Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.

Transkriptio

1 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) ( λ) 5 ) ( λ)( 8 λ + λ ), joten p A (λ) 0, kun λ tai λ ± Matriisin A ominaisarvot ovat siis, ja 4 Ominaisarvoon liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax x eli yhtälöryhmän x + x + x x x + x x 5x x x nollavektorista poikkeavat ratkaisut Yhtälöryhmän ratkaisuksi saadaan (esim Gaussin Jordanin eliminointimenetelmällä) x s/5 s/5 s Näin ollen V span([ 5] T ) s 5 5, missä s Ominaisarvoon liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax x eli yhtälöryhmän x + x + x x x + x x 5x x x nollavektorista poikkeavat ratkaisut Yhtälöryhmän ratkaisuksi saadaan s x 0 s 0, missä s 0 0 Näin ollen V span([ 0 0] T ) Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax 4x eli yhtälöryhmän x + x + x 4x x + x 4x 5x x 4x nollavektorista poikkeavat ratkaisut Yhtälöryhmän ratkaisuksi saadaan s x s s, missä s s Näin ollen V 4 span([ ] T )

2 Lasketaan matriisien ominaisarvot ja niihin liittyvät ominaisvektorit Matriisi A on diagonalisoituva silloin ja vain silloin, kun sen ominaisvektoreista voidaan muodostaa :n kanta (a) A:n karakteristinen funktio p A on p A (λ) det(a λi ) ( + λ) λ 0 λ 0 4 λ λ 0 λ + λ 4 (λ + ) ( λ) + 4( λ) λ + λ + λ + ( λ)(λ + λ + ), joten p A (λ) 0, kun λ (ainoa reaalinen ratkaisu) Koska Ae 4 e, niin ominaisarvoon liittyvä ominaisavaruus V Näin ollen A:n ominaisvektoreista ei saada :n kantaa ja A ei siis ole diagonalisoituva (b) Nyt A:n karakteristinen funktio p A on p A (λ) λ 4 4 λ 0 λ 4 λ λ λ 9 4 4λ ( λ)(λ )(λ ), λ 4 4 λ 0 λ λ 9 4 4λ 0 λ + 6λ λ + 6 joten A:n ominaisarvot ovat p A (λ):n nollakohdat λ, λ ja λ Ratkaisemalla yhtälöt Ax λ i x, i,,, saadaan ominaisarvoja vastaaviksi ominaisavaruuksiksi V span([ ] T ), V span([ ] T ) ja V span([ 4] T ) Lauseen 6 mukaan S ([ ] T, [ ] T, [ 4] T ) on :n kanta, ja näin ollen saadaan A:n diagonalisoiva matriisi P 4 Tällöin P AP λ λ λ

3 (a) Osoitetaan induktiolla k:n suhteen, että A k PD k P kaikilla k Alkuaskel: Kun k, niin D P AP PD P(P AP) (PP )AP I n AP AP PDP APP AI n A Induktio-oletus: Oletetaan, että A k PD k P jollakin k Induktioaskel: Kaava pätee arvolla k +, sillä A k+ AA k io A(PD k P ) PDP (PD k P ) PD(P P)D k P P(DD k )P PD k+ P (b) Osoitetaan induktiolla k:n suhteen, että kaikilla k d k 0 0 d d k D k 0 0 d 0, kun D 0 0 dn k 0 0 d n Induktio-oletus: Oletetaan, että kaava pätee jollakin k Induktioaskel: Kaava pätee arvolla k +, sillä d 0 0 d k 0 0 D k+ DD k io 0 d 0 0 d k d n 0 0 dn k d d k 0 0 d k+ 0 d d k d k d n dn k 0 0 dn k+ 4 A:n karakteristinen polynomi p A on p A (λ) det(a λi ) 4 λ λ λ λ + (λ )(λ ), (4 λ)( λ) + 6 joten p A (λ) 0, kun λ tai λ Matriisin A ominaisarvot ovat siis ja Ominaisarvoon liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax x eli yhtälöparin { 4x x x x x x nollavektorista poikkeavat ratkaisut Yhtälöparin ratkaisuksi saadaan [ x s ] s [ ], missä s s ([ ]) Näin ollen ominaisarvoon liittyvä ominaisavaruus on V span Ominaisarvoon liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax x eli yhtälöparin { 4x x x x x x nollavektorista poikkeavat ratkaisut Yhtälöparin ratkaisuksi saadaan s x s, missä s s

4 ([ Näin ollen ominaisarvoon liittyvä ominaisavaruus on V span () Lauseen 6 mukaan jono S, on :n kanta, joten matriisi A on diagonalisoituva Nyt voidaan muodostaa diagonalisoiva matriisi [ ] [ ] P, jolloin P Tällöin D P AP ]) [ 0 0 ], (tarkista laskemalla!) joten edellisen tehtävän mukaan [ ] A 5 PD 5 P [ ] [ [ ] 5 (a) Koska lineaarikuvauksen L matriisi on symmetrinen, niin Lauseen 6 mukaan L on symmetrinen eli itseadjungoitu 5 (b) Koska lineaarikuvauksen L matriisi on symmetrinen, niin L:n eri ominaisarvoihin liittyvien ominaisavaruuksien virittävät ominaisvektorit ovat[ Lauseen 69 ] mukaan ortogonaalisia Määrätään lineaarikuvauksen L matriisin A ominaisarvot, jotka 5 ovat A:n karakteristisen funktion p A nollakohdat Nyt p A (λ) det(a λi ) λ 5 λ ] ( λ)(5 λ) 4 6 7λ + λ, joten p A (λ) 0, kun λ tai λ 6 Matriisin A ominaisarvot ovat siis ja 6 Ominaisarvoon liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax x eli yhtälöryhmän { x x x x + 5x x nollavektorista poikkeavat ratkaisut Yhtälöryhmän ratkaisuksi saadaan s x s, missä s s Ominaisarvoon 6 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax x eli yhtälöryhmän { x x 6x 5 x + 5x 6x nollavektorista poikkeavat ratkaisut Yhtälöryhmän ratkaisuksi saadaan s x s, missä s s Normittamalla ominaisvektorit ja saadaan kysytty :n ortonormaali kanta ( ] ]), [ [ 5 4

5 6 Seurataan laskumenetelmää 68; lasketaan ensin A:n ominaisarvot ja -vektorit A:n karakteristinen funktio p A on λ 0 6 p A (λ) det(a λi ) 0 λ 0 ( + λ) λ λ 6 λ (λ + ) (λ + 50) (λ 5), joten p A (λ) 0, kun λ 5, λ tai λ 50 Matriisin A ominaisarvot ovat siis 5, ja 50 Ominaisarvoon 5 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax 5x eli yhtälöryhmän x 6x 5x x 5x 6x x 5x nollavektorista poikkeavat ratkaisut Yhtälöryhmän ratkaisuksi saadaan 4s 4 x 0 s 0, missä s s Normittamalla virittävä vektori saadaan V 5 span( 5 [ 4 0 ]T ) Ominaisarvoon liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax 5x eli yhtälöryhmän x 6x x x x 6x x x nollavektorista poikkeavat ratkaisut Yhtälöryhmän ratkaisuksi saadaan 0 0 x s s, missä s 0 0 Näin ollen V span([0 0] T ), missä virittävä vektori on valmiiksi normitettu Ominaisarvoon 50 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax 5x eli yhtälöryhmän x 6x 50x x 50x 6x x 50x nollavektorista poikkeavat ratkaisut Yhtälöryhmän ratkaisuksi saadaan s x 0 s 0, missä s 4s 4 Normittamalla virittävä vektori saadaan V 50 span( 5 [ 0 4]T ) Näin ollen haetuksi ortogonaalieksi matriisiksi P kelpaa P 0 0, joka diagonalisoi ortogonaalisesti matriisin A Tällöin P T AP 0 0, missä lävistäjän alkiot on saatu ominaisarvoista (samassa järjestyksessä kuin niitä vastaavat ominaisvektorit matriisissa P) 5

6 7 Merkitään w [ 0 ] T, w [ 0 0 ] T ja w [ 0 0] T Valitaan v w [ 0 ] T v w w ( ) v 0 v v v Valitaan nyt v v [ 0 ]T v w w v v v v w v v v v [ 0 0 ]T Valitaan nyt v v [ 0 0 ]T Näin ollen 0 0 ( ) 6 0 ( ) 4 (v, v, v ) ([ 0 ] T, [ 0 ] T, [ 0 0 ] T ) on V:n ortogonaalinen kanta Normitetaan vielä vektorit v, v ja v : u v v 6 [ 0 ] T, u v v [ 0 ] T [ 0 ] T, u v v [ 0 0 ] T Tällöin S 0 (u, u, u ) on V:n ortonormaali kanta 8 (a) Nyt joten kolmion ABC pinta-ala on u AB i j + k v AC i + j k, A K u v ( i j + k) (i + j k) j 4k j k 5 (b) Vektoreiden AB ja AC virittämän suunnikkaan pinta-ala on A S A K 5 9 Etsimme pienimmän neliösumman ratkaisua yhtälöryhmälle Ax b, missä A 68 8 ja b Pienimmän neliösumman ratkaisu on ˆx 0 x ˆx (AT A) A T b ˆx ja 4,4 0,69 0,

7 Näin ollen funktio y y(t, t ) 4,4 + 0,69t + 0,799t on dataan parhaiten sopiva pienimmän neliösumman yhtälö Funktio ennustaa Annalle pistettä kolmannessa kokeessa 0 (a) Kuvaus L A : n n, y(9, 7) 4,4 + 0, , L A x A x kaikilla x n, on lineaarinen, sillä A on n n-matriisi, ja näin ollen se on luentomonisteen Esimerkin 4(a) vaatimaa muotoa Kyseisessä esimerkissähän osoitetaan, että kaikki kuvaukset L B : m n, L B x Bx kaikilla x n, missä B m n, ovat lineaarisia (b) Olkoon y Im(L A ) Tällöin on olemassa sellainen x n, että L A x A x y Voimme kirjoittaa y A x A(Ax) Az, missä z Ax Näin ollen y Az Im(L A ), joten Im(L A ) Im(L A ) (a) Oletetaan ensin, että C 0 Tällöin a a b b det(m) A B 0 D a a b b 0 0 d d 0 0 d d a b b a 0 d d 0 d d a a b b 0 d d 0 d d d a a d d d a a d d d d (a a a a ) d d d d det(a) det(d) Vastaavasti voidaan osoittaa, että jos B 0, niin A 0 C D det(a) det(d) Lisähuomautus: Vastaavat tulokset ovat voimassa yleisemminkin neliömatriiseille A, B, C ja D, joilla matriisit A B A 0 ja 0 D C D ovat neliömatriiseja (tässä A:n ja D:n ei edes tarvitse olla samankokoisia) (b) Osoitetaan, että kaava det(m) A B C D det(a) det(d) det(b) det(c) [ ei välttämättä päde Valitaan A D I, B ja C ] 7

8 Tällöin det(a) det(d) ja det(b) det(c) 0, joten mutta det(a) det(d) det(b) det(c) 0 0, det(m) A B C D (a) Koska , niin matriisi on säännöllinen Lasketaan käänteismatriisi laskumenetelmän 67 avulla: Näin ollen käänteismatriisi on 0 4 (b) Koska , niin matriisi ei ole säännöllinen (c) Koska k , niin matriisi on säännöllinen Lasketaan käänteismatriisi laskumenetelmän 67 avulla: , k k joten käänteismatriisi on 0 0 k 0 8