Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus"

Transkriptio

1 Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51

2 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen kuvan muodostaa joukko {λ 1 v 1 + λ 2 v 2 λ 1, λ 2 R, v 1, v 2 R 3 }? Seuraavaksi tarkastellaan vektoreiden v 1,..., v k R n määräämää lineaarista verhoa {λ 1 v 1 + λ 2 v λ k v k λ 1,..., λ k R}. Jos on olemassa kertoimet λ 1,..., λ k R niin, että x = λ 1 v 1 + λ 2 v λ k v k, niin x on vektoreiden v 1,..., v k R n lineaarikombinaatio. 2 / 51

3 Lineaarikombinaatio Vektoreiden v 1,..., v k R n määräämä lineaarinen verho on {λ 1 v 1 + λ 2 v λ k v k λ 1,..., λ k R}. (1) Loppukurssin yksi tärkeimmistä tavoitteista on löytää pienin mahdollinen vektorijoukko v 1,..., v l R n (kanta), joka riittää määräämään joukon (1). Esimerkiksi, jos v 1 ja v 2 ovat samansuuntaiset eli v 2 = tv 1, t R ja v 1, v 2 R 3, niin {λ 1 v 1 + λ 2 v 2 λ 1, λ 2 R} = {(λ 1 + tλ 2 )v 1 λ 1, λ 2, t R} = {λv 1 λ R} ja vektori v 1 riittää määräämään tämän joukon. Nyt vektorit v 1 ja v 2 ovat lineaarisesti riippuvat (koska v 2 = tv 1 eli v 2 tv 1 = 0). Jos v 1 ja v 2 ovat erisuuntaiset, ne ovat lineaarisesti riippumattomat. 3 / 51

4 Lineaarikombinaatio Määritelmä 1 Vektori x R n on vektorien v 1,..., v k R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset λ 1,..., λ k R, että x = k λ i v i. i=1 Esimerkki 1 Olkoot v 1 = (1, 1) ja v 2 = ( 2, 1). Esimerkiksi x = 2v 1 = (2, 2), w = v 1 + 2v 2 = ( 3, 3), z = v 2 v 1 = (1, 2) ja u = 2v 1 = ( 2, 2) ovat vektoreiden v 1 ja v 2 lineaarikombinaatioita. 4 / 51

5 Lineaarikombinaatio Esimerkki 1 jatkuu Tarkastellaan sitten vektoria y = (1, 2). Se on vektorien v 1 ja v 2 lineaarikombinaatio, jos on olemassa reaaliluvut λ 1 ja λ 2, että y = λ 1 v 1 + λ 2 v 2 eli (1, 2) = λ 1 (1, 1) + λ 2 ( 2, 1). Tämä on yhtäpitävä yhtälöryhmän { λ 1 2λ 2 = 1 λ 1 + λ 2 = 2 kanssa. Yhtälöryhmällä on ratkaisu λ 1 = 5 3 ja λ 2 = 1 3, joten y voidaan kirjoittaa vektoreiden v 1 ja v 2 lineaarikombinaationa y = 5 3 v v 2 = 5 3 (1, 1) + 1 ( 2, 1) = (1, 2). 3 5 / 51

6 Esimerkki 1 jatkuu w y x v 2 =(-2,1) v 1 =(1,1) u z 6 / 51

7 Lineaarikombinaatio Määritelmä 2 i:s Merkitään e i = (0,..., 0, 1, 0,..., 0) R n, i = 1,..., n. Vektoreita e 1, e 2,..., e n kutsutaan R n :n luonnollisiksi kantavektoreiksi. Esimerkki 2 Vektori (3, 4, 5) R 3 on luonnollisten kantavektorien e 1, e 2, e 3 R 3 lineaarikombinaatio, sillä (3, 4, 5) = 3(1, 0, 0) + 4(0, 1, 0) + 5(0, 0, 1) = 3e 1 + 4e 2 + 5e 3. 7 / 51

8 Lineaarikombinaatio Esimerkki 3 Olkoot x = ( 1, 1, 2), v 1 = (1, 2, 0), v 2 = (3, 0, 4) ja v 3 = (2, 1, 2). Onko x vektorien v 1, v 2 ja v 3 lineaarikombinaatio? Tutkitaan, löytyykö sellaiset λ 1, λ 2, λ 3 R, että x = λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + λ 3 v 3 ( 1, 1, 2) = λ 1 (1, 2, 0) + λ 2 (3, 0, 4) + λ 3 (2, 1, 2) ( 1, 1, 2) = (λ 1 + 3λ 2 + 2λ 3, 2λ 1 + λ 3, 4λ 2 + 2λ 3 ) λ 1 + 3λ 2 + 2λ 3 = 1 2λ 1 + λ 3 = 1 4λ 2 + 2λ 3 = 2. 8 / 51

9 Lineaarikombinaatio Esimerkki 3 jatkuu λ 1 = λ 3 λ 2 = λ 3 λ 3 R. Yhtälöryhmällä on siis äärettömän monta ratkaisua. Valitsemalla esimerkiksi λ 3 = 0 saadaan x = 1 2 v v v 3. Täten x on vektorien v 1, v 2 ja v 3 lineaarikombinaatio. Huomaa, että esitys ei ole yksikäsitteinen. 9 / 51

10 Lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus Määritelmä 3 Vektorit v 1,..., v k R n ovat lineaarisesti riippuvia, jos on olemassa sellaiset λ 1,..., λ k R, että λ i 0 jollekin i = 1,..., k ja k i=1 λ iv i = 0. Muutoin vektorit v 1,..., v k ovat lineaarisesti riippumattomia, toisin sanoen ehdosta k i=1 λ iv i = 0 seuraa, että λ 1 = = λ k = / 51

11 Lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus Annettujen vektoreiden v 1,..., v k R n lineaarisen riippuvuuden/riippumattomuuden tutkiminen: Ratkaise λ 1,..., λ k R vektoriyhtälöstä λ 1 v 1 + λ 2 v λ k v k = 0. (2) Jos ainoa ratkaisu on λ 1 = = λ k = 0, vektorit ovat lineaarisesti riippumattomat. Muutoin ne ovat lineaarisesti riippuvat, eli tällöin on olemassa vähintään yksi λ i 0, i {1,..., k}, niin, että (2) pätee. Joskus lineaarinen riippuvuus nähdään helposti: Vektorit v 1 = (1, 0), v 2 = (1, 2) ja v 3 = (3, 4) ovat lineaarisesti riippuvia, sillä ( 1)v 1 + ( 2)v 2 + 1v 3 = (1, 0) 2(1, 2) + (3, 4) = (0, 0). 11 / 51

12 Lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus Huomautus 1 Lineaarisesti riippuvien vektorien monikerroista voidaan muodostaa suljettu silmukka. Sanotaan, että joukko {v 1,..., v k } on lineaarisesti riippuva/riippumaton, jos vektorit v 1,..., v k ovat lineaarisesti riippuvia/riippumattomia. 12 / 51

13 Lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus Esimerkki 4 (a) Lineaarisesti riippuvat (b) Lineaarisesti riippuvat (c) Lineaarisesti riippumattomat 13 / 51

14 Lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus Esimerkki 5 (a) Vektorit v 1 = (1, 2, 0), v 2 = (3, 0, 4) ja v 3 = (2, 1, 2) ovat lineaarisesti riippuvia, sillä 1 v v 2 2 v 3 = (1, 2, 0) + (3, 0, 4) (4, 2, 4) = (0, 0, 0) = 0. (b) Joukko {(1, 0, 0), (0, 0, 1)} R 3 on lineaarisesti riippumaton, sillä ehdosta λ 1 (1, 0, 0) + λ 2 (0, 0, 1) = (0, 0, 0), seuraa, että (λ 1, 0, λ 2 ) = (0, 0, 0) eli λ 1 = 0 = λ / 51

15 Lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus Lause 1 Olkoot v 1,..., v k, v R n. (a) Jos v i = 0 jollakin i = 1,..., k, niin vektorit v 1,..., v k ovat lineaarisesti riippuvia. (b) Olkoon V = {v} R n. Tällöin V on lineaarisesti riippumaton täsmälleen silloin, kun v 0. (c) Jos vektorit v 1,..., v k R n ovat lineaarisesti riippuvia, niin vektorit v 1,..., v k, v R n ovat lineaarisesti riippuvia olipa v R n mikä tahansa. (d) Lineaarisesti riippumattoman joukon S = {v 1,..., v k } R n jokainen epätyhjä osajoukko A = {v i1,..., v ir } S on lineaarisesti riippumaton. 15 / 51

16 Lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus Todistus (a) Oletetaan, että v i = 0. Valitaan λ j = 0 kaikilla j i ja λ i = 1. Tällöin k λ j v j = 0 v v i v i + 0 v i v k j=1 = = 0 ja λ i 0. Koska riittää, että vähintään yksi λ i on nollasta eroava, vektorit v 1,..., v k R n ovat lineaarisesti riippuvia. (b) : Jos v = 0, niin (a)-kohdan perusteella V on lineaarisesti riippuva. : Jos v 0, niin λv = 0 vain, jos λ = 0, joten V on lineaarisesti riippumaton. 16 / 51

17 Lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus Todistus. (c) Harjoitustehtävä (d) Jos A = S, niin A on lineaarisesti riippumaton joukko. Olkoon A S ja S \ A = {v ir+1,..., v ik }. Jos A on lineaarisesti riippuva joukko, niin on olemassa sellaiset λ i1,..., λ ir R, että 0 jollakin j = 1,..., r ja λ ij Näin ollen λ i1 v i λ ir v ir = 0. λ i1 v i λ ir v ir + 0 v ir v ik = 0, missä λ ij 0, joten vektorit v 1,..., v k ovat lineaarisesti riippuvia, sillä {v i1,..., v ik } = {v 1,..., v k }. Tämä on ristiriita oletuksen kanssa. Näin ollen A on lineaarisesti riippumaton joukko. 17 / 51

18 Lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus Esimerkki 6 Tutkitaan ovatko vektorit (2, 1, 1), (3, 4, 2) ja (5, 10, 8) lineaarisesti riippumattomia eli seuraako ehdosta λ 1 (2, 1, 1) + λ 2 (3, 4, 2) + λ 3 (5, 10, 8) = 0, että λ 1 = λ 2 = λ 3 = 0. Tutkitaan siis yhtälöryhmää 2λ 1 + 3λ 2 + 5λ 3 = 0 λ 1 4λ 2 10λ 3 = 0. λ 1 2λ 2 8λ 3 = 0 18 / 51

19 Lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus Esimerkki 6 jatkuu Nyt laajennettu kerroinmatriisi on A 31( 2) A (1) M 1 ( 1 7 ) M 2 ( 1 6 ) P eli A 21( 1) A 23 (2) { λ1 2λ 3 = 0 λ 2 + 3λ 3 = λ 1 = 2λ 3 λ 2 = 3λ 3 λ 3 R 19 / 51

20 Lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus Esimerkki 6 jatkuu Yhtälöryhmällä on siis äärettömän monta ratkaisua, joista yksi saadaan valitsemalla λ 3 = 1, jolloin λ 1 = 2 ja λ 2 = 3. Nyt 2(2, 1, 1) 3(3, 4, 2) + (5, 10, 8) = (4, 2, 2) + ( 9, 12, 6) + (5, 10, 8) = (0, 0, 0). Näin ollen vektorit (2, 1, 1), (3, 4, 2) ja (5, 10, 8) ovat lineaarisesti riippuvia. 20 / 51

21 Lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus Lause 2 Olkoon äärellisessä joukossa V R n vähintään kaksi alkiota. Tällöin V on lineaarisesti riippuva täsmälleen silloin, kun jokin V :n alkio v on joidenkin joukon V \{v} alkioiden lineaarikombinaatio. Todistus : Oletetaan, että v V on vektorien v 1,..., v k V \{v} lineaarikombinaatio, toisin sanoen v = k i=1 λ iv i joillekin λ i R, i = 1,..., k. Tällöin k λ i v i 1 v = 0, i=1 joten vektorit v 1,..., v k, v ovat lineaarisesti riippuvia. Täten V on lineaarisesti riippuva Lauseen 1 kohdan (c) perusteella. 21 / 51

22 Lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus Todistus. : Olkoon V = {v 1,..., v k } lineaarisesti riippuva. Tällöin on olemassa sellaiset λ 1,..., λ k R, että λ i 0 jollekin i = 1,..., k ja k j=1 λ jv j = 0. Täten λ i v i = k λ j v j eli v i = j=1 j i k j=1 j i λ j λ i v j, joten v i on joukon V \{v i } alkioiden lineaarikombinaatio. 22 / 51

23 Lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus Huomautus Edellinen lause ei väitä, että jokainen vektori lineaarisesti riippuvassa joukossa voidaan esittää muiden vektoreiden lineaarikombinaationa. Lineaarisesti riippuvassa vektorijoukossa voi siis olla vektoreita, jotka eivät ole muiden vektoreiden lineaarikombinaatioita. Vrt. esimerkiksi joukko V = {(1, 2), (3, 0), (4, 8)} R / 51

24 Ennakkotehtävä seuraavalle luentokerralle Ennakkotehtävä Olkoot vektorit (2, 1, 1), (3, 4, 2) ja (5, 10, 8) matriisin A sarakkeita. Mikä on matriisin A determinantti? Miten arvelet vektoreiden lineaarisen riippumattomuuden ja edellisellä tavalla muodostetun matriisin determinantin liittyvän toisiinsa? 24 / 51

25 Lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus Lause 3 Olkoon A M(n, k). Merkitään A = [A 1 A k ], missä A i R n on A:n i:s sarakevektori kaikilla i = 1,..., k. Tällöin vektori A 1,..., A k R n ovat lineaarisesti riippumattomia jos ja vain jos homogeeniyhtälöllä Ax = 0 on vain triviaaliratkaisu x = / 51

26 Todistus a 11 a ik Merkitään A =... Nyt a n1... a nk a 11 x a 1k x k 0 Ax = 0. =. a n1 x a nk x k 0 a 11 x 1 a 1k x k =. a n1 x 1 a nk x k 0 x 1 A x k A k = 0, missä x i R ja A i R n kaikilla i = 1,..., k. 26 / 51

27 Lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus Todistus. Jos A 1,..., A k ovat lineaarisesti riippumattomia, niin x 1 = = x k = 0, joten yhtälöllä Ax = 0 on vain triviaaliratkaisu x = 0. Jos taas yhtälöllä Ax = 0 on vain triviaaliratkaisu, niin vektorit A 1,..., A k ovat lineaarisesti riippumattomia. 27 / 51

28 Lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus Lause 4 Olkoot v 1,..., v n R n. Määritellään matriisi A M(n, n) asettamalla A = [v 1 v n ]. Tällöin vektorit v 1,..., v n ovat lineaarisesti riippumattomia jos ja vain jos det A 0. Todistus. Edellisen lauseen nojalla vektorit v 1,..., v n ovat lineaarisesti riippumattomia jos ja vain jos homogeeniyhtälöllä Ax = 0 on vain triviaaliratkaisu x = 0. Homogeeniyhtälöllä Ax = 0 on vain triviaaliratkaisu x = 0 jos ja vain jos A on kääntyvä. Matriisi A on kääntyvä jos ja vain jos det A / 51

29 Lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus Esimerkki 7 Olkoot v 1 = (a 11, a 21 ) R 2 ja v 2 = (a 12, a 22 ) R 2. Tällöin v 1 ja v 2 ovat lineaarisesti riippumattomia jos ja vain jos [ ] a11 a det 12 0, a 21 a 22 joka puolestaan on yhtäpitävää sen kanssa, että vektorien v 1 ja v 2 virittämän suunnikkaan pinta-ala on positiivinen, joka tapahtuu täsmälleen silloin, kun v 1 ja v 2 ovat eri suuntaiset. 29 / 51

30 Lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus Esimerkki 8 Olkoot v 1 = (0, 3, 1), v 2 = (1, 1, 1) ja v 3 = (3, 3, 5). Tutkitaan, ovatko v 1, v 2 ja v 3 lineaarisesti riippuvia: det AS 23 = ( 3) det = (6 6) = 0, joten v 1, v 2 ja v 3 ovat lineaarisesti riippuvia. Kuitenkin ne ovat selvästi eri suuntaisia. 30 / 51

31 Olemme määritelleet vektorien lineaarikombinaation sekä lineaarisen riippuvuuden ja riippumattomuuden. Vektori x R n on vektorien v 1,..., v k R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset λ 1,..., λ k R, että x = k λ i v i. i=1 Vektorit v 1,..., v k R n ovat lineaarisesti riippuvia, jos on olemassa sellaiset λ 1,..., λ k R, että λ i 0 jollekin i = 1,..., k ja k i=1 λ iv i = 0. Muutoin vektorit v 1,..., v k ovat lineaarisesti riippumattomia, toisin sanoen ehdosta k i=1 λ iv i = 0 seuraa, että λ 1 = = λ k = 0. Huomaa, että λ 1 = = λ k = 0 toteuttaa aina yhtälön k i=1 λ iv i = 0. Pitää tutkia, onko olemassa nollasta eroavia arvoja λ i. 31 / 51

32 Seuraavaksi yleistetään origon kautta kulkevat suorat ja tasot avaruuteen R n. Ensin käsitellään vektorien kaikista lineaarikombinaatioista muodostuvaa lineaarista verhoa. Koko avaruuden R n riittää määräämään n kappaletta vektoreita v i R n. Sitten tutustutaan käsitteeseen avaruuden R n aliavaruus: Aliavaruus on R n :n osajoukko, joka on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen: jos kaksi joukon alkiota lasketaan yhteen, summa kuuluu samaan joukkoon ja jos joukon alkiota kerrotaan reaaliluvulla, monikerta kuuluu samaan joukkoon. Lineaarinen verho on aina avaruuden R n aliavaruus. 32 / 51

33 Lineaarinen verho 33 / 51

34 Lineaarinen verho Määritelmä 4 Olkoon S = {v 1,..., v k } R n epätyhjä äärellinen joukko. Joukon S lineaarinen verho (peite) S = v 1,..., v k = { k λ j v j λ j R, j = 1,..., k} j=1 on vektorien v 1,..., v k kaikkien lineaarikombinaatioiden joukko. Vektori x kuuluu vektorien v 1,..., v k määräämään lineaariseen verhoon, jos on olemassa sellaiset λ 1, λ 2,..., λ k R, että x = λ 1 v 1 + λ 2 v λ k v k. 34 / 51

35 Lineaarinen verho Esimerkki 9 (d) Vektorin v R 3 lineaarinen verho v on origon kautta kulkeva suora. (e) Vektoreiden v, w R 3 määräämä lineaarinen verho v, w on origon kautta kulkeva taso. (f) Nollavektorin 0 R 3 määräämä lineaarinen verho 0 on nollavektori. 35 / 51

36 Lineaarinen verho Esimerkki 10 (a) Aina pätee, että S S, sillä v = 1 v + w S\{v} 0 w kaikilla v S. (b) 1 = {λ 1 λ R} = R. (c) Avaruuden R n luonnolliset kantavektorit e 1,..., e n ovat lineaarisesti riippumattomia ja e 1,..., e n = R n. (Harjoitustehtävä) 36 / 51

37 Lineaarinen verho Esimerkki 11 (a) (2, 4), (4, 8) = (2, 4), sillä {λ 1 (2, 4) + λ 2 (4, 8) λ 1, λ 2 R} = {c(2, 4) c R}. (b) (1, 3, 1), (1, 1, 1), (2, 6, 2) = (1, 3, 1), (1, 1, 1), sillä {λ 1 (1, 3, 1) + λ 2 (1, 1, 1) + λ 3 (2, 6, 2) λ 1, λ 2, λ 3 R} = {c 1 (1, 3, 1) + c 2 (1, 1, 1) c 1, c 2 R}. 37 / 51

38 Lineaarinen verho Esimerkki 12 Olkoon S = {(1, 0, 0), (2, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 1)} R 3. Osoita, että S = R 3. Todistus Selvästi S R 3, sillä S R 3. Osoitetaan, että R 3 S. Olkoon x R 3. On löydettävä sellaiset λ 1,..., λ 4 R, että x =λ 1 (1, 0, 0) + λ 2 (2, 1, 0) + λ 3 (0, 0, 1) + λ 4 (0, 1, 1) =(λ 1 + 2λ 2, λ 2 + λ 4, λ 3 + λ 4 ) λ 1 + 2λ 2 = x 1 λ 2 + λ 4 = x 2 λ 3 + λ 4 = x 3 38 / 51

39 Lineaarinen verho Todistus. λ 1 = x 1 2x 2 + 2λ 4 λ 2 = x 2 λ 4 λ 3 = x 3 λ 4 λ 4 R. Valitaan λ 4 = 0, jolloin λ 1 = x 1 2x 2, λ 2 = x 2 ja λ 3 = x 3. Siis x = (x 1 2x 2 )(1, 0, 0) + x 2 (2, 1, 0) + x 3 (0, 0, 1) + 0 (0, 1, 1) S eli R 3 S. Näin ollen S = R / 51

40 Lineaarinen verho Esimerkki 13 Mikä on joukon S = {(1, 0, 1), (2, 0, 1)} lineaarinen verho? Selvästi S R 3. Edelleen x S jos ja vain jos on olemassa sellaiset λ 1, λ 2 R, että x = λ 1 (1, 0, 1) + λ 2 (2, 0, 1) λ 1 = 2x 3 x 1 λ 2 = x 1 x 3 x 2 = 0 λ 1 + 2λ 2 = x 1 0 = x 2 λ 1 + λ 2 = x 3 Siis x S jos ja vain jos x 2 = 0 eli S = {x R 3 x 2 = 0} on xz-taso. 40 / 51

41 Lineaarinen verho Lause 5 Olkoon S = {v 1,..., v k } R n epätyhjä joukko ja x R n. Tällöin (a) x S S {x} = S. (b) Jos S on lineaarisesti riippumaton, niin x / S v 1,..., v k, x ovat lineaarisesti riippumattomia. 41 / 51

42 Lineaarinen verho Todistus (a) : Oletetaan, että x S eli x = k i=1 λ iv i joillekin λ 1,..., λ k R. On osoitettava, että S {x} = S. Selvästi S S {x}, sillä jos y S, niin on olemassa sellaiset µ 1,..., µ k R, että y = k µ i v i = i=1 k µ i v i + 0 x, i=1 joten y S {x}. Olkoon siis y S {x}. Tällöin on olemassa sellaiset µ 1,..., µ k, µ k+1 R, että y = k µ i v i + µ k+1 x = i=1 k k µ i v i + µ k+1 λ i v i = i=1 i=1 k (µ i + µ k+1 λ i )v i, i=1 joten y S. Siis S {x} S ja S {x} = S. 42 / 51

43 Lineaarinen verho Todistus : Oletetaan, että S {x} = S. Aina pätee, että S S, sillä v = 1 v + w S\{v} 0 w kaikilla v S. Täten x S {x} S {x} = S eli x S. (b) Olkoon S on lineaarisesti riippumaton. Todistetaan tämä kohta osoittamalla, että nyt x S v 1,..., v k, x ovat lineaarisesti riippuvia. : Harjoitustehtävä. : Olkoot vektorit v 1,..., v k, x lineaarisesti riippuvia. Nyt on olemassa sellaiset λ 1,..., λ k, λ R, joista jokin on nollasta eroava, että k λ i v i + λx = 0. i=1 43 / 51

44 Lineaarinen verho Todistus. Jos λ = 0, niin k i=1 λ iv i = 0, jollakin λ i 0 eli S lineaarisesti riippuva, mikä on ristiriita. Täten täytyy olla λ 0, joten x = k i=1 λ i λ v i. Näin ollen x S. 44 / 51

45 Lineaarinen verho Lause 6 Olkoon S = {v 1,..., v k } R n epätyhjä joukko ja w 1,..., w l S, missä l k + 1. Tällöin w 1,..., w l ovat lineaarisesti riippuvia. 45 / 51

46 Lineaarinen verho Todistus Koska w j S kaikilla j = 1,..., l, löytyy sellaiset a ij R, i = 1,..., k, j = 1,..., l, että w 1 = a 11 v a k1 v k w 2 = a 12 v a k2 v k. w l = a 1l v a kl v k. Riittää löytää sellaiset λ 1,..., λ l R, että (λ 1,..., λ l ) 0 ja l j=1 λ jw j = 0, toisin sanoen yhtälöllä λ 1 (a 11 v a k1 v k ) + + λ l (a 1l v a kl v k ) = (a 11 λ a 1l λ l )v (a k1 λ a kl λ l )v k = 0 ( ) on epätriviaali ratkaisu λ = (λ 1,..., λ l ) / 51

47 Lineaarinen verho Todistus. Yhtälö ( ) toteutuu ainakin silloin, kun jokaisen v i :n kerroin on nolla eli homogeeniyhtälö a 11 λ a 1l λ l = 0. a k1 λ a kl λ l = 0. toteutuu. Koska yhtälö on homogeeninen, niin yhtälöllä on ainakin yksi ratkaisu (triviaaliratkaisu). Koska tässä yhtälöryhmässä on enemmän tuntemattomia kuin yhtälöitä (l > k), niin ratkaisuja on ääretön määrä. Erityisesti löytyy ainakin yksi ratkaisu λ / 51

48 Lineaarinen verho Seuraus 1 Olkoon S = {v 1,..., v k } R n. (a) Jos k > n, niin S on lineaarisesti riippuva. (b) Jos k < n, niin S R n. Todistus. (a) Koska e 1,..., e n = R n, v 1,..., v k R n ja k > n, niin Lauseen 6 nojalla v 1,..., v k ovat lineaarisesti riippuvia. (b) Jos S = R n, niin Lauseen 6 nojalla e 1,..., e n R n olisivat lineaarisesti riippuvia (n > k), mikä on ristiriita. 48 / 51

49 Lineaarinen verho Seuraus 2 Olkoon S R n lineaarisesti riippumaton. Tällöin S = R n S:ssä on n alkiota. Todistus. : Seuraa Seurauksesta 1. : Jos S R n, niin on olemassa x R n \ S. Lauseen 5 (b) nojalla S {x} on lineaarisesti riippumaton, mikä on ristiriita Seurauksen 1(a) kanssa. 49 / 51

50 Lineaarinen verho Esimerkki 14 (a) Joukko {(1, 1, 5), (3, 3, 2), (e, π, e π ), (10, 10 10, )} on lineaarisesti riippuva. (b) (4, 3, 2, 1, 0), (1, 2, 3, 4, 5) R 5. (c) (0, 3, 1), (1, 1, 1), (1, 2, 3) = R 3, sillä det = eli (0, 3, 1), (1, 1, 1), (1, 2, 3) ovat lineaarisesti riippumattomia. 50 / 51

51 Ennakkotehtävä seuraavalle luentokerralle Ennakkotehtävä Joukko R voidaan upottaa tasoon R 2 samaistamalla se joukon R = {(x, 0) R 2 x R} kanssa. Jos x, y R, niin x + y = (x 1, 0) + (y 1, 0) = (x 1 + y 1, 0) R ja λx = λ(x 1, 0) = (λx 1, 0) R kaikilla λ R. Onko R 2 :ssa muita aitoja osajoukkoja, jotka ovat suljettuja yhteenlaskun ja reaaliluvulla kertomisen suhteen? Entä R n :ssä? 51 / 51

6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio

6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio 6 Vektoriavaruus R n 6.1 Lineaarikombinaatio Määritelmä 19. Vektori x œ R n on vektorien v 1,...,v k œ R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että x = i v i. i=1 Esimerkki 30.

Lisätiedot

Avaruuden R n aliavaruus

Avaruuden R n aliavaruus Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Kanta ja dimensio 1 / 23

Kanta ja dimensio 1 / 23 1 / 23 Kuten ollaan huomattu, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

802120P Matriisilaskenta (5 op)

802120P Matriisilaskenta (5 op) 802120P Matriisilaskenta (5 op) Marko Leinonen Matemaattiset tieteet Syksy 2016 1 / 220 Luennoitsija: Marko Leinonen marko.leinonen@oulu.fi MA333 Kurssilla käytetään Noppaa (noppa.oulu.fi) Luentomoniste

Lisätiedot

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä 7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

x 2 x 3 x 1 x 2 = 1 2x 1 4 x 2 = 3 x 1 x 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili

x 2 x 3 x 1 x 2 = 1 2x 1 4 x 2 = 3 x 1 x 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili 6 4 2 x 2 x 3 15 10 5 0 5 15 5 3 2 1 1 2 3 2 0 x 2 = 1 2x 1 0 4 x 2 = 3 x 1 x 5 2 5 x 1 10 x 1 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili Sisältö

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Vektorien virittämä aliavaruus

Vektorien virittämä aliavaruus Vektorien virittämä aliavaruus Esimerkki 13 Mikä ehto vektorin w = (w 1, w 2, w 3 ) komponenttien on toteutettava, jotta w kuuluu vektoreiden v 1 = (3, 2, 1), v 2 = (2, 2, 6) ja v 3 = (3, 4, 5) virittämään

Lisätiedot

Vektoreiden virittämä aliavaruus

Vektoreiden virittämä aliavaruus Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2014 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 1 of 16 Kertausta Lineaarinen riippuvuus

Lisätiedot

Ennakkotehtävän ratkaisu

Ennakkotehtävän ratkaisu Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Vektorit, suorat ja tasot

Vektorit, suorat ja tasot , suorat ja tasot 1 / 22 Koulussa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus. Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa. Tällöin sen kärki on pisteessä (x 1, x 2 ). Jos vektorin

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi, s2016, L2

Matemaattinen Analyysi, s2016, L2 Matemaattinen Analyysi, s2016, L2 riippumattomuus, 1 Esimerkkejä esimerkki Dieetti-välipala 1: Opiskelija Ken Obi on dieetillä. Lenkin jälkeen Ken pysähtyy välipalalle. Dieetin mukaan hänen pitäisi saada

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

Lineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.

Lineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo. Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Determinantti 1 / 30

Determinantti 1 / 30 1 / 30 on reaaliluku, joka on määritelty neliömatriiseille Determinantin avulla voidaan esimerkiksi selvittää, onko matriisi kääntyvä a voidaan käyttää käänteismatriisin määräämisessä ja siten lineaarisen

Lisätiedot

Lineaarialgebra I. Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Esa Järvenpää Kirjoittanut Tuula Ripatti

Lineaarialgebra I. Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Esa Järvenpää Kirjoittanut Tuula Ripatti Lineaarialgebra I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Esa Järvenpää Kirjoittanut Tuula Ripatti 2 1 Lineaarinen yhtälöryhmä 11 Esimerkki (a) Ratkaise yhtälö 5x = 7 Kerrotaan yhtälö puolittain

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista 29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Lineaarinen yhtälöryhmä

Lineaarinen yhtälöryhmä Lineaarinen yhtälöryhmä 1 / 39 Lineaarinen yhtälö Määritelmä 1 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia.

Lisätiedot

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus. 1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa. LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

Käänteismatriisi 1 / 14

Käänteismatriisi 1 / 14 1 / 14 Jokaisella nollasta eroavalla reaaliluvulla on käänteisluku, jolla kerrottaessa tuloksena on 1. Seuraavaksi tarkastellaan vastaavaa ominaisuutta matriiseille ja määritellään käänteismatriisi. Jokaisella

Lisätiedot

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä) Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä

Lisätiedot

Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmä

Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmä 1 / 25 : Se on menetelmä lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemiseksi. Sitä käytetään myöhemmin myös käänteismatriisin määräämisessä. Ideana on tiettyjä rivioperaatioita käyttäen muokata yhtälöryhmää niin,

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

802118P Lineaarialgebra I (4 op)

802118P Lineaarialgebra I (4 op) 802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty

Lisätiedot

Lineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi

Lineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi Lineaarikuvaukset aiheita ten ten 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

8 KANNAT JA ORTOGONAALISUUS. 8.1 Lineaarinen riippumattomuus. Vaasan yliopiston julkaisuja 151

8 KANNAT JA ORTOGONAALISUUS. 8.1 Lineaarinen riippumattomuus. Vaasan yliopiston julkaisuja 151 Vaasan yliopiston julkaisuja 151 8 KANNAT JA ORTOGONAALISUUS KantaOrthogon Sec:LinIndep 8.1 Lineaarinen riippumattomuus Lineaarinen riippumattomuus on oikeastaan jo määritelty, mutta kirjoitamme määritelmät

Lisätiedot

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2

Lisätiedot

Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170

Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170 Seuraavissa luvuissa matriisit ja vektori ajatellaan kompleksisiksi, ts. kertojakuntana oletetaan olevan aina kompleksilukujoukko C Huomaa, että reaalilukujoukko

Lisätiedot

ominaisvektorit. Nyt 2 3 6

ominaisvektorit. Nyt 2 3 6 Esimerkki 2 6 8 Olkoon A = 40 0 6 5. Etsitäänmatriisinominaisarvotja 0 0 2 ominaisvektorit. Nyt 2 0 2 6 8 2 6 8 I A = 40 05 40 0 6 5 = 4 0 6 5 0 0 0 0 2 0 0 2 15 / 172 Täten c A ( )=det( I A) =( ) ( 2)

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 3.5 Reedin-Mullerin koodit Olkoon tässä kappaleessa F = F2 = Z2 ja n = 2 m. Määritellään avaruuteen F n kertolasku koordinaateittain:

Lisätiedot

Matematiikka B2 - TUDI

Matematiikka B2 - TUDI Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2014 Harjoitus 4 Ratkaisujen viimeinen palautuspäivä: pe 662014 klo 1930 Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun

Lisätiedot

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut 2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:

Lisätiedot

Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö

Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Toisen kertaluvun täydellinen lineaarinen yhtälö muotoa p 2 (x)y + p 1 (x)y

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2015 Harjoitus 4 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 862015 klo 1615 Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot

Matriisit. Määritelmä 1 Reaaliluvuista a ij, missä i = 1,..., k ja j = 1,..., n, muodostettua kaaviota a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =

Matriisit. Määritelmä 1 Reaaliluvuista a ij, missä i = 1,..., k ja j = 1,..., n, muodostettua kaaviota a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = 1 / 21 Määritelmä 1 Reaaliluvuista a ij, missä i 1,..., k ja j 1,..., n, muodostettua kaaviota a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A... a k1 a k2 a kn sanotaan k n matriisiksi. Usein merkitään A [a ij ]. Lukuja

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Ortogonaalisen kannan etsiminen Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,

Lisätiedot

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Diofantoksen yhtälön ratkaisut

Diofantoksen yhtälön ratkaisut Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön

Lisätiedot

Yleiset lineaarimuunnokset

Yleiset lineaarimuunnokset TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 3. Lineaariset koodit Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 2 / 22 3.1 Lineaarisen koodin määrittely Olkoon F äärellinen kunta.

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 23.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Käytännön asioita Ensimmäiset tehtävät olivat sujuneet hyvin. Kansilehdet on oltava mukana tehtäviä palautettaessa,

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi / kertaus

Matemaattinen Analyysi / kertaus Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

Lineaariset Lien ryhmät / Ratkaisut 6 D 381 klo

Lineaariset Lien ryhmät / Ratkaisut 6 D 381 klo JYVÄSKYLÄN YLIOPISO MAEMAIIKAN JA ILASOIEEEN LAIOS Lineaariset Lien ryhmät 27.2.2012 / t 6 D 381 klo. 16-18. 1. Matriisiryhmällä U(n) on epätriviaali normaali aliryhmä SU(n), joka on homomorfismin det

Lisätiedot

Lineaarialgebra (muut ko)

Lineaarialgebra (muut ko) Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/103 Lineaarialgebra (muut ko) Tero Laihonen Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/103 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin

Lisätiedot

Kanta ja Kannan-vaihto

Kanta ja Kannan-vaihto ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/81 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 )

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot

Lisätiedot

Vastaavasti, jos vektori kerrotaan positiivisella reaaliluvulla λ, niin

Vastaavasti, jos vektori kerrotaan positiivisella reaaliluvulla λ, niin 1 / 14 Lukiossa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus. Tarkastellaan aluksi tason vektoreita (R 2 ). Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa. Tällöin sen kärki on pisteessä

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Lotta Oinonen ja Johanna Rämö 6. joulukuuta 2012 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos 2012 Sisältö 1 Avaruus R n 4 1 Avaruuksien R 2 ja R 3 vektorit.....................

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden

Lisätiedot

3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset

3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset 31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2292015 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Lineaarikuvaukset Lineaarikuvaus Olkoot U ja V

Lisätiedot

Lineaarialgebra II, MATH.1240 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg

Lineaarialgebra II, MATH.1240 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg Vaasan yliopisto, syksy 218 Lineaarialgebra II, MATH124 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg Tentti T1, 284218 Ratkaise 4 tehtävää Kokeessa saa käyttää laskinta (myös graafista ja CAS-laskinta), mutta ei taulukkokirjaa

Lisätiedot

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Lineaarikuvaus

Lisätiedot

Matriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0

Matriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0 MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 22 Virittääkö vektorijoukko S vektoriavaruuden V, kun a V = R 3 ja S = {(1,0, 1,(2,0,4,( 5,0,2,(0,0,1} b V = P 2 (R ja S = {t1,t 2 1,t 2 t} ( ( 1 0 c

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot