Insinöörimatematiikka D

Transkriptio

1 Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 10 1 of 12

2 Lineaariset DY:t Lause Jos funktiot a i ja b ovat jatkuvia, ovat epähomogeenisen DY:n a n y (n) + a n 1 y (n 1) a 2 y + a 1 y + a 0 y = b kaikki ratkaisut muotoa y = c 1 y 1 + c 2 y c n y n + y 0, missä y 1,..., y n ovat homogeenisen DY:n riippumattomat ratkaisut ja y 0 epähomogeenisen DY:n yksittäisratkaisu. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 10 2 of 12

3 Vakiokertoimiset lineaariset DY:t Huomautus Vakiokertoimisen homogeenisen DY:n a n y (n) + a n 1 y (n 1) a 2 y + a 1 y + a 0 y = 0 ratkaisuja voidaan löytää yritteellä y = e λt : Tällöin y = λe λt, y = λ 2 e λt,..., y (n) = λ n e λt ja sijoittamalla saadaan a n λ n e λt + a n 1 λ n 1 e λt a 2 λ 2 e λt + a 1 λe λt + a 0 e λt = 0 ja jakamalla e λt ( 0) pois a n λ n + a n 1 λ n a 2 λ 2 + a 1 λ + a 0 = 0. Algebran peruslauseen mukaan tällä karakteristisella yhtälöllä on ratkaisu. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 10 3 of 12

4 Vakiokertoimiset lineaariset DY:t Lause Jos λ i on karakteristisen yhtälön j-kertainen juuri, on vakiokertoimisella homogeenisella DY:llä lineaarisesti riippumattomat ratkaisut e λ i t, te λ i t, t 2 e λ i t,..., t j 1 e λ i t. Huomautus Jos karakteristisella polynomilla on kompleksinen juuri λ, on myös tämän liittoluku λ myös ratkaisu. Merkitään λ = α + iβ ja silloin λ = α iβ. Edelleen voidaan kirjoittaa e (α±iβ)t = e αt e ±iβt ja Eulerin kaavan perusteella e αt (cos βt ± i sin βt). Täten ratkaisut e λt ja e λt voidaan korvata reaalisilla ratkaisuilla e αt cos(βt) ja e αt sin(βt). M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 10 4 of 12

5 Vakiokertoimiset lineaariset DY:t Epähomogeeninen DY Epähomogeeninen, vakiokertoiminen DY a n y (n) + a n 1 y (n 1) a 2 y + a 1 y + a 0 y = b(t) voidaan ratkaista seuraavasti: Etsitään kaikki homogeenisen DY:n ratkaisut y 1,..., y n yritteellä y = e λt. Etsitään epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisu y 0 Laplace-muunnosten avulla. (Mikäli alkuehtoja ei ole annettu, ne voidaan valita sopivasti.) Kaikki ratkaisut ovat tällöin muotoa y = c 1 y c n y n + y 0. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 10 5 of 12

6 Lineaariset DY:t 1. kertaluvun lineaarinen DY Yhtälön y + a(x)y = b(x) ratkaisut ovat muotoa y = Cy 1 + y 0, missä y 1 on homogeenisen yhtälön y + a(x)y = 0 ratkaisu 0 ja y 0 on jokin alkuperäisen yhtälön ratkaisu. Ratkaisumenetelmä Homogeenisen yhtälön ratkaisu y H. Vakion variointi: Sijoitetaan y = C(x)y H alkuperäiseen DY:hyn ja ratkaistaan C(x). M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 10 6 of 12

7 Lineaariset DY:t Esimerkki Ratkaistaan DY 2xy 3y = x. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 10 7 of 12

8 Lineaariset DY:t 2. kertaluvun lineaarinen DY y + a(x)y + b(x)y = c(x) Esiintyvät erityisesti fysiikassa (klassinen ja kvanttifysiikka) Ei yleistä integrointiin perustuvaa ratkaisumenetelmää Erikoistapauksia tutkittu kauan Useita ratkeavia erikoistapauksia Lause Jos homogeeniselle DY:lle y + a(x)y + b(x)y = 0 tunnetaan yksikin ratkaisu, voidaan kaikki alkuperäisen DY:n ratkaisut selvittää. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 10 8 of 12

9 Lineaariset DY:t Esimerkki Ratkaistaan DY 2x 2 y + xy 3y = x. Todetaan, että y 1 = x 1 on eräs homogenisoidun DY:n 2x 2 y + xy 3y = 0 ratkaisu. Etsitään sitten kaikki alkuperäisen DY:n ratkaisut. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 10 9 of 12

10 Separoituvat DY:t Määritelmä Muotoa oleva DY on separoituva. y = g(x)f (y) Separoituvan DY:n ratkaiseminen dy = g(x)f (y) dx 1 dy = g(x) dx f (y) 1 f (y) dy = g(x) dx + C M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot of 12

11 Separoituvat DY:t Esimerkki 103 Ratkaistaan separoituva DY y = y 2. Esimerkki Ratkaistaan separoituva DY y = 6x 5 2x + 1 cos y + e y. Funktiota y ei saada ratkaistua eksplisiittisessä muodossa, vaan ainostaan implisiittisessä muodossa: sin y + e y = x 6 x 2 + x + C. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot of 12

12 Separoituvat DY:t Esimerkki 104 Verhulstin populaatiomallissa populaation koko p(t) toteuttaa DY:n p = ap bp 2 Ratkaistaan yllä oleva DY. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot of 12