1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus"

Transkriptio

1 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus + eli kuvaus + : V V V, (v, w) v + w, missä v + w V, kun v V ja w V sekä laskutoimitus eli kuvaus missä k v V, kun k K ja v V. Määritelmä 1. : K V V, (k, v) k v, Pari (K, V ) on K-kertoiminen lineaariavaruus eli vektoriavaruus, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun aksiomit: (a) u + (v + w) = (u + v) + w kaikilla u, v, w V (liitännäisyys). (b) v + w = w + v kaikilla v, w V (vaihdannaisuus). (c) On olemassa neutraalialkio 0 V, jolle 0 + v = v kaikilla v V. (d) Kaikilla v V on olemassa vasta-alkio v V, jolle v + ( v) = Skalaarilla kertomisen aksiomit: (a) (λµ) v = λ (µ v) kaikilla v V ja λ, µ K. (b) 1 v = v kaikilla v V. 3. Osittelulait: 1

2 (a) λ (v + w) = λ v + λ w kaikilla v, w V ja λ K. (b) (λ + µ) v = λ v + µ v kaikilla v V ja λ, µ K. Määritelmän 1 mukaista joukkoa V kutsutaan lineaariavaruudeksi eli vektoriavaruudeksi kunnan K yli tai K-lineaariavaruudeksi tai K-vektoriavaruudeksi ja annettuja ehtoja sanotaan lineaariavaruuden V aksiomeiksi ja joukon V alkioita voidaan kutsua vektoreiksi sekä joukon K alkioita skalaareiksi. Edelleen laskutoimitusta + kutsutaan yhteenlaskuksi ja laskutoimitusta skalaarilla kertomiseksi. Erikoistapauksia: Esimerkki 1. Reaalinen vektoriavaruus, kun K = R. Tällöin yhteenlasku + on kuvaus + : V V V ja reaaliluvulla kertominen on kuvaus : R V V. Esimerkki 2. Kompleksinen vektoriavaruus, kun K = C. Tällöin yhteenlasku + on kuvaus + : V V V ja kompleksiluvulla kertominen on kuvaus Huomautus 1. Identiteetin : C V V. v = w molemmille puolin saa lisätä saman alkion y, jolloin v + y = w + y. Merkintä 1. Yleensä kertolasku jätetään merkitsemättä eli tehdään samaistus: λv := λ v. 2

3 Merkintä 2. λ v := (λ v). Merkintä 3. Asetetaan u v := u + ( v). (1) Esimerkki 3. Joukko R n, n Z + on vektoriavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ) R n, y = (y 1,..., y n ) R n identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla λ kertominen määritellään koordinaateittain: x = y x i = y i i = 1,..., n; x + y = (x 1 + y 1,..., x n + y n ); λ x = (λx 1,..., λx n ). Erityisesti R 1 on vektoriavaruus, joka voidaan samaistaa R:n kanssa. Lähtökohtana on, että reaaliluvut on kunta, jolloin reaaliluvut toteuttavat kunta-aksiomit eli liitännäisyyden, vaihdannaisuuden, etc. Aluksi nähdään, että reaalilukujen assosiatiivisuus-ominaisuus nousee vektoreiden assosiatiivisuudeksi. Osoitetaan Vektoriavaruuden Määritelmän 1 kohta 1a (liitännäisyys) eli kaikilla x, y, z R n. Lasketaan ensin vasen puoli x + (y + z) = (x + y) + z x + (y + z) =(x 1,..., x n ) + ((y 1,..., y n ) + (z 1,..., z n )) = (x 1,..., x n ) + (y 1 + z 1,..., y n + z n ) = (x 1 + (y 1 + z 1 ),..., x n + (y n + z n )) = ((x 1 + y 1 ) + z 1,..., (x n + y n ) + z n ), missä koordinaateissa on käytetty reaalilukujen liitännäisyyttä. Ja sitten oikea puoli (x + y) + z =((x 1,..., x n ) + (y 1,..., y n )) + (z 1,..., z n ) = (x 1 + y 1,..., x n + y n ) + (z 1,..., z n ) = ((x 1 + y 1 ) + z 1,..., (x n + y n ) + z n ). 3

4 Havaitaan, että vasen ja oikea puoli ovat samat kaikilla x, y, z R n. Seuraavaksi osoitetaan, että nolla-alkio on (0,..., 0). Lasketaan siis: x + (0,..., 0) = (x 1,..., x n ) + (0,..., 0) = (x 1 + 0,..., x n + 0) = (x 1,..., x n ) = x, joka pätee kaikilla x R n. Siten 0 = (0,..., 0). Osoitetaan vielä Vektoriavaruuden Määritelmän 1 kohta 2(a) eli (λµ) x = λ (µ x) kaikilla x R n ja λ, µ R. Lasketaan ensin vasen puoli ja sitten oikea puoli (λµ) x = (λµ) (x 1,..., x n ) = (λµx 1,..., λµx n ) (2) λ (µ x) = λ (µx 1,..., µx n ) = (λµx 1,..., λµx n ). (3) R. Havaitaan, että vasen ja oikea puoli ovat samat kaikilla x R n ja λ, µ Esimerkki 4. Olkoon K kunta. Tällöin joukko K n, n Z + on vektoriavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ) K n, y = (y 1,..., y n ) K n identtisyys, yhteenlasku ja skalaarilla λ K kertominen määritellään koordinaateittain: x = y x i = y i i = 1,..., n; x + y = (x 1 + y 1,..., x n + y n ); λ x = (λx 1,..., λx n ). Erityisesti K 1 on vektoriavaruus, joka voidaan samaistaa K:n kanssa. Esimerkki 5. Joukko M(k, n) = {A A on k n matriisi} on vektoriavaruus, kun se varustetaan tavallisella matriisien yhteenlaskulla ja reaaliluvulla kertomisella. Esimerkki 6. Olkoon F(R, R) = {f f : R R on kuvaus}. 4

5 Määritellään kaikilla f, g F(R, R) ja λ R identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla kertominen seuraavasti: f = g, jos f(x) = g(x) (4) (f + g)(x) = f(x) + g(x) (5) (λ f)(x) = λf(x) (6) kaikilla x R. Tällöin F(R, R) on vektoriavaruus. Osoitetaan Vektoriavaruuden Määritelmän 1 kohta 1c): Määritellään nollafunktio O asettamalla Tällöin O(x) = 0 x R. (7) (O + f)(x) = O(x) + f(x) = 0 + f(x) = f(x) x R, (8) joten funktioiden identtisyyden nojalla O + f = f. (9) Siten nollafunktio on yhteenlaskun neutraalialkio funktioavaruudessa. Osoitetaan kohta 1d): Määritellään f asettamalla Tällöin (f + ( f))(x) = f(x) + ( f)(x) = joten funktioiden identtisyyden nojalla ( f)(x) = f(x) x R. (10) Siten f on alkion f vasta-alkio funktioavaruudessa. f(x) f(x) = 0 = O(x) x R, (11) f + ( f) = O. (12) 1.2 Laskusääntöjä Lause 1. Olkoon V vektoriavaruus. Tällöin (a) yhteenlaskun neutraalialkio on yksikäsitteinen; 5

6 (b) vektorin vasta-alkio on yksikäsitteinen; (c) kaikilla v, w V on olemassa täsmälleen yksi x V, jolle v + x = w (toisin sanoen yhtälöllä v + x = w on yksikäsitteinen ratkaisu). Koska (V, +) on Abelin ryhmä, niin todistukset löytyvät kurssilta A Algebran perusteet. Lause 2. Olkoon V vektoriavaruus ja 0 V sen nolla-alkio ja 0 K. Kaikilla v, w V ja λ, µ K pätee a] 0 v = λ 0 = 0; b] ( 1) v = v; c] ( v) = v; d] (v + w) = v w; e] λ v = ( λ) v = λ ( v); f] ( λ) ( v) = λ v; g] λ (v w) = λ v λ w; h] (λ µ) v = λ v µ v; i] λ v = 0 jos ja vain jos λ = 0 tai v = 0; j] Jos λ v = λ w ja λ 0, niin v = w; k] Jos λ v = µ v ja v 0, niin λ = µ. Todistetaan kohdan a] tapaus: 0 v = 0. Aluksi 0 v = (0 + 0) v = 0 v + 0 v. (13) 6

7 Lisätään vasta-alkio 0 v yhtälön molemmille puolille, jolloin 0 = 0 v + ( 0 v) = (0 v + 0 v) + ( 0 v) = b] ( 1) v = v. Lasketaan ( 1) v + v: 0 v + (0 v 0 v) = 0 v + 0 = 0 v. (14) ( 1) v + v = ( 1) v + 1 v = ( 1 + 1) v = 0 v = 0. (15) Täten vasta-alkion määritelmän ja yksikäsitteisyyden nojalla ( 1) v = v. e] Osoitetaan tapaus λ v = ( λ) v käyttämällä b]-kohdan tulosta w = ( 1) w. Lasketaan V.P = λ v = ( 1) (λ v) = (( 1)λ) v = ( λ) v = O.P. (16) i] Esitetään ensin väite muodossa: λ v = 0 λ = 0 tai v = 0. :n todistus: Oletuksena on, että λ = 0 tai v = 0. Nyt on osoitettava, että λ v = 0. Katso a]-kohta. :n todistus: Nyt oletuksena on On siis osoitettava, että λ = 0 tai v = 0. Tehdään vastaoletus: λ 0 ja v 0. λ v = 0. (17) Tällöin λ 1 K, joten yhtälö (17) voidaan kertoa puolittain alkiolla λ 1. Saadaan λ 1 (λ v) = λ 1 0 (λ 1 λ) v = 0 1 v = v = 0. (18) 7

8 Ristiriita vastaoletuksen kanssa. 1.3 Aliavaruus Määritelmä 2. Vektoriavaruuden V epätyhjä osajoukko W on vektoriavaruuden V aliavaruus, jos W on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen, toisin sanoen 1. W V ; 2. jos w 1, w 2 W, niin w 1 + w 2 W ; 3. jos w W ja λ K, niin λw W. Seuraava lause antaa hyvän tavan todeta joukko vektoriavaruudeksi: Osoitetaan joukko jonkin tunnetun vektoriavaruuden aliavaruudeksi. Lause 3. Epätyhjä joukko W V on vektoriavaruuden V aliavaruus jos ja vain jos W varustettuna avaruuden V yhteenlaskulla ja skalaarilla kertomisella on vektoriavaruus. Esimerkki 7. Olkoon V vektoriavaruus ja 0 V sen nolla-alkio. Tällöin osajoukot {0} ja V ovat vektoriavaruuden V aliavaruuksia. Todistetaan, että {0} on aliavaruus. Merkitään hetkeksi W 0 = {0}. AA1. Koska 0 W 0, niin W 0. AA2. Olkoot w 1, w 2 W 0. Tällöin w 1 = w 2 = 0 ja siten w 1 + w 2 = 0 W 0. AA3. Olkoot λ K ja w W 0. Tällöin w = 0 ja siten λ w = λ 0 = 0 W 0. Huomautus 2. Sanotaan, että {0} ja V ovat triviaalit aliavaruudet. Esimerkki 8. Joukko C(R, R) = {f f : R R on jatkuva kuvaus} on vektoriavaruuden F(R, R) aliavaruus. 8

9 AA1. Koska nollakuvaus O : R R on jatkuva, niin O C(R, R) ja siten C(R, R). AA2. Jos f, g C(R, R), niin f + g on jatkuva ja siten f + g C(R, R). AA3. Olkoot λ R ja f C(R, R), tällöin λf on jatkuva, joten λf C(R, R). Esimerkki 9. Olkoon Pol(R, R) = {f F(R, R) f(x) = a 0 + a 1 x a n x n kaikilla x R joillekin n N ja a 0,..., a n R} eli Pol(R, R) on kaikkien polynomien joukko. Tällöin Pol(R, R) on vektoriavaruuksien C(R, R) ja F(R, R) aliavaruus. Esimerkki 10. Olkoot k N ja Pol k (R, R) = {f Pol(R, R) polynomin f aste k}. Saadaan siis ali- Tällöin Pol k (R, R) on avaruuden Pol(R, R) aliavaruus. avaruusketju Pol 0 (R, R) Pol 1 (R, R)... Pol k (R, R) Pol k+1 (R, R) Pol(R, R) C(R, R) F(R, R). Huomautus 3. Olkoon K kunta. Yleensä K-kertoimisten polynomien joukolle käytetään merkintää K[x] = {f(x) f(x) = a 0 + a 1 x a n x n joillekin n N ja a 0,..., a n K}. Kun polynomien yhteen- ja kertolasku määritellään tavanomaisesti, niin saadaan polynomirengas (K[x], +, ), missä nolla- ja ykköspolynomit ovat 0(x) = x + 0 x , 1(x) = x + 0 x Edelleen vakiopolynomille a(x) = a + 0 x + 0 x voidaan käyttää lyhennysmerkintää a. 9

10 1.4 Lineaarikombinaatio ja lineaarinen verho Määritelmä 3. Olkoon V vektoriavaruus kunnan K yli. Vektori v V on vektoreiden v 1,..., v n V (äärellinen) lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset luvut λ 1,..., λ n K, että v = n λ i v i. (19) i=1 Esimerkki 11. V = R 3, K = R, v 1 = (1, 1, 0), v 2 = (0, 1, 1), v 3 = (1, 0, 1) ja v = (3, 3, 0). Tällöin v = v 1 + 2v 2 + 2v 3 (20) = 2v 1 + v 2 + v 3. (21) Siten (3, 3, 0) on vektoreiden v 1, v 2 ja v 3 lineaarikombinaatio mutta esitys ei ole yksikäsitteinen. Esimerkki 12. V = C 3, K = C. ( i, i, 2 + i) = 1 ( i, i, i) + 1 (0, 0, 2) (22) = i ( 1, 1, 1) + i (0, 0, 2i). (23) Määritelmä 4. K-vektoriavaruuden V epätyhjän osajoukon S lineaarinen verho S koostuu kaikista joukon S äärellisistä K-lineaarikombinaatioista, toisin sanoen S K = S = {u V u = n λ i v i, i=1 joillekin n N, v 1,..., v n S ja λ 1,..., λ n K}. Esimerkki 13. V = R 2, K = R, e 1 = (1, 0), e 2 = (0, 1). Tällöin e 1, e 2 R = {λ 1 e 1 + λ 2 e 2 = (λ 1, λ 2 ) λ 1, λ 2 R} = R 2. (24) Esimerkki 14. Koska f Pol 1 (R, R) täsmälleen silloin, kun on olemassa sellaiset a 0, a 1 R, että f(x) = a 0 + a 1 x, niin Yleisemmin Pol 1 (R, R) = 1, x R. Pol k (R, R) = 1, x,..., x k R. 10

11 Lause 4. Olkoot V vektoriavaruus kunnan K yli ja S V epätyhjä osajoukko. Tällöin (a) S K on avaruuden V aliavaruus. (b) Jos S W ja W on avaruuden V aliavaruus, niin S K W. 1.5 Lineaarinen vapaus ja riippuvuus Seuraavassa tarkastellaan vektoreiden s 1,..., s n V muodostamia listoja s 1,..., s n, missä n N on listan pituus. Tapaus n = 0 tarkoittaa, että lista on tyhjä eli listassa ei ole alkioita. Määritelmä 5. Olkoon V vektoriavaruus kunnan K yli ja s 1,..., s n V, n N. Tapaus n = 0: Tyhjä lista on lineaarisesti vapaa. Tapaus n 1: Alkiolista s 1,..., s n on lineaarisesti vapaa (kunnan K yli) jos ehdosta seuraa, että n λ i s i = 0, λ 1,..., λ n K, (25) i=1 λ 1 = λ 2 =... = λ n = 0. (26) Muutoin lista s 1,..., s n on lineaarisesti sidottu (kunnan K yli). Lineaarisesti vapaa=lineaarisesti riippumaton vektorit ovat lineaarisesti vapaita eli riippumattomia lineaarisesti sidottu=lineaarisesti riippuva vektorit ovat lineaarisesti sidottuja eli riippuvia 11

12 Lause 5. Olkoot V vektoriavaruus kunnan K yli ja s 1,..., s n V, n Z +. Alkiolista s 1,..., s n on lineaarisesti riippuva (kunnan K yli) jos ja vain jos on olemassa sellaiset luvut λ 1,..., λ n K, että ja ainakin yksi λ i 0, 1 i n. n λ i s i = 0 (27) i=1 Esimerkki 15. Tutkitaan listaa s 1, s 2, missä vektorit ovat identtiset eli s 1 = s 2 = s. Tällöin 1 s 1 + ( 1) s 2 = s s = 0, joten lista s 1, s 2 = s, s on lineaarisesti sidottu. Edelleen kaikki listat, joissa on toisto eli sama alkio esiintyy vähintään kahdesti, ovat lineaarisesti sidottuja. Olkoon s 1,..., s n, n N, lineaarisesti vapaa lista. Tällöin listassa ei esiinny toistoa, joten listassa ja joukossa S = {s 1,..., s n } on sama määrä alkioita. Siten on luonnollista sanoa, että joukko S = {s 1,..., s n } on lineaarisesti vapaa. Tyhjää listaa vastaa tyhjä joukko, jonka takia sovitaan, että on lineaarisesti vapaa. Edelleen, jos listassa s 1,..., s n, n Z + ei ole toistoa ja lista on lineaarisesti sidottu, niin myös vastaavaa joukkoa S = {s 1,..., s n } sanotaan lineaarisesti sidotuksi. Esimerkki 16. Nolla-alkion muodostama lista 0 on lineaarisesti sidottu, koska 1 0 = 0. Siten joukko {0} on lineaarisesti sidottu. 12

13 Esimerkki 17. Olkoon 0 v V. Alkion v muodostama lista v on lineaarisesti vapaa, koska ehdosta λ v = 0 seuraa λ = 0. Niinpä yhden vektorin muodostama joukko {v} on lineaarisesti vapaa, jos v 0. Esimerkki 18. V = R 3, K = R, s 1 = (1, 1, 0), s 2 = (0, 1, 1), s 3 = (1, 0, 1) ja s 4 = (3, 3, 0). Koska 1 s 1 + ( 1) s 2 + ( 1) s 3 = 0; (28) 2 s s s 3 + ( 1) s 4 = 0, (29) niin s 1, s 2, s 3 on lineaarisesti riippuva ja myös s 1, s 2, s 3, s 4 on lineaarisesti riippuva. Esimerkki 19. Joukko {1, 3} on lineaarisesti vapaa kunnan Q yli. Esimerkki 20. Joukko {1, 3} on lineaarisesti sidottu kunnan R yli. Määritelmä 6. Olkoot V vektoriavaruus kunnan K yli ja S V epätyhjä osajoukko. Joukko S on lineaarisesti vapaa (kunnan K yli) jos ja vain jos sen jokainen äärellinen epätyhjä osajoukko on lineaarisesti vapaa, toisin sanoen ehdosta n λ i s i = 0, λ i K, (30) i=1 seuraa, että λ 1 = λ 2 =... = λ n = 0 (31) kaikilla joukon S äärellisillä osajoukoilla {s 1,..., s n }. Muutoin S on lineaarisesti sidottu. Lause 6. Olkoot V vektoriavaruus kunnan K yli ja S V epätyhjä osajoukko. Joukko S on lineaarisesti sidottu (kunnan K yli), jos on olemassa äärellisen monta alkiota s 1,..., s n S ja sellaiset luvut λ 1,..., λ n K, että ja ainakin yksi λ i 0, 1 i n. n λ i s i = 0 (32) i=1 13

14 Lause 7. Olkoot V vektoriavaruus kunnan K yli, S V epätyhjä osajoukko ja x V. Tällöin x S K {x} S K = S K ; (33) Jos S on lineaarisesti vapaa kunnan K yli, niin x V \ S K {x} S on lineaarisesti vapaa/k. (34) Todistetaan (34) tapauksessa S = {s 1,..., s n }. : Oletuksena siis, että x / S K. Asetetaan lineaarikombinaatio nollaksi Jos α n+1 0, niin α 1 s α n s n + α n+1 x = 0, α k K. (35) x = β 1 s β n s n, β k K x S K. (36) Ristiriita. Joten α n+1 = 0 ja siten α 1 s α n s n = 0, α k = 0 k. (37) Siten x, s 1,..., s n on lineaarisesti vapaa. : Oletuksena siis, että x, s 1,..., s n on lineaarisesti vapaa. Vastaoletus: x S K. Tällöin x = λ 1 s λ n s n, λ k K, (38) Siten x, s 1,..., s n on lineaarisesti sidottu. Ristiriita oletuksen kanssa, joten vastaoletus väärä. Niinpä x / S K. Esimerkki 21. Joukko {1(x), x, x 2 } Pol 2 (R, R) on lineaarisesti riippumaton (kunnan R yli). Todistus: Olkoot λ 0, λ 1, λ 2 R sellaiset, että kaikilla x R. λ 0 1(x) + λ 1 x + λ 2 x 2 = 0(x) Valitaan x = 0, jolloin saadaan λ = 0, eli λ 0 = 0. Valitaan x = 1 ja x = 1, jolloin saadaan { { λ 1 + λ 2 = 0 λ 1 = 0 λ 1 + λ 2 = 0 λ 2 = 0. Siis λ 0 = λ 1 = λ 2 = 0. 14

15 Esimerkki 22. Joukko {1, x,..., x k } Pol k (R, R) on lineaarisesti riippumaton. Esimerkki 23. Joukko {1, x,..., x k,...} Pol(R, R) on lineaarisesti riippumaton. Esimerkki 24. Joukko {1, sin 2, cos 2 } C(R, R) on lineaarisesti riippuva (kunnan R yli), sillä kaikilla x R. 1 sin 2 x + 1 cos 2 x 1 1 = 0 = 0(x) 1.6 Kanta ja dimensio Määritelmä 7. K-Vektoriavaruuden V epätyhjä osajoukko S on avaruuden V kanta (kunnan K yli), jos (a) S on lineaarisesti riippumaton kunnan K yli, ja (b) S K = V. Lause 8 (Hamelin kantalause). Jokaisella vektoriavaruudella V {0} on olemassa kanta. Todistus, joka perustuu valinta-aksiomiin on aika haastava eikä kuulu tämän kurssin vaatimuksiin. Lause 9. Olkoon V vektoriavaruus kunnan K yli, R, T V, r := #R ja t := #T. Jos R T K ja r > t 1, (39) niin R on lineaarisesti sidottu kunnan K yli. Todistus. Induktio lukumäärän t suhteen. Olkoon t = 1, jolloin r 2. Kirjoitetaan Koska R T K, niin R = {x 1,..., x r }, T = {y 1 }. x 1 =a 1 y 1, a 1 K x 2 =a 2 y 1, a 2 K, 15

16 missä ainakin toinen luvuista a i 0, olkoon a 1 0. Tällöin 1 x 2 a 1 1 a 2 x 1 = 0 (40) joten x 1, x 2 on lineaarisesti sidottu ja siten R on lineaarisesti sidottu. Olkoon s Z +. Induktio-oletus: Kaikilla t s väite pätee. Induktioaskel: Olkoon t = s + 1 = #T, r = #R, r > t ja R = {x 1,..., x r }, T = {y 1,..., y s+1 }. Aluksi huomataan, että r s + 2. Oletuksen R T K nojalla x 1 =a 1,1 y 1 + a 1,2 y a 1,s+1 y s+1, x 2 =a 2,1 y 1 + a 2,2 y a 2,s+1 y s+1,... x r =a r,1 y 1 + a r,2 y a r,s+1 y s+1, missä a i,j K. Jos olisi a 1,1 = a 2,1 =... = a r,1 = 0, niin R y 2,..., y s+1 K, #R = r s + 2 > #{y 2,..., y s+1 } = s, (41) joten induktio-oletuksen nojalla R olisi lineaarisesti sidottu tässä tapauksessa. Tarkastellaan seuraavaksi tapaus, josa ainakin yksi luvuista a 1,1, a 2,1,..., a r,1 on nollasta eroava, olkoon a 1,1 0. Määritellään seuraavaksi uudet vektorit joille pätee: x 1 = 0 ja x k = x k a 1 1,1a k,1 x 1, k = 1,..., r, R := {x 2,..., x r} y 2,..., y s+1 K. (42) Jos joukossa R olisi identtisiä alkioita, niin R olisi sidottu. Muutoin joukkojen lukumäärille pätee #R = r 1 s + 1 > #{y 2,..., y s+1 } = s, (43) joten induktio-oletuksen nojalla R on nytkin lineaarisesti sidottu. Siten b 2 x b r x r = 0, b k K, (44) ja b j 0, jollakin 2 j r. Sijoitetaan x k = x k a 1 1,1a k,1 x 1 takaisin, jolloin saadaan lineaarikombinaatio ( b 2 a 1 1,1a 2,1... b r a 1 1,1a r,1 )x 1 + b 2 x b r x r = 0, (45) missä ainakin yksi kerroin on nollasta eroava, nimittäin b j 0. Niinpä x 1, x 2,..., x r on lineaarisesti sidottu mikä todistaa induktioaskeleen. 16

17 Lause 10. Olkoon V {0} vektoriavaruus kunnan K yli. Jos avaruudella V on olemassa äärellinen kanta kunnan K yli, niin kaikissa kannoissa kunnan K yli on sama määrä alkioita. Todistus. Olkoot S 1 ja S 2 kantoja, s 1 := #S 1 ja s 2 := #S 2. Tällöin S 1 on lineaarisesti vapaa ja S 2 on lineaarisesti vapaa sekä S 1 K = S 2 K = V. Jos olisi ja koska S 1 Ristiriita. s 1 > s 2, (46) S 2 K, niin Lauseen 9 nojalla S 1 olisi lineaarisesti sidottu. Määritelmä 8. K-vektoriavaruus V on äärellisulotteinen, jos sillä on olemassa äärellinen kanta (kunnan K yli). Myös {0} on äärellisulotteinen. Muulloin V on ääretönulotteinen. Jos avaruuden V kannassa on n alkiota (kunnan K yli), missä n N, niin avaruuden V dimensio on n. Tällöin käytetään merkintää dim K V = dim V = n. Jos V = {0}, niin dim K V = 0. Muulloin dim K V =. Huomautus 4. Lauseen 10 nojalla vektoriavaruuden V dimensio on hyvin määritelty. Seuraus 1. Jos dim K V = n, jollain n Z +, niin jokainen lineaarisesti riippumaton avaruuden V osajoukko S, jossa on n alkiota, on avaruuden V kanta. Seuraus 2. Jos dim K V = n jollain n N, niin jokainen sellainen avaruuden V osajoukko, jossa on vähintään n + 1 alkiota, on lineaarisesti riippuva kunnan K yli. 17

18 Seuraus 3. Jos V on vektoriavaruus kunnan K yli, W on avaruuden V aliavaruus ja S on avaruuden W kanta, niin on olemassa sellainen avaruuden V kanta T, että S T. Erityisesti dim K W dim K V. (47) Lause 11. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus kunnan K yli ja S = {v 1,..., v n } avaruuden V kanta. Tällöin jokaista vektoria v V kohti on olemassa yksikäsitteiset luvut λ 1,..., λ n K siten, että v = n λ i v i. (48) i=1 Määritelmä 9. Lineaarikombinaatiota (48) sanotaan vektorin v kantaesitykseksi kannan S suhteen ja kertoimet λ i ovat vektorin v koordinaatit kannassa S. Tällöin voidaan kirjoittaa v = (λ 1,..., λ n ) S = (λ 1,..., λ n ), jota sanotaan vektorin v koordinaattiesitykseksi kannassa S. Esimerkki 25. Koska {1, x,..., x n } on avaruuden Pol n (R, R) eräs kanta, niin dim Pol n (R, R) = n + 1. Koska {1, x, x 2,..., x k,...} Pol(R, R) on lineaarisesti riippumaton, niin Tuloksen (47) nojalla saadaan Esimerkki 26. dim Pol(R, R) =. dim Pol(R, R) = dim C(R, R) = dim F(R, R) =. Laske dim S, kun S = {1 + x, 1 + x 2, 1 + 2x 3x 2 } Pol 2 (R, R). Ratkaisu: Tutkitaan, onko joukko S lineaarisesti riippumaton. Nyt a(1 + x) + b(1 + x 2 ) + c( 1 + 2x 3x 2 ) = 0 (a + b c)1 + (a + 2c)x + (b 3c)x 2 = 0 18

19 Koska 1, x, x 2 on lineaarisesti vapaa, niin saadaan a + b c = 0 a + 2c = 0 a + 2c = 0 a + 2c = 0 b 3c = 0 b 3c = 0 a = 2c b = 3c c R. (Ensimmäisessä kohdassa viimeinen yhtälö on vähennetty ensimmäisestä.) Koska yllä olevalla yhtälöryhmällä on epätriviaali ratkaisu, esim. a = 2, b = 3, c = 1, niin S on lineaarisesti riippuva. Tästä nähdään, että polynomi 1 + 2x 3x 2 on lineaarikombinaatio polynomeista 1 + x ja 1 + x 2, joten S = 1 + x, 1 + x 2. Joukko {1 + x, 1 + x 2 } on lineaarisesti riippumaton, sillä a(1 + x) + b(1 + x 2 ) = 0 (a + b)1 + ax + bx 2 = 0 a = 0 ja b = 0. Näin ollen dim S = 2. Esimerkki 27. Reaaliluvut muodostavat ääretönulotteisen vektoriavaruuden rationaalilukujen kunnan yli eli dim Q R =. Todistus on aika haastava eikä kuulu tämän kurssin vaatimuksiin. 19

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus Lineaarikuvaus Ominaisarvo 0-68

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus Lineaarikuvaus Ominaisarvo 0-68 SISÄLTÖ Sisältö pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 0-1 2 Sisätuloavaruus 0-20 3 Lineaarikuvaus 0-41 4 Ominaisarvo 0-68 5 Esimerkkejä 0-88 1. Lineaariavaruus eli V 1 Lineaariavaruus

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

Lineaarialgebra II P

Lineaarialgebra II P Lineaarialgebra II 89P Sisältö Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 8 3 Lineaarikuvaus 5 4 Ominaisarvo 5 Luku Vektoriavaruus Määritelmä.. Epätyhjä joukko V on vektoriavaruus, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:.

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

Yleiset lineaarimuunnokset

Yleiset lineaarimuunnokset TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden

Lisätiedot

ja jäännösluokkien joukkoa

ja jäännösluokkien joukkoa 3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2014 164/246 Kertausta:

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja

Lisätiedot

3 Skalaari ja vektori

3 Skalaari ja vektori 3 Skalaari ja vektori Määritelmä 3.1 Skalaari on suure, jolla on vain suuruus, jota mitataan jossakin mittayksikössä. Skalaaria merkitään reaaliluvulla. Esimerkki 3.2 Paino, pituus, etäisyys, pinta-ala,

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät 3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

1. Normi ja sisätulo

1. Normi ja sisätulo Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 3 83 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni Normi ja sisätulo

Lisätiedot

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä 4. Ryhmät Tässä luvussa tarkastelemme laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimitukselta oletamme muutamia yksinkertaisia ominaisuuksia: Määritelmä 4.1. Laskutoimituksella varustettu joukko

Lisätiedot

802120P Matriisilaskenta (5 op)

802120P Matriisilaskenta (5 op) 802120P Matriisilaskenta (5 op) Marko Leinonen Matemaattiset tieteet Syksy 2016 1 / 220 Luennoitsija: Marko Leinonen marko.leinonen@oulu.fi MA333 Kurssilla käytetään Noppaa (noppa.oulu.fi) Luentomoniste

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Ortogonaalisen kannan etsiminen Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,

Lisätiedot

1. Lineaarinen yhtälöryhmä ja matriisi

1. Lineaarinen yhtälöryhmä ja matriisi I LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT 1 Lineaarinen yhtälöryhmä ja matriisi Tällä kurssilla käytämme kirjainta K tarkoittamaan reaalilukuja R, kompleksilukuja C tai rationaalilukuja Q (aluksi K = R) Nämä lukujoukot

Lisätiedot

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

koska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan

koska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan 4. Äärellisten kuntien yleisiä ominaisuuksia 4.1. Laajenuskunnat. Tarkastellaan aluksi yleistä kuntaparia F ja K, missä F on kunnan K alikunta. Tällöin sanotaan, että kunta K on kunnan F laajennuskunta

Lisätiedot

Matriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0

Matriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0 MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 22 Virittääkö vektorijoukko S vektoriavaruuden V, kun a V = R 3 ja S = {(1,0, 1,(2,0,4,( 5,0,2,(0,0,1} b V = P 2 (R ja S = {t1,t 2 1,t 2 t} ( ( 1 0 c

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Lineaarialgebra I. Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Esa Järvenpää Kirjoittanut Tuula Ripatti

Lineaarialgebra I. Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Esa Järvenpää Kirjoittanut Tuula Ripatti Lineaarialgebra I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Esa Järvenpää Kirjoittanut Tuula Ripatti 2 1 Lineaarinen yhtälöryhmä 11 Esimerkki (a) Ratkaise yhtälö 5x = 7 Kerrotaan yhtälö puolittain

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate 1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Vektoreiden virittämä aliavaruus

Vektoreiden virittämä aliavaruus Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Lineaarikuvaus

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.

Lisätiedot

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x 8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 3. Lineaariset koodit Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 2 / 22 3.1 Lineaarisen koodin määrittely Olkoon F äärellinen kunta.

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta. ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua)

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua) Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin ( sivua).... Nämä ovat kurssin Algebra I harjoitustehtävien ratkaisuehdoituksia. Ratkaisut koostuvat kahdesta osiosta,

Lisätiedot

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut 2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 5.2 BCH-koodin dekoodaus Tarkastellaan t virhettä korjaavaa n-pituista BCH-koodia. Olkoon α primitiivinen n:s ykkösen juuri, c = c(x)

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................

Lisätiedot

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 4.7 Syklisen koodin jälkiesitys Olkoon F = F q ja K = F q m kunnan F laajennuskunta. Määritelmä 4.7.1. Kuntalaajennuksen K/F jälkifunktioksi

Lisätiedot

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on? Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSIN KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSIN KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSIN KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 1. Kompleksiluvuista Kaksiulotteinen reaalinen vektoriavaruus R 2 koostuu lukupareista (x 1, x 2 ), missä x 1 ja x 2 ovat reaalilukuja, eli R 2

Lisätiedot

Algebran perusteet. 44 ϕ(105) = (105). Näin ollen

Algebran perusteet. 44 ϕ(105) = (105). Näin ollen Algebran perusteet Harjoitus 4, ratkaisut kevät 2016 1 a) Koska 105 = 5 21 = 3 5 7 ja 44 = 2 2 11, niin syt(44, 105) = 1 Lisäksi ϕ(105) = ϕ(3 5 7) = (3 1)(5 1)(7 1) = 2 4 6 = 48, joten Eulerin teoreeman

Lisätiedot

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät 1 1 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT Muotoa 11 Lineaariset yhtälöryhmät (1) a 1 x 1 + a x + + a n x n b oleva yhtälö on tuntemattomien x 1,, x n lineaarinen yhtälö, jonka kertoimet ovat luvut a 1,,

Lisätiedot

Tensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0

Tensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0 Tensorialgebroista Esitysteorian kesäopintopiiri, Turun yliopisto, 2012 Jyrki Lahtonen Olkoon k jokin skalaarikunta. Kerrataan k-algebran käsite: A on k-algebra, jos se on sekä rengas että vektoriavaruus

Lisätiedot

10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 37. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaalihtälöt Tarkastelemme muotoa () ( x) + a( x) ( x) + a( x) ( x) = b( x) olevia htälöitä, missä kerroinfunktiot ja oikea puoli ovat välillä I jatkuvia. Edellisen

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Lineaarikuvaukset Lineaarikuvaus Olkoot U ja V

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,

Lisätiedot

802118P Lineaarialgebra I (4 op)

802118P Lineaarialgebra I (4 op) 802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

4. LINEAARIKUVAUKSET

4. LINEAARIKUVAUKSET 86 4 LINEAARIKUVAUKSET 41 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoot V ja V vektoriavaruuksia Tarkastellaan kuvausta L : V V Tällöin jokaiseen vektoriin v V liittyy tietty, L:n ja v:n yksikäsitteisesti määräämä

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen

Lisätiedot

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006 Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 8. Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo

Talousmatematiikan perusteet: Luento 8. Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo Talousmatematiikan perusteet: Luento 8 Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo Motivointi Esim. Herkkumatikka maksaa 50 /kg. Paljonko

Lisätiedot

a b 1 c b n c n

a b 1 c b n c n Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

HILBERTIN AVARUUKSISTA

HILBERTIN AVARUUKSISTA HILBERTIN AVARUUKSISTA Pro gradu -tutkielma Hannariikka Lehtiniemi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Jyväskylän yliopisto syksy 2014 TIIVISTELMÄ Ääretönulotteiset avaruudet ovat monilta ominaisuuksiltaan

Lisätiedot

Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi

Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi Pro gradu -tutkielma Outi Aksela 2117470 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Renkaat 3 1.1 Rengas...............................

Lisätiedot

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo

Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Antti Rasila 2016 Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Jos {v 1, v 2,..., v k } on äärellisulotteisen vektoriavaruuden V lineaarisesti riippumaton

Lisätiedot

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä

Lisätiedot

MAT Algebra 1(s)

MAT Algebra 1(s) 8. maaliskuuta 2012 Esipuhe Tämä luentokalvot sisältävät kurssin keskeiset asiat. Kalvoja täydennetään luennolla esimerkein ja todistuksin. Materiaali perustuu Jyväskylän, Helsingin ja Turun yliopistojen

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) 28.3.-1.4.2011 OT 1. a) Osoita, että rengas R = {[0] 10, [2] 10, [4] 10, [6] 10, [8] 10 } on kokonaisalue. Mikä

Lisätiedot

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot