Insinöörimatematiikka D
|
|
|
- Olivia Halonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 1 of 28
2 Kertausta Määritelmä Matriisi A on kaavio A = A 11 A A 1n A 21 A A 2n A m1 A m2... A mn. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 2 of 28
3 Kertausta Määritelmä Matriisi A on kaavio A = A 11 A A 1n A 21 A A 2n A m1 A m2... A mn. Tyyppi m n: m riviä, n saraketta. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 2 of 28
4 Kertausta Määritelmä Matriisi A on kaavio A = A 11 A A 1n A 21 A A 2n A m1 A m2... A mn. Tyyppi m n: m riviä, n saraketta. A ij : matriisin alkiot M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 2 of 28
5 Kertausta Määritelmä Matriisi A on kaavio A = A 11 A A 1n A 21 A A 2n A m1 A m2... A mn. Tyyppi m n: m riviä, n saraketta. A ij : matriisin alkiot A ij R: reaalinen matriisi M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 2 of 28
6 Kertausta Määritelmä Matriisi A on kaavio A = A 11 A A 1n A 21 A A 2n A m1 A m2... A mn. Tyyppi m n: m riviä, n saraketta. A ij : matriisin alkiot A ij R: reaalinen matriisi A ij C: kompleksinen matriisi M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 2 of 28
7 Kertausta Määritelmä 1 n-matriisia A = (A 11 A A 1n ) kutsutaan vaakavektoriksi tai rivivektoriksi. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 3 of 28
8 Kertausta Määritelmä 1 n-matriisia A = (A 11 A A 1n ) kutsutaan vaakavektoriksi tai rivivektoriksi. A 11 A 21 m 1-matriisia A = kutsutaan pystyvektoriksi tai. sarakevektoriksi. A m1 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 3 of 28
9 Kertausta Määritelmä 1 n-matriisia A = (A 11 A A 1n ) kutsutaan vaakavektoriksi tai rivivektoriksi. A 11 A 21 m 1-matriisia A = kutsutaan pystyvektoriksi tai. sarakevektoriksi. Huomautus A m1 Sekä pysty- että vaakavektori voidaan tulkita avaruuden R n (tai C n ) alkioksi. Näissä käytetään yleensä vain yksinkertaista indeksointia. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 3 of 28
10 Kertausta Määritelmä Nollamatriisi O on matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 4 of 28
11 Kertausta Määritelmä Nollamatriisi O on matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia Neliömatriisi on matriisi, jossa rivien määrä on sama kuin sarakkeiden määrä M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 4 of 28
12 Kertausta Määritelmä Nollamatriisi O on matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia Neliömatriisi on matriisi, jossa rivien määrä on sama kuin sarakkeiden määrä Diagonaalimatriisi on neliömatriisi D, jolle pätee i j D ij = 0. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 4 of 28
13 Kertausta Määritelmä Nollamatriisi O on matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia Neliömatriisi on matriisi, jossa rivien määrä on sama kuin sarakkeiden määrä Diagonaalimatriisi on neliömatriisi D, jolle pätee i j D ij = 0. Identiteettimatriisi I n on diagonaalimatriisi, jonka kaikki diagonaalialkiot ovat ykkösiä. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 4 of 28
14 Kertausta Määritelmä Nollamatriisi O on matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia Neliömatriisi on matriisi, jossa rivien määrä on sama kuin sarakkeiden määrä Diagonaalimatriisi on neliömatriisi D, jolle pätee i j D ij = 0. Identiteettimatriisi I n on diagonaalimatriisi, jonka kaikki diagonaalialkiot ovat ykkösiä. Määritelmä Transpoosi (A T ) ij = A ji. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 4 of 28
15 Kertausta Määritelmä Nollamatriisi O on matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia Neliömatriisi on matriisi, jossa rivien määrä on sama kuin sarakkeiden määrä Diagonaalimatriisi on neliömatriisi D, jolle pätee i j D ij = 0. Identiteettimatriisi I n on diagonaalimatriisi, jonka kaikki diagonaalialkiot ovat ykkösiä. Määritelmä Transpoosi (A T ) ij = A ji. Neliömatriisi A on symmetrinen, jos A T = A. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 4 of 28
16 Kertausta Määritelmä Nollamatriisi O on matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia Neliömatriisi on matriisi, jossa rivien määrä on sama kuin sarakkeiden määrä Diagonaalimatriisi on neliömatriisi D, jolle pätee i j D ij = 0. Identiteettimatriisi I n on diagonaalimatriisi, jonka kaikki diagonaalialkiot ovat ykkösiä. Määritelmä Transpoosi (A T ) ij = A ji. Neliömatriisi A on symmetrinen, jos A T = A. Matriisin A:n vastamatriisi A määritellään asettamalla ( A) ij = A ij. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 4 of 28
17 Kertausta Skalaarikertolasku Jos A on m n-matriisi ja c joko kompleksi- tai reaaliluku, on ca m n-matriisi, jolle pätee (ca) ij = ca ij (kertolasku alkioittain). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 5 of 28
18 Kertausta Skalaarikertolasku Jos A on m n-matriisi ja c joko kompleksi- tai reaaliluku, on ca m n-matriisi, jolle pätee (ca) ij = ca ij (kertolasku alkioittain). Matriisien yhteenlasku Jos A on m n-matriisi ja B r s-matriisi, summa A+B määritellään vain jos m = r ja n = s. Tällöin (A+B) ij = A ij +B ij M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 5 of 28
19 Kertausta Skalaarikertolasku Jos A on m n-matriisi ja c joko kompleksi- tai reaaliluku, on ca m n-matriisi, jolle pätee (ca) ij = ca ij (kertolasku alkioittain). Matriisien yhteenlasku Jos A on m n-matriisi ja B r s-matriisi, summa A+B määritellään vain jos m = r ja n = s. Tällöin (A+B) ij = A ij +B ij Huomautus m n-matriisit muodostavat vektoriavaruuden yhteenlaskun ja skalaarikertolaskun suhteen. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 5 of 28
20 Kertausta Määritelmä Funktio f : R n R m on lineaarinen, jos f(ax+by) = af(x)+bf(y) aina, kun x, y R n ja a ja b ovat skalaareita. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 6 of 28
21 Lineaarikuvaukset Seuraus Jos f : U V on lineaarinen, on f(0) = 0. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 7 of 28
22 Lineaarikuvaukset Seuraus Jos f : U V on lineaarinen, on f(0) = 0. Lisäksi f(a 1 x 1 +a 2 x a n x n ) = a 1 f(x 1 )+a 2 f(x 2 )...+a n f(x n ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 7 of 28
23 Lineaarikuvaukset Seuraus Jos f : U V on lineaarinen, on f(0) = 0. Lisäksi f(a 1 x 1 +a 2 x a n x n ) = a 1 f(x 1 )+a 2 f(x 2 )...+a n f(x n ). Esimerkki Olkoon V vektoriavaruus yli kunnan K, n = dim(v) ja B = {b 1,...,b n } sen eräs kanta. Tällöin kuvaus T : V K n,x x B on lineaarikuvaus. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 7 of 28
24 Lineaarikuvaukset Seuraus Jos f : U V on lineaarinen, on f(0) = 0. Lisäksi f(a 1 x 1 +a 2 x a n x n ) = a 1 f(x 1 )+a 2 f(x 2 )...+a n f(x n ). Esimerkki Olkoon V vektoriavaruus yli kunnan K, n = dim(v) ja B = {b 1,...,b n } sen eräs kanta. Tällöin kuvaus T : V K n,x x B on lineaarikuvaus. Olkoon x 1 = r 1 b r n b n ja x 2 = s 1 b s n b n. Tällöin T(cx 1 +dx 2 )=(cr 1 +ds 1,...,cr n+ds n)=c(r 1,...,r n)+d(s 1,...,s n)=ct(x 1 )+dt(x 2 ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 7 of 28
25 Lineaarikuvaukset Huomautus Olkoon f : R n R m lineaarinen ja x = x 1 e x n e n, jolloin f(x) = x 1 f(e 1 )+...+x n f(e n ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 8 of 28
26 Lineaarikuvaukset Huomautus Olkoon f : R n R m lineaarinen ja x = x 1 e x n e n, jolloin f(x) = x 1 f(e 1 )+...+x n f(e n ). Merkitsemällä y = f(x) ja a ij = f(e j ) i saadaan edellisestä y i = f(e 1 ) i x 1 +f(e 2 ) i x 2 + +f(e n ) i x n = a i1 x 1 +a i2 x a in x n M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 8 of 28
27 Lineaarikuvaukset Huomautus Olkoon f : R n R m lineaarinen ja x = x 1 e x n e n, jolloin f(x) = x 1 f(e 1 )+...+x n f(e n ). Merkitsemällä y = f(x) ja a ij = f(e j ) i saadaan edellisestä y i = f(e 1 ) i x 1 +f(e 2 ) i x 2 + +f(e n ) i x n = a i1 x 1 +a i2 x a in x n Kuvavektorin y koordinaatit y i ovat ensimmäisen asteen lausekkeita alkukuvan x = (x 1,...,x n ) koordinaateista. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 8 of 28
28 Lineaarikuvaukset Huomautus Olkoon f : R n R m lineaarinen ja x = x 1 e x n e n, jolloin f(x) = x 1 f(e 1 )+...+x n f(e n ). Merkitsemällä y = f(x) ja a ij = f(e j ) i saadaan edellisestä y i = f(e 1 ) i x 1 +f(e 2 ) i x 2 + +f(e n ) i x n = a i1 x 1 +a i2 x a in x n Kuvavektorin y koordinaatit y i ovat ensimmäisen asteen lausekkeita alkukuvan x = (x 1,...,x n ) koordinaateista. Tämä olisi voitu ottaa lineaarikuvauksen määritelmäksi. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 8 of 28
29 Lineaarikuvaukset Määritelmä Jos y i = a i1 x 1 +a i2 x a in x n, on a 11 a a 1n a 21 a a 2n M f = a m1 a m2... a mn lineaarikuvauksen f : R n R m matriisi (luonnollisten kantojen suhteen). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 9 of 28
30 Lineaarikuvaukset Määritelmä Jos y i = a i1 x 1 +a i2 x a in x n, on a 11 a a 1n a 21 a a 2n M f = a m1 a m2... a mn lineaarikuvauksen f : R n R m matriisi (luonnollisten kantojen suhteen). Koska a ij = f(e j ) i, niin voidaan huomata, että M f = ( f(e 1 ) T f(e 2 ) T... f(e n ) T) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 9 of 28
31 Lineaarikuvaukset Esimerkki 41 Esimerkin 38 lineaarikuvaukselle T(x,y,z) = (x +y z,2x +3y +z) saadaan T(e 1 ) = (1,2), T(e 2 ) = (1,3) ja T(e 3 ) = ( 1,1) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 10 of 28
32 Lineaarikuvaukset Esimerkki 41 Esimerkin 38 lineaarikuvaukselle T(x,y,z) = (x +y z,2x +3y +z) saadaan T(e 1 ) = (1,2), T(e 2 ) = (1,3) ja T(e 3 ) = ( 1,1) ja edelleen M T = ( ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 10 of 28
33 Lineaarikuvaukset Esimerkki Olkoon f : R 3 R 2 lineaarikuvaus, jolle f(1,0,0) = (2,1), f(0,1,0) = (1,1) ja f(0,0,1) = (0,2). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 11 of 28
34 Lineaarikuvaukset Esimerkki Olkoon f : R 3 R 2 lineaarikuvaus, jolle f(1,0,0) = (2,1), f(0,1,0) = (1,1) ja f(0,0,1) = (0,2). Tällöin f(x,y,z) = f(x (1,0,0) +y (0,1,0) +z (0,0,1)) = x f(1,0,0) +y f(0,1,0) +z f(0,0,1)) = x (2,1)+y (1,1)+z (0,2)) = (2x +y,x +y +2z) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 11 of 28
35 Lineaarikuvaukset Esimerkki Olkoon f : R 3 R 2 lineaarikuvaus, jolle f(1,0,0) = (2,1), f(0,1,0) = (1,1) ja f(0,0,1) = (0,2). Tällöin f(x,y,z) = f(x (1,0,0) +y (0,1,0) +z (0,0,1)) = x f(1,0,0) +y f(0,1,0) +z f(0,0,1)) = x (2,1)+y (1,1)+z (0,2)) = (2x +y,x +y +2z) ja edelleen saadaan kuvauksen matriisi A f ( ) A f = M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 11 of 28
36 Määritelmä Jos A on tyyppiä r s ja B tyyppiä s t, on matriisien A ja B tulo r t-matriisi AB, missä (AB) ij = s A ik B kj. k=1 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 12 of 28
37 Esimerkki 44 = = ( ( ) ( ) ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 13 of 28
38 Esimerkki 45 ( )( ) ( = ( )( ) ( = ), ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 14 of 28
39 Esimerkki 45 ( )( ) ( = ( )( ) ( = ), ). Huomautus Matriisitulo ei ole yleisesti kommutatiivinen (vaihdannainen) eli voi olla AB BA. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 14 of 28
40 Esimerkki 46 ( )( ) = ( ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 15 of 28
41 Esimerkki 46 ( )( ) = Huomautus Matriisitulolle ei päde tulon nollasääntö ( AB = O = A = O tai B = O ). eli kahden ei-nollamatriisin tulo voi olla nollamatriisi eli AB = O on mahdollista, vaikka A O ja B O. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 15 of 28
42 Lause On voimassa A(BC) = (AB)C A(B +C) = AB +AC (A+B)C = AC +BC a(ab) = (aa)b = A(aB) AO = OA = O AI = IA = A, (AB) T = B T A T, edellyttäen että vasemmat puolet ovat määriteltyjä. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 16 of 28
43 Huomautus Matriisitulo voidaan laskea lohkomuodossa: ( )( ) ( A1 A 2 B1 B 2 A1 B = 1 +A 2 B 3 A 1 B 2 +A 2 B 4 A 3 A 4 B 3 B 4 A 3 B 1 +A 4 B 3 A 3 B 2 +A 4 B 4 ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 17 of 28
44 Huomautus Matriisitulo voidaan laskea lohkomuodossa: ( )( ) ( A1 A 2 B1 B 2 A1 B = 1 +A 2 B 3 A 1 B 2 +A 2 B 4 A 3 A 4 B 3 B 4 A 3 B 1 +A 4 B 3 A 3 B 2 +A 4 B 4 ) Määritelmä Jos A on neliömatriisi ja n {0,1,2,...}, määritellään { A 0 = I A n = A A... A (n kpl). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 17 of 28
45 Määritelmän mukaan = a 11 a a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn x 1 x 2. x n a 11 x 1 +a 12 x a 1n x n a 21 x 1 +a 22 x a 2n x n. a m1 x 1 +a m2 x a mn x n M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 18 of 28
46 Matriisitulon merkitys Kun merkitään y i = a i1 x 1 +a i2 x a in x n, saadaan y 1 a 11 a a 1n x 1 y 2. = a 21 a a 2n x y m a m1 a m2... a mn x n M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 19 of 28
47 Matriisitulon merkitys Kun merkitään y i = a i1 x 1 +a i2 x a in x n, saadaan y 1 a 11 a a 1n x 1 y 2. = a 21 a a 2n x y m a m1 a m2... a mn x n Esimerkin 43 lineaarikuvauksen kuvavektorin (2x +y,x +y +2z) transpoosi voidaan esittää seuraavasti: ( ) ( ) x (2x +y,x +y +2z) T 2x +y = = y x +y +2z z M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 19 of 28
48 Lause 10 Lineaarikuvaus f : R n R m voidaan esittää muodossa f(x) = Ax, missä x on pystyvektori ja A on m n-matriisi. Matriisi A = A f on lineaarikuvauksen f matriisi luonnollisen kannan suhteen. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 20 of 28
49 Lause 10 Lineaarikuvaus f : R n R m voidaan esittää muodossa f(x) = Ax, missä x on pystyvektori ja A on m n-matriisi. Matriisi A = A f on lineaarikuvauksen f matriisi luonnollisen kannan suhteen. Lause 11 (Lineaarikuvausten yhdistäminen) Olkoot f : R n R m ja g : R m R k lineaarikuvauksia, joiden matriisit ovat A f ja A g. Yhdistetty kuvaus g f : R n R k voidaan esittää muodossa (g f)(x) = g(f(x)) = A g (A f x) = (A g A f )x. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 20 of 28
50 Lause 10 Lineaarikuvaus f : R n R m voidaan esittää muodossa f(x) = Ax, missä x on pystyvektori ja A on m n-matriisi. Matriisi A = A f on lineaarikuvauksen f matriisi luonnollisen kannan suhteen. Lause 11 (Lineaarikuvausten yhdistäminen) Olkoot f : R n R m ja g : R m R k lineaarikuvauksia, joiden matriisit ovat A f ja A g. Yhdistetty kuvaus g f : R n R k voidaan esittää muodossa Täten (g f)(x) = g(f(x)) = A g (A f x) = (A g A f )x. A g f = A g A f M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 20 of 28
51 Huomautus Lauseessa 11 m n-matriisin A f ja k m-matriisin A g tulo A g A f on määritelty tyypiltään k n. Vastaava kuvaus on R n R k. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 21 of 28
52 Huomautus Lauseessa 11 m n-matriisin A f ja k m-matriisin A g tulo A g A f on määritelty tyypiltään k n. Vastaava kuvaus on R n R k. Huomautus Jos A on m n-matriisi, x n-pituinen pystyvektori ja y = Ax m-pituinen pystyvektori. Transponoimalla yhtälö y = Ax saadaan y T = x T A T. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 21 of 28
53 Esimerkki 48 (F 0,F 1,...,F N 1 ) = DFT(f 0,f 1,...,f N 1 ), missä F l = 1 N 1 f k e 2πikl N N k=0 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 22 of 28
54 Esimerkki 48 (F 0,F 1,...,F N 1 ) = DFT(f 0,f 1,...,f N 1 ), missä F l = 1 N 1 f k e 2πikl N = 1 N 1 f k ρ kl N N k=0 kun merkitään ρ = e 2πi N. k=0 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 22 of 28
55 Esimerkki 48 (F 0,F 1,...,F N 1 ) = DFT(f 0,f 1,...,f N 1 ), missä F l = 1 N 1 f k e 2πikl N = 1 N 1 f k ρ kl N N k=0 k=0 kun merkitään ρ = e 2πi N. Tämä voidaan kirjoittaa matriisimuodossa F 0 F 1 F 2. F N 1 = 1 N ρ ρ 2 ρ N 1 1 ρ ρ 4 ρ (N 1) ρ N 1 ρ 2(N 1) ρ (N 1)(N 1) f 0 f 1 f 2. f N 1 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 22 of 28
56 Esimerkki Lineaarinen yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m voidaan kirjoittaa matriisimuodossa Ax = b, missä a 11 a a 1n a 21 a a 2n A =......, a m1 a m2... a mn x = (x 1,...,x n ) T ja b = (b 1,...,b m ) T. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 23 of 28
57 Esimerkki Olkoot B 1 = {i,j} ja B 2 = {i+j,i j} muodostavat avaruuden R 2 kannan. Esimerkin 13 mukaan (x,y) B1 = (x,y) ja (x,y) B2 = ( 1 2 (x +y), 1 2 (x y)). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 24 of 28
58 Esimerkki Olkoot B 1 = {i,j} ja B 2 = {i+j,i j} muodostavat avaruuden R 2 kannan. Esimerkin 13 mukaan (x,y) B1 = (x,y) ja (x,y) B2 = ( 1 2 (x +y), 1 2 (x y)). Tällöin (x,y) T B 2 = 1 ( ) 1 1 (x,y) T B 1. Matriisia M = 1 2 ( ) kutsutaan kannanvaihdon matriisiksi. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 24 of 28
59 Kiertomatriisi R 2 :ssa Kierretään koordinaatistoa kulman θ verran ja käytetään pisteen (x,y) uusista koordinaateista merkintää (x,y ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 25 of 28
60 Kiertomatriisi R 2 :ssa Kierretään koordinaatistoa kulman θ verran ja käytetään pisteen (x,y) uusista koordinaateista merkintää (x,y ). Alkeistrigonometrian perusteella { x = x cosθ y sinθ y = x sinθ + y cosθ, M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 25 of 28
61 Kiertomatriisi R 2 :ssa Kierretään koordinaatistoa kulman θ verran ja käytetään pisteen (x,y) uusista koordinaateista merkintää (x,y ). Alkeistrigonometrian perusteella { x = x cosθ y sinθ y = x sinθ + y cosθ, mikä voidaan matriisimuodossa kirjoittaa ( ) ( )( ) x cosθ sinθ x y = sinθ cosθ y M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 25 of 28
62 Kiertomatriisi R 2 :ssa Kierretään koordinaatistoa kulman θ verran ja käytetään pisteen (x,y) uusista koordinaateista merkintää (x,y ). Alkeistrigonometrian perusteella { x = x cosθ y sinθ y = x sinθ + y cosθ, mikä voidaan matriisimuodossa kirjoittaa ( ) ( )( ) x cosθ sinθ x y = sinθ cosθ y ( Merk. x = R(θ) y ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 25 of 28
63 Kiertomatriisi R 2 :ssa Kierretään koordinaatistoa kulman θ verran ja käytetään pisteen (x,y) uusista koordinaateista merkintää (x,y ). Alkeistrigonometrian perusteella { x = x cosθ y sinθ y = x sinθ + y cosθ, mikä voidaan matriisimuodossa kirjoittaa ( ) ( )( ) x cosθ sinθ x y = sinθ cosθ y ( Merk. x = R(θ) y ) Erikoistapaus kannanvaihdon matriisista M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 25 of 28
64 Kiertomatriisi R 2 :ssa Kierretään koordinaatistoa kulman θ verran ja käytetään pisteen (x,y) uusista koordinaateista merkintää (x,y ). Alkeistrigonometrian perusteella { x = x cosθ y sinθ y = x sinθ + y cosθ, mikä voidaan matriisimuodossa kirjoittaa ( ) ( )( ) x cosθ sinθ x y = sinθ cosθ y ( Merk. x = R(θ) y ) Erikoistapaus kannanvaihdon matriisista R(θ 1 )R(θ 2 ) = R(θ 1 +θ 2 ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 25 of 28
65 Kiertomatriisit R 3 :ssa Kierto z-akselin ympäri: x = x cosθ y sinθ y = x sinθ + y cosθ z = z M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 26 of 28
66 Kiertomatriisit R 3 :ssa Kierto z-akselin ympäri: x = x cosθ y sinθ y = x sinθ + y cosθ z = z voidaan kirjoittaa matriisimuodossa x y = z cosθ sinθ 0 sinθ cosθ } {{ } R z(θ) x y z M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 26 of 28
67 Kiertomatriisit R 3 :ssa Kierto x-akselin ympäri: x = x y = y cosθ z sinθ z = y sinθ + zcosθ M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 27 of 28
68 Kiertomatriisit R 3 :ssa Kierto x-akselin ympäri: x = x y = y cosθ z sinθ z = y sinθ + zcosθ voidaan kirjoittaa matriisimuodossa x y = z cosθ sinθ 0 sinθ cosθ } {{ } R x(θ) x y z M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 27 of 28
69 Kiertomatriisit R 3 :ssa Kierto y-akselin ympäri: x = x cosθ z sinθ y = y z = x sinθ + z cosθ M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 28 of 28
70 Kiertomatriisit R 3 :ssa Kierto y-akselin ympäri: x = x cosθ z sinθ y = y z = x sinθ + z cosθ voidaan kirjoittaa matriisimuodossa x cosθ 0 sinθ y = z } sinθ 0 {{ cosθ } R y(θ) x y z M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 28 of 28
71 Kiertomatriisit R 3 :ssa Kierto y-akselin ympäri: x = x cosθ z sinθ y = y z = x sinθ + z cosθ voidaan kirjoittaa matriisimuodossa x cosθ 0 sinθ y = z } sinθ 0 {{ cosθ } R y(θ) x y z Kaikki kierrot saadaan matriisien R x (θ 1 ), R y (θ 2 ) ja R z (θ 3 ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 28 of 28
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2014 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 1 of 16 Kertausta Lineaarinen riippuvuus
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja
1.1. Määritelmiä ja nimityksiä
1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x
BM20A0700, Matematiikka KoTiB2
BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset
32 Idea: Lineaarikuvausten laskutoimitusten avulla määritellään vastaavat matriisien laskutoimitukset Vakiolla kertominen ja summa Olkoon t R ja A, B R n m Silloin ta, A + B R n m ja määritellään ta ta
Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä
Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty
3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset
31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2292015 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita
Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta
Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä
Talousmatematiikan perusteet: Luento 9. Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Transponointi Matriisitulo
Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Transponointi Matriisitulo Viime luennolta Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,
Matriisit. Määritelmä 1 Reaaliluvuista a ij, missä i = 1,..., k ja j = 1,..., n, muodostettua kaaviota a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =
1 / 21 Määritelmä 1 Reaaliluvuista a ij, missä i 1,..., k ja j 1,..., n, muodostettua kaaviota a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A... a k1 a k2 a kn sanotaan k n matriisiksi. Usein merkitään A [a ij ]. Lukuja
Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi
Matriisit, L20 Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio.
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan
Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Informaatioteknologian tiedekunta Jyväskylän yliopisto 5. luento.2.27 Lineaarialgebraa - Miksi? Neuroverkon parametreihin liittyvät kaavat annetaan monesti
Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Matriisitulo Determinantti
Talousmatematiikan perusteet: Luento 1 Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Matriisitulo Determinantti Viime luennolta Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden
9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia
9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä
Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi
Matriisit, L20 Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ( 0, 4, ( ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin (amer. kirjoissa
Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi
Matriisit, kertausta Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Matematiikka B2 - Avoin yliopisto
6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka D 2018
Mika Hirvensalo Insinöörimatematiikka D 2018 Sisältö 1 Lineaarialgebran peruskäsitteitä 5 11 Lineaariset yhtälöryhmät 5 111 Gaussin-Jordanin menetelmä 5 112 Ratkaisujoukon systemaattinen esittäminen 8
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Matematiikka B2 - TUDI
Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden
Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia
Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella
(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3
4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5
Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka D 2015
Mika Hirvensalo Insinöörimatematiikka D 2015 Sisältö 1 Lineaarialgebran peruskäsitteitä............................................... 5 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät..................................................
Käänteismatriisi 1 / 14
1 / 14 Jokaisella nollasta eroavalla reaaliluvulla on käänteisluku, jolla kerrottaessa tuloksena on 1. Seuraavaksi tarkastellaan vastaavaa ominaisuutta matriiseille ja määritellään käänteismatriisi. Jokaisella
Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016
MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 7 Onko kuvaus F : R R, F(x 1,x = (x 1 +x,5x 1, x 1 +6x lineaarinen kuvaus? Jos on, niin määrää sen matriisi luonnollisen kannan suhteen Jos ei ole, niin
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
Matriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n.
Matriisipotenssi Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: Määritelmä Oletetaan, että A on n n -matriisi (siis neliömatriisi) ja k
Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.
1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/310 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 Tehtävä 1 (L): Oletetaan, että AB = AC, kun B ja C ovat m n-matriiseja. a) Näytä, että jos A on kääntyvä, niin B = C. b) Seuraako yhtälöstä AB = AC yhtälö
Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka D 2019
Mika Hirvensalo Insinöörimatematiikka D 2019 Sisältö 1 Lineaarialgebran peruskäsitteitä 3 11 Lineaariset yhtälöryhmät 3 111 Gaussin-Jordanin menetelmä 3 112 Ratkaisujoukon systemaattinen esittäminen 6
Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81
Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/81 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 )
Ennakkotehtävän ratkaisu
Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb
Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.
Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna
Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66
Ensi viikon luennot salissa X Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/66 Redusoitu porrasmuoto 1 1 2 4 1 1 4 6 2 2 5 9 1 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 Eli aste r(a) = 2 ja vaakariviavaruuden
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.
Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen
Informaatiotieteiden yksikkö Lineaarialgebra 1A Pentti Haukkanen Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen . 2 Sisältö 1 Matriisit, determinantit ja lineaariset yhtälöryhmät 4 1.1 Matriisit..............................
3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. Olkoot A 2 := AA =
3 3 Olkoot 9 8 B 7 6 ja A 5 4 [ 3 4 Nyt A + B, AB ja BB eivät ole mielekkäitä (vastaavilla lineaarikuvauksilla menisivät dimensiot solmuun tällaisista yhdistelmistä) Kuitenkin voidaan laskea BA ja 9( )
1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät
1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n
kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja
Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,
Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen
Informaatiotieteiden yksikkö Lineaarialgebra 1A Pentti Haukkanen Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen . 2 Sisältö 1 Matriisit, determinantit ja lineaariset yhtälöryhmät 4 1.1 Matriisin määritelmä.......................
Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen
Informaatiotieteiden yksikkö Lineaarialgebra 1A Pentti Haukkanen Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen . 2 Sisältö 1 Matriisit, determinantit ja lineaariset yhtälöryhmät 4 1.1 Matriisin määritelmä.......................
Käänteismatriisin ominaisuuksia
Käänteismatriisin ominaisuuksia Lause 1.4. Jos A ja B ovat säännöllisiä ja luku λ 0, niin 1) (A 1 ) 1 = A 2) (λa) 1 = 1 λ A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1 4) (A T ) 1 = (A 1 ) T. Tod.... Ortogonaaliset matriisit
Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210
Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2
Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit
Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaarinen yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, (1) voidaan esittää
Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen
Informaatiotieteiden yksikkö Lineaarialgebra 1A Pentti Haukkanen Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen . 2 Sisältö 1 Matriisit, determinantit ja lineaariset yhtälöryhmät 4 1.1 Matriisin määritelmä.......................
Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006
Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä
Lineaarialgebra (muut ko)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/103 Lineaarialgebra (muut ko) Tero Laihonen Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/103 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v
renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x
8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta
Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159
Ensi viikon luennot salissa X Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/159 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 ) Skalaarilla
Muistutus: Matikkapaja ke Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta yms.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/139 Ensi viikon luennot salissa X Muistutus: Matikkapaja ke 14-16 Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
802118P Lineaarialgebra I (4 op)
802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
9.2 Lineaarikuvaus Olkoon A kuvaus (funktio) vektoriavaruudesta V vektoriavaruuteen U: jos nyt
9 Lineaarikuvaukset, matriisit 9 Vektoriavaruudet Aiemmin olemmme puhuneet tason (R 2 ja kotiavaruuden (R 3 vektoreista Nämä (kuten mös pelkkä R ovat esimerkkejä reaalisista vektoriavaruuksista Yleisesti
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.
Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin
1. Normi ja sisätulo
Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 3 83 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni Normi ja sisätulo
1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät
1 1 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT Muotoa 11 Lineaariset yhtälöryhmät (1) a 1 x 1 + a x + + a n x n b oleva yhtälö on tuntemattomien x 1,, x n lineaarinen yhtälö, jonka kertoimet ovat luvut a 1,,
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
Insinöörimatematiikka IA
Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162
Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/162 Kertausta Vektorin u = (u 1,u 2 ) R 2 pituus u = u 2 1 +u2 2 Vektorien u ja v = (v 1,v 2
Ratkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,...
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset 11 Osoita, että vektorifunktio f = (f 1,, f m ): R n R m, on jatkuva, jos ja vain jos jokainen komponenttifunktio
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h
HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)
2.1.4 har:linyryhmat03. Octavella. Katso ensin esimerkit???? esim:yroctave01 Octaven antamat vastausehdotukset.
Vaasan yliopiston julkaisuja, opetusmonisteita 49 har:linyryhmat03 Tehtävä 2.3 Ratkaise lineaariset yhtälörymät x + y z 5 x + 2y + 4z 16 a x + 2y + 2z 0 2x + z 14 b x + y z 5 x + 2y + 4z 16 x + 2y + 2z
Matriisilaskenta. Harjoitusten 3 ratkaisut (Kevät 2019) 1. Olkoot AB = ja 2. Osoitetaan, että matriisi B on matriisin A käänteismatriisi.
Matriisilaskenta Harjoitusten ratkaisut (Kevät 9). Olkoot ja A = B = 5. Osoitetaan, että matriisi B on matriisin A käänteismatriisi. Tapa Käänteismatriisin määritelmän nojalla riittää osoittaa, että AB
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 /
MS-A3/A5 Matriisilaskenta, II/27 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 / 3. 7..27 Tehtävä (L): Etsi kaikki yhtälön Ax = b ratkaisut, kun 3 5 4 A = 3 2 4 ja b = 6 8 7 4. Ratkaisu : Koetetaan ratkaista
2.8. Kannanvaihto R n :ssä
28 Kannanvaihto R n :ssä Seuraavassa kantavektoreiden { x, x 2,, x n } järjestystä ei saa vaihtaa Vektorit ovat pystyvektoreita ( x x 2 x n ) on vektoreiden x, x 2,, x n muodostama matriisi, missä vektorit
Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
Insinöörimatematiikka D, 06 laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Alla olevat esimerkkiratkaisut ovat melko ksitiskohtaisia Tenttivastauksissa ei leensä tarvitse muistaa lauseiden, määritelmien, esimerkkien
Talousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi
Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi Viime luennolla Käsittelimme matriisien peruskäsitteitä ja laskutoimituksia Vakiolla kertominen, yhteenlasku ja vähennyslasku
Seuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117
Seuraava luento ti 31.10 on salissa XXII Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/117 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
Analyysi I (sivuaineopiskelijoille)
Analyysi I (sivuaineopiskelijoille) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2017 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 19 1 of 18 Kahden muuttujan funktioista
3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0007 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset
3 MS-A7 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 925 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita ratkotaan
Johdatus lineaarialgebraan
Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................
6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI
6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,
Kanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit