Determinantti. Määritelmä

Transkriptio

1 Determinantti Määritelmä Oletetaan, että A on n n-neliömatriisi. Merkitään normaaliin tapaan matriisin A alkioita lyhyesti a ij = A(i, j). (a) Jos n = 1, niin det(a) = a 11. (b) Muussa tapauksessa n det(a) = ( 1) 1+j a 1j det(a 1j ), j=1 missä A ij on matriisi, joka on saatu matriisista A poistamalla i:s rivi ja j:s sarake. LM1, Kesä /218

2 Huom. Matriisin A determinantille voidaan käyttää merkintää a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a n1 a n2... a nn. LM1, Kesä /218

3 Muistisääntöjä Määritelmän mukaan 2 2-matriisin determinantti lasketaan seuraavasti: a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21. Muistisääntö: a 11 a 12 a 21 a 22 + Lävistäjäalkiot kerrotaan keskenään ja niiden tulosta vähennetään muiden alkioiden tulo. LM1, Kesä /218

4 Muistisääntöjä Määritelmän mukaan 3 3-matriisin determinantti lasketaan seuraavasti: a 11 a 12 a 13 a a 21 a 22 a 23 = a a 23 a a 31 a 32 a a 33 a a a 23 a 31 a 33 a + a a 22 a 31 a 32 = a 11 a 22 a 33 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31. LM1, Kesä /218

5 Muistisääntöjä Muistisääntö: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a Samalla viivalla olevat alkiot kerrotaan keskenään. Jos viiva on lävistäjän suuntainen, tulee tulon eteen plusmerkki. Jos viiva on vastakkaissuuntainen, tulee tulon eteen miinusmerkki. Lopuksi tulot lasketaan yhteen. LM1, Kesä /218

6 Determinantin laskeminen Esimerkki 42 Lasketaan seuraavien matriisien determinantit: (a) A = [ ] 4 (b) B = [ ] (c) C = (d) D = LM1, Kesä /218

7 (a) det(a) = 4 = (b) det(b) = 2 4 = ( 1) = = (c) det(c) = = = 2 (4 ( 2) ) 3 (0 ( 1) ) + 2 (0 1) = = 17 LM1, Kesä /218

8 Voidaan osoittaa, että determinantti voidaan kehittää minkä tahansa rivin tai sarakkeen suhteen. Tällöin + ja -merkkien vaihtelu (määritelmän ( 1) 1+j ) saadaan shakkilautaa muistuttavasta kuviosta Matriisin tilalle ajatellaan plus- ja miinusmerkeistä koostuva ruudukko. Jos matriisin alkion kohdalla on plusmerkki, tulee kehityskaavassa alkion eteen plusmerkki. Vastaavasti, jos alkionkohdalla on miinusmerkki, tulee kehityskaavassa alkion eteen miinusmerkki. Huomaa, että alkion oma etumerkki säilyy joka tapauksessa. LM1, Kesä /218

9 Lasketaan esimerkin 42 matriisin D determinantti kehittämällä se aluksi kolmannen rivin ja sitten kolmannen sarakkeen suhteen: det(d) = = ( 1) ( ) 0 1 = = ( 1) ( 1) ( ) = 0 + ( ) ( ) = (0 3 1) = 4 LM1, Kesä /218

10 Determinantin ominaisuuksia Joidenkin matriisien determinantti on hyvin helppo määrittää: Lause 32 Oletetaan, että A on neliömatriisi. Tällöin (a) jos matriisissa A on nollarivi (nollasarake), niin det(a) = 0; (b) jos matriisissa A on kaksi samaa riviä (samaa saraketta), niin det(a) = 0; (c) jos A on kolmiomatriisi (eli kaikki lävistäjän alapuoliset tai yläpuoliset alkiot nollia), niin matriisin A determinantti on lävistäjäalkioiden tulo LM1, Kesä /218

11 Alkeisrivitoimitusten vaikutus determinanttiin Voidaan osoittaa, että alkeisrivitoimitusten tekeminen vaikuttaa determinanttiin seuraavasti: Lause 33 Oletetaan, että A on neliömatriisi. (a) Jos matriisi B saadaan matriisista A vaihtamalla kaksi riviä keskenään, niin det(b) = det(a). (b) Jos matriisi B saadaan matriisista A kertomalla jokin rivi luvulla t R {0}, niin det(b) = t det(a). (c) Jos matriisi B saadaan matriisista A lisäämällä johonkin riviin jokin toinen rivi kerrottuna luvulla t R, niin det(b) = det(a). LM1, Kesä /218

12 Determinantin ominaisuuksia Lause 34 Oletetaan, että A ja B ovat samantyyppisiä neliömatriiseja. Tällöin (a) det(a) = det(a T ) (b) det(ab) = det(a) det(b). LM1, Kesä /218

13 Determinantin laskemisen muistisääntöjä Lauseen 34 a-kohdasta seuraa, että determinantin sarakkeet käyttäytyvät täsmälleen samalla tavalla kuin sen rivit. Lauseesta 33 saadaan siis seuraavat muistisäännöt: (a) Jos matriisin kaksi riviä (saraketta) vaihtaa keskenään, niin determinantin etumerkki muuttuu: = LM1, Kesä /218

14 Determinantin laskemisen muistisääntöjä (b) Jos matriisin rivillä (sarakkeessa) kaikilla alkioilla on yhteinen tekijä, niin tuon yhteisen tekijän voi ottaa determinantin eteen kertoimeksi: = (c) Jos matriisin riviin (sarakkeeseen) lisätään jokin toinen rivi (sarake) vakiolla kerrottuna, niin matriisin determinantti ei muutu = LM1, Kesä /218

15 Kääntyvän matriisin determinantti Determinantin avulla voi tutkia, onko matriisi kääntyvä: Lause 35 Oletetaan, että A on neliömatriisi. Matriisi A on kääntyvä, jos ja vain jos det(a) 0. Lauseiden 35 ja 34 avulla saadaan seuraava tulos: Lause 36 Oletetaan, että matriisi A on kääntyvä. Tällöin det(a 1 ) = 1 det(a). LM1, Kesä /218

16 Determinantti ja suuntaissärmiön tilavuus Aikaisemmin on osoitettu, että vektoreiden ū, v, w R 3 määräämän suuntaissärmiön tilavuus on ns. skalaarikolmitulon itseisarvo ū ( v w) ū v w Toisaalta u 1 u 2 u 3 v v 1 v 2 v 3 = u 1 2 v 3 w w 1 w 2 w 3 2 w 3 u v 2 1 v 3 w 1 w 3 + u v 3 1 v 2 w 1 w 2 = = ū ( v w) LM1, Kesä /218

17 Determinantti ja suuntaissärmiön tilavuus Siis vektoreiden ū, v, w R 3 määräämän suuntaissärmiön tilavuus on determinantin u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 itseisarvo! ū v w LM1, Kesä /218