Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57
|
|
|
- Kai Elstelä
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna
2 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/88 Käänteismuunnokset AM1: Kahden vaakarivin vaihto Käänteismuunnos: Vaihdetaan vaakarivit takaisin AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 Käänteismuunnos: Kerrotaan vaakarivi skalaarilla 1/c AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna Käänteismuunnos: Lisätään vaakarivi toiseen skalaarilla c kerrottuna
3 Lineaarialgebra (muut ko) p. 3/88 Riviekvivalenssi ( ) ( ) ( ) ( )
4 Lineaarialgebra (muut ko) p. 4/88 Riviekvivalenssi ( ) ( ) ( ) ( ) vastaavat alkeismatriisit E 1 = ( ), E 2 = ( ), E 3 = ( ) eli E 3 E 2 E 1 ( ) = ( ).
5 Lineaarialgebra (muut ko) p. 5/88 Redusoitu porrasmuoto Matriisin redusoitu porrasmuoto
6 Lineaarialgebra (muut ko) p. 6/88 Redusoitu porrasmuoto Matriisin redusoitu porrasmuoto aste r(a) =porrasluku ja V(A):n kanta on portaiden vaakarivit.
7 Lineaarialgebra (muut ko) p. 7/88 Redusoitu porrasmuoto Eli aste r(a) = 2 ja vaakariviavaruuden V(A) kanta {(1,1,0,2),(0,0,1,1)}.
8 Lineaarialgebra (muut ko) p. 8/88 Redusoitu porrasmuoto Myös I on redusoitu porrasmuoto Lause A on säännöllinen A I
9 Lineaarialgebra (muut ko) p. 9/88 Käänteismatriisi alkeismuunnoksilla Alkeismuunnoksilla (A I) (I A 1 )
10 Lineaarialgebra (muut ko) p. 10/88 Ratkaisuavaruuden dimensio Yhtälöryhmän (n tuntematonta) Ax = 0 ratkaisuavaruuden dimensio n r(a)
11 Lineaarialgebra (muut ko) p. 11/88 Koordinaattivektori Kanta B = {b 1,...,b n } avaruudelle R n. Vektorin x R n koordinaattivektori X B = r 1 r 2. r n missä kantaesitys x = r 1 b 1 + +r n b n.
12 Lineaarialgebra (muut ko) p. 12/88 Kannanvaihdon matriisi Toinen kanta C = {c 1,...,c n }. Kannanvaihdon B C matriisi: c 1 = p 11 b 1 + +p n1 b n. c n = p 1n b 1 + +p nn b n. P B C = p 11 p 1n..... p n1 p nn Muista transponointi!
13 Lineaarialgebra (muut ko) p. 13/88 Kannanvaihdon matriisi X C = P C B X B P B C = (P C B ) 1
14 Lineaarialgebra (muut ko) p. 14/88 Kannanvaihdon matriisi Yhtälön x 2 2 3xy 2 3x+3y 2 2y = 0 ratkaisujoukko on mukavammassa muodossa, kun luonnollista kantaa kierretään π/3 astetta myötäpäivään: eli paraabeli w = z 2
15 Lineaarialgebra (muut ko) p. 15/88 Kuvauksista Kuvaus f : A B A B f x y A = määrittelyjoukko B = maalijoukko Yleensä A = R n ja B = R m
16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 16/88 Kuvauksista Kuvaus f : A B A B f x u z y Ei ole kuvaus!
17 Lineaarialgebra (muut ko) p. 17/88 Kuvauksista Kuvaus f : A B A f B Im(f) = {f(a) a A} kuvajoukko
18 Lineaarialgebra (muut ko) p. 18/88 Kuvauksista Kuvaus f : A B A f B B B 0 f 1 (B 0 ) = {a A f(a) B 0 } alkukuva
19 Lineaarialgebra (muut ko) p. 19/88 Kuvauksista Kuvaus f : A B A f B f on surjektio, jos Im(f) = B
20 Lineaarialgebra (muut ko) p. 20/88 Kuvauksista Kuvaus f : A B A B f a y b Kuvauksessa voi olla
21 Lineaarialgebra (muut ko) p. 21/88 Kuvauksista Kuvaus f : A B A B f a y b z f on injektio, jos a b f(a) f(b) a,b A Bijektio, jos surjektio ja injektio
22 Lineaarialgebra (muut ko) p. 22/88 Kuvauksista Kuvaus f : A B ja kuvaus g : A B ovat yhtäsuuret, jos f(a) = g(a) a A Merkitään f = g
23 Lineaarialgebra (muut ko) p. 23/88 Kuvauksista Kuvaus f : A B ja g : B C A B C f g x g(f(x)) f(x) Yhdistetty kuvaus g f : A C, (g f)(x) = g(f(x))
24 Lineaarialgebra (muut ko) p. 24/88 Kuvauksista Kuvaus f : A B ja g : B A A B f x y g Käänteiskuvauksia, jos f g = id B ja g f = id A. f 1 olemassa f on bijektio
25 Lineaarialgebra (muut ko) p. 25/88 Lineaarikuvaus Kuvaus f : R n R m on lineaarinen, jos L1: f(x 1 +x 2 ) = f(x 1 )+f(x 2 ) x 1,x 2 R n L2: f(ax) = af(x) x R n,a R. Muista f(0) = 0.
26 Lineaarialgebra (muut ko) p. 26/88 Lineaarikuvaus Kuvaus f : R n R m on lineaarinen, jos L1: f(x 1 +x 2 ) = f(x 1 )+f(x 2 ) x 1,x 2 R n L2: f(ax) = af(x) x R n,a R. Muista f(0) = 0. Kantavektorien kuvien avulla f(b i ) = y i määräytyy koko f(x) yksikäsitteisesti.
27 Lineaarialgebra (muut ko) p. 27/88 Lineaarikuvaus Kuvaus f : R 2 R 2,f(x,y) = (x y,x+y) on lineaarinen.
28 Lineaarialgebra (muut ko) p. 28/88 Lineaarikuvaus Matriisi A M m n indusoi lineaarikuvauksen f : R n R m,f(x) = Ax.
29 Lineaarialgebra (muut ko) p. 29/88 Lineaarikuvaus Matriisi A M m n indusoi lineaarikuvauksen f : R n R m,f(x) = Ax. Lineaarikuvauksen f : R n R m matriisi M B,C (f) B = {b 1,...,b n } kanta R n :ssä C = {c 1,...,c m } kanta R m :ssä
30 Lineaarialgebra (muut ko) p. 30/88 Lineaarikuvauksen matriisi kuvien kantaesitykset f(b 1 ) = a 11 c 1 + +a m1 c m.. f(b n ) = a 1n c 1 + +a mn c m M B,C (f) = a 11. a 1n.... a m1 a mn Muista transponointi!
31 Lineaarialgebra (muut ko) p. 31/88 Lineaarikuvaus y = f(x) Y C = M B,C (f) X B
32 Lineaarialgebra (muut ko) p. 32/88 Lineaarikuvaus y = f(x) Y C = M B,C (f) X B Jos B = E ja C = E, niin y = f(x) y = M E,E (f) x
33 Lineaarialgebra (muut ko) p. 33/88 Lineaarikuvaus y = f(x) Y C = M B,C (f) X B Jos B = E ja C = E, niin y = f(x) y = M(f) x
34 Lineaarialgebra (muut ko) p. 34/88 Lineaarikuvaus y = f(x) Y C = M B,C (f) X B Jos B = E ja C = E, niin y = f(x) y = M E,E (f) x Jos sama lähtö- ja maaliavaruus f : R n R n, niin yleensä sama kanta molemmilla puolilla ja merkitään M B (f) = M B,B (f).
35 Lineaarialgebra (muut ko) p. 35/88 Lineaarikuvaus Lause 2.4.8: Jos f : R n R m ja g : R m R k ovat lineaarisia, niin g f on lineaarinen ja sen matriisi saadaan M B,D (g f) = M C,D (g)m B,C (f).
36 Lineaarialgebra (muut ko) p. 36/88 Lineaarikuvaus Lause 2.4.8: Jos f : R n R m ja g : R m R k ovat lineaarisia, niin g f on lineaarinen ja sen matriisi saadaan M B,D (g f) = M C,D (g)m B,C (f). Matriisien kertolasku
37 Lineaarialgebra (muut ko) p. 37/88 Lineaarikuvaus ja kannanvaihto Lineaarikuvauksen matriisin muuttuminen kannanvaihdossa B B ja C C : R n m R f M
38 Lineaarialgebra (muut ko) p. 38/88 Lineaarikuvaus ja kannanvaihto Lineaarikuvauksen matriisin muuttuminen kannanvaihdossa B B ja C C : R n m R f M M B,C (f) = P C CM B,C (f)p B B
39 Lineaarialgebra (muut ko) p. 39/88 Miksi kannanvaihto? Lineaarikuvauksen matriisi M E (f) =
40 Lineaarialgebra (muut ko) p. 40/88 Miksi kannanvaihto? Vaihtamalla E B matriisiksi M B (f) =
41 Lineaarialgebra (muut ko) p. 41/88 Miksi kannanvaihto? Vaihtamalla E B matriisiksi M B (f) = Onnistuuko? Mistä kanta B? Mitkä luvut diagonaalilla?
42 Lineaarialgebra (muut ko) p. 42/88 Miksi kannanvaihto? Vaihtamalla E B matriisiksi M B (f) = Onnistuuko? Mistä kanta B? Mitkä luvut diagonaalilla? Näihin vastaaminen on loppukurssin tavoite!
43 Lineaarialgebra (muut ko) p. 43/88 Ydin ja kuva Lineaarikuvauksen ydin ja kuva-avaruus f 0 0 Ker(f) Im(f) Ker(f) = {x R n f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x R n }
44 Lineaarialgebra (muut ko) p. 44/88 Dimensioyhtälö Lineaarikuvauksen f : R n R m dimensioyhtälö n = dim Ker(f)+dim Im(f)
45 Lineaarialgebra (muut ko) p. 45/88 Matriisin avulla Jos niin A = M E,E (f) Im(f) = V(A T ). Alkeismuunnoksilla V(A T ):lle eli Im(f):lle kanta porrasmatriisin portaista.
46 Lineaarialgebra (muut ko) p. 46/88 Helppoa Lineaarikuvaus f : R n R m on injektio Ker(f) = {0}.
47 Lineaarialgebra (muut ko) p. 47/88 Helppoa Lineaarikuvaus f : R n R n on injektio surjektio bijektio
48 Lineaarialgebra (muut ko) p. 48/88 Aliavaruuksien summa Aliavaruuksien summa U 1 +U 2 U+ U 1 2 U 1 U 2 0 U 1 +U 2 = {u 1 +u 2 u 1 U 1,u 2 U 2 }.
49 Lineaarialgebra (muut ko) p. 49/88 Kertausta Suora summa U 1 U 2 jos yksikäsitteinen esitys x = u }{{} 1 + u }{{} 2 U 1 U 2,
50 Lineaarialgebra (muut ko) p. 50/88 Aliavaruuksien summa Suora summa U 1 U 2 Ehto 1: jos U 1 U 2 = {0}.
51 Lineaarialgebra (muut ko) p. 51/88 Aliavaruuksien summa Suora summa U 1 U 2 Ehto 1: jos U 1 U 2 = {0}. Ehto 2: jos u 1 +u 2 = 0, missä u 1 U 1 ja u 2 U 2, niin u 1 = u 2 = 0.
52 Lineaarialgebra (muut ko) p. 52/88 Aliavaruuksien summa Kahden aliavaruuden leikkaus on myös aliavaruus. U 1 U 2
53 Lineaarialgebra (muut ko) p. 53/88 Kannat aliavaruuksien summassa Suoran summan kannat u k u 2 u y 1 1 y 2 y m U+ U 1 2
54 Lineaarialgebra (muut ko) p. 54/88 Kannat aliavaruuksien summassa Suoran summan kannat u k u u 2 1 y y 1 2 U+ U y 1 2 m dim(u 1 U 2 ) = dimu 1 +dimu 2.
55 Lineaarialgebra (muut ko) p. 55/88 Usean aliavaruuden summa Usean aliavaruuden summa U 1 + +U m on suora summa eli U 1 U m jos ja vain jos Tällöin u }{{} u m = 0 u }{{} 1 = = u m = 0 U 1 U m dim(u 1 U m ) = dimu 1 + +dimu m.
56 Lineaarialgebra (muut ko) p. 56/88 Usean aliavaruuden summa Usean aliavaruuden summa U 1 + +U m on suora summa eli U 1 U m jos ja vain jos Tällöin u }{{} u m = 0 u }{{} 1 = = u m = 0 U 1 U m dim(u 1 U m ) = dimu 1 + +dimu m. Ehto U i U j = {0} ei enää toimi, kts. monisteen huomautus sivulla 26.
57 Lineaarialgebra (muut ko) p. 57/88 Miksi kannanvaihto? Lineaarikuvauksen matriisi M E (f) =
58 Lineaarialgebra (muut ko) p. 58/88 Miksi kannanvaihto? Vaihtamalla E B matriisiksi M B (f) =
59 Lineaarialgebra (muut ko) p. 59/88 Miksi kannanvaihto? Vaihtamalla E B matriisiksi M B (f) = Onnistuuko? Mistä kanta B? Mitkä luvut diagonaalilla?
60 Lineaarialgebra (muut ko) p. 60/88 Johdanto Meillä oli esimerkki M E (f) = ( 20/7 3/7 2/7 15/7 ) saatiin sopivalla kannanvaihdolla M B (f) = ( )
61 Lineaarialgebra (muut ko) p. 61/88 Johdanto Yleisestikin pyritään M B (f) = λ λ λ n Onnistuuko aina? Miten löydetään kanta?
62 Lineaarialgebra (muut ko) p. 62/88 Ominaisarvot Jos Ax = λx missä x 0, niin λ on ominaisarvo ja x siihen kuuluva ominaisvektori.
63 Lineaarialgebra (muut ko) p. 63/88 Ominaisarvot Ominaisarvot löydetään ominaisarvopolynomin nollakohtina. det(a λi) = 0 Ominaisarvoon λ kuuluvat ominaisvektorit löydetään yhtälöryhmästä (A λi)x = 0.
64 Lineaarialgebra (muut ko) p. 64/88 Ominaisarvot Ominaisarvot löydetään ominaisarvopolynomin nollakohtina. det(a λi) = 0 Ominaisarvoon λ kuuluvat ominaisvektorit löydetään yhtälöryhmästä (A λi)x = 0. Huom. x C n ja x 0.
65 Lineaarialgebra (muut ko) p. 65/88 Ominaisarvot Ominaisarvot löydetään ominaisarvopolynomin nollakohtina. det(a λi) = 0 Ominaisarvoon λ kuuluvat ominaisvektorit löydetään yhtälöryhmästä (A λi)x = 0. Huom. x C n ja x 0. Ominaisarvon algebrallinen kertaluku det(a ti) = ( 1) n (t λ 1 ) k 1...(t λ s ) k s.
66 Lineaarialgebra (muut ko) p. 66/88 Kertausta Matriisin muuttuminen kannanvaihdossa (Lause 2.5.2): missä M B (f) = P 1 M B (f)p P = P B B
67 Lineaarialgebra (muut ko) p. 67/88 Kertausta Matriisin muuttuminen kannanvaihdossa (Lause 2.5.2): missä M B (f) = P 1 M B (f)p P = P B B Meillä oli esimerkki ( ) = ( 1/7 3/7 2/7 1/7 )( 20/7 3/7 2/7 15/7 )( )
68 Lineaarialgebra (muut ko) p. 68/88 Diagonalisoituvuus Matriisi A on diagonalisoituva, jos P 1 AP = D Tällöin D = λ λ λ n missä λ i on A:n ominaisarvo
69 Lineaarialgebra (muut ko) p. 69/88 Diagonalisoituvuus Matriisi A on diagonalisoituva, jos P 1 AP = D Tällöin D = λ λ λ n missä λ i on A:n ominaisarvo Matriisi on diagonalisoituva ominaisvektoreista voidaan muodostaa kanta C n :lle
70 Lineaarialgebra (muut ko) p. 70/88 Diagonalisoituvuus Olkoot λ 1,...,λ s erisuuret ominaisarvot ja k 1,...,k s niiden algebralliset kertaluvut. Jos A on diagonalisoituva, niin D = λ λ 1... λ s... 0 λ s k 1 kpl k s kpl
71 Lineaarialgebra (muut ko) p. 71/88 Diagonalisoituvuus Olkoot λ 1,...,λ s erisuuret ominaisarvot ja k 1,...,k s niiden algebralliset kertaluvut. Jos A on diagonalisoituva, niin P = λ 1 :n... λ s :n ominaisvektoreita ominaisvektoreita k 1 kpl k s kpl
72 Lineaarialgebra (muut ko) p. 72/88 Diagonalisoituvuus Olkoot λ 1,...,λ s erisuuret ominaisarvot ja k 1,...,k s niiden algebralliset kertaluvut. Jos A on diagonalisoituva, niin P = λ 1 :n... λ s :n ominaisvektoreita ominaisvektoreita } {{ } lineaarisesti riippumattomia! k 1 kpl k s kpl
73 Lineaarialgebra (muut ko) p. 73/88 Ominaisavaruus Ominaisavaruus V λ = {x C n (A λi)x = 0} Erisuurille ominaisarvoille λ 1,...,λ s V λ1 V λs
74 Lineaarialgebra (muut ko) p. 74/88 Diagonalisoituvuus Olkoot λ 1,...,λ s erisuuret ominaisarvot ja k 1,...k s niiden algebralliset kertaluvut. Jos A on diagonalisoituva, niin P = λ 1 :n... λ s :n ominaisvektoreita ominaisvektoreita k 1 kpl }{{} lin.riippumattomia k s kpl }{{} lin.riippumattomia
75 Lineaarialgebra (muut ko) p. 75/88 Geometrinen kertaluku Ominaisarvon λ geometrinen kertaluku dimv λ Erisuurille ominaisarvoille λ 1,...,λ s V λ1 V λs Ominaisarvon algebrallinen kertaluku det(a ti) = ( 1) n (t λ 1 ) k 1...(t λ s ) k s. k 1 + +k s = n
76 Lineaarialgebra (muut ko) p. 76/88 Kertausta Vektoreiden x,y R n sisätulo (x,y) = x 1 y 1 + +x n y n ortogonaalisuus x y (x, y) = 0 (u,u) = u 2 au = a u Vektorin u ortogonaaliprojektio vektorilla v p = (u,v) v 2 v = (u,v) (v,v) v
77 Lineaarialgebra (muut ko) p. 77/88 Ortonormaalisuus Vektorijoukko {x 1,...,x m } on ortogonaalinen, jos (x i,x j ) = 0 i j ortonormaali, jos ortogonaalinen ja pituudet = 1 eli (x i,x j ) = δ ij
78 Lineaarialgebra (muut ko) p. 78/88 Ortonormaalisuus Vektorijoukko {x 1,...,x m } on ortogonaalinen, jos (x i,x j ) = 0 i j ortonormaali, jos ortogonaalinen ja pituudet = 1 eli pituus ykköseksi, x 0, (x i,x j ) = δ ij 1 x x
79 Lineaarialgebra (muut ko) p. 79/88 Ortonormaalikanta Aliavaruudelle U R n ortonormaalikanta? Jos u 1,...,u m on ortonormaalikanta, niin kantaesitys helposti m x = r i u i i=1
80 Lineaarialgebra (muut ko) p. 80/88 Ortonormaalikanta Aliavaruudelle U R n ortonormaalikanta? Jos u 1,...,u m on ortonormaalikanta, niin kantaesitys helposti m x = (x,u i )u i (5.2) i=1
81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 81/88 Kertausta Aliavaruudelle U R n ortonormaalikanta? Jos u 1,...,u m on ortonormaalikanta, niin kantaesitys helposti m x = (x,u i )u i (5.2) i=1 Vektorin u ortogonaaliprojektio vektorilla v p = (u,v) v 2 v = (u,v) (v,v) v
82 Lineaarialgebra (muut ko) p. 82/88 Kannasta ortonormaalikanta Aliavaruudella U R n on aina ortonormaalikanta: 1) Gramin-Schmidtin menetelmällä saadaan kannasta {x 1,...,x m } ortogonaalinen: 2) pituudet ykköseksi y 1 = x 1 y j = x j j 1 i=1 { 1 y 1 y 1,..., (x j,y i ) (y i,y i ) y i. 1 y m y m}
83 Lineaarialgebra (muut ko) p. 83/88 Ortogonaalikomplementti Ortogonaalikomplementti U = {x R n x u u U} R n = U U (U ) = U
84 Lineaarialgebra (muut ko) p. 84/88 Ortogonaalimatriisi P on ortogonaalinen, jos P 1 = P T Neliömatriisi P on ortogonaalinen sen vaaka- ja pystyrivit muodostavat ortonormaalin joukon
85 Lineaarialgebra (muut ko) p. 85/88 Ortogonaalimatriisi Lause 5.4.7: Jos P on ortogonaalinen, niin lineaarikuvaus f : R n R n,f(x) = Px säilyttää pituudet ja sisätulot eli f(x) = x ja kaikille x,y R n (f(x),f(y)) = (x,y)
86 Lineaarialgebra (muut ko) p. 86/88 Symmetrinen ja reaalinen matriisi Yleisesti matriisin ominaisarvot λ C eri ominaisarvojen ominaisvektorit lineaarisesti riippumattomat
87 Lineaarialgebra (muut ko) p. 87/88 Symmetrinen ja reaalinen matriisi Yleisesti matriisin ominaisarvot λ C eri ominaisarvojen ominaisvektorit lineaarisesti riippumattomat Symmetrisen ja reaalisen matriisi ominaisarvot aina R:ssä eri ominaisarvojen ominaisvektorit ortogonaalisia
88 Lineaarialgebra (muut ko) p. 88/88 Välikoe 2 Tärkeitä perusasioita: 1. Matriisin redusoitu porrasmuoto 2. Käänteismatriisi alkeismuunnoksilla (A I) Kannanvaihdon matriisi 4. Lineaarikuvauksen matriisi 5. Diagonalisointi 6. Gramin-Schmidtin menetelmä Käy läpi demotehtävät (demokerrat 7 11)! Monisteesta Osa 1: sivut ja Osa 2: sivut 1 51 Tärkeät lauseet ja todistukset: 2.3.3, 2.6.5, 2.7.1, 3.1.6, 4.6.2, 5.3.4, 6.1.2, 6.1.3
Demorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Ensi viikolla luennot salissa X Torstaina 7.12. viimeiset demot (12.12. ja 13.12. viimeiset luennot). Torstaina 14.12 on välikoe 2, muista ilmoittautua! Demorastitiedot
Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66
Ensi viikon luennot salissa X Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/66 Redusoitu porrasmuoto 1 1 2 4 1 1 4 6 2 2 5 9 1 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 Eli aste r(a) = 2 ja vaakariviavaruuden
Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162
Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/162 Kertausta Vektorin u = (u 1,u 2 ) R 2 pituus u = u 2 1 +u2 2 Vektorien u ja v = (v 1,v 2
Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159
Ensi viikon luennot salissa X Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/159 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 ) Skalaarilla
Muistutus: Matikkapaja ke Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta yms.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/139 Ensi viikon luennot salissa X Muistutus: Matikkapaja ke 14-16 Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta
Seuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117
Seuraava luento ti 31.10 on salissa XXII Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/117 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v
Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI
0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos
Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210
Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2
Lineaarialgebra (muut ko)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/103 Lineaarialgebra (muut ko) Tero Laihonen Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/103 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja
7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien
6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI
6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,
Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1
Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon
(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
MS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä
Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.
1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:
Lineaarialgebra. Osa 2. Turun yliopisto. Markku Koppinen
Lineaarialgebra Osa 2 Turun yliopisto Markku Koppinen Sisältö 1 Koordinaattivektorit ja kannan vaihdot 1 11 Koordinaattivektorit 1 12 Kannan vaihdot 2 2 Lineaarikuvaukset 6 21 Kuvauksista 6 22 Lineaarikuvaukset
Matemaattinen Analyysi / kertaus
Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen
ominaisvektorit. Nyt 2 3 6
Esimerkki 2 6 8 Olkoon A = 40 0 6 5. Etsitäänmatriisinominaisarvotja 0 0 2 ominaisvektorit. Nyt 2 0 2 6 8 2 6 8 I A = 40 05 40 0 6 5 = 4 0 6 5 0 0 0 0 2 0 0 2 15 / 172 Täten c A ( )=det( I A) =( ) ( 2)
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot
2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut
2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja
Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81
Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/81 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 )
Ortogonaalisen kannan etsiminen
Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 6.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Kertausta: Kääntyvien matriisien lause Lause 1 Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä.
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Matematiikka B2 - Avoin yliopisto
6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (
Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?
Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi
Lineaarialgebra, kertausta aiheita
Lineaarialgebra, kertausta aiheita Matriisitulo käänteismatriisi determinantin kehittäminen determinantin ominaisuudet adjungaatti ja Cramerin kaavat yhtälöryhmän eri esitystavat Gauss-Jordan -algoritmi
5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT
5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön
Lineaarialgebra II P
Lineaarialgebra II 89P Sisältö Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 8 3 Lineaarikuvaus 5 4 Ominaisarvo 5 Luku Vektoriavaruus Määritelmä.. Epätyhjä joukko V on vektoriavaruus, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:.
MS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Lineaarikuvaukset Lineaarikuvaus Olkoot U ja V
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42 Tehtävät 1-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ryhmissä, ja ryhmien ratkaisut esitetään harjoitustilaisuudessa (merkitty kirjaimella L = Lasketaan).
x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Lineaarikuvaus
Matematiikka B2 - TUDI
Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
OMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA
1 OMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA Olkoon x = (x 1,..., x n ) avaruuden R n piste (l. vektori). Vektori x samaistetaan n 1-matriisin (x 1 x 2... x n ) T kanssa, ts. voidaan yhtä hyvin kirjoittaa x1
x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO Syksy 2017 LINEAARIALGEBRA 1 / 59 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
Lineaarialgebra II, MATH.1240 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg
Vaasan yliopisto, syksy 218 Lineaarialgebra II, MATH124 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg Tentti T1, 284218 Ratkaise 4 tehtävää Kokeessa saa käyttää laskinta (myös graafista ja CAS-laskinta), mutta ei taulukkokirjaa
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2019 LINEAARIALGEBRA 1 / 60 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät
1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.
Neliömuodoista, matriisin ominaisarvoista ja avaruuden kierroista
Neliömuodoista matriisin ominaisarvoista ja avaruuden kierroista Marko Moisio 1 Neliömuodoista ja matriisin ominaisarvoista Tarkastellaan toisen asteen tasokäyrän määräävää yhtälöä a + by 2 + 2cxy = d
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2014 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 1 of 16 Kertausta Lineaarinen riippuvuus
Matriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit
Matriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit Antti Rasila 2016 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1/5 Määritelmä Skalaari λ C on matriisin A C n n ominaisarvo ja vektori v C n sitä
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III LINEAR ALGEBRA PART III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III LINEAR ALGEBRA PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 Contents 1 Lineaarikuvaus 2 1.1 Määritelmä............................ 2 1.2 Matriisiesitys/Matrix
Ominaisarvo ja ominaisvektori
Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006
Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä
Avaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
MS-A0003/A Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6
MS-A3/A - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 Ratkaisuehdotelmia. Diagonalisointi on hajotelma A SΛS, jossa diagonaalimatriisi Λ sisältää matriisin A ominaisarvot ja matriisin S sarakkeet ovat näitä ominaisarvoja
Paikannuksen matematiikka MAT
TA M P E R E U N I V E R S I T Y O F T E C H N O L O G Y M a t h e m a t i c s Paikannuksen matematiikka MAT-45800 4..008. p.1/4 Käytännön järjestelyt Kotisivu: http://math.tut.fi/courses/mat-45800/ Luennot:
Lineaarialgebra b, kevät 2019
Lineaarialgebra b, kevät 2019 Harjoitusta 4 Maplella with(linearalgebra); (1) Tehtävä 1. Lineaarisia funktioita? a) Asetelma on kelvollinen: lähtö- ja maalijoukko on R-kertoiminen lineaariavaruus ja L
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Ortogonaaliset matriisit, määritelmä 1
, määritelmä 1 Määritelmä (a). Neliömatriisi Q on ortogonaalinen, jos Q T Q = I. Määritelmästä voidaan antaa samaa tarkoittavat, mutta erilaiselta näyttävät muodot: Määritelmä (b). n n neliömatriisi Q,
MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.
Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin
LINEAARIALGEBRA A 2016 TOMI ALASTE EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF
LINEAARIALGEBRA 83A 6 EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF TOMI ALASTE SISÄLTÖ Sisältö Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 3 Lineaarikuvaus 4 Ominaisarvo 34 5 Esimerkkejä 44 . Lineaariavaruus
pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus Lineaarikuvaus Ominaisarvo 0-68
SISÄLTÖ Sisältö pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 0-1 2 Sisätuloavaruus 0-20 3 Lineaarikuvaus 0-41 4 Ominaisarvo 0-68 5 Esimerkkejä 0-88 1. Lineaariavaruus eli V 1 Lineaariavaruus
4. LINEAARIKUVAUKSET
86 4 LINEAARIKUVAUKSET 41 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoot V ja V vektoriavaruuksia Tarkastellaan kuvausta L : V V Tällöin jokaiseen vektoriin v V liittyy tietty, L:n ja v:n yksikäsitteisesti määräämä
Neliömatriisit A ja B ovat similaareja toistensa suhteen, A B, jos on olemassa kääntyvä matriisi P, jolle pätee A = PBP 1.
Similaarisuus 1 (Kreyszig 8.4, Lay 5.2) Aalto MS-C1340, 2014, Kari Eloranta Määritelmä Neliömatriisit A ja B ovat similaareja toistensa suhteen, A B, jos on olemassa kääntyvä matriisi P, jolle pätee A
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
Numeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/310 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
Esimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt
Esimerkki 4.4. Määrää matriisin 2 2 1 A = 1 3 1 2 4 3 ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt det(a λi ) = 1 + 2 λ 2 1 + 1 λ 1 λ 1 3 λ 1 = 1 3 λ 1 2 4 3 λ 2 4 3 λ 1 λ = 1 4 λ 1 = (1 λ)( 1)1+1 4 λ 1 2 6 3
Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2014 Harjoitus 4 Ratkaisujen viimeinen palautuspäivä: pe 662014 klo 1930 Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun
Esimerkki 19. Esimerkissä 16 miniminormiratkaisu on (ˆx 1, ˆx 2 ) = (1, 0).
Esimerkki 9 Esimerkissä 6 miniminormiratkaisu on (ˆx, ˆx (, 0 Seuraavaksi näytetään, että miniminormiratkaisuun siirtyminen poistaa likimääräisongelman epäyksikäsitteisyyden (mutta lisääntyvän ratkaisun
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Lineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi
Lineaarikuvaukset aiheita ten ten 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja
Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo
Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Antti Rasila 2016 Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Jos {v 1, v 2,..., v k } on äärellisulotteisen vektoriavaruuden V lineaarisesti riippumaton
C = {(x,y) x,y R} joiden joukossa on määritelty yhteen- ja kertolasku seuraavasti
Vaasan yliopiston julkaisuja 189 9 OMINAISARVOTEHTÄVÄ Ch:EigSystem Sec:CMatrix 9.1 Kompleksinen lineaariavaruus 9.1.1 Kompleksiluvut Pian tulemme tarvitsemaan kompleksisen lineaariavaruuden alkeita. Tätä
MS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt QR-hajotelma ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto PNS-ongelma PNS-ongelma
Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma
Matriisihajotelmat. MS-A0007 Matriisilaskenta. 5.1 Diagonalisointi. 5.1 Diagonalisointi
MS-A0007 Matriisilaskenta 5. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 25.11.2015 Laskentaongelmissa käsiteltävät matriisit ovat tyypillisesti valtavia.
Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2015 Harjoitus 4 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 862015 klo 1615 Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin
Käänteismatriisin ominaisuuksia
Käänteismatriisin ominaisuuksia Lause 1.4. Jos A ja B ovat säännöllisiä ja luku λ 0, niin 1) (A 1 ) 1 = A 2) (λa) 1 = 1 λ A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1 4) (A T ) 1 = (A 1 ) T. Tod.... Ortogonaaliset matriisit
LINEAARIALGEBRA P. LUENTOMONISTE ja HARJOITUSTEHTÄVÄT
LINEAARIALGEBRA II 802119P LUENTOMONISTE ja HARJOITUSTEHTÄVÄT syksy 2008 30 V SISÄTULOAVARUUKSISTA 1. Sisätulon määritelmä Tarkastellaan sisätulon määrittelyä varten kompleksilukujen joukkoa C = {x + iy
Similaarisuus. Määritelmä. Huom.
Similaarisuus Määritelmä Neliömatriisi A M n n on similaarinen neliömatriisin B M n n kanssa, jos on olemassa kääntyvä matriisi P M n n, jolle pätee Tällöin merkitään A B. Huom. Havaitaan, että P 1 AP
i=1 Tarkastellaan ensin inversio-ongelman injektiivisyys: Kun vaaditaan, että 0 = M x x 2
Lemma 1. Olkoon V R n lineaarinen aliavaruus. Lineaarisen kuvauksen F : V R m kuvajoukko F (V R m on lineaarinen aliavaruus, joka koostuu lineaarisen kuvauksen F matriisin M pystyvektorien {M i : i 1,...
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä
Johdatus lineaarialgebraan. Juha Honkala 2017
Johdatus lineaarialgebraan Juha Honkala 2017 Sisällysluettelo 1 Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit 11 Lineaariset yhtälöryhmät 12 Matriisit 13 Matriisien alkeismuunnokset ja porrasmatriisit 14 Yhtälöryhmien
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lineaarikuvaukset. 12. joulukuuta F (A r ) = F (A r ) r .(3) F (s) = s. (4) Skalaareille kannattaa määritellä lisäksi seuraavat tulot:
Lineaarikuvaukset 12. joulukuuta 2005 1 Yleistys multivektoreille Olkoon F lineaarikuvaus vektoriavaruudessa. Yleistetään F luonnollisella tavalla terille F (a 1 a n ) = F (a 1 ) F (a n ), (1) sekä terien
Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä
Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty
x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia/Exercises 2017 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa
MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon
ja F =
MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2016 Tehtävissä 1 ja 2a käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3 A =,B = 7 1 2 2 3,C = 4 4 2 5 3,E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1.
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
1.1. Määritelmiä ja nimityksiä
1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x
Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2.
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2016 Harjoitus 3 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 29.8.2016 klo 13.15. Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä