Insinöörimatematiikka D

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Insinöörimatematiikka D"

Transkriptio

1 Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 12 1 of 24

2 Kertausta Eksakti DY Differentiaaliyhtälö on eksakti, jos f y = g x f (x, y) + g(x, y)y = 0 (ja f ja g ovat riittävän säännöllisiä). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 12 2 of 24

3 Kertausta Ratkaisu käytännössä Eksaktin differentiaaliyhtälön f (x, y) + g(x, y)y = 0 ratkaisun askeleet: Etsitään funktiot c 0 (y) ja c 1 (x), joilla yhtälö f (x, y)dx + c0 (y) = g(x, y)dy + c 1 (x) toteutuu. Valitaan F (x, y) = f (x, y)dx + c 0 (y). Todetaan: F F x = f (x, y) ja y = g(x, y), jolloin f (x, y) + g(x, y)y = 0 d dx F (x, y) = 0. Ratkaisu: F (x, y) = C. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 12 3 of 24

4 Kertausta Huomautus Jos yhtälö f (x, y) + g(x, y)y = 0 ei ole eksakti, on toisinaan mahdollista löytää funktio µ(x, y) (ns. integroiva tekijä), jolla kerrottuna yhtälö on eksakti. f (x, y)µ(x, y) + g(x, y)µ(x, y)y = 0 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 12 4 of 24

5 Kertausta Sijoitus y/x Jos DY on muotoa y = f (y/x), niin sijoituksella z = y/x se muuttuu separoituvaksi. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 12 5 of 24

6 Kertausta Sijoitus y/x Jos DY on muotoa y = f (y/x), niin sijoituksella z = y/x se muuttuu separoituvaksi. Sijoitus ax + by Jos DY on muotoa y = f (ax + by), niin sijoituksella z = ax + by se muuttuu separoituvaksi. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 12 5 of 24

7 Kertausta Sijoitus y/x Jos DY on muotoa y = f (y/x), niin sijoituksella z = y/x se muuttuu separoituvaksi. Sijoitus ax + by Jos DY on muotoa y = f (ax + by), niin sijoituksella z = ax + by se muuttuu separoituvaksi. Esimerkki 109 Ratkaistaan DY y = x 2 + 2xy + y 2. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 12 5 of 24

8 Sekalaisia menetelmiä Bernoullin DY Bernoullin DY (a 1) y + p(x)y = q(x)y a muuttuu lineaariseksi sijoituksella z = y 1 a. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 12 6 of 24

9 Sekalaisia menetelmiä Bernoullin DY Bernoullin DY (a 1) y + p(x)y = q(x)y a muuttuu lineaariseksi sijoituksella z = y 1 a. Esimerkki Ratkaistaan DY y 5y = 5 2 xy 3. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 12 6 of 24

10 Sekalaisia menetelmiä Eulerin DY Eulerin DY on muotoa missä p ja q ovat vakioita. x 2 y + pxy + qy = f (x), M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 12 7 of 24

11 Sekalaisia menetelmiä Eulerin DY Eulerin DY on muotoa x 2 y + pxy + qy = f (x), missä p ja q ovat vakioita. Tehdään DY:hyn sijoitus t = ln x ja y 1 (t) = y(e t ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 12 7 of 24

12 Sekalaisia menetelmiä Eulerin DY Eulerin DY on muotoa x 2 y + pxy + qy = f (x), missä p ja q ovat vakioita. Tehdään DY:hyn sijoitus t = ln x ja y 1 (t) = y(e t ). Tällöin DY saadaan muotoon y 1 (t) + (p 1)y 1(t) + qy 1 (t) = f (e t ), joka on lineaarinen vakiokertoiminen DY (ja jonka osaamme aiemman perusteella ratkaista). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 12 7 of 24

13 Sekalaisia menetelmiä Eulerin DY Eulerin DY on muotoa x 2 y + pxy + qy = f (x), missä p ja q ovat vakioita. Tehdään DY:hyn sijoitus t = ln x ja y 1 (t) = y(e t ). Tällöin DY saadaan muotoon y 1 (t) + (p 1)y 1(t) + qy 1 (t) = f (e t ), joka on lineaarinen vakiokertoiminen DY (ja jonka osaamme aiemman perusteella ratkaista). Esimerkki Ratkaistaan DY x 2 y 7xy + 15y = 0. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 12 7 of 24

14 Sekalaisia menetelmiä Käänteisfunktio Toisinaan DY on helpompi ratkaista siirtymällä käänteisfunktioon, jolloin funktion y(x) sijasta ratkaistaan funktio x(y). Tällöin pitää muistaa, että x (y) = 1 y (x). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 12 8 of 24

15 Sekalaisia menetelmiä Käänteisfunktio Toisinaan DY on helpompi ratkaista siirtymällä käänteisfunktioon, jolloin funktion y(x) sijasta ratkaistaan funktio x(y). Tällöin pitää muistaa, että x (y) = 1 y (x). Esimerkin 98 variaatio Ratkaistaan DY y = y 2. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 12 8 of 24

16 Sekalaisia menetelmiä Käänteisfunktio Toisinaan DY on helpompi ratkaista siirtymällä käänteisfunktioon, jolloin funktion y(x) sijasta ratkaistaan funktio x(y). Tällöin pitää muistaa, että x (y) = 1 y (x). Esimerkin 98 variaatio Ratkaistaan DY y = y 2. Huomautus Esimerkin 107 differentiaaliyhtälö (x + y 2 )y y = 0 muuttuisi käänteisfunktiota käyttämällä 1. kertaluvun lineaariseksi differentiaaliyhtälöksi x 1 y x = y 2 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 12 8 of 24

17 Sekalaisia menetelmiä Yhtälö y = f (y) Toisen kertaluvun DY y = f (y) saadaan kertomalla ensin puolittain tekijällä 2y muotoon 2y y = 2y f (y), josta puolittain integroimalla saadaan (y ) 2 ) = 2 f (y)dy + C ja edelleen y = 2 f (y)dy + C. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 12 9 of 24

18 Sekalaisia menetelmiä Sarjaratkaisut Joissain tapauksissa voidaan käyttää myös sarjamuotoista yritettä y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x Varsinkin yleisen 2. kertaluvun differentiaaliyhtälön y + a(x)y + b(x)y = c(x) ratkaisussa tämä voi olla käytännöllinen (varsinkin fysiikassa). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

19 Kertausta Vakiokertoiminen lineaarinen homogeeninen DY Vakiokertoimisen homogeenisen DY:n a n y (n) + a n 1 y (n 1) a 2 y + a 1 y + a 0 y = 0 ratkaisuja voidaan löytää yritteellä y = e λt, jonka avulla saadaan karakteristinen yhtälö a n λ n + a n 1 λ n a 2 λ 2 + a 1 λ + a 0 = 0. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

20 Kertausta Vakiokertoiminen lineaarinen homogeeninen DY Vakiokertoimisen homogeenisen DY:n a n y (n) + a n 1 y (n 1) a 2 y + a 1 y + a 0 y = 0 ratkaisuja voidaan löytää yritteellä y = e λt, jonka avulla saadaan karakteristinen yhtälö a n λ n + a n 1 λ n a 2 λ 2 + a 1 λ + a 0 = 0. Algebran peruslauseen mukaan tällä karakteristisella yhtälöllä on ratkaisu. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

21 Kertausta Olkoon karakteristisella yhtälöllä erisuuret ratkaisut λ 1,..., λ k. Tällöin vakiokertoimisella homogeenisella DY:llä on lineaarisesti riippumattomat ratkaisut e λ 1t,..., e λ kt. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

22 Kertausta Olkoon karakteristisella yhtälöllä erisuuret ratkaisut λ 1,..., λ k. Tällöin vakiokertoimisella homogeenisella DY:llä on lineaarisesti riippumattomat ratkaisut e λ 1t,..., e λ kt. Jos karakteristisella yhtälöllä on j-kertainen juuri λ i, on vakiokertoimisella homogeenisella DY:llä lineaarisesti riippumattomat ratkaisut e λ i t, te λ i t, t 2 e λ i t,..., t j 1 e λ i t. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

23 Kertausta Olkoon karakteristisella yhtälöllä erisuuret ratkaisut λ 1,..., λ k. Tällöin vakiokertoimisella homogeenisella DY:llä on lineaarisesti riippumattomat ratkaisut e λ 1t,..., e λ kt. Jos karakteristisella yhtälöllä on j-kertainen juuri λ i, on vakiokertoimisella homogeenisella DY:llä lineaarisesti riippumattomat ratkaisut e λ i t, te λ i t, t 2 e λ i t,..., t j 1 e λ i t. Jos reaalikertoimisella karakteristisella polynomilla on kompleksinen juuri λ, on tämän liittoluku λ myös ratkaisu. Merkitään λ = α + iβ (λ = α iβ). Tällöin ratkaisut e λt ja e λt voidaan korvata reaalisilla ratkaisuilla e αt cos(βt) ja e αt sin(βt). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

24 DY-ryhmät Lineaarinen, vakiokertoiminen DY-ryhmä x 1 = a 11 x a 1n x n + f 1 (t) x 2 = a 21 x a 2x x n + f 2 (t). x n = a n1 x a nn x n + f n (t) Abstrakti muoto: x = Ax + f, missä x = (x 1,..., x n ) ja f = (f 1,..., f n ) sekä x i :t ja f i :t t:n funktioita. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

25 DY-ryhmät Lineaarinen, vakiokertoiminen DY-ryhmä x 1 = a 11 x a 1n x n + f 1 (t) x 2 = a 21 x a 2x x n + f 2 (t). x n = a n1 x a nn x n + f n (t) Abstrakti muoto: x = Ax + f, missä x = (x 1,..., x n ) ja f = (f 1,..., f n ) sekä x i :t ja f i :t t:n funktioita. Lause Lineaarisen, vakiokertoimisen DY-ryhmän yleinen ratkaisu on muotoa x = c 1 y c n y n + y 0, missä y 1,..., y n ovat homogeenisen ryhmän ratkaisut ja y 0 jokin ryhmän yksittäisratkaisu. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

26 DY-ryhmät Lause Olkoon x = Ax homogeeninen DY-ryhmä. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

27 DY-ryhmät Lause Olkoon x = Ax homogeeninen DY-ryhmä. Jos λ on matriisin A ominaisarvo ja v tähän liittyvä ominaisvektori, niin y = e λt v on homogeenisen DY-ryhmän ratkaisu. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

28 DY-ryhmät Lause Olkoon x = Ax homogeeninen DY-ryhmä. Jos λ on matriisin A ominaisarvo ja v tähän liittyvä ominaisvektori, niin y = e λt v on homogeenisen DY-ryhmän ratkaisu. Esimerkki 117 DY-pari { y + 4y + 4z = 0 z + 2y + 6z = 0 voidaan kirjoittaa muodossa ( ) ( y 4 4 z = 2 6 ) ( y z ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

29 DY-ryhmät Esimerkki 117 (esimerkki 97) ( ) ( y 4 4 z = 2 6 ) ( y z ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

30 DY-ryhmät Esimerkki 117 (esimerkki 97) ( ) ( y 4 4 z = 2 6 ) ( y z Matriisin ominaisarvot ovat 8 ja 2, sekä näitä vastaavat ominaisvektorit (1, 1) ja ( 2, 1). ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

31 DY-ryhmät Esimerkki 117 (esimerkki 97) ( ) ( y 4 4 z = 2 6 ) ( y z Matriisin ominaisarvot ovat 8 ja 2, sekä näitä vastaavat ominaisvektorit (1, 1) ja ( 2, 1). Yleinen ratkaisu on siis ( y z ) ( = C 1 e 8t 1 1 ) ) + C 2 e 2t ( 2 1 ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

32 DY-ryhmät Esimerkki 117 (esimerkki 97) ( ) ( y 4 4 z = 2 6 ) ( y z Matriisin ominaisarvot ovat 8 ja 2, sekä näitä vastaavat ominaisvektorit (1, 1) ja ( 2, 1). Yleinen ratkaisu on siis ( y z ) ( = C 1 e 8t 1 1 ) ) + C 2 e 2t ( 2 1 Esimerkki Ratkaistaan edelleen DY-pari { y + 4y + 4z + 4 = 0 z + 2y + 6z 2 = 0 ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

33 DY-ryhmät Derivaattaoperaattori Merkitään D = d dx, jolloin y = Dy, y = D 2 y, y = D 3 y ja yleisesti y (n) = D n y. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

34 DY-ryhmät Derivaattaoperaattori Merkitään D = d dx, jolloin y = Dy, y = D 2 y, y = D 3 y ja yleisesti y (n) = D n y. Esimerkki (D + 1)(3D 2)y = M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

35 DY-ryhmät Derivaattaoperaattori Merkitään D = d dx, jolloin y = Dy, y = D 2 y, y = D 3 y ja yleisesti y (n) = D n y. Esimerkki (D + 1)(3D 2)y = (3D 2 + D 2)y = 3y + y 2y M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

36 DY-ryhmät Esimerkki 119 DY-pari { x = 3x 2y +t y = 2x 2y +3e t voidaan kirjoittaa muotoon { (D 3)x +2y = t 2x +(D + 2)y = 3e t M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

37 DY-ryhmät Esimerkki 119 DY-pari { x = 3x 2y +t y = 2x 2y +3e t voidaan kirjoittaa muotoon { (D 3)x +2y = t 2x +(D + 2)y = 3e t Kertomalla ylempi luvulla 2 ja alempi operaattorilla D 3 saadaan { 2(D 3)x +4y = 2t (D 3)( 2x) +(D 3)(D + 2)y = (D 3)3e t, M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

38 DY-ryhmät Esimerkki 119 DY-pari { x = 3x 2y +t y = 2x 2y +3e t voidaan kirjoittaa muotoon { (D 3)x +2y = t 2x +(D + 2)y = 3e t Kertomalla ylempi luvulla 2 ja alempi operaattorilla D 3 saadaan { 2(D 3)x +4y = 2t (D 3)( 2x) +(D 3)(D + 2)y = (D 3)3e t, josta (D 2 D 2)y = 2t 6e t. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

39 DY-ryhmät Esimerkki 119 Operaattoriyhtälö (D 2 D 2)y = 2t 6e t tarkoittaa tavallista yhtälöä y y 2y = 2t 6e t, M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

40 DY-ryhmät Esimerkki 119 Operaattoriyhtälö (D 2 D 2)y = 2t 6e t tarkoittaa tavallista yhtälöä y y 2y = 2t 6e t, jonka yksittäisratkaisu voidaan löytää Laplace-muunnoksilla: y = 1 2 t + 3et M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

41 DY-ryhmät Esimerkki 119 Operaattoriyhtälö (D 2 D 2)y = 2t 6e t tarkoittaa tavallista yhtälöä y y 2y = 2t 6e t, jonka yksittäisratkaisu voidaan löytää Laplace-muunnoksilla: y = 1 2 t + 3et Edelleen saadaan yhtälöstä 2x + (D + 2)y = 3e t x = 1 2 ((D + 2)y 3et ), M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

42 DY-ryhmät Esimerkki 119 Operaattoriyhtälö (D 2 D 2)y = 2t 6e t tarkoittaa tavallista yhtälöä y y 2y = 2t 6e t, jonka yksittäisratkaisu voidaan löytää Laplace-muunnoksilla: y = 1 2 t + 3et Edelleen saadaan yhtälöstä 2x + (D + 2)y = 3e t x = 1 2 ((D + 2)y 3et ), josta sijoittamalla saadaan x = 3 2 (et 1). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

43 Autonomiset DY-parit Määritelmä DY-pari { x (t) = f 1 (x, y) y (t) = f 2 (x, y) on autonominen, jos muuttuja t ei esiinny oikean puolen termeissä. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

44 Autonomiset DY-parit Määritelmä DY-pari { x (t) = f 1 (x, y) y (t) = f 2 (x, y) on autonominen, jos muuttuja t ei esiinny oikean puolen termeissä. Ratakäyrät Autonomiselle parille on voimassa dy dy dx = dt dx dt = y (t) x (t) = f 1(x, y) f 2 (x, y) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

45 Autonomiset DY-parit Määritelmä DY-pari { x (t) = f 1 (x, y) y (t) = f 2 (x, y) on autonominen, jos muuttuja t ei esiinny oikean puolen termeissä. Ratakäyrät Autonomiselle parille on voimassa dy dy dx = dt dx dt = y (t) x (t) = f 1(x, y) f 2 (x, y) Tämän differentiaaliyhtälön ratkaisuja sanotaan ratakäyriksi. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

46 Ratakäyrät Esimerkki DY-pari { x (t) = x y y (t) = x + y on autonominen. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

47 Ratakäyrät Esimerkki DY-pari { x (t) = x y y (t) = x + y on autonominen. Ratakäyrien DY on dy dx = x + y x y = 1 + y x 1 y. x M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

48 Ratakäyrät Esimerkki DY-pari { x (t) = x y y (t) = x + y on autonominen. Ratakäyrien DY on dy dx = x + y x y = 1 + y x 1 y. x Voidaan ratkaista sijoituksella z = y/x. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

49 DY-parit Lotka-Volterra -malli Alfred J. Lotka ( ) Vito Volterra ( ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

50 Lotka-Volterra -malli Mallin DY-pari Saaliseläinten kantaa merkitään x:llä ja petoeläinten y:llä. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

51 Lotka-Volterra -malli Mallin DY-pari Saaliseläinten kantaa merkitään x:llä ja petoeläinten y:llä. { x (t) = αx βxy y (t) = γy + δxy M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

52 Lotka-Volterra -malli Mallin DY-pari Saaliseläinten kantaa merkitään x:llä ja petoeläinten y:llä. { x (t) = αx βxy y (t) = γy + δxy Tasapainopisteet: (0, 0) ja ( γ δ, α β ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

53 Lotka-Volterra -malli Mallin DY-pari Saaliseläinten kantaa merkitään x:llä ja petoeläinten y:llä. { x (t) = αx βxy y (t) = γy + δxy Tasapainopisteet: (0, 0) ja ( γ δ, α β ) Ratakäyrien DY dy dx = y x δx γ α βy = y α βy δx γ x M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

54 Lotka-Volterra -malli Mallin DY-pari Saaliseläinten kantaa merkitään x:llä ja petoeläinten y:llä. { x (t) = αx βxy y (t) = γy + δxy Tasapainopisteet: (0, 0) ja ( γ δ, α β ) Ratakäyrien DY dy dx = y δx γ x α βy = y α βy δx γ x α ln y βy = δx γ ln x + C M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

55 Lotka-Volterra -malli Mallin DY-pari Saaliseläinten kantaa merkitään x:llä ja petoeläinten y:llä. { x (t) = αx βxy y (t) = γy + δxy Tasapainopisteet: (0, 0) ja ( γ δ, α β ) Ratakäyrien DY dy dx = y δx γ x α βy = y α βy δx γ x α ln y βy = δx γ ln x + C Ratkaisut syklisiä: On olemassa T, jolle (x(t ), y(t )) = (x(0), y(0)). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

56 Lotka-Volterra -malli Populaation keskiarvo { x (t) = αx βxy y (t) = γy + δxy M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

57 Lotka-Volterra -malli Populaation keskiarvo { x (t) = αx βxy y (t) = γy + δxy Ylemmästä yhtälöstä saadaan x (t) x(t) = α βy, M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

58 Lotka-Volterra -malli Populaation keskiarvo { x (t) = αx βxy y (t) = γy + δxy Ylemmästä yhtälöstä saadaan josta 0 = ln x(t ) T x(0) = 0 x x dt = x (t) x(t) = α βy, T 0 T (α βy) dt = αt β y dt, 0 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

59 Lotka-Volterra -malli Populaation keskiarvo { x (t) = αx βxy y (t) = γy + δxy Ylemmästä yhtälöstä saadaan josta 0 = ln x(t ) T x(0) = 0 x x dt = x (t) x(t) = α βy, T joten populaation y keskiarvo jakson T aikana on 0 T (α βy) dt = αt β y dt, 0 E(y) = 1 T T 0 y dt = α β. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

60 Lotka-Volterra -malli Populaation keskiarvot E(x) = γ δ E(y) = α β M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

61 Lotka-Volterra -malli Populaation keskiarvot E(x) = γ δ E(y) = α β DY-pari + ulkopuolinen toimija { x (t) = αx βxy ex y (t) = γy + δxy ey M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

62 Lotka-Volterra -malli Populaation keskiarvot E(x) = γ δ E(y) = α β DY-pari + ulkopuolinen toimija { x (t) = αx βxy ex y (t) = γy + δxy ey Uudet keskiarvot { E(x) = γ+e δ E(y) = α e β M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 24

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto 2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 17. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 406 6 laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Ratkaistaan differentiaaliyhtälö y = y () Tässä = d dy eli kyseessä on lineaarinen kertaluvun differentiaaliyhtälö: Yhtälön () homogenisoidulle

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 5.4.06 5. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut. Etsitään homogeenisen vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön kaikki ratkaisut (reaalisessa muodossa). y (5) +4y (4)

Lisätiedot

3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T

3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T 3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T Huomautus epälineaarisista. kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Epälineaarisen DY:n ratkaisemiseen ei ole yleismenetelmää. Seuraavat erikoistapaukset voidaan ratkaista

Lisätiedot

a 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0

a 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0 6. Lineaariset toisen kertaluvun yhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt ovat tuntuvasti hankalampia ratkaista kuin ensimmäinen. Käsittelemmekin tässä vain tärkeintä erikoistapausta, toisen kertaluvun

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 14. helmikuuta 2011 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun olemassaolosta ja yksikäsitteisyydestä...........

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt

4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt c Pekka Alestalo 2015 Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin differentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Luennolla lasketaan esimerkkitehtäviä

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................

Lisätiedot

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =

Lisätiedot

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien

Lisätiedot

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon Jos r(x)

Lisätiedot

1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt

1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt Teknillinen korkeakoulu Matematiikka Dierentiaaliyhtälöt Alestalo Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin dierentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Esimerkkejä luennoilla

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.

2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2. 2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x

Lisätiedot

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / 16. 18.5. Lineaariset differentiaaliyhtälöt, homogeeniset differentiaaliyhtälöt Tehtävä 1: a) Määritä differentiaaliyhtälön y 3y = 14e 4x

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt

Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöksi (lyh. DY) sanotaan yhtälöä, jossa on tuntemattomana jokin funktio y(x) ja jossa esiintyy sen derivaattoja y, y, y, y (4),... Esimerkiksi y + y = x, y y + y

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö

Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Toisen kertaluvun täydellinen lineaarinen yhtälö muotoa p 2 (x)y + p 1 (x)y

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt. osa 2 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen

Lisätiedot

2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.

2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre. 2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.

Lisätiedot

Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva).

Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). 6 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖISTÄ Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). Newtonin II:n lain (ma missä Yhtälö dh dt m dh dt F) mukaan mg, on kiihtyvyys ja

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, syksy 2016 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus, viikko 49 R1 to 12 14 F453 (8.12.) R2 to 14 16 F345 (8.12.) R3 ke 8 10 F345 (7.11.) 1. Määritä funktion f (x) = 1 Taylorin sarja

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Homogeeninen yhtälö on muotoa F(x, y,, y (n) ) = 0. (1) Yhtälö on lineaarinen, jos se voidaan

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö

Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö x 2 y xy =1/x. 1 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 1/20 20 Esimerkki 2 Ratkaise differentiaaliyhtälö x(ln y)y y ln x =0. 2 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi

Lisätiedot

Osoita, että eksponenttifunktio ja logaritmifunktio ovat differentiaaliyhtälön

Osoita, että eksponenttifunktio ja logaritmifunktio ovat differentiaaliyhtälön 3. Lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1. Lineaariyhtälöiden teoriaa 99. Onko differentiaaliyhtälö y + x(y y )=y + 1 a) lineaarinen, b) homogeeninen? 100. Olkoot funktiot f (x) ja g(x) jatkuvasti derivoituvia

Lisätiedot

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Lisätiedot

Mat Matematiikan peruskurssi K2

Mat Matematiikan peruskurssi K2 Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,

Lisätiedot

10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 37. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaalihtälöt Tarkastelemme muotoa () ( x) + a( x) ( x) + a( x) ( x) = b( x) olevia htälöitä, missä kerroinfunktiot ja oikea puoli ovat välillä I jatkuvia. Edellisen

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1

Lisätiedot

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 13: ti klo 13:00-15:30 ja to 1.4.

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 13: ti klo 13:00-15:30 ja to 1.4. DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 3: ti 33 klo 3:-5:3 ja to 4 klo 9:5-: Käydään läpi differentiaaliyhtälöitä Määritelmä Olkoon A R n n (MatLab:ssa

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt I Ratkaisuehdotuksia, 2. harjoitus, kevät Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut (Tässä = d

Differentiaaliyhtälöt I Ratkaisuehdotuksia, 2. harjoitus, kevät Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut (Tässä = d Differentiaaliyhtälöt I Ratkaisuehdotuksia,. harjoitus, kevät 016 1. Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut (Tässä = d dx ): (a) y + xy = xe x, (b) (1 + x ) y xy = (1 + x ), (c) y sin x y = 1 cos

Lisätiedot

dy dx = y x + 1 dy dx = u+xdu dx, u = y/x, u+x du dx = u+ 1 sinu eli du dx = 1 1 Erotetaan muuttujat ja integroidaan puolittain: y = xln(ln(cx 2 )).

dy dx = y x + 1 dy dx = u+xdu dx, u = y/x, u+x du dx = u+ 1 sinu eli du dx = 1 1 Erotetaan muuttujat ja integroidaan puolittain: y = xln(ln(cx 2 )). Harjoitus Tehtävä 5. d) Jakamalla annettu yhtälö puolittain xsin(y/x):llä saadaan Sijoitetaan taas jolloin saadaan dy dx = y x + 1 sin ( y). u = y/x, x dy dx = u+xdu dx, u+x du dx = u+ 1 sinu du dx = 1

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälösysteemit sekä niiden tasapainopisteiden stabiilisuus

Differentiaaliyhtälösysteemit sekä niiden tasapainopisteiden stabiilisuus TAMPEREEN YLIOPISTO Luonnontieteiden Pro gradu -tutkielma Ilkka Niemi-Nikkola Differentiaaliyhtälösysteemit sekä niiden tasapainopisteiden stabiilisuus Luonnontieteiden tiedekunta Matematiikka Tammikuu

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus 1. Ratkaise y + y + y = x. Kommentti: Yleinen työlista ratkaistaessa lineaarista, vakiokertoimista toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt

Differentiaaliyhtälöt Informaatiotieteiden yksikkö Differentiaaliyhtälöt Pentti Haukkanen Sisältö Differentiaaliyhtälön käsite 4 2 Joitakin. kertaluvun differentiaaliyhtälöitä 7 2. Separoituva yhtälö........................

Lisätiedot

Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa

Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa Normaaliryhmä Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa x = u(t,x,y), y t I, = v(t,x,y), Funktiot u = u(t,x,y), t I ja v = v(t,x,y), t I ovat tunnettuja Toisen kertaluvun normaaliryhmän ratkaisu

Lisätiedot

5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT

5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Ensimmäisen kl:n DY-ryhmät Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Useimmat voidaan mallintaa ensimmäisen kertaluvun DY-ryhmien avulla. Ensimmäisen kl:n

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Jouni Sampo. 15. huhtikuuta 2013

Jouni Sampo. 15. huhtikuuta 2013 B3 Jouni Sampo 15. huhtikuuta 2013 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Peruskäsitteitä.................................... 2 1.2 Differentiaaliyhtälöiden ratkaisuista......................... 2 2 Ensimmäisen kertaluvun

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto DY-teoriaa DY-teoriaa Käsitellään seuraavaksi

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen

Lisätiedot

Osa 11. Differen-aaliyhtälöt

Osa 11. Differen-aaliyhtälöt Osa 11. Differen-aaliyhtälöt Differen-aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk-on derivaa

Lisätiedot

2 dy dx 1. x = y2 e x2 2 1 y 2 dy = e x2 xdx. 2 y 1 1. = ex2 2 +C 2 1. y =

2 dy dx 1. x = y2 e x2 2 1 y 2 dy = e x2 xdx. 2 y 1 1. = ex2 2 +C 2 1. y = BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 2, Kevät 207 Päivityksiä: Tehtävän 4b tehtävänanto korjattu ja vastauksia lisätty.. Ratkaise y, kun 2y x = y 2 e x2. Jos y () = 0 niin mikä on ratkaisu

Lisätiedot

BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi

BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Jouni Sampo 30. maaliskuuta 2015 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Peruskäsitteitä.................................... 2 1.2 Differentiaaliyhtälöiden ratkaisuista.........................

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt I, kevät 2017 Harjoitus 3

Differentiaaliyhtälöt I, kevät 2017 Harjoitus 3 Differentiaaliyhtälöt I, kevät 07 Harjoitus 3 Heikki Korpela. helmikuuta 07 Tehtävä. Ratkaise alkuarvo-ongelmat a) y + 4y e x = 0, y0) = 4 3 b) Vastaus: xy + y = x 3, y) =.. a) Valitaan integroivaksi tekijäksi

Lisätiedot

800345A Differentiaaliyhtälöt I. Seppo Heikkilä, Martti Kumpulainen, Janne Oinas

800345A Differentiaaliyhtälöt I. Seppo Heikkilä, Martti Kumpulainen, Janne Oinas 800345A Differentiaaliyhtälöt I Seppo Heikkilä, Martti Kumpulainen, Janne Oinas 2. maaliskuuta 2009 Sisältö 1 Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt 2 1.1 Merkintöjä ja nimityksiä...........................

Lisätiedot

ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e) A =

ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e) A = Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 211 1. Olkoon A = Määrää ( 2 1 ) 3 4 1 ja B = 2 1 6 3 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A. 2. Laske seuraavat determinantit

Lisätiedot

Esimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt

Esimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt Esimerkki 4.4. Määrää matriisin 2 2 1 A = 1 3 1 2 4 3 ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt det(a λi ) = 1 + 2 λ 2 1 + 1 λ 1 λ 1 3 λ 1 = 1 3 λ 1 2 4 3 λ 2 4 3 λ 1 λ = 1 4 λ 1 = (1 λ)( 1)1+1 4 λ 1 2 6 3

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät ja B = Olkoon A = a) A + B b) AB c) BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät ja B = Olkoon A = a) A + B b) AB c) BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 28 1. Olkoon A = Määrää ( 2 1 ) 3 4 1 a) A + B b) AB BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A ja B = 2 1 6 3 1 2. Laske seuraavat determinantit

Lisätiedot

ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e)

ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e) Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 214 1. Tutki seuraavia jonoja a) (a n )=(3n 1) ( ) 2 b) (a n )= 3 n ( ) 1 c) (a n )= (n + 1)(n +2) 2. Tutki seuraavia sarjoja a) (3k 1)

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.

17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. 99 17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Differentiaaliyhtälön x'(t) = f(x(t),t), x(t) n määrittelemän systeemin sanotaan olevan autonominen, jos oikea puoli ei eksplisiittisesti riipu

Lisätiedot

1 Di erentiaaliyhtälöt

1 Di erentiaaliyhtälöt Taloustieteen mat.menetelmät syksy 2017 materiaali II-5 1 Di erentiaaliyhtälöt 1.1 Skalaariyhtälöt Määritelmä: ensimmäisen kertaluvun di erentiaaliyhtälö on muotoa _y = F (y; t) oleva yhtälö, missä _y

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa).

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa). NUMEERISET MENETELMÄT DEMOVASTAUKSET SYKSY 20.. (a) Absoluuttinen virhe: ε x x ˆx /7 0.4 /7 4/00 /700 0.004286. Suhteellinen virhe: ρ x x ˆx x /700 /7 /00 0.00 0.%. (b) Kahden desimaalin tarkkuus x ˆx

Lisätiedot

2 Johdanto Tassa esityksessa funktiot ovat - ellei muuta sanota - yhden tai useamman reaalimuuttujan reaaliarvoisia funktioita. Funktion kasitteen tas

2 Johdanto Tassa esityksessa funktiot ovat - ellei muuta sanota - yhden tai useamman reaalimuuttujan reaaliarvoisia funktioita. Funktion kasitteen tas Dierentiaaliyhtalot/217 I. Ensimmaisen kertaluvun DY I.1. Lineaarinen DY I.2. Separoituva DY I.3. Eksakti DY I.4. Muita DY:ita I.5. Ratkaisun olemassaolo II. Toisen kertaluvun lineaarinen DY II.1. Perusjarjestelma

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Matemaattiset apuneuvot II, harjoitus 2

Matemaattiset apuneuvot II, harjoitus 2 Matemaattiset apuneuvot II, harjoitus 2 K. Tuominen 9. marraskuuta 2017 Palauta ratkaisusi Moodlessa.pdf tiedostona maanantaina 13.11. kello 10:15 mennessä. Merkitse vastauspaperiin laskuharjoitusryhmäsi

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot

Lisätiedot

Harjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio,

Harjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio, Differentiaaliyhtälöt, Kesä 06 Harjoitus 3 Kaikissa tehtävissä, joissa pitää tarkastella kriittisten pisteiden stabiliteettia, jos kyseessä on satulapiste, ilmoita myös satulauraratkaisun (tai kriittisessä

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä

Lisätiedot

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (

Lisätiedot

5.2.1 Separoituva DY. 5.2 I kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

5.2.1 Separoituva DY. 5.2 I kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 5.2. I kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 125 Differentiaaliyhtälön kertaluku on yhtälössä esiintyvän korkeimman derivaatan kertaluku. (Esim. y +x 3 y = 0 on toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö ja

Lisätiedot

Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä

Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 29 Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä Todetaan ensin ilman todistuksia (tulos on syvällinen) ratkaisujen

Lisätiedot

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. 1 MAT-13450 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 2010 6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun

Lisätiedot

2v 1 = v 2, 2v 1 + 3v 2 = 4v 2.. Vastaavasti ominaisarvoa λ 2 = 4 vastaavat ominaisvektorit toteuttavat. v 2 =

2v 1 = v 2, 2v 1 + 3v 2 = 4v 2.. Vastaavasti ominaisarvoa λ 2 = 4 vastaavat ominaisvektorit toteuttavat. v 2 = TKK, Matematiikan laitos Pikkarainen/Tikanmäki Mat-1.1320 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 12, A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä 21. 25.4.2008, viikko

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt II, kevät 2017 Harjoitus 5

Differentiaaliyhtälöt II, kevät 2017 Harjoitus 5 Differentiaaliyhtälöt II, kevät 27 Harjoitus 5 Heikki Korpela 26. huhtikuuta 27 Tehtävä 2. Määrää seuraavan autonomisen systeemin kriittiset pisteet, ratakäyrät ja luonnostele systeemin aikakehitys: (t)

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen

Lisätiedot

Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13

Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13 4/3/3 Osa. Differen0aaliyhtälöt Differen0aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk0on derivaa?a. Esim: dx = x2 f x + f xy 2 2m d 2 ψ = Eψ dx 2 Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais Differen0aaliyhtälöt

Lisätiedot

(a) Järjestellään yhtälöitä siten, että vasemmalle puolelle jää vain y i ja oikealle puolelle muut

(a) Järjestellään yhtälöitä siten, että vasemmalle puolelle jää vain y i ja oikealle puolelle muut BM0A5830 Differentiaalihtälöiden peruskurssi Harjoitus 7, Kevät 07 Päivitksiä: Tehtävän b tehtävänantoa korjattu, tehtävän 5 vastaus korjattu. b tehtävänantoa sujuvoitettu. Vastauksia lisätt.. Monasti

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo

Lisätiedot

Kompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava

Kompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava Kompleksiluvun logaritmi: ln z = w z = e w Jos nyt z = re iθ = re iθ e inπ, missä n Z, niin saadaan w = ln z = ln r + iθ + inπ, n Z Logaritmi on siis äärettömän moniarvoinen funktio. Helposti nähdään että

Lisätiedot

Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaarisista differentiaaliyhtälöistä

Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaarisista differentiaaliyhtälöistä TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Riikka Sjögren Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaarisista differentiaaliyhtälöistä Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 2010 Tampereen

Lisätiedot

Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö

Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö Kevät 017 Luennot: Kerkko Luosto Muistiinpanot: Jesse Railo (013) ja Jussi Klemetti (017) 6 Kartioleikkaukset Vanhan ajan geometrian merkittävimpiä tuloksia

Lisätiedot

Epähomogeenisen yhtälön ratkaisu

Epähomogeenisen yhtälön ratkaisu Epähomogeenisen yhtälön ratkaisu Lause Olkoot a = a(x), b = b(x) ja f = f(x) jatkuvia funktioita välillä I R ja olkoot y 1 = y 1 (x) ja y 2 = y 2 (x) eräs homogeeniyhtälön y + a(x)y + b(x)y = 0 ratkaisujen

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 5. joulukuuta 2016 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujonot Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia

Lisätiedot