Similaarisuus. Määritelmä. Huom.

Transkriptio

1 Similaarisuus Määritelmä Neliömatriisi A M n n on similaarinen neliömatriisin B M n n kanssa, jos on olemassa kääntyvä matriisi P M n n, jolle pätee Tällöin merkitään A B. Huom. Havaitaan, että P 1 AP = B. P 1 AP = B AP = PB A = PBP 1. LM2, Kesä /260

2 Similaarisuus Esimerkki 61 Merkitään A = [ ] [ ] 1 0 ja B =. 2 1 Matriisi A on similaarinen matriisin B kanssa: Ensinnäkin matriisi [ ] 1 1 P = 1 1 on kääntyvä, sillä det(p) = 1 ( 1) = 2 0. LM2, Kesä /260

3 Lisäksi [ ] [ ] [ ] AP = = [ ] [ ] [ ] PB = = ja eli AP = PB, mistä seuraa, että P 1 AP = B. Huom. Tässä tarvittiin varmuus siitä, että P on kääntyvä! LM2, Kesä /260

4 Similaarisuus on ekvivalenssirelaatio Lause 62 Oletetaan, että A, B ja C ovat n n -neliömatriiseja. Tällöin (a) A A; (b) jos A B, niin B A; (c) jos A B ja B C, niin A C. Todistus (osa). (b) Oletetaan, että A B. Tällöin on olemassa kääntyvä matriisi P, jolla P 1 AP = B. Kertomalla tätä yhtälöä vasemmalta matriisilla P ja oikealta matriisilla P 1 saadaan A = PBP 1. LM2, Kesä /260

5 Merkitään Q = P 1. Tällöin Q on kääntyvä ja Siis B A. Q 1 BQ = (P 1 ) 1 BP 1 = PBP 1 = A. LM2, Kesä /260

6 Similaaristen matriisien ominaisuuksia Lause 63 Oletetaan, että A ja B ovat n n -neliömatriiseja. Oletetaan lisäksi, että A B. Tällöin (a) det(a) = det(b); (b) A on kääntyvä, jos ja vain jos B on kääntyvä; (c) matriiseilla A ja B on sama karakteristinen polynomi; (d) matriiseilla A ja B on samat ominaisarvot. Huom. Tämä tulos on käyttökelpoinen, jos pitää osoittaa, että jotkin matriisit eivät ole similaariset. LM2, Kesä /260

7 Lauseen 63 todistus (osa). (a) Koska A B, niin on olemassa kääntyvä matriisi P, jolla P 1 AP = B. Tällöin det(p 1 AP) = det(b). Determinantin ominaisuuksia käyttämällä saadaan det(b) = det(p 1 AP) = det(p 1 ) det(a) det(p) ( ) 1 = det(a) det(p) = det(a). det(p) LM2, Kesä /260

8 (c) Matriisin B karakteristinen polynomi on det(b λi). Koska A B, niin on olemassa kääntyvä matriisi P, jolla P 1 AP = B. Näin ollen det(b λi) = det(p 1 AP λi) = det(p 1 AP λp 1 IP) = det(p 1 AP P 1 λip) = det(p 1 (AP λip)) = det(p 1 (A λi)p) =... LM2, Kesä /260

9 ... = det(p 1 ) det(a λi) det(p) = ( ) 1 det(a λi) det(p) det(p) = det(a λi). Siis matriisien B ja A karakteristiset polynomit det(b λi) ja det(a λi) ovat samat. LM2, Kesä /260

10 Matriisit, jotka eivät ole similaarisia Esimerkki 64 Merkitään A = [ ] ja B = [ ] Huomataan, että det(a) = 3 ja det(b) = 3. Siis det(a) det(b), joten matriisit A ja B eivät ole similaariset lauseen 63 nojalla. LM2, Kesä /260

11 Matriisit, jotka eivät ole similaarisia Esimerkki 65 Merkitään A = [ ] ja B = [ ] Huomataan, että det(a) = 4 = det(b). Kuitenkin matriisin A karakterisinen polynomi on det(a λi) = (1 λ)(2 λ) 6 =... = λ 2 3λ 4 ja matriisin B karakterisinen polynomi on det(b λi) = (1 λ)( 1 λ) 3 =... = λ 2 4. Siten matriisit A ja B eivät ole similaariset lauseen 63 nojalla. LM2, Kesä /260

12 Matriisit, jotka eivät ole similaarisia Esimerkki 66 Tarkastellaan matriiseja [ ] 1 0 I = 0 1 ja B = [ ] Huomataan, että det(i) = 1 = det(b). Tästä seuraa, että molemmat ovat kääntyviä. Lisäksi matriiseilla I ja B on sama karakteristinen polynomi det(i λi) = (1 λ) 2 = det(b λi) ja kummankin matriisin ainoa ominaisarvo on λ = 1. LM2, Kesä /260

13 Tästä huolimatta matriisit I ja B eivät ole similaariset: jos P on mikä tahansa kääntyvä matriisi, niin P 1 IP = I B. LM2, Kesä /260

14 Diagonalisointi Määritelmä Oletetaan, että A on n n - neliömatriisi. Matriisi A on diagonalisoituva, jos se on similaarinen jonkin lävistäjämatriisin kanssa. Toisin sanottuna matriisi A on diagonalisoituva, jos on olemassa kääntyvä matriisi P ja lävistäjämatriisi D, joille pätee P 1 AP = D. LM2, Kesä /260

15 Diagonalisointi Esimerkki 67 Esimerkin 59 matriisi A = [ ] on diagonalisoituva. Nimittäin jos merkitään niin P = [ ] ja D = [ ] 4 0, 0 1 matriisi P on kääntyvä, sillä det(p) = 2 ( 3) = 5 0; LM2, Kesä /260

16 havaitaan, että [ ] [ ] [ ] AP = = [ ] [ ] [ ] PD = = ja eli AP = PD, mistä seuraa, että P 1 AP = D. LM2, Kesä /260

17 Lävistäjämatriisin potenssit Lävistäjämatriisin potenssien laskeminen on helpompaa: voidaan osoittaa esimerkiksi induktiolla, että mille tahansa kokonaisluvulle k 1 ja lävistäjämatriisille pätee d d D = d n d n LM2, Kesä /260

18 d k d2 k D k = dn 1 k dn k LM2, Kesä /260

19 Diagonalisointi matriisipotensseja laskettaessa Jos matriisi on diagonalisoituva, on sen potenssien laskeminen helpompaa: Esimerkki 68 Merkitään A = [ ] 1 2, P = 3 2 [ ] ja D = [ ] Esimerkissä 67 nähtiin, että matriisi A on diagonalisoituva ja P 1 AP = D. Kertomalla tätä yhtälöä vasemmalta matriisilla P ja oikealta matriisilla P 1 saadaan A = PDP 1. LM2, Kesä /260

20 Jos kokonaisluku k 1, niin A k = (PDP 1 ) k = (PDP 1 )... (PDP 1 ) }{{} k kpl = PD(P 1 P)D... (P 1 P)DP 1 = P } D.{{.. D} k kpl = PD k P 1. P 1 LM2, Kesä /260

21 Määritetään matriisin P käänteismatriisi: [ ] [ ] /5 1/ /5 2/5 Siis esimerkiksi A 10 = PD 10 P 1 = = = 1 5 [ ] [ ] ( 1) 10 5 [ ] [ 1 ] LM2, Kesä /260

22 Ehto diagonalisoituvuudelle Lause 69 Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Matriisi A on diagonalisoituva, jos ja vain jos matriisilla A on n lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria. LM2, Kesä /260

23 Lauseen 69 todistus. : Oletetaan, että matriisi A on diagonalisoituva eli on olemassa kääntyvä matriisi P ja lävistäjämatriisi D, joille P 1 AP = D. Tällöin AP = PD. Merkitään matriisin P sarakkeita p 1,..., p n ja matriisin D lävistäjäalkioita λ 1,..., λ n. Ts. ] P = [ p 1... p n λ λ ja D = λ n λ n LM2, Kesä /260

24 Matriisituloa laskettaessa tulon AP jokainen sarake saadaan kertomalla matriisilla A vastaava sarake matriisista P: ] ] AP = A [ p 1 p n = [A p 1 A p n. Vastaavasti PD = P [λ 1 ē 1 ] λ n ē n = = [ ] P(λ 1 ē 1 ) P(λ n ē n ) [ ] ] λ 1 (Pē 1 ) λ n (Pē n ) = [λ 1 p 1 λ n p n. Koska AP = PD, saadaan A p i = λ i p i kaikilla i {1,..., n}.siis jokainen λ i on matriisin A ominaisarvo ja p i sitä vastaava ominaisvektori. LM2, Kesä /260

25 Matriisi P on kääntyvä, joten yhtälöllä P x = 0 on täsmälleen yksi ratkaisu x = 0. Yhtälö P x = 0 voidaan kirjoittaa myös muotoon x 1 p 1 + x 2 p x n p n = 0. Tämän yhtälön ainoa ratkaisu on siis x 1 = 0,..., x n = 0. Näin ollen matriisin A ominaisvektoreiden jono ( p 1,..., p n ) on vapaa. LM2, Kesä /260

26 : Oletetaan, että matriisilla A on n lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria. Merkitään niitä p 1,..., p n ja vastaavia ominaisarvoja λ 1,..., λ n. Tällöin A p i = λ i p i kaikilla i {1,..., n}. Tästä seuraa, että ] ] [A p 1 A p n = [λ 1 p 1 λ n p n. Näin ollen AP = PD, missä on valittu λ ] 0 λ P = [ p 1... p n ja D = λ n λ n LM2, Kesä /260

27 Oletuksen mukaan matriisin A ominaisvektorit p 1,..., p n ovat lineaarisesti riippumattomat, joten yhtälöstä x 1 p 1 + x 2 p x n p n = 0 seuraa, että x 1 = 0, x 2 = 0,..., x n = 0. Koska p 1,..., p n ovat matriisin P sarakkeet, voidaan yllä oleva yhtälö kirjoittaa muodossa P x = 0. Näin ollen yhtälöllä P x = 0 on tasan yksi ratkaisu x = 0. Kurssilla Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I osoitettiin, että tällöin matriisi P on kääntyvä. Yhtälö AP = PD saadaan siis muotoon P 1 AP = D. LM2, Kesä /260

28 Diagonalisointi Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Matriisin A diagonalisoiminen: 1. Etsi matriisin A ominaisarvot. 2. Määritä jokaista ominaisarvoa vastaava ominaisavaruus. 3. Tutki, onko matriisilla A n kappaletta lineaarisesti riippumattomia ominaisvektoreita. Jos lineaarisesti riippumattomia ominaisvektoreita on vähemmän kuin n kappaletta, matriisi A ei ole diagonalisoituva. LM2, Kesä /260

29 4. Muodosta matriisi P laittamalla löytämäsi lineaarisesti riippumattomat ominaisvektorit sen sarakkeiksi. Tällöin P on lauseen 69 todistuksen nojalla kääntyvä (voit tarkistaa tämän esim. determinantin avulla). 5. Muodosta lävistäjämatriisi D laittamalla sen sarakkeisiin matriisin P sarakkeita vastaavat ominaisarvot. Tällöin P 1 AP = D lauseen 69 todistuksen nojalla (voit tarkistaa tämän laskemalla tulot AP ja PD). LM2, Kesä /260

30 Diagonalisointi Esimerkki 70 Merkitään A = Diagonalisoi matriisi A, jos mahdollista. LM2, Kesä /260

31 1. Määritetään matriisin A ominaisarvot: Karakteristinen polynomi on λ 1 0 det(a λi) = 0 λ λ λ 1 = λ 5 4 λ λ = = λ 3 + 4λ 2 5λ + 2. Siis det(a λi) = 0 λ 3 + 4λ 2 5λ + 2 = 0. LM2, Kesä /260

32 Yksi ratkaisu esim. arvaamalla: jos λ = 1, niin = = 0. Tällöin polynomi λ 3 + 4λ 2 5λ + 2 on jaollinen polynomilla λ 1 ja esim. jakokulmassa saadaan λ 3 + 4λ 2 5λ + 2 = (λ 1)( λ 2 + 3λ 2). Muut ratkaisut saadaan näin ollen 2. asteen yhtälön ratkaisukaavalla: λ 2 +3λ 2 = 0 λ = 3 ± ( 1) ( 2) = 3 ± 1. 2 ( 1) 2 Matriisin A ominaisarvot ovat siis yhtälön λ 3 + 4λ 2 5λ + 2 = 0 ratkaisut λ 1 = 1 ja λ 2 = 2. LM2, Kesä /260

33 2. Ominaisarvoja vastaavat ominaisavaruudet: Ominaisarvoa λ 1 = 1 vastaava ominaisavaruus on V 1 = { v R 3 A v = v }. Ratkaistaan yhtälö A x = x eli yhtälö (A I) x = 0: Havaitaan, että x 3 on vapaa muuttuja, merkitään x 3 = t R. Tällöin ratkaisut ovat x = (t, t, t), missä t R. Siis V 1 = { t(1, 1, 1) t R } = span ( (1, 1, 1) ). LM2, Kesä /260

34 Ominaisarvoa λ 2 = 2 vastaava ominaisavaruus on V 2 = { v R 3 A v = 2 v }. Ratkaistaan yhtälö A x = 2 x eli yhtälö (A 2I) x = 0: / / Havaitaan, että x 3 on vapaa muuttuja, merkitään x 3 = t R. Tällöin ratkaisut ovat x = (t/4, t/2, t), missä t R. Siis V 2 = { t(1/4, 1/2, 1) t R } = span ( (1/4, 1/2, 1) ) = span ( (1, 2, 4) ). LM2, Kesä /260

35 3. Onko 3 3 -matriisilla A kolme lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria? Edellä havaittiin, että matriisin A ominaisavaruudet ovat V 1 = span ( (1, 1, 1) ) ja V 2 = span ( (1, 2, 4) ). Näin ollen matriisilla A ei ole kolmea lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria. Siis A ei ole diagonalisoituva lauseen 69 nojalla. LM2, Kesä /260

36 Ominaisavaruuksien kantavektoreista saadaan vapaa jono Lause 71 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ k ovat matriisin A eri ominaisarvoja. Tällöin ominaisavaruuksien V λ1,..., V λk kantavektoreista muodostettu jono on vapaa. Todistus. Olkoon ominaisavaruuden V λi kanta ( v i1, v i2,..., v imi ), missä kokonaisluku m i 1. On osoitettava, että kaikista kantavektoreista muodostettu jono on vapaa. ( v 11,..., v 1m1, v 21,..., v 2m2,..., v k1,..., v kmk ) LM2, Kesä /260

37 Oletetaan, että (c 11 v c 1m1 v 1m1 ) + + (c k1 v k1 + + c kmk v kmk ) = 0. Merkitään w i = (c i1 v i1 + + c imi v imi ) kaikilla i {1,..., k}. Tällöin w i V λi, sillä v i1,..., v imi V λi ja V λi on aliavaruus. Yhtälö saa muodon w w k = 0. Koska w i V λi, niin on kaksi mahdollisuutta: w i on ominaisarvoon λ i liittyvä ominaisvektori tai w i = 0. Tiedetään, että eri ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat lineaarisesti riippumattomia (lause 60). LM2, Kesä /260

38 Siten yhtälössä 1 w w k = 0 yksikään vektori ei voi olla ominaisvektori vaan jokainen w i = 0. Näin (c i1 v i1 + + c imi v imi ) = 0. Jono ( v i1, v i2,..., v imi ) on ominaisavaruuden V λi kantana vapaa, joten c i1 = 0,..., c imi = 0. Siis alkuperäisen yhtälön kaikki kertoimet ovat nollia. Näin ollen ominaisavaruuksien V λi kantavektoreista muodostettu jono on vapaa. LM2, Kesä /260

39 Diagonalisointi Esimerkki 72 Merkitään A = Diagonalisoi matriisi A, jos mahdollista. LM2, Kesä /260

40 1. Määritetään matriisin A ominaisarvot: Karakteristinen polynomi on 1 λ 0 1 det(a λi) = 3 λ λ 1 λ 1 = λ 1 1 λ = = λ 2 (λ + 2). Siis det(a λi) = 0 λ 2 (λ + 2) = 0 λ = 0 λ = 2. LM2, Kesä /260

41 2. Ominaisarvoja vastaavat ominaisavaruudet: Ominaisarvoa λ 1 = 0 vastaava ominaisavaruus on V 0 = { v R 3 A v = 0 v }. Ratkaistaan yhtälö A x = 0 x eli yhtälö A x = 0: Havaitaan, että x 2 ja x 3 ovat vapaita muuttujia, merkitään x 2 = s, x 3 = t (s, t R). Tällöin ratkaisut ovat x = (t, s, t), missä s, t R. Siis V 0 = { t(1, 0, 1) + s(0, 1, 0) s, t R } = span ( (1, 0, 1), (0, 1, 0) ). LM2, Kesä /260

42 Ominaisarvoa λ 2 = 2 vastaava ominaisavaruus on V 2 = { v R 3 A v = 2 v }. Ratkaistaan yhtälö A x = 2 x eli yhtälö (A + 2I) x = 0: Havaitaan, että x 3 on vapaa muuttuja, merkitään x 3 = t R. Tällöin ratkaisut ovat x = ( t, 3t, t), missä t R. Siis V 2 = { t( 1, 3, 1) t R } = span ( ( 1, 3, 1) ). LM2, Kesä /260

43 3. Onko 3 3 -matriisilla A kolme lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria? Edellä havaittiin, että matriisin A ominaisavaruudet ovat V 0 = span ( (1, 0, 1), (0, 1, 0) ) ja V 2 = span ( ( 1, 3, 1) ). Lisäksi vektorit (1, 0, 1) ja (0, 1, 0) ovat lineaarisesti riippumattomat, joten ne muodostavat ominaisavaruuden V 0 kannan.näin ollen matriisilla A on kolme lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria; esimerkiksi ominaisavaruuksen V 0 ja V 2 kantavektorit p 1 = (1, 0, 1), p 2 = (0, 1, 0) ja p 3 = ( 1, 3, 1). Siis A on diagonalisoituva lauseen 69 nojalla. LM2, Kesä /260

44 4. 5. Merkitään ] P = [ p p 2 p 3 = ja D = Tällöin lauseen 69 todistuksen mukaan P on kääntyvä ja P 1 AP = D. Huom. On mahdollista tarkistaa, että todella det(p) 0 ja AP = PD. LM2, Kesä /260

45 Diagonalisointi Lause 73 Oletetaan, että n n -matriisilla on n eri ominaisarvoa. Tällöin A on diagonalisoituva. Todistus. Olkoot v 1,..., v n jotkin eri ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit. Ne ovat lineaarisesti riippumattomia lauseen 60 nojalla. Koska matriisilla A on n lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria, niin A on diagonalisoituva lauseen 69 nojalla. LM2, Kesä /260