Paikannuksen matematiikka MAT

Transkriptio

1 TA M P E R E U N I V E R S I T Y O F T E C H N O L O G Y M a t h e m a t i c s Paikannuksen matematiikka MAT p.1/4

2 Käytännön järjestelyt Kotisivu: Luennot: Maanantaisin klo 1-14 TB4 Harjoitukset: Perjantaisin klo 1-14 TB06 Porkkanapisteet tenttiin 0-6 pistettä Tentti ( open book ): ke 19.. klo 9-1 ma 1.5. klo 9-1 xx.9.? Jatko-osa TKT-540 Paikannuksen menetelmät p./4

3 Sisältö Johdanto Matriisilaskentaa Ylimäärätty systeemi Matriisilaskenta jatkuu. p./4

4 Johdanto Olkoon ratkaise paras estimaattori ˆx. y = f(x) + ǫ, (1). p.4/4

5 Matriisilaskentaa: nolla-avaruus A:n nolla-avaruus N(A) = {x R n Ax = 0}.. p.5/4

6 Matriisilaskentaa: nolla-avaruus A:n nolla-avaruus N(A) = {x R n Ax = 0}. 0 Esim: A = 0 4 ratkaistaan Ax = [A 0] R 1 R N(A) = span 5 R R R p.5/4

7 Matriisilaskentaa: pystyriviavaruus A:n pystyriviavaruus R(A) = {y R m y = Ax;x R n }.. p.6/4

8 Matriisilaskentaa: pystyriviavaruus A:n pystyriviavaruus R(A) = {y R m y = Ax;x R n }. Esim: A = R(A) = span 5 R 1 R , 5 R R R p.6/4

9 Matriisilaskentaa: dimensiolause A R m n dim(r(a T )) = dim(r(a)) = rank(a). dim(n(a)) + rank(a) = n (Dimensiolause).. p.7/4

10 Matriisilaskentaa: dimensiolause A R m n dim(r(a T )) = dim(r(a)) = rank(a). dim(n(a)) + rank(a) = n (Dimensiolause). Esim: A = R 1 R R R R dim(n(a)) = 1, rank(a) =, 1 + = ok! 5. p.7/4

11 Matriisilaskentaa: symmetrisyys A on symmetrinen jos A T = A. p.8/4

12 Matriisilaskentaa: symmetrisyys A on symmetrinen jos A T = A Seuraus: Jos A on symmetrinen niin A on neliömatriisi.. p.8/4

13 Matriisilaskentaa: symmetrisyys A on symmetrinen jos A T = A Seuraus: Jos A on symmetrinen niin A on neliömatriisi. Esim: olkoon A neliömatriisi, tällöin matriisit A + A T ja AA T ovat symmetrisiä.. p.8/4

14 Matriisilaskentaa: ortogonaalisuus A on ortogonaalinen jos A T A = I.. p.9/4

15 Matriisilaskentaa: ortogonaalisuus A on ortogonaalinen jos A T A = I. Seuraus: Jos A R n n on ortogonaalinen niin A 1 = A T.. p.9/4

16 Matriisilaskentaa: ortogonaalisuus A on ortogonaalinen jos A T A = I. Seuraus: Jos A R n n on ortogonaalinen niin A 1 = A T. Esim: kiertomatriisi cos(θ) sin(θ) 0 sin(θ) cos(θ) on ortogonaalinen.. p.9/4

17 Matriisilaskentaa: idempotettisuus A R n n on idempotentti jos AA = A.. p.10/4

18 Matriisilaskentaa: idempotettisuus A R n n on idempotentti jos AA = A. Esim: matriisit ja A(A T A) 1 A T ovat idempotentteja.. p.10/4

19 Matriisilaskentaa: idempotettisuus A R n n on idempotentti jos AA = A. Esim: matriisit ja A(A T A) 1 A T ovat idempotentteja. Jos matriisi on symmetrinen ja idempotentti niin sitä kutsutaan projektiomatriisiksi. B = B T, B = BB (I B)y R(B) = N(B T ), y By = argmin y x = argmin y By + By x x R(B) x R(B). p.10/4

20 Ylimäärätty systeemi Yhtälöryhmän Ax = y pienimmän neliösumman ratkaisu on ˆx = argmin x y Ax = (A T A) 1 A T y, mikäli matriisin A pystyrivit ovat lineaarisesti riippumattomia eli Ax = 0 x = 0.. p.11/4

21 Ylimäärätty systeemi Yhtälöryhmän Ax = y pienimmän neliösumman ratkaisu on ˆx = argmin x y Ax = (A T A) 1 A T y, mikäli matriisin A pystyrivit ovat lineaarisesti riippumattomia eli Ax = 0 x = 0. y Ax = y By + A [ (A T A) 1 A T y x ], missä B = A(A T A) 1 A T.. p.11/4

22 Kolme etäisyys mittausta Linearisointipiste Estimaatti. p.1/4

23 Etukäteistiedon hyödyntäminen Olkoon mittaus y ja alkuarvaus x 0 annettu. Laske estimaatti ˆx, joka minimoi lausekkeen y Hx + x 0 x.. p.1/4

24 Etukäteistiedon hyödyntäminen Olkoon mittaus y ja alkuarvaus x 0 annettu. Laske estimaatti ˆx, joka minimoi lausekkeen y Hx + x 0 x. ˆx = argmin x ( y Hx + x 0 x ) ( [ ] [ ] ) y H = argmin x x x 0 I = ( H T H + I ) 1 ( H T y + x 0 ).. p.1/4

25 Tien yhtälön ratkaiseminen Autoilija ajoi suoraa tietä ja sai seuraavat kaksiulotteiset paikkaratkaisut 8 < 4 1 : 0 5, , , ja 4 9 = 5, ; Ratkaise tien yhtälö y = ax + b siten että virhe P 5 i=1 y i (ax i + b) minimoituu.. p.14/4

26 Tien yhtälön ratkaiseminen Autoilija ajoi suoraa tietä ja sai seuraavat kaksiulotteiset paikkaratkaisut 8 < 4 1 : 0 5, , , ja 4 9 = 5, ; Ratkaise tien yhtälö y = ax + b siten että virhe P 5 i=1 y i (ax i + b) minimoituu. Nyt 5X y i (ax i + b) = i= a 7 b 5 5 = y Az, ẑ = (A T A) 1 A T y = = = Joten ratkaistu tien yhtälö on y = 17 6 x p.14/4

27 Matriisilaskentaa: ominaisarvot ja -vektorit A R n n ja Ax = λx, missä x 0. Tällöin λ on A:n ominaisarvo ja x on siihen liittyvä ominaisvektori.. p.15/4

28 Matriisilaskentaa: ominaisarvot ja -vektorit A R n n ja Ax = λx, missä x 0. Tällöin λ on A:n ominaisarvo ja x on siihen liittyvä ominaisvektori. Esim: Ratkaistaan matriisin ominaisarvot λ 6 5A = (λ λ ) 5 4 = 0 λ = 1 λ = 16. p.15/4

29 Matriisilaskentaa: ominaisarvot ja -vektorit A R n n ja Ax = λx, missä x 0. Tällöin λ on A:n ominaisarvo ja x on siihen liittyvä ominaisvektori. Esim: Ratkaistaan matriisin ominaisarvot λ 6 5A = (λ λ ) 5 = 0 λ = 1 λ = 16 ja ominaisvektorit 4 λ = 1 : R R R , x λ=1 = λ = 16 : R + 1 R R , x λ=16 = p.15/4

30 Idempotentti matriisin ominaisarvot Olkoon A idempotentti ja λ matriisin A mielivaltainen ominaisarvo ja x sitä vastaava ominaisvektori. Tällöin λx = Ax = AAx = λ x = λ = 1 tai λ = 0, joten matriisin A kaikki ominaisarvot ovat joko ykkösiä tai nollia.. p.16/4

31 Matriisin definiittisyys Olkoon A R n n symmetrinen ja x R n. Matriisi A on positiivisesti definiitti jos x T Ax > 0, x 0, tällöin merkitään A > 0. Matriisi A on positiivisesti semidefiniitti jos x T Ax 0, x. Esimerkki: V (x) 0. p.17/4

32 Matriisin definiittisyys: jatkoa Vastaavasti määritellään: A < 0, A 0 A <> 0 A > B Olkoon A R n n symmetrinen. Tällöin A > 0 A : n ominaisarvot positiivisia A > 0 det(a) > 0 A > 0 A 1 > 0. p.18/4

33 Matriisin definiittisyys: esimerkkejä Esimerkkejä: [ I 0 ] I > 0, 0 I <> 0 ja I < 0. Jos A > 0 niin tr(a) > 0.. p.19/4

34 Matriisin definiittisyys: esimerkkejä Jos A 0 ja λ matriisin A mielivaltainen ominaisarvo ja x sitä vastaava ominaisvektori. Tällöin λx = Ax = λ x = x T Ax 0 = λ 0, joten matriisin A kaikki ominaisarvot ovat epänegatiivisia.. p.0/4

35 Schurin lause Olkoon A R n n symmetrinen. Tällöin on olemassa ortogonaalinen neliömatriisi Q ja diagonaali matriisi Λ siten että A = QΛQ T.. p.1/4

36 Schurin lause Olkoon A R n n symmetrinen. Tällöin on olemassa ortogonaalinen neliömatriisi Q ja diagonaali matriisi Λ siten että A = QΛQ T. Esim: Jos A on symmetrinen ja x 1 ja x ovat ominaisvektoreita vastaten erisuuria ominaisarvoja λ 1 ja λ.nyt x T 1 x = 0. λ x T 1 x = x T 1 Ax = (A T x 1 ) T x = λ 1 x T 1 x x T 1 x = 0. p.1/4

37 Matriisin neliöjuuri Schurin lauseen mukaan A 0 voidaan kirjoittaa muotoon A = Q λ 1,...λ n Q T. Määritellään matriisin A neliöjuureksi A 1 = Q λ1,... λ n Q T.. p./4

38 Matriisin neliöjuuri Schurin lauseen mukaan A 0 voidaan kirjoittaa muotoon A = Q λ 1,...λ n Q T. Määritellään matriisin A neliöjuureksi A 1 = Q λ1,... λ n Q T. Yleensä matriisia B kutsutaan matriisin A neliöjuureksi jos A = BB. Joissakin tapauksessa myös matriisia C kutsutaan matriisin A neliöjuureksi jos A = CC T. Kumpikaan yllä olevista matriiseista (B tai C) ei ole yksikäsitteinen. Huomaa, että matriisi Σ 1 0 toteuttaa molemmat määritelmät ja on yksikäsitteinen.. p./4

39 Matriisilaskentaa: kertaus A:n nolla-avaruus N(A) = {x R n Ax = 0}. A:n pystyriviavaruus R(A) = {y R m y = Ax;x R n }. dim(r(a T )) = dim(r(a)) = rank(a). dim(n(a)) + rank(a) = n (Dimensiolause). A on symmetrinen jos A T = A. A on ortogonaalinen jos A T A = I. A R n n on idempotentti jos AA = A. A R n n ja Ax = λx, missä x 0. Tällöin λ on A:n ominaisarvo ja x on siihen liittyvä ominaisvektori.. p./4

40 Ratkaise ominaisarvot ja ominaisvektorit [ 5 ] 5, diag([1,,,...,n]). p.4/4