C = {(x,y) x,y R} joiden joukossa on määritelty yhteen- ja kertolasku seuraavasti

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "C = {(x,y) x,y R} joiden joukossa on määritelty yhteen- ja kertolasku seuraavasti"

Transkriptio

1 Vaasan yliopiston julkaisuja OMINAISARVOTEHTÄVÄ Ch:EigSystem Sec:CMatrix 9.1 Kompleksinen lineaariavaruus Kompleksiluvut Pian tulemme tarvitsemaan kompleksisen lineaariavaruuden alkeita. Tätä varten käymme läpi kompleksilukujen alkeet. Asiasta on oma kurssi, joten nyt toteamme asioita vain sen verran, että saamme tässä kurssissa tarvittavat asiat esitettyä. Kompleksilukujen lukupariesitys. Kompleksiluvut voidaan esittää lukupareina C = {(x,y) x,y R} joiden joukossa on määritelty yhteen- ja kertolasku seuraavasti (,y 1 ) ˆ+(,y 2 ) = ( +,y 1 + y 2 ) (9.1) (,y 1 )ˆ (,y 2 ) = ( y 1 y 2, y 2 + y 1 ) (9.2) Kolmikko (C, ˆ+, ˆ ) on kunta (ks. sivu 12). Kunnassa laskeminen on helppoa, kunhan kopleksilukujen esittäminen saadaan helpoksi seuraavalla merkinnnällä. Kompleksilukujen esitys imaginääriyksikön avulla. Sovimme seuraavan lyhennysmerkinnän (,1) = de f i = imaginääriyksikkö (1,) = de f 1 (x,y) = x + iy Imaginääriyksikön tärkein ominaisuus, on i 2 = 1 Tämän jälkeen kompleksiluvuilla laskeminen sujuu automaattisesti oikein. Laskusäännöt ( 9.1) cplus ja ( 9.2) ckerto saavat nyt esityksen ( + iy 1 ) + ( + iy 2 ) = + + i(y 1 + y 2 ) ( + iy 1 )( + iy 2 ) = + i y 2 + i y 1 + i 2 y 1 y 2 = ( y 1 y 2 ) + i( y 2 + y 1 )

2 Vaasan yliopiston julkaisuja 19 Määritelmä 22 Kompleksiluvun z = x + iy C reaaliosa on Rez = x. Kompleksiluvun z = x + iy C imaginaariosa on Imz = y. Kompleksiluvun z = x + iy C liittoluku on Kompleksiluvun z = x + iy C moduli on z = x iy. z = + y 2 = zz. Kompleksiluvun z = x + iy C argumentti on ( y argz = arctan. x) Kompleksitaso. Kompleksiluku z = x + iy sijoitetaan xy-tasoon pisteeseen (x, y). Jos nyt r = z ja α = argz, niin suoraan kuvasta nähdään, että r on pisteen etäisyys origosta ja α on pisteen paikkavektorin ja x-akselin välinen kulma. Silloin Imz y r z = x + iy α x Rez x = r cosα ja y = r sinα

3 Vaasan yliopiston julkaisuja Kompleksiset vektorit ja matriisit Kompleksiset vektorit C n ja matriisit määritellään nyt kaavioiksi, joihin on sijoitettu kompleksilukuja. Suora lasku osoittaa, että viisikko (C n,c,+,, ) on kompleksikertoiminen lineaariavaruus. Muutama asia pitää määritellä uudelleen. Määritelmä 221 (1) Matriisin A = (a i j ) kompleksikonjugaatti on matriisi A = (a i j). (Jokainen kaavion luku siis konjugoidaan.) (2) m n-matriisin A hermitoitu matriisi on A H = (A ) T (Matriisi siis konjugoidaan ja transponoidaan.) (3) Kahden kompleksisen vektorin z C n ja w C n sisätulo määritellään kaavalla z w = z 1w 1 + z 2w z nw n = z H w Tehdyt määritelmät eivät muuta aiemmin tehtyjä reaalisten vektoreiden ja matriisien vastaavia määritelmiä. Jos nimittäin kaaviossa on vain reaalilukuja, niin herminointi palautuu transponoinniksi. Kompleksisten vektorien ja matriisien tapauksessa erään aiemmat kaavat saavat uuden asun. Seuraavat kaavat ovat suoria seuraksia tehdyistä määritelmistä, joten emme esitä niille erillisiä todistuksia. (A H ) H = A (9.3) (A + B) H = A H + B H (9.4) (λ A) H = λ A H (9.5) (AB) H = B H A H (9.6) z w = w z (9.7) λ z w = λ z w (9.8) z λ w = λ z w (9.9) λ z w = z λ w (9.1) A z w = z A H w (9.11) z = z z = z z z n 2 R (9.12)

4 Vaasan yliopiston julkaisuja 192 Määritelmä 222 Neliömatriisi A on symmetrinen, jos A = A T, hermiittinen, jos A = A H, ortogonaalinen, jos A 1 = A T, unitaarinen, jos A 1 = A H. Sec:MatEig 9.2 Matriisin ominaisarvot Perusmääritelmät Tässä kappaleessa oletamme skalaarit, vektorit ja matriisit kompleksisiksi. Vaikka lähtökohta olisikin reaalinen matriisi, niin laskujen aikana saattaa tulla esiin kompleksilukuja ja me nyt hyväksymme sen. Tämä helpottaa asian tarkastelua suuresti. Seuraavaksi tarkastelemme teknistä ongelmaa, joka on yksinkertaisissa tapauksissaan mahdollista ratkaista suoraan laskemalla. Ensin opimme ratkaisemaan ominaisarvotehtävän helpossa tapauksessa. Myöhemmin opimme lisää ratkaisun ominaisuuksista, ja niistä ehdoista joilla ratkaisu on olemassa. Määritelmä 223 Olkoot A n n-matriisi, x R n, x vektori ja λ R reaaliluku. Jos A x = λ x, (9.13) eigveceq niin sanomme, että λ on matriisin A ominaisarvo (engl. eigenvalue) ja vektori x on ominaisarvoon λ liittyvä matriisin A ominaisvektori (engl. eigenvector). Jos λ on matriisin A ominaisarvo, niin homogeenisella yhtälöryhmällä (A λ I) x = on ei-triviaali ratkaisuu. Tämä on mahdollista vain jos det(a λ I) = (9.14) a 11 λ a 12 a 1n a 21 a 22 λ a 2n a n1 a 2n a nn λ = (9.15)

5 Vaasan yliopiston julkaisuja 193 Ominaisarvotehtävän ratkaisu tehdään (n + 1):ssä vaiheessa: (1) Ensin ratkaistaan ominaisarvot karakteristisesta yhtälöstä det(a λ I) =. (9.16) Karakteristinen yhtälö on λ:n suhteen astetta n oleva yhtälö, joten sillä on korkeintaan n juurta (ominaisarvoa). (2) Jokaista karakteristisen yhtälön juurta (ominaisarvoa) λ kohti ratkaistaan vastaava ominaisvektori homogeenisesta yhtälöryhmästä A x = λ x. (9.17) c4s15es1 Esimerkki 224 Ratkaise matriisin A = ominaisarvot ja ominaisvektorit. (1) Karakteristinen yhtälö: det(a λ I) = 2 λ λ λ 3 λ λ (2 λ) = λ = (2 λ)[(3 λ)(2 λ) 2 2] 2[ 1 (2 λ) 2] = (2 λ)[λ 2 5λ + 2] + 2(2 λ) = (2 λ)(λ 2 5λ + 4) = (2 λ) = tai (λ 2 5λ + 4) = λ 1 = 1, λ 2 = 2, λ 3 = 4

6 Vaasan yliopiston julkaisuja 194 (2) Ominaisarvoa λ 1 = 1 vastaava ominaisvektori ratkaistaan yhtälöryhmästä A x = λ 1 x = = = = [ ] + 2 = = 2 + = ( ) + 2 = + [4 ] + 2 = 2 + = ( ) + 2 = + (4 ) + 2 = = +1 1/2 = 2 = 2 Siis x = 2a a 2a,a R. Yleensä vektori valitaan niin, että sen pituus on yksi. Siis ( 2a) 2 + a 2 + ( 2a) 2 = 1, josta ratkeaa a = 1/3. Siis lopullinen ominaisarvoon λ 1 = 1 liittyvä ominaisvektori on 2/3 = 1/3 2/3. (3) Ominaisarvoa λ 2 = 2 vastaava ominaisvektori ratkaistaan yhtälöryhmästä A x = λ 2 x = = = = 2 2 = = 2 = = = 2

7 Vaasan yliopiston julkaisuja 195 Siis x = 2b b,b R. Vektori valitaan taas niin, että sen pituus on yksi. Siis (2b) (b) 2 = 1, josta ratkeaa b = 1/ 5. Siis lopullinen ominaisarvoon λ 2 = 2 liittyvä ominaisvektori on 2/ 5 = 1/. 5 (4) Ominaisarvoa λ 3 = 4 vastaava ominaisvektori ratkaistaan yhtälöryhmästä Siis A x = λ 3 x = = = = 4 [ 2 ] + 2 = + 2 = 2 2 = ( 2 ) + 2 = [ 2 ] + 2 = 2 2 = ( 2 ) + 2 = ( 2 ) + 2 = = x = c c c,c R. 1/2 +1 = = Vektori valitaan taas niin, että sen pituus on yksi. Siis c 2 + c 2 + c 2 = 1, josta ratkeaa c = 1/ 3. Siis lopullinen ominaisarvoon λ 3 = 4 liittyvä ominaisvektori on 1/ 3 = 1/ 3 1/. 3 Vastauksena omgelmaan voimme siis luetella ominaisarvot ja niihin liittyvät ominaisvektorit 2/3 2/ 5 1/ 3 λ 1 = 1, = 1/3, ja λ 2 = 2, = 2/3 1/, ja λ 3 = 4, = 1/ 3 5 1/ 3

8 Vaasan yliopiston julkaisuja 196 Saman matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit saadaan Matlabin komennolla [V,D] = eigs(a) seuraavasti: >> A = [2 2 ; ; 2 2] A = >> [V,D] = eigs(a) V = D = >> Siis matriisin V sarakkeet ovat ominaisvektoreita ja diagonaalimatriisin D diagonaalialkiot ovat vastaavat ominaisarvot. On melko tavallista, että karakteristisella yhtälöllä on kompleksisia juuria. Nämä juuret ovat myös ominaisarvoja ja niitä vastaavat ominaisvektorit ovat yleensä myös kompleksisia. Kompleksisen esimerkin laskeminen käsin on melko työläs tehtävä, joten tyydymme nyt tietokoneella laskettuun esimerkkiin. c4s15es2 Esimerkki 225 >> A = [2 2 ; ; 2-1] A = >> [V,D] = eigs(a) V = i i i i.9192

9 Vaasan yliopiston julkaisuja 197 D = i i >> Edellisen esimerkin matriisi ei näyttänyt hankalalta, mutta silti ominaisarvot ja ominaisvektorit ovat kompleksiset. Tässä vaiheessa helposti tulee epätoivoinen tunne siitä, että asia on liian mutkikas. Jotta epätoivo ei ahdistaisi toteamme kaksi tulosta, jotka perustelemme pian: (1) Symmetrisen matriisin (A T = A) ominaisarvot ovat reaaliset. (2) Ns. normaalin matriisin (A T A = AA T ) ominaisvektoreista voidaan muodostaa R n :n kanta. Useissa sovelluksissa tarkasteltava matriisi on symmetrinen, ja tiedämme siis, että ominaisarvot eivät ole kompleksisia. Kun karakteristisen yhtälön, det(a λ I) =, kaikki termit viedään vasemmalle puolelle yhtälöä, niin sinne syntyy karakteristinen polynomi P(λ). Karakteristinen polynomi voidaan aina myös saattaa tulomuotoon P(λ) = det(a λ I) = ( 1) n λ n + α n 1 λ n α (9.18) = ( 1) n (λ λ 1 ) k 1 (λ λ 2 ) k2 (λ λ q ) k q (9.19) Jos matriisin karakteristinen polynomi on muotoa ( karpoltulo 9.19), niin sanomme, että ominaisarvon λ j algebrallinen kertaluku on k j. Kompleksianalyysin kurssilla opimme, että kertalukujen summa on k 1 + k k q = n. C n :n lineaarinen aliavaruus ker(a λ j I) sisältää kaikki ominaisarvoon λ j liittyvät ominaisvektorit ja nollavektorin (joka ei ole ominaisvektori). Tämän aliavaruuden dimensiota ρ(λ j ) = dim ker(a λ j I) 1 sanomme ominaisarvon λ j geometriseksi kertaluvuksi. Geometrinen kertaluku kertoo, miten monta lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria voidaan liittää ominaisarvoon λ j.

10 Vaasan yliopiston julkaisuja 198 Normaalisti matriisin ominaisarvojen algebralliset- ja geometriset kertaluvut yhtyvät. Jos näin ei tapahdu, niin sanomme, että matriisi on defektiivinen. Defektiivisten matriisien tutkiminen ylittää tämän peruskurssin tavoitteet. Termi mainitaan tässä, jotta opiskelija osaa alkaa etsiä lisätietoa kirjallisuudesta, jos laskentaohjelma antaa termin osana virheilmoitusta. c4s15es3 Esimerkki 226 Tutkitaan matriisin M = Ominaisarvot ja ominaisvektorit. (1) Karakteristinen yhtälö saa muodon det(m λ I) = 2 λ 3 λ λ 3 λ λ (2 λ) = = (2 λ)((3 λ)(3 λ) 1) = (λ 2) 2 (λ 4) = Siis ominaisarvon λ 1 = 2 algebrallinen kertaluku on 2, ja ominaisarvon λ 2 = 4 algebrallinen kertaluku on 1.

11 Vaasan yliopiston julkaisuja 199 (2) Seuraavaksi määritämme ominaisarvoon λ 1 = 2 liittyvät ominaisvektorit. M x = λ 1 x = 2 2 = = = 2 = + = + = = = = = = vapaa = Siis ominaisarvon λ 1 = 2 geometrinen kertaluku on 2 ja ominaisvektorien virittäjiksi voidaan valita 1 =, ja = 1/ 2 1/ 2 (3) Seuraavaksi määritämme ominaisarvoon λ 2 = 4 liittyvät ominaisvektorit. M x = λ 2 x = 4 2 = = = 4 2 = + = + = = = Ominaisvektoriksi voidaan valita = 1/ 2 1/ 2 Sama matlabilla:

12 Vaasan yliopiston julkaisuja 2 >> M = [2 ; 3 1 ; 1 3] M = >> [V,D] = eigs(m) V = D = >> c4s15es4 Esimerkki 227 Tutkitaan matriisin Q = Ominaisarvot ja ominaisvektorit. (1) Karakteristinen yhtälö saa muodon 2 λ 1 det(q λ I) = 1 λ λ = (2 λ) 1 λ λ 1 1 λ 2 (2 λ)((1 λ)(4 λ) + 2) = (λ 2) 2 (λ 3) = = Siis ominaisarvon λ 1 = 2 algebrallinen kertaluku on 2, ja ominaisarvon λ 2 = 3 geometrinen kertaluku on 1.

13 Vaasan yliopiston julkaisuja 21 (2) Seuraavaksi määritämme ominaisarvoon λ 1 = 2 liittyvät ominaisvektorit. Q x = λ 1 x = = = 2 = = 2 = = = = = = Siis ominaisarvon λ 1 = 2 geometrinen kertaluku on = vapaa = = (3) Seuraavaksi määritämme ominaisarvoon λ 2 = 3 liittyvät ominaisvektorit. Q x = λ 2 x = = 3 = = 3 + = 2 = 2 + = + = 2 = = +1 = = 2 Ominaisvektoriksi voidaan valita = 1/ 6 1/ 6 2/ 6 Koska ensimmäisen ominaisarvon algebrallinen kertaluku on 2 ja geometrinen kertaluku on 1, on matriisi defektiivinen.

14 Vaasan yliopiston julkaisuja 22 Sama matlabilla: >> Q = [2 1 ; 1-1 ; 2 4] Q = >> [V,D] = eigs(q) V = D = >> Defektiivisyys paljastuu nyt siitä, että tuloksena saadut ominisvektorit eivät muodosta vapaata systeemiä, sillä >> det(v *V) ans = e-17 >> Ominaisarvoihin ja ominaisvektoreihin palaamme takaisin, mutta ensin toteamme joitakin uusia asioita Geometrinen tulkinta helpossa tapauksessa Edellä on annettu vain tekninen määritelmä, joka saattaa joskus johtaa kompleksisiin ominaisarvoihin ja ominaisvektoreihin. Jotta asiasta saisi nyt konkreettisen hyödyllisen mielikuvan, oletamme tässä alakappaleessa, että n n-matriisilla A on n erisuurta reaalista ominaisarvoa λ 1,λ 2,...,λ n. Tämä yksinkertaistaa kovasti tarkastelua ja antaa mahdollisuuden nähdä, mitä merkitystä ominaisarvoilla on.

15 Vaasan yliopiston julkaisuja 23 4s15theigbase Lause 228 Olkoon A n n-matriisi, jonka ominaisarvot ovat reaaliset. Matriisin A ominaisvektorit muodostavat R n :n kannan, jos ja vain jos A ei ole defektiivinen. Todistus. Jos A on defektiivinen, niin lineaarisesti riippumattomien ominaisvektorien lukumäärä on pienempi kuin n, joten ominiasvektorit eivät voi virittää R n :ää. Oletetaan seuraavaksi, että A ei ole defektiivinen. Luetellaan matriisin ominaisarvot suuruusjärjestyksessä λ 1 λ 2 λ n siten, että jokainen ominaisarvo toistuu luettelossa kertalukunsa mukaisesti. Olkoot {,..., x n }, vastaavat ominaisvektorit. Koska A ei ole defektiivinen, voidaan samaan ominaisarvoon liittyvät ominaisvektorit valita vapaiksi. Ominaisarvoon λ 1 liittyvä ominaisvektori { } muodostaa vapaan systeemin. Oletamme seuraavaksi, että ominaisarvoihin (λ 1,λ 2,...,λ p 1 ) liittyvät ominaisvektorit {,..., x p 1 } muodostavat vapaan systeemin. Osoitamme seuraavaksi, että ominaisarvoihin (λ 1,λ 2,...,λ p ) liittyvät ominaisvektorit {,..., x p 1, x p } muodostavat vapaan systeemin. oletamme sitä varten, että µ 1 + µ µ p x p =. (9.2) eigbase Oletamme, että k viimeistä ominaisvektoria liittyvät samaan ominaisarvoon (λ p k+1 = λ p k+2 = = λ p ). Nyt µ 1 + µ µ p k x p k = µ p k+1 x p k+1 µ p x p = a. (9.21) eigbase1 missä vektori a on ominaisarvoon λ p liittyvä ominaisvektori. Kertomalla yhtälö ( 9.21) eigbase1 puolittain vasemmalta A:lla saadaan Yhdistämällä ( 9.21) eigbase1 ja ( 9.22) eigbase2 saadaan µ 1 ( 1 λ 1 λ p µ 1 λ 1 + µ 2 λ µ p k λ p k x p k = λ p a, (9.22) eigbase2 ) + µ 2 ( 1 λ 2 λ p ( ) + + µ p k 1 λ ) p k x p k =. λ p Tämä on mahdollista vain, jos µ 1 = µ 2 = = µ p k =. Siis a =, mikä edelleen on mahdollista vain, jos µ p k+1 = µ p k+2 = = µ p =. Olemme siis osoittaneet, että (µ 1 + µ µ p x p = ) (µ 1 = µ 2 = = µ p = ). Induktioaskel on valmis, ja lauseen todistus saadaan induktiolla p:n suhteen.

16 Vaasan yliopiston julkaisuja 24 s15threalbase Lause 229 Jos n n-matriisilla A on n erisuurta reaalista ominaisarvoa λ 1,λ 2,...,λ n, niin vastaavista ominaisvektoreista muodostettu jono {,,..., x n } on vapaa ja siis R n :n kanta. Todistus. Suora seuraus edellisestä. Tarkastellaan kuvausta f : R n R n, u A u. Kun käytämme R n :n kantana ominaisvektoreista muodostettua kantaa, niin jokainen vektori voidaan lausua kannassa u = u 1 + u u n x n ja vektorin kuva on vastaavasti f ( u) = A u = A(u 1 + u u n x n ) = u 1 λ 1 + u 2 λ u n λ n x n joten kuvauksen matriisi on M f = λ 1 λ λ n. Geometrinen tulkinta on nyt siis se, että kun vektori lausutaan kantavektoreiden lineaarikombinaationa, se jaetaan kantavektoreiden suuntaisiin komponentteihin. Kerrottaessa matriisilla A jokainen komponentti tulee kerrottua vastaavalla ominaisarvolla. Jos λ j > 1, niin komponentti venyy, jos λ j < 1, niin komponentti kutistuu Ominaisarvohajoitelma Merkitsemme X:llä matriisia, jonka sarakkeina ovat matriisin A ominaisvektorit ja D:llä disgonaalimatriisia, jonka diagonaalilla ovat matriisin A ominaisarvot. Jos nyt matriisin A ominaisvektorit muodostavat ortonormitetun systeemin, niin A = X DX T. (9.23) eigsyshaj

17 Vaasan yliopiston julkaisuja 25 Kaavan ( eigsyshaj 9.23) perusteluksi riittää osoittaa, että X DX T x j = λ j x j = A x j kaikilla j = 1,2,...,n. Tämä taas on suora lasku, sillä X T x j = e j DX T x j = D e j = λ j e j X DX T x j = λ j X e j = λ j x j Ominaisarvohajoitelman avulla on helppo perustella joitakin tuloksia. Lause 23 Jos neliömatriiseilla A ja B ovat samat ominaisvektorit ja ominaisvektorit muodostavat ortonormitetun jonon, niin eli matriisit kommutoivat. AB = BA Todistus. Merkitään A:n ominaisarvoista muodostettua diagonaalimatriisia D A :lla ja vastaavasti B:n ominaisarvoista muodostettua diagonaalimatriisia D B :lla. Diagonaalimatriisit kommutoivat, joten AB = X D A X T X D B X T = X D A D B X T = X D B D A X T = X D B X T X D A X T = BA Matriisin potenssit on nyt helppo laskea käyttäen hajoitelmaa ( 9.23): eigsyshaj A 2 = AA = X DX T X DX T λ1 2 = X D 2 X T λ2 2 = X λn 2 λ1 n A n = X D n X T λ2 n = X λn n X T X T Lause 231 (Cayley-Hamilton) Olkoon neliömatriisilla A ominaisarvohajoitelma A = X DX T, missä ominaisvektoreista muodostettu matriisi on ortogonaalinen. Matriisi A toteuttaa oman karakteristisen yhtälönsä.

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

Ominaisarvo-hajoitelma ja diagonalisointi

Ominaisarvo-hajoitelma ja diagonalisointi Ominaisarvo-hajoitelma ja a 1 Lause 1: Jos reaalisella n n matriisilla A on n eri suurta reaalista ominaisarvoa λ 1,λ 2,...,λ n, λ i λ j, kun i j, niin vastaavat ominaisvektorit x 1, x 2,..., x n muodostavat

Lisätiedot

Kanta ja Kannan-vaihto

Kanta ja Kannan-vaihto ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

Matriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit

Matriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit Matriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit Antti Rasila 2016 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1/5 Määritelmä Skalaari λ C on matriisin A C n n ominaisarvo ja vektori v C n sitä

Lisätiedot

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI 6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,

Lisätiedot

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja 7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

Ortogonaaliset matriisit, määritelmä 1

Ortogonaaliset matriisit, määritelmä 1 , määritelmä 1 Määritelmä (a). Neliömatriisi Q on ortogonaalinen, jos Q T Q = I. Määritelmästä voidaan antaa samaa tarkoittavat, mutta erilaiselta näyttävät muodot: Määritelmä (b). n n neliömatriisi Q,

Lisätiedot

Lineaarialgebra II, MATH.1240 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg

Lineaarialgebra II, MATH.1240 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg Vaasan yliopisto, syksy 218 Lineaarialgebra II, MATH124 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg Tentti T1, 284218 Ratkaise 4 tehtävää Kokeessa saa käyttää laskinta (myös graafista ja CAS-laskinta), mutta ei taulukkokirjaa

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170

Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170 Seuraavissa luvuissa matriisit ja vektori ajatellaan kompleksisiksi, ts. kertojakuntana oletetaan olevan aina kompleksilukujoukko C Huomaa, että reaalilukujoukko

Lisätiedot

Lineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi

Lineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi Lineaarikuvaukset aiheita ten ten 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä

Lisätiedot

8 KANNAT JA ORTOGONAALISUUS. 8.1 Lineaarinen riippumattomuus. Vaasan yliopiston julkaisuja 151

8 KANNAT JA ORTOGONAALISUUS. 8.1 Lineaarinen riippumattomuus. Vaasan yliopiston julkaisuja 151 Vaasan yliopiston julkaisuja 151 8 KANNAT JA ORTOGONAALISUUS KantaOrthogon Sec:LinIndep 8.1 Lineaarinen riippumattomuus Lineaarinen riippumattomuus on oikeastaan jo määritelty, mutta kirjoitamme määritelmät

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi / kertaus

Matemaattinen Analyysi / kertaus Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen

Lisätiedot

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (

Lisätiedot

Lineaarialgebra, kertausta aiheita

Lineaarialgebra, kertausta aiheita Lineaarialgebra, kertausta aiheita Matriisitulo käänteismatriisi determinantin kehittäminen determinantin ominaisuudet adjungaatti ja Cramerin kaavat yhtälöryhmän eri esitystavat Gauss-Jordan -algoritmi

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.9.015 Reaalinen

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi

Lisätiedot

y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

Similaarisuus. Määritelmä. Huom.

Similaarisuus. Määritelmä. Huom. Similaarisuus Määritelmä Neliömatriisi A M n n on similaarinen neliömatriisin B M n n kanssa, jos on olemassa kääntyvä matriisi P M n n, jolle pätee Tällöin merkitään A B. Huom. Havaitaan, että P 1 AP

Lisätiedot

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna

Lisätiedot

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Ortogonaalisen kannan etsiminen Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on? Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Esimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt

Esimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt Esimerkki 4.4. Määrää matriisin 2 2 1 A = 1 3 1 2 4 3 ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt det(a λi ) = 1 + 2 λ 2 1 + 1 λ 1 λ 1 3 λ 1 = 1 3 λ 1 2 4 3 λ 2 4 3 λ 1 λ = 1 4 λ 1 = (1 λ)( 1)1+1 4 λ 1 2 6 3

Lisätiedot

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon

Lisätiedot

Lineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.

Lineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo. Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat

Lisätiedot

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa

Lisätiedot

OMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA

OMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA 1 OMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA Olkoon x = (x 1,..., x n ) avaruuden R n piste (l. vektori). Vektori x samaistetaan n 1-matriisin (x 1 x 2... x n ) T kanssa, ts. voidaan yhtä hyvin kirjoittaa x1

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

ominaisvektorit. Nyt 2 3 6

ominaisvektorit. Nyt 2 3 6 Esimerkki 2 6 8 Olkoon A = 40 0 6 5. Etsitäänmatriisinominaisarvotja 0 0 2 ominaisvektorit. Nyt 2 0 2 6 8 2 6 8 I A = 40 05 40 0 6 5 = 4 0 6 5 0 0 0 0 2 0 0 2 15 / 172 Täten c A ( )=det( I A) =( ) ( 2)

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

Avaruuden R n aliavaruus

Avaruuden R n aliavaruus Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla

Lisätiedot

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Kompleksiluvut Riikka Korte (muokannut Riikka Kangaslammen materiaalin pohjalta) Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.11.2015 1 /

Lisätiedot

MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42

MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42 MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42 Tehtävät 1-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ryhmissä, ja ryhmien ratkaisut esitetään harjoitustilaisuudessa (merkitty kirjaimella L = Lasketaan).

Lisätiedot

Kanta ja dimensio 1 / 23

Kanta ja dimensio 1 / 23 1 / 23 Kuten ollaan huomattu, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17 1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen

Lisätiedot

Matriisilaskenta Laskuharjoitus 5 - Ratkaisut / vko 41

Matriisilaskenta Laskuharjoitus 5 - Ratkaisut / vko 41 MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta, I/06 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 5 - Ratkaisut / vko 4 Tehtävä 5 (L): a) Oletetaan, että λ 0 on kääntyvän matriisin A ominaisarvo. Osoita, että /λ on matriisin A

Lisätiedot

Matematiikka B2 - TUDI

Matematiikka B2 - TUDI Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

MS-A0003/A Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6

MS-A0003/A Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 MS-A3/A - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 Ratkaisuehdotelmia. Diagonalisointi on hajotelma A SΛS, jossa diagonaalimatriisi Λ sisältää matriisin A ominaisarvot ja matriisin S sarakkeet ovat näitä ominaisarvoja

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

(1.1) Ae j = a k,j e k.

(1.1) Ae j = a k,j e k. Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A

Lisätiedot

Demorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104

Demorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Ensi viikolla luennot salissa X Torstaina 7.12. viimeiset demot (12.12. ja 13.12. viimeiset luennot). Torstaina 14.12 on välikoe 2, muista ilmoittautua! Demorastitiedot

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat:

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II 802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto 2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja lineaariset di erenssiyhtälöt

1 Ominaisarvot ja lineaariset di erenssiyhtälöt Taloustieteen mat.menetelmät syksy 27 materiaali II-4 Ominaisarvot ja lineaariset di erenssiyhtälöt. Idea a b Ajatellaan di erenssiyhtälöä z k+ Az k, A : Jos A olisi diagonaalimatriisi, eli b c, niin muuttujat

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/81 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 )

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 6.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Kertausta: Kääntyvien matriisien lause Lause 1 Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä.

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Kompleksiluvut Kompleksitaso

Kompleksiluvut Kompleksitaso . Kompleksiluvut.. Kompleksitaso 8. Todista kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskun (lukuparien avulla annettuihin) määritelmiin perustuen osittelulaki: z (z + z ) = z z + z z. 8. Todista kompleksilukujen

Lisätiedot

Matriisihajotelmat. MS-A0007 Matriisilaskenta. 5.1 Diagonalisointi. 5.1 Diagonalisointi

Matriisihajotelmat. MS-A0007 Matriisilaskenta. 5.1 Diagonalisointi. 5.1 Diagonalisointi MS-A0007 Matriisilaskenta 5. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 25.11.2015 Laskentaongelmissa käsiteltävät matriisit ovat tyypillisesti valtavia.

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

Analyysi I. Visa Latvala. 3. joulukuuta 2004

Analyysi I. Visa Latvala. 3. joulukuuta 2004 Analyysi I Visa Latvala 3. joulukuuta 004 95 Sisältö 6 Kompleksiluvut 96 6.1 Yhteen- ja kertolasku.............................. 96 6. Napakoordinaattiesitys............................. 10 96 6 Kompleksiluvut

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset

3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset 31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2292015 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita

Lisätiedot

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006 Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon

Lisätiedot

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä 1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

Käänteismatriisi 1 / 14

Käänteismatriisi 1 / 14 1 / 14 Jokaisella nollasta eroavalla reaaliluvulla on käänteisluku, jolla kerrottaessa tuloksena on 1. Seuraavaksi tarkastellaan vastaavaa ominaisuutta matriiseille ja määritellään käänteismatriisi. Jokaisella

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2

Lisätiedot

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen

Lisätiedot

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää

Lisätiedot

MATRIISIN HESSENBERGIN MUOTO. Niko Holopainen

MATRIISIN HESSENBERGIN MUOTO. Niko Holopainen MATRIISIN HESSENBERGIN MUOTO Niko Holopainen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2013 Tiivistelmä: Niko Holopainen, Matriisin Hessenbergin muoto Matematiikan

Lisätiedot

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa. LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSIN KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSIN KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSIN KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 1. Kompleksiluvuista Kaksiulotteinen reaalinen vektoriavaruus R 2 koostuu lukupareista (x 1, x 2 ), missä x 1 ja x 2 ovat reaalilukuja, eli R 2

Lisätiedot

Lineaarialgebra (muut ko)

Lineaarialgebra (muut ko) Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/103 Lineaarialgebra (muut ko) Tero Laihonen Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/103 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v

Lisätiedot

z 1+i (a) f (z) = 3z 4 5z 3 + 2z (b) f (z) = z 4z + 1 f (z) = 12z 3 15z 2 + 2

z 1+i (a) f (z) = 3z 4 5z 3 + 2z (b) f (z) = z 4z + 1 f (z) = 12z 3 15z 2 + 2 BM20A5700 - Integraauunnokset Harjoitus 2 1. Laske seuraavat raja-arvot. -kohta ratkeaa, kun pistät sekä yläkerran että alakerran muotoon (z z 1 )(z z 2 ), missä siis z 1 ja z 2 ovat näiden lausekkeiden

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2015 Harjoitus 4 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 862015 klo 1615 Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Ratkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45

Ratkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45 Ratkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45 Tehtävä : Olkoot A, B, X R n n, a, b R n ja jokin vektorinormi. Kätetään vektorinormia vastaavasta operaattorinormista samaa merkintää. Nätä, että. a + b a b, 2. A

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot