3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä"

Transkriptio

1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x a 1n x n = b 1 a 21 x a 2n x n = b 2 a m1 x a mn x n = b m (1) Esim. Kahden yhtälön ja kolmen tuntemattoman yhtälöryhmä: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 (2) a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 1

2 Esim. 5x 1 + 2x 2 x 3 = 4 x 1 4x 2 + 3x 3 = 6 (3) Lukuja a jk kutsutaan ryhmän kertoimiksi. Jos kaikki luvut b i ovat nollia, kyseessä on homogeeninen yhtälöryhmä; jos ainakin yksi b i on nollasta poikkeava, on kyseessä epähomogeeninen ryhmä. Yhtälöryhmän ratkaisu on lukujoukko x 1,, x n, joka toteuttaa kaikki m yhtälöä. Yhtälöryhmän ratkaisuvektori on vektori x, jonka komponentit muodostavat ryhmän ratkaisun. Jos yhtälöryhmä on homogeeninen, on olemassa ainakin triviaaliratkaisu x 1 = 0,, x n = 0. 2

3 m:n yhtälön ryhmä voidaan kirjoittaa vektoriyhtälönä Ax = b, (4) missä kerroinmatriisi A = [a jk ] on m n matriisi a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn (5) ja pystyvektorit x = x 1.. b = b 1.. (6) x n b m 3

4 Oletus: A 0 Matriisi à = a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b (7) a m1 a m2 a mn b m on yhtälöryhmän lisätty matriisi (augmented matrix). Matriisi à sisältää yhtälöryhmän kaikki annetut luvut ja määrittää siten yhtälöryhmän täydellisesti. Yhtälöryhmän ratkaisemiseksi tarvitsee näin ollen tarkastella ainoastaan lisättyä matriisia. Käytännön resepti: Gaussin eliminointi. 4

5 3.1 Gaussin eliminointi Yhtälöryhmän ratkaisut pysyvät samoina, jos tehdään perusoperaatiot yhtälöille: Yhtälöiden järjestys vaihdetaan Yksi tai useampi yhtälö kerrotaan nollasta poikkeavalla vakiolla Yhden tai useamman yhtälön kerrannainen lisätään muihin yhtälöihin Vastaavat perusoperaatiot lisätylle matriisille: Vaihdetaan kaksi riviä keskenään Yksi tai useampi rivi kerrotaan nollasta poikkeavalla vakiolla Lisätään vakiolla kerrottu rivi toiseen riviin Gaussin eliminointia voidaan soveltaa myös silloin, kun yhtälöiden ja tuntemattomien määrä ei ole sama. 5

6 3.2 Lineaarinen riippumattomuus, vektoriavaruus ja matriisin aste Vektorien a (1),,a (m) lineaarikombinaatio on muotoa c 1 a (1) + + c m a (m), (8) missä c 1,, c m ovat skalaareja (tässä tapauksessa reaalilukuja). Vektorit a (1),,a (m) ovat lineaarisesti riippumattomia, jos ja vain jos c 1 a (1) + c 2 a (2) + + c m a (m) = 0 c 1 = c 2 = = c m = 0 Jos lineaarikombinaatio on nolla siten, että jokin kertoimista on nollasta poikkeava, vektorit ovat lineaarisesti riippuvia. Tällöin ainakin jokin niistä voidaan ilmaista toisten lineaarikombinaationa. (9) 6

7 n komponenttisten vektorien a (1),,a (m) kaikkien lineaarikombinaatioiden joukko V on näiden vektorien virittämä vektoriavaruus. Avaruuden V vektorien a ja b summa a + b on myös avaruudessa V samoin kuin vektorin a ja skalaarin k tulo ka Vektoriavaruuden ominaisuuksia (oletetaan, että a, b ja c kuuluvat V :hen ja k ja l ovat reaalilukuja): a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c) a + 0 = a a + ( a) = 0 (10) 7

8 k(a + b) = ka + kb (k + l)a = ka + la k(la) = (kl)a 1a = a (11) Avaruuden V lineaarisesti riippumattomien vektorien maksimimäärä on V :n dimensio, merkitään dim V Sellainen lineaarisesti riippumaton joukko V :ssä, jossa on maksimimäärä V :hen kuulumattomia vektoreita, on V :n kanta. n ulotteinen vektoriavaruus R n on joukko, jonka alkioina ovat n:n reaaliluvun muodostamat jonot (x 1, x 2,, x n ) 8

9 Matriisin A = [a jk ] lineaarisesti riippumattomien rivien tai sarakkeiden maksimimäärä on matriisin A aste (rank), merkitään rank A. Matriisin A ja sen transpoosin A T aste on sama. Perusoperaatiot (rivien vaihto etc) eivät muuta matriisin astetta. Aste on siis = porrasmatriisin ei nollarivien lukumäärä. Asteen määritelmästä seuraa: p vektoria x (1),,x (p) ovat lineaarisesti riippumattomia, jos matriisin, jonka rivit ovat x (1),,x (p) aste on p; jos aste on pienempi kuin p, ne ovat lineaarisesti riippuvia. 9

10 3.3 Lineaariset yhtälöryhmät: Ratkaisujen yleisiä ominaisuuksia Lineaarisella yhtälöryhmällä a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m (12) eli A m n x = b 1. on ratkaisuja jos ja vain jos r = rank A = rank à 2. on täsmälleen yksi ratkaisu, jos r = n 3. on ääretön määrä ratkaisuja, jos r < n 10

11 Homogeeninen lineaarinen yhtälöryhmä: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = 0 (13) Triviaaliratkaisu x = 0 aina olemassa Ei triviaaliratkaisuja olemassa jos ja vain jos r = rank A < n Jos r < n, triviaali ja ei triviaaliratkaisut yhdessä muodostavat ratkaisuavaruuden, jonka dimensio on n r (ei päde epähomogeenisille yhtälöryhmille) Ratkaisuavaruuden dimensio = A:n nulliteetti, merk. nullity A. Pätee siis ranka + nullitya = n (14) 11

12 4 Käänteismatriisi ja determinantti 4.1 Käänteismatriisi Tarkastellaan neliömatriiseja n n matriisin A = [a jk ] käänteismatriisi A 1 on matriisi, jolle pätee AA 1 = A 1 A = I (15) Jos A:lla on käänteismatriisi, se on ei singulaarinen, muussa tapauksessa se on singulaarinen. Käänteismatriisi on yksikäsitteinen. n n matriisilla A on käänteismatriisi jos ja vain jos rank A = n 12

13 Käänteismatriisi voidaan määrittää esim. Gauss Jordan eliminoinnilla. Idea: muodostetaan lisätty matriisi à = [A I] ja saatetaan se Gaussin eliminoinnilla muotoon [I K], jossa K = A 1. Myöhemmin esitetään menetelmä, jolla käänteismatriisin voi määrittää determinanttien avulla Käänteismatriisin käänteismatriisi: (A 1 ) 1 = A Tulon käänteismatriisi: (AC 1 ) = C 1 A 1 Jos A,B ja C ovat n n matriiseja, niin 1. Jos rank A = n ja AB = AC, niin B = C 2. Jos rank A = n, niin AB = 0 B = 0 3. Jos A on singulaarinen, niin ovat myös AB ja BA 13

14 4.2 Determinantit n n matriisin A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n... a n1 a n2 a nn (16) determinantti määritellään tapauksessa n = 2 kaavalla a D = deta = 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 (17) 14

15 Determinanttia voidaan käyttää mm. yhtälöryhmien ratkaisuun (Cramerin sääntö, esitetään myöhemmin) ja käänteismatriisin määrittämiseen. tapauksessa n = 3 kaavalla a 11 a 12 a 13 a D = a 21 a 22 a 23 = a a 23 a a 31 a 32 a a 33 a a 12 a a 32 a 33 +a a 12 a a 22 a 23 (18) Huom. merkit: Yhtälön oikealla puolella olevat alideterminantit saadaan poistamalla D:stä poistamalla ko. determinantin kerrointa vastaava rivi ja sarake, esim. a 11 :n tapauksessa ensimmäinen rivi ja sarake jne. 15

16 yleisessä tapauksessa rekursiokaavalla D = a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n. a 31 a 32 a 33 a nn = = n ( 1) j+k a jk M jk (j {1 n}) k=1 n ( 1) j+k a jk M jk (k {1 n}), missä alideterminantti M jk on n 1:en kertaluvun determinantti, joka saadaan poistamalla matriisista j:s rivi ja k:s sarake. a jk :n liittotekijä (cofactor) on C jk = ( 1) j+k M jk. j=1 Determinantti liittotekijöiden avulla: D = a j1 C j1 + a j2 C j2 + + a jn C jn D = a 1k C 1k + a 2k C 2k + + a nk C nk (19) 16

17 4.2.1 Determinanttien perusominaisuuksia Jos determinantin rivit ja sarakkeet vaihdetaan keskenään, determinantin arvo ei muutu. Jos determinantin jokin rivi tai sarake kerrotaan vakiolla k, determinantin arvo muuttuu k kertaiseksi. Jos jonkin rivin tai sarakkeen kaikki alkiot ovat nollia, on determinantin arvo = 0. Jos determinantin jokin rivi tai sarake on ilmaistu binomimuodossa, voidaan determinantti esittää kahden determinantin summana. Jos determinantin kaksi riviä tai saraketta vaihdetaan keskenään, vaihtuu determinantin merkki. Jos jokin rivi tai sarake saadaan toisesta vakiolla kertomalla, on determinantin arvo = 0. 17

18 Jos jokin rivi tai sarake lisätään toiseen vakiolla kerrottuna, determinantin arvo ei muutu. n n matriiseille A ja B, det(ab) = det(ba) = det(a)det(b) (20) Jos determinantin alkiot ovat funktioita, determinantin D derivaatta D on D = D (1) + D (2) + D (n), (21) missä D (j) saadaan derivoimalla j:nnen rivin alkiot. Transpoosin determinantti: deta T = deta (22) Käänteismatriisin determinantti: deta 1 = 1 deta (23) 18

19 4.2.2 Cramerin sääntö Jos n:n yhtälön ja n:n muuttujan yhtälöryhmällä a 11 x a 1n x n = b 1 a 21 x a 2n x n = b 2 a n1 x a nn x n = b n (24) on nollasta poikkeava determinantti D, ryhmällä on täsmälleen yksi ratkaisu, joka saadaan kaavasta x 1 = D 1 D, x 2 = D 2 D,, x n = D n D, (25) missä D k on determinantti, joka saadaan D:stä korvaamalla k:s sarake alkioilla b 1,, b n. 19

20 Jos em. yhtälöryhmä on homogeeninen, sillä on ei triviaaliratkaisuja vain, jos D = 0. Cramerin säännön seurauksena saadaan kääteismatriisin laskemiselle determinanttien avulla sääntö A 11 A 21 A n1 A 1 = 1 deta [A jk] T = 1 A 12 A 22 A n2 (26) deta... A 1n A 2n A nn, missä A jk on a jk :ta vastaava liittotekijä. Huom. Tämä kaava on kätevä käsin laskettaessa, mutta sitä ei kannata käyttää numeerisiin (tietokone ) laskuihin. 20

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Matematiikka B2 - TUDI

Matematiikka B2 - TUDI Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/81 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 )

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

Lineaarialgebra (muut ko)

Lineaarialgebra (muut ko) Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/103 Lineaarialgebra (muut ko) Tero Laihonen Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/103 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut 2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Determinantit. Kaksirivinen determinantti. Aiheet. Kaksirivinen determinantti. Kaksirivinen determinantti. Kolmirivinen determinantti

Determinantit. Kaksirivinen determinantti. Aiheet. Kaksirivinen determinantti. Kaksirivinen determinantti. Kolmirivinen determinantti Determinantit 1 2 2-matriisin ( A = on det(a) = a 11 a 12 a 21 a 22 a 11 a 12 a 21 a 22 ) = a 11a 22 a 12 a 21. 1 2 2-matriisin on det(a) = Esim. Jos A = ( a 11 a 12 a 21 a 22 A = a 11 a 12 a 21 a 22 )

Lisätiedot

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen

Lisätiedot

Jouni Sampo. 4. maaliskuuta 2013

Jouni Sampo. 4. maaliskuuta 2013 B2 Jouni Sampo 4. maaliskuuta 2013 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Matriisin käsite.................................... 2 1.2 Mihin matriiseja tarvitaan?............................. 2 1.3 Matriiseihin liittyvät

Lisätiedot

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty

Lisätiedot

Seuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117

Seuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Seuraava luento ti 31.10 on salissa XXII Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/117 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v

Lisätiedot

Vektoreiden virittämä aliavaruus

Vektoreiden virittämä aliavaruus Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä 7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan

Lisätiedot

Aiheet. Kvadraattinen yhtälöryhmä. Kvadraattinen homogeeninen YR. Vapaa tai sidottu matriisi. Vapauden tutkiminen. Yhteenvetoa.

Aiheet. Kvadraattinen yhtälöryhmä. Kvadraattinen homogeeninen YR. Vapaa tai sidottu matriisi. Vapauden tutkiminen. Yhteenvetoa. Yhtälöryhmän ratkaisujen lukumäärä, L8 Esimerkki kvadraattinen Haluamme ratkaista n 4x + y z = x + y + z = 5 x + y + z = 4 4 x 4 + y x y z = + z 5 4 = 5 4 Esimerkki kvadraattinen Yhtälöryhmä on kvadraattinen,

Lisätiedot

Ennakkotehtävän ratkaisu

Ennakkotehtävän ratkaisu Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja

Lisätiedot

802118P Lineaarialgebra I (4 op)

802118P Lineaarialgebra I (4 op) 802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä

Lisätiedot

Kaksirivisen matriisin determinantille käytämme myös merkintää. a 11 a 12 a 21 a 22. = a 11a 22 a 12 a 21. (5.1) kaksirivine

Kaksirivisen matriisin determinantille käytämme myös merkintää. a 11 a 12 a 21 a 22. = a 11a 22 a 12 a 21. (5.1) kaksirivine Vaasan yliopiston julkaisuja 97 5 DETERMINANTIT Ch:Determ Sec:DetDef 5.1 Determinantti Tämä kappale jakautuu kolmeen alakappaleeseen. Ensimmäisessä alakappaleessa määrittelemme kaksi- ja kolmiriviset determinantit.

Lisätiedot

Lineaarialgebra II, MATH.1240 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg

Lineaarialgebra II, MATH.1240 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg Vaasan yliopisto, syksy 218 Lineaarialgebra II, MATH124 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg Tentti T1, 284218 Ratkaise 4 tehtävää Kokeessa saa käyttää laskinta (myös graafista ja CAS-laskinta), mutta ei taulukkokirjaa

Lisätiedot

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla:

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla: 11 Determinantti Neliömatriisille voidaan laskea luku, joka kertoo muun muassa, onko matriisi kääntyvä vai ei Tätä lukua kutsutaan matriisin determinantiksi Determinantilla on muitakin sovelluksia, mutta

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Talousmatematiikan perusteet: Luento 10 Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Lineaarikuvaus Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta, jossa käytetään

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 6.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Kertausta: Kääntyvien matriisien lause Lause 1 Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä.

Lisätiedot

x 2 x 3 x 1 x 2 = 1 2x 1 4 x 2 = 3 x 1 x 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili

x 2 x 3 x 1 x 2 = 1 2x 1 4 x 2 = 3 x 1 x 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili 6 4 2 x 2 x 3 15 10 5 0 5 15 5 3 2 1 1 2 3 2 0 x 2 = 1 2x 1 0 4 x 2 = 3 x 1 x 5 2 5 x 1 10 x 1 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili Sisältö

Lisätiedot

Aiheet. Kvadraattinen yhtälöryhmä. Kvadraattinen homogeeninen YR. Vapaa tai sidottu matriisi. Vapauden tutkiminen. Yhteenvetoa.

Aiheet. Kvadraattinen yhtälöryhmä. Kvadraattinen homogeeninen YR. Vapaa tai sidottu matriisi. Vapauden tutkiminen. Yhteenvetoa. Yhtälöryhmän ratkaisujen lukumäärä, L26 Esimerkki 1 kvadraattinen 1 Haluamme ratkaista n 4x + y z = 2 x + 2y + z = 5 2x + 2y + 2z = 4 4 1 1 1 2 1 2 2 2 x 4 1 2 + y x y z 1 2 2 = + z 2 5 4 1 1 2 = 2 5 4

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi

Talousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi Viime luennolla Käsittelimme matriisien peruskäsitteitä ja laskutoimituksia Vakiolla kertominen, yhteenlasku ja vähennyslasku

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear

Lisätiedot

Determinantti. Määritelmä

Determinantti. Määritelmä Determinantti Määritelmä Oletetaan, että A on n n-neliömatriisi Merkitään normaaliin tapaan matriisin A alkioita lyhyesti a ij = A(i, j) (a) Jos n = 1, niin det(a) = a 11 (b) Muussa tapauksessa n det(a)

Lisätiedot

Lineaarinen yhtälöryhmä

Lineaarinen yhtälöryhmä Lineaarinen yhtälöryhmä 1 / 39 Lineaarinen yhtälö Määritelmä 1 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia.

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Determinantti. Määritelmä

Determinantti. Määritelmä Determinantti Määritelmä Oletetaan, että A on n n-neliömatriisi. Merkitään normaaliin tapaan matriisin A alkioita lyhyesti a ij = A(i, j). (a) Jos n = 1, niin det(a) = a 11. (b) Muussa tapauksessa n det(a)

Lisätiedot

Käänteismatriisin ominaisuuksia

Käänteismatriisin ominaisuuksia Käänteismatriisin ominaisuuksia Lause 1.4. Jos A ja B ovat säännöllisiä ja luku λ 0, niin 1) (A 1 ) 1 = A 2) (λa) 1 = 1 λ A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1 4) (A T ) 1 = (A 1 ) T. Tod.... Ortogonaaliset matriisit

Lisätiedot

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa

Lisätiedot

2.8. Kannanvaihto R n :ssä

2.8. Kannanvaihto R n :ssä 28 Kannanvaihto R n :ssä Seuraavassa kantavektoreiden { x, x 2,, x n } järjestystä ei saa vaihtaa Vektorit ovat pystyvektoreita ( x x 2 x n ) on vektoreiden x, x 2,, x n muodostama matriisi, missä vektorit

Lisätiedot

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin

Lisätiedot

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 4.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Viimeiset harjoitukset on palautettava torstaina 13.6. Laskaripisteensä ja läsnäolonsa voi kukin tarkistaa

Lisätiedot

Kurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa.

Kurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa. 7 Matriisilaskenta Kurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa. 7.1 Lineaariset yhtälöryhmät Yhtälöryhmät liittyvät tilanteisiin, joissa on monta tuntematonta

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä 1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

s = 11 7 t = = 2 7 Sijoittamalla keskimmäiseen yhtälöön saadaan: k ( 2) = 0 2k = 8 k = 4

s = 11 7 t = = 2 7 Sijoittamalla keskimmäiseen yhtälöön saadaan: k ( 2) = 0 2k = 8 k = 4 BM0A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 5, Syksy 05. (a) i. Jotta vektori c sijaitsisi a:n ja b:n virittämällä tasolla, c on voitava esittää a:n ja b:n lineaarikombinaationa. c ta + sb

Lisätiedot

802120P Matriisilaskenta (5 op)

802120P Matriisilaskenta (5 op) 802120P Matriisilaskenta (5 op) Marko Leinonen Matemaattiset tieteet Syksy 2016 1 / 220 Luennoitsija: Marko Leinonen marko.leinonen@oulu.fi MA333 Kurssilla käytetään Noppaa (noppa.oulu.fi) Luentomoniste

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Muistutus: Matikkapaja ke Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta yms.

Muistutus: Matikkapaja ke Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta yms. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/139 Ensi viikon luennot salissa X Muistutus: Matikkapaja ke 14-16 Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta

Lisätiedot

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia 9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin

Lisätiedot

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista 29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n

Lisätiedot

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaarinen yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, (1) voidaan esittää

Lisätiedot

5 Lineaariset yhtälöryhmät

5 Lineaariset yhtälöryhmät 5 Lineaariset yhtälöryhmät Edellisen luvun lopun esimerkissä päädyttiin yhtälöryhmään, jonka ratkaisemisesta riippui, kuuluuko tietty vektori eräiden toisten vektorien virittämään aliavaruuteen Tämäntyyppisiä

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden

Lisätiedot

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 3. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 3 () Numeeriset menetelmät / 45

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 3. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 3 () Numeeriset menetelmät / 45 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 3 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 3 () Numeeriset menetelmät 20.3.2013 1 / 45 Luennon 3 sisältö Luku 2: Epälineaarisen yhtälön ratkaiseminen Polynomin reaaliset

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Avaruuden R n aliavaruus

Avaruuden R n aliavaruus Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla

Lisätiedot

Lineaarialgebra I. Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Esa Järvenpää Kirjoittanut Tuula Ripatti

Lineaarialgebra I. Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Esa Järvenpää Kirjoittanut Tuula Ripatti Lineaarialgebra I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Esa Järvenpää Kirjoittanut Tuula Ripatti 2 1 Lineaarinen yhtälöryhmä 11 Esimerkki (a) Ratkaise yhtälö 5x = 7 Kerrotaan yhtälö puolittain

Lisätiedot

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät 1 1 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT Muotoa 11 Lineaariset yhtälöryhmät (1) a 1 x 1 + a x + + a n x n b oleva yhtälö on tuntemattomien x 1,, x n lineaarinen yhtälö, jonka kertoimet ovat luvut a 1,,

Lisätiedot

Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan

Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Informaatioteknologian tiedekunta Jyväskylän yliopisto 5. luento.2.27 Lineaarialgebraa - Miksi? Neuroverkon parametreihin liittyvät kaavat annetaan monesti

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Lotta Oinonen ja Johanna Rämö 6. joulukuuta 2012 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos 2012 Sisältö 1 Avaruus R n 4 1 Avaruuksien R 2 ja R 3 vektorit.....................

Lisätiedot

Ratkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45

Ratkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45 Ratkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45 Tehtävä : Olkoot A, B, X R n n, a, b R n ja jokin vektorinormi. Kätetään vektorinormia vastaavasta operaattorinormista samaa merkintää. Nätä, että. a + b a b, 2. A

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 3 Ti 13.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 3 Ti 13.9.2011 p. 1/37 p. 1/37 Epälineaariset yhtälöt Newtonin menetelmä: x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Sekanttimenetelmä:

Lisätiedot

Matriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n.

Matriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n. Matriisipotenssi Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: Määritelmä Oletetaan, että A on n n -matriisi (siis neliömatriisi) ja k

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Matriisitulo Determinantti

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Matriisitulo Determinantti Talousmatematiikan perusteet: Luento 1 Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Matriisitulo Determinantti Viime luennolta Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2014 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 1 of 16 Kertausta Lineaarinen riippuvuus

Lisätiedot

Käänteismatriisin. Aiheet. Käänteismatriisin ominaisuuksia. Rivioperaatiot matriisitulona. Matriisin kääntäminen rivioperaatioiden avulla

Käänteismatriisin. Aiheet. Käänteismatriisin ominaisuuksia. Rivioperaatiot matriisitulona. Matriisin kääntäminen rivioperaatioiden avulla Käänteismatriisi, L5 1 Tässä kalvosarjassa käsittelemme neliömatriiseja. Ilman asian jatkuvaa toistamista oletamme seuraavassa, että kaikki käsittelemämme matriisit ovat neliömatriiseja. Määritelmä. Olkoon

Lisätiedot

4. Lasketaan transienttivirrat ja -jännitteet kuvan piiristä. Piirielimien arvot ovat C =

4. Lasketaan transienttivirrat ja -jännitteet kuvan piiristä. Piirielimien arvot ovat C = BMA58 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 6, Syksy 5. Olkoon [ 6 6 A =, B = 4 [ 3 4, C = 4 3 [ 5 Määritä matriisien A ja C ominaisarvot ja ominaisvektorit. Näytä lisäksi että matriisilla B

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =

Lisätiedot

Vektorien virittämä aliavaruus

Vektorien virittämä aliavaruus Vektorien virittämä aliavaruus Esimerkki 13 Mikä ehto vektorin w = (w 1, w 2, w 3 ) komponenttien on toteutettava, jotta w kuuluu vektoreiden v 1 = (3, 2, 1), v 2 = (2, 2, 6) ja v 3 = (3, 4, 5) virittämään

Lisätiedot

3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. Olkoot A 2 := AA =

3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. Olkoot A 2 := AA = 3 3 Olkoot 9 8 B 7 6 ja A 5 4 [ 3 4 Nyt A + B, AB ja BB eivät ole mielekkäitä (vastaavilla lineaarikuvauksilla menisivät dimensiot solmuun tällaisista yhdistelmistä) Kuitenkin voidaan laskea BA ja 9( )

Lisätiedot

Matriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0

Matriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0 MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 22 Virittääkö vektorijoukko S vektoriavaruuden V, kun a V = R 3 ja S = {(1,0, 1,(2,0,4,( 5,0,2,(0,0,1} b V = P 2 (R ja S = {t1,t 2 1,t 2 t} ( ( 1 0 c

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159 Ensi viikon luennot salissa X Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/159 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 ) Skalaarilla

Lisätiedot

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 Tehtävä 1 (L): Oletetaan, että AB = AC, kun B ja C ovat m n-matriiseja. a) Näytä, että jos A on kääntyvä, niin B = C. b) Seuraako yhtälöstä AB = AC yhtälö

Lisätiedot

10 Matriisit ja yhtälöryhmät

10 Matriisit ja yhtälöryhmät 10 Matriisit ja yhtälöryhmät Tässä luvussa esitellään uusi tapa kirjoittaa lineaarinen yhtälöryhmä matriisien avulla käyttäen hyväksi matriisikertolaskua sekä sarakevektoreita Pilkotaan sitä varten yhtälöryhmän

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot