Insinöörimatematiikka D

Transkriptio

1 Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 12 1 of 17

2 Kertausta Vakiokertoiminen lineaarinen homogeeninen DY Vakiokertoimisen homogeenisen DY:n a n y (n) + a n 1 y (n 1) a 2 y + a 1 y + a 0 y = 0 ratkaisuja voidaan löytää yritteellä y = e λt : Tällöin y = λe λt, y = λ 2 e λt,..., y (n) = λ n e λt ja sijoittamalla saadaan a n λ n e λt + a n 1 λ n 1 e λt a 2 λ 2 e λt + a 1 λe λt + a 0 e λt = 0 ja jakamalla e λt ( 0) pois a n λ n + a n 1 λ n a 2 λ 2 + a 1 λ + a 0 = 0. Algebran peruslauseen mukaan tällä karakteristisella yhtälöllä on ratkaisu. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 12 2 of 17

3 Kertausta 1. kertaluvun lineaarinen DY Yhtälön y + a(x)y = b(x) ratkaisut ovat muotoa y = Cy 1 + y 0, missä y 1 on homogeenisen yhtälön y + a(x)y = 0 ratkaisu 0 ja y 0 on jokin alkuperäisen yhtälön ratkaisu. Ratkaisumenetelmä Homogeenisen yhtälön ratkaisu y H. Vakion variointi: Sijoitetaan y = C(x)y H alkuperäiseen DY:hyn ja ratkaistaan C(x). M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 12 3 of 17

4 Sekalaisia menetelmiä Bernoullin DY Bernoullin DY (a 1) y + p(x)y = q(x)y a muuttuu lineaariseksi sijoituksella z = y 1 a. Esimerkki Ratkaistaan DY y 5y = 5 2 xy 3. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 12 4 of 17

5 Sekalaisia menetelmiä Eulerin DY Eulerin DY on muotoa x 2 y + pxy + qy = f (x), missä p ja q ovat vakioita. Tehdään DY:hyn sijoitus t = ln x ja y 1 (t) = y(e t ). Tällöin DY saadaan muotoon y 1 (t) + (p 1)y 1(t) + qy 1 (t) = f (e t ), joka on lineaarinen vakiokertoiminen DY (ja jonka osaamme aiemman perusteella ratkaista). Esimerkki Ratkaistaan DY x 2 y 7xy + 15y = 0. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 12 5 of 17

6 DY-ryhmät Lineaarinen, vakiokertoiminen DY-ryhmä x 1 = a 11 x a 1n x n + f 1 (t) x 2 = a 21 x a 2x x n + f 2 (t). x n = a n1 x a nn x n + f n (t) Abstrakti muoto: x = Ax + f, missä x = (x 1,..., x n ) ja f = (f 1,..., f n ) sekä x i :t ja f i :t t:n funktioita. Lause Lineaarisen, vakiokertoimisen DY-ryhmän yleinen ratkaisu on muotoa x = c 1 y c n y n + y 0, missä y 1,..., y n ovat homogeenisen ryhmän ratkaisut ja y 0 jokin ryhmän yksittäisratkaisu. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 12 6 of 17

7 DY-ryhmät Lause Olkoon x = Ax homogeeninen DY-ryhmä. Jos λ on matriisin A ominaisarvo ja v tähän liittyvä ominaisvektori, niin y = e λt v on homogeenisen DY-ryhmän ratkaisu. Esimerkki 117 DY-pari { y + 4y + 4z = 0 z + 2y + 6z = 0 voidaan kirjoittaa muodossa ( ) ( y 4 4 z = 2 6 ) ( y z ) M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 12 7 of 17

8 DY-ryhmät Esimerkki 117 ( y z ) ( 4 4 = 2 6 ) ( y z Matriisin ominaisarvot ovat 8 ja 2, sekä näitä vastaavat ominaisvektorit (1, 1) ja ( 2, 1). Yleinen ratkaisu on siis ( y z ) ( = C 1 e 8t 1 1 ) ) + C 2 e 2t ( 2 1 Esimerkki Ratkaistaan edelleen DY-pari { y + 4y + 4z + 4 = 0 z + 2y + 6z 2 = 0 ) M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 12 8 of 17

9 DY-ryhmät Derivaattaoperaattori Merkitään D = d dx, jolloin y = Dy, y = D 2 y, y = D 3 y ja yleisesti y (n) = D n y. Esimerkki (D + 1)(3D 2)y = (3D 2 + D 2)y = 3y + y 2y M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 12 9 of 17

10 DY-ryhmät Esimerkki 119 DY-pari { x = 3x 2y +t y = 2x 2y +3e t voidaan kirjoittaa muotoon { (D 3)x +2y = t 2x +(D + 2)y = 3e t Kertomalla ylempi luvulla 2 ja alempi operaattorilla D 3 saadaan { 2(D 3)x +4y = 2t (D 3)( 2x) +(D 3)(D + 2)y = (D 3)3e t, josta (D 2 D 2)y = 2t 6e t. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot of 17

11 DY-ryhmät Esimerkki 119 Operaattoriyhtälö (D 2 D 2)y = 2t 6e t tarkoittaa tavallista yhtälöä y y 2y = 2t 6e t, jonka yksittäisratkaisu voidaan löytää Laplace-muunnoksilla: y = 1 2 t + 3et Edelleen saadaan x = 1 2 ((D + 2)y 3et ), josta x voidaan sieventää haluttuun muotoon. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot of 17

12 Autonomiset DY-parit Määritelmä DY-pari { x (t) = f 1 (x, y) y (t) = f 2 (x, y) on autonominen, jos muuttuja t ei esiinny oikean puolen termeissä. Ratakäyrät Autonomiselle parille on voimassa dy dy dx = dt dx dt = y (t) x (t) = f 1(x, y) f 2 (x, y) Tämän differentiaaliyhtälön ratkaisuja sanotaan ratakäyriksi. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot of 17

13 Ratakäyrät Esimerkki DY-pari { x (t) = x y y (t) = x + y on autonominen. Ratakäyrien DY on dy dx = x + y x y = 1 + y x 1 y. x Voidaan ratkaista sijoituksella z = y/x. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot of 17

14 DY-parit Lotka-Volterra -malli Alfred J. Lotka ( ) Vito Volterra ( ) M. Hirvensalo V. Junnila Luentokalvot of 17

15 Lotka-Volterra -malli Mallin DY-pari Saaliseläinten kantaa merkitään x:llä ja petoeläinten y:llä. { x (t) = αx βxy y (t) = γy + δxy Tasapainopisteet: (0, 0) ja ( γ δ, α β ) Ratakäyrien DY dy dx = y δx γ x α βy = y α βy δx γ x α ln y βy = δx γ ln x + C Ratkaisut syklisiä: On olemassa T, jolle (x(t ), y(t )) = (x(0), y(0)). M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot of 17

16 Lotka-Volterra -malli Populaation keskiarvo { x (t) = αx βxy y (t) = γy + δxy Ylemmästä yhtälöstä saadaan josta 0 = ln x(t ) T x(0) = 0 x x dt = x (t) x(t) = α βy, T joten populaation y keskiarvo jakson T aikana on 0 T (α βy) dt = αt β y dt, 0 E(y) = 1 T T 0 y dt = α β. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot of 17

17 Lotka-Volterra -malli Populaation keskiarvot E(x) = γ δ E(y) = α β DY-pari + ulkopuolinen toimija { x (t) = αx βxy ex y (t) = γy + δxy ey Uudet keskiarvot { E(x) = γ+e δ E(y) = α e β M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot of 17