1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

Transkriptio

1 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n [a ij ] = a m1 a m2 a mn Tässä m = rivien lkm, n = sarakkeiden lkm Tärkeitä erikoistapauksia: m-pystyvektori ja n-vaakavektori [y 1, y 2,, y n ] x 1 x 2 Samankokoisia matriiseja voidaan laskea yhteen alkioittain: [a ij ] + [b ij ] = [a ij + b ij ] x m Matriisi kerrotaan vakiolla niin, että kaikki matriisialkiot kerrotaan ko vakiolla: c [a ij ] = [c a ij ], kun c R (tai c C) n-pystyvektorin kertominen m n-matriisilla = m-pystyvektori: a 11 a 12 a 1n x 1 a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n a 21 a 22 a 2n x 2 = a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n a m1 a m2 a mn x n a m1 x 1 + a m2 x a mn x n (m n-matriisi) (n k-matriisi) = m k-matriisi: matriisin AB alkio kohdassa ij saadaan laskemalla matriisin A i:nnen rivivektorin ja matriisin B j:nnen sarakevektorin pistetulo Tällöin on voimassa (AB)x = A(Bx) kaikille vektoreille x Monet tavallisista laskusäännöistä ovat voimassa myös matriiseille, esim A(B + C) = AB + AC, A(BC) = (AB)C, t(ab) = (ta)b = A(tB), kun t R Erityisiä matriiseja: nollamatriisi O, jossa kaikki alkiot nollia; neliömatriisi, jossa m = n;

2 lävistäjämatriisi D, jossa vain lävistäjän alkiot d ii voivat olla 0 yksikkömatriisi I, jossa kaikki lävistäjän alkiot = 1, muut = 0 käänteismatriisi A 1, jolle AA 1 = A 1 A = I; vain osalla neliömatriiseista on käänteismatriisi Matriisin A transpoosi A T saadaan vaihtamalla rivit sarakkeiksi; erityisesti pystyvektorin transpoosi on vaakavektori Aina pätee (A T ) T = A, (A + B) T = A T + B T, (AB) T = B T A T Lineaarinen yhtälöryhmä on muotoa a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m, missä yhtälöryhmän kertoimet a ij ja luvut b i on annettu: tarkoituksena on ratkaista tuntemattomat x j, 1 j n Kertoimista a ij voidaan muodostaa yhtälöryhmän kerroinmatriisi a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a m1 a m2 a mn joka on m n-matriisi Jos vielä määritellään pystyvektorit x = [x 1, x 2,, x n ] T ja b = [b 1, b 2,, b m ] T, niin alkuperäinen yhtälöryhmä voidaan kirjoittaa matriisimuodossa lyhyesti Ax = b Jos on olemassa A 1, niin yhtälöryhmän Ax = b ainoa ratkaisu on x = A 1 b Erityisesti, jos b = 0 ja A 1 on olemassa, niin ainoa ratkaisu on x = 0 Yhtälöryhmän ratkaisujen lukumäärä eli erilaisten x-vektoreiden määrä voi olla joko 0, 1 tai ääretön: jos nimittäin löydetään kaksi eri ratkaisua x ja y, niin lauseke z = tx + (1 t)y = [tx 1 + (1 t)y 1,, tx n + (1 t)y n ] T, missä t R, antaa heti äärettömän monta eri ratkaisua Perustelu: Az = A(tx + (1 t)y) = tax + (1 t)ay = tb + (1 t)b = b 2

3 12 Gaussin eliminointimenetelmä Gaussin eliminointimenetelmä: Muodostetaan täydennetty matriisi (augmented matrix) a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 [A b] =, a m1 a m2 a mn b m muunnetaan tämä rivioperaatioiden avulla porrasmuotoon (echelon form), ja muodostetaan ratkaisu takaisinsijoitusten (back substitution) avulla Rivioperaatioita ovat matriisin kahden rivivektorin vaihtaminen keskenään, rivivektorin kertominen nollasta poikkeavalla luvulla, rivivektorin kertominen luvulla ja tuloksen lisääminen toiseen rivivektoriin Matriisi on porrasmuodossa, jos kaikilla 1 i m 1 on voimassa: (i + 1):n rivin alussa on enemmän nollia kuin i:nnen rivin alussa, paitsi siinä tapauksessa, että i rivi koostuu pelkistä nollista, pelkistä nollista koostuvat rivit ovat alimmaisina Rivioperaatioiden avulla kaikki matriisit voidaan muuntaa porrasmuotoon Porrasmuodon rakenne (portaiden "muoto") määräytyy yksikäsitteisesti Täydennetyille matriiseille voi tuloksena olla kaksi olennaisesti erilaista porrasmuotoa: Alin nollasta poikkeava rivi on muotoa [0, 0,, 0, b], missä b 0 Tämä vastaa yhtälöä 0 = b, joten yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua Alimmalla nollasta poikkeavalla rivillä on vähintään kaksi nollasta poikkeavaa alkiota Tällöin yhtälöryhmällä on joko yksi ainoa ratkaisu tai sitten ratkaisuja on äärettömän monta Ratkaisut saadaan porrasmuodosta takaisinsijoitusten avulla Kun porrasmuodosta poistetaan viimeinen eli vektoria b vastaava sarake ja kaikki nollarivit, niin jäljelle jää (k n)-matriisi Ã, missä k {0, 1, 2,, m} Tämä luku on matriisin A rangi rg A Se kertoo alkuperäisen yhtälöryhmän olennaisesti erilaisten yhtälöiden lukumäärän Porrasmuodon perusteella rg A n aina Ratkaisujen lukumäärä voidaan nyt päätellä seuraavalla tavalla: rg A = n olennaisesti erilaisia yhtälöitä on yhtä paljon kuin tuntemattomia x j yhtälöryhmällä on yksikäsitteinen ratkaisu 3

4 rg A < n olennaisesti erilaisia yhtälöitä on vähemmän kuin tuntemattomia x j joko yhtälöryhmä on ristiriitainen, tai sitten n rg A kappaletta tuntemattomia x j voidaan valita vapaasti (ottaa parametreiksi) ja muut voidaan esittää niiden avulla 13 Käänteismatriisi Neliömatriisin A käänteismatriisille A 1 pätee AA 1 = A 1 A = I Kaikilla neliömatriiseilla ei ole käänteismatriisia Jos on olemassa A 1, niin yhtälöryhmän Ax = b ainoa ratkaisu on x = A 1 b Erityisesti, jos b = 0 ja A 1 on olemassa, niin ainoa ratkaisu on x = 0 Gaussin menetelmässä eliminointia voidaan jatkaa vielä niin, että muunnetaan rivioperaatioiden avulla [A b] [I c], jolloin x = c on etsitty yhtälöryhmän ratkaisu Tämä onnistuu ainoastaan siinä tapauksessa, että yksikäsitteinen ratkaisu on olemassa eli silloin, kun rg A = n Käytännössä tämä menetelmä vaatii kuitenkin enemmän laskutoimituksia kuin takaisinsijoitus Se soveltuukin paremmin käänteismatriisin muodostamiseen Käänteismatriisin muodostaminen Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmän avulla: Annettu (n n)-neliömatriisi A, muodostetaan täydennetty (n 2n)-matriisi [A I], missä I on (n n)-yksikkömatriisi, ja muunnetaan [A I] rivioperaatioilla muotoon [I B] Jos tämä onnistuu, niin A 1 = B; ellei vasemmalle puolelle saada yksikkömatriisia rivioperaatioiden avulla, niin käänteismatriisia ei ole olemassa Perustelu: A 1 e 1 = matriisin A 1 ensimmäinen sarakevektori x (1) matriisin A 1 ensimmäinen sarakevektori on yhtälöryhmän Ax (1) = e 1 ratkaisu Vastaavasti toinen sarakevektori x (2) on yhtälöryhmän Ax (2) = e 2 ratkaisu, jne Kun kaikki nämä n yhtälöä ratkaistaan Gaussin eliminointimenetelmällä, voidaan tämä tehdä yhdellä kertaa muuntamalla täydennetty matriisi muotoon rivioperaatioiden avulla 14 Matriisin determinantti [A e 1 e 2 e n ] = [A I] [I x (1) x (2) x (n) ] = [I A 1 ] Determinantti määritellään alideterminanttien avulla Alkiota a ij vastaava (n 1) (n 1)-alimatriisi A ij saadaan, kun poistetaan A:sta i rivi ja j sarake det A = i ( 1)i+j a ij det(a ij ) (kehitetään j:nnen sarakkeen mukaan) = j ( 1)i+j a ij det(a ij ) (kehitetään i:nnen rivin mukaan) det(ab) = det A det B Jos on olemassa A 1, niin det(a) 0 ja det(a 1 ) = 1/ det(a) 4

5 Käytännössä: determinantti muunnetaan rivioperaatioilla porrasmuotoon, jolloin det = ± lävistäjäalkioiden tulo (rivien vaihdossa determinantin merkki vaihtuu; rivien yhteenlaskussa ei muutosta determinanttiin) 15 Matriisin ominaisarvot Ax = λx ja x 0 λ on A:n ominaisarvo ja x on λ:aa vastaava ominaisvektori Voi olla λ C, jolloin myös ominaisvektorin komponentit ovat kompleksilukuja Karakteristinen yhtälö: det(a λi) = 0 Sen juuret = A:n ominaisarvot, joita yhteensä n kpl, osa voi olla moninkertaisia Periaate: ensin ratkaistaan ominaisarvot karakteristisesta yhtälöstä ja sen jälkeen jokaista ominaisarvoa vastaavat ominaisvektorit erikseen yhtälöistä (A λ i I)x (i) Ominaisarvon algebrallinen kertaluku: Monikokertainen juuri λ on karakteristiselle yhtälölle, {1,, n} n-vektorit x (1),, x (n) ovat lineaarisesti riippumattomia (LRT) niistä muodostetun n n-matriisin X = [x (1) x (n) ] determinantti 0 A diagonalisoituva A:lla on n kpl LRT ominaisvektoreita A = XDX 1, missä D on ominaisarvoista muodostettu lävistäjämatriisi ja X:n sarakkeina ovat A:n ominaisvektorit A on symmetrinen, jos A T = A Tällöin ominaisarvot reaalisia, om vektorit pareittain kohtisuorassa toisiaan vastaan, A diagonalisoituu Neliömatriiseja koskeva peruslause: Jos A on n n-matriisi, niin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä (jos yksi pätee, niin kaikki muutkin): Homogeenisen yhtälöryhmän Ax = 0 ainoa ratkaisu on x = 0 Kaikilla b yhtälöryhmällä Ax = b on yksikäsitteinen ratkaisu rg A 0, missä rg = rangi On olemassa käänteismatriisi A 1 det(a) 0 Kaikki matriisin A ominaisarvot ovat erisuuria kuin nolla 5