Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät

Transkriptio

1 Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa Kokeessa menestyäkseen on syytä osata myös paljon muuta Näistä ei välttämättä ole suoranaisesti mitään apua kokeessa, mutta koealueeseen tutustuminen sujunee paremmin, kun nämä ovat hallussa En ota myöskään vastuuta paino- tai muista virheistä Matriisit Lukutaulukoita, joita voi laskea yhteen alkioittain (kuten vektoreita) Jutun juju on kuitenkin matriisikertolaskussa, jonka avulla esitetään erilaisia lineaarikombinaatioita (ks jäljempänä) m n-matriisi A : a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn Tulo AB on määritelty vain jos A:ssa on yhtä monta saraketta kuin B:ssä on rivejä Yleisesti AB BA Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät Vektoreiden (tai lukujen) v, v 2,, v n lineaarikombinaatiolla tarkoitetaan muotoa ņ c j v j c v c 2 v 2 c n v n () j olevaa lauseketta Luvut c j ovat lineaarikombinaation kertoimet Lineaarinen riippumattomuus/riippuvuus: Vektorit v, v 2,, v n ovat lineaarisesti riippumattomat, jos niiden lineaarikombinaatio () on nolla vain, kun c c 2 c n Muussa tapauksessa nämä vektorit ovat lineaarisesti riippuvat, ts jos jokin muukin niiden lineaarikombinaatio on nolla m n-matriisilla kertominen muuttaa n -pystyvektorin (P R n ) m -pystyvektoriksi (P R m )

2 Lineaarinen yhtälöryhmä $ '& '% a x a 2 x 2 a n x n b a 2 x a 22 x 2 a 2n x n b 2 a m x a m2 x 2 a mn x n b m on matriisimuodossa Ax b eli (huom voi olla m n) a a 2 a n x a 2 a 22 a 2n x 2 a m a m2 a mn x n (Lineaarista yhtälöryhmää voi ajatella perussyyksi syynä sille, että matriiseilla lasketaan) Toisin sanoen yritetään etsiä sellaiset luvut x, x 2, x n, että niiden halutut lineaarikombinaatiot antavat luvut b, b 2,, b m Lineaarisella yhtälöryhmällä (eli matriisiyhtälöllä) on joko nolla, yksi tai äärettömän monta ratkaisua Jos yhtälöryhmällä on ratkaisu(ja), se voidaan laskea Gaussin algoritmilla, joka on syytä osata Gaussin algoritmissa muunnetaan matriisi rivioperaatioilla riviporrasmuotoon (engl row echelon form eli ref) Tässä muodossa: b b 2 b m Tukialkio on rivin vasemmalta lukien ensimmäinen alkio Tukisarake on sarake, jossa on tukialkio Gaussin algoritmia voidaan käyttää pelkän kerroinmatriisin A rakenteen analysointiin (lineaarisesti riippumattomien rivien lukumäärä ei muutu rivioperaatioissa) lineaarisen yhtälösysteemin ratkaisemiseen soveltamalla algoritmia liitännäismatriisiin à : rabs a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn Liitännäismatriisin riviporrasmuodosta voidaan nähdä, onko lineaarisella yhtälöryhmällä ratkaisuja: Jos siinä on rivi r c s, missä c, ratkaisua ei ole (em rivi vastaa mahdotonta yhtälöä x x n c) Muussa tapauksessa: Jos A:n jokainen sarake on tukisarake, ratkaisuja on tasan yksi (koska tällöin voidaan ratkaista takaisinsijoittamalla ensin x n, sitten x n jne) Muussa tapauksessa ratkaisuja on äärettömän monta (kutakin ei-tukisaraketta vastaava muuttuja jää vapaaksi) b b 2 b m 2

3 Dimensio, kanta, rangi Vektoriavaruuden X dimensio dimpxq kertoo, kuinka monta lineaarisesti riippumatonta vektoria X:stä löytyy Vektoriavaruuden X kanta on mahdollisimman suuri joukko lineaarisesti riippumattomia X:n vektoreita Siis jos dimpxq n, X:n kannassa on tasan n vektoria Samalla vektoriavaruudella on aina äärettömän paljon eri kantoja Sarakeavaruus colpaq tax P R m x P R n u, riviavaruus rowpaq n m-matriisin rangi rpaq dimpcolpaqq dimprowpaqq = lineaarisesti riippumattomien sarakkeiden lukumäärä = lineaarisesti riippumattomien rivien lukumäärä Nolla-avaruus NpAq tx P R m Ax u, npaq dim NpAq on lineaarisen yhtälöryhmän Ax b vapaiden muuttujien lukumäärä Dimensiolause (lineaarialgebran peruslause): rpaq npaq n, kun A on m n-matriisi Rangi ei muutu Gaussin rivioperaatioissa Neliömatriisit: käänteismatriisi, ominaisarvot Neliömatriisin A käänteismatriisi A on matriisi, jolle AA A A I Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä n n-matriisille A Käänteismatriisi A on olemassa rpaq n det A (muistathan, miten determinantin arvo lasketaan) Yhtälöryhmällä Ax b on tasan yksi ratkaisu x A b Av λv: λ on A:n ominaisarvo ja v sitä vastaava ominaisvektori Ominaisarvon etsiminen: Jotta yhtälöllä Av λv ô pa λiqv voisi olla nollasta poikkeava ratkaisu x, pitää olla detpa λiq (2) Ominaisarvot λ,, λ n saadaan n:nnen asteen yhtälön (2) ratkaisuina Vastaavat ominaisvektorit ratkaistaan lineaarisesta yhtälöryhmästä pa λ j Iqv j 3

4 Ominaisarvon λ j algebrallinen kertaluku M λj kertoo, kuinka moninkertainen juuri se on yhtälölle (2) Ominaisarvon λ j algebrallinen kertaluku m λj kertoo vastaavien lineaarisesti riippumattomien ominaisvektorien lukumäärän m λj M λj M λ M λk n Diagonalisointi (jos A:lla n lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria): A V DV, missä λ V v v v n λ 2 D λ n (3) Idea: Kun matriisi on diagonalisoitu, A:lla kertomisesta tulee diagonaalimatriisilla kertomista, joka on kevyt toimenpide: A k x V DV V DV pv DV q k 2 x V D 2 V pv DV q k x V D 2 V V DV pv DV q k 3 x V D k V x Esimerkki ominaisarvojen laskemisesta Lasketaan matriisin A ominaisarvot ja ominaisvektorit: Karakteristinen polynomi on 5 λ 27 9 detpa λiq 4 λ 3 8 λ λ3 75λ 25 Kolmannen asteen polynomille on ratkaisukaava, mutta se on jonkin verran monimutkainen Tavallisesti harjoitustehtävässä on esim joko annettu jokin juurista tai pyydetty kokeilemaan pieniä kokonaislukuja tms Kun kaikki paitsi kaksi juurta on löydetty, loput kaksi saadaan jakamalla karakteristinen polynomi tekijöillä λ λ,, λ λ n 2, missä λ j :t ovat tunnetut juuret Tässä tapauksessa voitaisiin vaikkapa kertoa, että yksi juurista on 5 Tällöin loput kaksi saadaan jakamalla karakteristinen polynomi λ 5:llä seuraavasti: 4

5 λ 2 5λ 5 λ λ 3 75λ 25 λ 3 5λ 2 5λ 2 75λ 25 5λ 2 25λ 5λ 25 5λ 25 Siis kaksi muuta juurta saadaan polynomin λ 2 5λ 5 juurista, jotka ovat 5 ja Ominaisarvot ovat siis 5 (kaksinkertainen, ts algebrallinen kertaluku M 5 2) ja (yksinkertainen, ts algebrallinen kertaluku M ) Lasketaan niitä vastaavat ominaisvektorit Ensin ominaisarvoa 5 vastaavat: (Niitä voi siis olla vähintään ja enintään 2 ( M 5 ) lineaarisesti riippumatonta) A p 5qI v x x 2 x 3 ô missä oikealla on kirjoitettu yhtälöryhmä tiiviisti liitännäismatriisiksi Lasketaan ominaisvektorit Gaussin algoritmilla; jätetään liitännäismatriisin oikea puoli kirjoittamatta, koska nollavektori säilyy rivioperaatioissa nollavektorina: : 9 : 2 : ê ê 3 Tukialkioita on tässä riviporrasmuodossa vain toisessa sarakkeessa oleva luku 3, joten muita sarakkeita vastaavat muuttujat x ja x 3 ovat vapaita Merkitään x :tä parametrilla s ja x 3 :a parametrilla t; tällöin x 2 x 3 3 t Siis 3 s v t 3 (4) 3 t t s Se, että muuttujat x ja x 3 ovat vapaita, tarkoittaa, että parametrit s ja t voivat saada kaikki mahdolliset arvot, paitsi että ne eivät voi olla yhtäaikaa nollia (koska silloin saataisiin v, joka ei kelpaa ominaisvektoriksi) Vapaita parametreja on siis 2, joten lineaarisesti riippumattomia ominaisvektoreita saadaan 2, esim (4):n oikealla puolella olevat v ja v2 3, jotka saadaan (4):stä valinnoilla s, t (v ) ja s, t (v 2 ) Nämä kaksi vektoria ovat siis ominaisarvoa 5 vastaavan ominaisavaruuden kanta Niiden lukumäärä on tämän ominaisarvon geometrinen kertaluku: m 5 2, 5

6 Vastaavasti lasketaan ominaisarvoa vastaava ominaisvektori: A I v x x 2 x 3 3 : 3 ê ô Tukisarakkeita ovat nyt ensimmäinen ja toinen, joten vapaa muuttuja on x 3 : t, jolloin x 2 2 x 3 2 t ja x 27x 2 9x t eli v t 3{2 {2 Valinnalla t saadaan nyt v 3 3{2 {2 Diagonalisointi Ominaisarvoyhtälöt ovat Av λ v Av 2 λ 2 v 2 Av 3 λ 3 v 3 Kun nämä kirjoitetaan vierekkäin yhdeksi matriisiyhtälöksi, saadaan AV V D, (5) missä D ja V ovat (3):ssa esitellyt matriisit Koska tässä tapauksessa kaikkien ominaisarvojen geometriset kertaluvut ovat yhtä suuret kuin algebralliset kertaluvut, A:lla on niin monta lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria kuin R 3 :een mahtuu, eli 3 Siis kun ominaisvektorit pannaan vierekkäin matriisiin V, saadaan kääntyvä matriisi Yhtälö (5) voidaan siis kertoa oikealta V :llä, jolloin saadaan A:n diagonalisointi missä D 5 5 A V DV, ja V (Käänteismatriisi V voitaisiin nyt laskea esim Gaussin algoritmilla) 6