J1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6

Transkriptio

1 MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 J (II.6.9) Päättele, että avaruusvetorit a, b ja c ovat lineaarisesti riippuvat täsmälleen un vetoreiden virittämän suuntaissärmiön tilavuus =. Tuti tällä riteerillä ovato seuraavat vetorisysteemit lineaarisesti riippumattomat. a) { i j +, 3 i + j +, i + j 5 } b) { i, i j + 3, 5 i j + 4 } Rataisu: Jos olme avaruusvetoria ovat lineaarisesti riippuvat, ne ovat samassa tasossa. Tällöin luonnollisesti niiden määrämän suuntaissärmiön tilavuus on nolla. Jos ne ovat riippumattomat, ei olmatta voida ilmaista ahden muun lineaariyhdistelynä, ja olmannen on oltava siis ulona ahden ensimmäisen määräämästä tasosta, jolloin suuntaissärmiön tilavuus on suurempi uin nolla. Vetoreiden virittämän suuntaissärmiön tilavuus on niiden salaariolmitulon itseisarvo V = a b c. Tehtävän vetorien salaariolmitulot ovat 3 a) = 6 b) =, miä taroittaa, että a) -ohdassa vetorit ovat lineaarisesti riippumattomat ja b) -ohdassa eivät. Figure havainnollistaa tilannetta. a) b) (3,, ) (, -, ) 4 (5, -, 4) 3 (, -, 3) i (,, -5) 3- j - - (,, -) i j Figure : a) Vetorit eivät ole samassa tasossa. b) Vetorit ovat samassa tasossa. J (X.5.5) Lase det(b), un B = ( 5AA T ) 7 ja A = Rataisu: Lasetaan det(a) = ja äytetään lasusääntöjä det(ab) = det(a)det(b) det(a T ) = det(a) det(λa) = λ n det(a), jolloin saadaan det(b) = [det( 5AA T )] 7 = [( 5) 3 det(aa T )] 7 = [( 5) 3 det(a)det(a)] 7 = ( 5) 7 = 5 7

2 V (II.6.8) a) Pisteet (,, 4), (5,, ), (, 3, 6) ja (,, ) ovat seä tetraedrin että suuntaissärmiön äriä. Lase ummanin tilavuus ja pinnan ala. b) Tason olmion asi äreä ovat pisteissä (, ) ja (3, 3). Millaisessa E :n pistejouossa on olmannen ärjen täsmälleen oltava, jotta olmion pinta-ala =? Kuva! Rataisu: a) (TETRAEDRI ) Meritään A = (,, 4), B = (5,, ), C = (, 3, 6) ja D = (,, ), jolloin AB = 6 i + j 4, AC = 3 i j + ja AD = i + j 3. Tetraedrin ABCD tilavuus on V = 6 AB AC AD = = 6 = 6 ja pinta-ala saadaan aiien neljän olmion ABC, ABD, ACD ja BCD alojen summana eli pinta-ala = AB AC + AB AD + AC AD + BC BD, jossa determinanttiaavalla saadut ristitulot ovat a i j b = a a a 3 b b b 3 AB AC = i 4 j 9 AB AD = i + j + 4 AC AD = i + 3 j + 5 ja BC BD = i j 8. Vetorin a = a i + a j + a 3 pituus on a = a + a + a 3, eli saadaan pinta-ala = ( ) (SUUNTAISSÄRMIÖ) Tilavuus on nyt AB AC AD = ja pinta-ala tahojen (suunniaiden) alojen summa eli pinta-ala = AB AC + AB AD + AC AD = ( ).98

3 b) Meritään A = (,, ) ja B = (3, 3, ). Kolmannelle pisteelle P = (x, y, ) tulee päteä AP BP =. Kosa saadaan AP BP = i j x y + x 3 y 3 = [(x )(y 3) (y + )(x 3)] = ( 5x + y + 9), ( 5x + y + 9) = 5x + y + 9 = TAI 5x + y + 9 = y = 5x + TAI y = eli pisteen on oltava toisella näistä suorista, s. Figure. 5x Figure : Tehtävän V b) uva. 3

4 V (X.5.8) Neliömatriisi A = (a ij ) oloon ooa n n ja tridiagonaalinen, ts. a ij =, un i j. Edelleen oloon a ii =, i =,..., n, ja a ij = λ, un i j =. a) Näytä, että determinantille D n = deta pätee palautusaava D n = D n λ D n. b) Lase D n, n =,...,, un λ =. c) Jos λ =, niin millä n:n arvoilla A on singulaarinen? Rataisu: Koeillaan muutamalla ensimmäisellä n arvolla, miltä matriisi A näyttää. A = [ ] [ ] λ λ λ A = A λ 3 = λ λ A 4 = λ λ λ λ λ λ a) Lasetaan determinantit D =, D = λ ja D 3 = λ. Siis on osoitettu D 3 = D λ D. Nyt oletetaan, että n =, > 3. Tutitaan matriisia A (,) D = ( ) +i a i deta (,i) i= = deta (,) λ deta (,) = deta λ deta (,), un esim = 5. Tällöin λ λ λ A 5 = λ λ λ λ λ ja A(,) 5 = Huomataan, että edelleen alideterminanttisääntöä äyttäen ( ) (,) ( det A (,) = λ det A (,) λ det = λ deta λ = λ deta, ( missä jälimmäinen determinantti oli nolla, osa matriisissa D = deta λ deta (,) λ λ λ λ λ. λ A (,) A (,) ) (,) ) (,) on nollasarae. Siispä = D λλ deta = D λ D b) Jos λ =, saadaan D = 3 D 3 = 3 4 = 7 D 4 = 7 4 ( 3) = 5 D 5 = 5 4 ( 7) = 33 D 6 = 33 4 (5) = 3 D 7 = 3 4 (33) = 9 D 8 = 7 D 9 = 35 D = 989 c) Jos λ =, niin D = ja D =. Tästä saadaan lasettua, että D n on luujono, jossa toistuu,,,,, loputtomasti. Siis D n =, un mod(n, 3) = ja näillä n on A singulaarinen. 4

5 MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT LV 6 J - XII.. a) A = Ominaisarvot λ toteuttavat det(a λi) = eli λ [ ] λ = ( λ) 4 = λ = Molemmat ovat ysinertaisia juuria, joten algebralliset ertaluvut yösiä. Ominaisarvoa λ vastaava ominaisvetori x toteuttaa Ax = λx eli [ ] [ ] [ ] x λx = x λx x = λ x x = { 3 { τ λ τ eli ominaisarvoa λ = vastaava ominaisvetori on esimerisi x = [, ] T ja ominaisarvoa λ = 3 vastaava ominaisvetori on esimerisi x = [, ] T. Geometrinen ertaluu ei voi olla algebrallista suurempi, joten myös se on molemmille. J - XII..3 a) A = v = w = u = Oloon λ ominaisvetoria v sitä vastaava ominaisarvo. Tällöin Av = λ v A Av = A λ v x = A v = λ A 9 Av = λa 9 λ v = λ A 9 v =... = λ v Samalla tavalla saadaan A w = λ w ja A u = λ 3 u. Huomataan, että x = v + w - u eli A x = A (v + w u) = A v + A w A u = λ v + λ w λ 3 u Yhtälöistä Av = λ v, Aw = λ w ja Au = λ 3 u voidaan rataista ominaisarvoisi λ =, λ = ja λ 3 =, ja näin ollen + A x = v + w + u = +

6 V - XII.. f) F = 3 Ominaisarvot λ toteuttavat det(f λi) = eli λ λ 3 λ = λ3 + 6λ λ = λ = 3 i 3 + i Kaii ovat ysinertaisia juuria, joten algebralliset ertaluvut yösiä. Ominaisarvoa λ vastaava ominaisvetori x toteuttaa Ax = λx eli x λx x = λx 3 x 3 λx 3 josta rataistaan vaiapa muotoon (λ 3)τ x = λ τ, τ C τ eli jos valitaan esim τ =, niin 3 x = (ominaisarvolle λ = ) i x = i (ominaisarvolle λ = 3 i) i x = i (ominaisarvolle λ = 3 + i) Jälleen geometrinen ertaluu ei voi olla algebrallista suurempi, joten myös se on molemmille. V - XII..3 c) Tulee päteä α β 4 α β 4 β α β 3 3 α = λ = α β = λ β α = λ = eli siis ehto on λ = α β.

7 MS-A - Matriisilasenta Viio 7 Mallirataisuja. jouluuuta 6 P XII..6 a) ( ) Tuti, ono matriisi A = diagonalisoituva. Myönteisessä tapausessa 4 3 lase matriisille join (reaalinen tai omplesinen) tulohajotelma muotoa A = CDC, missä D on diagonaalinen. Rataisu Selvitetään ominaisarvot: λ 4 3 λ = ( λ)( 3 λ) = (λ = tai λ = 3) Lasetaan ominaisvetorit: λ = : 4x 4x = x = x λ = 3 : x =, 4x = x =. Löytyi asi lineaarisesti riippumatonta ( ) ominaisvetoria, joten A on diagonalisoituva. Valitaan nyt C =, (eli matriisin saraeisi laitetaan jotin ( ) A:n ominaisvetorit) jolloin C =. Näin ollen A = CDC = ( ) ( ) ( ). Tässä on täreää muistaa laittaa ominaisvetorit 3 samaan järjestyseen uin ominaisarvot matriisissa D. P XII..6 h) Tuti, ono matriisi A = 3 6

8 diagonalisoituva. Myönteisessä tapausessa lase matriisille join (reaalinen tai omplesinen) tulohajotelma muotoa A = CDC, missä D on diagonaalinen. Rataisu Selvitetään ominaisarvot: λ λ 3 = ( λ)[( λ)( 6 λ) + 6] + ( 6 λ) 3 6 λ = λ 3 9λ 7λ 7 = (λ + 3) 3 = λ = 3. Lasetaan ominaisvetorit: λ = 3 : x x =, x +x +3x 3 =, x x 3x 3 = x = x, x = x 3. Kaii ominaisvetorit ovat siis muotoa t. Kosa lineaarisesti riippumattomia ominaisvetoreita tarvittaisiin olme, niin matriisi ei ole diagonalisoituva.