i=1 Tarkastellaan ensin inversio-ongelman injektiivisyys: Kun vaaditaan, että 0 = M x x 2
|
|
- Joonas Saarnio
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Lemma 1. Olkoon V R n lineaarinen aliavaruus. Lineaarisen kuvauksen F : V R m kuvajoukko F (V R m on lineaarinen aliavaruus, joka koostuu lineaarisen kuvauksen F matriisin M pystyvektorien {M i : i 1,... n} lineaariyhdisteistä y a i M i, missä a (a 1,..., a n V. Todistus. Koska V on lineaarinen aliavaruus, ax 1 + bx 2 V aina kun x 1, x 2 V ja a, b R. Tällöin kuvauksen F lineaarisuuden nojalla F (ax 1 + bx 2 af (x 1 + bf (x 2 F (V. Täten F (V on lineaarinen aliavaruus. Lisäksi vektori y (y 1,..., y m F (V jos (ja vain jos löytyy sellaiset kertoimet x 1,... x n että (x 1,..., x n V ja y i M ij x j, i 1,..., m (2.1 Merkitään yhtälössä (2.1 (M i j : M ij matriisin M i:nen pystyvektorin j:tä elementtiä. Huomautus 6. Kun V R n, W R m ja n < m, niin inversio-ongelma ( on huonosti asetettu, sillä kuva-avaruus R(M {Mx : x V } R m on Lemman 1 nojalla lineaarinen aliavaruus, jonka dimensio on korkeintaan n ja nyt n < m. Esimerkki 7. Olkoon Tarkastellaan inversio-ongelmaa 1 0 M ( Määrää sellainen x V R 2, että Mx y, missä y W R 3 on annettu. Tutki, onko inversio-ongelma ( hyvin asetettu. Tarkastellaan ensin inversio-ongelman injektiivisyys: Kun vaaditaan, että 0 M x ( x x1 x x x 1 + x 2 niin x 1 x 2 0. Täten inversio-ongelman ratkaisu on aina yksikäsitteinen, kun ratkaisu on olemassa. Tarkastellaan ratkaisun olemassaoloa. Koska maalijoukon W dimensio on 3 ja matriisin M kuva-avaruuden R(M dimensio on 2, niin yhtälöllä ei ole ratkaisua kaikilla y R 3. (Tämän voi havaita myös yrittämällä ratkaista yhtälö 1 0 y 1 y 2 y ( x1 x 2
2 esim. Gaussin ja Jordanin elimointimenetelmällä. Täten inversio-ongelma ( on huonosti asetettu. Kerrataan lineaarialgebraa. Matriisin M R m n transpoosi on matriisi Avaruuden R n sisätuloa merkitään (M T ij M ji missä j 1,..., m, i 1,..., n. (x, y x y y T x ( y 1 y n. missä x (x 1,..., x n, y (y 1,..., y n R n. x 1 y n x i y i, Lineaarisen aliavaruuden V R n kanta on lineaarisesti riippumattomien vektorien joukko {e 1,..., e k } V, jolle pätee V {x R n : x k a i e i, a i R, i 1,..., k}. Lineaarisen alivaruuden V R n kanta {e 1,... e k } on ortonormaali, jos { 1, kun i j (e i, e j 0, kun i j, missä i, j 1,..., k. Avaruuden R m luonnollinen kanta koostuu vektoreista e 1 (1, 0, 0,..., 0, e 2 (0.1, 0,..., 0,..., e m (0,..., 0, 1. Määritelmä 5. Olkoon V avaruuden R n lineaarinen aliavaruus ja {e 1,..., e k } sen ortonormaali kanta. Vektorin x R n ortogonaalinen projektio aliavaruudelle V on vektori P (x k (x, e i e i. (2.2 Olkoon Q V R n n linaarisen kuvauksen x P (x matriisi, Matriisia Q V kutsutaan ortogonaaliprojektioksi aliavaruudelle V. Huomautus 7. Ortogonaaliprojektio on muotoa Q V ( e e 1 e 2 e k n k T 2. e T 1. e T k k n 28
3 Lause 2. Olkoon Q V (i Q T V Q V, ortogonaaliprojektio aliavaruudelle V R n. Silloin (ii Q 2 V Q V ja (iii x V jos ja vain jos Q V x x. Todistus. Kohta (i on harjoitustehtävä. Huomautuksen 7 nojalla Q 2 V Q V Q V ( e T ( e e 1 e 2 e k e1 e 2 e k 2. T 2. e T 1 e T k (e 1, e 1 (e 1, e 2 (e 1, e n e T ( 1 (e 2, e 1 (e 2, e 2 (e 2, e n e T e 1 e 2 e k (e n, e 1 (e n, e 2 (e n, e n e T k e T ( e T e 1 e 2 e k Q V Jos x V, niin silloin x voidaan esittää aliavaruuden V kantavektorien e 1,..., e k avulla muodossa x k (x, e ie i ja Jos Q V x x, niin ( e1 e 2 e k n k Q V x e T 1 e T 2. e T k k (x, e i Q V e i k n e T k k (x, e i e i x. (e 1, x x n 1 ( (e 2, x e 1 e 2 e k. (e k, x e T 1 e T k k (x, e i e i. Lause 3 (Karakterisaatio. Inversio-ongelmalla ( on ratkaisu, jos ja vain jos Q F (V y y, missä Q F (V on ortogonaalinen projektio kuvajoukolle F (V. Todistus. Lineaarisella inversio-ongelmalla on ratkaisu, jos y F (V, missä F (V on Lemman nojalla lineaarinen alivaruus. Tämä on Lauseen kohdan (iii nojalla yhtäpitävää sen kanssa, että Q F (V y y. Karakterisaation avulla voimme tunnistaa ne annetut havainnot y, joilla inversioongelma on ratkaistavissa. Kun matriisi Q F (V on saatu määrittyä, niin riittää laskea matriisikertolasku. Matriisi Q F (V on mahdollista määrätä esim. suorittamalla Gram- Schmidt-menettely matriisin M pystyriveille. 29
4 2.2.3 Käänteiskuvauksen jatkuvuus Näytetään, että äärellisulotteisissa lineaarisissa inversio-ongelmissa käänteiskuvaus jos se on olemassa on aina jatkuva. Tätä varten palautetaan mieleen Cauchyn ja Schwartzin epäyhtälö. Kun x (x 1,..., x n ja y (y 1,..., y n R n, niin vektorien x ja y sisätulolle pätee Cauchyn ja Schwartz epäyhtälö (x, y x y ( 1 ( x i y i x i 2 y i 2. Lause 4. Olkoon V R n lineaarinen aliavaruus. Lineaarinen kuvaus F : V R m on jatkuva. Todistus. Näytetään ensin, että väite on totta kun V R n. Merkitään M ij (F (e j i, i 1,..., m, j 1,..., n, missä {e 1,... e n } on avaruuden R n luonnollinen kanta. Lineaarisuuden nojalla F (x F (y 2 F (x y 2 ( 2 M ij (x j y j. Käytetään Cauchy-Schwartzin epäyhtälöä ( 2 ( ( ( M ij (x j y j ij (M 2 (x j y j 2 (M ij 2 x y 2, F (x F (y 2 ( m (M ij 2 x y 2. Täten F on jatkuva. Oletetaan nyt, että V on lineaarinen aliavaruus ja {ẽ 1,... ẽ k } sen ortonormaali kanta avaruuden R n sisätulon suhteen. Kun x k x jẽ j ja y k ỹjẽ j. Samoin kuin yllä F (x F (y 2 ( m k ( M ij 2 k ( x j ỹ j 2, missä Lisäksi M ij (F (ẽ j i, i 1,..., m, j 1,..., k. ( k k k ( x j ỹ j 2 x j ẽ j ỹ j ẽ j, x j ẽ j ỹ j ẽ j x y 2. 30
5 Korollaari 2 (Ratkaisun jatkuvuus. Inversio-ongelman ( ratkaisu on jatkuva jos kuvaus V x Mx W on bijektio. Todistus. Kuvaus F : x Mx on lineaarinen. Jos F on bijektio, niin F 1 on olemassa. Lineaarisen kuvauksen käänteiskuvaus on myös lineaarinen, sillä jos y F x ja ỹ F x, niin F 1 (ay + bỹ F 1 (af x + bf x F 1 (F (ax + b x ax + b x af 1 (y + bf 1 (ỹ. Lauseen 4 nojalla F 1 on silloin jatkuva. Huomautus 8. Lineaarisessa äärellisulotteisessa inversio-ongelmassa ratkaisun jatkuva riippuminen annetusta datasta seuraa automaattisesti suoran teorian bijektiivisyydestä. Tämä ei päde yleisemmissä tapauksissa. Esimerkki 8. Olkoon suoran teorian matriisi. M ( Tarkastellaan inversio-ongelmaa ( : määrää x R 2 jolle y Mx kun y R 2 on annettu. Tutki, onko inversio-ongelma ( hyvin asetettu. Ratkaisu: Olkoon y (y 1, y 2 R 2. Merkitään x (x 1, x 2, jolloin y Mx ( ( ( y1 1 2 x y 2 Palautetaan mieleen lineaarialgebrasta, että neliömatriisi M on kääntyvä kun sen determinantti det(m 0. Tällöin M 1 adj(m, missä adj(m on matriisin M liittomatriisi. 2 2-matriisin tapauksessa det(m ( ( 1 ( a b a b 1 d b det ad bc ja. c d c d ad bc c a Koska det(m , niin neliömatriisilla M on käänteismatriisi ( M 1 1 ( Tällöin ongelmalla ( on ratkaisu ( ( 1 ( x1 1 2 y1 1 x y 2 5 Lisäksi ratkaisu on yksikäsitteinen, sillä ( x 2 ( y1 Mx M x M 1 Mx M 1 M x x x. y 2 ( 1 y y y 5 1 1y. 5 2 Ratkaisu riippuu jatkuvasti annetusta datasta Korollaarin 2 nojalla. Inversio-ongelma ( on täten hyvin asetettu. 31
6 Lause 5 (Neliömatriisin tapaus. Olkoon M R n n ja V W R n. Inversio-ongelma ( on hyvin asetetu, jos ja vain jos det(m 0. Todistus. Kun det(m 0, on olemassa käänteismatriisi M 1. Tällöin ratkaisu on olemassa (x M 1 y, se on yksikäsitteinen (Mx M x M 1 Mx M 1 M x ja ratkaisu riippuu Korollaarin 2 nojalla jatkuvasti annetusta datasta. Täten inversio-ongelma on hyvin asetettu. Meidän tulee vielä näyttää, että inversio-ongelma on huonosti asetettu, kun det(m 0. Tällöin matriisi M ei ole kääntyvä, joten vastaava linearikuvaus F ei voi olla bijektio. Koska hvyin asetetun inversio-ongelman suora teoria on bijektio, niin ongelma on tällöin huonosti asetettu. Esimerkki 9. Olkoon M suoran teorian matriisi, V W R 3. Tutki, onko inversio-ongelma ( hyvin asetettu. Ratkaisu: Suoran teorian matriisi M on neliömatriisi ja suora teoria on määritelty koko avaruudessa. Lauseen 5 nojalla riittää tarkastella matriisin M determinanttia det(m 11 (11 ( 66 ( (12 ( 66 ( ( ( ( ( ( ( Täten inversio-ongelma on hyvin asetettu. 2.3 Ratkaisun häiriöalttius Huonosti asetetun ongelman ratkaisu voi olla altis häiriöille, mutta myös hyvin asetetuilla ongelmilla voi olla erilainen häiriöalttius. Löysästi puhuen voidaan sanoa että ongelma A on huonommin asetettu tai häiriöalttiimpi (eng. more ill-posed/ill-conditioned kuin ongelma B, jos samansuuruinen häiriö datassa muuttaa ongelman A ratkaisua voimakkaammin kuin ongelman B ratkaisua. Esimerkki 10. Tuntemattomasta x on saatu kaksi häiriöistä havaintoa y, ỹ R 8, jotka ovat muotoa y Mx + ε ja ỹ Mx + ε, missä suoran teorian matriisi M, M R 8 ovat muotoa M ij 1 i δ ij ja M ij 2 i δ ij. Tässä δ ij on Kroneckerin delta: δ ij 0 jos i j ja δ ij 1 jos i j. Oletetaan, että 32
7 tuntemattoman todellinen arvo on (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ja tehtyyn havaintoon sisältyvä additivinen häiriö ε (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, Matriisit M ja M ovat säännöllisiä, mutta M 1 y x + M 1 ε (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1.16 ja M 1 ỹ x + M 1 ε (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, Viimeiseen elementtiin summautuu Vaikka ongelma on Hadamardin mielessä hyvin asetettu, ei häiriöisellä datalla saatua ratkaisua voi pitää erityisen hyvänä approksimaationa tuntemattomalle. Hyvin asetettu ongelma, jolla on hyvin suuri häiriöalttius, on ominaisuuksiltaan samankaltainen kuin huonosti asetettu ongelma, jonka ratkaisu ei riipu jatkuvasti datasta. Häiriöalttius on vakava asia, sillä suurimmassa osaa käytännön inversio-ongelmista data sisältää epätarkkuuksia ja häiriöitä Ehtoluvun määritelmä matriisin M M m n C m n Hermiten liittomatriisi on M M T. Lisäksi luku λ on matriisin M n n ominaisarvo, jos löytyy vektori R n x 0, jolle M x λx. Tällöin vektoria x kutsutaan ominaisvektoriksi. Tiedetään myös, että neliömatriisin M ominaisarvot löytyvät karakteristisen polynomin p(λ det(m λi nollakohdista. Determinantille pätee laskusääntö det(ab det(a det(b. Tulon käänteismatriisille pätee laskusääntö (AB 1 B 1 A 1 Tulon Hermiten liittomatriisille pätee laskusääntö (AB B A. Sisätulolle pätee (Mx, y ( M ij x j y i x j ( M ij y i (x, M T y ja kompleksiarvoisessa tapauksessa (Mx, y M ij x i y j (x, M T y (x, M y. i, Matriisien häiriöalttiuden kvantitaviivisessa vertailussa käytetään ehtolukuja (eng. condition numbers. Määritelmä 6. Matriisin M m n C m n singulaariarvot σ i (M ovat matriisin M M ominaisarvojen λ i nelijöjuuria eli σ i (M λ i, missä i 1,..., n. 33
8 Huomaa, että matriisin M M ominaisarvot λ i ovat ei-negatiivisia, sillä niitä vastaaville ominaisvektoreille e i pätee 0 (Me i, Me i (M Me i, e i λ i (e i, e i λ i e i 2. Lisäksi det(m M det(m det(m det(m T det(m det(m 2 0 säännöllisille matriiseille, joten nolla ei ole matriisin M M ominaisarvo, kun M on säännöllinen. Määritelmä 7. Säännöllisen matriisin M M n n C n n ehtoluku κ(m on luku κ(m M M 1, missä matriisinormi M σ max (M on matriisin M suurin singulaariarvo. Erilaisia ehtolukuja saataisiin käyttämällä muita matriisinormia. Tällä kurssilla käytetään ainoastaan tavanomaista normia määritelmästä 7. Lause 6. Olkoon M C n n säännöllinen matriisi. Matriisin M 1 suurin singulaariarvo on σ max (M 1 1 σ min (M, missä σ min (M on matriisin M pienin singulaariarvo. Todistuksessa käytetään seuraavia lemmoja. Lemma 2. Olkoon A, B C n n säännöllisiä matriiseja. Silloin matriiseilla AB ja BA on samat ominaisarvot. Todistus. Etsitään ominaisarvoja karakteristisen polynomin avulla. Nyt determinantin laskusääntöjen nojalla det(ab λi det(a(b λa 1 det(a det(b λa 1 det(b λa 1 det(a det((b λa 1 A det(ba λi. Täten matriisien AB ja BA karakteristiset polynomit ovat samat, jolloin myös niiden ominaisarvot ovat samat. Lemma 3. Olkoon A C n n säännöllinen matriisi. Matriisin A 1 ominaisarvot ovat matriisin A ominaisarvojen käänteislukuja. Todistus. Tarkastellaan karakteristista polynomia det(a λi det(a(λ 1 I A 1 λ λ n det(a det(λ 1 I A 1. Koska A on säännöllinen, niin nolla ei ole sen ominaisarvo. Täten λ on matriisin A karakteristisen polynomin nollakohda jos ja vain jos λ 1 on matriisin A 1 karakteristisen polynomin nollakohta. 34
9 Todistus. (Lause 6 Määrätään matriisin M 1 singulaariarvot. Tätä varten lasketaan (M 1 M 1 (M 1 M 1 (MM 1, jonka ominaisarvot ovat Lemman 3 nojalla matriisin MM ominaisarvojen käänteislukuja. Lemman 2 nojalla matriisin MM ominaisarvot ovat samat kuin matriisilla M M. Täten matriisin M 1 singulaariarvot ovat matriisin M singulaariarvojen käänteislukuja. Erityisesti matriisinormi σ max (M 1 1 σ min (M. Korollaari 3. Olkoon M C n n säännöllinen matriisi. Matriisin M ehtoluku κ(m σ max(m σ min (M, missä σ max (M on matriisin M suurin singulaariarvo ja σ min (M on matriisin M pienin ominaisarvo Ehtoluvun tulkinta Olkoon x R n ratkaisu yhtälölle y Mx. Olkoon annettu data y + δy, missä δy R n edustaa häiriötä. Häiriö δy datassa johtaa häiriöiseen ratkaisuun x + δx joka toteuttaa yhtälön y + δy M(x + δx. Ryhdytään vertailemaan häiriöiden suhteellisia suuruuksia δx x Tarkastellaan ensin termiä Mx y. Normin ja sisätulon välisen yhteyden nojalla ja δy y. Mx 2 (Mx, Mx (M Mx, x. (2.3 Palautetaan lineaarialgebrasta mieleen spektraalilause. Lause 7. Olkoon A : V V itseadjungoitu lineaarinen kuvaus äärellisulotteisessa sisätuloavaruudessa V. Tällöin avaruudella V on ortonormaali kanta, joka koostuu kuvauksen A ominaisvektoreista. Nyt M M on itseadjuntoitu matriisi (eli (M M M M. Merkitään λ i matriisin M M ominaisarvoja ja e i niitä vastaavia ominaisvektoreita. Lauseen 7 nojalla vektorilla x on esitys x n x ie i, missä (x 1,..., x n R n ovat vektorin x koordinaatit matriisin M M ominaisvektorien e i muodostamassa ortonormaalikannassa. Silloin neliömuoto (2.3 voidaan kirjoittaa spektraalilauseen avulla muodossa ( (M Mx, x x im Me i, x ie i λ i x i 2. Arvioimalla ominaisarvoja ylöspäin suurimmalla ominaisarvolla saadaan epäyhtälö y Mx max λi x σ max (M x x 1 i n 35 y σ max (M. (2.4
10 Sama pätee myös käänteismatriisille M 1 muodossa δx M 1 δy 1 min 1 i n λi δy δx δy σ min (M, (2.5 missä on käytetty Lemmaa 3. Ratkaisun suhteellinen virheelle pätee epäyhtälöiden (2.4 ja (2.5 nojalla δx x δy σ min(m 1 y σ 1 max κ(m δy y. Ehtoluku antaa ratkaisun suhteelliselle virheelle ylärajan. Kun ehtoluku on hyvin suuri (luokkaa > 10 5, niin pelkät pyöristysvirheet alkavat haitata yhtälön numeerista ratkaisua. Esimerkki 11. Identtisen matriisin ehtoluku on 1. Tämä on myös pienin mahdollinen ehtoluku. Esimerkki 12. Esimerkissä 10 matriisien ehtoluvut ovat κ(m 8 ja κ( M Esimerkki 13. Lasketaan matriisin M ehtoluku. Lasketaan ensin M T M T Tämän matriisin ominaisarvot löytyvät karakteristisen polynomin 461 λ p(λ det λ λ nollakohdista eli asetetaan p(λ (461 λ ((390 λ (4721 λ (424 (4721 λ (424 ( 861 (390 λ ( 926 Yhtälöllä (2.6 on kolme ratkaisua λ 1, λ 2 ja λ 3, joiden neliöjuuret ovat ( λ 1, λ 2, λ 3 (0.0006, 21.8, (2.6
11 Tällöin ehtoluku on κ(m Olkoon y Mx + ε annettu. Jos ε 1/5, niin mitä saadaan selville vektorista x? Tarkastellaan tilannetta, jossa tuntematon x (0, 0, 1 ja ɛ (0.1, 0.1, 0.1. Silloin ja Koska matriisin M determinantti Mx ( T y Mx + ε ( T. det(m 11 (11 ( 66 ( (12 ( 66 ( ( , niin sen käänteismatriisi on 11 ( 66 ( (12 ( 66 ( M 1 (10 ( ( ( ( (11 ( Käyttämällä matriisin M käänteismatriisia saadaan T M 1 (Mx + ɛ x + ( T, mikä on sangen kaukana vektorista x (0, 0, 1. Esimerkki 14. Työstetään vielä inversio-ongelmien kannalta hiukan patologisempi esimerkki dekonvoluutiosta. Lähdetään tarkastelemaan konvoluutiota g( θ π π R( θ θf(θdθ, missä θ [ π, π] ja funktiot R ja f ovat kahdesti jatkuvasti derivoituvia 2π-periodisia funktioita eli R(θ + n2π R(θ ja f(θ + n2π f(θ jokaisella n Z. Oletetaan lisäksi, että R on symmetrinen ja ei-negatiivinen funktio eli R(θ R( θ ja R(θ 0, t [0, π]. Oletetaan, että meille on annettu data g(θ 1,..., g(θ n, missä θ j hj π, j 1,.., n ja h 2π n, n 2m jollakin m > 3 ja funktio R tunnetaan. Mitä silloin tiedetään funktiosta f? Tiedämme, että Riemannin integraali g( θ saadaan raja-arvona Riemannin summista S n ( θ R( θ θ (n j f(θ (n j h n, 37
12 kun välin jakoa tihennetään (erityisesti dyadisesti kun n 2 m ja m. Kirjoitetaan nyt annetut arvot muodossa ( π g(θ k R(θ k θf(θdθ S n (θ k + S n (θ k missä approksimaatiovirhe Merkitään sekä π R(θ k θ j f(θ j h + e k, e k π π R(θ k θf(θdθ S n (θ k. M kj R(θ k θ j h x k f(θ k ja y k g(θ k kun k, j 1,..., n. Voimme korvata alkuperäisen ongelman matriisiyhtälöllä, y Mx + e. jossa annettu data y on epätarkka. Ryhdytään arvioimaan matriisin M ehtolukua. Matriisi M on R(0 R( h R( 2h R( (n 2h R( (n 1h R(h R(0 R( h R( (n 3h R( (n 2h M h R(2h R(h R(0 R( (n 4h R( (n 2h..... R((n 1h R((n 2h R((n 3h R(h R(0 Funktion R jaksollisuuden ansiosta matriisi M on ns. sirkulantti matriisi. Yleisesti matriisia M R n n kutsutaan sirkulantiksi (eng. circulant matrix, jos se on muotoa m 1 m n m n 1 m 3 m 2 m 2 m 1 m n m 4 m 3 M m 3 m 2 m 1 m 5 m m n m n 1 m n 2 m 2 m 1 jollakin vektorilla (m 1,..., m n R n. 38
13 Lemma 4. Sirkulantin matriisin M R n n ominaisarvot ovat λ k m j exp( 2πi(j 1(k 1/n, k 1,.., n. ja sirkulantti matriisi M on unitaarisesti similaarinen diagonaalimatriisin kanssa (eli on olemassa unitaarinen matriisi U, jolle U MU on diagonaalimatriisi. Todistus. Näytetään ensin, että on olemassa ei-triviaali vektori F (k R n, jolle MF (k λ k F (k jokaisella k 1,..., n. Valitaan Lasketaan mitä on (MF (k j F (k j exp(2πi(j 1(k 1/n, k, j 1,..., n. l1 M jl F (k l m (j l+1mod n exp(2πi(l 1(k 1/n l1 m L exp(2πi(j L(k 1/n λ k exp(2π(j 1(k 1 L1 λ k F (k j. Selvästi F (k 0, joten λ k on ominaisarvo. Osoitetaan seuraavaksi, että ominaisvektorit ovat ortogonaalisia. Jos k l, niin ominaisvektoreiden F (k ja F (l sisätulo (F (k, F (l exp(2πi(j 1(k 1/n exp( 2πi(j 1(l 1/n exp(2πi(j 1(k l/n n 1 z j 1 j 0 z j 1 zn 1 z 1 exp(2πi(k l 1 exp(2πi(k l/n 0, missä käytimme geometrisen sarjan osasummaa luvulle z exp(2πi(k l/n 1. Lisäksi jos k l, niin sisätulo (F (k, F (k exp(2πi(j 1(k 1/n exp( 2πi(j 1(k 1/n n. Asetetaan U 1 n (F (1,..., F (n. Tällöin U U 1 n F (1T. F (nt (F (1,..., F (n I n n. Siis U on unitaarinen. Lisäksi MU Udiag(λ 1,..., λ n, josta similaarisuus seuraa. 39
14 Sirkulantin matriisin M ominaisarvojen itseisarvot ovat sen singulaariarvoja, sillä matriisi M M Udiag( λ 1,..., λ n U Udiag(λ 1,..., λ n U Udiag( λ 1 2,..., λ n 2 U on similaarinen matriisin diag( λ 1 2,..., λ n 2 kanssa ja similaarisilla matriiseilla on samat ominaisarvot. Olkoon nyt m j R(h(j 1h, j 1,..., n. Vastaavan sirkulantin matriisin M ominaisarvot ovat λ k hr(h(j 1 exp( 2πi(j 1(k 1/n. Oletetaan, että matriisi M on säännöllinen. Jos k 1, niin λ 1 hr(h(j 1 Jos k n/2 + 1 (n on parillinen, niin Matriisin ehtoluvulle saadaan arvio λ n/2+1 ( 1 j 1 hr(h(j 1. κ(m λ 1 λ n/2+1. Sievennetään summalauseketta käyttäen hyväksi funktion R jaksollisuutta ja symmetriaa. Kirjoitetaan aluksi λ n/2+1 parilliset ja parittomat j analyysin peruslause ( 1 j 1 hr(h(j 1 n/2 1 h R(h(2J R(h(2J J0 n/2 1 h (2J+1h (2Jh dθ (θdθ. J0 Jaetaan summalauseke kahteen osaa: integraaleihin välin [0, π] osavälien yli ja integraa- 40
15 leihin välin [π, 2π] osavälien yli : λ n/2+1 h J0 J J n/4 h J0 π nh 2 h J0 jaksollisuus h J0 Tehdään muuttujan vaihto θ θ λ n/2+1 h J0 R antisymmetrinen h (2J+1h (2Jh (2J+1h (2Jh (2J+1h (2Jh (2J+1h (2Jh (2J+1h (2Jh (2J+1h J0 (2Jh n/2 1 dθ (θdθ + (2J+1h Jn/4 (2Jh dθ (θdθ dθ (θdθ + (2(J +n/4+1h J 0 (2(J +n/4h dθ (θdθ dθ (θdθ + (2J +1h+π J 0 (2J h+π dθ (θdθ dθ (θdθ + (2J +1h π (2J h π dθ (θdθ. J 0 dθ (θdθ + dθ (θdθ + J 0 J 0 π (2J h π (2J +1h π (2J h π (2J +1h dθ ( θ dθ dθ (θ dθ Vaihdetaan vielä summausindeksiksi J n/4 J 1 (2J+1h λ n/2+1 h J0 (2Jh dθ (θdθ + π 2(n/4 J 1h J0 π 2(n/4 J 1h h dθ (θ dθ (2J+1h h (2J+1h+h J0 (2Jh dθ (θdθ + (2Jh+h dθ (θ dθ (2J+1h θθ h h (θ (θ + hdθ (2Jh dθ dθ. J0 Käytetään analyysin peruslausetta vielä uudestaan (2J+1h θ+h λ n/2+1 h d 2 R (2Jh θ dθ 2 (θ dθ dθ. Viemällä itseisarvomerkit integraalien sisälle saamme arvion π θ+h λ n/2+1 h sup d 2 R 0 θ θ dθ 2 (θ dθ dθ h 2 π sup d 2 R θ dθ 2 (θ, J0 41
16 jolloin κ(m n n hr(0 h 2 π sup θ R (θ R(0 2π 2 sup θ R (θ O(n. Mitä suurempi n on sitä epästabiilimpaa on matriisin M n n kääntäminen. Tämä on tyypillistä käytöstä silottavien konvoluutioiden äärellisulotteisille approksimaatioille. 2.4 Yhteenveto Äärellisulotteisessa lineaarisessa inversio-ongelmassa suora teoria F : V W on lineaarinen kuvaus kahden äärellisulotteisen lineaarisen aliavaruuden V, W välillä. Suora teoria voidaan esittää matriisin M avulla. Äärellisulotteinen lineaarinen inversio-ongelma on hyvin asetettu, jos jokaisella y W yhtälölle y Mx löytyy ratkaisu x V. yhtälöllä Mx 0 on aliavaruudessa V ainoastaan triviaali ratkaisu x 0. Äärellisulotteinen lineaarinen inversio-ongelma on huonosti asetettu, jos edes toinen seuraavista väitteistä on totta: jollakin y W yhtälöllä y Mx ei ole ratkaisua x V. löytyy x V, jolle x 0 ja Mx 0. Kun neliömatriisin M tapauksessa pyritään selvittämään onko ongelma hyvin asetettu, riittää tarkastella onko matriisi säännöllinen (eli det(m 0. Jos datassa on liikaa häiriöitä, voi hyvin asetetun ongelman ratkaisu olla etäällä tarkasta ratkaisusta. Hyvin asetettu ongelma, jolla on hyvin suuri häiriöalttius, on ominaisuuksiltaan samankaltainen kuin huonosti asetettu ongelma, jonka ratkaisu ei riipu jatkuvasti datasta. Osattava: tutkia onko annettu äärellisulotteinen lineaarinen inversio-ongelma hyvin asetettu. tunnistaa ja antaa esimerkkejä äärellisulotteisista lineaarisista huonosti asetetuista ongelmista. määritellä matriisin ehtoluku laskea annetun matriisin ehtoluku Ymmärrettävä: mitä eroa on häiriöherkällä ja huonosti asetetulla ongelmalla miten ehtoluku liittyy häirityn yhtälöryhmän ratkaisujen tarkkuuteen. Tiedettävä: 42
17 mitä tarkoittaa tarkka data ja häiriöinen data että funktioita approksimoidaan numeerisessa laskennassa äärellisulotteisilla vektoreilla. että huonosti asetettua inversio-ongelmaa approksimoivan hyvin asetetun inversioongelman häiriöalttius voi kasvaa kun approksimaatiota pyritään tarkentamaan. 43
Likimääräisratkaisut ja regularisaatio
Luku 3 Likimääräisratkaisut ja regularisaatio Käytännön inversio-ongelmissa annettu data y ei aina ole tarkkaa, vaan sisältää häiriöitä. Tuntemattomasta x on annettu häiriöinen data y F (x + }{{}}{{} ε.
LisätiedotEsimerkki 19. Esimerkissä 16 miniminormiratkaisu on (ˆx 1, ˆx 2 ) = (1, 0).
Esimerkki 9 Esimerkissä 6 miniminormiratkaisu on (ˆx, ˆx (, 0 Seuraavaksi näytetään, että miniminormiratkaisuun siirtyminen poistaa likimääräisongelman epäyksikäsitteisyyden (mutta lisääntyvän ratkaisun
LisätiedotMatriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?
Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi
LisätiedotOrtogonaalisen kannan etsiminen
Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedotominaisvektorit. Nyt 2 3 6
Esimerkki 2 6 8 Olkoon A = 40 0 6 5. Etsitäänmatriisinominaisarvotja 0 0 2 ominaisvektorit. Nyt 2 0 2 6 8 2 6 8 I A = 40 05 40 0 6 5 = 4 0 6 5 0 0 0 0 2 0 0 2 15 / 172 Täten c A ( )=det( I A) =( ) ( 2)
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotOminaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (
Lisätiedot802360A Inversio-ongelmien peruskurssi (Syksy 2011) Sari Lasanen
802360A Inversio-ongelmien peruskurssi (Syksy 20) Sari Lasanen 0. lokakuuta 20 2 Inversio-ongelmien peruskurssi (4 op) Osaamistavoitteet: Kurssin onnistuneen suorittamisen jälkeen opiskelija tunnistaa
LisätiedotDemorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Ensi viikolla luennot salissa X Torstaina 7.12. viimeiset demot (12.12. ja 13.12. viimeiset luennot). Torstaina 14.12 on välikoe 2, muista ilmoittautua! Demorastitiedot
LisätiedotMatriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä
Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
LisätiedotSimilaarisuus. Määritelmä. Huom.
Similaarisuus Määritelmä Neliömatriisi A M n n on similaarinen neliömatriisin B M n n kanssa, jos on olemassa kääntyvä matriisi P M n n, jolle pätee Tällöin merkitään A B. Huom. Havaitaan, että P 1 AP
LisätiedotAlkeismuunnokset matriisille, sivu 57
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna
Lisätiedot(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
Lisätiedot5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
LisätiedotSisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006
Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä
LisätiedotEnnakkotehtävän ratkaisu
Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Kevät 2012 1 Lineaarinen inversio-ongelma Määritelmä 1.1. Yleinen (reaaliarvoinen) lineaarinen inversio-ongelma voidaan esittää muodossa m = Ax +
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 14 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Matriisinormi
Lisätiedot6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI
0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos
LisätiedotNeliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja
7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien
Lisätiedot3.2.2 Tikhonovin regularisaatio
3 Tikhonovin regularisaatio Olkoon x 0 R n tuntematon, M R m n teoriamatriisi ja y Mx + ε R m (316 annettu data Häiriöherkässä ongelmassa pienimmän neliösumman miniminormiratkaisu x M + y Q N (M x + M
LisätiedotLikimääräisratkaisut ja regularisaatio
48 Luku 4 Likimääräisratkaisut ja regularisaatio Ryhdytään tarkastelemaan klassisia approksimatiivisia ratkaisumenetelmiä huonosti asetetuille tai häiriöherkille äärellisulotteisille lineaarisille ongelmille
LisätiedotPäättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1
Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon
LisätiedotKäänteismatriisi 1 / 14
1 / 14 Jokaisella nollasta eroavalla reaaliluvulla on käänteisluku, jolla kerrottaessa tuloksena on 1. Seuraavaksi tarkastellaan vastaavaa ominaisuutta matriiseille ja määritellään käänteismatriisi. Jokaisella
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt QR-hajotelma ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto PNS-ongelma PNS-ongelma
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä
Lisätiedot6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI
6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,
Lisätiedot1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 6.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Kertausta: Kääntyvien matriisien lause Lause 1 Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä.
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1
LisätiedotLINEAARIALGEBRA P. LUENTOMONISTE ja HARJOITUSTEHTÄVÄT
LINEAARIALGEBRA II 802119P LUENTOMONISTE ja HARJOITUSTEHTÄVÄT syksy 2008 30 V SISÄTULOAVARUUKSISTA 1. Sisätulon määritelmä Tarkastellaan sisätulon määrittelyä varten kompleksilukujen joukkoa C = {x + iy
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotMatematiikka B2 - Avoin yliopisto
6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
LisätiedotMääritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.
1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 3
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 3 Kevät 2011 1 Singulaariarvohajotelma (Singular Value Decomposition, SVD) Olkoon A R m n matriisi 1. Tällöin A voidaan esittää muodossa A = UΣV T,
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
Lisätiedot(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa).
NUMEERISET MENETELMÄT DEMOVASTAUKSET SYKSY 20.. (a) Absoluuttinen virhe: ε x x ˆx /7 0.4 /7 4/00 /700 0.004286. Suhteellinen virhe: ρ x x ˆx x /700 /7 /00 0.00 0.%. (b) Kahden desimaalin tarkkuus x ˆx
LisätiedotEsimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt
Esimerkki 4.4. Määrää matriisin 2 2 1 A = 1 3 1 2 4 3 ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt det(a λi ) = 1 + 2 λ 2 1 + 1 λ 1 λ 1 3 λ 1 = 1 3 λ 1 2 4 3 λ 2 4 3 λ 1 λ = 1 4 λ 1 = (1 λ)( 1)1+1 4 λ 1 2 6 3
LisätiedotMatematiikka B2 - TUDI
Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotMatikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81
Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/81 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 )
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja
LisätiedotMatemaattinen Analyysi / kertaus
Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen
LisätiedotLineaarialgebra, kertausta aiheita
Lineaarialgebra, kertausta aiheita Matriisitulo käänteismatriisi determinantin kehittäminen determinantin ominaisuudet adjungaatti ja Cramerin kaavat yhtälöryhmän eri esitystavat Gauss-Jordan -algoritmi
Lisätiedot5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT
5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön
LisätiedotOminaisarvo-hajoitelma ja diagonalisointi
Ominaisarvo-hajoitelma ja a 1 Lause 1: Jos reaalisella n n matriisilla A on n eri suurta reaalista ominaisarvoa λ 1,λ 2,...,λ n, λ i λ j, kun i j, niin vastaavat ominaisvektorit x 1, x 2,..., x n muodostavat
LisätiedotMatikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210
Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
LisätiedotOminaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170
Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170 Seuraavissa luvuissa matriisit ja vektori ajatellaan kompleksisiksi, ts. kertojakuntana oletetaan olevan aina kompleksilukujoukko C Huomaa, että reaalilukujoukko
LisätiedotTällä viikolla viimeiset luennot ja demot. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162
Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/162 Kertausta Vektorin u = (u 1,u 2 ) R 2 pituus u = u 2 1 +u2 2 Vektorien u ja v = (v 1,v 2
LisätiedotDeterminantti 1 / 30
1 / 30 on reaaliluku, joka on määritelty neliömatriiseille Determinantin avulla voidaan esimerkiksi selvittää, onko matriisi kääntyvä a voidaan käyttää käänteismatriisin määräämisessä ja siten lineaarisen
LisätiedotMS-A0003/A Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6
MS-A3/A - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 Ratkaisuehdotelmia. Diagonalisointi on hajotelma A SΛS, jossa diagonaalimatriisi Λ sisältää matriisin A ominaisarvot ja matriisin S sarakkeet ovat näitä ominaisarvoja
LisätiedotKantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen
Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotLineaarialgebra (muut ko)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/103 Lineaarialgebra (muut ko) Tero Laihonen Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/103 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v
Lisätiedot1. Normi ja sisätulo
Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 3 83 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni Normi ja sisätulo
Lisätiedot1.1. Määritelmiä ja nimityksiä
1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x
LisätiedotKanta ja dimensio 1 / 23
1 / 23 Kuten ollaan huomattu, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotOrtogonaalinen ja ortonormaali kanta
Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä
LisätiedotBijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.
Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut
MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A
LisätiedotLiittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.
Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi
LisätiedotLineaarikuvaukset. 12. joulukuuta F (A r ) = F (A r ) r .(3) F (s) = s. (4) Skalaareille kannattaa määritellä lisäksi seuraavat tulot:
Lineaarikuvaukset 12. joulukuuta 2005 1 Yleistys multivektoreille Olkoon F lineaarikuvaus vektoriavaruudessa. Yleistetään F luonnollisella tavalla terille F (a 1 a n ) = F (a 1 ) F (a n ), (1) sekä terien
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi
Talousmatematiikan perusteet: Luento 10 Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Lineaarikuvaus Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta, jossa käytetään
Lisätiedot1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät
1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
LisätiedotMS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42 Tehtävät 1-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ryhmissä, ja ryhmien ratkaisut esitetään harjoitustilaisuudessa (merkitty kirjaimella L = Lasketaan).
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotMS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
Lisätiedot800350A / S Matriisiteoria
800350A / 800693S Matriisiteoria Emma Leppälä Tero Vedenjuoksun luentomonisteen pohjalta 15 syyskuuta 2017 Sisältö 1 Lineaarialgebraa 2 11 Merkintöjä 2 12 Matriisien perusominaisuuksia 4 13 Matriisien
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 4.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Viimeiset harjoitukset on palautettava torstaina 13.6. Laskaripisteensä ja läsnäolonsa voi kukin tarkistaa
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi
Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi Viime luennolla Käsittelimme matriisien peruskäsitteitä ja laskutoimituksia Vakiolla kertominen, yhteenlasku ja vähennyslasku
Lisätiedotx 2 x 3 x 1 x 2 = 1 2x 1 4 x 2 = 3 x 1 x 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili
6 4 2 x 2 x 3 15 10 5 0 5 15 5 3 2 1 1 2 3 2 0 x 2 = 1 2x 1 0 4 x 2 = 3 x 1 x 5 2 5 x 1 10 x 1 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili Sisältö
Lisätiedot10 Matriisit ja yhtälöryhmät
10 Matriisit ja yhtälöryhmät Tässä luvussa esitellään uusi tapa kirjoittaa lineaarinen yhtälöryhmä matriisien avulla käyttäen hyväksi matriisikertolaskua sekä sarakevektoreita Pilkotaan sitä varten yhtälöryhmän
Lisätiedoti=1 Näistä on helppo näyttää ominaisuudet (1)-(4). Ellei toisin mainita, käytetään R n :ssä
Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 003. 8.0.003 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni.. Normi
LisätiedotSeuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117
Seuraava luento ti 31.10 on salissa XXII Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/117 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v
LisätiedotSingulaariarvohajotelma ja pseudoinverssi
HELSINGIN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Niko Kaitarinne Singulaariarvohajotelma ja pseudoinverssi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Helmikuu 01 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen
Lisätiedot