Insinöörimatematiikka D

Transkriptio

1 Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 12 1 of 24

2 Kertausta Eksakti DY Differentiaaliyhtälö on eksakti, jos f y = g x f (x, y) + g(x, y)y = 0 (ja f ja g ovat riittävän säännöllisiä). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 12 2 of 24

3 Kertausta Ratkaisu käytännössä Eksaktin differentiaaliyhtälön f (x, y) + g(x, y)y = 0 ratkaisun askeleet: Etsitään funktiot c 0 (y) ja c 1 (x), joilla yhtälö f (x, y)dx + c0 (y) = g(x, y)dy + c 1 (x) toteutuu. Valitaan F (x, y) = f (x, y)dx + c 0 (y). Todetaan: F F x = f (x, y) ja y = g(x, y), jolloin f (x, y) + g(x, y)y = 0 d dx F (x, y) = 0. Ratkaisu: F (x, y) = C. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 12 3 of 24

4 Kertausta Huomautus Jos yhtälö f (x, y) + g(x, y)y = 0 ei ole eksakti, on toisinaan mahdollista löytää funktio µ(x, y) (ns. integroiva tekijä), jolla kerrottuna yhtälö on eksakti. f (x, y)µ(x, y) + g(x, y)µ(x, y)y = 0 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 12 4 of 24

5 Kertausta Sijoitus y/x Jos DY on muotoa y = f (y/x), niin sijoituksella z = y/x se muuttuu separoituvaksi. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 12 5 of 24

6 Kertausta Sijoitus y/x Jos DY on muotoa y = f (y/x), niin sijoituksella z = y/x se muuttuu separoituvaksi. Sijoitus ax + by Jos DY on muotoa y = f (ax + by), niin sijoituksella z = ax + by se muuttuu separoituvaksi. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 12 5 of 24

7 Kertausta Sijoitus y/x Jos DY on muotoa y = f (y/x), niin sijoituksella z = y/x se muuttuu separoituvaksi. Sijoitus ax + by Jos DY on muotoa y = f (ax + by), niin sijoituksella z = ax + by se muuttuu separoituvaksi. Esimerkki 109 Ratkaistaan DY y = x 2 + 2xy + y 2. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 12 5 of 24

8 Sekalaisia menetelmiä Bernoullin DY Bernoullin DY (a 1) y + p(x)y = q(x)y a muuttuu lineaariseksi sijoituksella z = y 1 a. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 12 6 of 24

9 Sekalaisia menetelmiä Bernoullin DY Bernoullin DY (a 1) y + p(x)y = q(x)y a muuttuu lineaariseksi sijoituksella z = y 1 a. Esimerkki Ratkaistaan DY y 5y = 5 2 xy 3. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 12 6 of 24

10 Sekalaisia menetelmiä Eulerin DY Eulerin DY on muotoa missä p ja q ovat vakioita. x 2 y + pxy + qy = f (x), M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 12 7 of 24

11 Sekalaisia menetelmiä Eulerin DY Eulerin DY on muotoa x 2 y + pxy + qy = f (x), missä p ja q ovat vakioita. Tehdään DY:hyn sijoitus t = ln x ja y 1 (t) = y(e t ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 12 7 of 24

12 Sekalaisia menetelmiä Eulerin DY Eulerin DY on muotoa x 2 y + pxy + qy = f (x), missä p ja q ovat vakioita. Tehdään DY:hyn sijoitus t = ln x ja y 1 (t) = y(e t ). Tällöin DY saadaan muotoon y 1 (t) + (p 1)y 1(t) + qy 1 (t) = f (e t ), joka on lineaarinen vakiokertoiminen DY (ja jonka osaamme aiemman perusteella ratkaista). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 12 7 of 24

13 Sekalaisia menetelmiä Eulerin DY Eulerin DY on muotoa x 2 y + pxy + qy = f (x), missä p ja q ovat vakioita. Tehdään DY:hyn sijoitus t = ln x ja y 1 (t) = y(e t ). Tällöin DY saadaan muotoon y 1 (t) + (p 1)y 1(t) + qy 1 (t) = f (e t ), joka on lineaarinen vakiokertoiminen DY (ja jonka osaamme aiemman perusteella ratkaista). Esimerkki Ratkaistaan DY x 2 y 7xy + 15y = 0. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 12 7 of 24

14 Sekalaisia menetelmiä Käänteisfunktio Toisinaan DY on helpompi ratkaista siirtymällä käänteisfunktioon, jolloin funktion y(x) sijasta ratkaistaan funktio x(y). Tällöin pitää muistaa, että x (y) = 1 y (x). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 12 8 of 24

15 Sekalaisia menetelmiä Käänteisfunktio Toisinaan DY on helpompi ratkaista siirtymällä käänteisfunktioon, jolloin funktion y(x) sijasta ratkaistaan funktio x(y). Tällöin pitää muistaa, että x (y) = 1 y (x). Esimerkin 98 variaatio Ratkaistaan DY y = y 2. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 12 8 of 24

16 Sekalaisia menetelmiä Käänteisfunktio Toisinaan DY on helpompi ratkaista siirtymällä käänteisfunktioon, jolloin funktion y(x) sijasta ratkaistaan funktio x(y). Tällöin pitää muistaa, että x (y) = 1 y (x). Esimerkin 98 variaatio Ratkaistaan DY y = y 2. Huomautus Esimerkin 107 differentiaaliyhtälö (x + y 2 )y y = 0 muuttuisi käänteisfunktiota käyttämällä 1. kertaluvun lineaariseksi differentiaaliyhtälöksi x 1 y x = y 2 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 12 8 of 24

17 Sekalaisia menetelmiä Yhtälö y = f (y) Toisen kertaluvun DY y = f (y) saadaan kertomalla ensin puolittain tekijällä 2y muotoon 2y y = 2y f (y), josta puolittain integroimalla saadaan (y ) 2 ) = 2 f (y)dy + C ja edelleen y = 2 f (y)dy + C. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 12 9 of 24

18 Sekalaisia menetelmiä Sarjaratkaisut Joissain tapauksissa voidaan käyttää myös sarjamuotoista yritettä y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x Varsinkin yleisen 2. kertaluvun differentiaaliyhtälön y + a(x)y + b(x)y = c(x) ratkaisussa tämä voi olla käytännöllinen (varsinkin fysiikassa). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

19 Kertausta Vakiokertoiminen lineaarinen homogeeninen DY Vakiokertoimisen homogeenisen DY:n a n y (n) + a n 1 y (n 1) a 2 y + a 1 y + a 0 y = 0 ratkaisuja voidaan löytää yritteellä y = e λt, jonka avulla saadaan karakteristinen yhtälö a n λ n + a n 1 λ n a 2 λ 2 + a 1 λ + a 0 = 0. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

20 Kertausta Vakiokertoiminen lineaarinen homogeeninen DY Vakiokertoimisen homogeenisen DY:n a n y (n) + a n 1 y (n 1) a 2 y + a 1 y + a 0 y = 0 ratkaisuja voidaan löytää yritteellä y = e λt, jonka avulla saadaan karakteristinen yhtälö a n λ n + a n 1 λ n a 2 λ 2 + a 1 λ + a 0 = 0. Algebran peruslauseen mukaan tällä karakteristisella yhtälöllä on ratkaisu. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

21 Kertausta Olkoon karakteristisella yhtälöllä erisuuret ratkaisut λ 1,..., λ k. Tällöin vakiokertoimisella homogeenisella DY:llä on lineaarisesti riippumattomat ratkaisut e λ 1t,..., e λ kt. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

22 Kertausta Olkoon karakteristisella yhtälöllä erisuuret ratkaisut λ 1,..., λ k. Tällöin vakiokertoimisella homogeenisella DY:llä on lineaarisesti riippumattomat ratkaisut e λ 1t,..., e λ kt. Jos karakteristisella yhtälöllä on j-kertainen juuri λ i, on vakiokertoimisella homogeenisella DY:llä lineaarisesti riippumattomat ratkaisut e λ i t, te λ i t, t 2 e λ i t,..., t j 1 e λ i t. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

23 Kertausta Olkoon karakteristisella yhtälöllä erisuuret ratkaisut λ 1,..., λ k. Tällöin vakiokertoimisella homogeenisella DY:llä on lineaarisesti riippumattomat ratkaisut e λ 1t,..., e λ kt. Jos karakteristisella yhtälöllä on j-kertainen juuri λ i, on vakiokertoimisella homogeenisella DY:llä lineaarisesti riippumattomat ratkaisut e λ i t, te λ i t, t 2 e λ i t,..., t j 1 e λ i t. Jos reaalikertoimisella karakteristisella polynomilla on kompleksinen juuri λ, on tämän liittoluku λ myös ratkaisu. Merkitään λ = α + iβ (λ = α iβ). Tällöin ratkaisut e λt ja e λt voidaan korvata reaalisilla ratkaisuilla e αt cos(βt) ja e αt sin(βt). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

24 DY-ryhmät Lineaarinen, vakiokertoiminen DY-ryhmä x 1 = a 11 x a 1n x n + f 1 (t) x 2 = a 21 x a 2x x n + f 2 (t). x n = a n1 x a nn x n + f n (t) Abstrakti muoto: x = Ax + f, missä x = (x 1,..., x n ) ja f = (f 1,..., f n ) sekä x i :t ja f i :t t:n funktioita. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

25 DY-ryhmät Lineaarinen, vakiokertoiminen DY-ryhmä x 1 = a 11 x a 1n x n + f 1 (t) x 2 = a 21 x a 2x x n + f 2 (t). x n = a n1 x a nn x n + f n (t) Abstrakti muoto: x = Ax + f, missä x = (x 1,..., x n ) ja f = (f 1,..., f n ) sekä x i :t ja f i :t t:n funktioita. Lause Lineaarisen, vakiokertoimisen DY-ryhmän yleinen ratkaisu on muotoa x = c 1 y c n y n + y 0, missä y 1,..., y n ovat homogeenisen ryhmän ratkaisut ja y 0 jokin ryhmän yksittäisratkaisu. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

26 DY-ryhmät Lause Olkoon x = Ax homogeeninen DY-ryhmä. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

27 DY-ryhmät Lause Olkoon x = Ax homogeeninen DY-ryhmä. Jos λ on matriisin A ominaisarvo ja v tähän liittyvä ominaisvektori, niin y = e λt v on homogeenisen DY-ryhmän ratkaisu. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

28 DY-ryhmät Lause Olkoon x = Ax homogeeninen DY-ryhmä. Jos λ on matriisin A ominaisarvo ja v tähän liittyvä ominaisvektori, niin y = e λt v on homogeenisen DY-ryhmän ratkaisu. Esimerkki 117 DY-pari { y + 4y + 4z = 0 z + 2y + 6z = 0 voidaan kirjoittaa muodossa ( ) ( y 4 4 z = 2 6 ) ( y z ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

29 DY-ryhmät Esimerkki 117 (esimerkki 97) ( ) ( y 4 4 z = 2 6 ) ( y z ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

30 DY-ryhmät Esimerkki 117 (esimerkki 97) ( ) ( y 4 4 z = 2 6 ) ( y z Matriisin ominaisarvot ovat 8 ja 2, sekä näitä vastaavat ominaisvektorit (1, 1) ja ( 2, 1). ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

31 DY-ryhmät Esimerkki 117 (esimerkki 97) ( ) ( y 4 4 z = 2 6 ) ( y z Matriisin ominaisarvot ovat 8 ja 2, sekä näitä vastaavat ominaisvektorit (1, 1) ja ( 2, 1). Yleinen ratkaisu on siis ( y z ) ( = C 1 e 8t 1 1 ) ) + C 2 e 2t ( 2 1 ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

32 DY-ryhmät Esimerkki 117 (esimerkki 97) ( ) ( y 4 4 z = 2 6 ) ( y z Matriisin ominaisarvot ovat 8 ja 2, sekä näitä vastaavat ominaisvektorit (1, 1) ja ( 2, 1). Yleinen ratkaisu on siis ( y z ) ( = C 1 e 8t 1 1 ) ) + C 2 e 2t ( 2 1 Esimerkki Ratkaistaan edelleen DY-pari { y + 4y + 4z + 4 = 0 z + 2y + 6z 2 = 0 ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

33 DY-ryhmät Derivaattaoperaattori Merkitään D = d dx, jolloin y = Dy, y = D 2 y, y = D 3 y ja yleisesti y (n) = D n y. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

34 DY-ryhmät Derivaattaoperaattori Merkitään D = d dx, jolloin y = Dy, y = D 2 y, y = D 3 y ja yleisesti y (n) = D n y. Esimerkki (D + 1)(3D 2)y = M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

35 DY-ryhmät Derivaattaoperaattori Merkitään D = d dx, jolloin y = Dy, y = D 2 y, y = D 3 y ja yleisesti y (n) = D n y. Esimerkki (D + 1)(3D 2)y = (3D 2 + D 2)y = 3y + y 2y M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

36 DY-ryhmät Esimerkki 119 DY-pari { x = 3x 2y +t y = 2x 2y +3e t voidaan kirjoittaa muotoon { (D 3)x +2y = t 2x +(D + 2)y = 3e t M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

37 DY-ryhmät Esimerkki 119 DY-pari { x = 3x 2y +t y = 2x 2y +3e t voidaan kirjoittaa muotoon { (D 3)x +2y = t 2x +(D + 2)y = 3e t Kertomalla ylempi luvulla 2 ja alempi operaattorilla D 3 saadaan { 2(D 3)x +4y = 2t (D 3)( 2x) +(D 3)(D + 2)y = (D 3)3e t, M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

38 DY-ryhmät Esimerkki 119 DY-pari { x = 3x 2y +t y = 2x 2y +3e t voidaan kirjoittaa muotoon { (D 3)x +2y = t 2x +(D + 2)y = 3e t Kertomalla ylempi luvulla 2 ja alempi operaattorilla D 3 saadaan { 2(D 3)x +4y = 2t (D 3)( 2x) +(D 3)(D + 2)y = (D 3)3e t, josta (D 2 D 2)y = 2t 6e t. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

39 DY-ryhmät Esimerkki 119 Operaattoriyhtälö (D 2 D 2)y = 2t 6e t tarkoittaa tavallista yhtälöä y y 2y = 2t 6e t, M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

40 DY-ryhmät Esimerkki 119 Operaattoriyhtälö (D 2 D 2)y = 2t 6e t tarkoittaa tavallista yhtälöä y y 2y = 2t 6e t, jonka yksittäisratkaisu voidaan löytää Laplace-muunnoksilla: y = 1 2 t + 3et M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

41 DY-ryhmät Esimerkki 119 Operaattoriyhtälö (D 2 D 2)y = 2t 6e t tarkoittaa tavallista yhtälöä y y 2y = 2t 6e t, jonka yksittäisratkaisu voidaan löytää Laplace-muunnoksilla: y = 1 2 t + 3et Edelleen saadaan yhtälöstä 2x + (D + 2)y = 3e t x = 1 2 ((D + 2)y 3et ), M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

42 DY-ryhmät Esimerkki 119 Operaattoriyhtälö (D 2 D 2)y = 2t 6e t tarkoittaa tavallista yhtälöä y y 2y = 2t 6e t, jonka yksittäisratkaisu voidaan löytää Laplace-muunnoksilla: y = 1 2 t + 3et Edelleen saadaan yhtälöstä 2x + (D + 2)y = 3e t x = 1 2 ((D + 2)y 3et ), josta sijoittamalla saadaan x = 3 2 (et 1). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

43 Autonomiset DY-parit Määritelmä DY-pari { x (t) = f 1 (x, y) y (t) = f 2 (x, y) on autonominen, jos muuttuja t ei esiinny oikean puolen termeissä. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

44 Autonomiset DY-parit Määritelmä DY-pari { x (t) = f 1 (x, y) y (t) = f 2 (x, y) on autonominen, jos muuttuja t ei esiinny oikean puolen termeissä. Ratakäyrät Autonomiselle parille on voimassa dy dy dx = dt dx dt = y (t) x (t) = f 1(x, y) f 2 (x, y) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

45 Autonomiset DY-parit Määritelmä DY-pari { x (t) = f 1 (x, y) y (t) = f 2 (x, y) on autonominen, jos muuttuja t ei esiinny oikean puolen termeissä. Ratakäyrät Autonomiselle parille on voimassa dy dy dx = dt dx dt = y (t) x (t) = f 1(x, y) f 2 (x, y) Tämän differentiaaliyhtälön ratkaisuja sanotaan ratakäyriksi. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

46 Ratakäyrät Esimerkki DY-pari { x (t) = x y y (t) = x + y on autonominen. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

47 Ratakäyrät Esimerkki DY-pari { x (t) = x y y (t) = x + y on autonominen. Ratakäyrien DY on dy dx = x + y x y = 1 + y x 1 y. x M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

48 Ratakäyrät Esimerkki DY-pari { x (t) = x y y (t) = x + y on autonominen. Ratakäyrien DY on dy dx = x + y x y = 1 + y x 1 y. x Voidaan ratkaista sijoituksella z = y/x. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

49 DY-parit Lotka-Volterra -malli Alfred J. Lotka ( ) Vito Volterra ( ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

50 Lotka-Volterra -malli Mallin DY-pari Saaliseläinten kantaa merkitään x:llä ja petoeläinten y:llä. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

51 Lotka-Volterra -malli Mallin DY-pari Saaliseläinten kantaa merkitään x:llä ja petoeläinten y:llä. { x (t) = αx βxy y (t) = γy + δxy M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

52 Lotka-Volterra -malli Mallin DY-pari Saaliseläinten kantaa merkitään x:llä ja petoeläinten y:llä. { x (t) = αx βxy y (t) = γy + δxy Tasapainopisteet: (0, 0) ja ( γ δ, α β ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

53 Lotka-Volterra -malli Mallin DY-pari Saaliseläinten kantaa merkitään x:llä ja petoeläinten y:llä. { x (t) = αx βxy y (t) = γy + δxy Tasapainopisteet: (0, 0) ja ( γ δ, α β ) Ratakäyrien DY dy dx = y x δx γ α βy = y α βy δx γ x M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

54 Lotka-Volterra -malli Mallin DY-pari Saaliseläinten kantaa merkitään x:llä ja petoeläinten y:llä. { x (t) = αx βxy y (t) = γy + δxy Tasapainopisteet: (0, 0) ja ( γ δ, α β ) Ratakäyrien DY dy dx = y δx γ x α βy = y α βy δx γ x α ln y βy = δx γ ln x + C M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

55 Lotka-Volterra -malli Mallin DY-pari Saaliseläinten kantaa merkitään x:llä ja petoeläinten y:llä. { x (t) = αx βxy y (t) = γy + δxy Tasapainopisteet: (0, 0) ja ( γ δ, α β ) Ratakäyrien DY dy dx = y δx γ x α βy = y α βy δx γ x α ln y βy = δx γ ln x + C Ratkaisut syklisiä: On olemassa T, jolle (x(t ), y(t )) = (x(0), y(0)). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

56 Lotka-Volterra -malli Populaation keskiarvo { x (t) = αx βxy y (t) = γy + δxy M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

57 Lotka-Volterra -malli Populaation keskiarvo { x (t) = αx βxy y (t) = γy + δxy Ylemmästä yhtälöstä saadaan x (t) x(t) = α βy, M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

58 Lotka-Volterra -malli Populaation keskiarvo { x (t) = αx βxy y (t) = γy + δxy Ylemmästä yhtälöstä saadaan josta 0 = ln x(t ) T x(0) = 0 x x dt = x (t) x(t) = α βy, T 0 T (α βy) dt = αt β y dt, 0 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

59 Lotka-Volterra -malli Populaation keskiarvo { x (t) = αx βxy y (t) = γy + δxy Ylemmästä yhtälöstä saadaan josta 0 = ln x(t ) T x(0) = 0 x x dt = x (t) x(t) = α βy, T joten populaation y keskiarvo jakson T aikana on 0 T (α βy) dt = αt β y dt, 0 E(y) = 1 T T 0 y dt = α β. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

60 Lotka-Volterra -malli Populaation keskiarvot E(x) = γ δ E(y) = α β M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

61 Lotka-Volterra -malli Populaation keskiarvot E(x) = γ δ E(y) = α β DY-pari + ulkopuolinen toimija { x (t) = αx βxy ex y (t) = γy + δxy ey M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

62 Lotka-Volterra -malli Populaation keskiarvot E(x) = γ δ E(y) = α β DY-pari + ulkopuolinen toimija { x (t) = αx βxy ex y (t) = γy + δxy ey Uudet keskiarvot { E(x) = γ+e δ E(y) = α e β M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24