Insinöörimatematiikka D
|
|
|
- Tero Palo
- 1 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 11 1 of 18
2 Kertausta Epähomogeeninen vakiokertoiminen DY Epähomogeeninen, vakiokertoiminen lineaarinen DY a n y (n) + a n 1 y (n 1) a 2 y + a 1 y + a 0 y = b(t). voidaan ratkaista yleisesti seuraavasti: M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 11 2 of 18
3 Kertausta Epähomogeeninen vakiokertoiminen DY Epähomogeeninen, vakiokertoiminen lineaarinen DY a n y (n) + a n 1 y (n 1) a 2 y + a 1 y + a 0 y = b(t). voidaan ratkaista yleisesti seuraavasti: Haetaan homogeenisen DY:n kaikkien ratkaisujen kanta {y 1,..., y n } karakteristisen yhtälön ratkaisuilla tai yritteellä. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 11 2 of 18
4 Kertausta Epähomogeeninen vakiokertoiminen DY Epähomogeeninen, vakiokertoiminen lineaarinen DY a n y (n) + a n 1 y (n 1) a 2 y + a 1 y + a 0 y = b(t). voidaan ratkaista yleisesti seuraavasti: Haetaan homogeenisen DY:n kaikkien ratkaisujen kanta {y 1,..., y n } karakteristisen yhtälön ratkaisuilla tai yritteellä. Etsitään epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisu y 0 Laplace-muunnoksen avulla tai yritteellä, joka on yleistetty termistä b(t). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 11 2 of 18
5 Kertausta Epähomogeeninen vakiokertoiminen DY Epähomogeeninen, vakiokertoiminen lineaarinen DY a n y (n) + a n 1 y (n 1) a 2 y + a 1 y + a 0 y = b(t). voidaan ratkaista yleisesti seuraavasti: Haetaan homogeenisen DY:n kaikkien ratkaisujen kanta {y 1,..., y n } karakteristisen yhtälön ratkaisuilla tai yritteellä. Etsitään epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisu y 0 Laplace-muunnoksen avulla tai yritteellä, joka on yleistetty termistä b(t). Yleinen ratkaisu on muotoa y = c 1 y c n y n + y 0. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 11 2 of 18
6 Kertausta 1. kertaluvun lineaarinen DY Yhtälön y + a(x)y = b(x) ratkaisut ovat muotoa y = Cy 1 + y 0, missä y 1 on homogeenisen yhtälön y + a(x)y = 0 ratkaisu 0 ja y 0 on jokin alkuperäisen yhtälön ratkaisu. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 11 3 of 18
7 Kertausta 1. kertaluvun lineaarinen DY:n ratkaisumenetelmä Haetaan homogeenisen yhtälön ratkaisu y H. y H (x) = e a(x)dx M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 11 4 of 18
8 Kertausta 1. kertaluvun lineaarinen DY:n ratkaisumenetelmä Haetaan homogeenisen yhtälön ratkaisu y H. y H (x) = e a(x)dx Vakion variointi: Sijoitetaan y(x) = C(x)y H (x) alkuperäiseen DY:hyn ja ratkaistaan C(x). y(x)=c(x)y H (x) = C (x)y H (x)=b(x) = C(x)= b(x) y H (x) dx+b M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 11 4 of 18
9 Kertausta 1. kertaluvun lineaarinen DY:n ratkaisumenetelmä Haetaan homogeenisen yhtälön ratkaisu y H. y H (x) = e a(x)dx Vakion variointi: Sijoitetaan y(x) = C(x)y H (x) alkuperäiseen DY:hyn ja ratkaistaan C(x). y(x)=c(x)y H (x) = C (x)y H (x)=b(x) = C(x)= b(x) y H (x) dx+b Lasketaan y(x) = C(x)y H (x). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 11 4 of 18
10 Kertausta 2. kertaluvun lineaarinen DY Yhtälö y + a(x)y + b(x)y = c(x) voidaan ratkaista, jos tunnetaan homogeenisen yhtälön y + a(x)y + b(x)y = 0 eräs ratkaisu y H. Tällöin epähomogeenisen yhtälön ratkaisun y haku saadaan sijoituksella y = y H v palautettua 1. kertaluvun differentiaaliyhtälön ratkaisun hauksi. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 11 5 of 18
11 Kertausta: Separoituvat DY:t Määritelmä Muotoa oleva DY on separoituva. y = g(x)f (y) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 11 6 of 18
12 Kertausta: Separoituvat DY:t Määritelmä Muotoa oleva DY on separoituva. Separoituvan DY:n ratkaiseminen dy dx y = g(x)f (y) = g(x)f (y) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 11 6 of 18
13 Kertausta: Separoituvat DY:t Määritelmä Muotoa oleva DY on separoituva. Separoituvan DY:n ratkaiseminen dy dx y = g(x)f (y) = g(x)f (y) 1 dy = g(x) dx f (y) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 11 6 of 18
14 Kertausta: Separoituvat DY:t Määritelmä Muotoa oleva DY on separoituva. Separoituvan DY:n ratkaiseminen y = g(x)f (y) dy = g(x)f (y) dx 1 dy = g(x) dx f (y) 1 f (y) dy = g(x) dx + C M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 11 6 of 18
15 Separoituvat DY:t Esimerkki 104 Verhulstin populaatiomallissa populaation koko p(t) toteuttaa DY:n (logistinen yhtälö) p = ap bp 2. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 11 7 of 18
16 Separoituvat DY:t Esimerkki 104 Verhulstin populaatiomallissa populaation koko p(t) toteuttaa DY:n (logistinen yhtälö) Ratkaistaan yllä oleva DY. p = ap bp 2. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 11 7 of 18
17 Separoituvat DY:t Esimerkki 104 Verhulstin populaatiomallissa populaation koko p(t) toteuttaa DY:n (logistinen yhtälö) p = ap bp 2. Ratkaistaan yllä oleva DY. Ratkaisu esitetään yleensä muodossa missä p 0 = p(0). p(t) = ap 0 bp 0 + (a bp 0 )e at, M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 11 7 of 18
18 Separoituvat DY:t Esimerkki Säiliön koko on 100 l. Se on alussa täynnä suolatonta vettä. Säiliöön aletaan johtaa vettä, jonka suolapitoisuus on 10 g/l, nopeudella 6 l/min. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 11 8 of 18
19 Separoituvat DY:t Esimerkki Säiliön koko on 100 l. Se on alussa täynnä suolatonta vettä. Säiliöön aletaan johtaa vettä, jonka suolapitoisuus on 10 g/l, nopeudella 6 l/min. Lisäksi säiliöstä poistuu sekoittunutta vettä nopeudella 6 l/min. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 11 8 of 18
20 Separoituvat DY:t Esimerkki Säiliön koko on 100 l. Se on alussa täynnä suolatonta vettä. Säiliöön aletaan johtaa vettä, jonka suolapitoisuus on 10 g/l, nopeudella 6 l/min. Lisäksi säiliöstä poistuu sekoittunutta vettä nopeudella 6 l/min. Säiliössä olevaa suolan määrää grammoissa ajan hetkellä t minuuttia merkataan x(t):llä. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 11 8 of 18
21 Separoituvat DY:t Esimerkki Säiliön koko on 100 l. Se on alussa täynnä suolatonta vettä. Säiliöön aletaan johtaa vettä, jonka suolapitoisuus on 10 g/l, nopeudella 6 l/min. Lisäksi säiliöstä poistuu sekoittunutta vettä nopeudella 6 l/min. Säiliössä olevaa suolan määrää grammoissa ajan hetkellä t minuuttia merkataan x(t):llä. Muodostetaan tilanteesta DY ja ratkaistaan se. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 11 8 of 18
22 Eksaktit DY:t Yleistetty ketjusääntö Jos y ja z ovat x:n funktioita, on d F y F (y, z) = dx y x + F z z x M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 11 9 of 18
23 Eksaktit DY:t Yleistetty ketjusääntö Jos y ja z ovat x:n funktioita, on d F y F (y, z) = dx y x + F z z x Esimerkki Olkoon y = sin x ja z = x 2 + e x sekä F (y, z) = yz 2 + 3yz. Lasketaan d dx F (y, z). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 11 9 of 18
24 Eksaktit DY:t Esimerkki d F dx F (x, y(x)) = dx x dx + F dy y dx = F x + F y y M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 18
25 Eksaktit DY:t Esimerkki d F dx F (x, y(x)) = dx x dx + F dy y dx = F x + F y y Ratkaisuyrite Muotoa f (x, y) + g(x, y)y = 0 oleva DY:tä voidaan yrittää tulkita muodossa F x + F y y = 0 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 18
26 Eksaktit DY:t Esimerkki d F dx F (x, y(x)) = dx x dx + F dy y dx = F x + F y y Ratkaisuyrite Muotoa f (x, y) + g(x, y)y = 0 oleva DY:tä voidaan yrittää tulkita muodossa F x + F y y = 0 d F (x, y) = 0, dx M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 18
27 Eksaktit DY:t Esimerkki d F dx F (x, y(x)) = dx x dx + F dy y dx = F x + F y y Ratkaisuyrite Muotoa f (x, y) + g(x, y)y = 0 oleva DY:tä voidaan yrittää tulkita muodossa F x + F y y = 0 d F (x, y) = 0, dx jonka ratkaisu on F (x, y) = C. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 18
28 Eksaktit DY:t Lause Jos funktiot f ja g ovat riittävän säännöllisiä, funktio F (x, y), jolle F F x = f (x, y) ja y = g(x, y) on olemassa tarkalleen silloin kun f y = g x M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 18
29 Eksaktit DY:t Lause Jos funktiot f ja g ovat riittävän säännöllisiä, funktio F (x, y), jolle F F x = f (x, y) ja y = g(x, y) on olemassa tarkalleen silloin kun Määritelmä Differentiaaliyhtälö on eksakti, jos f y = g x f y = g x f (x, y) + g(x, y)y = 0 (ja f ja g ovat riittävän säännöllisiä). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 18
30 Eksaktit DY:t Määritelmä Differentiaaliyhtälö on eksakti, jos f y = g x Esimerkki Todetaan, että DY f (x, y) + g(x, y)y = 0 (ja f ja g ovat riittävän säännöllisiä). e x y + 4xy sin x + (e x + 2x 2 )y = 0 on eksakti. Nyt f (x, y) = e x y + 4xy sin x ja g(x, y) = e x + 2x 2. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 18
31 Eksaktit DY:t Eksaktin DY:n ratkaiseminen f (x, y) + g(x, y)y = 0 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 18
32 Eksaktit DY:t Eksaktin DY:n ratkaiseminen f (x, y) + g(x, y)y = 0 F x + F y y = 0 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 18
33 Eksaktit DY:t Eksaktin DY:n ratkaiseminen f (x, y) + g(x, y)y = 0 F x + F y y = 0 d F (x, y) = 0 dx M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 18
34 Eksaktit DY:t Eksaktin DY:n ratkaiseminen f (x, y) + g(x, y)y = 0 F x + F y y = 0 d F (x, y) = 0 dx F (x, y) = C M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 18
35 Eksaktit DY:t Ratkaisu käytännössä Eksaktin differentiaaliyhtälön f (x, y) + g(x, y)y = 0 ratkaisun askeleet: Etsitään funktiot c 0 (y) ja c 1 (x), joilla yhtälö f (x, y)dx + c0 (y) = g(x, y)dy + c 1 (x) toteutuu. Valitaan F (x, y) = f (x, y)dx + c 0 (y). Todetaan: F F x = f (x, y) ja y = g(x, y), jolloin eksakti yhtälö voidaan esittää muodossa d dx F (x, y) = 0. Ratkaisu: F (x, y) = C. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 18
36 Eksaktit DY:t Ratkaisu käytännössä Eksaktin differentiaaliyhtälön f (x, y) + g(x, y)y = 0 ratkaisun askeleet: Etsitään funktiot c 0 (y) ja c 1 (x), joilla yhtälö f (x, y)dx + c0 (y) = g(x, y)dy + c 1 (x) toteutuu. Valitaan F (x, y) = f (x, y)dx + c 0 (y). Todetaan: F F x = f (x, y) ja y = g(x, y), jolloin eksakti yhtälö voidaan esittää muodossa d dx F (x, y) = 0. Ratkaisu: F (x, y) = C. Esimerkki Ratkaistaan eksakti DY e x y + 4xy sin x + (e x + 2x 2 )y = 0. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 18
37 Eksaktit DY:t Huomautus Jos yhtälö f (x, y) + g(x, y)y = 0 ei ole eksakti, on toisinaan mahdollista löytää funktio µ(x, y) (ns. integroiva tekijä), jolla kerrottuna yhtälö on eksakti. f (x, y)µ(x, y) + g(x, y)µ(x, y)y = 0 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 18
38 Eksaktit DY:t Huomautus Jos yhtälö f (x, y) + g(x, y)y = 0 ei ole eksakti, on toisinaan mahdollista löytää funktio µ(x, y) (ns. integroiva tekijä), jolla kerrottuna yhtälö on eksakti. f (x, y)µ(x, y) + g(x, y)µ(x, y)y = 0 Esimerkki 107 Tarkastellaan differentiaaliyhtälöä y + (x + y 2 )y = 0. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 18
39 Eksaktit DY:t Mallintamistehtävä (esimerkin 106 variaatio) Etsittävä yhtälö sellaiselle käyrälle, joka heijastaa x-akselin suuntaiset säteet origoon. a (x, y) a (0, 0) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 18
40 Sekalaisia menetelmiä Sijoitus y/x Jos DY on muotoa y = f (y/x), niin sijoituksella z = y/x se muuttuu separoituvaksi. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 18
41 Sekalaisia menetelmiä Sijoitus y/x Jos DY on muotoa y = f (y/x), niin sijoituksella z = y/x se muuttuu separoituvaksi. Esimerkki Ratkaistaan DY y = xy + y 2 x 2. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 18
42 Sekalaisia menetelmiä Sijoitus ax + by Jos DY on muotoa y = f (ax + by), niin sijoituksella z = ax + by se muuttuu separoituvaksi. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 18
43 Sekalaisia menetelmiä Sijoitus ax + by Jos DY on muotoa y = f (ax + by), niin sijoituksella z = ax + by se muuttuu separoituvaksi. Esimerkki 109 Ratkaistaan DY y = x 2 + 2xy + y 2. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 18
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Matematiikka B3 - Avoin yliopisto
2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli
3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T
3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T Huomautus epälineaarisista. kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Epälineaarisen DY:n ratkaisemiseen ei ole yleismenetelmää. Seuraavat erikoistapaukset voidaan ratkaista
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
Insinöörimatematiikka D, 5.4.06 5. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut. Etsitään homogeenisen vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön kaikki ratkaisut (reaalisessa muodossa). y (5) +4y (4)
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
Insinöörimatematiikka D, 406 6 laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Ratkaistaan differentiaaliyhtälö y = y () Tässä = d dy eli kyseessä on lineaarinen kertaluvun differentiaaliyhtälö: Yhtälön () homogenisoidulle
2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.
2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Dierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
Mat Matematiikan peruskurssi K2
Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö
Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Toisen kertaluvun täydellinen lineaarinen yhtälö muotoa p 2 (x)y + p 1 (x)y
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Differentiaaliyhtälöt
Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöksi (lyh. DY) sanotaan yhtälöä, jossa on tuntemattomana jokin funktio y(x) ja jossa esiintyy sen derivaattoja y, y, y, y (4),... Esimerkiksi y + y = x, y y + y
6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
Dierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 17. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.
2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Differentiaaliyhtälöt I Ratkaisuehdotuksia, 2. harjoitus, kevät Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut (Tässä = d
Differentiaaliyhtälöt I Ratkaisuehdotuksia,. harjoitus, kevät 016 1. Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut (Tässä = d dx ): (a) y + xy = xe x, (b) (1 + x ) y xy = (1 + x ), (c) y sin x y = 1 cos
13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
Dierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 14. helmikuuta 2011 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun olemassaolosta ja yksikäsitteisyydestä...........
3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon Jos r(x)
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1
Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle /
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / 16. 18.5. Lineaariset differentiaaliyhtälöt, homogeeniset differentiaaliyhtälöt Tehtävä 1: a) Määritä differentiaaliyhtälön y 3y = 14e 4x
4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt
Differentiaaliyhtälöt c Pekka Alestalo 2015 Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin differentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Luennolla lasketaan esimerkkitehtäviä
Matemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, syksy 2016 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus, viikko 49 R1 to 12 14 F453 (8.12.) R2 to 14 16 F345 (8.12.) R3 ke 8 10 F345 (7.11.) 1. Määritä funktion f (x) = 1 Taylorin sarja
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
Muutoksen arviointi differentiaalin avulla
Muutoksen arviointi differentiaalin avulla y y = f (x) y = f (x + x) f (x) dy y dy = f (x) x x x x x + x Luento 7 1 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto Muutoksen arviointi differentiaalin
Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1
1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin
Osoita, että eksponenttifunktio ja logaritmifunktio ovat differentiaaliyhtälön
3. Lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1. Lineaariyhtälöiden teoriaa 99. Onko differentiaaliyhtälö y + x(y y )=y + 1 a) lineaarinen, b) homogeeninen? 100. Olkoot funktiot f (x) ja g(x) jatkuvasti derivoituvia
a 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0
6. Lineaariset toisen kertaluvun yhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt ovat tuntuvasti hankalampia ratkaista kuin ensimmäinen. Käsittelemmekin tässä vain tärkeintä erikoistapausta, toisen kertaluvun
Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva).
6 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖISTÄ Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). Newtonin II:n lain (ma missä Yhtälö dh dt m dh dt F) mukaan mg, on kiihtyvyys ja
Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa
Normaaliryhmä Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa x = u(t,x,y), y t I, = v(t,x,y), Funktiot u = u(t,x,y), t I ja v = v(t,x,y), t I ovat tunnettuja Toisen kertaluvun normaaliryhmän ratkaisu
Differentiaaliyhtälöt
Informaatiotieteiden yksikkö Differentiaaliyhtälöt Pentti Haukkanen Sisältö Differentiaaliyhtälön käsite 4 2 Joitakin. kertaluvun differentiaaliyhtälöitä 7 2. Separoituva yhtälö........................
y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x
BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen
4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.
1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt
Teknillinen korkeakoulu Matematiikka Dierentiaaliyhtälöt Alestalo Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin dierentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Esimerkkejä luennoilla
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
2 dy dx 1. x = y2 e x2 2 1 y 2 dy = e x2 xdx. 2 y 1 1. = ex2 2 +C 2 1. y =
BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 2, Kevät 207 Päivityksiä: Tehtävän 4b tehtävänanto korjattu ja vastauksia lisätty.. Ratkaise y, kun 2y x = y 2 e x2. Jos y () = 0 niin mikä on ratkaisu
Differentiaaliyhtälöt I, kevät 2017 Harjoitus 3
Differentiaaliyhtälöt I, kevät 07 Harjoitus 3 Heikki Korpela. helmikuuta 07 Tehtävä. Ratkaise alkuarvo-ongelmat a) y + 4y e x = 0, y0) = 4 3 b) Vastaus: xy + y = x 3, y) =.. a) Valitaan integroivaksi tekijäksi
4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Homogeeninen yhtälö on muotoa F(x, y,, y (n) ) = 0. (1) Yhtälö on lineaarinen, jos se voidaan
Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien
Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt
Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Suoraviivainen liike integrointi Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa ELEC-A3110 Mekaniikka
Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö
Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö x 2 y xy =1/x. 1 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 1/20 20 Esimerkki 2 Ratkaise differentiaaliyhtälö x(ln y)y y ln x =0. 2 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi
DYNAAMISET SYSTEEMIT 1998
1. harjoitus, viikko 3 1. Määritä seuraavien differentiaaliyhtälöiden tyyppi (kertaluku, lineaarinen eilineaarinen, jos lineaarinen, niin vakiokertoiminen ei-vakiokertoiminen): a) y + y - x 2 = 0 b) y
Luento 2: Liikkeen kuvausta
Luento 2: Liikkeen kuvausta Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Luennon sisältö Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Liikkeen ratkaisu kiihtyvyydestä
2. Tavallisen differentiaaliyhtälön yleisiä ratkaisumenetelmiä. y = 2xy, Piirrä muutama yleisen ratkaisun kuvaaja. Minkä nimisistä käyristä on kyse?
2. Tavallisen differentiaaliyhtälön yleisiä ratkaisumenetelmiä 2.1. Ensimmäisen kertaluvun yhtälöt 30. Ratkaise alkuarvotehtävä y = 2xy, y(0)=1. Piirrä muutama yleisen ratkaisun kuvaaja. Minkä nimisistä
Osa 11. Differen-aaliyhtälöt
Osa 11. Differen-aaliyhtälöt Differen-aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk-on derivaa
Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13
4/3/3 Osa. Differen0aaliyhtälöt Differen0aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk0on derivaa?a. Esim: dx = x2 f x + f xy 2 2m d 2 ψ = Eψ dx 2 Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais Differen0aaliyhtälöt
Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon. + p(x)y = r(x) (28)
.5 Linaarist diffrntiaaliyhtälöt 10 Ensimmäisn krtaluvun diffrntiaaliyhtälö on linaarinn, jos s voidaan kirjoittaa muotoon + p(x)y = r(x) (8) Yhtälö on linaarinn y:n ja y:n suhtn, p ja r voivat olla mitä
Matemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
dy dx = y x + 1 dy dx = u+xdu dx, u = y/x, u+x du dx = u+ 1 sinu eli du dx = 1 1 Erotetaan muuttujat ja integroidaan puolittain: y = xln(ln(cx 2 )).
Harjoitus Tehtävä 5. d) Jakamalla annettu yhtälö puolittain xsin(y/x):llä saadaan Sijoitetaan taas jolloin saadaan dy dx = y x + 1 sin ( y). u = y/x, x dy dx = u+xdu dx, u+x du dx = u+ 1 sinu du dx = 1
DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 13: ti klo 13:00-15:30 ja to 1.4.
DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 3: ti 33 klo 3:-5:3 ja to 4 klo 9:5-: Käydään läpi differentiaaliyhtälöitä Määritelmä Olkoon A R n n (MatLab:ssa
1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ
![1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ](/thumbs/67/57751673.jpg "1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ")
Matematiikan tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 2015 Lisätehtävät 1 Ratkaisut 1. Olkoon f :, x+1, x 1, f (x)= x+3, x>1 Piirrä funktion kuvaa välillä [ 1, 3]. (a) Tutki ra-arvon (ε, δ)-määritelmän
800345A Differentiaaliyhtälöt I. Seppo Heikkilä, Martti Kumpulainen, Janne Oinas
800345A Differentiaaliyhtälöt I Seppo Heikkilä, Martti Kumpulainen, Janne Oinas 2. maaliskuuta 2009 Sisältö 1 Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt 2 1.1 Merkintöjä ja nimityksiä...........................
5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT
5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Ensimmäisen kl:n DY-ryhmät Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Useimmat voidaan mallintaa ensimmäisen kertaluvun DY-ryhmien avulla. Ensimmäisen kl:n
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
Kompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava
Kompleksiluvun logaritmi: ln z = w z = e w Jos nyt z = re iθ = re iθ e inπ, missä n Z, niin saadaan w = ln z = ln r + iθ + inπ, n Z Logaritmi on siis äärettömän moniarvoinen funktio. Helposti nähdään että
x n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x
Osittaisintegrointia käyttäen osoita integraalille I n x n e x dx oikeaksi reduktiokaava I n x n e x + ni n ja laske sen avulla mitä on I 4 kun x. x n e x dx n( e x ) nx n ( e x ) x n e x + ni n x 4 e
Matemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus 1. Ratkaise y + y + y = x. Kommentti: Yleinen työlista ratkaistaessa lineaarista, vakiokertoimista toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä
1 Di erentiaaliyhtälöt
Taloustieteen mat.menetelmät syksy 2017 materiaali II-5 1 Di erentiaaliyhtälöt 1.1 Skalaariyhtälöt Määritelmä: ensimmäisen kertaluvun di erentiaaliyhtälö on muotoa _y = F (y; t) oleva yhtälö, missä _y
Epähomogeenisen yhtälön ratkaisu
Epähomogeenisen yhtälön ratkaisu Lause Olkoot a = a(x), b = b(x) ja f = f(x) jatkuvia funktioita välillä I R ja olkoot y 1 = y 1 (x) ja y 2 = y 2 (x) eräs homogeeniyhtälön y + a(x)y + b(x)y = 0 ratkaisujen
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät ja B = Olkoon A = a) A + B b) AB c) BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 28 1. Olkoon A = Määrää ( 2 1 ) 3 4 1 a) A + B b) AB BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A ja B = 2 1 6 3 1 2. Laske seuraavat determinantit
Laskuharjoitus 2A ( ) Aihepiiri: Raja-arvot etc. Adams & Essex, 8th Edition, Chapter 12. z = f(x, 0) = x2 a z = f(0, y) = 02 a 2 + y2
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Korte / Lindfors MS-A0207 Dierentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM), kevät 2017 Laskuharjoitus 2A (9.10.1.) Aihepiiri:
BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi
BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Jouni Sampo 30. maaliskuuta 2015 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Peruskäsitteitä.................................... 2 1.2 Differentiaaliyhtälöiden ratkaisuista.........................
TAVALLISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT
MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt Kesä 00 Risto Silvennoinen TAVALLISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Peruskäsitteitä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1
ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e) A =
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 211 1. Olkoon A = Määrää ( 2 1 ) 3 4 1 ja B = 2 1 6 3 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A. 2. Laske seuraavat determinantit
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila
Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e)
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 214 1. Tutki seuraavia jonoja a) (a n )=(3n 1) ( ) 2 b) (a n )= 3 n ( ) 1 c) (a n )= (n + 1)(n +2) 2. Tutki seuraavia sarjoja a) (3k 1)
5 Differentiaaliyhtälöryhmät
5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =
9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista
29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen
Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaarisista differentiaaliyhtälöistä
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Riikka Sjögren Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaarisista differentiaaliyhtälöistä Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 2010 Tampereen
BM20A0300, Matematiikka KoTiB1
BM20A0300, Matematiikka KoTiB1 Luennot: Heikki Pitkänen 1 Oppikirja: Robert A. Adams: Calculus, A Complete Course Luku 12 Luku 13 Luku 14.1 Tarvittava materiaali (luentokalvot, laskuharjoitustehtävät ja
Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa
Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon
2 Johdanto Tassa esityksessa funktiot ovat - ellei muuta sanota - yhden tai useamman reaalimuuttujan reaaliarvoisia funktioita. Funktion kasitteen tas
Dierentiaaliyhtalot/217 I. Ensimmaisen kertaluvun DY I.1. Lineaarinen DY I.2. Separoituva DY I.3. Eksakti DY I.4. Muita DY:ita I.5. Ratkaisun olemassaolo II. Toisen kertaluvun lineaarinen DY II.1. Perusjarjestelma
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu
Matematiikka B1 - TUDI
Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Matematiikka B1 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Kurssin