Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Transkriptio

1 LINEAARIALGEBRA Harjoituksia Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa. 2. Olkoon V = R 3 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2, x 3 ) = (λ 2 x 1, λ 2 x 2, λ 2 x 3 ) (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ja λ R. Onko V vektoriavaruus? 3. Olkoon V vektoriavaruus ja 0 V sen nolla-alkio. Osoita vektoriavaruuden ominaisuuksia käyttäen, että λ 0 = 0 kaikilla λ R. 4. Olkoot V vektoriavaruus ja u, v, w V. Todista seuraava väite: Jos u+w = v+w, niin u = v. 5. Olkoon W = {(x, y, z) R 3 : x y +z = 0}. Osoita, että W on vektoriavaruuden R 3 aliavaruus. 6. Ovatko W 1 = {f F(R, R) : f(t) = f(t + 2π) t R} F(R, R) ja W 2 = {f C(R, R) : f = f} C(R, R) aliavaruuksia? Tässä f on funktion f derivaatta. 7. Olkoon V = {f F(R, R) : f(π) = 0}. Osoita, että V on avaruuden F(R, R) aliavaruus. Osoita lisäksi, että jokaiselle g F(R, R) on olemassa f V ja λ R siten, että g = f + λ. Ovatko f ja λ yksikäsitteisiä? 8. Tarkastellaan yksinkertaista harmonista värähtelijää. (Massa värähtelee jousen päässä kitkattomalla alustalla.) Systeemiä kuvaa toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö x (t) + ω 2 x(t) = 0 t R, missä ω on systeemistä riippuva vakio. Osoita, että tämän yhtälön ratkaisut muodostavat vektoriavaruuden.

2 9. Kuuluuko polynomi x 2 joukon {x, x 3, x + 2x 2 + 3x 3 } Pol 3 (R, R) lineaariseen verhoon? 10. Osoita, että {1, x,..., x k } Pol k (R, R) on lineaarisesti riippumaton. 11. Osoita, että {f c : c (0, 1]} C([0, 1], R) on lineaarisesti riippumaton joukko, kun { 1 1 x, kun x c c f c (x) = 0, kun x > c. 12. Olkoon V = {p Pol 3 (R, R) : p(1) = p( 1) = 0}. Osoita, että V on avaruuden Pol 3 (R, R) aliavaruus ja määrää dim V. 13. Olkoon Sym(2, 2) = {A M(2, 2) : A = A T } symmetristen matriisien joukko. Osoita, että Sym(2, 2) on avaruuden M(2, 2) aliavaruus sekä laske dim M(2, 2) ja dim Sym(2, 2). 14. Oletetaan, että V on vektoriavaruus, dim V = n jollain n N ja että S on sellainen avaruuden V lineaarisesti riippumaton osajoukko, että joukossa S on n vektoria. Osoita, että S on avaruuden V kanta. 15. Osoita, että tavallinen pistetulo, toisin sanoen x y = n i=1 x iy i kaikilla x, y R n, määrittelee sisätulon avaruuteen R n. 16. Määritellään kaikilla p, q Pol 2 (R, R) (p q) = 2 p(k)q(k). k=0 Osoita, että näin saadaan sisätulo avaruuteen Pol 2 (R, R). Onko tämä kuvaus sisätulo avaruudessa Pol 3 (R, R)? 17. Osoita, että äärellisuloitteisella sisätuloavaruudella V on olemassa ortonormaali kanta. 18. Olkoot v = (1, 0, 1) ja W = {u R 3 : (u v) = 0}. Osoita, että W on avaruuden R 3 aliavaruus ja määrää sille jokin kanta. 19. Onko joukko K ortogonaalinen tai ortonormaali, kun (a) K = {(1, 1, 1), (2, 0, 2), (1, 2, 1)}? (b) K = {( 3, 0, 4, 0, 0), (0, 1, 0, 3, 0), (0, 0, 0, 0, 1)}? Määritellään kuvaus 1 : R 2 R asettamalla (x 1, x 2 ) 1 = x 1 + x 2 kaikilla (x 1, x 2 ) R 2. Osoita, että 1 on normi. Piirrä joukko {x R 2 : x 1 1}.

3 21. Olkoon (V, ) normiavaruus. Osoita, että x y x y kaikilla x, y V. 22. Olkoot V sisätuloavaruus ja x, y V. Osoita, että x y jos ja vain jos x + y 2 = x 2 + y Olkoot x, y R n sellaiset vektorit, joille pätee x = 2, y = 2 ja x + y = 3. Laske vektoreiden x ja y välinen etäisyys x y. 24. Olkoot H sisätuloavaruus ja S sen kanta. Olkoon u H sellainen vektori, että u v kaikilla v S. Osoita, että u = Olkoon S äärellisulotteisen sisätuloavaruuden V ortonormaali osajoukko. Osoita, että avaruudella V on ortonormaali kanta K siten, että S K. 26. Etsi Gram-Schmidtin menetelmällä aliavaruudelle H = ( 1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1) ortonormaali kanta. Mitkä ovat vektorin x = (1, 2, 3, 11) koordinaatit löytämässäsi kannassa? 27. Tarkastellaan avaruuden Pol 4 (R, R) aliavaruutta W = 1, x 2, x 4. Etsi avaruudelle W ortonormaali kanta, kun sisätulona on (p q) = 1 0 p(t)q(t)dt. 28. a) Onko L : R 3 R 4, L(x) = (x 1 + x 2, x 2 + x 3, x 1 + x 3, x 1 x 2 + x 3 ) kaikilla x R 3, lineaarinen? b) Entä L : R 5 R, L(x) = x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 + e x 5 kaikilla x R 5? Jos kohdan a) tai b) kuvaus on lineaarinen, niin määrää N (L) ja etsi sille jokin kanta. 29. Olkoot U, V ja W vektoriavaruuksia sekä L 1 : U V, L 2 : U V ja L 3 : V W lineaarisia. Osoita, että kuvaukset L 1 + L 2 : U V ja L 3 L 1 : U W ovat lineaarisia. 30. Osoita, että integraalikuvaus Int : C([0, 1], R) R, on lineaarinen. Int(f) = 1 0 f(x) dx kaikilla f C([0, 1], R), 31. Olkoon L : R R sellainen lineaarikuvaus, että L( 7) = 14. Laske L(100). 32. Määritellään lineaarikuvaus L : R 3 R 4, asettamalla L(x) = (x 1 + x 2, x 2 + x 3, x 1 + x 3, x 1 x 2 + x 3 ) kaikilla x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3.

4 (a) Määrää Ker L. (b) Onko L injektio? (c) Määrää dim Ker L ja dim Im L (käytä dimensiokaavaa). (d) Onko L surjektio? (e) Onko L bijektio? (f) Määrää L:n matriisi M(L, E 3, E 4 ) luonnollisten kantojen E 3 = {e 1, e 2, e 3 } R 3 ja E 4 = {e 1, e 2, e 3, e 4 } R 4 suhteen. 33. Lineaarikuvaus L : R 3 R 3 toteuttaa ehdot Lu 1 = u 1 u 2 + u 3, L(u 1 u 2 ) = u 1, ja L(u 1 u 2 + u 3 ) = 2u 2 u 3, missä {u 1, u 2, u 3 } on avaruuden R 3 kanta. Laske Lu 2 ja Lu Olkoot V ja W vektoriavaruuksia, A V ja B W aliavaruuksia sekä L : V W lineaarinen. (a) Osoita, että L(A) on avaruuden W aliavaruus. (b) Osoita, että Im L on avaruuden W aliavaruus. (c) Osoita, että L 1 (B) on avaruuden V aliavaruus. (d) Osoita, että Ker L on avaruuden V aliavaruus. 35. Olkoot U, V ja W vektoriavaruuksia sekä L : U V ja S : V W lineaarikuvauksia. Osoita, että S L : U W on lineaarinen. Osoita lisäksi, että R(S L) R(S) ja N (L) N (S L). 36. Lineaarikuvaus L : R 3 R 2 kuvaa avaruuden R 3 luonnolliset kantavektorit e 1, e 2 ja e 3 vektoreiksi (1, 1), (1, 0) ja (2, 3). (a) Laske L(x, y, z), kun (x, y, z) = xe 1 + ye 2 + ze 3 R 3. (b) Määrää Ker L. (c) Onko L injektio? (d) Määrää dim Ker L ja dim Im L (käytä dimensiokaavaa). (e) Onko L surjektio? (f) Onko L bijektio? (g) Määrää L:n matriisi M(L, E 3, E 2 ) luonnollisten kantojen E 3 = {e 1, e 2, e 3 } R 3 ja E 2 = {e 1, e 2 } R 2 suhteen. 37. Määritellään kuvaus Int : Pol n (R, R) R asettamalla Int(p) = kaikilla p Pol n (R, R). Määritä dim N (Int). 1 1 p(x) dx

5 38. (Lause 3.16.) Olkoot V ja W vektoriavaruuksia sekä S = {v 1,..., v n }, n N, avaruuden V kanta. Valitaan jokaiselle i = 1,..., n jokin w i W. Tällöin on olemassa yksikäsitteinen lineaarikuvaus L : V W, jolle Lv i = w i kaikilla i = 1,..., n. 39. Määritellään lineaarikuvaus L : R 3 R 3, asettamalla L(x) = (x 1 + x 2 + x 3, x 1 + x 2, x 1 ) kaikilla x R 3. (a) Määrää Ker L. (b) Onko L injektio? (c) Määrää dim Ker L ja dim Im L (käytä dimensiokaavaa). (d) Onko L surjektio? (e) Määrää Im L. (f) Onko L bijektio? (g) Määrää L:n matriisi M(L, E 3, E 3 ). (h) Laske matriisin M(L, E 3, E 3 ) determinantti. 40. Olkoot K = {1, 1 + x, 1 + x + x 2, 1 + x + x 2 + x 3 } ja S = {x 3, x 2, x, 1} avaruuden Pol 3 (R, R) kantoja ja D : Pol 3 (R, R) Pol 3 (R, R) derivaattakuvaus. Laske Mat(D; K, S). 41. Määrää matriisia 3 0 Mat(L; K 1, K 2 ) = vastaava lineaarikuvaus L : R 2 R 4, kun K 1 = {(1, 0), (0, 1)} ja K 2 = {(1, 0, 1, 0), (0, 1, 2, 3), (2, 2, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}. 42. (Lause 3.22). Olkoot V, W ja U äärellisulotteisia vektoriavaruuksia, L, M : V W ja T : W U lineaarikuvauksia sekä K avaruuden V kanta, S avaruuden W kanta ja R avaruuden U kanta. Tällöin (a) Mat(L + M; K, S) = Mat(L; K, S) + Mat(M; K, S). (b) Mat(λL; K, S) = λmat(l; K, S) kaikilla λ R. (c) Mat(T L; K, R) = Mat(T ; S, R)Mat(L; K, S). (d) Kuvaus L on bijektio jos ja vain jos matriisi Mat(L; K, S) on kääntyvä. Jos L on bijektio, niin Mat(L 1 ; S, K) = Mat(L; K, S) Olkoon L : R 2 R 2, L(x, y) = (x + y, x + y) kaikilla (x, y) R 2. Etsi kuvauksen L ominaisarvot ja ominaisavaruudet. 44. Olkoot V = sin x, cos x ja K = {sin x, cos x}. Olkoon L : V V, L = D 2 + 2D + I, missä D on derivaattakuvaus ja I on avaruuden V identtinen kuvaus. Määritä Mat(L; K, K).

6 45. Tarkastellaan lineaarikuvausta L : R 2 R 2, L(x, y) = (2x + y, x 2y) kaikilla (x, y) R 2. Olkoot K avaruuden R 2 luonnollinen kanta, S = {(1, 1), (1, 1)} sekä I : R 2 R 2 identiteettikuvaus. Määrää matriisit Mat(L; K, K), Mat(I; S, K), Mat(I; K, S) ja Mat(L; S, S). 46. Laske Tehtävässä 5 saatujen matriisien Mat(L; K, K) ja Mat(L; S, S) ominaisarvot. 47. Olkoon λ lineaarikuvauksen L : V V ominaisarvo. Osoita, että V λ (L) on avaruuden V aliavaruus ja V λ (L) = N (L λi). 48. Olkoon λ lineaarikuvauksen L : V V ominaisarvo. Osoita, että V λ (L) on avaruuden V aliavaruus ja V λ (L) = N (L λi). 49. Olkoon L : R 2 R 2, L(x, y) = (x + y, x + y) kaikilla (x, y) R 2. Etsi kuvauksen L ominaisarvot ja ominaisavaruudet. 50. Etsi lineaarikuvauksen L : Pol 2 (R, R) Pol 2 (R, R) ominaisarvot ja ominaisavaruudet, kun L(1) = 3 + x 2, L(x) = 1 + 2x 3x 2 ja L(x 2 ) = 1 + 5x Asetetaan L : R 2 R 2 siten, että L(x, y) = (x y, x + y) kaikilla (x, y) R 2. Määrää kuvauksen L ominaisarvot ja vastaavat ominaisavaruudet. Osoita lisäksi, että eri ominaisarvoja vastaavat ominaisvektorit ovat ortogonaalisia. 52. Olkoon L : R 3 R 3, L(x, y, z) = (x y + z, x + y z, x y + z) kaikilla (x, y, z) R 3. Etsi avaruudelle R 3 ortonormaali kanta, joka koostuu kuvauksen L ominaisvektoreista. 53. Olkoon L : V V lineaarinen bijektio. Osoita, että jos λ on kuvauksen L ominaisarvo, niin λ 1 on kuvauksen L 1 ominaisarvo. 54. Olkoon C M(n, n) kääntyvä, missä M(n, n) on n n-matriisien joukko. Olkoon L : M(n, n) M(n, n), missä L(A) = CAC 1 kaikilla A M(n, n). Osoita, että 1 on kuvauksen L ominaisarvo ja määrää vastaava ominaisavaruus. Miksi nolla ei ole kuvauksen L ominaisarvo? 55. Oletetaan, että reaalinen neliömatriisi A on nilpotentti, toisin sanoen A k = 0 jollekin k N. Määritä matriisia A vastaavan lineaarikuvauksen L A : R n R n, L A x = Ax kaikilla x R n, ominaisarvot. 56. Olkoon L : M(n, n) M(n, n) kuten Tehtävässä 5. Osoita, että jos λ R { 1, 1} on kuvauksen L ominaisarvo, niin vastaava ominaisvektori (mikä tässä tapauksessa on matriisi) on nilpotentti.

7 57. Olkoot n N ja A, B M(n, n). Merkitään A B, mikäli matriisit A ja B ovat similaariset, ts. on olemassa säännöllinen matriisi C M(n, n), jolle A = CBC 1. Osoita, että on ekvivalenssirelaatio joukossa M(n, n), ts. (a) A A kaikilla A M(n, n); (b) jos A B joillekin A, B M(n, n), niin B A. (c) jos A B ja B C joillekin A, B, C M(n, n), niin A C.