3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. Olkoot A 2 := AA =

Transkriptio

1 3 3 Olkoot 9 8 B 7 6 ja A 5 4 [ 3 4 Nyt A + B, AB ja BB eivät ole mielekkäitä (vastaavilla lineaarikuvauksilla menisivät dimensiot solmuun tällaisista yhdistelmistä) Kuitenkin voidaan laskea BA ja 9( ) + 8( 3) 7( ) + 6( 3) 5( ) + 4( 3) 9( ) + 8( 4) ( ) + 6( 4) ( ) + 4( 4) 7 6 A : AA ( )( ) + ( )( 3) ( )( ) + ( )( 4) ( 3)( ) + ( 4)( 3) ( 3)( ) + ( 4)( 4) / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3 8 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi Esimerkki (lasketaan luennolla) Olkoot A, B Laske AB, AC, BC ja CB 3 ja C Vastaus: AB B, AC C (vrt x x), 4 8 BC ja CB [ 3 Esimerkki Olkoon x (,, 3) R 3 ja lineaarikuvauksen F : R 3 R matriisi 3 4 A F Silloin A F x ( ) + 3( ) + 4( 3) 5( ) + 6( ) + 7( 3) 38, joten F (,, 3) A F x (, 38) 9 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3

2 3 3 Esimerkki Tason suorakulmion sivut ovat koordinaattiakselien suuntaisia ja sen kulmat ovat vastapäivään lueteltuina a (, ), b, c (4, 4) ja d Suorakulmiolle suoritetaan muunnos f, joka kuvaa sen peilatuksi neliöksi toiseen paikkaan tasossa Suorakulmion kulmat kuvautuvat muunnoksessa siten, että f (a) (, ) ja f (c) (, ), sivut koordinaattiakelien suuntaiset ja kulmat ovat vastapäivään lueteltaessa f (a), f (d), f (c) ja f (b) Etsi matriisi, jolla voit esittää muunnoksen, ja selvitä mikä on pisteen (3, ) kuva muunnoksessa Huom: Kyseessä ei ole lineaarikuvaus, mutta käyttämällä ns homogeenisia koordinaatteja eli kirjoittamalla piste (x, y) muodossa (x, y, ) se voidaan esittää matriiseilla! / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3 Ratkaisu: Piirretään ensin kuvat: d a (, ) c (4, 4) b f (b) f (c) (, ) f (a) f (d) Muunnoksen voi toteuttaa siirtämällä kuvio ensin siten, että sen piste (, ) tulee origoon (matriisi M ), pienentämällä kuvio puolittamalla x-koordinaattiarvot ja jakamalla y-koordinaattiarvot luvulla 4 (matriisi M ) ja lopulta peilaamalla suoran x y suhteen (koordinaattiarvojen vaihto keskenään, matriisi M 3 ) / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3 3 Jotta saisimme myös siirron (joka ei ole lineaarikuvaus tasossa!) esitettyä matriisilla, tarkastellaan pisteen (x, y) sijaan pistettä (x, y, ) Viimeinen koordinaatti on vain apuna mukana, kaksi ensimmäistä esittävät todellisuudessa tarkasteltavaa tason pistettä Nyt siirto (x, y, ) (x, y, ) voidaan esittää matriisilla seuraavasti: {{ M x x y y 3 Matriisi, joka kutistaa puoleen x-suunnassa ja neljännekseen y-suunnassa, eli tekee operaation (x, y, ) (x/, y/4, ) on / /4 {{ M x x/ y y/4 Lopuksi vielä peilaus (x, y, ) (y, x, ): x y y x {{ M 3 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3 4 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3

3 3 3 Koko operaation suorittava matriisi saadaan tekemällä nämä peräjälkeen: / M M 3 M M /4 /4 / Piste (x, y) kuvautuu siis pisteeksi (y/4, x/ ) ja erityisesti pisteen (3, ) kuva on (/4, /) Matriiseille voidaan lisäksi määritellä laskutoimitus, joka tekee n m-matriisista m n-matriisin vaihtamalla rivit ja sarakkeet Määritelmä 3 (Transpoosi) Olkoon {{ A (α ij ) Tällöin matriisin A transpoosi on matriisi n m A T (γ ij ), missä γ ij α ji Yhdistetylle kuvaukselle C AB pätee C T B T A T 5 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3 6 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi Määritelmä 4 Matriisi B on matriisin A käänteismatriisi, jos AB I ja BA I, missä I on sopivan kokoinen identiteettimatriisi Käänteismatriisia merkitään A Lause 5 Jos käänteismatriisi on olemassa, niin se on yksikäsitteinen Huom Jos matriisi A on kääntyvä, niin myös matriisi A on kääntyvä, ja (A ) A Jos A ja B ovat kääntyviä matriiseja, niin myös AB on kääntyvä, ja (AB) B A Jos A on kääntyvä, niin myös A T on kääntyvä, ja (A T ) (A ) T 7 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3 8 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3

4 3 Käänteismatriisin laskeminen: Olkoon A R n n kääntyvä Miten lasketaan A R n n? Nyt AA I n eli jos x j on matriisin A j:s sarake,niin saadaan n kpl lineaarisia yhtälöitä Ax j e j (j,, n) Ratkotaan nämä n yhtälöä yhtä aikaa Gauss-eliminaatiolla: liittomatriisi A A A n A A A n A In A n A n A nn muunnetaan liittomatriisiksi [ I n A Siis [ A In [ I n A 3 Esimerkki 6 Lasketaan matriisin A [ A I Siten A 5 3 käänteismatriisi: [ 3 5 (Tarkista kertolaskulla!) [ I A 9 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3 3 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3 3 Esimerkki 7 (lasketaan luennolla) Mikä on matriisin transpoosi? 3 4 A Esimerkki 8 (lasketaan luennolla) Etsi matriisien käänteismatriisit A ( ) ja B 3 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3 ( ) 3 3 Terminologiaa: {{ A on neliömatriisi; symmetrinen, jos A A T n n A on säännöllinen (sanotaan myös kääntyvä), jos käänteismatriisi on olemassa, muutoin singulaarinen A diag(α, α,, α nn ) α α α (n )(n ) α nn on lävistäjä- eli diagonaalimatriisi 3 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3

5 3 33 Yläkolmiomatriisi: α jk, kun j > k Alakolmiomatriisi: α jk, kun j < k A on ortogonaalinen, jos A A T Esimerkki 9 (lasketaan luennolla) Laadi 3 3-esimerkkimatriisit näistä kaikista Idea: Matriisin A R n n determinantti det(a) R ilmaisee miten paljon matriisia vastaava lineaarikuvaus skaalaa&peilaa avaruutta R n : Kuution [, n : {x R n j : x j [, n-tilavuus on (-tilpituus, -tilpinta-ala, 3-tiltavallinen tilavuus, ) ja A:n sarakkeiden virittämän särmiön A[, n {Ax R n x [, n n-tilavuus on det(a) (determinantin etumerkki kertoo peilautumisista) Determinantin laskemiseen tarvitaan neljä lakia: 33 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3 34 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi Laki : det(i n ) Tulkinta : Identiteettikuvaus x I n (x) x ei muuta n-tilavuutta tai suuntia Laki : Matriisin sarake t kertaistuu determinantti t kertaistuu Tulkinta : Särmiön n-tilavuus t-kertaistuu yhden särmän t-kertaistuessa Esimerkki det ( )(3) det det 5 (6)(5)(4) det 4 det 3 4 () det / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3 36 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3