Insinöörimatematiikka D

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Insinöörimatematiikka D"

Transkriptio

1 Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 1 of 30

2 Kurssin suoritus Luennot Luennot (2 14h = 28h) Ke klo salissa Cal4 ja to klo salissa QA Luentokalvot kotisivuille luennon jälkeen M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 2 of 30

3 Kurssin suoritus Luennot Luennot (2 14h = 28h) Ke klo salissa Cal4 ja to klo salissa QA Luentokalvot kotisivuille luennon jälkeen Demonstraatiot Demonstraatiot 6-7 kertaa (12-14h) Demot (tai ) Ti klo ja 12-14; alustava Anna ilmoittautumislomakkeessa demotoiveesi paremmuusjärjestyksessä Tehtävät jaetaan demotilaisuuksissa ja kotisivuilla Ratkaisut vain demotilaisuuksissa (ei nettiin) Ei mentorointia M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 2 of 30

4 Kurssin suoritus Tentti Tenttioikeuden saavuttaa ratkaisemalla 25% laskuharjoitusten tehtävistä (kaikki tehtävät yhtä arvokkaita) Ratkaisemalla 45% tehtävistä saa B-luokan (1p hyvitys tentissä) ja 70% antaa A-luokan (2p hyvitys tentissä) Tentissä 4 tehtävää, joista jokainen 8 pisteen arvoinen; siis tentin maksimipistemäärä on 32 pistettä. Tutustu kurssin kotisivuihin! M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 3 of 30

5 Kurssin sisältö Lineaarialgebra: lineaariset yhtälöryhmät, matriisit, determinantit sekä matriisin ominaisarvot ja -vektorit Vektoriavaruudet: R n, C n, etäisyys, normi, sisätulo Kolmiulotteinen avaruus: suorat, tasot, ristitulo Differentiaaliyhtälöt: sekalaisia menetelmiä M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 4 of 30

6 Kertausta M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 5 of 30

7 Kertausta Määritelmä Muuttujien x 1, x 2,... x n yhtälöryhmä on lineaarinen, jos muuttujat esiintyvät siinä vain ensimmäisessä asteessa: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 5 of 30

8 Kertausta Määritelmä Muuttujien x 1, x 2,... x n yhtälöryhmä on lineaarinen, jos muuttujat esiintyvät siinä vain ensimmäisessä asteessa: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Lineaarista yhtälöryhmää sanotaan homogeeniseksi, jos b 1 =... = b m = 0. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 5 of 30

9 Kertausta Lineaaristen yhtälöryhmien alkeisoperaatiot Kahden yhtälön järjestyksen vaihtaminen Yhtälön kertominen nollasta eroavalla vakiolla Yhtälön lisääminen toiseen vakiolla kerrottuna M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 6 of 30

10 Kertausta Lineaaristen yhtälöryhmien alkeisoperaatiot Kahden yhtälön järjestyksen vaihtaminen Yhtälön kertominen nollasta eroavalla vakiolla Yhtälön lisääminen toiseen vakiolla kerrottuna Lause Yhtälöryhmillä, jotka saadaan toisistaan alkeisperaatioilla on samat ratkaisut. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 6 of 30

11 Kertausta Lineaaristen yhtälöryhmien alkeisoperaatiot Kahden yhtälön järjestyksen vaihtaminen Yhtälön kertominen nollasta eroavalla vakiolla Yhtälön lisääminen toiseen vakiolla kerrottuna Lause Yhtälöryhmillä, jotka saadaan toisistaan alkeisperaatioilla on samat ratkaisut. Määritelmä Jos yhtälöryhmä S 2 saadaan yhtälöryhmästä S 1 alkeisoperaatioilla, sanotaan että S 1 on riviekvivalentti S 2 :n kanssa ja merkitään S 1 S 2. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 6 of 30

12 Kertausta Lineaaristen yhtälöryhmien alkeisoperaatiot Kahden yhtälön järjestyksen vaihtaminen Yhtälön kertominen nollasta eroavalla vakiolla Yhtälön lisääminen toiseen vakiolla kerrottuna Lause Yhtälöryhmillä, jotka saadaan toisistaan alkeisperaatioilla on samat ratkaisut. Määritelmä Jos yhtälöryhmä S 2 saadaan yhtälöryhmästä S 1 alkeisoperaatioilla, sanotaan että S 1 on riviekvivalentti S 2 :n kanssa ja merkitään S 1 S 2. Huom.: on ekvivalenssirelaatio. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 6 of 30

13 Kertausta Esimerkki { 2x1 x 2 +x 3 = 7 x 1 +3x 2 +4x 3 = 0 ( 2) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 7 of 30

14 Kertausta Esimerkki { 2x1 x 2 +x 3 = 7 ( 2) x 1 +3x 2 +4x 3 = 0 { 7x 2 7x 3 = 7 ( 1 7 ) x 1 +3x 2 +4x 3 = 0 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 7 of 30

15 Kertausta Esimerkki { 2x1 x 2 +x 3 = 7 ( 2) x 1 +3x 2 +4x 3 = 0 { 7x 2 7x 3 = 7 ( 1 7 ) x 1 +3x 2 +4x 3 = 0 { x1 +3x 2 +4x 3 = 0 ( 3) x 2 +x 3 = 1 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 7 of 30

16 Kertausta Esimerkki { 2x1 x 2 +x 3 = 7 ( 2) x 1 +3x 2 +4x 3 = 0 { 7x 2 7x 3 = 7 ( 1 7 ) x 1 +3x 2 +4x 3 = 0 { x1 +3x 2 +4x 3 = 0 ( 3) x 2 +x 3 = 1 { x1 +x 3 = 3 x 2 +x 3 = 1 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 7 of 30

17 Kertausta Esimerkki { 2x1 x 2 +x 3 = 7 ( 2) x 1 +3x 2 +4x 3 = 0 { 7x 2 7x 3 = 7 ( 1 7 ) x 1 +3x 2 +4x 3 = 0 { x1 +3x 2 +4x 3 = 0 ( 3) x 2 +x 3 = 1 { x1 +x 3 = 3 x 2 +x 3 = 1 Ratkaisut: (x 1,x 2,x 3 ) = ( x 3 +3, x 3 1,x 3 ) = x 3 ( 1, 1,1)+(3, 1,0), missä x 3 R. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 7 of 30

18 Lineaariset yhtälöryhmät Huomautus Alkeisoperaatiot suoritetaan yhtälöryhmän kertoimilla, eikä muuttujien merkitseminen ole välttämätöntä: { 2x1 x 2 +x 3 = 7 x 1 +3x 2 +4x 3 = 0 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 8 of 30

19 Lineaariset yhtälöryhmät Huomautus Alkeisoperaatiot suoritetaan yhtälöryhmän kertoimilla, eikä muuttujien merkitseminen ole välttämätöntä: { 2x1 x 2 +x 3 = 7 x 1 +3x 2 +4x 3 = 0 { 2 x1 1 x 2 +1 x 3 = 7 1 x 1 +3 x 2 +4 x 3 = 0 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 8 of 30

20 Lineaariset yhtälöryhmät Huomautus Alkeisoperaatiot suoritetaan yhtälöryhmän kertoimilla, eikä muuttujien merkitseminen ole välttämätöntä: { 2x1 x 2 +x 3 = 7 x 1 +3x 2 +4x 3 = 0 { 2 x1 1 x 2 +1 x 3 = 7 1 x 1 +3 x 2 +4 x 3 = 0 ( ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 8 of 30

21 Lineaariset yhtälöryhmät Määritelmä Lineaarisen yhtälöryhmän a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m kerroinmatriisi on a 11 a 21. a a 1n a a 2n a m1 a m2... a mn M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 9 of 30

22 Lineaariset yhtälöryhmät Määritelmä Lineaarisen yhtälöryhmän a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m augmentoitu (eli laajennettu) matriisi on a 11 a a 1n b 1 a 21 a a 2n b a m1 a m2... a mn b m. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 10 of 30

23 Lineaariset yhtälöryhmät Matriisien alkeisoperaatiot Kahden rivin järjestyksen vaihtaminen Rivin kertominen nollasta eroavalla vakiolla Rivin lisääminen toiseen vakiolla kerrottuna M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 11 of 30

24 Lineaariset yhtälöryhmät Matriisien alkeisoperaatiot Kahden rivin järjestyksen vaihtaminen Rivin kertominen nollasta eroavalla vakiolla Rivin lisääminen toiseen vakiolla kerrottuna Määritelmä Jos matriisi B saadaan matriisista A alkeisoperaatioilla, sanotaan että matriisi A on riviekvivalentti B:n kanssa ja merkitään A B. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 11 of 30

25 Lineaariset yhtälöryhmät Matriisien alkeisoperaatiot Kahden rivin järjestyksen vaihtaminen Rivin kertominen nollasta eroavalla vakiolla Rivin lisääminen toiseen vakiolla kerrottuna Määritelmä Jos matriisi B saadaan matriisista A alkeisoperaatioilla, sanotaan että matriisi A on riviekvivalentti B:n kanssa ja merkitään A B. Huom.: A B on ekvivalenssirelaatio. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 11 of 30

26 Lineaariset yhtälöryhmät Esimerkki Yhtälöryhmän { 2x1 x 2 +x 3 = 7 x 1 +3x 2 +4x 3 = 0 kerroinmatriisi on ( ), M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 12 of 30

27 Lineaariset yhtälöryhmät Esimerkki Yhtälöryhmän { 2x1 x 2 +x 3 = 7 x 1 +3x 2 +4x 3 = 0 kerroinmatriisi on ( augmentoitu matriisi on ( ), ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 12 of 30

28 Lineaariset yhtälöryhmät Esimerkki ( ) ( 2) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 13 of 30

29 Lineaariset yhtälöryhmät Esimerkki ( ) ( ( 2) ) ( 1 7 ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 13 of 30

30 Lineaariset yhtälöryhmät Esimerkki ( ) ( ( ) ( 2) ) ( 1 7 ) ( 3) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 13 of 30

31 Lineaariset yhtälöryhmät Esimerkki ( ) ( ( ) ( ) ( 2) ) ( 1 7 ) ( 3) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 13 of 30

32 Lineaariset yhtälöryhmät Esimerkki ( ) ( ( ) ( ) ( 2) ) ( 1 7 ) ( 3) Ja vastaava yhtälöryhmä on siis { x1 +x 3 = 3 x 2 +x 3 = 1 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 13 of 30

33 Lineaariset yhtälöryhmät Ratkaisustrategia Augmentoituun matriisiin mahdollisimman paljon nollia alkeisoperaatioilla Ratkaisut helppo lukea jos paljon nollia M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 14 of 30

34 Lineaariset yhtälöryhmät Esimerkki 2x y +3z = 4 Yhtälöryhmän 3x +2y +z = 6 5x +y 2z = 3 on augmentoitu matriisi M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 15 of 30

35 Lineaariset yhtälöryhmät Esimerkki 2x y +3z = 4 Yhtälöryhmän 3x +2y +z = 6 augmentoitu matriisi 5x +y 2z = 3 on M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 15 of 30

36 Lineaariset yhtälöryhmät Esimerkki 2x y +3z = 4 Yhtälöryhmän 3x +2y +z = 6 augmentoitu matriisi 5x +y 2z = 3 on Viimeisintä matriisia vastaa yhtälöryhmä x = 5 4 y = 13 4 z = 13 4 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 15 of 30

37 Lineaariset yhtälöryhmät Esimerkki x +3y +2z = 7 Yhtälöryhmää 2x +y z = 5 x +2y +3z = 4 on augmentoitu matriisi M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 16 of 30

38 Lineaariset yhtälöryhmät Esimerkki x +3y +2z = 7 Yhtälöryhmää 2x +y z = 5 augmentoitu matriisi x +2y +3z = 4 on M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 16 of 30

39 Lineaariset yhtälöryhmät Esimerkki x +3y +2z = 7 Yhtälöryhmää 2x +y z = 5 augmentoitu matriisi x +2y +3z = 4 on Saatua matriisia vastaavan yhtälöryhmän kolmas yhtälö on muotoa 0 x +0 y +0 z = 2 eli 0 = 2. Täten kyseisellä yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 16 of 30

40 Lineaariset yhtälöryhmät Määritelmä Matriisi A on porrasmuodossa, jos sen jokainen rivi alkaa nollilla, joita on enemmän kuin millään ylemmällä rivillä. Ensimmäisen rivin ei tarvitse alkaa nollalla ja jostain rivistä alkaen rivit voivat koostua kokonaan nollista. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 17 of 30

41 Lineaariset yhtälöryhmät Määritelmä Matriisi A on porrasmuodossa, jos sen jokainen rivi alkaa nollilla, joita on enemmän kuin millään ylemmällä rivillä. Ensimmäisen rivin ei tarvitse alkaa nollalla ja jostain rivistä alkaen rivit voivat koostua kokonaan nollista. Esimerkki Pisteet merkitsevät nollia M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 17 of 30

42 Lineaariset yhtälöryhmät Matriisi A on redusoidussa porrasmuodossa, jos A on porrasmuodossa A:n jokaisen rivin ensimmäinen nollasta poikkeava alkio on 1. A:n jokaisen rivin ensimmäisen nollasta poikkeavan alkion yläpuolella on vain nollia. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 18 of 30

43 Lineaariset yhtälöryhmät Matriisi A on redusoidussa porrasmuodossa, jos A on porrasmuodossa A:n jokaisen rivin ensimmäinen nollasta poikkeava alkio on 1. A:n jokaisen rivin ensimmäisen nollasta poikkeavan alkion yläpuolella on vain nollia. Esimerkki Pisteet merkitsevät nollia ja asteriskit mitä tahansa lukuja. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 18 of 30

44 Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin menetelmä Luentomateriaalin s. 7 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 19 of 30

45 Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin menetelmä Luentomateriaalin s. 7 Gaussin-Jordanin menetelmä Luentomateriaalin s. 7 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 19 of 30

46 Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin menetelmä Luentomateriaalin s. 7 Gaussin-Jordanin menetelmä Luentomateriaalin s. 7 Määritelmä Matriisiin A aste (rank) r(a) on sen (redusoidun) porrasmatriisin porrasluku (nollarivistä eroavien rivien määrä), joka saadaan A:sta alkeismuunnoksilla. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 19 of 30

47 Ratkaisujoukon esittäminen Esimerkki Matriisia vastaa yhtälöryhmä x 1 +2x 3 = 4 x 2 x 3 = 3 x 4 = 1, M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 20 of 30

48 Ratkaisujoukon esittäminen Esimerkki Matriisia vastaa yhtälöryhmä x 1 +2x 3 = 4 x 2 x 3 = 3 x 4 = 1, josta (x 1,x 2,x 3,x 4 ) = ( 2x 3 +4,x 3 3,x 3, 1) = ( 2x 3,x 3,x 3,0)+(4, 3,0, 1) = x 3 ( 2,1,1,0) +(4, 3,0, 1). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 20 of 30

49 Ratkaisujoukon esittäminen portaan aloittavat muuttujat esitetään muiden avulla, muut jäävät esitykseen. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 21 of 30

50 Ratkaisujoukon esittäminen portaan aloittavat muuttujat esitetään muiden avulla, muut jäävät esitykseen. Esimerkki x 1 4x 4 6x 5 = 2 x 2 +3x 4 = 3 x 3 +x 4 +2x 5 = 7 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 21 of 30

51 Ratkaisujoukon esittäminen portaan aloittavat muuttujat esitetään muiden avulla, muut jäävät esitykseen. Esimerkki Ratkaisut: x 1 4x 4 6x 5 = 2 x 2 +3x 4 = 3 x 3 +x 4 +2x 5 = 7 (x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 21 of 30

52 Ratkaisujoukon esittäminen portaan aloittavat muuttujat esitetään muiden avulla, muut jäävät esitykseen. Esimerkki Ratkaisut: x 1 4x 4 6x 5 = 2 x 2 +3x 4 = 3 x 3 +x 4 +2x 5 = 7 (x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 ) = (4x 4 +6x 5 2, 3x 4 +3, x 4 2x 5 +7,x 4,x 5 ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 21 of 30

53 Ratkaisujoukon esittäminen portaan aloittavat muuttujat esitetään muiden avulla, muut jäävät esitykseen. Esimerkki Ratkaisut: x 1 4x 4 6x 5 = 2 x 2 +3x 4 = 3 x 3 +x 4 +2x 5 = 7 (x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 ) = (4x 4 +6x 5 2, 3x 4 +3, x 4 2x 5 +7,x 4,x 5 ) = (4x 4 +6x 5, 3x 4, x 4 2x 5,x 4,x 5 )+( 2,3,7,0,0) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 21 of 30

54 Ratkaisujoukon esittäminen portaan aloittavat muuttujat esitetään muiden avulla, muut jäävät esitykseen. Esimerkki Ratkaisut: x 1 4x 4 6x 5 = 2 x 2 +3x 4 = 3 x 3 +x 4 +2x 5 = 7 (x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 ) = (4x 4 +6x 5 2, 3x 4 +3, x 4 2x 5 +7,x 4,x 5 ) = (4x 4 +6x 5, 3x 4, x 4 2x 5,x 4,x 5 )+( 2,3,7,0,0) = (4x 4, 3x 4, x 4,x 4,0)+(6x 5,0, 2x 5,0,x 5 )+( 2,3,7,0,0) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 21 of 30

55 Ratkaisujoukon esittäminen portaan aloittavat muuttujat esitetään muiden avulla, muut jäävät esitykseen. Esimerkki Ratkaisut: x 1 4x 4 6x 5 = 2 x 2 +3x 4 = 3 x 3 +x 4 +2x 5 = 7 (x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 ) = (4x 4 +6x 5 2, 3x 4 +3, x 4 2x 5 +7,x 4,x 5 ) = (4x 4 +6x 5, 3x 4, x 4 2x 5,x 4,x 5 )+( 2,3,7,0,0) = (4x 4, 3x 4, x 4,x 4,0)+(6x 5,0, 2x 5,0,x 5 )+( 2,3,7,0,0) = x 4 (4, 3, 1,1,0) +x 5 (6,0, 2,0,1) +( 2,3,7,0,0), M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 21 of 30

56 Ratkaisujoukon esittäminen Lause Jos A on lineaarisen yhtälöryhmän m n-kerroinmatriisi (ei augmentoitu), jonka aste r(a) = r, voidaan jokainen portaan aloittava muuttuja (r kpl) esittää muiden muuttujien avulla (n r kpl). Ryhmä ratkaisut voidaan esittää siis muodossa x = a 1 c a n r c n r +c, missä c i,c R n ovat vakiovektoreita ja a i R. Vektoria c kutsutaan yksittäis- tai yksityisratkaisuksi. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 22 of 30

57 Vektoriavaruudet Määritelmä Karteesinen potenssi: A n = {(a 1,a 2,...,a n ) a i A}. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 23 of 30

58 Vektoriavaruudet Määritelmä Karteesinen potenssi: A n = {(a 1,a 2,...,a n ) a i A}. Joukon A n alkioita kutsutaan vektoreiksi. Merkintä: a = (a 1,...,a n ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 23 of 30

59 Vektoriavaruudet Määritelmä Karteesinen potenssi: A n = {(a 1,a 2,...,a n ) a i A}. Joukon A n alkioita kutsutaan vektoreiksi. Merkintä: a = (a 1,...,a n ). (Taululla a) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 23 of 30

60 Vektoriavaruudet Määritelmä Karteesinen potenssi: A n = {(a 1,a 2,...,a n ) a i A}. Joukon A n alkioita kutsutaan vektoreiksi. Merkintä: a = (a 1,...,a n ). (Taululla a) Vaihtoehtoiset merkinnät: a, â, a, a M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 23 of 30

61 Vektoriavaruudet Määritelmä Karteesinen potenssi: A n = {(a 1,a 2,...,a n ) a i A}. Joukon A n alkioita kutsutaan vektoreiksi. Merkintä: a = (a 1,...,a n ). (Taululla a) Vaihtoehtoiset merkinnät: a, â, a, a Tässä kurssissa Yleensä A = R (reaalinen vektoriavaruus) tai A = C (kompleksinen vektoriavaruus). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 23 of 30

62 Vektoriavaruudet Määritelmä Olkoot a = (a 1,...,a n ) ja b = (b 1,...,b n ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 24 of 30

63 Vektoriavaruudet Määritelmä Olkoot a = (a 1,...,a n ) ja b = (b 1,...,b n ). Vektoreiden yhteenlasku määritellään a+b = (a 1 +b 1,...,a n +b n ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 24 of 30

64 Vektoriavaruudet Määritelmä Olkoot a = (a 1,...,a n ) ja b = (b 1,...,b n ). Vektoreiden yhteenlasku määritellään a+b = (a 1 +b 1,...,a n +b n ). Skalaarikertolasku määritellään ca = (ca 1,...,ca n ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 24 of 30

65 Vektoriavaruudet Määritelmä Olkoot a = (a 1,...,a n ) ja b = (b 1,...,b n ). Vektoreiden yhteenlasku määritellään a+b = (a 1 +b 1,...,a n +b n ). Skalaarikertolasku määritellään ca = (ca 1,...,ca n ). Nollavektori on 0 = (0,0,...,0) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 24 of 30

66 Vektoriavaruudet Määritelmä Olkoot a = (a 1,...,a n ) ja b = (b 1,...,b n ). Vektoreiden yhteenlasku määritellään a+b = (a 1 +b 1,...,a n +b n ). Skalaarikertolasku määritellään ca = (ca 1,...,ca n ). Nollavektori on 0 = (0,0,...,0) Vektorin a = (a 1,...,a n ) vastavektori määritellään a = ( a 1,..., a n ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 24 of 30

67 Vektoriavaruudet Lause Seuraavat ehdot toteutuvat R n :ssä ja C n :ssä: a+(b+c) = (a+b)+c a+b = b+a a+0 = a a+( a) = 0 c(a+b) = ca+cb (c +d)a = ca+da c(da) = (cd)a 1a = a M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 25 of 30

68 Vektoriavaruudet Lause Seuraavat ehdot toteutuvat R n :ssä ja C n :ssä: a+(b+c) = (a+b)+c a+b = b+a a+0 = a a+( a) = 0 c(a+b) = ca+cb (c +d)a = ca+da c(da) = (cd)a 1a = a (Vektoriavaruuksien aksioomat) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 25 of 30

69 Vektoriavaruudet Määritelmä V on vektoriavaruus summan + ja skalaarilla kertomisen suhteen, jos seuraavat aksioomat toteutuvat kaikilla X,Y,Z V ja a,b K: V1 X +(Y +Z) = (X +Y)+Z V2 X +Y = Y +X V3 X +0 = X, missä 0 on nolla-alkio V4 X +( X) = 0, missä X on vasta-alkio V5 a(x +Y) = ax +ay V6 (a+b)x = ax +bx V7 a(bx) = (ab)x V8 1X = X M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 26 of 30

70 Vektoriavaruudet Esimerkki C 0 [a,b] on välillä [a,b] määriteltyjen, jatkuvien reaalifunktioiden joukko. Huomaa, että (f,g C 0 [a,b]) f = g f(x) = g(x) x [a,b]. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 27 of 30

71 Vektoriavaruudet Esimerkki C 0 [a,b] on välillä [a,b] määriteltyjen, jatkuvien reaalifunktioiden joukko. Huomaa, että (f,g C 0 [a,b]) f = g f(x) = g(x) x [a,b]. Määritellään yhteen- ja skalaarikertolasku: (f +g)(x) = f(x)+g(x) (af)(x) = a f(x) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 27 of 30

72 Vektoriavaruudet Esimerkki C 0 [a,b] on välillä [a,b] määriteltyjen, jatkuvien reaalifunktioiden joukko. Huomaa, että (f,g C 0 [a,b]) f = g f(x) = g(x) x [a,b]. Määritellään yhteen- ja skalaarikertolasku: (f +g)(x) = f(x)+g(x) (af)(x) = a f(x) Nolla-alkiona f 0 (x) = 0 ja vasta-alkiona f(x). Aksioomat V1 V8 toteutuvat. Siis C 0 [a,b] on eo. operaatioiden suhteen vektoriavaruus. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 27 of 30

73 Vektoriavaruudet Huomautus f = (f 1,...,f n ) R n voidaan katsoa funktioksi f : {1,...,n} R, jolle f(i) = f i. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 28 of 30

74 Vektoriavaruudet Huomautus f = (f 1,...,f n ) R n voidaan katsoa funktioksi f : {1,...,n} R, jolle f(i) = f i. Tällöin f(t), missä t [a,b] on tämän välitön yleistys. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 28 of 30

75 Vektoriavaruudet Huomautus f = (f 1,...,f n ) R n voidaan katsoa funktioksi f : {1,...,n} R, jolle f(i) = f i. Tällöin f(t), missä t [a,b] on tämän välitön yleistys. Huomautus Avaruuksilla R 1, R 2 ja R 3 on ilmeinen visuaalinen tulkinta. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 28 of 30

76 Vektoriavaruudet Esimerkki 9 Merkitään jolloin i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1), (x,y,z) = (x,0,0)+(0,y,0) +(0,0,z) = xi+yj+zk. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 29 of 30

77 Vektoriavaruudet Esimerkki 9 Merkitään jolloin i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1), (x,y,z) = (x,0,0)+(0,y,0) +(0,0,z) = xi+yj+zk. Lineaarikombinaatiot (K on joko R tai C): L(v 1,...,v k ) = {c 1 v c k v k c 1,...,c k K}. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 29 of 30

78 Vektoriavaruudet Esimerkki 9 Merkitään jolloin i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1), (x,y,z) = (x,0,0)+(0,y,0) +(0,0,z) = xi+yj+zk. Lineaarikombinaatiot (K on joko R tai C): L(v 1,...,v k ) = {c 1 v c k v k c 1,...,c k K}. Vaihtoehtoinen merkintä: L(v 1,...,v k ) = v 1,...,v k. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 29 of 30

79 Vektoriavaruudet Esimerkki Edellisen perusteella R 3 = L(i,j,k). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 30 of 30

80 Vektoriavaruudet Esimerkki Edellisen perusteella R 3 = L(i,j,k). Esimerkki Merkitään e 1 = (1,0,...,0), e 2 = (0,1,...,0),..., e n = (0,0,...,1). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 30 of 30

81 Vektoriavaruudet Esimerkki Edellisen perusteella R 3 = L(i,j,k). Esimerkki Merkitään e 1 = (1,0,...,0), e 2 = (0,1,...,0),..., e n = (0,0,...,1). Tällöin (x 1,...,x n ) = x 1 e 1 +x 2 e x n e n. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 30 of 30

82 Vektoriavaruudet Esimerkki Edellisen perusteella R 3 = L(i,j,k). Esimerkki Merkitään e 1 = (1,0,...,0), e 2 = (0,1,...,0),..., e n = (0,0,...,1). Tällöin (x 1,...,x n ) = x 1 e 1 +x 2 e x n e n. Näin ollen R n = L(e 1,...,e n ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 30 of 30

83 Vektoriavaruudet Esimerkki Edellisen perusteella R 3 = L(i,j,k). Esimerkki Merkitään e 1 = (1,0,...,0), e 2 = (0,1,...,0),..., e n = (0,0,...,1). Tällöin (x 1,...,x n ) = x 1 e 1 +x 2 e x n e n. Näin ollen R n = L(e 1,...,e n ). Määritelmä Vektorit v 1,..., v k generoivat joukon U = L(v 1,...,v k ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 30 of 30

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

802118P Lineaarialgebra I (4 op)

802118P Lineaarialgebra I (4 op) 802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2014 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 1 of 16 Kertausta Lineaarinen riippuvuus

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut 2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka D 2018

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka D 2018 Mika Hirvensalo Insinöörimatematiikka D 2018 Sisältö 1 Lineaarialgebran peruskäsitteitä 5 11 Lineaariset yhtälöryhmät 5 111 Gaussin-Jordanin menetelmä 5 112 Ratkaisujoukon systemaattinen esittäminen 8

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Lineaarinen yhtälöryhmä

Lineaarinen yhtälöryhmä Lineaarinen yhtälöryhmä 1 / 39 Lineaarinen yhtälö Määritelmä 1 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia.

Lisätiedot

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista 29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n

Lisätiedot

Matematiikka B2 - TUDI

Matematiikka B2 - TUDI Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Käänteismatriisin ominaisuuksia

Käänteismatriisin ominaisuuksia Käänteismatriisin ominaisuuksia Lause 1.4. Jos A ja B ovat säännöllisiä ja luku λ 0, niin 1) (A 1 ) 1 = A 2) (λa) 1 = 1 λ A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1 4) (A T ) 1 = (A 1 ) T. Tod.... Ortogonaaliset matriisit

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/81 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 )

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Lotta Oinonen ja Johanna Rämö 6. joulukuuta 2012 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos 2012 Sisältö 1 Avaruus R n 4 1 Avaruuksien R 2 ja R 3 vektorit.....................

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus

Lisätiedot

Ennakkotehtävän ratkaisu

Ennakkotehtävän ratkaisu Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb

Lisätiedot

Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmä

Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmä 1 / 25 : Se on menetelmä lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemiseksi. Sitä käytetään myöhemmin myös käänteismatriisin määräämisessä. Ideana on tiettyjä rivioperaatioita käyttäen muokata yhtälöryhmää niin,

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka D 2019

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka D 2019 Mika Hirvensalo Insinöörimatematiikka D 2019 Sisältö 1 Lineaarialgebran peruskäsitteitä 3 11 Lineaariset yhtälöryhmät 3 111 Gaussin-Jordanin menetelmä 3 112 Ratkaisujoukon systemaattinen esittäminen 6

Lisätiedot

Vektoreiden virittämä aliavaruus

Vektoreiden virittämä aliavaruus Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka D 2015

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka D 2015 Mika Hirvensalo Insinöörimatematiikka D 2015 Sisältö 1 Lineaarialgebran peruskäsitteitä............................................... 5 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät..................................................

Lisätiedot

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen

Lisätiedot

Lineaarialgebra (muut ko)

Lineaarialgebra (muut ko) Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/103 Lineaarialgebra (muut ko) Tero Laihonen Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/103 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v

Lisätiedot

5 Lineaariset yhtälöryhmät

5 Lineaariset yhtälöryhmät 5 Lineaariset yhtälöryhmät Edellisen luvun lopun esimerkissä päädyttiin yhtälöryhmään, jonka ratkaisemisesta riippui, kuuluuko tietty vektori eräiden toisten vektorien virittämään aliavaruuteen Tämäntyyppisiä

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Lineaarialgebra II, MATH.1240 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg

Lineaarialgebra II, MATH.1240 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg Vaasan yliopisto, syksy 218 Lineaarialgebra II, MATH124 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg Tentti T1, 284218 Ratkaise 4 tehtävää Kokeessa saa käyttää laskinta (myös graafista ja CAS-laskinta), mutta ei taulukkokirjaa

Lisätiedot

LINEAARIALGEBRA I. Hannu Honkasalo. Helsingin yliopiston matematiikan laitos v w u ...

LINEAARIALGEBRA I. Hannu Honkasalo. Helsingin yliopiston matematiikan laitos v w u ... LINEAARIALGEBRA I Hannu Honkasalo v w u h w A v Helsingin yliopiston matematiikan laitos 003 SISÄLTÖ 1 Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit 11 Lineaariset yhtälöryhmät 1 1 Matriisit ja matriisitoimitukset

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

Seuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117

Seuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Seuraava luento ti 31.10 on salissa XXII Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/117 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v

Lisätiedot

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa. LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,

Lisätiedot

s = 11 7 t = = 2 7 Sijoittamalla keskimmäiseen yhtälöön saadaan: k ( 2) = 0 2k = 8 k = 4

s = 11 7 t = = 2 7 Sijoittamalla keskimmäiseen yhtälöön saadaan: k ( 2) = 0 2k = 8 k = 4 BM0A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 5, Syksy 05. (a) i. Jotta vektori c sijaitsisi a:n ja b:n virittämällä tasolla, c on voitava esittää a:n ja b:n lineaarikombinaationa. c ta + sb

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa I Jokke Häsä, Lotta Oinonen, Johanna Rämö 11. syyskuuta 2016 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Vektoriavaruuksien R 2 ja R 3 vektorit........................

Lisätiedot

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät 1 1 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT Muotoa 11 Lineaariset yhtälöryhmät (1) a 1 x 1 + a x + + a n x n b oleva yhtälö on tuntemattomien x 1,, x n lineaarinen yhtälö, jonka kertoimet ovat luvut a 1,,

Lisätiedot

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella

Lisätiedot

Matriisilaskenta. Harjoitusten 3 ratkaisut (Kevät 2019) 1. Olkoot AB = ja 2. Osoitetaan, että matriisi B on matriisin A käänteismatriisi.

Matriisilaskenta. Harjoitusten 3 ratkaisut (Kevät 2019) 1. Olkoot AB = ja 2. Osoitetaan, että matriisi B on matriisin A käänteismatriisi. Matriisilaskenta Harjoitusten ratkaisut (Kevät 9). Olkoot ja A = B = 5. Osoitetaan, että matriisi B on matriisin A käänteismatriisi. Tapa Käänteismatriisin määritelmän nojalla riittää osoittaa, että AB

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 17.5.2017 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Martina Aaltonen, martina.aaltonen@helsinki.fi, 1/18 Siirry istumaan jonkun viereen. Kaikilla on

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa I Jokke Häsä, Lotta Oinonen, Johanna Rämö 27. marraskuuta 2015 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Vektoriavaruuksien R 2 ja R 3 vektorit........................

Lisätiedot

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa I Jokke Häsä, Lotta Oinonen, Johanna Rämö 9 heinäkuuta 2013 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Avaruuksien R 2 ja R 3 vektorit 4 11 Kaksiulotteisen

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

10 Matriisit ja yhtälöryhmät

10 Matriisit ja yhtälöryhmät 10 Matriisit ja yhtälöryhmät Tässä luvussa esitellään uusi tapa kirjoittaa lineaarinen yhtälöryhmä matriisien avulla käyttäen hyväksi matriisikertolaskua sekä sarakevektoreita Pilkotaan sitä varten yhtälöryhmän

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

ominaisvektorit. Nyt 2 3 6

ominaisvektorit. Nyt 2 3 6 Esimerkki 2 6 8 Olkoon A = 40 0 6 5. Etsitäänmatriisinominaisarvotja 0 0 2 ominaisvektorit. Nyt 2 0 2 6 8 2 6 8 I A = 40 05 40 0 6 5 = 4 0 6 5 0 0 0 0 2 0 0 2 15 / 172 Täten c A ( )=det( I A) =( ) ( 2)

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Lineaarikuvaus

Lisätiedot

Muistutus: Matikkapaja ke Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta yms.

Muistutus: Matikkapaja ke Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta yms. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/139 Ensi viikon luennot salissa X Muistutus: Matikkapaja ke 14-16 Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta

Lisätiedot

Avaruuden R n aliavaruus

Avaruuden R n aliavaruus Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla

Lisätiedot

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

Käänteismatriisi 1 / 14

Käänteismatriisi 1 / 14 1 / 14 Jokaisella nollasta eroavalla reaaliluvulla on käänteisluku, jolla kerrottaessa tuloksena on 1. Seuraavaksi tarkastellaan vastaavaa ominaisuutta matriiseille ja määritellään käänteismatriisi. Jokaisella

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 9

Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo ja pituus Vektorien välinen kulma Motivointi Tähän asti olemme tarkastelleet yhden

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio

6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio 6 Vektoriavaruus R n 6.1 Lineaarikombinaatio Määritelmä 19. Vektori x œ R n on vektorien v 1,...,v k œ R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että x = i v i. i=1 Esimerkki 30.

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 8. Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo

Talousmatematiikan perusteet: Luento 8. Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo Talousmatematiikan perusteet: Luento 8 Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo Motivointi Esim. Herkkumatikka maksaa 50 /kg. Paljonko

Lisätiedot

Yleiset lineaarimuunnokset

Yleiset lineaarimuunnokset TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Lineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.

Lineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo. Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

1. Normi ja sisätulo

1. Normi ja sisätulo Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 3 83 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni Normi ja sisätulo

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 6.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Kertausta: Kääntyvien matriisien lause Lause 1 Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä.

Lisätiedot

802120P Matriisilaskenta (5 op)

802120P Matriisilaskenta (5 op) 802120P Matriisilaskenta (5 op) Tero Vedenjuoksu Matemaattiset tieteet Syksy 2015 1 / 159 Luennoitsija: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi M321 Kurssilla käytetään Noppaa (noppa.oulu.fi) sekäoptimaa

Lisätiedot

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty

Lisätiedot

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159 Ensi viikon luennot salissa X Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/159 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 ) Skalaarilla

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Lineaarikuvaukset Lineaarikuvaus Olkoot U ja V

Lisätiedot

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66 Ensi viikon luennot salissa X Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/66 Redusoitu porrasmuoto 1 1 2 4 1 1 4 6 2 2 5 9 1 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 Eli aste r(a) = 2 ja vaakariviavaruuden

Lisätiedot

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä 7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan

Lisätiedot

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaarinen yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, (1) voidaan esittää

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

2. REAALIKERTOIMISET VEKTORIAVARUUDET

2. REAALIKERTOIMISET VEKTORIAVARUUDET 30 REAALIKERTOIMISET VEKTORIAVARUUDET 1 Koordinaattiavaruus R n Olkoon n N = {1,, 3, } positiivinen kokonaisluku (luonnollisten lukujen joukko on tällä kurssilla N = {0, 1,, 3, }) Merkitään R n = R n 1

Lisätiedot