Insinöörimatematiikka D

Transkriptio

1 Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 8 1 of 15

2 Kertausta Determinantti 2 2-determinantti a c b d = ad bc. 3 3-determinantti a b c d e f g h i = a e h f i b d g f i + c d g e h. Vastaavasti useampi riviset determinantit. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 8 2 of 15

3 Kertausta Vektoriavaruus R 3 Olkoot x = (x 1, x 2, x 3 ) ja y = (y 1, y 2, y 3 ). Pistetulo x y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3. Pistetulon indusoima normi x = x1 2 + x x 3 2. Normin indusoima etäisyys d(x, y) = x y. Kulma R 3 :ssa Jos x, y 0, niin vektorien x ja y väliselle kulmalle on voimassa Kohtisuoruus R 3 :ssa cos θ = x y x y Vektorit x, y R 3 ovat ortogonaalit eli kohtisuorat, jos x y = 0. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 8 3 of 15

4 Kertausta Kanta ja dimensio Olkoon B = {x 1, x 2,..., x n } äärellinen joukko. Lineaarikombinaatioiden joukko L(B) = {c 1 x 1 + c 2 x c n x n c i R}. Joukko B on vektoriavaruuden V kanta, jos V = L(B) ja B on lineaarisesti riippumaton. Jos B on V :n kanta, niin dimensio dim(v ) = n Esimerkki Avaruuden R 3 luonnollinen kanta {i, j, k}, jossa i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) ja k = (0, 0, 1). M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 8 4 of 15

5 Avaruuden R 3 geometriaa Määritelmä Avaruuden R 3 vektoreiden x = (x 1, x 2, x 3 ) ja y = (y 1, y 2, y 3 ) ristitulo määritellään x y = (x 2 y 3 x 3 y 2, x 3 y 1 x 1 y 3, x 1 y 2 x 2 y 1 ). Muistisääntö Ristitulo x y voidaan ajatella seuraavan determinantin avulla: x y i j k = x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 = i x 2 x 3 y 2 y 3 j x 1 x 3 y 1 y 3 + k x 1 x 2 y 1 y 2 = (x 2 y 3 x 3 y 2 )i (x 1 y 3 x 3 y 1 )j + (x 1 y 2 x 2 y 1 )k = (x 2 y 3 x 3 y 2, x 3 y 1 x 1 y 3, x 1 y 2 x 2 y 1 ) M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 8 5 of 15

6 Avaruuden R 3 geometriaa Esimerkki Lasketaan vektorien x = (1, 1, 0) ja y = (0, 3, 2) ristitulo x y. Skalaarikolmitulo Lause: Olkoot x = (x 1, x 2, x 3 ), y = (y 1, y 2, y 3 ) ja z = (z 1, z 2, z 3 ). Tällöin x 1 x 2 x 3 x (y z) = y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3 x (y z) = y (z x) = z (x y) M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 8 6 of 15

7 Avaruuden R 3 geometriaa Seuraus Ristitulo on kohtisuorassa alkuperäisiin vektoreihin nähden eli x (x y) = 0 ja y (x y) = 0. Lause x y = y x (x + y) z = x z + y z (ax) y = x (ay) = a(x y) x x = 0 x y 2 + (x y) 2 = x 2 y 2. x y = x y sin θ, missä θ on vektoreiden x ja y välinen kulma. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 8 7 of 15

8 Avaruuden R 3 tasot Määritelmä Olkoon V R n aliavaruus ja r R n jokin vektori. Tällöin sanotaan, että joukko on aliavaruuden V sivuluokka. Määritelmä r + V = {r + v v V } Olkoon V avaruuden R 3 aliavaruus, jonka dimensio dim(v ) = 2. Silloin V = L(x, y) joillakin x, y R 3 ja geometrisesti V on origon kautta kulkeva taso. Kaikki R 3 :n tasot saadaan origon kautta kulkevien tasojen sivuluokkina. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 8 8 of 15

9 Avaruuden R 3 tasot Parametriesitys T = r + L(x, y) = {r + c 1 x + c 2 y c 1, c 2 R} Jos vektorit x ja y ovat lineaarisesti riippuvia, niin aliavaruus L(x, y) ei ole kaksiulotteinen eikä tällöin kyseessä ole taso. Vektoreita x ja y sanotaan tason T suuntavektoreiksi ja vektoria r tason T paikkavektoriksi. Reaaliluvut c 1 ja c 2 ovat parametreja. Käyttökelpoinen tason T pisteiden generoimiseksi. Parametrimuodosta hankala selvittää, onko v T. Hankala selvittää, ovatko kaksi tasoa samat. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 8 9 of 15

10 Avaruuden R 3 tasot Normaalimuoto Olkoon n R 3 normaalivektori. Normaalivektoria n vastaan kohtisuorassa olevat vektorit muodostavat origon kautta kulkevan tason T 0 : T 0 = {x R 3 x n = 0}. Kaikki R 3 :n tasot saadaan origon kautta kulkevien tasojen sivuluokkina (T = x 0 + T 0 ): T = {x 0 + x x R 3, n x = 0} = {x R 3 (x x 0 ) n = 0}. x 0 on tason T paikkavektori ja n normaalivektori. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 8 10 of 15

11 Avaruuden R 3 tasot Koordinaattimuoto Merkitsemällä n = (a, b, c), x = (x, y, z) ja x 0 = (x 0, y 0, z 0 ) saadaan yhtälö (x x 0 ) n = 0 muotoon a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0, ja edelleen missä d = ax 0 + by 0 + cz 0. ax + by + cz = d, Käyttökelpoinen kysymyksen v T? ratkaisemiseksi Hankala tason pisteiden generoimiseksi. Vertaamalla koordinaattimuotoja voidaan selvittää ovatko kaksi tasoa T 1 ja T 2 samat. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 8 11 of 15

12 Avaruuden R 3 tasot Kolme pistettä Jos avaruuden R 3 pisteet p 1, p 2 ja p 3 eivät ole samalla suoralla, ne määrittävät tason T yksikäsitteisesti. Huomautus Pisteet p 1, p 2 ja p 3 ovat samalla suoralla tarkalleen silloin kun p 3 p 1 ja p 2 p 1 ovat lineaarisesti riippuvat. Huomautus Jos tasoilla T 1 ja T 2 on kolme yhteistä pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla, niin tasot T 1 ja T 2 ovat samat. Määritelmä Tasojen T 1 ja T 2 välisellä kulmalla tarkoitetaan niiden normaalivektorien välistä kulmaa. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 8 12 of 15

13 Avaruuden R 3 suorat Määritelmä Olkoon V avaruuden R 3 aliavaruus, jonka dimensio dim(v ) = 1. Silloin V = L(x) jollakin x R 3 ja geometrisesti V on origon kautta kulkeva suora. Kaikki R 3 :n suorat saadaan origon kautta kulkevien suorien sivuluokkina. Parametrimuoto L = r + L(x) = {r + cx c R} Vektoria r kutsutaan suoran L paikkavektoriksi ja vektoria x sen suuntavektoriksi. Käyttökelpoinen suoran pisteiden generoimiseksi. Hankala kysymyksen v L ratkaisemiseksi. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 8 13 of 15

14 Avaruuden R 3 suorat Merkintä Merkitään r = (x 0, y 0, z 0 ) ja x = (a, b, c), jolloin L = {(x 0, y 0, z 0 ) + t(a, b, c) t R}, jolloin suoran pisteet ovat muotoa (x, y, z) = (x 0 + ta, y 0 + tb, z 0 + tc), josta t = x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c Koordinaattimuoto x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 8 14 of 15

15 Avaruuden R 3 suorat Kaksi pistettä Mitkä hyvänsä pisteet p 1 ja p 2 määrittävät niiden kautta kulkevan suoran yksikäsitteisesti Huomautus Jos suorilla L 1 ja L 2 on kaksi yhteistä pistettä, niin suorat L 1 ja L 2 ovat samat. Kahden tason leikkaus Jos tasot T 1 ja T 2 eivät ole samansuuntaiset, määrittää niiden leikkaus suoran. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 8 15 of 15