Matematiikka B2 - TUDI

Transkriptio

1 Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1

2 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus Matriisin vapausaste Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 2

3 Kurssin sisältö 2/2 Determinantti Cramerin sääntö Käänteismatriiisi Gauss - Jordan Adjugoitu matriisi Matriisin ominaisarvot, ominaisvektorit Lineaarikuvaus Pääakselimuunnos Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 3

4 Sisältö 1 Osa 1 Laskutoimitukset, Gaussin eliminointi 2 3 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 4

5 Sisältö 1 Osa 1 Laskutoimitukset, Gaussin eliminointi 2 3 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 5

6 Matriisi 1/2 A on n m matriisi, eli A:ssa on n riviä ja m saraketta Jos n = m on A neliömatriisi Vektori on matriisi, jossa on vain yksi rivi tai sarake ā = [ a 1 a 2... a n ] A = a 11 a 12 a a 1n a 21 a 22 a a 2n a 31 a 32 a a 3n a m1 a m2 a m3... a mn b = b 1 b 2. b n Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 6

7 Matriisi 2/2 A:n transpoosi A T saadaan kun vaihdetaan A:sta rivit ja sarakkeet A T = A niin A on symmetrinen A T = A niin A on vinosymmetrinen A T = a 11 a 21 a a m1 a 12 a 22 a a m2 a 13 a 23 a a m a 1n a 2n a 3n... a nm Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 7

8 Erityismatriiseja Alakolmiomatriisi a T a = a 21 a 22 0 a 31 a 32 a 33 Diagonaalimatriisi a T d = 0 a a 33 Yläkolmiomatriisi a 11 a 12 a 13 T y = 0 a 22 a a 33 Yksikkömatriisi I = Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 8

9 Laskutoimitukset Yhteenlasku A = [a ij ] B = [b ij ] A+B = [a ij +b ij ] Matriisien oltava samankokoisia Skalaarilla kertominen ca = [c a ij ] Ominaisuuksia (A+B) T = A T +B T (ca) T = ca T Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 9

10 [ ] [ ] = [ ] [ ] = [ ]

11 Laskutoimitukset Kertolasku Tulo C = AB, missä A = [a ij ] m n, B = [b ij ] r p Tulo on määritelty jos ja vain jos n = r Tulon tulos C on tällöin m p c ij = n a il b lj = a i1 b 1j +a i2 b 2j +...+a in b nj l=1 Ominaisuuksia (AB) T = B T A T AB BA AB = 0 ei välttämättä tarkoita, että A = 0 B = 0 BA = 0 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 11

12 Määritä tulo AB A = B = [ ] [ ] = =

13 Laske kertolaskut [ ][ [ ] = [ ( 4) ( 4)+0 5 [ ] = 2 8 ][ ] [ ] ( 2) = ( 2) [ ] 17 3 = 8 6 [ AB BA ][ ] 1 1 = 1 1 [ ] ]

14 Matriisitulo lineaarimuunnoksessa { y1 = a 11 x 1 +a 12 x 2 { x1 = b 11 w 1 +b 12 w 2 y 2 = a 21 x 1 +a 22 x 2 Lineaarikuvaukset voidaan tällöin kirjoittaa muotoon: ȳ = A x x = B w Yhdistämällä saadaan: ȳ = A x = A(B w) = AB w = C w x 2 = b 21 w 1 +b 22 w 2 ȳ = [ y1 y 2 ] [ x1 x = x 2 [ ] a11 a A = 12 a 21 a 22 [ ] x1 x = w = x 2 [ w1 w 2 [ ] b11 b B = 12 b 21 b 22 ] ] Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 14

15 Lineaarinen yhtälöryhmä Rajoitutaan yhtälöryhmiin a 11 x a 1n x n = b 1 a 21 x a 2n x n = b 2... a n1 x a nn x n = b n Lineaarinen yhtälöryhmä voidaan lyhyesti kirjoittaa Ax = b, missä a a 1n x 1 b 1 A =....., x =., b =. a n1... a nn x n b n Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 15

16 Gaussin eliminointi 1/2 Yhtälöryhmän ratkaisu säilyy samana, mikäli Vaihdetaan kaksi riviä Kerrotaan rivi vakiolla 0 Lisätään vakiolla kerrottu rivi toiseen riviin Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 16

17 Gaussin eliminointi 2/2 2x 1 + x 2 + x 3 = 7 4x 1 + 4x 2 + 3x 3 = 21 6x 1 + 7x 2 + 4x 3 = 32 2x 1 + x 2 + x 3 = 7 2x 2 + 1x 3 = 7 4x 2 + 1x 3 = 11 2x 1 + x 2 + x 3 = 7 2x 2 + 1x 3 = 7 x 3 = 3 x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 17

18 Ratkaise x 1 x 2 +x 3 = 0 x 1 +x 2 x 3 = 0 10x 2 +25x 3 = 90 20x 1 +10x 2 = 80 Matriisimuodossa Ax = b x 1 x 2 x 3 = Gaussin eliminointia: x 1 x 2 +x 3 = 0 10x 2 +25x 3 = 90 95x 3 = 190 x 1 = 2+4 x 2 = x 3 = 190/ 95 x 1 = 2 x 2 = 4 x 3 = 2

19 Ratkaise 3x 1 +2x 2 +x 3 = 3 2x 1 +x 2 +x 3 = 0 6x 1 +2x 2 +4x 3 = 6. Ei ratkaisua. 3x 1 +2x 2 +x 3 = x x 3 = 2 0 =

20 Ratkaise 3.0x x x 3 5.0x 4 = x x x 3 5.4x 4 = x 1 0.3x 2 0.3x x 4 = x 1 = 2 t x 2 = t 1.1s 1.1 = 1+4t s x 3 = s x 4 = t

21 Sisältö 1 Osa 1 Laskutoimitukset, Gaussin eliminointi 2 3 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 21

22 Lineaarinen riippumattomuus Vektorit ā 1,ā 2,...,ā n ovat lineaarisesti riippumattomia jos ja vain jos yhtälön ainut ratkaisu on c 1 ā 1 +c 2 ā c n ā n = 0 c 1 = c 2 =... = c n = 0 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 22

23 Tutki ovatko vektorit a = (1 2 3), b = (2 2 0), c = (0 1 7) lineaarisesti riippuvia Asetetaan c 1 (1 2 3)+c 2 (2 2 0)+c 3 (0 1 7) = c 1 +2c 2 +0c 3 = c 1 2c 2 +c 3 = 0 3c 1 +0c 2 +7c 3 = c 3 = 0 c 3 = 0 c 1 = c 2 = c 3 = 0 Täten a, b, c lineaarisesti riippumattomia

24 Tutki ovatko vektorit a = (2 3 4), b = (4 7 6), c = ( ), d = (2 7 3) lineaarisesti riippumattomia. a, b, c, d R 3 Vektoreita 4 > 3 a, b, c, d lineaarisesti riippuvia

25 Matriisin vapausaste (rank) Matriisin A vapausaste r(a) Kerrosmatriisin ei-nollarivien lukumäärä Lineaarisesti riippumattomien rivien tai sarakkeiden lukumäärä A:ssa r(a) saadaan Gaussin eliminaation jälkeisen yläkolmiomatriisin ei-nollarivien määrästä Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 25

26 Määritä matriisin rank ja nulliteetti. A = { rank A = 2 < 3 = n null A = 3 2 = 1

27 Laskutoimitukset Determinantti Determinantin sovelluksia lineaarisissa systeemeissä, ominaisarvo-ongelmissa, differentiaaliyhtälöissä, vektorilaskennassa Voidaan laskea vain neliömatriisille Merkitään a a 1n det(a) = A =..... a n1... a nn A:n alimatriisi (n 1) (n 1) C ij Saadaan poistamalla A:sta i:s rivi ja j:s sarake Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 27

28 Determinantti Määritelmä det(a) = A = det(a) = A = n a ij ( 1) (i+j) C ij, i {1,...,n} j=1 n a ij ( 1) (i+j) C ij, j {1,...,n} i=1 Erityistapauksia: det(a) = A = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 21 a 12 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 28

29 Determinantti a 11 a a 1n a a a 2n a 21 a = a nn a n1 a n2... a nn = a 11 a 22...a nn deta T = deta det(ab) = (deta)(detb) deta 1 = 1 deta deti = 1 det(xa) = x n deta deta = 0 A:n riveissä(sarakkeissa) on lineaarinen riippuvuus! deta 0 A 1 deta = λ 1 λ 2...λ n Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 29

30 Määritä determinantin arvo = = = 1 ( 1) ( 16) 10 =

31 Determinantti Jos kaksiriviä tai saraketta vaihdetaan, niin determinantin arvo vaihtuu vastakkaismerkkiseksi Rivi (sarake) voidaan kertoa vakiolla ja lisätä toiseen det:n arvon muuttumatta Rivin (sarakkeen) alkiot kerrotaan vakiolla C Determinantti tulee kerrotuksi C:llä Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 31

32 Määritä determinantin arvo = = = 0

33 Cramerin sääntö Olkoon A x = b lineaarinen yhtälöryhmä Tällöin sen ratkaisut x j saadaan Cramerin säännön avulla seuraavasti: Määritelmä x j = D j D, j = 1,...,n D = deta ja D j on determinantti, joka saadaan vaihtamalla D:n j:s sarake vektorilla b Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 33

34 Ratkaise yhtälöryhmä cramerin säännöllä 2x y = 1 x +3y z = 2 y +2z = 1 Yhtälö matriisimuodossa esitettynä: D = D 1 = = ( 1) ( 1) = = = 2 2 = 0 = 10 2 = 8

35 D 2 = ( 1) D 3 = ( 1) = = = 10+2 = 8 = = (10 2) = 8 x = D 1 D = 0 8 = 0 y = D 2 D = 8 8 = 1 z = D 3 D = 8 8 = 1

36 Käänteismatriisi Matriisin A käänteismatriisille A 1 pätee AA 1 = A 1 A = I Vrt. A A tai skalaareilla cc 1 = 1 Käänteismatriisi on olemassa vain n n neliömatriiseille, joiden rank = n (eli ei lineaarista riippuvuutta) Yhtälöryhmä voidaan ratkaista käänteismatriisin avulla: A x = b A 1 A x = A 1 b I x = A 1 b x = A 1 b Käänteismatriisin laskentaan kaksi peruskeinoa: Gauss-Jordan menetelmä Adjungoidun matriisin avulla Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 36

37 Käänteismatriisi Gaus-Jordan: Olkoon A n n matriisi, jonka ranka = n [A I]... [I A 1 ] Adjungoidu matriisi: A 1 = 1 deta adj(a) A 11 A A 1n A 21 A A 2n adj(a) = A n1 A n1... A nn T Missä A ij on alkion a ij cofaktori-determinantti Eli A:n alideterminantti, kun i:s rivi ja j:s sarake on poistettu Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 37

38 Määritä kääänteismatriisi A A = [AI] = = [IA 1 ] A 1 =

39 Muodosta käänteismatriisi A 1 adjukoidun matriisin avulla A = deta = = adja = A 1 = 1 deta adja = T = T

40 Sisältö 1 Osa 1 Laskutoimitukset, Gaussin eliminointi 2 3 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 40

41 Ominaisarvot Lukua λ sanotaan neliömatriisin A ominaisarvoksi ja x 0 vastaavaksi ominaisvektoriksi, jos Määritelmä A x = λ x (A λi) x = 0 det(a λi) = a 11 λ a a 1n a 21 a 22 λ... a 2n.... a n1 a n2... a nn λ = 0 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 41

42 Ominaisarvot Ratkaise ominaisarvot yhtälöstä: det(a λi) = 0 Tämän jälkeen ominaisvektorit saat ratkaisemalla eri lambdan arvoilla yhtälöryhmän: (A λi) x = 0 Yhtälöryhmällä ääretön määrä ratkaisuja, valitaan yksi Moninkertainen ominaisarvo antaa yhtä monta ominaisvektoria Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 42

43 Määritä matriisin A = Ominaisarvot ja -vektorit. Mikä on ominaisarvojen algebrallinen ja geometrinen monikerta? Ominaisarvot: = det(a λi) = 13 λ λ λ 21 λ 8 4 = 21+λ 13 λ λ 21 λ λ λ = (21 λ) 5 λ λ

44 = (21 λ)((5 λ)(23 λ) 4 ( 8)) = (21 λ)(λ 2 28λ+147) = 0 Ominaisvektorit: λ 1,2 = 21 M 21 = 2 (alg) λ 3 = 7 M 7 = 1 λ 1,2 = 21 (A 21I) x = x 1 +2x 2 +x 3 = 0 x 1 = t x 2 = s x 3 = 2(t +s) v 1,2 = = t t s 2(t +s) +s 0 1 2

45 val v 1 = λ 3 = 7: (A 7I) x = , v 2 = val v 3 = { x1 +x 2 +4x 3 = 0 x 2 +2x 3 = 0 m 21 = 2(geom) x 1 = 2t x 2 = 2t x 3 = t m 7 = 1

46 Matriisin diagonalisointi Jokainen n n neliömatriisi A, jolla on n ominaisvektoria voidaan diagonalisoida Olkoon X matriisi, jonka sarakkeina ovat A:n ominaisvektorit (nkpl) ja D diagonaalimatriisi, jonka alkioina ovat A:n ominaisarvot, tällöin: D = X 1 AX A m = XD m X 1 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 46

47 Laske matriisille A = 1 7 Ominaisarvot: 6 det(a λi) = 3 7 [ λ λ ] A 10. = λ+ 1 7 λ+λ = λ+λ 2 = 0 λ 1 = 0 λ 2 = 1 Ominaisvektorit: λ 1 = 0: (A 0I) [ 6 ] [ λ 1 = 1: (A+I) [ val v 1 = ] [ val v 1 = ] 3x 1 +x 2 = 0 [ 1 3 ] ] x 1 +2x 2 = 0 [ 2 1 ]

48 [ ] 1 2 X = 3 1 [ 1 3 [ ] 0 0 D = 0 1 ] T = 1 [ ] 1 2 X 1 = [ ][ ] 10 [ A 10 = XD 10 X = [ ][ ][ ] ] 1 = = 1 [ ][ ] = 1 [ ]