Determinantit. Kaksirivinen determinantti. Aiheet. Kaksirivinen determinantti. Kaksirivinen determinantti. Kolmirivinen determinantti

Transkriptio

1 Determinantit

2 1 2 2-matriisin ( A = on det(a) = a 11 a 12 a 21 a 22 a 11 a 12 a 21 a 22 ) = a 11a 22 a 12 a 21.

3 1 2 2-matriisin on det(a) = Esim. Jos A = ( a 11 a 12 a 21 a 22 A = a 11 a 12 a 21 a 22 ) = a 11a 22 a 12 a 21. ( ), niin det(a) = = = 10.

4 2 Tarkastellaan esimerkkinä yhtälöparia { a 11 x + a 12 y = b 1 a 21 x + a 22 y = b 2

5 2 Tarkastellaan esimerkkinä yhtälöparia { a 11 x + a 12 y = b 1 a 21 x + a 22 y = b 2 Ratkaistaan yhtälöpari yhteenlaskukeinolla eliminoimalla muuttuja y. { a 11 x + a 12 y = b 1 a 21 x + a 22 y = b 2 a 22 ( a 12 )

6 2 Tarkastellaan esimerkkinä yhtälöparia { a 11 x + a 12 y = b 1 a 21 x + a 22 y = b 2 Ratkaistaan yhtälöpari yhteenlaskukeinolla eliminoimalla muuttuja y. { a 11 x + a 12 y = b 1 a 21 x + a 22 y = b 2 a 22 ( a 12 ) a 11 a 22 x + a 12 a 22 y = a 22 b 1 a 12 a 21 x a 12 a 22 y = a 12 b 2 (a 11 a 22 a 12 a 21 )x = a 22 b 1 a 12 b 2

7 3 JOHTOPÄÄTÖS: Kahden yhtälön ja kahden muuttujan yhtälöryhmällä { a 11 x + a 12 y = b 1 a 21 x + a 22 y = b 2 A x = b on yksikäsitteinen ratkaisu, jos ja vain jos det(a) 0.

8 4 3 3-matriisin A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 on det(a) = = +a 11 a 22 a 23 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33 a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 + a 13 a 21 a 22 a 31 a 32

9 5 Esimerkki = +[2] [2]

10 6 Esimerkki 2 [3] = [3]

11 7 Esimerkki 2 3 [1] = [1]

12 8 Esimerkki =

13 8 Esimerkki = = 2 (5 7 0 ( 6)) 3 ( ) + 1 (0 ( 6) 5 4)

14 8 Esimerkki = = 2 (5 7 0 ( 6)) 3 ( ) + 1 (0 ( 6) 5 4) = 2 (35 0) 3 (0 0) + 1 (0 20)

15 8 Esimerkki = = 2 (5 7 0 ( 6)) 3 ( ) + 1 (0 ( 6) 5 4) = 2 (35 0) 3 (0 0) + 1 (0 20) = = 50

16 9 Determinantti voidaan kehittää minkä tahansa rivin tai sarakkeen suhteen. Merkit pitää katsoa kaaviosta

17 Esimerkki: Kehitetään edellisen esimerkin kehittämällä se toisen rivin suhteen [0] = [0]

18 Esimerkki: Kehitetään edellisen esimerkin kehittämällä se toisen rivin suhteen [5] = [5]

19 Esimerkki: Kehitetään edellisen esimerkin kehittämällä se toisen rivin suhteen [0] = [0]

20 Esimerkki: Kehitetään edellisen esimerkin kehittämällä se toisen rivin suhteen [0] = [0] = (14 4) 0 = 50

21 13 det(i ) = 1.

22 13 det(i ) = 1. Neliömatriisi A on säännöllinen (eli on olemassa käänteismatriisi A 1 ), jos ja vain jos det(a) 0

23 13 det(i ) = 1. Neliömatriisi A on säännöllinen (eli on olemassa käänteismatriisi A 1 ), jos ja vain jos det(a) 0 det(ab) = det(a)det(b)

24 13 det(i ) = 1. Neliömatriisi A on säännöllinen (eli on olemassa käänteismatriisi A 1 ), jos ja vain jos det(a) 0 det(ab) = det(a)det(b) det(a 1 ) = 1 det(a)

25 14 Jos kaaviossa vaihdetaan kaksi riviä (tai saraketta) keskenään, niin uuden kaavion on alkuperäisen kaavion determinantin vastaluku

26 14 Jos kaaviossa vaihdetaan kaksi riviä (tai saraketta) keskenään, niin uuden kaavion on alkuperäisen kaavion determinantin vastaluku Jos kaaviossa on nollarivi (tai nollasarake), niin kaavion determinantin arvo on 0

27 14 Jos kaaviossa vaihdetaan kaksi riviä (tai saraketta) keskenään, niin uuden kaavion on alkuperäisen kaavion determinantin vastaluku Jos kaaviossa on nollarivi (tai nollasarake), niin kaavion determinantin arvo on 0 Jos jokin kaavion rivi lisätään reaaliluvulla kerrottuna kaavion toiseen riviin, niin uuden kaavion determinantin arvo on sama kuin alkuperäisen kaavion determinantin arvo (sama pätee sarakkeille)

28 14 Jos kaaviossa vaihdetaan kaksi riviä (tai saraketta) keskenään, niin uuden kaavion on alkuperäisen kaavion determinantin vastaluku Jos kaaviossa on nollarivi (tai nollasarake), niin kaavion determinantin arvo on 0 Jos jokin kaavion rivi lisätään reaaliluvulla kerrottuna kaavion toiseen riviin, niin uuden kaavion determinantin arvo on sama kuin alkuperäisen kaavion determinantin arvo (sama pätee sarakkeille) Kolmiomuodossa olevan kaavion on diagonaali-alkioiden tulo.

29 15 Matriisi = A =

30 Matriisi = A = ( ) 7 6 Alimatriisi = A 12 = 5 0

31 Matriisi = A = ( ) 7 6 Alimatriisi = A 12 = 5 0 Minori = det(a 12 ) = = 30

32 Matriisi = A = ( ) 7 6 Alimatriisi = A 12 = 5 0 Minori = det(a 12 ) = = 30 Kofaktori = ( 1) 1+2 det(a 12 ) = 30