Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin

Transkriptio

1 HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2015 Harjoitus 4 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo 1615 Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin yhtälöryhmiin 1 Oletetaan, että v R n Onko jono ( v, 3 v, 7 v) vapaa vai sidottu? Perustele väitteesi vapauden määritelmän avulla Kuvan hahmotteleminen voi auttaa ratkaisun keksimisessä 2 Tutustu homogeenisen yhtälöryhmän määritelmään 710 ja lauseeseen 711 (a) Mitä tarkoittaa se, että lineaarinen yhtälöryhmä on homogeeninen? Eräitä yhtälöryhmiä vastaavat seuraavat porrasmatriisit: (b) (c) Päättele suoraan matriiseista, kuinka monta ratkaisua näillä yhtälöryhmillä on 3 Tarkastellaan lineaarista homogeenista yhtälöryhmää, jossa on m yhtälöä ja n tuntematonta Mitkä seuraavista väitteistä ovat varmasti totta? Mitkä voivat olla totta tai epätotta? Mitkä ovat varmasti epätosia? (a) Jos m > n, niin yhtälöryhmällä ei ole yhtään ratkaisua (b) Jos m = n, niin yhtälöryhmällä on tasan yksi ratkaisu (c) Jos m < n, niin yhtälöryhmällä on äärettömän monta ratkaisua 4 Oletetaan, että vektorit v 1, v 2 ja v 3 ovat lineaarisesti riippumattomia avaruuden R n vektoreita Onko jono (3 v 1 + v 3, 2 v 1 4 v 2, 6 v 2 + v 3 ) vapaa? Tehtäväsarja II Seuraavat tehtävät liittyvät kannan käsitteeseen Kertaa tarvittaessa lukuja Tämä tehtävä löytyy Moodlesta Ohjeet ja linkki löytyvät myös kurssimme sivulta wwwhelsinkifi/ lpjoinon/la1/15 6 Tämä tehtävä löytyy Moodlesta 7 Tässä tehtävässä tarkastellaan joukkoa W = {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 2x 1 3x 2 +x 3 = 0} (a) Osoita, että W on avaruuden R 3 aliavaruus etsimällä sille jotkin virittäjät Vihje: Aloita miettimällä, kuinka monta vapaata muuttujaa lineaarisessa yhtälöryhmässä 2x 1 3x 2 + x 3 = 0 on Ratkaisemalla tämän yhtälöryhmän pääset tilanteeseen, joka muistuttaa harjoituksen 3 tehtävää 11 (b) Etsi aliavaruudelle W jokin kanta Mikä on dim(w)? (c) Kuuluuko vektori ū = (5, 6, 3) aliavaruuteen W? Entä vektori v = (4, 2, 2)? (d) Jos vektori ū tai v kuuluu aliavaruuteen W, määritä sen koordinaatit edellä löytämäsi kannan suhteen

2 Tehtäväsarja III Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin kappaleeseen 121, jossa selviää, mitä ovat matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit 8 (a) Tallenna koneellesi kurssisivulla oleva tiedosto piirtaminenm Avaa tiedosto MATLABissa/FreeMatissa ja aja se komennolla Run tai Execute current buffer (näppämistöltä F5) (b) Muuta koodia niin, että se piirtääkin vektorit w = ( 2, 3) ja A w (Vektori w on tulkittava sarakevektoriksi eli 2 1 -matriisiksi) (c) Tutki, mitä matriisilla A = kertominen tekee tason vektoreille testaamalla asiaa eri vektoreilla Kirjoita johtopäätöksesi ratkaisupaperiin Tehtävissä 9 10 tutkitaan matriisia A = 9 Merkitään v 1 = (1, 1) ja v 2 = (3, 3) (a) Havainnollista vektoreita v 1 ja A v 1 koordinaatistossa paikkavektoreina Voit muokata tehtävän 8 m-tiedostoa tai laskea ja piirtää vektorit käsin (b) Havainnollista vektoreita v 2 ja A v 2 paikkavektoreina (c) Selitä omin sanoin, mitä matriisilla A kertominen tekee vektoreille v 1 ja v 2 Mitä voit tämän perusteella päätellä matriisin A ominaisarvoista ja -vektoreista? 10 Merkitään w 1 = (2, 3) ja w 2 = ( 1; 1,5) sekä ū 1 = (3, 4) ja ū 2 = (0, 1) (a) Havainnollista vektoreita w 1, A w 1, w 2 ja A w 2 paikkavektoreina (b) Selitä omin sanoin, mitä matriisilla A kertominen tekee vektoreille w 1 ja w 2 Mitä voit tämän perusteella päätellä matriisin A ominaisarvoista ja -vektoreista? (c) Havainnollista vektoreita ū 1, Aū 1, ū 2 ja Aū 2 paikkavektoreina (d) Ovatko ū 1 ja ū 2 matriisin A ominaisvektoreita? Tehtäväsarja IV Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin kappaleisiin , joissa jatketaan ominaisarvoihin liittyvien asioiden opiskelua Tutkitaan edelleen matriisia A = Oletetaan, että B on n n-neliömatriisi ja λ R (a) Mikä ehto matriisin B determinantin pitää toteuttaa, jotta yhtälöllä B x = 0 olisi muitakin ratkaisuja kuin x = 0? Ks lauseet 113 ja 107 (b) Laske matriisin A λi determinantti ja etsi sen avulla ne luvut λ, joilla yhtälöllä (A λi) x = 0 on muitakin ratkaisuja kuin x = 0 (c) Mitä voit päätellä matriisin A ominaisarvoista?

3 12 Valitse yksi matriisin A ominaisarvoista, jotka löysit tehtävässä 11 Merkitään sitä symbolilla λ 1 (a) Ratkaise yhtälö A x = λ 1 x eli yhtälö (A λ 1 I) x = 0 (b) Piirrä koordinaatistoon joukko, jonka muodostavat kaikki a-kohdan yhtälön ratkaisut Mitä matriisilla A kertominen tekee tämän joukon vektoreille? (c) Mitä voit päätellä matriisin A ominaisvektoreista? 13 Valitse toinen matriisin A ominaisarvoista, jotka löysit tehtävässä 11 Merkitään sitä symbolilla λ 2 (a) Ratkaise yhtälö A x = λ 2 x eli yhtälö (A λ 2 I) x = 0 (b) Piirrä koordinaatistoon joukko, jonka muodostavat kaikki a-kohdan yhtälön ratkaisut Mitä matriisilla A kertominen tekee tämän joukon vektoreille? (c) Mitä voit päätellä matriisin A ominaisvektoreista? Merkitään D = ja P = (a) Miten matriisin D lävistäjäalkiot liittyvät tehtävään 11? Entä miten matriisin P sarakkeet liittyvät tehtäviin 12 13? Miten matriisien D ja P sarakkeet liittyvät toisiinsa? (b) Etsi käänteismatriisi P 1 ja laske tulo P 1 AP Mitä huomaat? (c) Onko matriisi A diagonalisoituva? Ks määritelmä 127 (d) Oliko b-kohdan tulos sattuma? Tutki lausetta 129 Tehtäväsarja V Kertaa tarvittaessa materiaalin lukuja Oletetaan, että A on neliömatriisi, jolle pätee A 2 = O (a) Osoita, että matriisi I A on kääntyvä ja että sen käänteismatriisi on A + I (b) Osoita esimerkiksi determinantin avulla, että matriisi A ei ole kääntyvä (c) Keksi esimerkki 2 2-matriisista A, jolla A 2 = O 16 Oletetaan, että matriisi A on saatu muokattua matriisiksi tekemällä alkeisrivitoimitukset R 1 R 3, R 2 +R 1, 1 2 R 4 ja R 5 3R 3 Mikä on det(a)? Olkoon A = 2 c (a) Mikä luvun c pitäisi olla, jotta matriisi A ei olisi kääntyvä? (b) Millaisilla erilaisilla tavoilla voit selvittää a-kohdan vastauksen? Luettele keksimiäsi tapoja

4 Tehtäväsarja VI Seuraavat tehtävät pohjautuvat tutkimukseen Gabriel, K R ja Neumann, J (1962), A Markov chain model for daily rainfall occurrence at Tel Aviv QJR Meteorol Soc, 88: 90 95, jossa tutkittiin sateita Tel Avivissa 27 talvikauden ajan vuosina Oletetaan, että huomisen sateen todennäköisyydelle pätee seuraava: Jos tänään sataa, niin myös huomenna sataa todennäköisyydellä 0,662 Jos tänään sataa, niin huomenna ei sada todennäköisyydellä 1 0,622 = 0,338 Jos tänään ei sada, niin huomenna sataa todennäköisyydellä 0,250 Jos tänään ei sada, niin huomenna ei sada todennäköisyydellä 1 0,250 = 0, Matriisikertolaskut kannattaa laskea MATLABilla/FreeMatilla tai laskimella (a) Maanantaina Tel Avivissa ei sada ja haluat tietää, millä todennäköisyydellä keskiviikkona sataa Lasket matriisitulot 0,662 0, ,250 0,662 0,250 0,250 0,353 = ja = 0,338 0, ,750 0,338 0,750 0,750 0,647 Mikä on tämän perusteella keskiviikon sateen todennäköisyys? (b) Torstaina Tel Avivissa sataa Millä todennäköisyydellä sunnuntaina ei sada? 19 Tarkastellaan edellisen tehtävän matriisia A = (a) Etsi matriisin A ominaisarvot 0,662 0,250 0,338 0,750 (b) Yksi matriisin A ominaisarvoista on 1 Etsi sitä vastaavat ominaisvektorit (c) Matriisin A ominaisarvoa 1 vastaavat ominaisvektorit voidaan kirjoittaa esimerkiksi muodossa (0,25t/0,338; t), missä t R {0} Jos tämäntyyppisellä vektorilla kuvataan sateisen ja sateettoman päivän todennäköisyyksiä, pitää todennäköisyyksien summan olla yksi eli 0,25 t 0,338 + t = 1 Ratkaise tästä yhtälöstä t Kirjoita näkyviin sitä vastaava vektori (0,25t/0,338; t) (d) Sunnuntaina Tel Avivissa ei satanut Luennoitsija halusi tietää, sataisiko siellä kahden viikon päästä, joten hän laski matriisitulon Tehtäväsarja VII 14 0,662 0, ,338 0, ,425 0,575 Päättele tämän tiedon ja c-kohdan avulla, kuinka monta prosenttia talvikauden päivistä Tel Avivissa on todennäköisesti sateisia ja kuinka monta poutaisia Seuraavien tehtävien avulla voit kerrata lukujen 5 8 asioita ja syventää osaamistasi 20 Tämä tehtävä löytyy Moodlesta 21 Tämä tehtävä löytyy Moodlesta

5 22 Tarkastellaan lineaarista yhtälöryhmää x 1 x 2 + 2x 3 = 1 2x 1 x 2 + ax 3 = 2 x 1 + 2x 2 + x 3 = b Määritä ne reaaliluvut a ja b, joilla yhtälöryhmällä (a) on tasan yksi ratkaisu; (b) ei ole yhtään ratkaisua; (c) on äärettömän monta ratkaisua 23 Tarkastellaan vektorien v 1 = (1, 1, 0, 0), v 2 = (0, 1, 2, 1), v 3 = (3, 2, 2, 1) ja v 4 = (1, 2, 2, 1) virittämää avaruuden R 4 aliavaruutta V = span( v 1, v 2, v 3, v 4 ) (a) Määritä kanta aliavaruudelle V Kannattaa tutustua esimerkkeihin 812 ja 813 Niissä esitetään kaksi erilaista ratkaisutapaa (b) Mikä on aliavaruuden V dimensio? (c) Onko aliavaruus V suora tai taso?