Insinöörimatematiikka D

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Insinöörimatematiikka D"

Transkriptio

1 Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 1 of 28

2 Kertausta Määritelmä Matriisi A on kaavio A = A 11 A A 1n A 21 A A 2n A m1 A m2... A mn. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 2 of 28

3 Kertausta Määritelmä Matriisi A on kaavio A = A 11 A A 1n A 21 A A 2n A m1 A m2... A mn. Tyyppi m n: m riviä, n saraketta. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 2 of 28

4 Kertausta Määritelmä Matriisi A on kaavio A = A 11 A A 1n A 21 A A 2n A m1 A m2... A mn. Tyyppi m n: m riviä, n saraketta. A ij : matriisin alkiot M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 2 of 28

5 Kertausta Määritelmä Matriisi A on kaavio A = A 11 A A 1n A 21 A A 2n A m1 A m2... A mn. Tyyppi m n: m riviä, n saraketta. A ij : matriisin alkiot A ij R: reaalinen matriisi M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 2 of 28

6 Kertausta Määritelmä Matriisi A on kaavio A = A 11 A A 1n A 21 A A 2n A m1 A m2... A mn. Tyyppi m n: m riviä, n saraketta. A ij : matriisin alkiot A ij R: reaalinen matriisi A ij C: kompleksinen matriisi M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 2 of 28

7 Kertausta Määritelmä 1 n-matriisia A = (A 11 A A 1n ) kutsutaan vaakavektoriksi tai rivivektoriksi. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 3 of 28

8 Kertausta Määritelmä 1 n-matriisia A = (A 11 A A 1n ) kutsutaan vaakavektoriksi tai rivivektoriksi. A 11 A 21 m 1-matriisia A = kutsutaan pystyvektoriksi tai. sarakevektoriksi. A m1 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 3 of 28

9 Kertausta Määritelmä 1 n-matriisia A = (A 11 A A 1n ) kutsutaan vaakavektoriksi tai rivivektoriksi. A 11 A 21 m 1-matriisia A = kutsutaan pystyvektoriksi tai. sarakevektoriksi. Huomautus A m1 Sekä pysty- että vaakavektori voidaan tulkita avaruuden R n (tai C n ) alkioksi. Näissä käytetään yleensä vain yksinkertaista indeksointia. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 3 of 28

10 Kertausta Määritelmä Nollamatriisi O on matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 4 of 28

11 Kertausta Määritelmä Nollamatriisi O on matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia Neliömatriisi on matriisi, jossa rivien määrä on sama kuin sarakkeiden määrä M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 4 of 28

12 Kertausta Määritelmä Nollamatriisi O on matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia Neliömatriisi on matriisi, jossa rivien määrä on sama kuin sarakkeiden määrä Diagonaalimatriisi on neliömatriisi D, jolle pätee i j D ij = 0. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 4 of 28

13 Kertausta Määritelmä Nollamatriisi O on matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia Neliömatriisi on matriisi, jossa rivien määrä on sama kuin sarakkeiden määrä Diagonaalimatriisi on neliömatriisi D, jolle pätee i j D ij = 0. Identiteettimatriisi I n on diagonaalimatriisi, jonka kaikki diagonaalialkiot ovat ykkösiä. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 4 of 28

14 Kertausta Määritelmä Nollamatriisi O on matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia Neliömatriisi on matriisi, jossa rivien määrä on sama kuin sarakkeiden määrä Diagonaalimatriisi on neliömatriisi D, jolle pätee i j D ij = 0. Identiteettimatriisi I n on diagonaalimatriisi, jonka kaikki diagonaalialkiot ovat ykkösiä. Määritelmä Transpoosi (A T ) ij = A ji. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 4 of 28

15 Kertausta Määritelmä Nollamatriisi O on matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia Neliömatriisi on matriisi, jossa rivien määrä on sama kuin sarakkeiden määrä Diagonaalimatriisi on neliömatriisi D, jolle pätee i j D ij = 0. Identiteettimatriisi I n on diagonaalimatriisi, jonka kaikki diagonaalialkiot ovat ykkösiä. Määritelmä Transpoosi (A T ) ij = A ji. Neliömatriisi A on symmetrinen, jos A T = A. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 4 of 28

16 Kertausta Määritelmä Nollamatriisi O on matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia Neliömatriisi on matriisi, jossa rivien määrä on sama kuin sarakkeiden määrä Diagonaalimatriisi on neliömatriisi D, jolle pätee i j D ij = 0. Identiteettimatriisi I n on diagonaalimatriisi, jonka kaikki diagonaalialkiot ovat ykkösiä. Määritelmä Transpoosi (A T ) ij = A ji. Neliömatriisi A on symmetrinen, jos A T = A. Matriisin A:n vastamatriisi A määritellään asettamalla ( A) ij = A ij. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 4 of 28

17 Kertausta Skalaarikertolasku Jos A on m n-matriisi ja c joko kompleksi- tai reaaliluku, on ca m n-matriisi, jolle pätee (ca) ij = ca ij (kertolasku alkioittain). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 5 of 28

18 Kertausta Skalaarikertolasku Jos A on m n-matriisi ja c joko kompleksi- tai reaaliluku, on ca m n-matriisi, jolle pätee (ca) ij = ca ij (kertolasku alkioittain). Matriisien yhteenlasku Jos A on m n-matriisi ja B r s-matriisi, summa A+B määritellään vain jos m = r ja n = s. Tällöin (A+B) ij = A ij +B ij M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 5 of 28

19 Kertausta Skalaarikertolasku Jos A on m n-matriisi ja c joko kompleksi- tai reaaliluku, on ca m n-matriisi, jolle pätee (ca) ij = ca ij (kertolasku alkioittain). Matriisien yhteenlasku Jos A on m n-matriisi ja B r s-matriisi, summa A+B määritellään vain jos m = r ja n = s. Tällöin (A+B) ij = A ij +B ij Huomautus m n-matriisit muodostavat vektoriavaruuden yhteenlaskun ja skalaarikertolaskun suhteen. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 5 of 28

20 Kertausta Määritelmä Funktio f : R n R m on lineaarinen, jos f(ax+by) = af(x)+bf(y) aina, kun x, y R n ja a ja b ovat skalaareita. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 6 of 28

21 Lineaarikuvaukset Seuraus Jos f : U V on lineaarinen, on f(0) = 0. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 7 of 28

22 Lineaarikuvaukset Seuraus Jos f : U V on lineaarinen, on f(0) = 0. Lisäksi f(a 1 x 1 +a 2 x a n x n ) = a 1 f(x 1 )+a 2 f(x 2 )...+a n f(x n ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 7 of 28

23 Lineaarikuvaukset Seuraus Jos f : U V on lineaarinen, on f(0) = 0. Lisäksi f(a 1 x 1 +a 2 x a n x n ) = a 1 f(x 1 )+a 2 f(x 2 )...+a n f(x n ). Esimerkki Olkoon V vektoriavaruus yli kunnan K, n = dim(v) ja B = {b 1,...,b n } sen eräs kanta. Tällöin kuvaus T : V K n,x x B on lineaarikuvaus. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 7 of 28

24 Lineaarikuvaukset Seuraus Jos f : U V on lineaarinen, on f(0) = 0. Lisäksi f(a 1 x 1 +a 2 x a n x n ) = a 1 f(x 1 )+a 2 f(x 2 )...+a n f(x n ). Esimerkki Olkoon V vektoriavaruus yli kunnan K, n = dim(v) ja B = {b 1,...,b n } sen eräs kanta. Tällöin kuvaus T : V K n,x x B on lineaarikuvaus. Olkoon x 1 = r 1 b r n b n ja x 2 = s 1 b s n b n. Tällöin T(cx 1 +dx 2 )=(cr 1 +ds 1,...,cr n+ds n)=c(r 1,...,r n)+d(s 1,...,s n)=ct(x 1 )+dt(x 2 ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 7 of 28

25 Lineaarikuvaukset Huomautus Olkoon f : R n R m lineaarinen ja x = x 1 e x n e n, jolloin f(x) = x 1 f(e 1 )+...+x n f(e n ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 8 of 28

26 Lineaarikuvaukset Huomautus Olkoon f : R n R m lineaarinen ja x = x 1 e x n e n, jolloin f(x) = x 1 f(e 1 )+...+x n f(e n ). Merkitsemällä y = f(x) ja a ij = f(e j ) i saadaan edellisestä y i = f(e 1 ) i x 1 +f(e 2 ) i x 2 + +f(e n ) i x n = a i1 x 1 +a i2 x a in x n M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 8 of 28

27 Lineaarikuvaukset Huomautus Olkoon f : R n R m lineaarinen ja x = x 1 e x n e n, jolloin f(x) = x 1 f(e 1 )+...+x n f(e n ). Merkitsemällä y = f(x) ja a ij = f(e j ) i saadaan edellisestä y i = f(e 1 ) i x 1 +f(e 2 ) i x 2 + +f(e n ) i x n = a i1 x 1 +a i2 x a in x n Kuvavektorin y koordinaatit y i ovat ensimmäisen asteen lausekkeita alkukuvan x = (x 1,...,x n ) koordinaateista. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 8 of 28

28 Lineaarikuvaukset Huomautus Olkoon f : R n R m lineaarinen ja x = x 1 e x n e n, jolloin f(x) = x 1 f(e 1 )+...+x n f(e n ). Merkitsemällä y = f(x) ja a ij = f(e j ) i saadaan edellisestä y i = f(e 1 ) i x 1 +f(e 2 ) i x 2 + +f(e n ) i x n = a i1 x 1 +a i2 x a in x n Kuvavektorin y koordinaatit y i ovat ensimmäisen asteen lausekkeita alkukuvan x = (x 1,...,x n ) koordinaateista. Tämä olisi voitu ottaa lineaarikuvauksen määritelmäksi. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 8 of 28

29 Lineaarikuvaukset Määritelmä Jos y i = a i1 x 1 +a i2 x a in x n, on a 11 a a 1n a 21 a a 2n M f = a m1 a m2... a mn lineaarikuvauksen f : R n R m matriisi (luonnollisten kantojen suhteen). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 9 of 28

30 Lineaarikuvaukset Määritelmä Jos y i = a i1 x 1 +a i2 x a in x n, on a 11 a a 1n a 21 a a 2n M f = a m1 a m2... a mn lineaarikuvauksen f : R n R m matriisi (luonnollisten kantojen suhteen). Koska a ij = f(e j ) i, niin voidaan huomata, että M f = ( f(e 1 ) T f(e 2 ) T... f(e n ) T) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 9 of 28

31 Lineaarikuvaukset Esimerkki 41 Esimerkin 38 lineaarikuvaukselle T(x,y,z) = (x +y z,2x +3y +z) saadaan T(e 1 ) = (1,2), T(e 2 ) = (1,3) ja T(e 3 ) = ( 1,1) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 10 of 28

32 Lineaarikuvaukset Esimerkki 41 Esimerkin 38 lineaarikuvaukselle T(x,y,z) = (x +y z,2x +3y +z) saadaan T(e 1 ) = (1,2), T(e 2 ) = (1,3) ja T(e 3 ) = ( 1,1) ja edelleen M T = ( ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 10 of 28

33 Lineaarikuvaukset Esimerkki Olkoon f : R 3 R 2 lineaarikuvaus, jolle f(1,0,0) = (2,1), f(0,1,0) = (1,1) ja f(0,0,1) = (0,2). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 11 of 28

34 Lineaarikuvaukset Esimerkki Olkoon f : R 3 R 2 lineaarikuvaus, jolle f(1,0,0) = (2,1), f(0,1,0) = (1,1) ja f(0,0,1) = (0,2). Tällöin f(x,y,z) = f(x (1,0,0) +y (0,1,0) +z (0,0,1)) = x f(1,0,0) +y f(0,1,0) +z f(0,0,1)) = x (2,1)+y (1,1)+z (0,2)) = (2x +y,x +y +2z) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 11 of 28

35 Lineaarikuvaukset Esimerkki Olkoon f : R 3 R 2 lineaarikuvaus, jolle f(1,0,0) = (2,1), f(0,1,0) = (1,1) ja f(0,0,1) = (0,2). Tällöin f(x,y,z) = f(x (1,0,0) +y (0,1,0) +z (0,0,1)) = x f(1,0,0) +y f(0,1,0) +z f(0,0,1)) = x (2,1)+y (1,1)+z (0,2)) = (2x +y,x +y +2z) ja edelleen saadaan kuvauksen matriisi A f ( ) A f = M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 11 of 28

36 Määritelmä Jos A on tyyppiä r s ja B tyyppiä s t, on matriisien A ja B tulo r t-matriisi AB, missä (AB) ij = s A ik B kj. k=1 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 12 of 28

37 Esimerkki 44 = = ( ( ) ( ) ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 13 of 28

38 Esimerkki 45 ( )( ) ( = ( )( ) ( = ), ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 14 of 28

39 Esimerkki 45 ( )( ) ( = ( )( ) ( = ), ). Huomautus Matriisitulo ei ole yleisesti kommutatiivinen (vaihdannainen) eli voi olla AB BA. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 14 of 28

40 Esimerkki 46 ( )( ) = ( ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 15 of 28

41 Esimerkki 46 ( )( ) = Huomautus Matriisitulolle ei päde tulon nollasääntö ( AB = O = A = O tai B = O ). eli kahden ei-nollamatriisin tulo voi olla nollamatriisi eli AB = O on mahdollista, vaikka A O ja B O. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 15 of 28

42 Lause On voimassa A(BC) = (AB)C A(B +C) = AB +AC (A+B)C = AC +BC a(ab) = (aa)b = A(aB) AO = OA = O AI = IA = A, (AB) T = B T A T, edellyttäen että vasemmat puolet ovat määriteltyjä. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 16 of 28

43 Huomautus Matriisitulo voidaan laskea lohkomuodossa: ( )( ) ( A1 A 2 B1 B 2 A1 B = 1 +A 2 B 3 A 1 B 2 +A 2 B 4 A 3 A 4 B 3 B 4 A 3 B 1 +A 4 B 3 A 3 B 2 +A 4 B 4 ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 17 of 28

44 Huomautus Matriisitulo voidaan laskea lohkomuodossa: ( )( ) ( A1 A 2 B1 B 2 A1 B = 1 +A 2 B 3 A 1 B 2 +A 2 B 4 A 3 A 4 B 3 B 4 A 3 B 1 +A 4 B 3 A 3 B 2 +A 4 B 4 ) Määritelmä Jos A on neliömatriisi ja n {0,1,2,...}, määritellään { A 0 = I A n = A A... A (n kpl). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 17 of 28

45 Määritelmän mukaan = a 11 a a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn x 1 x 2. x n a 11 x 1 +a 12 x a 1n x n a 21 x 1 +a 22 x a 2n x n. a m1 x 1 +a m2 x a mn x n M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 18 of 28

46 Matriisitulon merkitys Kun merkitään y i = a i1 x 1 +a i2 x a in x n, saadaan y 1 a 11 a a 1n x 1 y 2. = a 21 a a 2n x y m a m1 a m2... a mn x n M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 19 of 28

47 Matriisitulon merkitys Kun merkitään y i = a i1 x 1 +a i2 x a in x n, saadaan y 1 a 11 a a 1n x 1 y 2. = a 21 a a 2n x y m a m1 a m2... a mn x n Esimerkin 43 lineaarikuvauksen kuvavektorin (2x +y,x +y +2z) transpoosi voidaan esittää seuraavasti: ( ) ( ) x (2x +y,x +y +2z) T 2x +y = = y x +y +2z z M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 19 of 28

48 Lause 10 Lineaarikuvaus f : R n R m voidaan esittää muodossa f(x) = Ax, missä x on pystyvektori ja A on m n-matriisi. Matriisi A = A f on lineaarikuvauksen f matriisi luonnollisen kannan suhteen. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 20 of 28

49 Lause 10 Lineaarikuvaus f : R n R m voidaan esittää muodossa f(x) = Ax, missä x on pystyvektori ja A on m n-matriisi. Matriisi A = A f on lineaarikuvauksen f matriisi luonnollisen kannan suhteen. Lause 11 (Lineaarikuvausten yhdistäminen) Olkoot f : R n R m ja g : R m R k lineaarikuvauksia, joiden matriisit ovat A f ja A g. Yhdistetty kuvaus g f : R n R k voidaan esittää muodossa (g f)(x) = g(f(x)) = A g (A f x) = (A g A f )x. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 20 of 28

50 Lause 10 Lineaarikuvaus f : R n R m voidaan esittää muodossa f(x) = Ax, missä x on pystyvektori ja A on m n-matriisi. Matriisi A = A f on lineaarikuvauksen f matriisi luonnollisen kannan suhteen. Lause 11 (Lineaarikuvausten yhdistäminen) Olkoot f : R n R m ja g : R m R k lineaarikuvauksia, joiden matriisit ovat A f ja A g. Yhdistetty kuvaus g f : R n R k voidaan esittää muodossa Täten (g f)(x) = g(f(x)) = A g (A f x) = (A g A f )x. A g f = A g A f M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 20 of 28

51 Huomautus Lauseessa 11 m n-matriisin A f ja k m-matriisin A g tulo A g A f on määritelty tyypiltään k n. Vastaava kuvaus on R n R k. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 21 of 28

52 Huomautus Lauseessa 11 m n-matriisin A f ja k m-matriisin A g tulo A g A f on määritelty tyypiltään k n. Vastaava kuvaus on R n R k. Huomautus Jos A on m n-matriisi, x n-pituinen pystyvektori ja y = Ax m-pituinen pystyvektori. Transponoimalla yhtälö y = Ax saadaan y T = x T A T. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 21 of 28

53 Esimerkki 48 (F 0,F 1,...,F N 1 ) = DFT(f 0,f 1,...,f N 1 ), missä F l = 1 N 1 f k e 2πikl N N k=0 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 22 of 28

54 Esimerkki 48 (F 0,F 1,...,F N 1 ) = DFT(f 0,f 1,...,f N 1 ), missä F l = 1 N 1 f k e 2πikl N = 1 N 1 f k ρ kl N N k=0 kun merkitään ρ = e 2πi N. k=0 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 22 of 28

55 Esimerkki 48 (F 0,F 1,...,F N 1 ) = DFT(f 0,f 1,...,f N 1 ), missä F l = 1 N 1 f k e 2πikl N = 1 N 1 f k ρ kl N N k=0 k=0 kun merkitään ρ = e 2πi N. Tämä voidaan kirjoittaa matriisimuodossa F 0 F 1 F 2. F N 1 = 1 N ρ ρ 2 ρ N 1 1 ρ ρ 4 ρ (N 1) ρ N 1 ρ 2(N 1) ρ (N 1)(N 1) f 0 f 1 f 2. f N 1 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 22 of 28

56 Esimerkki Lineaarinen yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m voidaan kirjoittaa matriisimuodossa Ax = b, missä a 11 a a 1n a 21 a a 2n A =......, a m1 a m2... a mn x = (x 1,...,x n ) T ja b = (b 1,...,b m ) T. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 23 of 28

57 Esimerkki Olkoot B 1 = {i,j} ja B 2 = {i+j,i j} muodostavat avaruuden R 2 kannan. Esimerkin 13 mukaan (x,y) B1 = (x,y) ja (x,y) B2 = ( 1 2 (x +y), 1 2 (x y)). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 24 of 28

58 Esimerkki Olkoot B 1 = {i,j} ja B 2 = {i+j,i j} muodostavat avaruuden R 2 kannan. Esimerkin 13 mukaan (x,y) B1 = (x,y) ja (x,y) B2 = ( 1 2 (x +y), 1 2 (x y)). Tällöin (x,y) T B 2 = 1 ( ) 1 1 (x,y) T B 1. Matriisia M = 1 2 ( ) kutsutaan kannanvaihdon matriisiksi. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 24 of 28

59 Kiertomatriisi R 2 :ssa Kierretään koordinaatistoa kulman θ verran ja käytetään pisteen (x,y) uusista koordinaateista merkintää (x,y ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 25 of 28

60 Kiertomatriisi R 2 :ssa Kierretään koordinaatistoa kulman θ verran ja käytetään pisteen (x,y) uusista koordinaateista merkintää (x,y ). Alkeistrigonometrian perusteella { x = x cosθ y sinθ y = x sinθ + y cosθ, M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 25 of 28

61 Kiertomatriisi R 2 :ssa Kierretään koordinaatistoa kulman θ verran ja käytetään pisteen (x,y) uusista koordinaateista merkintää (x,y ). Alkeistrigonometrian perusteella { x = x cosθ y sinθ y = x sinθ + y cosθ, mikä voidaan matriisimuodossa kirjoittaa ( ) ( )( ) x cosθ sinθ x y = sinθ cosθ y M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 25 of 28

62 Kiertomatriisi R 2 :ssa Kierretään koordinaatistoa kulman θ verran ja käytetään pisteen (x,y) uusista koordinaateista merkintää (x,y ). Alkeistrigonometrian perusteella { x = x cosθ y sinθ y = x sinθ + y cosθ, mikä voidaan matriisimuodossa kirjoittaa ( ) ( )( ) x cosθ sinθ x y = sinθ cosθ y ( Merk. x = R(θ) y ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 25 of 28

63 Kiertomatriisi R 2 :ssa Kierretään koordinaatistoa kulman θ verran ja käytetään pisteen (x,y) uusista koordinaateista merkintää (x,y ). Alkeistrigonometrian perusteella { x = x cosθ y sinθ y = x sinθ + y cosθ, mikä voidaan matriisimuodossa kirjoittaa ( ) ( )( ) x cosθ sinθ x y = sinθ cosθ y ( Merk. x = R(θ) y ) Erikoistapaus kannanvaihdon matriisista M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 25 of 28

64 Kiertomatriisi R 2 :ssa Kierretään koordinaatistoa kulman θ verran ja käytetään pisteen (x,y) uusista koordinaateista merkintää (x,y ). Alkeistrigonometrian perusteella { x = x cosθ y sinθ y = x sinθ + y cosθ, mikä voidaan matriisimuodossa kirjoittaa ( ) ( )( ) x cosθ sinθ x y = sinθ cosθ y ( Merk. x = R(θ) y ) Erikoistapaus kannanvaihdon matriisista R(θ 1 )R(θ 2 ) = R(θ 1 +θ 2 ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 25 of 28

65 Kiertomatriisit R 3 :ssa Kierto z-akselin ympäri: x = x cosθ y sinθ y = x sinθ + y cosθ z = z M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 26 of 28

66 Kiertomatriisit R 3 :ssa Kierto z-akselin ympäri: x = x cosθ y sinθ y = x sinθ + y cosθ z = z voidaan kirjoittaa matriisimuodossa x y = z cosθ sinθ 0 sinθ cosθ } {{ } R z(θ) x y z M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 26 of 28

67 Kiertomatriisit R 3 :ssa Kierto x-akselin ympäri: x = x y = y cosθ z sinθ z = y sinθ + zcosθ M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 27 of 28

68 Kiertomatriisit R 3 :ssa Kierto x-akselin ympäri: x = x y = y cosθ z sinθ z = y sinθ + zcosθ voidaan kirjoittaa matriisimuodossa x y = z cosθ sinθ 0 sinθ cosθ } {{ } R x(θ) x y z M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 27 of 28

69 Kiertomatriisit R 3 :ssa Kierto y-akselin ympäri: x = x cosθ z sinθ y = y z = x sinθ + z cosθ M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 28 of 28

70 Kiertomatriisit R 3 :ssa Kierto y-akselin ympäri: x = x cosθ z sinθ y = y z = x sinθ + z cosθ voidaan kirjoittaa matriisimuodossa x cosθ 0 sinθ y = z } sinθ 0 {{ cosθ } R y(θ) x y z M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 28 of 28

71 Kiertomatriisit R 3 :ssa Kierto y-akselin ympäri: x = x cosθ z sinθ y = y z = x sinθ + z cosθ voidaan kirjoittaa matriisimuodossa x cosθ 0 sinθ y = z } sinθ 0 {{ cosθ } R y(θ) x y z Kaikki kierrot saadaan matriisien R x (θ 1 ), R y (θ 2 ) ja R z (θ 3 ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 28 of 28

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja

Lisätiedot

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä 1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x

Lisätiedot

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty

Lisätiedot

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä

Lisätiedot

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi Matriisit, L20 Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio.

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Matriisitulo Determinantti

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Matriisitulo Determinantti Talousmatematiikan perusteet: Luento 1 Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Matriisitulo Determinantti Viime luennolta Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden

Lisätiedot

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia 9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä

Lisätiedot

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi Matriisit, L20 Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ( 0, 4, ( ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin (amer. kirjoissa

Lisätiedot

Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi Matriisit, kertausta Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Matematiikka B2 - TUDI

Matematiikka B2 - TUDI Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella

Lisätiedot

(1.1) Ae j = a k,j e k.

(1.1) Ae j = a k,j e k. Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka D 2015

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka D 2015 Mika Hirvensalo Insinöörimatematiikka D 2015 Sisältö 1 Lineaarialgebran peruskäsitteitä............................................... 5 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät..................................................

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016 MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 7 Onko kuvaus F : R R, F(x 1,x = (x 1 +x,5x 1, x 1 +6x lineaarinen kuvaus? Jos on, niin määrää sen matriisi luonnollisen kannan suhteen Jos ei ole, niin

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/310 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Matriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n.

Matriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n. Matriisipotenssi Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: Määritelmä Oletetaan, että A on n n -matriisi (siis neliömatriisi) ja k

Lisätiedot

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus. 1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 Tehtävä 1 (L): Oletetaan, että AB = AC, kun B ja C ovat m n-matriiseja. a) Näytä, että jos A on kääntyvä, niin B = C. b) Seuraako yhtälöstä AB = AC yhtälö

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/81 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 )

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna

Lisätiedot

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66 Ensi viikon luennot salissa X Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/66 Redusoitu porrasmuoto 1 1 2 4 1 1 4 6 2 2 5 9 1 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 Eli aste r(a) = 2 ja vaakariviavaruuden

Lisätiedot

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen Informaatiotieteiden yksikkö Lineaarialgebra 1A Pentti Haukkanen Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen . 2 Sisältö 1 Matriisit, determinantit ja lineaariset yhtälöryhmät 4 1.1 Matriisit..............................

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen Informaatiotieteiden yksikkö Lineaarialgebra 1A Pentti Haukkanen Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen . 2 Sisältö 1 Matriisit, determinantit ja lineaariset yhtälöryhmät 4 1.1 Matriisin määritelmä.......................

Lisätiedot

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen Informaatiotieteiden yksikkö Lineaarialgebra 1A Pentti Haukkanen Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen . 2 Sisältö 1 Matriisit, determinantit ja lineaariset yhtälöryhmät 4 1.1 Matriisin määritelmä.......................

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2

Lisätiedot

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaarinen yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, (1) voidaan esittää

Lisätiedot

Käänteismatriisin ominaisuuksia

Käänteismatriisin ominaisuuksia Käänteismatriisin ominaisuuksia Lause 1.4. Jos A ja B ovat säännöllisiä ja luku λ 0, niin 1) (A 1 ) 1 = A 2) (λa) 1 = 1 λ A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1 4) (A T ) 1 = (A 1 ) T. Tod.... Ortogonaaliset matriisit

Lisätiedot

Lineaarialgebra (muut ko)

Lineaarialgebra (muut ko) Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/103 Lineaarialgebra (muut ko) Tero Laihonen Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/103 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v

Lisätiedot

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006 Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä

Lisätiedot

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x 8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta

Lisätiedot

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159 Ensi viikon luennot salissa X Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/159 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 ) Skalaarilla

Lisätiedot

Muistutus: Matikkapaja ke Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta yms.

Muistutus: Matikkapaja ke Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta yms. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/139 Ensi viikon luennot salissa X Muistutus: Matikkapaja ke 14-16 Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

802118P Lineaarialgebra I (4 op)

802118P Lineaarialgebra I (4 op) 802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa. LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,

Lisätiedot

9.2 Lineaarikuvaus Olkoon A kuvaus (funktio) vektoriavaruudesta V vektoriavaruuteen U: jos nyt

9.2 Lineaarikuvaus Olkoon A kuvaus (funktio) vektoriavaruudesta V vektoriavaruuteen U: jos nyt 9 Lineaarikuvaukset, matriisit 9 Vektoriavaruudet Aiemmin olemmme puhuneet tason (R 2 ja kotiavaruuden (R 3 vektoreista Nämä (kuten mös pelkkä R ovat esimerkkejä reaalisista vektoriavaruuksista Yleisesti

Lisätiedot

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät 1 1 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT Muotoa 11 Lineaariset yhtälöryhmät (1) a 1 x 1 + a x + + a n x n b oleva yhtälö on tuntemattomien x 1,, x n lineaarinen yhtälö, jonka kertoimet ovat luvut a 1,,

Lisätiedot

1. Normi ja sisätulo

1. Normi ja sisätulo Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 3 83 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni Normi ja sisätulo

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka IA

Insinöörimatematiikka IA Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162

Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162 Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/162 Kertausta Vektorin u = (u 1,u 2 ) R 2 pituus u = u 2 1 +u2 2 Vektorien u ja v = (v 1,v 2

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Ratkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,...

Ratkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,... HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset 11 Osoita, että vektorifunktio f = (f 1,, f m ): R n R m, on jatkuva, jos ja vain jos jokainen komponenttifunktio

Lisätiedot

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 06 laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Alla olevat esimerkkiratkaisut ovat melko ksitiskohtaisia Tenttivastauksissa ei leensä tarvitse muistaa lauseiden, määritelmien, esimerkkien

Lisätiedot

2.8. Kannanvaihto R n :ssä

2.8. Kannanvaihto R n :ssä 28 Kannanvaihto R n :ssä Seuraavassa kantavektoreiden { x, x 2,, x n } järjestystä ei saa vaihtaa Vektorit ovat pystyvektoreita ( x x 2 x n ) on vektoreiden x, x 2,, x n muodostama matriisi, missä vektorit

Lisätiedot

Seuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117

Seuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Seuraava luento ti 31.10 on salissa XXII Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/117 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI 6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,

Lisätiedot

Demorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104

Demorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Ensi viikolla luennot salissa X Torstaina 7.12. viimeiset demot (12.12. ja 13.12. viimeiset luennot). Torstaina 14.12 on välikoe 2, muista ilmoittautua! Demorastitiedot

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

2 / :03

2 / :03 file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse / 8 76 3:3 Kysymys Pisteet,, Määritellään positiivisten reaalilukujen joukossa R + = {x R x > } yhteenlasku ja skalaarikertolasku seuraavasti:

Lisätiedot

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut 2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja 7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan. Juha Honkala 2017

Johdatus lineaarialgebraan. Juha Honkala 2017 Johdatus lineaarialgebraan Juha Honkala 2017 Sisällysluettelo 1 Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit 11 Lineaariset yhtälöryhmät 12 Matriisit 13 Matriisien alkeismuunnokset ja porrasmatriisit 14 Yhtälöryhmien

Lisätiedot

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0007 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset

3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0007 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset 3 MS-A7 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 925 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita ratkotaan

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

tyyppi metalli puu lasi työ I II III metalli puu lasi työ

tyyppi metalli puu lasi työ I II III metalli puu lasi työ MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 29 ( 7 1 1 4 1 1. Olkoot, B = 1 5 2 5 3 Määrää 2A, B 2A, A T, ( 2A) T, (A T ) T. ), C = ( 1 ) 4 4 ja E = 7. 3 2. Olkoot A, B, C ja E kuten edellisessä tehtävässä.

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Lotta Oinonen ja Johanna Rämö 6. joulukuuta 2012 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos 2012 Sisältö 1 Avaruus R n 4 1 Avaruuksien R 2 ja R 3 vektorit.....................

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear

Lisätiedot

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää

Lisätiedot

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä 4. Ryhmät Tässä luvussa tarkastelemme laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimitukselta oletamme muutamia yksinkertaisia ominaisuuksia: Määritelmä 4.1. Laskutoimituksella varustettu joukko

Lisätiedot

ja F =

ja F = MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2016 Tehtävissä 1 ja 2a käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3 A =,B = 7 1 2 2 3,C = 4 4 2 5 3,E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1.

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 25. lokakuuta 2015 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus... 111 16 Aliavaruus... 117 16.1 Vektoreiden

Lisätiedot

Kurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa.

Kurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa. 7 Matriisilaskenta Kurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa. 7.1 Lineaariset yhtälöryhmät Yhtälöryhmät liittyvät tilanteisiin, joissa on monta tuntematonta

Lisätiedot

3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause

3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause 3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause Tässä luvussa käsitellään kahta keskeistä vektorianalyysin lausetta. Esitellään aluksi kyseiset lauseet ja tutustutaan niiden käyttötapoihin. Lause 3.4.1

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot