MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42

Transkriptio

1 MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42 Tehtävät 1-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ryhmissä, ja ryhmien ratkaisut esitetään harjoitustilaisuudessa (merkitty kirjaimella L = Lasketaan). Tehtäviä 5-7 lasketaan loppuviikon harjoituksissa. Tehtävät 5-7 lasketaan paikan päällä, ja palautettava kotitehtävä on tällä viikolla palautteeseen vastaaminen, kuten kuvattu tehtävässä 8. Tehtävä 1 (L): Diagonalisoi matriisi A = [ jos mahdollista. Diagonalisointi on hajotelma A = SDS 1, missä diagonaalimatriisi D sisältää A:n ominaisarvot ja S näitä vastaavat ominaisvektorit samassa järjestyksessä. Ratkaistaan siis ensin A:n ominaisarvot: ], eli jolloin pätee jollakin λ Ax = λx = λix Ax λix = (A λi)x = 0 lasketaan determinantti auki: det(a λi) = 0 (1 λ)( 1 λ) = 0 joten ratkaisuiksi saadaan λ 1 = 1 ja λ 2 = 1. Ominaisarvoja vastaavat vektorit saadaan ratkaisemalla x yhtälöstä. Kun λ = 1: [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 = Tästä saadaan yhtälöpari x 1 = x 1 6x 1 = 1

2 eli yhtälöparin toteuttaa suora = 3x 1, joten ominaisvektoriksi saadaan (1, 3) T. Määritetään vielä toiselle ominaisarvolle ominaisvektori eli kun λ = 1: [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 = Saadaan yhtälöpari x 1 = x 1 6x 1 = eli yhtälöparin toteuttavat pisteet, joilla x 1 = 0. Ominaisvektoriksi saadaan (0, 1) T. Ollaan siis saatu: [ ] 1 0 D = 0 1 ja S = [ ] Lasketaan lopuksi vielä S:n käänteismatriisi esim. Gaussin eliminaatiolla ja saadaan: [ ] 1 0 S 1 = 3 1 joten lopulliseksi vastaukseksi saadaan [ ] [ ] [ ] A = SDS 1 = Tehtävä 2 (L): Diagonalisoi matriisi A = jos mahdollista. Ratkaisu etenee samalla tavalla kuin edellisessä tehtävässä. Muodostetaan ensin determinantti ja ratkaistaan ominaisarvot. 2 λ 4 3 det(a λi) = 4 6 λ λ, 2

3 Lasketaan determinantti auki ja saadaan ominaisarvoiksi λ 1 = 1 ja λ 2 = λ 3 = -2. Jos A on diagonalisoituva, sillä on kolme lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria. Ominaisarvoon -2 liittyy joko yksi tai kaksi ominaisvektoria: Saadaan yhtälöryhmä: x 1 x 3 = 2 2x x 3 = 2x 1 4x 1 6 3x 3 = 2 3x x 3 = 2x 3 Ratkaistaan yhtälöryhmä ja saadaan 4x x 3 = 0 x 3 = 0 0 = 0 Saatiin yksi ominaissuora, jolla olevilla pisteillä x 3 = 0 ja x 1 =. Eli ominaisvektori on (1, 1, 0) T. Koska ominaisarvoa -2 vastasi vain yksi ominaisvektori, A ei ole diagonalisoituva. x 1 x 3 Tehtävä 3 (L): Sanotaan, että kääntyvä matriisi U on unitaarinen, jos U 1 = U, missä U on matriisin U transpoosin kompleksikonjugaatti. Etsi unitaarinen matriisi U C 2 2 siten, että D := U AU C 2 2 on diagonaalinen, kun A = [ Toisin sanoen: etsi A:n unitaarinen diagonalisointi A = UDU. Vihje: Käytä diagonalisoinnissa ominaisvektoreita, joiden pituus on yksi. Huom: Kaikille matriiseille ei ole olemassa unitaarista diagonalisointia! Etsitään taas ensin ominaisarvot: det(a λi) = λ λ Saadaan λ 1 = 4 ja λ 2 = -1. Lasketaan näitä vastaavat ominaisvektorit. λ 1 = 4: 2 = 4x 1 2x = 4 yhtälöparin ratkaisuksi saadaan 3 ].

4 x2 = 2x 1 2x 1 = jolloin ominaisvektoriksi saadaan (1, 2) T. Vastaavalla tavalla toiselle ominaisarvolle eli λ = -1: 2 = x 1 2x = yhtälöparin ratkaisuksi saadaan 2x2 = x 1 2x 1 = 4 joten ominaisvektoriksi saadaan ( 2, 1) T. Ominaisarvot ja -vektorit ovat reaalisia, joten matriisi U = U T. Unitaariselle matriisille on nyt siis U 1 = U T. Matriisi U on ortogonaalinen eli sarakevektorit kohtisuorassa toisiaan vasten ja pituudeltaan 1. Matriisi U muodostetaan ominaisvektoreista, jotka on normeerattu ykkösen pituisiksi eli λ 1 = 4 ja λ 2 = -1 vastaavat vektorit [ ] 1/ 5 v 1 = 2/ 5 [ ] 2/ 5 v 2 = 1/ 5 Joten vastaukseksi saadaan A = UDU = [ ] [ ] [ ] 1/ 5 2/ 5 2/ 5 1/ 4 0 1/ 5 2/ / 5 1/ 5 Tehtävä 4 (L): Niistä opiskelijoista, jotka ovat läsnä tietyllä matriisilaskennan luennolla, 70% saapuu myös seuraavalle luennolle. Niistä opiskelijoista, jotka ovat poissa, seuraavalle luennolle tulee 20%. a) Jos ensimmäisellä luennolla on paikalla 90 opiskelijaa 150 ilmoittautuneesta, montako on läsnä 12. luennolla? b) Millä todennäköisyydellä kurssin opiskelija on läsnä satunnaisella luennolla? (Opiskelijoiden yhteismäärää ei nyt tiedetä, mutta kurssin voidaan olettaa jatkuvan (pienen) ikuisuuden.) 4

5 Osallistujat ja poissaolijat muodostavat systeemin, jota kuvaa hetkellä k+1 vektori [ ] paikallaolijat(lkm) x k = poissaolijat(lkm) joten alkutilanne on x 0 = [ ] Systeemin seuraava tila saadaan laskettua yhtälöstä x k+1 = Ax k missä [ ] 0, 7 0, 2 A = 0, 3 0, 8 Matriisi A on siis muodostettu tehtävänannon tietojen perusteella. Lasketaan A:n ominaisarvot ja -vektorit tuttuun tapaan. Ominaisarvoiksi saadaan λ 1 = 1 ja λ 2 = 0,5. Näitä vastaavat ominaisvektorit ovat [ ] 2 v 1 = 3 [ ] 1 v 2 = 1 Huomataan, että v 1 ja v 2 ovat lineaarisesti riippumattomat, joten alkutila on josta ratkaistaan w 1 ja w 2 : eli saadaan yhtälöpari x 0 = w 1 v 1 + w 2 v 2 [ ] [ ] 2 1 w 1 + w 3 2 = 1 [ ] w1 + w 2 = 90 3w 1 w 2 = 60 eli w 1 = 30 ja w 2 = 30. Lasketaan systeemin tila luennolla 12 (eli kun k=11). [ ] 60 x 11 = A 11 x 0 = w 1 λ 11 1 v 1 + w 2 λ 11 2 v 2 90 Paikalla on siis noin 60 opiskelijaa. b) Nyt tutkitaan tilannetta, kun k kasvaa hyvin suureksi 5

6 x k = A k x 0 = w 1 λ k 1v 1 + w 2 λ k 2v 2 w 1 [ 2 3 Ajatellaan vektorin x k kuvaavan todennäköisyyttä olla paikalla tai pois eli sen alkioiden summan tulisi olla 1. Ratkaistaan w 1 : [ ] a x 0 = w 1 v 1 + w 2 v 2 = b missä a+b = 1 kuten yllä perusteltiin. Saadaan yhtälöpari 2w1 + w 2 = a 3w 1 w 2 = b josta yhtälöt summaamalla ratkeaa w 1 = 0,2. Saadaan siis [ ] [ ] 2 0, 4 x k = 0, 2 = 3 0, 6 kun k. Todennäköisyys olla paikalla on siis 40%. ] 6