eikäc n Vektoreiden x,y R n sisätulo (x,y) = x 1 y 1 + +x n y n ortogonaalisuus x y (x, y) = 0 (u,u) = u 2 au = a u Vektorin u ortogonaaliprojektio vektorilla v p = (u,v) v 2 v = (u,v) (v,v) v

97 Lineaarialgebra (muut ko) p. 97/104 Ortonormaalisuus Vektorijoukko {x 1,...,x m } on ortogonaalinen, jos (x i,x j ) = 0 i j ortonormaali, jos ortogonaalinen ja pituudet = 1 eli (x i,x j ) = δ ij = { 0 i j 1 i = j

98 Lineaarialgebra (muut ko) p. 98/104 Ortonormaalisuus Vektorijoukko {x 1,...,x m } on ortogonaalinen, jos (x i,x j ) = 0 i j ortonormaali, jos ortogonaalinen ja pituudet = 1 eli (x i,x j ) = δ ij = { 0 i j 1 i = j pituus ykköseksi, x 0, 1 x x

99 Lineaarialgebra (muut ko) p. 99/104 Ortonormaalikanta Aliavaruudelle U R n ortonormaalikanta? Jos u 1,...,u m on ortonormaalikanta, niin kantaesitys vektorille x U helposti x = m r i u i i=1

100 Lineaarialgebra (muut ko) p. 100/104 Ortonormaalikanta Aliavaruudelle U R n ortonormaalikanta? Jos u 1,...,u m on ortonormaalikanta, niin kantaesitys vektorille x U helposti x = m (x,u i )u i (5.2) i=1

101 Lineaarialgebra (muut ko) p. 101/104 Kertausta Aliavaruudelle U R n ortonormaalikanta? Jos u 1,...,u m on ortonormaalikanta, niin kantaesitys vektorille x U helposti x = m (x,u i )u i (5.2) i=1 Vektorin u ortogonaaliprojektio vektorilla v p = (u,v) v 2 v = (u,v) (v,v) v

102 Lineaarialgebra (muut ko) p. 102/104 Kannasta ortonormaalikanta Aliavaruudella U R n on aina ortonormaalikanta: 1) Gramin-Schmidtin menetelmällä saadaan kannasta {x 1,...,x m } ortogonaalinen: 2) pituudet ykköseksi y 1 = x 1 y j = x j j 1 i=1 { 1 y 1 y 1,..., (x j,y i ) (y i,y i ) y i. 1 y m y m}

103 Lineaarialgebra (muut ko) p. 103/104 Ortogonaalikomplementti Ortogonaalikomplementti U = {x R n x u u U} R n = U U (U ) = U

104 Lineaarialgebra (muut ko) p. 104/104 Transponoinnista kertausta Muistetaan (Osa 1 sivu 14), että sisätulolle (x,y) = x T y. (AB) T = B T A T. Helposti nähdään, että (A+B) T = A T +B T