Insinöörimatematiikka D
|
|
|
- Kimmo Sariola
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 1 of 30
2 Kurssin suoritus Luennot Luennot (2 14h = 28h) Ke klo salissa Cal4 ja to klo salissa QA Luentokalvot kotisivuille luennon jälkeen M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 2 of 30
3 Kurssin suoritus Luennot Luennot (2 14h = 28h) Ke klo salissa Cal4 ja to klo salissa QA Luentokalvot kotisivuille luennon jälkeen Demonstraatiot Demonstraatiot 6-7 kertaa (12-14h) Demot (tai ) Ti klo ja 12-14; alustava Anna ilmoittautumislomakkeessa demotoiveesi paremmuusjärjestyksessä Tehtävät jaetaan demotilaisuuksissa ja kotisivuilla Ratkaisut vain demotilaisuuksissa (ei nettiin) Ei mentorointia M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 2 of 30
4 Kurssin suoritus Tentti Tenttioikeuden saavuttaa ratkaisemalla 25% laskuharjoitusten tehtävistä (kaikki tehtävät yhtä arvokkaita) Ratkaisemalla 45% tehtävistä saa B-luokan (1p hyvitys tentissä) ja 70% antaa A-luokan (2p hyvitys tentissä) Tentissä 4 tehtävää, joista jokainen 8 pisteen arvoinen; siis tentin maksimipistemäärä on 32 pistettä. Tutustu kurssin kotisivuihin! M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 3 of 30
5 Kurssin sisältö Lineaarialgebra: lineaariset yhtälöryhmät, matriisit, determinantit sekä matriisin ominaisarvot ja -vektorit Vektoriavaruudet: R n, C n, etäisyys, normi, sisätulo Kolmiulotteinen avaruus: suorat, tasot, ristitulo Differentiaaliyhtälöt: sekalaisia menetelmiä M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 4 of 30
6 Kertausta M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 5 of 30
7 Kertausta Määritelmä Muuttujien x 1, x 2,... x n yhtälöryhmä on lineaarinen, jos muuttujat esiintyvät siinä vain ensimmäisessä asteessa: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 5 of 30
8 Kertausta Määritelmä Muuttujien x 1, x 2,... x n yhtälöryhmä on lineaarinen, jos muuttujat esiintyvät siinä vain ensimmäisessä asteessa: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Lineaarista yhtälöryhmää sanotaan homogeeniseksi, jos b 1 =... = b m = 0. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 5 of 30
9 Kertausta Lineaaristen yhtälöryhmien alkeisoperaatiot Kahden yhtälön järjestyksen vaihtaminen Yhtälön kertominen nollasta eroavalla vakiolla Yhtälön lisääminen toiseen vakiolla kerrottuna M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 6 of 30
10 Kertausta Lineaaristen yhtälöryhmien alkeisoperaatiot Kahden yhtälön järjestyksen vaihtaminen Yhtälön kertominen nollasta eroavalla vakiolla Yhtälön lisääminen toiseen vakiolla kerrottuna Lause Yhtälöryhmillä, jotka saadaan toisistaan alkeisperaatioilla on samat ratkaisut. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 6 of 30
11 Kertausta Lineaaristen yhtälöryhmien alkeisoperaatiot Kahden yhtälön järjestyksen vaihtaminen Yhtälön kertominen nollasta eroavalla vakiolla Yhtälön lisääminen toiseen vakiolla kerrottuna Lause Yhtälöryhmillä, jotka saadaan toisistaan alkeisperaatioilla on samat ratkaisut. Määritelmä Jos yhtälöryhmä S 2 saadaan yhtälöryhmästä S 1 alkeisoperaatioilla, sanotaan että S 1 on riviekvivalentti S 2 :n kanssa ja merkitään S 1 S 2. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 6 of 30
12 Kertausta Lineaaristen yhtälöryhmien alkeisoperaatiot Kahden yhtälön järjestyksen vaihtaminen Yhtälön kertominen nollasta eroavalla vakiolla Yhtälön lisääminen toiseen vakiolla kerrottuna Lause Yhtälöryhmillä, jotka saadaan toisistaan alkeisperaatioilla on samat ratkaisut. Määritelmä Jos yhtälöryhmä S 2 saadaan yhtälöryhmästä S 1 alkeisoperaatioilla, sanotaan että S 1 on riviekvivalentti S 2 :n kanssa ja merkitään S 1 S 2. Huom.: on ekvivalenssirelaatio. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 6 of 30
13 Kertausta Esimerkki { 2x1 x 2 +x 3 = 7 x 1 +3x 2 +4x 3 = 0 ( 2) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 7 of 30
14 Kertausta Esimerkki { 2x1 x 2 +x 3 = 7 ( 2) x 1 +3x 2 +4x 3 = 0 { 7x 2 7x 3 = 7 ( 1 7 ) x 1 +3x 2 +4x 3 = 0 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 7 of 30
15 Kertausta Esimerkki { 2x1 x 2 +x 3 = 7 ( 2) x 1 +3x 2 +4x 3 = 0 { 7x 2 7x 3 = 7 ( 1 7 ) x 1 +3x 2 +4x 3 = 0 { x1 +3x 2 +4x 3 = 0 ( 3) x 2 +x 3 = 1 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 7 of 30
16 Kertausta Esimerkki { 2x1 x 2 +x 3 = 7 ( 2) x 1 +3x 2 +4x 3 = 0 { 7x 2 7x 3 = 7 ( 1 7 ) x 1 +3x 2 +4x 3 = 0 { x1 +3x 2 +4x 3 = 0 ( 3) x 2 +x 3 = 1 { x1 +x 3 = 3 x 2 +x 3 = 1 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 7 of 30
17 Kertausta Esimerkki { 2x1 x 2 +x 3 = 7 ( 2) x 1 +3x 2 +4x 3 = 0 { 7x 2 7x 3 = 7 ( 1 7 ) x 1 +3x 2 +4x 3 = 0 { x1 +3x 2 +4x 3 = 0 ( 3) x 2 +x 3 = 1 { x1 +x 3 = 3 x 2 +x 3 = 1 Ratkaisut: (x 1,x 2,x 3 ) = ( x 3 +3, x 3 1,x 3 ) = x 3 ( 1, 1,1)+(3, 1,0), missä x 3 R. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 7 of 30
18 Lineaariset yhtälöryhmät Huomautus Alkeisoperaatiot suoritetaan yhtälöryhmän kertoimilla, eikä muuttujien merkitseminen ole välttämätöntä: { 2x1 x 2 +x 3 = 7 x 1 +3x 2 +4x 3 = 0 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 8 of 30
19 Lineaariset yhtälöryhmät Huomautus Alkeisoperaatiot suoritetaan yhtälöryhmän kertoimilla, eikä muuttujien merkitseminen ole välttämätöntä: { 2x1 x 2 +x 3 = 7 x 1 +3x 2 +4x 3 = 0 { 2 x1 1 x 2 +1 x 3 = 7 1 x 1 +3 x 2 +4 x 3 = 0 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 8 of 30
20 Lineaariset yhtälöryhmät Huomautus Alkeisoperaatiot suoritetaan yhtälöryhmän kertoimilla, eikä muuttujien merkitseminen ole välttämätöntä: { 2x1 x 2 +x 3 = 7 x 1 +3x 2 +4x 3 = 0 { 2 x1 1 x 2 +1 x 3 = 7 1 x 1 +3 x 2 +4 x 3 = 0 ( ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 8 of 30
21 Lineaariset yhtälöryhmät Määritelmä Lineaarisen yhtälöryhmän a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m kerroinmatriisi on a 11 a 21. a a 1n a a 2n a m1 a m2... a mn M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 9 of 30
22 Lineaariset yhtälöryhmät Määritelmä Lineaarisen yhtälöryhmän a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m augmentoitu (eli laajennettu) matriisi on a 11 a a 1n b 1 a 21 a a 2n b a m1 a m2... a mn b m. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 10 of 30
23 Lineaariset yhtälöryhmät Matriisien alkeisoperaatiot Kahden rivin järjestyksen vaihtaminen Rivin kertominen nollasta eroavalla vakiolla Rivin lisääminen toiseen vakiolla kerrottuna M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 11 of 30
24 Lineaariset yhtälöryhmät Matriisien alkeisoperaatiot Kahden rivin järjestyksen vaihtaminen Rivin kertominen nollasta eroavalla vakiolla Rivin lisääminen toiseen vakiolla kerrottuna Määritelmä Jos matriisi B saadaan matriisista A alkeisoperaatioilla, sanotaan että matriisi A on riviekvivalentti B:n kanssa ja merkitään A B. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 11 of 30
25 Lineaariset yhtälöryhmät Matriisien alkeisoperaatiot Kahden rivin järjestyksen vaihtaminen Rivin kertominen nollasta eroavalla vakiolla Rivin lisääminen toiseen vakiolla kerrottuna Määritelmä Jos matriisi B saadaan matriisista A alkeisoperaatioilla, sanotaan että matriisi A on riviekvivalentti B:n kanssa ja merkitään A B. Huom.: A B on ekvivalenssirelaatio. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 11 of 30
26 Lineaariset yhtälöryhmät Esimerkki Yhtälöryhmän { 2x1 x 2 +x 3 = 7 x 1 +3x 2 +4x 3 = 0 kerroinmatriisi on ( ), M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 12 of 30
27 Lineaariset yhtälöryhmät Esimerkki Yhtälöryhmän { 2x1 x 2 +x 3 = 7 x 1 +3x 2 +4x 3 = 0 kerroinmatriisi on ( augmentoitu matriisi on ( ), ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 12 of 30
28 Lineaariset yhtälöryhmät Esimerkki ( ) ( 2) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 13 of 30
29 Lineaariset yhtälöryhmät Esimerkki ( ) ( ( 2) ) ( 1 7 ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 13 of 30
30 Lineaariset yhtälöryhmät Esimerkki ( ) ( ( ) ( 2) ) ( 1 7 ) ( 3) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 13 of 30
31 Lineaariset yhtälöryhmät Esimerkki ( ) ( ( ) ( ) ( 2) ) ( 1 7 ) ( 3) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 13 of 30
32 Lineaariset yhtälöryhmät Esimerkki ( ) ( ( ) ( ) ( 2) ) ( 1 7 ) ( 3) Ja vastaava yhtälöryhmä on siis { x1 +x 3 = 3 x 2 +x 3 = 1 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 13 of 30
33 Lineaariset yhtälöryhmät Ratkaisustrategia Augmentoituun matriisiin mahdollisimman paljon nollia alkeisoperaatioilla Ratkaisut helppo lukea jos paljon nollia M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 14 of 30
34 Lineaariset yhtälöryhmät Esimerkki 2x y +3z = 4 Yhtälöryhmän 3x +2y +z = 6 5x +y 2z = 3 on augmentoitu matriisi M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 15 of 30
35 Lineaariset yhtälöryhmät Esimerkki 2x y +3z = 4 Yhtälöryhmän 3x +2y +z = 6 augmentoitu matriisi 5x +y 2z = 3 on M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 15 of 30
36 Lineaariset yhtälöryhmät Esimerkki 2x y +3z = 4 Yhtälöryhmän 3x +2y +z = 6 augmentoitu matriisi 5x +y 2z = 3 on Viimeisintä matriisia vastaa yhtälöryhmä x = 5 4 y = 13 4 z = 13 4 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 15 of 30
37 Lineaariset yhtälöryhmät Esimerkki x +3y +2z = 7 Yhtälöryhmää 2x +y z = 5 x +2y +3z = 4 on augmentoitu matriisi M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 16 of 30
38 Lineaariset yhtälöryhmät Esimerkki x +3y +2z = 7 Yhtälöryhmää 2x +y z = 5 augmentoitu matriisi x +2y +3z = 4 on M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 16 of 30
39 Lineaariset yhtälöryhmät Esimerkki x +3y +2z = 7 Yhtälöryhmää 2x +y z = 5 augmentoitu matriisi x +2y +3z = 4 on Saatua matriisia vastaavan yhtälöryhmän kolmas yhtälö on muotoa 0 x +0 y +0 z = 2 eli 0 = 2. Täten kyseisellä yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 16 of 30
40 Lineaariset yhtälöryhmät Määritelmä Matriisi A on porrasmuodossa, jos sen jokainen rivi alkaa nollilla, joita on enemmän kuin millään ylemmällä rivillä. Ensimmäisen rivin ei tarvitse alkaa nollalla ja jostain rivistä alkaen rivit voivat koostua kokonaan nollista. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 17 of 30
41 Lineaariset yhtälöryhmät Määritelmä Matriisi A on porrasmuodossa, jos sen jokainen rivi alkaa nollilla, joita on enemmän kuin millään ylemmällä rivillä. Ensimmäisen rivin ei tarvitse alkaa nollalla ja jostain rivistä alkaen rivit voivat koostua kokonaan nollista. Esimerkki Pisteet merkitsevät nollia M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 17 of 30
42 Lineaariset yhtälöryhmät Matriisi A on redusoidussa porrasmuodossa, jos A on porrasmuodossa A:n jokaisen rivin ensimmäinen nollasta poikkeava alkio on 1. A:n jokaisen rivin ensimmäisen nollasta poikkeavan alkion yläpuolella on vain nollia. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 18 of 30
43 Lineaariset yhtälöryhmät Matriisi A on redusoidussa porrasmuodossa, jos A on porrasmuodossa A:n jokaisen rivin ensimmäinen nollasta poikkeava alkio on 1. A:n jokaisen rivin ensimmäisen nollasta poikkeavan alkion yläpuolella on vain nollia. Esimerkki Pisteet merkitsevät nollia ja asteriskit mitä tahansa lukuja. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 18 of 30
44 Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin menetelmä Luentomateriaalin s. 7 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 19 of 30
45 Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin menetelmä Luentomateriaalin s. 7 Gaussin-Jordanin menetelmä Luentomateriaalin s. 7 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 19 of 30
46 Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin menetelmä Luentomateriaalin s. 7 Gaussin-Jordanin menetelmä Luentomateriaalin s. 7 Määritelmä Matriisiin A aste (rank) r(a) on sen (redusoidun) porrasmatriisin porrasluku (nollarivistä eroavien rivien määrä), joka saadaan A:sta alkeismuunnoksilla. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 19 of 30
47 Ratkaisujoukon esittäminen Esimerkki Matriisia vastaa yhtälöryhmä x 1 +2x 3 = 4 x 2 x 3 = 3 x 4 = 1, M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 20 of 30
48 Ratkaisujoukon esittäminen Esimerkki Matriisia vastaa yhtälöryhmä x 1 +2x 3 = 4 x 2 x 3 = 3 x 4 = 1, josta (x 1,x 2,x 3,x 4 ) = ( 2x 3 +4,x 3 3,x 3, 1) = ( 2x 3,x 3,x 3,0)+(4, 3,0, 1) = x 3 ( 2,1,1,0) +(4, 3,0, 1). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 20 of 30
49 Ratkaisujoukon esittäminen portaan aloittavat muuttujat esitetään muiden avulla, muut jäävät esitykseen. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 21 of 30
50 Ratkaisujoukon esittäminen portaan aloittavat muuttujat esitetään muiden avulla, muut jäävät esitykseen. Esimerkki x 1 4x 4 6x 5 = 2 x 2 +3x 4 = 3 x 3 +x 4 +2x 5 = 7 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 21 of 30
51 Ratkaisujoukon esittäminen portaan aloittavat muuttujat esitetään muiden avulla, muut jäävät esitykseen. Esimerkki Ratkaisut: x 1 4x 4 6x 5 = 2 x 2 +3x 4 = 3 x 3 +x 4 +2x 5 = 7 (x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 21 of 30
52 Ratkaisujoukon esittäminen portaan aloittavat muuttujat esitetään muiden avulla, muut jäävät esitykseen. Esimerkki Ratkaisut: x 1 4x 4 6x 5 = 2 x 2 +3x 4 = 3 x 3 +x 4 +2x 5 = 7 (x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 ) = (4x 4 +6x 5 2, 3x 4 +3, x 4 2x 5 +7,x 4,x 5 ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 21 of 30
53 Ratkaisujoukon esittäminen portaan aloittavat muuttujat esitetään muiden avulla, muut jäävät esitykseen. Esimerkki Ratkaisut: x 1 4x 4 6x 5 = 2 x 2 +3x 4 = 3 x 3 +x 4 +2x 5 = 7 (x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 ) = (4x 4 +6x 5 2, 3x 4 +3, x 4 2x 5 +7,x 4,x 5 ) = (4x 4 +6x 5, 3x 4, x 4 2x 5,x 4,x 5 )+( 2,3,7,0,0) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 21 of 30
54 Ratkaisujoukon esittäminen portaan aloittavat muuttujat esitetään muiden avulla, muut jäävät esitykseen. Esimerkki Ratkaisut: x 1 4x 4 6x 5 = 2 x 2 +3x 4 = 3 x 3 +x 4 +2x 5 = 7 (x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 ) = (4x 4 +6x 5 2, 3x 4 +3, x 4 2x 5 +7,x 4,x 5 ) = (4x 4 +6x 5, 3x 4, x 4 2x 5,x 4,x 5 )+( 2,3,7,0,0) = (4x 4, 3x 4, x 4,x 4,0)+(6x 5,0, 2x 5,0,x 5 )+( 2,3,7,0,0) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 21 of 30
55 Ratkaisujoukon esittäminen portaan aloittavat muuttujat esitetään muiden avulla, muut jäävät esitykseen. Esimerkki Ratkaisut: x 1 4x 4 6x 5 = 2 x 2 +3x 4 = 3 x 3 +x 4 +2x 5 = 7 (x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 ) = (4x 4 +6x 5 2, 3x 4 +3, x 4 2x 5 +7,x 4,x 5 ) = (4x 4 +6x 5, 3x 4, x 4 2x 5,x 4,x 5 )+( 2,3,7,0,0) = (4x 4, 3x 4, x 4,x 4,0)+(6x 5,0, 2x 5,0,x 5 )+( 2,3,7,0,0) = x 4 (4, 3, 1,1,0) +x 5 (6,0, 2,0,1) +( 2,3,7,0,0), M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 21 of 30
56 Ratkaisujoukon esittäminen Lause Jos A on lineaarisen yhtälöryhmän m n-kerroinmatriisi (ei augmentoitu), jonka aste r(a) = r, voidaan jokainen portaan aloittava muuttuja (r kpl) esittää muiden muuttujien avulla (n r kpl). Ryhmä ratkaisut voidaan esittää siis muodossa x = a 1 c a n r c n r +c, missä c i,c R n ovat vakiovektoreita ja a i R. Vektoria c kutsutaan yksittäis- tai yksityisratkaisuksi. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 22 of 30
57 Vektoriavaruudet Määritelmä Karteesinen potenssi: A n = {(a 1,a 2,...,a n ) a i A}. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 23 of 30
58 Vektoriavaruudet Määritelmä Karteesinen potenssi: A n = {(a 1,a 2,...,a n ) a i A}. Joukon A n alkioita kutsutaan vektoreiksi. Merkintä: a = (a 1,...,a n ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 23 of 30
59 Vektoriavaruudet Määritelmä Karteesinen potenssi: A n = {(a 1,a 2,...,a n ) a i A}. Joukon A n alkioita kutsutaan vektoreiksi. Merkintä: a = (a 1,...,a n ). (Taululla a) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 23 of 30
60 Vektoriavaruudet Määritelmä Karteesinen potenssi: A n = {(a 1,a 2,...,a n ) a i A}. Joukon A n alkioita kutsutaan vektoreiksi. Merkintä: a = (a 1,...,a n ). (Taululla a) Vaihtoehtoiset merkinnät: a, â, a, a M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 23 of 30
61 Vektoriavaruudet Määritelmä Karteesinen potenssi: A n = {(a 1,a 2,...,a n ) a i A}. Joukon A n alkioita kutsutaan vektoreiksi. Merkintä: a = (a 1,...,a n ). (Taululla a) Vaihtoehtoiset merkinnät: a, â, a, a Tässä kurssissa Yleensä A = R (reaalinen vektoriavaruus) tai A = C (kompleksinen vektoriavaruus). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 23 of 30
62 Vektoriavaruudet Määritelmä Olkoot a = (a 1,...,a n ) ja b = (b 1,...,b n ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 24 of 30
63 Vektoriavaruudet Määritelmä Olkoot a = (a 1,...,a n ) ja b = (b 1,...,b n ). Vektoreiden yhteenlasku määritellään a+b = (a 1 +b 1,...,a n +b n ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 24 of 30
64 Vektoriavaruudet Määritelmä Olkoot a = (a 1,...,a n ) ja b = (b 1,...,b n ). Vektoreiden yhteenlasku määritellään a+b = (a 1 +b 1,...,a n +b n ). Skalaarikertolasku määritellään ca = (ca 1,...,ca n ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 24 of 30
65 Vektoriavaruudet Määritelmä Olkoot a = (a 1,...,a n ) ja b = (b 1,...,b n ). Vektoreiden yhteenlasku määritellään a+b = (a 1 +b 1,...,a n +b n ). Skalaarikertolasku määritellään ca = (ca 1,...,ca n ). Nollavektori on 0 = (0,0,...,0) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 24 of 30
66 Vektoriavaruudet Määritelmä Olkoot a = (a 1,...,a n ) ja b = (b 1,...,b n ). Vektoreiden yhteenlasku määritellään a+b = (a 1 +b 1,...,a n +b n ). Skalaarikertolasku määritellään ca = (ca 1,...,ca n ). Nollavektori on 0 = (0,0,...,0) Vektorin a = (a 1,...,a n ) vastavektori määritellään a = ( a 1,..., a n ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 24 of 30
67 Vektoriavaruudet Lause Seuraavat ehdot toteutuvat R n :ssä ja C n :ssä: a+(b+c) = (a+b)+c a+b = b+a a+0 = a a+( a) = 0 c(a+b) = ca+cb (c +d)a = ca+da c(da) = (cd)a 1a = a M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 25 of 30
68 Vektoriavaruudet Lause Seuraavat ehdot toteutuvat R n :ssä ja C n :ssä: a+(b+c) = (a+b)+c a+b = b+a a+0 = a a+( a) = 0 c(a+b) = ca+cb (c +d)a = ca+da c(da) = (cd)a 1a = a (Vektoriavaruuksien aksioomat) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 25 of 30
69 Vektoriavaruudet Määritelmä V on vektoriavaruus summan + ja skalaarilla kertomisen suhteen, jos seuraavat aksioomat toteutuvat kaikilla X,Y,Z V ja a,b K: V1 X +(Y +Z) = (X +Y)+Z V2 X +Y = Y +X V3 X +0 = X, missä 0 on nolla-alkio V4 X +( X) = 0, missä X on vasta-alkio V5 a(x +Y) = ax +ay V6 (a+b)x = ax +bx V7 a(bx) = (ab)x V8 1X = X M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 26 of 30
70 Vektoriavaruudet Esimerkki C 0 [a,b] on välillä [a,b] määriteltyjen, jatkuvien reaalifunktioiden joukko. Huomaa, että (f,g C 0 [a,b]) f = g f(x) = g(x) x [a,b]. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 27 of 30
71 Vektoriavaruudet Esimerkki C 0 [a,b] on välillä [a,b] määriteltyjen, jatkuvien reaalifunktioiden joukko. Huomaa, että (f,g C 0 [a,b]) f = g f(x) = g(x) x [a,b]. Määritellään yhteen- ja skalaarikertolasku: (f +g)(x) = f(x)+g(x) (af)(x) = a f(x) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 27 of 30
72 Vektoriavaruudet Esimerkki C 0 [a,b] on välillä [a,b] määriteltyjen, jatkuvien reaalifunktioiden joukko. Huomaa, että (f,g C 0 [a,b]) f = g f(x) = g(x) x [a,b]. Määritellään yhteen- ja skalaarikertolasku: (f +g)(x) = f(x)+g(x) (af)(x) = a f(x) Nolla-alkiona f 0 (x) = 0 ja vasta-alkiona f(x). Aksioomat V1 V8 toteutuvat. Siis C 0 [a,b] on eo. operaatioiden suhteen vektoriavaruus. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 27 of 30
73 Vektoriavaruudet Huomautus f = (f 1,...,f n ) R n voidaan katsoa funktioksi f : {1,...,n} R, jolle f(i) = f i. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 28 of 30
74 Vektoriavaruudet Huomautus f = (f 1,...,f n ) R n voidaan katsoa funktioksi f : {1,...,n} R, jolle f(i) = f i. Tällöin f(t), missä t [a,b] on tämän välitön yleistys. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 28 of 30
75 Vektoriavaruudet Huomautus f = (f 1,...,f n ) R n voidaan katsoa funktioksi f : {1,...,n} R, jolle f(i) = f i. Tällöin f(t), missä t [a,b] on tämän välitön yleistys. Huomautus Avaruuksilla R 1, R 2 ja R 3 on ilmeinen visuaalinen tulkinta. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 28 of 30
76 Vektoriavaruudet Esimerkki 9 Merkitään jolloin i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1), (x,y,z) = (x,0,0)+(0,y,0) +(0,0,z) = xi+yj+zk. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 29 of 30
77 Vektoriavaruudet Esimerkki 9 Merkitään jolloin i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1), (x,y,z) = (x,0,0)+(0,y,0) +(0,0,z) = xi+yj+zk. Lineaarikombinaatiot (K on joko R tai C): L(v 1,...,v k ) = {c 1 v c k v k c 1,...,c k K}. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 29 of 30
78 Vektoriavaruudet Esimerkki 9 Merkitään jolloin i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1), (x,y,z) = (x,0,0)+(0,y,0) +(0,0,z) = xi+yj+zk. Lineaarikombinaatiot (K on joko R tai C): L(v 1,...,v k ) = {c 1 v c k v k c 1,...,c k K}. Vaihtoehtoinen merkintä: L(v 1,...,v k ) = v 1,...,v k. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 29 of 30
79 Vektoriavaruudet Esimerkki Edellisen perusteella R 3 = L(i,j,k). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 30 of 30
80 Vektoriavaruudet Esimerkki Edellisen perusteella R 3 = L(i,j,k). Esimerkki Merkitään e 1 = (1,0,...,0), e 2 = (0,1,...,0),..., e n = (0,0,...,1). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 30 of 30
81 Vektoriavaruudet Esimerkki Edellisen perusteella R 3 = L(i,j,k). Esimerkki Merkitään e 1 = (1,0,...,0), e 2 = (0,1,...,0),..., e n = (0,0,...,1). Tällöin (x 1,...,x n ) = x 1 e 1 +x 2 e x n e n. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 30 of 30
82 Vektoriavaruudet Esimerkki Edellisen perusteella R 3 = L(i,j,k). Esimerkki Merkitään e 1 = (1,0,...,0), e 2 = (0,1,...,0),..., e n = (0,0,...,1). Tällöin (x 1,...,x n ) = x 1 e 1 +x 2 e x n e n. Näin ollen R n = L(e 1,...,e n ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 30 of 30
83 Vektoriavaruudet Esimerkki Edellisen perusteella R 3 = L(i,j,k). Esimerkki Merkitään e 1 = (1,0,...,0), e 2 = (0,1,...,0),..., e n = (0,0,...,1). Tällöin (x 1,...,x n ) = x 1 e 1 +x 2 e x n e n. Näin ollen R n = L(e 1,...,e n ). Määritelmä Vektorit v 1,..., v k generoivat joukon U = L(v 1,...,v k ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 30 of 30
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
802118P Lineaarialgebra I (4 op)
802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2014 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 1 of 16 Kertausta Lineaarinen riippuvuus
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut
2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin
Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka D 2018
Mika Hirvensalo Insinöörimatematiikka D 2018 Sisältö 1 Lineaarialgebran peruskäsitteitä 5 11 Lineaariset yhtälöryhmät 5 111 Gaussin-Jordanin menetelmä 5 112 Ratkaisujoukon systemaattinen esittäminen 8
MS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
Lineaarinen yhtälöryhmä
Lineaarinen yhtälöryhmä 1 / 39 Lineaarinen yhtälö Määritelmä 1 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia.
9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista
29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n
Matematiikka B2 - TUDI
Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
Matematiikka B2 - Avoin yliopisto
6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
Käänteismatriisin ominaisuuksia
Käänteismatriisin ominaisuuksia Lause 1.4. Jos A ja B ovat säännöllisiä ja luku λ 0, niin 1) (A 1 ) 1 = A 2) (λa) 1 = 1 λ A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1 4) (A T ) 1 = (A 1 ) T. Tod.... Ortogonaaliset matriisit
Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81
Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/81 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 )
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.
Johdatus lineaarialgebraan
Johdatus lineaarialgebraan Lotta Oinonen ja Johanna Rämö 6. joulukuuta 2012 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos 2012 Sisältö 1 Avaruus R n 4 1 Avaruuksien R 2 ja R 3 vektorit.....................
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
BM20A0700, Matematiikka KoTiB2
BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus
Ennakkotehtävän ratkaisu
Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb
Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmä
1 / 25 : Se on menetelmä lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemiseksi. Sitä käytetään myöhemmin myös käänteismatriisin määräämisessä. Ideana on tiettyjä rivioperaatioita käyttäen muokata yhtälöryhmää niin,
Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka D 2019
Mika Hirvensalo Insinöörimatematiikka D 2019 Sisältö 1 Lineaarialgebran peruskäsitteitä 3 11 Lineaariset yhtälöryhmät 3 111 Gaussin-Jordanin menetelmä 3 112 Ratkaisujoukon systemaattinen esittäminen 6
Vektoreiden virittämä aliavaruus
Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden
Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka D 2015
Mika Hirvensalo Insinöörimatematiikka D 2015 Sisältö 1 Lineaarialgebran peruskäsitteitä............................................... 5 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät..................................................
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
Lineaarialgebra (muut ko)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/103 Lineaarialgebra (muut ko) Tero Laihonen Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/103 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v
5 Lineaariset yhtälöryhmät
5 Lineaariset yhtälöryhmät Edellisen luvun lopun esimerkissä päädyttiin yhtälöryhmään, jonka ratkaisemisesta riippui, kuuluuko tietty vektori eräiden toisten vektorien virittämään aliavaruuteen Tämäntyyppisiä
Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210
Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2
Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Lineaarialgebra II, MATH.1240 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg
Vaasan yliopisto, syksy 218 Lineaarialgebra II, MATH124 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg Tentti T1, 284218 Ratkaise 4 tehtävää Kokeessa saa käyttää laskinta (myös graafista ja CAS-laskinta), mutta ei taulukkokirjaa
LINEAARIALGEBRA I. Hannu Honkasalo. Helsingin yliopiston matematiikan laitos v w u ...
LINEAARIALGEBRA I Hannu Honkasalo v w u h w A v Helsingin yliopiston matematiikan laitos 003 SISÄLTÖ 1 Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit 11 Lineaariset yhtälöryhmät 1 1 Matriisit ja matriisitoimitukset
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
Seuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117
Seuraava luento ti 31.10 on salissa XXII Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/117 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v
Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
s = 11 7 t = = 2 7 Sijoittamalla keskimmäiseen yhtälöön saadaan: k ( 2) = 0 2k = 8 k = 4
BM0A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 5, Syksy 05. (a) i. Jotta vektori c sijaitsisi a:n ja b:n virittämällä tasolla, c on voitava esittää a:n ja b:n lineaarikombinaationa. c ta + sb
Johdatus lineaarialgebraan
Johdatus lineaarialgebraan Osa I Jokke Häsä, Lotta Oinonen, Johanna Rämö 11. syyskuuta 2016 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Vektoriavaruuksien R 2 ja R 3 vektorit........................
1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät
1 1 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT Muotoa 11 Lineaariset yhtälöryhmät (1) a 1 x 1 + a x + + a n x n b oleva yhtälö on tuntemattomien x 1,, x n lineaarinen yhtälö, jonka kertoimet ovat luvut a 1,,
Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia
Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella
Matriisilaskenta. Harjoitusten 3 ratkaisut (Kevät 2019) 1. Olkoot AB = ja 2. Osoitetaan, että matriisi B on matriisin A käänteismatriisi.
Matriisilaskenta Harjoitusten ratkaisut (Kevät 9). Olkoot ja A = B = 5. Osoitetaan, että matriisi B on matriisin A käänteismatriisi. Tapa Käänteismatriisin määritelmän nojalla riittää osoittaa, että AB
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 17.5.2017 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Martina Aaltonen, martina.aaltonen@helsinki.fi, 1/18 Siirry istumaan jonkun viereen. Kaikilla on
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät
1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Johdatus lineaarialgebraan
Johdatus lineaarialgebraan Osa I Jokke Häsä, Lotta Oinonen, Johanna Rämö 27. marraskuuta 2015 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Vektoriavaruuksien R 2 ja R 3 vektorit........................
Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna
Johdatus lineaarialgebraan
Johdatus lineaarialgebraan Osa I Jokke Häsä, Lotta Oinonen, Johanna Rämö 9 heinäkuuta 2013 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Avaruuksien R 2 ja R 3 vektorit 4 11 Kaksiulotteisen
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
10 Matriisit ja yhtälöryhmät
10 Matriisit ja yhtälöryhmät Tässä luvussa esitellään uusi tapa kirjoittaa lineaarinen yhtälöryhmä matriisien avulla käyttäen hyväksi matriisikertolaskua sekä sarakevektoreita Pilkotaan sitä varten yhtälöryhmän
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
ominaisvektorit. Nyt 2 3 6
Esimerkki 2 6 8 Olkoon A = 40 0 6 5. Etsitäänmatriisinominaisarvotja 0 0 2 ominaisvektorit. Nyt 2 0 2 6 8 2 6 8 I A = 40 05 40 0 6 5 = 4 0 6 5 0 0 0 0 2 0 0 2 15 / 172 Täten c A ( )=det( I A) =( ) ( 2)
Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.
Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT
JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Lineaarikuvaus
Muistutus: Matikkapaja ke Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta yms.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/139 Ensi viikon luennot salissa X Muistutus: Matikkapaja ke 14-16 Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta
Avaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h
HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)
Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1
Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
Käänteismatriisi 1 / 14
1 / 14 Jokaisella nollasta eroavalla reaaliluvulla on käänteisluku, jolla kerrottaessa tuloksena on 1. Seuraavaksi tarkastellaan vastaavaa ominaisuutta matriiseille ja määritellään käänteismatriisi. Jokaisella
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.
Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007
Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear
Talousmatematiikan perusteet: Luento 9
Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo ja pituus Vektorien välinen kulma Motivointi Tähän asti olemme tarkastelleet yhden
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio
6 Vektoriavaruus R n 6.1 Lineaarikombinaatio Määritelmä 19. Vektori x œ R n on vektorien v 1,...,v k œ R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että x = i v i. i=1 Esimerkki 30.
Talousmatematiikan perusteet: Luento 8. Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo
Talousmatematiikan perusteet: Luento 8 Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo Motivointi Esim. Herkkumatikka maksaa 50 /kg. Paljonko
Yleiset lineaarimuunnokset
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
Lineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT
5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön
1. Normi ja sisätulo
Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 3 83 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni Normi ja sisätulo
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 6.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Kertausta: Kääntyvien matriisien lause Lause 1 Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä.
802120P Matriisilaskenta (5 op)
802120P Matriisilaskenta (5 op) Tero Vedenjuoksu Matemaattiset tieteet Syksy 2015 1 / 159 Luennoitsija: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi M321 Kurssilla käytetään Noppaa (noppa.oulu.fi) sekäoptimaa
Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä
Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty
Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159
Ensi viikon luennot salissa X Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/159 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 ) Skalaarilla
MS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Lineaarikuvaukset Lineaarikuvaus Olkoot U ja V
Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66
Ensi viikon luennot salissa X Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/66 Redusoitu porrasmuoto 1 1 2 4 1 1 4 6 2 2 5 9 1 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 Eli aste r(a) = 2 ja vaakariviavaruuden
7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit
Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaarinen yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, (1) voidaan esittää
Ominaisarvo ja ominaisvektori
Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
2. REAALIKERTOIMISET VEKTORIAVARUUDET
30 REAALIKERTOIMISET VEKTORIAVARUUDET 1 Koordinaattiavaruus R n Olkoon n N = {1,, 3, } positiivinen kokonaisluku (luonnollisten lukujen joukko on tällä kurssilla N = {0, 1,, 3, }) Merkitään R n = R n 1