Insinöörimatematiikka D

Transkriptio

1 Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 11 1 of 18

2 Kertausta Epähomogeeninen vakiokertoiminen DY Epähomogeeninen, vakiokertoiminen lineaarinen DY a n y (n) + a n 1 y (n 1) a 2 y + a 1 y + a 0 y = b(t). voidaan ratkaista yleisesti seuraavasti: M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 11 2 of 18

3 Kertausta Epähomogeeninen vakiokertoiminen DY Epähomogeeninen, vakiokertoiminen lineaarinen DY a n y (n) + a n 1 y (n 1) a 2 y + a 1 y + a 0 y = b(t). voidaan ratkaista yleisesti seuraavasti: Haetaan homogeenisen DY:n kaikkien ratkaisujen kanta {y 1,..., y n } karakteristisen yhtälön ratkaisuilla tai yritteellä. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 11 2 of 18

4 Kertausta Epähomogeeninen vakiokertoiminen DY Epähomogeeninen, vakiokertoiminen lineaarinen DY a n y (n) + a n 1 y (n 1) a 2 y + a 1 y + a 0 y = b(t). voidaan ratkaista yleisesti seuraavasti: Haetaan homogeenisen DY:n kaikkien ratkaisujen kanta {y 1,..., y n } karakteristisen yhtälön ratkaisuilla tai yritteellä. Etsitään epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisu y 0 Laplace-muunnoksen avulla tai yritteellä, joka on yleistetty termistä b(t). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 11 2 of 18

5 Kertausta Epähomogeeninen vakiokertoiminen DY Epähomogeeninen, vakiokertoiminen lineaarinen DY a n y (n) + a n 1 y (n 1) a 2 y + a 1 y + a 0 y = b(t). voidaan ratkaista yleisesti seuraavasti: Haetaan homogeenisen DY:n kaikkien ratkaisujen kanta {y 1,..., y n } karakteristisen yhtälön ratkaisuilla tai yritteellä. Etsitään epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisu y 0 Laplace-muunnoksen avulla tai yritteellä, joka on yleistetty termistä b(t). Yleinen ratkaisu on muotoa y = c 1 y c n y n + y 0. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 11 2 of 18

6 Kertausta 1. kertaluvun lineaarinen DY Yhtälön y + a(x)y = b(x) ratkaisut ovat muotoa y = Cy 1 + y 0, missä y 1 on homogeenisen yhtälön y + a(x)y = 0 ratkaisu 0 ja y 0 on jokin alkuperäisen yhtälön ratkaisu. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 11 3 of 18

7 Kertausta 1. kertaluvun lineaarinen DY:n ratkaisumenetelmä Haetaan homogeenisen yhtälön ratkaisu y H. y H (x) = e a(x)dx M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 11 4 of 18

8 Kertausta 1. kertaluvun lineaarinen DY:n ratkaisumenetelmä Haetaan homogeenisen yhtälön ratkaisu y H. y H (x) = e a(x)dx Vakion variointi: Sijoitetaan y(x) = C(x)y H (x) alkuperäiseen DY:hyn ja ratkaistaan C(x). y(x)=c(x)y H (x) = C (x)y H (x)=b(x) = C(x)= b(x) y H (x) dx+b M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 11 4 of 18

9 Kertausta 1. kertaluvun lineaarinen DY:n ratkaisumenetelmä Haetaan homogeenisen yhtälön ratkaisu y H. y H (x) = e a(x)dx Vakion variointi: Sijoitetaan y(x) = C(x)y H (x) alkuperäiseen DY:hyn ja ratkaistaan C(x). y(x)=c(x)y H (x) = C (x)y H (x)=b(x) = C(x)= b(x) y H (x) dx+b Lasketaan y(x) = C(x)y H (x). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 11 4 of 18

10 Kertausta 2. kertaluvun lineaarinen DY Yhtälö y + a(x)y + b(x)y = c(x) voidaan ratkaista, jos tunnetaan homogeenisen yhtälön y + a(x)y + b(x)y = 0 eräs ratkaisu y H. Tällöin epähomogeenisen yhtälön ratkaisun y haku saadaan sijoituksella y = y H v palautettua 1. kertaluvun differentiaaliyhtälön ratkaisun hauksi. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 11 5 of 18

11 Kertausta: Separoituvat DY:t Määritelmä Muotoa oleva DY on separoituva. y = g(x)f (y) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 11 6 of 18

12 Kertausta: Separoituvat DY:t Määritelmä Muotoa oleva DY on separoituva. Separoituvan DY:n ratkaiseminen dy dx y = g(x)f (y) = g(x)f (y) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 11 6 of 18

13 Kertausta: Separoituvat DY:t Määritelmä Muotoa oleva DY on separoituva. Separoituvan DY:n ratkaiseminen dy dx y = g(x)f (y) = g(x)f (y) 1 dy = g(x) dx f (y) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 11 6 of 18

14 Kertausta: Separoituvat DY:t Määritelmä Muotoa oleva DY on separoituva. Separoituvan DY:n ratkaiseminen y = g(x)f (y) dy = g(x)f (y) dx 1 dy = g(x) dx f (y) 1 f (y) dy = g(x) dx + C M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 11 6 of 18

15 Separoituvat DY:t Esimerkki 104 Verhulstin populaatiomallissa populaation koko p(t) toteuttaa DY:n (logistinen yhtälö) p = ap bp 2. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 11 7 of 18

16 Separoituvat DY:t Esimerkki 104 Verhulstin populaatiomallissa populaation koko p(t) toteuttaa DY:n (logistinen yhtälö) Ratkaistaan yllä oleva DY. p = ap bp 2. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 11 7 of 18

17 Separoituvat DY:t Esimerkki 104 Verhulstin populaatiomallissa populaation koko p(t) toteuttaa DY:n (logistinen yhtälö) p = ap bp 2. Ratkaistaan yllä oleva DY. Ratkaisu esitetään yleensä muodossa missä p 0 = p(0). p(t) = ap 0 bp 0 + (a bp 0 )e at, M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 11 7 of 18

18 Separoituvat DY:t Esimerkki Säiliön koko on 100 l. Se on alussa täynnä suolatonta vettä. Säiliöön aletaan johtaa vettä, jonka suolapitoisuus on 10 g/l, nopeudella 6 l/min. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 11 8 of 18

19 Separoituvat DY:t Esimerkki Säiliön koko on 100 l. Se on alussa täynnä suolatonta vettä. Säiliöön aletaan johtaa vettä, jonka suolapitoisuus on 10 g/l, nopeudella 6 l/min. Lisäksi säiliöstä poistuu sekoittunutta vettä nopeudella 6 l/min. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 11 8 of 18

20 Separoituvat DY:t Esimerkki Säiliön koko on 100 l. Se on alussa täynnä suolatonta vettä. Säiliöön aletaan johtaa vettä, jonka suolapitoisuus on 10 g/l, nopeudella 6 l/min. Lisäksi säiliöstä poistuu sekoittunutta vettä nopeudella 6 l/min. Säiliössä olevaa suolan määrää grammoissa ajan hetkellä t minuuttia merkataan x(t):llä. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 11 8 of 18

21 Separoituvat DY:t Esimerkki Säiliön koko on 100 l. Se on alussa täynnä suolatonta vettä. Säiliöön aletaan johtaa vettä, jonka suolapitoisuus on 10 g/l, nopeudella 6 l/min. Lisäksi säiliöstä poistuu sekoittunutta vettä nopeudella 6 l/min. Säiliössä olevaa suolan määrää grammoissa ajan hetkellä t minuuttia merkataan x(t):llä. Muodostetaan tilanteesta DY ja ratkaistaan se. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 11 8 of 18

22 Eksaktit DY:t Yleistetty ketjusääntö Jos y ja z ovat x:n funktioita, on d F y F (y, z) = dx y x + F z z x M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 11 9 of 18

23 Eksaktit DY:t Yleistetty ketjusääntö Jos y ja z ovat x:n funktioita, on d F y F (y, z) = dx y x + F z z x Esimerkki Olkoon y = sin x ja z = x 2 + e x sekä F (y, z) = yz 2 + 3yz. Lasketaan d dx F (y, z). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 11 9 of 18

24 Eksaktit DY:t Esimerkki d F dx F (x, y(x)) = dx x dx + F dy y dx = F x + F y y M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 18

25 Eksaktit DY:t Esimerkki d F dx F (x, y(x)) = dx x dx + F dy y dx = F x + F y y Ratkaisuyrite Muotoa f (x, y) + g(x, y)y = 0 oleva DY:tä voidaan yrittää tulkita muodossa F x + F y y = 0 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 18

26 Eksaktit DY:t Esimerkki d F dx F (x, y(x)) = dx x dx + F dy y dx = F x + F y y Ratkaisuyrite Muotoa f (x, y) + g(x, y)y = 0 oleva DY:tä voidaan yrittää tulkita muodossa F x + F y y = 0 d F (x, y) = 0, dx M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 18

27 Eksaktit DY:t Esimerkki d F dx F (x, y(x)) = dx x dx + F dy y dx = F x + F y y Ratkaisuyrite Muotoa f (x, y) + g(x, y)y = 0 oleva DY:tä voidaan yrittää tulkita muodossa F x + F y y = 0 d F (x, y) = 0, dx jonka ratkaisu on F (x, y) = C. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 18

28 Eksaktit DY:t Lause Jos funktiot f ja g ovat riittävän säännöllisiä, funktio F (x, y), jolle F F x = f (x, y) ja y = g(x, y) on olemassa tarkalleen silloin kun f y = g x M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 18

29 Eksaktit DY:t Lause Jos funktiot f ja g ovat riittävän säännöllisiä, funktio F (x, y), jolle F F x = f (x, y) ja y = g(x, y) on olemassa tarkalleen silloin kun Määritelmä Differentiaaliyhtälö on eksakti, jos f y = g x f y = g x f (x, y) + g(x, y)y = 0 (ja f ja g ovat riittävän säännöllisiä). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 18

30 Eksaktit DY:t Määritelmä Differentiaaliyhtälö on eksakti, jos f y = g x Esimerkki Todetaan, että DY f (x, y) + g(x, y)y = 0 (ja f ja g ovat riittävän säännöllisiä). e x y + 4xy sin x + (e x + 2x 2 )y = 0 on eksakti. Nyt f (x, y) = e x y + 4xy sin x ja g(x, y) = e x + 2x 2. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 18

31 Eksaktit DY:t Eksaktin DY:n ratkaiseminen f (x, y) + g(x, y)y = 0 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 18

32 Eksaktit DY:t Eksaktin DY:n ratkaiseminen f (x, y) + g(x, y)y = 0 F x + F y y = 0 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 18

33 Eksaktit DY:t Eksaktin DY:n ratkaiseminen f (x, y) + g(x, y)y = 0 F x + F y y = 0 d F (x, y) = 0 dx M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 18

34 Eksaktit DY:t Eksaktin DY:n ratkaiseminen f (x, y) + g(x, y)y = 0 F x + F y y = 0 d F (x, y) = 0 dx F (x, y) = C M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 18

35 Eksaktit DY:t Ratkaisu käytännössä Eksaktin differentiaaliyhtälön f (x, y) + g(x, y)y = 0 ratkaisun askeleet: Etsitään funktiot c 0 (y) ja c 1 (x), joilla yhtälö f (x, y)dx + c0 (y) = g(x, y)dy + c 1 (x) toteutuu. Valitaan F (x, y) = f (x, y)dx + c 0 (y). Todetaan: F F x = f (x, y) ja y = g(x, y), jolloin eksakti yhtälö voidaan esittää muodossa d dx F (x, y) = 0. Ratkaisu: F (x, y) = C. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 18

36 Eksaktit DY:t Ratkaisu käytännössä Eksaktin differentiaaliyhtälön f (x, y) + g(x, y)y = 0 ratkaisun askeleet: Etsitään funktiot c 0 (y) ja c 1 (x), joilla yhtälö f (x, y)dx + c0 (y) = g(x, y)dy + c 1 (x) toteutuu. Valitaan F (x, y) = f (x, y)dx + c 0 (y). Todetaan: F F x = f (x, y) ja y = g(x, y), jolloin eksakti yhtälö voidaan esittää muodossa d dx F (x, y) = 0. Ratkaisu: F (x, y) = C. Esimerkki Ratkaistaan eksakti DY e x y + 4xy sin x + (e x + 2x 2 )y = 0. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 18

37 Eksaktit DY:t Huomautus Jos yhtälö f (x, y) + g(x, y)y = 0 ei ole eksakti, on toisinaan mahdollista löytää funktio µ(x, y) (ns. integroiva tekijä), jolla kerrottuna yhtälö on eksakti. f (x, y)µ(x, y) + g(x, y)µ(x, y)y = 0 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 18

38 Eksaktit DY:t Huomautus Jos yhtälö f (x, y) + g(x, y)y = 0 ei ole eksakti, on toisinaan mahdollista löytää funktio µ(x, y) (ns. integroiva tekijä), jolla kerrottuna yhtälö on eksakti. f (x, y)µ(x, y) + g(x, y)µ(x, y)y = 0 Esimerkki 107 Tarkastellaan differentiaaliyhtälöä y + (x + y 2 )y = 0. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 18

39 Eksaktit DY:t Mallintamistehtävä (esimerkin 106 variaatio) Etsittävä yhtälö sellaiselle käyrälle, joka heijastaa x-akselin suuntaiset säteet origoon. a (x, y) a (0, 0) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 18

40 Sekalaisia menetelmiä Sijoitus y/x Jos DY on muotoa y = f (y/x), niin sijoituksella z = y/x se muuttuu separoituvaksi. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 18

41 Sekalaisia menetelmiä Sijoitus y/x Jos DY on muotoa y = f (y/x), niin sijoituksella z = y/x se muuttuu separoituvaksi. Esimerkki Ratkaistaan DY y = xy + y 2 x 2. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 18

42 Sekalaisia menetelmiä Sijoitus ax + by Jos DY on muotoa y = f (ax + by), niin sijoituksella z = ax + by se muuttuu separoituvaksi. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 18

43 Sekalaisia menetelmiä Sijoitus ax + by Jos DY on muotoa y = f (ax + by), niin sijoituksella z = ax + by se muuttuu separoituvaksi. Esimerkki 109 Ratkaistaan DY y = x 2 + 2xy + y 2. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 18