Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210"

Transkriptio

1 Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210

2 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 ) Skalaarilla kertominen (a R): au = (au 1,au 2 ) Kommutatiivisuus Assosiatiivisuus u+v = v+u (u+v)+w = u+(v+w)

3 Lineaarialgebra (muut ko) p. 3/210 Pituus ja sisätulo Vektorin u = (u 1,u 2 ) R 2 pituus u = u 2 1 +u2 2 Vektorien u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) sisätulo Pituudelle ax = a x (u,v) = u v = u 1 v 1 +u 2 v 2. Muistetaan, että u 2 = (u,u).

4 Lineaarialgebra (muut ko) p. 4/210 Sisätulo Sisätulon ominaisuuksia (s.3) (u,u) 0 (u,u) = 0 u = 0 (u,v) = (v,u) (u+v,w) = (u,w)+(v,w). (au,v) = a(u,v), a R.

5 Lineaarialgebra (muut ko) p. 5/210 Sisätulo Sisätulon ominaisuuksia (s.3) (u,u) 0 (u,u) = 0 u = 0 (u,v) = (v,u) (u+v,w) = (u,w)+(v,w). (au,v) = a(u,v), a R. Myös (u,v+w) = (u,v)+(u,w) ja(u v,w) = (u,w) (v,w).

6 Lineaarialgebra (muut ko) p. 6/210 Avaruusvektorit, s. 4 Avaruusvektorien joukko R 3 = {(x,y,z) x,y,z R}. Vektoreille u = (u 1,u 2,u 3 ) ja v = (v 1,v 2,v 3 ) operaatiot Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2,u 3 +v 3 ) Skalaarilla kertominen (a R): au = (au 1,au 2,au 3 )

7 Lineaarialgebra (muut ko) p. 7/210 Avaruusvektorit Avaruusvektoreille u = (u 1,u 2,u 3 ) ja v = (v 1,v 2,v 3 ) aiemmat tulokset (1.3) (1.7) toimivat myös R 3 :ssa, kun määritellään u = u 2 1 +u2 2 +u2 3 ja (u,v) = u 1 v 1 +u 2 v 2 +u 3 v 3.

8 Lineaarialgebra (muut ko) p. 8/210 Suorat Suoran L standardiesitys L : x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c missä P = (x 0,y 0,z 0 ) on jokin L:n piste ja s = (a,b,c) (0,0,0) on suoran suuntavektori P

9 Lineaarialgebra (muut ko) p. 9/210 Suorat Suoran L standardiesitys L : x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c missä P = (x 0,y 0,z 0 ) on jokin L:n piste ja s = (a,b,c) (0,0,0) on suoran suuntavektori P s

10 Lineaarialgebra (muut ko) p. 10/210 Parametriesitys Suoran L koordinaattimuotoinen parametriesitys x = x 0 +ta y = y 0 +tb z = z 0 +tc (t R)

11 Lineaarialgebra (muut ko) p. 11/210 Parametriesitys Suoran L koordinaattimuotoinen parametriesitys x = x 0 +ta y = y 0 +tb z = z 0 +tc t = 1 (t R) P ts vektoreina r = r 0 +ts, t R.

12 Lineaarialgebra (muut ko) p. 12/210 Parametriesitys Suoran L koordinaattimuotoinen parametriesitys x = x 0 +ta y = y 0 +tb z = z 0 +tc (t R) P t = 2 ts vektoreina r = r 0 +ts, t R.

13 Lineaarialgebra (muut ko) p. 13/210 Erikoistapaukset (standardiesitys) Tapaus c = 0: L : Tapaus b = c = 0: x x 0 a = y y 0 b, z = z 0 L : y = y 0, z = z 0

14 Lineaarialgebra (muut ko) p. 14/210 Tasot Tason piste P = (x 0,y 0,z 0 ) ja normaalivektori n = (a,b,c) (0,0,0). Tason T koordinaattimuotoinen esitys T : ax+by +cz = d missä d = ax 0 +by 0 +cz 0.

15 Lineaarialgebra (muut ko) p. 15/210 Mitä yhtälöryhmälle saa tehdä? 1) Yhtälön voi kertoa vakiolla 0 2) Yhtälön voi lisätä toiseen vakiolla kerrottuna 3) Yhtälöiden järjestystä voi vaihtaa

16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 16/210 n-ulotteinen avaruus, s.9 Vektorien joukko R n = {(x 1,x 2,...,x n ) x 1,x 2,...,x n R}. Vektoreille u = (u 1,u 2,...,u n ) ja v = (v 1,v 2,...,v n ) operaatiot Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2,...,u n +v n ) Skalaarilla kertominen (a R): au = (au 1,au 2,...,au n )

17 Lineaarialgebra (muut ko) p. 17/210 n-ulotteinen avaruus, s.9 Vektoreille u = (u 1,u 2,...,u n ) ja v = (v 1,v 2,...,v n ) aiemmat tulokset (1.3) (1.7) toimivat myös R n :ssa, kun määritellään u = u 2 1 +u u2 n ja (u,v) = u 1 v 1 +u 2 v 2 + +u n v n.

18 Lineaarialgebra (muut ko) p. 18/210 MATRIISIT: Johdanto (k = 20) { 2x+3y = 0 4x+ky = 0 Ratkaisuja 1, kun 2 k 3 4 0, Ratkaisuja, kun 2 k 3 4 = 0 (eli k = 6).

19 Lineaarialgebra (muut ko) p. 18/210 MATRIISIT: Johdanto (k = 7) { 2x+3y = 0 4x+ky = 0 Ratkaisuja 1, kun 2 k 3 4 0, Ratkaisuja, kun 2 k 3 4 = 0 (eli k = 6).

20 Lineaarialgebra (muut ko) p. 18/210 MATRIISIT: Johdanto { 2x+3y = 1 4x+ky = 5 Ratkaisuja 1, kun 2 k 3 4 0,

21 Lineaarialgebra (muut ko) p. 18/210 MATRIISIT: Johdanto { 2x+3y = 1 4x+ky = 5 Ei ratkaisuja, kun 2 k 3 4 = 0, eli k = 6.

22 Lineaarialgebra (muut ko) p. 19/210 MATRIISIT: Johdanto Kertoimista "matriisi" ( k ) ja "determinantti" k = 2 k 3 4

23 Lineaarialgebra (muut ko) p. 20/210 MATRIISIT: Johdanto Kertoimista "matriisi" ( k ) ja "determinantti" k = 2k 3 4 "vakiot"pystyvektorina ( 1 5 )

24 Lineaarialgebra (muut ko) p. 21/210 MATRIISIT: Johdanto Yleistyykö edellinen tarkastelu? Entä kun tuntemattomia ja yhtälöitä eri määrä? Onko yhtälöryhmää, jossa tarkalleen 17 ratkaisua?

25 Lineaarialgebra (muut ko) p. 22/210 Matriiseista Samaa tyyppiä olevat m n-matriisit voidaan laskea yhteen A+B Nollamatriisi O = (0) m n Transponointi A T ( ) T =

26 Lineaarialgebra (muut ko) p. 23/210 Matriisien tulo, s. 13 Matriisien A = (a ij ) m s ja B = (b ij ) s n tulo on AB = (u ij ) m n missä kaikilla i, j. u ij = a i1 b 1j +a i2 b 2j + +a is b sj

27 Lineaarialgebra (muut ko) p. 24/210 Matriisien tulo Matriisitulo ( ) 2 2 ( ) 2 3 =

28 Lineaarialgebra (muut ko) p. 25/210 Matriisien tulo Matriisitulo ( ) 2 2 ( ) 2 3 = ( )

29 Lineaarialgebra (muut ko) p. 26/210 Matriisien tulo Matriisitulo ( ) 2 2 ( ) 2 3 = ( )

30 Lineaarialgebra (muut ko) p. 27/210 Matriisien tulo Yleensä ei KOMMUTOI AB BA

31 Lineaarialgebra (muut ko) p. 28/210 Matriisien tulo Kaikkien m n-matriisien joukko M m n

32 Lineaarialgebra (muut ko) p. 29/210 Laskusääntöjä, s. 18 skalaari r R (AB)C = A(BC) A(B +C) = AB +AC (A+B)C = AC +BC r(ab) = A(rB)

33 Lineaarialgebra (muut ko) p. 30/210 Johdanto yhtälöryhmiin Tutkitaan ratkaisuja 5x + y + t = 1 3x y + 2z t = 2 x + y z = 0

34 Lineaarialgebra (muut ko) p. 31/210 Johdanto yhtälöryhmiin Tutkitaan ratkaisuja 5x 1 + x 2 + x 4 = 1 3x 1 x 2 + 2x 3 x 4 = 2 x 1 + x 2 x 3 = 0

35 Lineaarialgebra (muut ko) p. 32/210 Johdanto yhtälöryhmiin Tutkitaan ratkaisuja 5x 1 + x 2 + x 4 = 1 3x 1 x 2 + 2x 3 x 4 = 2 x 1 + x 2 x 3 = 0 Tästä matriisit , x 1 x 2 x 3 x 4, 1 2 0

36 Lineaarialgebra (muut ko) p. 33/210 Johdanto yhtälöryhmiin, s.16 Tutkitaan ratkaisuja 5x 1 + x 2 + x 4 = 1 3x 1 x 2 + 2x 3 x 4 = 2 x 1 + x 2 x 3 = 0 Tästä matriisit , 1 } 1 1 {{ 0 } kerroinmatriisi x 1 x 2 x 3 x 4, }{{} tuntemattomat }{{} vakiot

37 Lineaarialgebra (muut ko) p. 34/210 Esimerkiksi { 2x + 3y = 1 4x + 5y = 3

38 Lineaarialgebra (muut ko) p. 35/210 Esimerkiksi { 2x 1 + 3x 2 = 1 4x 1 + 5x 2 = 3

39 Lineaarialgebra (muut ko) p. 36/210 Esimerkiksi { 2x 1 + 3x 2 = 1 4x 1 + 5x 2 = 3 A = ( ) x = ( x 1 x 2 ) c = ( 1 3 ) Matriisikielellä Ax = c

40 Lineaarialgebra (muut ko) p. 37/ Lineaariset yhtälöryhmät Monisteessa (2.3) a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = c 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = c 2... a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = c m

41 Lineaarialgebra (muut ko) p. 38/210 Matriisien avulla Ax = c, missä A = a 11 a a 1n a 12 a a 2n , a m1 a m2... a mn ja x = x 1 x 2. c = c 1 c 2. x n c m

42 Lineaarialgebra (muut ko) p. 39/210 Homogeenisuus Yhtälöryhmä on homogeeninen, jos Monisteessa (2.5) a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = 0... a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = 0 eli matriisimuodossa Ax = 0. Muutoin epähomogeeninen

43 Lineaarialgebra (muut ko) p. 40/210 Esimerkiksi Epähomogeeninen { 2x 1 + 3x 2 = 1 4x 1 + 5x 2 = 3 Homogeeninen { 2x 1 + 3x 2 = 0 4x 1 + 5x 2 = 0

44 Lineaarialgebra (muut ko) p. 41/210 Yhtälöryhmistä Olkoon x 0 yksittäisratkaisu epähomogeeniselle yhtälöryhmälle Ax = c. Silloin sen kaikki ratkaisut ovat muotoa x = x 0 +y missä y on homogeenisen yhtälöryhmän Ax = 0 kaikki ratkaisut.

45 Lineaarialgebra (muut ko) p. 42/210 Tulon transponointi (AB) T = B T A T Matriisi on symmetrinen, jos järjestys! A T = A Identiteettimatriisi I = I n = Neliömatriisille A: AI = IA = A

46 Lineaarialgebra (muut ko) p. 43/210 Matriisin potenssi Kun kokonaisluku k 1 A k = A A A }{{} k Lisäksi A 0 = I

47 Lineaarialgebra (muut ko) p. 44/210 Matriisiyhtälöistä (s. 20) Matriisiyhtälöitä voidaan käsitellä kuten reaalilukuyhtälöitä, kunhan ei käytetä jakolaskua eikä kommutatiivisuutta Ei siis voi yleensä supistaa AB = AC B = C

48 Lineaarialgebra (muut ko) p. 45/210 Käänteismatriisi Määritelmä neliömatriisin A käänteismatriisille eli EI MERKITÄ 1 A vaana 1 Ei aina olemassa, esim A = AB = BA = I AA 1 = A 1 A = I ( ).

49 Lineaarialgebra (muut ko) p. 46/210 Säännöllisyys A on säännöllinen, jos A 1 on olemassa.

50 Lineaarialgebra (muut ko) p. 47/210 Säännöllisyys A on säännöllinen, jos A 1 on olemassa. Jos matriisin A = ( a b c d ) kertoimille ad bc 0, niin A 1 = 1 ad bc ( d b c a )

51 Lineaarialgebra (muut ko) p. 48/210 Laskusääntöjä Olkoot A ja B säännöllisiä matriiseja: (AB) 1 = B 1 A 1 (A T ) 1 = (A 1 ) T

52 Lineaarialgebra (muut ko) p. 49/210 Laskusääntöjä Olkoot A ja B matriiseja, missä pystyrivien avulla B = (b 1 b k ). Silloin kertolasku AB = (Ab 1 Ab k )

53 Lineaarialgebra (muut ko) p. 50/ Matriisien kertominen lohkomuodossa Lohkominen ( A B C D )( 1 0 a b 0 1 c d A B C D ) = ( ( I A O I ) AA +BC AB +BD CA +DC CB +DD ) Esimerkiksi ( I A O I )( A O I B ) = ( O AB I B )

54 Lineaarialgebra (muut ko) p. 51/210 Determinantti Neliömatriisille A: det(a) = a 11 a a 1n a 21 a a 2n a n1 a n2... a nn = kaikki permutaatiot(j 1,j 2,...,j n ) sign(j 1,j 2,...,j n )a 1j1 a 2j2...a njn

55 Lineaarialgebra (muut ko) p. 52/210 2-rivinen determinantti a b c d = ad cb

56 Lineaarialgebra (muut ko) p. 53/210 Perusominaisuuksia, s. 26 1) 2) a ca 1k... a 1n a ca 2k... a 2n a n1... ca nk... a nn det(a T ) = det(a) = c a a 1k... a 1n a a 2k... a 2n a n1... a nk... a nn vastaavasti vaakariville

57 Lineaarialgebra (muut ko) p. 54/210 Perusominaisuuksia, s. 27 3) a a 1k +b 1k... a 1n a a 2k +b 2k... a 2n a n1... a nk +b nk... a nn = a a 1k... a 1n a a 2k... a 2n a n1... a nk... a nn + a b 1k... a 1n a b 2k... a 2n a n1... b nk... a nn vastaavasti vaakariville

58 Lineaarialgebra (muut ko) p. 55/210 Perusominaisuuksia, s. 27 4) Jos pysty- tai vaakarivi on nollarivi, niin det(a) = 0. 5) Jos kaksi samaa pystyriviä (tai kaksi samaa vaakariviä), niin det(a) = 0. 6) Jos kaksi vaakariviä (tai kaksi pystyriviä) vaihdetaan keskenään, niin determinantti muuttuu vastaluvukseen. a 11 a a 1n a 21 a a 2n a n1 a n2... a nn = a 21 a a 2n a 11 a a 1n a n1 a n2... a nn

59 Lineaarialgebra (muut ko) p. 56/210 Perusominaisuuksia, s. 27 7) c + a a 1h... a 1k... a 1n a a 2h... a 2k... a 2n a n1... a nh... a nk... a nn = a a 1h... a 1k +ca 1h... a 1n a a 2h... a 2k +ca 2h... a 2n a n1... a nh... a nk +ca nh... a nn vastaavasti vaakariville

60 Lineaarialgebra (muut ko) p. 57/210 Tulon determinantti det(ab) = det(a) det(b) Jos A on säännöllinen, niin det(a 1 ) = 1 det(a)

61 Lineaarialgebra (muut ko) p. 58/210 Alkion komplementti Matriisin alkion a ij komplementti C ij = ( 1) i+j det(a ij ) missä A ij saatu poistamalla matriisista A vaakarivi i ja pystyrivi j. Deteminantin rivikehitelmät (vaakariville) det(a) = a i1 C i1 + +a in C in

62 Lineaarialgebra (muut ko) p. 59/210 Alkion komplementti Matriisin alkion a ij komplementti C ij = ( 1) i+j det(a ij ) missä A ij saatu poistamalla matriisista A vaakarivi i ja pystyrivi j. Deteminantin rivikehitelmät (vaakariville) ( = ) ( ) ( )

63 Lineaarialgebra (muut ko) p. 60/210 Alkion komplementti Matriisin alkion a ij komplementti C ij = ( 1) i+j det(a ij ) missä A ij saatu poistamalla matriisista A vaakarivi i ja pystyrivi j. Deteminantin rivikehitelmät (vaakariville) det(a) = a i1 C i1 + +a in C in = n a ik C ik k=1 ja pystyriville det(a) = n a kj C kj k=1

64 Lineaarialgebra (muut ko) p. 61/210 Käänteismatriisin kaava Matriisin A liittomatriisi adj(a) = (C ij ) T Jos A on säännöllinen, niin A 1 = 1 det(a) (C ij) T A on säännöllinen det(a) 0

65 Lineaarialgebra (muut ko) p. 62/210 Cramerin sääntö Jos yhtälöryhmän Ax = c kerroinmatriisi A on säännöllinen, niin sillä on yksikäsitteinen ratkaisu x j = det(a j) det(a) missä x = x 1 x 2. x n ja A j saadaan korvaamalla j:s pystyrivi c:llä

66 Lineaarialgebra (muut ko) p. 63/210 Ristitulo, s. 34 Tarkastelussa vain R 3 Olkoon u = (u 1,u 2,u 3 ) R 3 v = (v 1,v 2,v 3 ) R 3 u v = (C 11,C 12,C 13 ).

67 Lineaarialgebra (muut ko) p. 64/210 Ristitulo, s. 34 Tarkastelussa vain R 3 Olkoon u = (u 1,u 2,u 3 ) R 3 u v = v = (v 1,v 2,v 3 ) R 3 u 2 u 3 u 1 u 3 u 1 u 2,, v 2 v 3 v 1 v 3 v 1 v 2. }{{}}{{}}{{} C 11 C 12 C 13

68 Lineaarialgebra (muut ko) p. 65/210 Ristitulo Eli (u,u v) = u 1 C 11 +u 2 C 12 +u 3 C 13 ( ) u 2 u 3 = u 1 v 2 v 3 +u u 1 u 3 2 v 1 v 3 +u 3 u 1 u 2 v 1 v 2 ja samoin (v,u v) = v 1 C 11 +v 2 C 12 +v 3 C 13 ( ) u 2 u 3 = v 1 v 2 v 3 +v u 1 u 3 u 1 u 2 2 +v 3 v 1 v 3 v 1 v 2 Johtavat determinantteihin (kehittämällä 1. vaakarivi) u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 u 1 u 2 u 3 u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 v 1 v 2 v 3

69 Lineaarialgebra (muut ko) p. 66/210 Ristitulo Eli (u,u v) = u 1 C 11 +u 2 C 12 +u 3 C 13 ( ) u 2 u 3 = u 1 v 2 v 3 +u u 1 u 3 2 v 1 v 3 +u 3 u 1 u 2 v 1 v 2 ja samoin (v,u v) = v 1 C 11 +v 2 C 12 +v 3 C 13 ( ) u 2 u 3 = v 1 v 2 v 3 +v u 1 u 3 u 1 u 2 2 +v 3 v 1 v 3 v 1 v 2 Johtavat determinantteihin (kehittämällä 1. vaakarivi) u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 u 1 u 2 u 3 = 0 = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 v 1 v 2 v 3

70 Lineaarialgebra (muut ko) p. 67/210 Ristitulo Siis u (C 11,C 12,C 13 ) = 0 v (C 11,C 12,C 13 ) = 0

71 Lineaarialgebra (muut ko) p. 68/210 Muistisääntö Ristitulo (vain R 3 :ssa) Vektoreille u = (u 1,u 2,u 3 ) ja v = (v 1,v 2,v 3 ) u v = i j k u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 Jos u ja v eivät nollavektoreita ja α on niiden välinen kulma, niin u v = u v sinα. Vertaa (1.4): (u,v) = u v cosα. u u v ja v u v

72 Lineaarialgebra (muut ko) p. 69/210 Muistisääntö Ristitulo (vain R 3 :ssa) Vektoreille u = (u 1,u 2,u 3 ) ja v = (v 1,v 2,v 3 ) u v = Ei kommutatiivinen i j k u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 u v = v u Ei myöskään assosiatiivinen eli yleensä u (v w) (u v) w.

73 Lineaarialgebra (muut ko) p. 70/210 Skalaarikolmitulo Skalaarikolmitulo vektoreille u = (u 1,u 2,u 3 ), v = (v 1,v 2,v 3 ) ja w = (w 1,w 2,w 3 ): u (v w) = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 Vektorien määräämän suuntaissärmiön (kts. kuva alla) tilavuus saadaan itseisarvosta u (v w) u w v

74 Lineaarialgebra (muut ko) p. 71/210 Aliavaruus Aliavaruudelle U R n kolme ehtoa: 1) U 2) u,v U u+v U 3) a R, u U au U.

75 Lineaarialgebra (muut ko) p. 72/210 Aliavaruus Aliavaruudelle U R n kolme ehtoa: 1) U 2) u,v U u+v U 3) a R, u U au U.

76 Lineaarialgebra (muut ko) p. 73/210 Aliavaruus Aliavaruudelle U R n kolme ehtoa: 1) U 2) u,v U u+v U 3) a R, u U au U. 0 kuuluu aina aliavaruuteen! U = {x R n Ax = 0} on R n :n aliavaruus Triviaalit aliavaruudet: {0} ja R n.

77 Lineaarialgebra (muut ko) p. 74/210 Ratkaisuavaruus (Lause 4.1.8) Lineaarisen homogeenisen yhtälöryhmän a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = 0... a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = 0 ratkaisut x = x 1. x n muodostavat aliavaruuden (ns. ratkaisuavaruuden)

78 Lineaarialgebra (muut ko) p. 75/210 Ratkaisuavaruus (Lause 4.1.8) Lineaarisen homogeenisen yhtälöryhmän Ax = 0 ratkaisut x = x 1. x n muodostavat aliavaruuden (ns. ratkaisuavaruuden)

79 Lineaarialgebra (muut ko) p. 76/210 AliavaruudetR 3 :ssa {0} origon kautta kulkevat suorat origon kautta kulkevat tasot R 3

80 Lineaarialgebra (muut ko) p. 77/210 Viritetty aliavaruus vektorien x 1,x 2,...,x k R n lineaarikombinaatio vektorien virittämä aliavaruus c 1 x 1 +c 2 x c k x k L(x 1,x 2,...,x k ) = {c 1 x 1 +c 2 x c k x k c 1,c 2,...,c k R}

81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 78/210 Viritetty aliavaruus vektorien x 1,x 2,...,x k R n lineaarikombinaatio vektorien virittämä aliavaruus c 1 x 1 +c 2 x c k x k L(x 1,x 2,...,x k ) = {c 1 x 1 +c 2 x c k x k c 1,c 2,...,c k R} Esimerkiksi a(1,1)+b(1,0) ja L((1,1),(1,0)) sisältää mm. vektorit (0,0),(1,1),(1,0),(2,1),(0,1),( 2,0),...

82 Lineaarialgebra (muut ko) p. 79/210 Matriisien avulla Pystyrivien lineaarikombinaatio A = (a 1 a 2... a n ) Ac = c 1 a 1 + +c n a n

83 Lineaarialgebra (muut ko) p. 80/210 Matriisien avulla matriisin pystyriveille A = (a 1 a 2... a n ) m n Lause 4.2.8: neliömatriisille L(a 1,a 2,...,a n ) = {Ac c R n } L(a 1,a 2,...,a n ) = R n A on säännöllinen

84 Lineaarialgebra (muut ko) p. 81/210 Matriisien avulla matriisin pystyriveille A = (a 1 a 2... a n ) m n Lause 4.2.8: neliömatriisille L(a 1,a 2,...,a n ) = {Ac c R n } L(a 1,a 2,...,a n ) = R n A on säännöllinen Esimerkiksi L((1,1),(1,0)) = R 2, sillä

85 Lineaarialgebra (muut ko) p. 82/210 Johdanto: Lineaarinen riippumattomuus Olkoot x = (1,1,0) ja y = ( 2, 2,0). Näille lineaarikombinaatioina 0 x+0 y = (0,0,0) 2 x+1 y = (0,0,0) 20 x+10 y = (0,0,0).

86 Lineaarialgebra (muut ko) p. 83/210 Lineaarinen riippumattomuus Lineaarinen riippuvuus c 1 x c m x m = 0 missä jokin c j 0 Lineaarinen riippumattomuus c 1 x c m x m = 0 = c 1 = c 2 =... = c m = 0

87 Lineaarialgebra (muut ko) p. 84/210 Matriisien avulla Lause : Neliömatriisin A = (a 1 a 2... a n ) pystyriveille: Pystyrivit ovat lin. riippumattomia A on säännöllinen

88 Lineaarialgebra (muut ko) p. 85/210 Lineaarinen riippumattomuus Lause sanoo: Vektorit ovat lineaarisesti riippuvia jokin niistä saadaan muiden lineaarikombinaationa x j = c 1 x 1 + +c j 1 x j 1 +c j+1 x j+1 + +c m x m

89 Lineaarialgebra (muut ko) p. 86/210 Lineaarinen riippumattomuus Kaksi vektoria ovat lineaarisesti riippuvia toinen on toisen skalaarimonikerta Varoitus: ei toimi useammalla vektorilla: (1,1,0),(1,0,0),(0,1,0) vaikka t (1,0,0) (0,1,0) s (1,0,0) (1,1,0) r (0,1,0) (1,1,0) kaikilla t,r,s R, niin silti lin. riippuvuus (1,1,0) = (1,0,0)+(0,1,0)

90 Lineaarialgebra (muut ko) p. 87/210 Johdanto: kanta Jokainen vektori lin.kombinaationa? (x,y) = c 1 (2,2)

91 Lineaarialgebra (muut ko) p. 88/210 Johdanto: kanta Jokainen vektori lin.kombinaationa? (x,y) = c 1 (2,2)

92 Lineaarialgebra (muut ko) p. 89/210 Johdanto: kanta Jokainen vektori lin.kombinaationa: (x,y) = c 1 (2,2)+c 2 ( 4,2) = 12 0

93 Lineaarialgebra (muut ko) p. 90/210 Johdanto: kanta Jokainen vektori lin.kombinaationa: (x,y) = c 1 (2,2)+c 2 ( 4, 4)

94 Lineaarialgebra (muut ko) p. 91/210 Johdanto: kanta Jokainen vektori lin.kombinaationa (yksikäsitteisesti): (1, 2) = 1 2 (2,2) 1 2 ( 4,2)+0 (1, 2) (1, 2) = 0 (2,2)+0 ( 4,2)+1 (1, 2)

95 Lineaarialgebra (muut ko) p. 92/210 Kanta Vektorit u 1,...,u k muodostavat aliavaruuden U kannan, jos (i) ovat lineaarisesti riippumattomia, (ii) virittävät koko U:n.

96 Lineaarialgebra (muut ko) p. 93/210 Kanta Vektorit u 1,...,u k muodostavat aliavaruuden U kannan, jos (i) ovat lineaarisesti riippumattomia eli c 1 u 1 + +c m u k = 0 c 1 = = c k = 0, (ii) virittävät koko U:n eli L(u 1,...,u k ) = {c 1 u 1 + +c k u k c 1,...,c k R} = U.

97 Lineaarialgebra (muut ko) p. 94/210 Kannan merkitys Yksikäsitteinen kantaesitys vektorille u U R 4 :n luonnollinen kanta u = c 1 u 1 + +c k u k. {e 1,e 2,e 3,e 4 } = Jos U = R n, niin determinantit käteviä, mutta U R n eivät yleensä sovellu.

98 Lineaarialgebra (muut ko) p. 95/210 Kannan merkitys Yksikäsitteinen kantaesitys vektorille u U R 4 :n luonnollinen kanta u = c 1 u 1 + +c k u k. {e 1,e 2,e 3,e 4 } = {(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}. Jos U = R n, niin determinantit käteviä, mutta U R n eivät yleensä sovellu.

99 Lineaarialgebra (muut ko) p. 96/210 Perusominaisuuksia s. 45 1) Jokaisella aliavaruudella U on kanta. 2) Jokaisessa U:n kannassa on sama määrä vektoreita. 3) Lineaarisesti riippumaton U:n joukko {u 1,...,u k } voidaan täydentää U:n kannaksi {u 1,...,u k,u k+1,...u m }. 4) Jos L(u 1,...,u t ) = U, niin tästä saadaan kanta U:lle jättämällä ylimääräiset pois (kunnes lin. riippumaton).

100 Lineaarialgebra (muut ko) p. 97/210 Dimension ominaisuuksia s. 46 Olkoot U,V R n aliavaruuksia: 1) dimu n 2) Jos U V, niin dimu dimv. 3) Jos U V, niin dimu < dimv. 4) Jos u 1,...,u k U ja k < dimu, niin eivät viritä U:ta. 5) Jos u 1,...,u k U ja k > dimu, niin ovat lineaarisesti riippuvia.

101 Lineaarialgebra (muut ko) p. 98/210 Dimension ominaisuuksia s. 46 6) Vektorit u 1,...,u k U muodostavat kannan, jos kaksi seuraavista voimassa: (i) u 1,...,u k ovat lineaarisesti riippumattomia, (ii) U = L(u 1,...,u k ), (ii) k = dimu.

102 Lineaarialgebra (muut ko) p. 99/210 Dimension ominaisuuksia s. 46 7) Olkoon u 1,...,u k kanta U:lle ja vektoreiden v 1,...,v k U kantaesitykset v j = k a ij u i (j = 1,...,k). i=1 Vektorit v 1,...v k muodostavat kannan, jos on säännöllinen. A = (a ij ) k k

103 Lineaarialgebra (muut ko) p. 100/210 Tunnettuja dimensioita Aliavaruuden U R n dimensio dim U = kantavektoreiden lukumäärä Koko avaruudelle dimr n = n. Tasolle (origon kautta) T R 3 dimt = 2. Suoralle (origon kautta) L R 3 diml = 1.

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/81 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 )

Lisätiedot

Lineaarialgebra (muut ko)

Lineaarialgebra (muut ko) Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/103 Lineaarialgebra (muut ko) Tero Laihonen Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/103 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v

Lisätiedot

Seuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117

Seuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Seuraava luento ti 31.10 on salissa XXII Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/117 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v

Lisätiedot

Muistutus: Matikkapaja ke Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta yms.

Muistutus: Matikkapaja ke Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta yms. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/139 Ensi viikon luennot salissa X Muistutus: Matikkapaja ke 14-16 Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta

Lisätiedot

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159 Ensi viikon luennot salissa X Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/159 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 ) Skalaarilla

Lisätiedot

Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162

Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162 Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/162 Kertausta Vektorin u = (u 1,u 2 ) R 2 pituus u = u 2 1 +u2 2 Vektorien u ja v = (v 1,v 2

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan. Juha Honkala 2017

Johdatus lineaarialgebraan. Juha Honkala 2017 Johdatus lineaarialgebraan Juha Honkala 2017 Sisällysluettelo 1 Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit 11 Lineaariset yhtälöryhmät 12 Matriisit 13 Matriisien alkeismuunnokset ja porrasmatriisit 14 Yhtälöryhmien

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Matematiikka B2 - TUDI

Matematiikka B2 - TUDI Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden

Lisätiedot

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66 Ensi viikon luennot salissa X Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/66 Redusoitu porrasmuoto 1 1 2 4 1 1 4 6 2 2 5 9 1 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 Eli aste r(a) = 2 ja vaakariviavaruuden

Lisätiedot

Demorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104

Demorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Ensi viikolla luennot salissa X Torstaina 7.12. viimeiset demot (12.12. ja 13.12. viimeiset luennot). Torstaina 14.12 on välikoe 2, muista ilmoittautua! Demorastitiedot

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä 1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x

Lisätiedot

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)

Lisätiedot

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen Informaatiotieteiden yksikkö Lineaarialgebra 1A Pentti Haukkanen Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen . 2 Sisältö 1 Matriisit, determinantit ja lineaariset yhtälöryhmät 4 1.1 Matriisit..............................

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Matriisitulo Determinantti

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Matriisitulo Determinantti Talousmatematiikan perusteet: Luento 1 Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Matriisitulo Determinantti Viime luennolta Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,

Lisätiedot

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty

Lisätiedot

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut 2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä

Lisätiedot

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen Informaatiotieteiden yksikkö Lineaarialgebra 1A Pentti Haukkanen Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen . 2 Sisältö 1 Matriisit, determinantit ja lineaariset yhtälöryhmät 4 1.1 Matriisin määritelmä.......................

Lisätiedot

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen Informaatiotieteiden yksikkö Lineaarialgebra 1A Pentti Haukkanen Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen . 2 Sisältö 1 Matriisit, determinantit ja lineaariset yhtälöryhmät 4 1.1 Matriisin määritelmä.......................

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä

Lisätiedot

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella

Lisätiedot

2.8. Kannanvaihto R n :ssä

2.8. Kannanvaihto R n :ssä 28 Kannanvaihto R n :ssä Seuraavassa kantavektoreiden { x, x 2,, x n } järjestystä ei saa vaihtaa Vektorit ovat pystyvektoreita ( x x 2 x n ) on vektoreiden x, x 2,, x n muodostama matriisi, missä vektorit

Lisätiedot

3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0007 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset

3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0007 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset 3 MS-A7 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 925 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita ratkotaan

Lisätiedot

x 2 x 3 x 1 x 2 = 1 2x 1 4 x 2 = 3 x 1 x 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili

x 2 x 3 x 1 x 2 = 1 2x 1 4 x 2 = 3 x 1 x 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili 6 4 2 x 2 x 3 15 10 5 0 5 15 5 3 2 1 1 2 3 2 0 x 2 = 1 2x 1 0 4 x 2 = 3 x 1 x 5 2 5 x 1 10 x 1 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili Sisältö

Lisätiedot

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia 9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/310 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin

Lisätiedot

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista 29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n

Lisätiedot

Käänteismatriisin ominaisuuksia

Käänteismatriisin ominaisuuksia Käänteismatriisin ominaisuuksia Lause 1.4. Jos A ja B ovat säännöllisiä ja luku λ 0, niin 1) (A 1 ) 1 = A 2) (λa) 1 = 1 λ A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1 4) (A T ) 1 = (A 1 ) T. Tod.... Ortogonaaliset matriisit

Lisätiedot

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa. LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Lotta Oinonen ja Johanna Rämö 6. joulukuuta 2012 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos 2012 Sisältö 1 Avaruus R n 4 1 Avaruuksien R 2 ja R 3 vektorit.....................

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Determinantti. Määritelmä

Determinantti. Määritelmä Determinantti Määritelmä Oletetaan, että A on n n-neliömatriisi. Merkitään normaaliin tapaan matriisin A alkioita lyhyesti a ij = A(i, j). (a) Jos n = 1, niin det(a) = a 11. (b) Muussa tapauksessa n det(a)

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 4.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Viimeiset harjoitukset on palautettava torstaina 13.6. Laskaripisteensä ja läsnäolonsa voi kukin tarkistaa

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

Lineaarialgebra I. Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Esa Järvenpää Kirjoittanut Tuula Ripatti

Lineaarialgebra I. Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Esa Järvenpää Kirjoittanut Tuula Ripatti Lineaarialgebra I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Esa Järvenpää Kirjoittanut Tuula Ripatti 2 1 Lineaarinen yhtälöryhmä 11 Esimerkki (a) Ratkaise yhtälö 5x = 7 Kerrotaan yhtälö puolittain

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät 1 1 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT Muotoa 11 Lineaariset yhtälöryhmät (1) a 1 x 1 + a x + + a n x n b oleva yhtälö on tuntemattomien x 1,, x n lineaarinen yhtälö, jonka kertoimet ovat luvut a 1,,

Lisätiedot

3 Skalaari ja vektori

3 Skalaari ja vektori 3 Skalaari ja vektori Määritelmä 3.1 Skalaari on suure, jolla on vain suuruus, jota mitataan jossakin mittayksikössä. Skalaaria merkitään reaaliluvulla. Esimerkki 3.2 Paino, pituus, etäisyys, pinta-ala,

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Talousmatematiikan perusteet: Luento 10 Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Lineaarikuvaus Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta, jossa käytetään

Lisätiedot

Matriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0

Matriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0 MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 22 Virittääkö vektorijoukko S vektoriavaruuden V, kun a V = R 3 ja S = {(1,0, 1,(2,0,4,( 5,0,2,(0,0,1} b V = P 2 (R ja S = {t1,t 2 1,t 2 t} ( ( 1 0 c

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Lineaarialgebra. Osa 1. Turun yliopisto. Markku Koppinen

Lineaarialgebra. Osa 1. Turun yliopisto. Markku Koppinen Lineaarialgebra Osa 1 Turun yliopisto Markku Koppinen Alkusanat 9 elokuuta 2006 Lineaarialgebra on niitä perusteorioita, joita tarvitaan lähes kaikilla matematiikan aloilla ja monissa muissakin tieteissä

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus. 1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

802118P Lineaarialgebra I (4 op)

802118P Lineaarialgebra I (4 op) 802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

802120P Matriisilaskenta (5 op)

802120P Matriisilaskenta (5 op) 802120P Matriisilaskenta (5 op) Marko Leinonen Matemaattiset tieteet Syksy 2016 1 / 220 Luennoitsija: Marko Leinonen marko.leinonen@oulu.fi MA333 Kurssilla käytetään Noppaa (noppa.oulu.fi) Luentomoniste

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi / kertaus

Matemaattinen Analyysi / kertaus Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

Vektoreiden virittämä aliavaruus

Vektoreiden virittämä aliavaruus Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v. Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause

Lisätiedot

Vektorien virittämä aliavaruus

Vektorien virittämä aliavaruus Vektorien virittämä aliavaruus Esimerkki 13 Mikä ehto vektorin w = (w 1, w 2, w 3 ) komponenttien on toteutettava, jotta w kuuluu vektoreiden v 1 = (3, 2, 1), v 2 = (2, 2, 6) ja v 3 = (3, 4, 5) virittämään

Lisätiedot

Matriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n.

Matriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n. Matriisipotenssi Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: Määritelmä Oletetaan, että A on n n -matriisi (siis neliömatriisi) ja k

Lisätiedot

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on? Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi

Lisätiedot

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla:

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla: 11 Determinantti Neliömatriisille voidaan laskea luku, joka kertoo muun muassa, onko matriisi kääntyvä vai ei Tätä lukua kutsutaan matriisin determinantiksi Determinantilla on muitakin sovelluksia, mutta

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Vektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa

Vektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa Viikon aiheet Pistetulo (skalaaritulo Vektorien tulot Pistetulo Ristitulo Skalaari- ja vektorikolmitulo Integraalifunktio, alkeisfunktioiden integrointi, yhdistetyn funktion derivaatan integrointi Vektoreiden

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 9

Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo ja pituus Vektorien välinen kulma Motivointi Tähän asti olemme tarkastelleet yhden

Lisätiedot

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (

Lisätiedot

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä 7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

Vektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori

Vektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori Vektorialgebra 1/5 Sisältö Skalaaritulo Vektoreiden yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen lisäksi vektoreiden välille voidaan määritellä myös kertolasku. Itse asiassa näitä on kaksi erilaista. Seurauksena

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin

Lisätiedot

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaarinen yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, (1) voidaan esittää

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 8. Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo

Talousmatematiikan perusteet: Luento 8. Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo Talousmatematiikan perusteet: Luento 8 Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo Motivointi Esim. Herkkumatikka maksaa 50 /kg. Paljonko

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 6.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Kertausta: Kääntyvien matriisien lause Lause 1 Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä.

Lisätiedot

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 Tehtävä 1 (L): Oletetaan, että AB = AC, kun B ja C ovat m n-matriiseja. a) Näytä, että jos A on kääntyvä, niin B = C. b) Seuraako yhtälöstä AB = AC yhtälö

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa I Jokke Häsä, Lotta Oinonen, Johanna Rämö 9 heinäkuuta 2013 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Avaruuksien R 2 ja R 3 vektorit 4 11 Kaksiulotteisen

Lisätiedot

Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät

Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät LuK-tutkielma Jesse Salo 2309369 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sisältö Johdanto 2 1 Kongruensseista 3 1.1 Kongruenssin ominaisuuksia...................

Lisätiedot