Insinöörimatematiikka D

Transkriptio

1 Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 4 1 of 13

2 Kertausta Matriisi A on kaavio A = A 11 A A 1n A 21 A A 2n A m1 A m2... A mn. Tyyppi m n: m riviä, n saraketta. A ij : matriisin alkiot A ij R: reaalinen matriisi A ij C: kompleksinen matriisi M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 4 2 of 13

3 Kertausta 1 n-matriisia A = (A 11 A A 1n ) kutsutaan vaakavektoriksi tai rivivektoriksi. A 11 A 21 m 1-matriisia A = kutsutaan pystyvektoriksi tai. sarakevektoriksi. Huomautus A m1 Sekä pysty- että vaakavektori voidaan tulkita avaruuden R n (tai C n ) alkioksi. Näissä käytetään yleensä vain yksinkertaista indeksointia. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 4 3 of 13

4 Kertausta Nollamatriisi O on matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia Neliömatriisi on matriisi, jossa rivien määrä on sama kuin sarakkeiden määrä Diagonaalimatriisi on neliömatriisi D, jolle pätee i j D ij = 0. Identiteettimatriisi I n on diagonaalimatriisi, jonka kaikki diagonaalialkiot ovat ykkösiä. Transpoosi (A T ) ij = A ji. Neliömatriisi A on symmetrinen, jos A T = A. Matriisin A:n vastamatriisi A määritellään asettamalla ( A) ij = A ij. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 4 4 of 13

5 Lineaarikuvaukset Funktio f : R n R m on lineaarinen, jos f (ax + by) = af (x) + bf (y) aina, kun x, y R n ja a ja b ovat skalaareita. Esimerkkejä Esimerkkejä monisteesta ja muualta. Seuraus Jos f : U V on lineaarinen, on f (0) = 0. Lisäksi f (a 1 x 1 + a 2 x a n x n ) = a 1 f (x 1 ) + a 2 f (x 2 )... + a n f (x n ). M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 4 5 of 13

6 Seuraus Huomautus Olkoon f : R n R m lineaarinen ja x = x 1 e x n e n, jolloin f (x) = x 1 f (e 1 ) x n f (e n ). Huomautus Merkitsemällä y = f (x) ja a ij = f (e j ) i saadaan y i = f (e 1 ) i x 1 + f (e 2 ) i x f (e n ) i x n = a i1 x 1 + a i2 x a in x n Kuvavektorin y koordinaatit y i ovat ensimmäisen asteen lausekkeita alkukuvan x koordinaateista. Tämä olisi voitu ottaa lineaarikuvauksen määritelmäksi. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 4 6 of 13

7 Lineaarikuvaukset Jos y i = a i1 x 1 + a i2 x a in x n, on a 11 a a 1n a 21 a a 2n M f = a m1 a m2... a mn lineaarikuvauksen f : R n R m matriisi (luonnollisten kantojen suhteen). Koska a ij = f (e j ) i, niin voidaan huomata, että M f = ( f (e 1 ) T f (e 2 ) T... f (e n ) T ) Esimerkkejä Esimerkkejä monisteesta ja muualta. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 4 7 of 13

8 Matriisit Jos A on tyyppiä r s ja B tyyppiä s t, on matriisien A ja B tulo r t-matriisi AB, missä Esimerkkejä (AB) ij = s A ik B kj. k=1 Esimerkkejä monisteesta ja muualta M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 4 8 of 13

9 Matriisit Lause On voimassa A(BC) = (AB)C A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC a(ab) = (aa)b = A(aB) AO = OA = O AI = IA = A, (AB) T = B T A T, edellyttäen että vasemmat puolet ovat määriteltyjä. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 4 9 of 13

10 Matriisit Huomautus Matriisitulo voidaan laskea lohkomuodossa: ( ) ( ) ( A1 A 2 B1 B 2 A1 B = 1 + A 2 B 3 A 1 B 2 + A 2 B 4 A 3 A 4 B 3 B 4 A 3 B 1 + A 4 B 3 A 3 B 2 + A 4 B 4 ) Jos A on neliömatriisi ja n {0, 1, 2,...}, määritellään { A 0 = I A n = A A... A (n kpl). M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 4 10 of 13

11 Matriisitulo n mukaan = a 11 a a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn x 1 x 2. x n a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 4 11 of 13

12 Matriisitulo Matriisitulon merkitys Kun merkitään y i = a i1 x 1 + a i2 x a in x n, saadaan y 1 a 11 a a 1n x 1 y 2. = a 21 a a 2n x y m a m1 a m2... a mn x n Lause Lineaarikuvaus f : R n R m voidaan esittää muodossa f (x) = Ax, missä x on pystyvektori ja A on m n-matriisi. Matriisi A = A f on lineaarikuvauksen f matriisi luonnollisen kannan suhteen. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 4 12 of 13

13 Matriisitulo Lineaarikuvausten yhdistäminen Olkoot f : R n R m ja g : R m R k lineaarikuvauksia, joiden matriisit ovat A f ja A g. Yhdistetty kuvaus g f : R n R k voidaan esittää muodossa (g f )(x) = g(f (x)) = A g (A f x) = (A g A f )x. Täten A g f = A g A f Huomautus Jos A on m n-matriisi, x n-pituinen pystyvektori ja y = Ax m-pituinen pystyvektori. Transponoimalla yhtälö y = Ax saadaan y T = x T A T. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 4 13 of 13