MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 /

Transkriptio

1 MS-A3/A5 Matriisilaskenta, II/27 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 / Tehtävä (L): Etsi kaikki yhtälön Ax = b ratkaisut, kun A = ja b = Ratkaisu : Koetetaan ratkaista yhtälö Gauss-eliminaatiolla R 3 R R R /3 4/3 3 6 /3 2 Yhtälöllä on siis äärettömän monta ratkaisua, jotka määräytyvät yhtälöryhmästä { x 4/3x 3 = x 2 = 2. Kun merkitään x 3 = t, saadaan ratkaisuiksi 4/3 x = 2 + t, t R. Tehtävä 2 (L): Oletetaan, että p on yhtälön Ax = b eräs ratkaisu, eli että Ap = b. a) Olkoon v h yksi ratkaisu homogeeniselle yhtälölle Ax =, ja olkoon w = p + v h. Osoita, että w on ratkaisu yhtälölle Ax = b. b) Olkoon w mikä tahansa ratkaisu yhtälölle Ax = b. Määritellään v h := w p. Osoita, että v h on ratkaisu yhtälölle Ax =. Nämä kohdat yhdessä osoittavat, että yhtälön Ax = b ratkaisuiden joukko on täsmälleen niiden vektoreiden joukko, jotka ovat muotoa v h +p, missä v h on homogeenisen yhtälön Ax = yleinen ratkaisu (tilanteesta riippuen piste, suora, taso, hypertaso,...) ja p on yhtälön Ax = b eräs (mikä tahansa!) yksittäinen ratkaisu.

2 MS-A3/A5 Matriisilaskenta, II/27 Ratkaisu 2: Molemmat kohdat voidaan osoittaa suoralla laskulla. a) Aw = A(p + v h ) = Ap + Av h = b b) Av h = A(w p) = Aw Ap = b b = Tehtävä 3 (P): Määritä pienimmät positiiviset kokonaisluvut x, x 2, x 3, x 4 butaanin palamisen reaktiokaavassa x C 4 H + x 2 O 2 x 3 CO 2 + x 4 H 2 O. Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa ja ratkaise Gaussin eliminointimenetelmällä. Ratkaisu 3: Ks pruju s. 26. Käytetään hyväksi tietoa, että reaktiossa atomien lukumäärät säilyvät. Tällöin saadaan ongelma seuraavanlaiseen matriisimuotoon. Selkeyden vuoksi rivit on otsikoitu alkuaineiden tunnuksilla. C 4 C 4 H 2 /4 C H 5/2 2 H O O 2 2 O 2 2 O H C 4 +2/5 H O /5 H H 5/2 2 C /5 O 3/ H 4/5 C 4 4/5 O 2 3/5 H 5/2 2 /4 /2 (2/5) Kun x 4 = t, saadaan x = (x, x 2, x 3, x 4 ) = (2t, 3t, 8t, t). Täten pienimmät mahdolliset positiiviset kokonaisluvut x j ovat x = (2, 3, 8, ), ja reaktioyhtälö on 2 C 4 H + 3 O 2 8 CO 2 + H 2 O. Tehtävä 4 (P): Olkoon A : R 3 R 2 lineaarinen ja B : R 2 R 3 sellainen funktio, että jokaisella x R 3 ja y R 2 A(x) y = x B(y) a) Olkoon y R 2. Näytä, että B(y) R 3 voidaan ratkaista, kun tiedetään A(x) y jokaisella x R 3. (Vihje: Jos B(y) = (z, z 2, z 3 ), niin z = (,, ) B(y) = A((,, )) y.) b) Näytä, että B on lineaarinen. c) Tulkitaan lineaarikuvaukset A, B nyt matriiseina A R 2 3 ja B R 3 2. Näytä, että matriisialkioille pätee B jk = A kj (toisin sanoen todista, että B on matriisin A transpoosi). 2

3 MS-A3/A5 Matriisilaskenta, II/27 Ratkaisu 4: a) Määritellään vihjeen mukaisesti B(y) = (z, z 2, z 3 ). Tällöin z (,, ) B(y) A((,, )) y B(y) = z 2 = (,, ) B(y) = A((,, )) y. z 3 (,, ) B(y) A((,, )) y Koska pistetulo A(x) y tiedetään kaikilla x, voidaan B(y) ratkaista sijoittamalla arvot. b) Funktio F : K n K m on lineaarinen, jos F (u + v) = F (u) + F (v) F (λu) = λf (u), kaikilla u, v K n ja λ K. Todetaan, että A((,, )) (u + v) A((,, )) u + A((,, )) v B(u+v) = A((,, )) (u + v) = A((,, )) u + A((,, )) v = B(u)+B(v) A((,, )) (u + v) A((,, )) u + A((,, )) v ja joten B on lineaarinen. A((,, )) (λu) A((,, )) u B(λu) = A((,, )) (λu) = λ A((,, )) u = λb(u), A((,, )) (λu) A((,, )) u c) Hyödynnetään tietoa a b = a T b. Tällöin A(x) y = B(y) x (Ax) T y = (By) T x (y T Ax) T = y T B T x y T Ax R y T Ax = y T B T x A = B T Tehtävä 5 (L): Etsi sellaisen lineaarikuvauksen matriisi, joka a) Peilaa avaruuden R 2 vektorit x-akselin suhteen ja venyttää ne kolminkertaisen pituisiksi. b) Peilaa avaruuden R 3 vektorit origon suhteen. c) Projisoi avaruuden R 3 vektorit y-akselin suunnassa xz-tasolle. 3

4 MS-A3/A5 Matriisilaskenta, II/27 Ratkaisu 5: Lineaarikuvauksen matriisin muodostamiseksi riittää tutkia avaruuden kantavektorien kuvautumista. Tämä voidaan todeta vaikka seuraavalla tavalla. Olkoon etsityn lineaarikuvauksen matriisi A. Kootaan kantavektorit matriisin I sarakkeiksi ja niiden kuvat matriisin B sarakkeiksi. Tällöin AI = B ja koska kantavektorit sisältävä matriisi on identiteettimatriisi, saadaan A = B. [ ] 3 a) A = 3 b) A = c) A = Tehtävä 6 (L): a) Etsi jotkin sellaiset matriisit A ja B, että AB =, vaikka kumpikaan matriiseista ei ole nollamatriisi. b) Etsi jotkin sellaiset 3 3-matriisit C ja D, että CD DC. Ratkaisu 6: [ ] [ ] a) A =, B =. 3 b) C =, D =, CD =, DC = Tehtävä 7 (P): Etsi lineaarikuvauksen F : R 3 R 2 matriisi A F R 2 3, kun tiedetään, että F (,, ) = (4, ), F (, 2, 3) = (, 3) ja F ( 5, 3, 2) = (8, 5). Ratkaisu 7: Kootaan kuvautuvat vektorit matriisiin X ja niiden kuvat matriisiin B. Tällöin A F X = B A F XX = BX A F = BX. Lasketaan X Gaussin eliminaatiolla /3R R R 4 7 4/3R2 3/3 2/3 /3 +R /3R 3 3 5/3 2/3 6/3 /( 3) 3/3 /3 4/3 3/3 /3 4/3 3/3 5/3 7/3 2/3 X = /3 4/3 3/

5 MS-A3/A5 Matriisilaskenta, II/27 Nyt voidaan laskea lineaarikuvauksen matriisi A F = BX = [ ] = [ ] Tehtävä 8 (P): Olkoon A = P D P, missä 8 P = 2 ja D = Etsi yhtälön Ax = 8x kaikki ratkaisut x =. (Huom. Tehtävän voi ratkaista lyhyesti laskematta matriiseja P ja A. Voit toki laskea nämä matriisit, jos et keksi muuta ratkaisutapaa.) x x 2 x 3 Ratkaisu 8: Yhtälön saa hajotelman avulla muotoon Ax = 8x P DP x = 8x DP x = 8P x. Määritellään y := P x, jolloin Dy = 8y (D 8I)y = 8 y =, 7 eli selvästi y = [ t ] T, missä t R. y:n määrittelystä seuraa, että t x = P y = 2 = t, joka on kysytty ratkaisu. Kiva tietää: Myöhemmin kurssilla opitaan ominaisarvoista ja -vektoreista, jotka olennaisesti liittyvät tähän tehtävään. 8 on matriisin A ominaisarvo ja x sitä vastaavat ominaisvektorit. 5