802120P Matriisilaskenta (5 op)
|
|
- Marjut Niemi
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 802120P Matriisilaskenta (5 op) Marko Leinonen Matemaattiset tieteet Syksy / 220
2 Luennoitsija: Marko Leinonen MA333 Kurssilla käytetään Noppaa (noppa.oulu.fi) Luentomoniste (T. Vedenjuoksu 2015) Luentokalvot (T. Vedenjuoksun luentokalvojen pohjilta muokatut) Harjoitustehtävät Harjoitustehtävien ratkaisut Luento- ja harjoitusajat Tenttiajat Verkkomateriaalia: YouTube, Khan Academy ( 2 / 220
3 Opintojakson suorittaminen Kurssi koostuu luennoista, itsenäisestä opiskelusta ja harjoituksista. Viikottain tehtäviä asioita: Luentojen ennakkotehtävät (esim. helpohko ongelma ratkaistavaksi ja tulevan kerran käsitteisiin tutustumista) Harjoitustehtävät Kurssisuoritus arvioidaan yliopistotentillä, jossa ei saa olla laskimia. Harjoitukset Tehtävät käydään läpi dokumenttikameran avulla Saa kolmeen ensimmäiseen loppukokeesen lisäpisteitä suhteessa tehtyihin tehtäviin 3 pistettä, jos on tehnyt vähintään 75 prosenttia harjoitustehtävistä 2 pistettä, jos on tehnyt vähintään 50 prosenttia harjoitustehtävistä 1 piste, jos on tehnyt vähintään 25 prosenttia harjoitustehtävistä Lisäpisteet edellyttävät omien ratkaisujen esittämistä Kolme lisäpistettä vastaa yhtä arvosanaa 3 / 220
4 Mistä tukea opintojakson sisältöjen opiskeluun Luennot MA ja TO klo Valmistaudu luentoon tekemällä ennakkotehtävä Uskalla kysyä ja keskeyttää Tutortupa (3. krs) Laskuharjoitukset Ke Marko Leinonen Ke Eemeli Perälä To Eemeli Perälä Pe Marko Leinonen 4 / 220
5 Arviointi Yliopistotentti (muista ilmoittautua) ti klo ma klo ma klo Pisterajat (max 33 (tentti 30 + harjoitusten lisäpisteet 3)) pisteet arvosana 5 pisteet arvosana 4 pisteet arvosana 3 pisteet arvosana 2 pisteet arvosana 1 pisteet 0-14 hylätty suoritus 5 / 220
6 Lineaarialgebraa ja matriiseja tarvitaan lähes jokaisella matematiikan kurssilla, ja lisäksi tilastotieteessä, fysiikassa,... Sovelluskohteita: Kuvankäsittely Signaalinkäsittely Tomografia GPS Virheen havaitsevat koodit ja virheen korjaavat koodit Kuvanpakkaus... 6 / 220
7 Kurssin sisältöä: Vektorit Lineaarinen yhtälöryhmä ja sen ratkaiseminen Matriisit ja niiden laskutoimitukset Determinantti Vektoriavaruudet Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit Similaarisuus ja diagonalisoituvuus 7 / 220
8 Vektorit 8 / 220
9 Määritelmä 1 Olkoon n N = {1, 2, 3,...}. Jono x = (x 1, x 2,..., x n ), missä x 1, x 2,..., x n R, on n-ulotteinen tai n-komponenttinen vektori. Kaikkien n-ulotteisten vektorien joukko on avaruus R n, ts. R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R}. Vektorit x, y R n ovat samat, jos x i = y i kaikilla i = 1,..., n. Olkoot x, y R n ja λ R. Tällöin x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ) R n ja λx = (λx 1, λx 2,..., λx n ) R n. 9 / 220
10 Lause 1 Olkoot x, y, z R n ja λ, µ R. Tällöin (a) x + y = y + x (vaihdannaisuus) (b) x + (y + z) = (x + y) + z (liitännäisyys) (c) on olemassa nollavektori 0 = (0,..., 0) R n ja x + 0 = x (d) on olemassa vastavektori x = 1 x ja x + ( x) = 0 (e) λ(µx) = (λµ)x (f) 1 x = x (g) (λ + µ)x = λx + µx (h) λ(x + y) = λx + λy (osittelulait). Huomautus Edellisen lauseen (d)-kohdan nojalla jokaisella vektorilla y R n on vastavektori y R n. Otetaan käyttöön lyhennysmerkintä x y := x + ( y). 10 / 220
11 Määritelmä 2 Vektoreiden u = (u 1,..., u n ) R n ja v = (v 1,..., v n ) R n pistetulo on u v = u 1 v 1 + u 2 v u n v n. Määritelmä 3 Vektorit u R n ja v R n ovat ortogonaaliset eli kohtisuorassa toisiaan vastaan, jos u v = / 220
12 Määritelmä 4 Avaruuden R n, n = 2, 3, suora on joukko {u + kv k R}, missä u R n ja v R n \{0}. Tätä suoran esitystä kutsutaan suoran vektoriesitykseksi. Vektoria u kutsutaan paikkavektoriksi ja vektoria v suuntavektoriksi. Avaruuden R 2 suora voidaan esittää myös muodossa ax 1 + bx 2 + c = 0, missä a, b, c R ja vähintään toinen luvuista a tai b on nollasta eroava. 12 / 220
13 Määritelmä 5 Avaruuden R 3 taso on joukko {u + kv + tw k, t R}, missä u R 3 ja v, w R 3 \{0} ja vektorit v ja w eivät ole yhdensuuntaiset. Vektoria u kutsutaan paikkavektoriksi ja vektoreita v ja w suuntavektoreiksi. Taso avaruudessa R 3 on myös sellaisten pisteiden (x 1, x 2, x 3 ) R 3 joukko, jotka toteuttavat yhtälön ax 1 + bx 2 + cx 3 + d = 0, missä a, b, c, d R ja ainakin yksi luvuista a, b, c on nollasta eroava. Tätä yhtälöä kutsutaan tason skalaariyhtälöksi. 13 / 220
14 Ennakkotehtävät seuraavalle luentokerralle Tehtävä 1 Ratkaise yhtälöparit a) { x1 2x 2 = 1 x 1 + 3x 2 = 3 b) { x1 2x 2 = 1 x 1 + 2x 2 = 3 { x1 2x 2 = 1 c). x 1 + 2x 2 = 1 Tulkitse ratkaisut geometrisesti. Tehtävä 2 Ratkaise yhtälöryhmä x 1 2x 2 + x 3 = 0 2x 2 8x 3 = 8 4x 1 + 5x 2 + 9x 3 = / 220
15 Määritelmä 6 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia. Yhtälön toteuttavaa lukujonoa (x 1, x 2,..., x n ) sanotaan yhtälön ratkaisuksi ja kaikkien ratkaisujen joukkoa sanotaan yhtälön ratkaisujoukoksi. Jos b = 0, yhtälö on homogeeninen ja sillä on aina triviaaliratkaisu x 1 = x 2 = = x n = 0. Esimerkki Ovatko seuraavat yhtälöt lineaarisia? Miksi? a) 3x 1 + (log 3) 3 x 2 = 0 b) x 1 + x 2 = 100x c) e x 1 + sin x 2 + x 2 3 = 4 15 / 220
16 Määritelmä 7 Lineaarinen yhtälöryhmä on muotoa a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. a k1 x 1 + a k2 x a kn x n = b k, missä a ij, b i R, i = 1,..., k, j = 1,... n, ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia. Yhtälöryhmän toteuttavaa lukujonoa (x 1, x 2,..., x n ) sanotaan yhtälöryhmän ratkaisuksi ja kaikkien ratkaisujen joukkoa sanotaan yhtälöryhmän ratkaisujoukoksi. Jos b 1 = b 2 = = b k = 0, yhtälöryhmä on homogeeninen ja sillä on aina triviaaliratkaisu x 1 = x 2 = = x n = / 220
17 Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmä: Se on menetelmä lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemiseksi. Sitä käytetään myöhemmin myös käänteismatriisin määräämisessä. 17 / 220
18 Lineaarinen yhtälöryhmä voidaan ratkaista käyttämällä seuraavia operaatioita: P ij : vaihdetaan yhtälöt i ja j keskenään. M i (c): kerrotaan yhtälö i luvulla c 0. A ij (c): kerrotaan yhtälö i luvulla c R ja lisätään se yhtälöön j, missä i j. Miten operaatiot vaikuttavat yhtälöryhmän ratkaisuihin? 18 / 220
19 Määritelmä 8 Kaksi yhtälöryhmää (merkitään A ja B) ovat ekvivalentit, jos yhtälöryhmä A saadaan yhtälöryhmästä B tekemällä äärellisen määrän rivioperaatioita. Lause 2 Ekvivalenteilla yhtälöryhmillä on samat ratkaisut. 19 / 220
20 Koska rivioperaatiot vaikuttavat vain kertoimiin a ij ja b i, on kätevää kirjoittaa yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. a k1 x 1 + a k2 x a kn x n = b k laajennettuna kerroinmatriisina a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b a k1 a k2 a kn b k Eli jätetään muuttujat (x:t) ja välimerkit (+:t) kirjoittamatta (muistetaan kuitenkin niin paikat), korvataan =-merkit pystysuoralla viivalla ja lisätään sulut. 20 / 220
21 Esimerkki Esimerkki Muodosta yhtälöryhmän a) x 1 2x 2 + x 3 = 0 2x 2 8x 3 = 8 4x 1 + 5x 2 + 9x 3 = 9 b) 2x 1 x 2 = 5 x 1 + x 3 = 5 3x 1 x 2 x 3 = 0 laajennettu kerroinmatriisi. Miten voit ratkaista yhtälöryhmät käyttämällä laajennettua kerroinmatriisia? Etsi yhtälöryhmien ratkaisujoukot. 21 / 220
22 Ratkaisu a) Yhtälöryhmän laajennettu kerroinmatriisi on x 1 2x 2 + x 3 = 0 2x 2 8x 3 = 8 4x 1 + 5x 2 + 9x 3 = / 220
23 Ratkaisu Nyt , A 13(4) A 23(3) A 21 (2) A 32(4) A 31 (7) joten ratkaisu on (x 1, x 2, x 3 ) = (29, 16, 3) R 3 (ei muita ratkaisuja). M 2( 1 2 ) 23 / 220
24 Määritelmä 9 Matriisia kutsutaan redusoiduksi porrasmatriisiksi, jos siinä on pelkät nollarivit ovat alimmaisina, jokaisen rivin ensimmäinen nollasta eroava luku on 1 ja sen ylä- ja alapuolella on pelkkiä nollia, ylemmän rivin ensimmäinen 1 on alemman rivin ensimmäisen 1:sen vasemmalla puolella. 24 / 220
25 Ennakkotehtävä seuraavalle luentokerralle Tehtävä Ovatko seuraavat laajennetut kerroinmatriisit redusoituja porrasmatriiseja? (a) (b) (c) Mitkä ovat laajennettujen kerroinmatriisien esittämien yhtälöryhmien ratkaisut? 25 / 220
26 Redusoidun porrasmatriisin ratkaisujen lukumäärä (1) d d d n x 1 = d 1 x 2 = d 2. x n = d n. eli yksikäsitteinen ratkaisu. (2) Jokin riveistä on 0 0 c, missä c 0. Tällöin saadaan yhtälö 0 = c, mikä on ristiriita, joten yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. (3) Kun tapaukset (1) ja (2) eivät esiinny, niin epätriviaaleja yhtälöitä on vähemmän kuin tuntemattomia ja yhtälöryhmällä on äärettömän monta ratkaisua. 26 / 220
27 Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmä: 1. Kirjoita yhtälöryhmä laajennettuna kerroinmatriisina. 2. Muuta kerroinmatriisi rivioperaatioilla redusoiduksi porrasmatriisiksi. 3. Lue ratkaisu redusoidusta porrasmatriisista kirjoittamalla se takaisin yhtälöryhmäksi. 27 / 220
28 Esimerkki Esimerkki Ratkaise Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmällä yhtälö x 1 + x 2 2x 3 + x 4 + 3x 5 = 1 2x 1 x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 2 3x 1 + 2x 2 4x 3 3x 4 9x 5 = / 220
29 Matriisi Matriisit ja niiden laskutoimitukset 29 / 220
30 Määritelmä 10 Reaaliluvuista a ij, missä i = 1,..., k ja j = 1,..., n, muodostettua kaaviota a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =... a k1 a k2 a kn sanotaan k n matriisiksi. Usein merkitään A = [a ij ]. Lukuja a ij sanotaan matriisin A alkioiksi (a ij on alkio rivillä i ja sarakkeessa j). Toinen merkintä alkiolle a ij on A ij. 30 / 220
31 Matriisit A ja B ovat samat, jos A ij = B ij kaikilla i ja j. Kaikkien k n-matriisien joukkoa merkitään symbolilla M(k, n). Olkoot A, B M(k, n) ja λ R. Tällöin A + B M(k, n) ja λa M(k, n), missä (A + B) ij = A ij + B ij ja (λa) ij = λa ij kaikilla i = 1,..., k ja j = 1,..., n. Huomautus Matriisit voidaan laskea yhteen vain, jos ne ovat samankokoisia. 31 / 220
32 Esimerkki Esimerkki (a) Olkoot Milloin A = B? (b) Olkoot [ ] a + b d A = a b 2c A = [ 3 3 ] Mitä ovat A + B ja 2A? ja B = ja B = [ ] 2 d. 2 1 [ ] / 220
33 Lause 3 Olkoot A, B, C M(k, n) ja λ, µ R. Tällöin (a) A + B = B + A (b) A + (B + C) = (A + B) + C (c) on olemassa nollamatriisi 0 M(k, n), jolle A + 0 = A (d) on olemassa vastamatriisi A M(k, n), jolle A + ( A) = 0 (e) λ(µa) = (λµ)a (f) 1A = A (g) (λ + µ)a = λa + µa (h) λ(a + B) = λa + λb. 33 / 220
34 Merkintä 1 Lyhennysmerkintä summalle: k a i = a 1 + a a k. i=1 Määritelmä 11 Olkoot A M(k, n) ja B M(n, l). Matriisien A ja B tulo on matriisi AB M(k, l), missä (AB) ij = n A ip B pj = A i1 B 1j + A i2 B 2j + + A in B nj p=1 kaikilla i = 1,..., k ja j = 1,..., l. 34 / 220
35 Matriisien tulo Tulomatriisin AB alkio (AB) ij saadaan siis kertomalla A:n i:nen rivin alkiot A i1, A i2,..., A in vastaavilla B:n j:nnen sarakkeen alkioilla B 1j, B 2j,..., B nj ja laskemalla näin saadut tulot yhteen. Eli A 11 A 12 A 1n B 11 B 1j B... 1l AB = A i1 A i2 A in B 21 B 2j B 2l B n1 B nj B nl A k1 A k2 A kn (AB) 11 (AB) 1j (AB) 1l... = (AB) i1 (AB) ij (AB) il,... (AB) k1 (AB) kj (AB) kl missä (AB) ij = A i1 B 1j + A i2 B 2j + + A in B nj kaikilla i = 1,..., k ja j = 1,..., l. 35 / 220
36 Esimerkki Esimerkki Olkoot A = 0 3 B = 7 1 ja C = Laske AC ja CB. [ 0 1 ] / 220
37 Ennakkotehtävät seuraavalle luentokerralle 1 Onko matriisien tulo AB määritelty aina kun tulo BA on määritelty? Jos ei, niin anna esimerkki. 2 Onko AB = BA aina kun matriisitulot ovat määritelty? Jos ei, niin anna esimerkki. 3 Onko mahdollista, että AB = 0, vaikka A 0 ja B 0? Jos on, niin anna esimerkki. 37 / 220
38 [ A = ] M(2, 3), B = M(3, 4) Matriisin A sarakkeiden lukumäärä = matriisin B rivien lukumäärä 38 / 220
39 [ AB = ] ( 1) = = [ 27 ] 39 / 220
40 [ AB = ] = [ = 26 (2 3)-matriisi * (3 4)-matriisi (2 4)-matriisi. Laske tulo AB. ] 40 / 220
41 Lause 4 Olkoot A, B ja C matriiseja ja λ R. Tällöin (a) A(B + C) = AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) = (AB)C, (d) (λa)b = A(λB) = λ(ab), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on hyvin määritelty. 41 / 220
42 Miten vektorit ja matriisit liittyvät toisiinsa? 42 / 220
43 Tulkitaan R n :n vektorit n 1-matriiseiksi eli pystyvektoreiksi x 1 x 2 x =.. x n Tämä tulkinta ei muuta vektorien yhteenlaskua eikä reaaliluvulla λ kertomista, ts. x 1 + y 1 λx 1 x 2 + y 2 λx 2 x + y = ja λx =... x n + y n λx n 43 / 220
44 Miten lineaarinen yhtälöryhmä voidaan kirjoittaa vektoreiden ja matriisien avulla? 44 / 220
45 Tällöin lineaarinen yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. a k1 x 1 + a k2 x a kn x n = b k, voidaan kirjoittaa muodossa Ax = b, missä x a 11 a 1 b 1 1n x 2 A =.., x =. ja b = b 2.. a k1 a kn x n b n Matriisi A on yhtälöryhmän kerroinmatriisi ja b on vakiovektori. 45 / 220
46 Esimerkki Esimerkki Määrää yhtälöryhmän 2x 1 + 3x 2 + 5x 3 = 10 x 1 3x 3 = 2 5x 2 3x 3 = 2, kerroinmatriisi ja vakiovektori. 46 / 220
47 Lause 5 Olkoon A M(k, n). Seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä, toisin sanoen (a) (b) (c): (a) Homogeeniyhtälöllä Ax = 0 on vain triviaaliratkaisu x = 0. (b) Kaikilla b R k yhtälöllä Ax = b on korkeintaan yksi ratkaisu. (c) Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmä yhtälöryhmälle Ax = b johtaa tilanteeseen J O T A.. I N 47 / 220
48 Todistus Todistus. (b) (c): Katso kappale 3.1. (a) (b): Antiteesi: On olemassa b R k ja x, y R n, x y, joille Ax = b = Ay. Tällöin Lauseen 4 perusteella 0 = b b = Ax Ay = Ax + A( y) = A(x y), joten z = x y 0 on homogeeniyhtälön Ax = 0 ratkaisu. Tämä on ristiriita, joten antiteesi on väärä. (b) (a): Koska yhtälöllä Ax = b on korkeintaan yksi ratkaisu kaikilla b R k, niin yhtälöllä Ax = 0 ei voi olla enempää kuin yksi ratkaisu. Koska homogeeniyhtälöllä on aina triviaaliratkaisu x = 0, niin kohta (a) pätee. Nyt kaikki väitteet on todistettu. 48 / 220
49 Lause 6 Olkoon A M(k, n). Seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä: (a) Kaikilla b R k yhtälöllä Ax = b on ainakin yksi ratkaisu. (b) Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmässä tapaus (2) (eli rivi 0 0 c, missä c 0) ei esiinny. 49 / 220
50 Ennakkotehtävä seuraavalle luentokerralle Ennakkotehtävä [ ] 1 3 Olkoot A = ja B = 1 4 [ ] a) Laske matriisien tulo BA. [ ] x1 b) Laske matriisen tulo (BA)x, kun x =. x 2 [ ] 1 c) Laske matriisien tulo Bb, missä b =. 3 d) Mitä voit aikaisempien kohtien perusteella sanoa yhtälön { x 1 + 3x 2 = 1 Ax = b x 1 + 4x 2 = 3 ratkaisusta? 50 / 220
51 Miten lineaarinen yhtälöryhmä voidaan ratkaista matriisien avulla? 51 / 220
52 Määritelmä 12 Matriisi A on neliömatriisi, jos A M(n, n) jollakin n N. Neliömatriisi A = [a ij ] on diagonaalimatriisi, jos a ij = 0 kaikilla i j. Diagonaalimatriisi I = [δ ij ] = M(n, n) on yksikkömatriisi eli identtinen matriisi. Tässä { 1, i = j δ ij = 0, i j. 52 / 220
53 Lause 7 Olkoon A M(n, n). Tällöin IA = AI = A. Määritelmä 13 Neliömatriisi A M(n, n) on kääntyvä, jos on olemassa B M(n, n), jolle AB = BA = I. Tällöin B on A:n käänteismatriisi ja sitä merkitään B = A / 220
54 Esimerkki Esimerkki Onko matriisi B = [ ] 6 2 kääntyvä? / 220
55 Käänteismatriisi Kun matriisia kerrotaan käänteismatriisilla, saadaan ykkösalkio (yksikkömatriisi) Jokaisella matriisilla ei ole käänteismatriisia Ensimmäinen ehto on, että matriisissa täytyy olla yhtä monta riviä ja saraketta Edes jokaisella n n-matriisilla ei ole käänteismatriisia Tarvitaan menetelmiä käänteismatriisin ja sen olemassaolon määräämiseksi 55 / 220
56 Lause 8 (a) Jos neliömatriisilla A on käänteismatriisi, niin se on yksikäsitteinen. Erityisesti (A 1 ) 1 = A. (b) Jos A, B M(n, n) ovat kääntyviä, niin AB on kääntyvä ja (AB) 1 = B 1 A / 220
57 Todistus Todistus. (a) Olkoot B ja C matriisin A käänteismatriiseja. Tällöin B L.7 = BI = B(AC) L.4 = (BA)C = IC L.7 = C. Siis B = C eli käänteismatriisi on yksikäsitteinen. Koska A 1 A = I = AA 1, on A = (A 1 ) 1. (b) Nyt B 1 A 1 M(n, n) ja (AB)(B 1 A 1 ) L.4 = A(BB 1 )A 1 = AIA 1 L.4 = AA 1 = I ja (B 1 A 1 )(AB) = B 1 (A 1 A)B = B 1 IB = B 1 B = I. Siis (AB) 1 = B 1 A / 220
58 Lause 9 Olkoon A M(n, n) kääntyvä. Tällöin kaikilla b R n yhtälöllä Ax = b on yksikäsitteinen ratkaisu x = A 1 b. 58 / 220
59 Todistus Todistus. Olkoon b R n mielivaltainen. Ensin osoitetaan, että ratkaisu on olemassa. Vektori A 1 b on yhtälön Ax = b ratkaisu, sillä sijoittamalla se muuttujan x paikalle saadaan Ax = A(A 1 b) = (AA 1 )b = Ib = b. Vielä täytyy osoittaa, että ratkaisu on yksikäsitteinen. Oletetaan, että y R n on mikä tahansa yhtälön Ay = b ratkaisu ja osoitetaan, että y = A 1 b. Kertomalla yhtälöä Ay = b puolittain käänteismatriisilla A 1 saadaan A 1 (Ay) = A 1 b (A 1 A)y = A 1 b Iy = A 1 b, joten y = A 1 b. 59 / 220
60 Lause 10 (Työnpuolituslause) Olkoot A, B M(n, n). Jos AB = I tai BA = I, niin A ja B ovat kääntyviä sekä A = B 1 ja B = A / 220
61 Miten selvittää, onko matriisi kääntyvä? Miten käänteismatriisi voidaan määrätä? 61 / 220
62 Määritelmä 14 Alkeismatriisi on sellainen matriisi, joka on saatu yksikkömatriisista I yhdellä rivioperaatiolla. Rivioperaatioita olivat P ij : vaihdetaan yhtälöt i ja j keskenään. M i (c): kerrotaan yhtälö i luvulla c 0. A ij (c): kerrotaan yhtälö i luvulla c R ja lisätään se yhtälöön j, missä i j. 62 / 220
63 Esimerkki Esimerkki Olkoot E 1 = 0 1 0, E 2 = 0 1 0, E 3 = 0 1 0, a b c A = d e f. g h i Millä rivioperaatioilla alkeismatriisit E 1, E 2 ja E 3 on saatu (Selvitä mitä ovat E 1 A, E 2 A ja E 3 A?) 63 / 220
64 Lause 11 Olkoon A M(m, n) ja olkoon E M(m, m) tietyllä rivioperaatiolla saatu alkeismatriisi. Tällöin tulo EA tuottaa saman matriisin kuin saman rivioperaation tekeminen matriisiin A. Todistus. Olkoon A 1 A n. A i A =., A j. missä A i on matriisin A i:s rivi ja A j on j:s rivi. 64 / 220
65 Olkoon E 1 matriisi, joka on saatu vaihtamalla rivit i ja j keskenään yksikkömatriisissa eli e 1. e j E 1 =., e i. missä e i = [ ] ja 1 on i:nnessä sarakkeessa. e n 65 / 220
66 Tällöin E 1 A = e 1 A. e j A. e i A. e n A = A 1. A j. A i. A n. Sama matriisi saadaan soveltamalla rivioperaatio P ij matriisiin A, joten väite pätee operaatiolle P ij. Muut kohdat vastaavasti. 66 / 220
67 Ennakkotehtävä seuraavalle luentokerralle Määritelmä 16 Olkoon A M(k, n). Matriisin A transpoosi on A T M(n, k), missä (A T ) ij = A ji kaikilla i = 1,..., n ja j = 1,..., k. Huomautus Transpoosin rivit ovat alkuperäisen matriisin sarakkeita ja transpoosin sarakkeet ovat alkuperäisen matriisin rivejä. Ennakkotehtävä Määrää matriisin (a) A = [ ] (b) A = transpoosi A T. 67 / 220
68 Lause 12 Jokaisella alkeismatriisilla on olemassa käänteismatriisi ja käänteismatriisi on myös alkeismatriisi. Todistus. Olkoon E alkeismatriisi ja olkoon F käänteisellä rivioperaatiolla saatu alkeismatriisi. Lauseen 11 nojalla matriiseilla E ja F kertominen kumoavat toisensa eli Siten E 1 = F. EF = I ja FE = I. 68 / 220
69 Määritelmä 15 Matriisi A on riviekvivalentti matriisin B kanssa, jos B saadaan matriisista A rivioperaatioilla. Lause 13 Olkoon A M(n, n). Tällöin seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä: (a) Matriisi A on kääntyvä. (b) Yhtälöllä Ax = b on täsmälleen yksi ratkaisu kaikilla b R n. (c) Homogeeniyhtälöllä Ax = 0 on vain triviaaliratkaisu x = 0. (d) Matriisi A on riviekvivalentti yksikkömatriisin I M(n, n) kanssa (eli Gaussin ja Jordanin menetelmä muuttaa A:n identtiseksi matriisiksi). (e) Matriisi A on alkeismatriisien tulo. 69 / 220
70 Todistus Todistus Osoitetaan, että (a) (b) (c) (d) (e) (a). (a) (b): Väite pätee Lauseen 9 nojalla. (b) (c): Koska yhtälöllä Ax = b on täsmälleen yksi ratkaisu kaikilla b R n, niin myös yhtälöllä Ax = 0 on täsmälleen yksi ratkaisu. Koska homogeeniyhtälöllä Ax = 0 on aina triviaaliratkaisu x = 0, sen täytyy olla ainoa ratkaisu. 70 / 220
71 Todistus Todistus (c) (d): Oletetaan, että homogeeniyhtälöllä Ax = 0 on vain triviaaliratkaisu. Kun merkitään a 11 a 12 a 1n x 1 a 21 a 22 a 2n A =... ja x = x 2., a n1 a n2 a nn x n niin yhtälöä Ax = 0 vastaava yhtälöryhmä on a 11 x 1 +a 12 x a 1n x n =0 a 21 x 1 +a 22 x a 2n x n =0. a n1 x 1 +a n2 x a nn x n =0. 71 / 220
72 Todistus Todistus Koska yhtälöllä Ax = 0 on täsmälleen yksi ratkaisu x = 0, niin Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmän täytyy johtaa tilanteeseen x 1 = 0 x 2 = 0. x n =0. Tämä tarkoittaa sitä, että matriisi A muuttuu rivioperaatioilla yksikkömatriisiksi I eli A on riviekvivalentti yksikkömatriisin kanssa. 72 / 220
73 Todistus Todistus (d) (e): Oletetaan, että matriisi A on riviekvivalentti yksikkömatriisin I n kanssa. Tällöin Lauseen 11 nojalla on olemassa sellaiset alkeismatriisit E 1,..., E k, että E 1 E k A = I. Koska alkeismatriisit ovat kääntyviä, niin yhtälöä voidaan kertoa vasemmalta puolittain matriisilla E1 1 ja saadaan E 2 E k A = E Seuraavaksi kerrotaan matriisilla E2, jolloin E 3 E k A = E2 1 E 1 1. Jatketaan, kunnes viimeisenä kerrotaan matriisilla E 1 k ja on saatu yhtälö A = E 1 k E2 1 E 1 1. Koska alkeismatriisien käänteismatriisit ovat alkeismatriiseja, kohta (e) pätee. 73 / 220
74 Todistus Todistus. (e) (a): Oletetaan, että A = E 1 E 2 E k, missä E 1,..., E k ovat alkeismatriiseja. Matriisi B = E 1 k E2 1 E 1 1. on matriisin A käänteismatriisi, koska Siten A on kääntyvä. AB = (E 1 E 2 E k )(E 1 k E2 1 = E 1 E 2 (E k E 1 k ) E 1 1 ) 2 E 1 1 = E 1 E 2 E k 1 IE 1 k 1 E 2 1 E 1 1 = E 1 E 2 (E k 1 E 1 k 1 ) E 2 1 E 1 1 = E 1 E1 1 = I. 74 / 220
75 Huomautus Jos matriisi ei ole kääntyvä, niin Lauseen 13 nojalla se ei ole riviekvivalentti yksikkömatriisin I kanssa. Tämä tarkoittaa sitä, että matriisin redusoidussa porrasmatriisissa on vähintään yksi nollarivi. 75 / 220
76 Mitä on saatu? Jokaista rivioperaatiota vastaa jokin alkeismatriisi E. Matriisi A M(n, n) on kääntyvä jos ja vain jos se on riviekvivalentti identiteettimatriisin kanssa. Siis A M(n, n) on kääntyvä jos ja vain jos E k E 2 E 1 A = I, joillakin alkeismatriiseilla E 1, E 2,..., E k M(n, n). Siis jos matriisi A on kääntyvä, A 1 = E k E 2 E 1 = E k E 2 E 1 I Kysymys: Miten saadaan käänteismatriisi selville? 76 / 220
77 Gaussin ja Jordanin algoritmi käänteismatriisin määräämiseksi. Matriisin A M(n, n) kääntyvyys voidaan testata ja A 1 voidaan etsiä Gaussin ja Jordanin menetelmällä seuraavasti: (1) Tarkastellaan laajennettua kerroinmatriisia [ A I ]. (2) Sovelletaan Gaussin ja Jordanin menetelmää. (3) Jos A muuttuu I :ksi, on viivan oikealla puolella A 1 eli [ I A 1 ]. Jos A ei muutu I :ksi, A ei ole kääntyvä. 77 / 220
78 Esimerkki Esimerkki (a) Laske matriisin A = käänteismatriisi [ ] 1 2 (b) Laske matriisin A = käänteismatriisi / 220
79 Määritelmä 16 Olkoon A M(k, n). Matriisin A transpoosi on A T M(n, k), missä (A T ) ij = A ji kaikilla i = 1,..., n ja j = 1,..., k. Huomautus Transpoosin rivit ovat alkuperäisen matriisin sarakkeita ja transpoosin sarakkeet ovat alkuperäisen matriisin rivejä. Esimerkki Määrää matriisin (a) A = [ ] (b) A = transpoosi A T. 79 / 220
80 Lause 14 Olkoot A, B M(k, n), C M(n, l) ja λ R. Tällöin (a) (A T ) T = A. (b) (A + B) T = A T + B T. (c) (λa) T = λa T. (d) (AC) T = C T A T. Lause 15 Olkoon A M(n, n) kääntyvä. Tällöin A T on kääntyvä ja (A T ) 1 = (A 1 ) T. 80 / 220
81 Ennakkotehtävä seuraavalle luentokerralle Ennakkotehtävä Milloin matriisi [ ] a b A = c d on kääntyvä? Määrää tällöin matriisin A käänteismatriisi. 81 / 220
82 Seuraavaksi tutustutaan determinanttiin. Determinantti on reaaliluku, joka on määritelty neliömatriiseille. Determinantin avulla voidaan esimerkiksi selvittää, onko matriisi kääntyvä. Determinanttia voidaan käyttää käänteismatriisin määräämisessä ja siten lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemisessa. 82 / 220
83 Geometrista tulkintaa (ei määritelmä!) Matriisin A M(n, n) determinantin itseisarvo, merkitään det A, on A:n sarakevektoreiden virittämän n-ulotteisen suuntaissärmiön tilavuus. Erityisesti, 1-ulotteisen suuntaissärmiön eli janan pituus on det a = a. 2-ulotteisen [ ] [ suuntaissärmiön ] (suunnikas) eli sarakevektoreiden a11 a12 ja määräämän suunnikkaan ala on a 21 a 22 a 11 a 22 a 12 a 21 ja det A = a 11 a 22 a 12 a 21, [ ] a11 a missä A = 12 (ks. luentomoniste esim. 21). a 21 a / 220
84 Määritelmä 17 Matriisin A M(n, n) ij:s alimatriisi A ij M(n 1, n 1) saadaan poistamalla A:sta i:s rivi ja j:s sarake. Neliömatriisin A M(n, n) determinantti on luku det A = n ( 1) 1+j A 1j det A 1j, j=1 missä det[a] = a. 84 / 220
85 Esimerkki Laske det A, kun [ ] a11 a (a) A = 12 a 21 a 22 a a 22 0 (b) A = a nn c) A = / 220
86 Lause 16 Neliömatriisin A determinantille pätee (a) kehittämissääntö i:nnen rivin suhteen n det A = ( 1) i+k a ik det A ik, k=1 (b) kehittämissääntö j:nnen sarakkeen suhteen n det A = ( 1) k+j a kj det A kj. k=1 86 / 220
87 Esimerkki Minkä rivin/sarakkeen suhteen kehittäisit seuraavien matriisien determinantit: A = 1 0 3, B = , C = 0 0 0? / 220
88 Esimerkki Olkoon A = Laske det A kehittämällä se 3. sarakkeen suhteen. 88 / 220
89 Lause 17 Olkoon A M(n, n). Tällöin seuraavat ominaisuudet pätevät: (a) Olkoon B matriisi, joka on saatu kertomalla jokin A:n rivi/sarake luvulla λ R. Tällöin det B = λ det A. (b) Jos jokin A:n rivi/sarake on nolla, niin det A = 0. (c) Olkoon A = [S 1 S n ], missä S j on A:n j:s sarake. Jos S j = V 1 + V 2 jollekin j, niin det A = det[s 1 V 1 + V 2 S n ] = det[s 1 V 1 S n ] + det[s 1 V 2 S n ]. 89 / 220
90 Lause (jatkuu..) R 1 R n Vastaavasti olkoon A =., missä R i on A:n i:s rivi. Jos R i = W 1 + W 2 jollekin i, niin R 1. det A = det W 1 + W 2 = det. R n R 1. W 1. R n + det R 1. W 2. R n. 90 / 220
91 Lause (jatkuu..) (d) Jos A:ssa on kaksi samaa riviä/saraketta, niin det A = 0. (e) Jos matriisi B saadaan A:sta vaihtamalla kaksi riviä/saraketta keskenään, niin det B = det A. (f) Jos B saadaan A:sta lisäämällä riviin/sarakkeeseen i rivi/sarake j i, kerrottuna luvulla λ R, niin det B = det A. 91 / 220
92 Todistus (a) Todistetaan rivivaihtoehto. Sarakevaihtoehto samoin. Oletetaan, että B on saatu kertomalla A:n i:s rivi luvulla λ. Tällöin kehittämällä i:nen rivin suhteen saadaan det B = = λ n ( 1) i+k B ik det B ik = k=1 n ( 1) i+k λa ik det A ik k=1 n ( 1) i+k A ik det A ik = λ det A. k=1 (b) Seuraa (a)-kohdasta valitsemalla λ = / 220
93 Todistus (c) Todistetaan saraketapaus. Rivitapaus todistetaan vastaavasti. Todistetaan väite induktiolla n:n suhteen. Kun n = 1, on det[a + b] = a + b = det[a] + det[b], joten väite pätee. Tehdään induktio-oletus, että väite pätee n n-matriiseille. Osoitetaan, että se pätee tällöin myös (n + 1) (n + 1)-matriiseille. Olkoot A = [ S 1 V 1 + V 2 S n+1], B = [ S 1 V 1 S n+1] ja C = [ S 1 V 2 S n+1], missä V 1 ja V 2 ovat j:nnessä sarakkeessa. 93 / 220
94 Todistus Tällöin n+1 det A = ( 1) 1+k A 1k det A 1k k=1 j 1 = ( 1) 1+k A 1k det A 1k + ( 1) 1+j (V1 1 + V1 2 ) det A 1j = k=1 n+1 + k=j+1 n+1 k=1,k j ( 1) 1+k A 1k det A 1k ( 1) 1+k A 1k (det B 1k + det C 1k ) + ( 1) 1+j V 1 1 det B 1j + ( 1) 1+j V 2 1 det C 1j 94 / 220
95 Todistus n+1 n+1 = ( 1) 1+k B 1k det B 1k + ( 1) 1+k C 1k det C 1k k=1 k=1 = det B + det C. 95 / 220
96 Todistus (d) Tarkastellaan n n, n 2, matriisia, jossa on kaksi samaa riviä. Todistetaan väite induktiolla luvun n suhteen. Perusaskel: Kun n = 2, niin [ ] a b A =, a b joten det A = a b a b = 0. Induktioaskel: Induktio oletus: Väite pätee k k, k 2, matriisille. Induktioväite: Väite pätee (k + 1) (k + 1) matriisille. Induktioväitteen todistus: Olkoon A (k + 1) (k + 1), k 2, matriisi, jossa rivit R i ja R j ovat samat. Tällöin on olemassa sellainen kokonaisluku m, että m i, m j ja 1 m k + 1. Kehitetään matriisin A determinantti rivin m suhteen. 96 / 220
97 Todistus Nyt k+1 det A = ( 1) m+p A mp det A mp. p=1 Jokaisessa matriisissa A mp on kaksi samaa riviä ja matriisit A mp ovat k k matriiseja. Näin induktio oletuksen nojalla det A mp = 0 kaikilla p = 1,..., k + 1, joten k+1 k+1 det A = ( 1) m+p A mp det A mp = ( 1) m+p A mp 0 = 0. p=1 p=1 Perusaskeleesta ja Induktioaskeleesta seuraa induktioperiaatteen nojalla, että alkuperäinen väite on tosi. 97 / 220
98 Todistus (e) Olkoot A = R 1. R i. R j. R n ja B = R 1. R j. R i. R n. Määritellään C = R 1. R i + R j. R i + R j. R n. 98 / 220
99 Todistus Nyt (d)-kohdan perusteella det C = 0. Lisäksi (c)-kohdan nojalla 0 = det C = det R 1. R i. R i + R j. R n + det R 1. R j. R i + R j. R n 99 / 220
100 Todistus = det R 1. R i. R i. R n + det R 1. R i. R j. R n + det R 1. R j. R i. R n + det R 1. R j. R j. R n = det A + det B. Siis det B = det A. 100 / 220
101 Merkintä 2 Merkintä A S ij (c) tarkoittaa, että i:s sarake kerrotaan luvulla c ja lisätään sarakkeeseen j ja A R ij (c) tarkoittaa vastaavaa rivioperaatiota. 101 / 220
102 Esimerkki (a) Olkoon A = Laske det A [ ] [ ] a b 5d b 5c a (b) Olkoon det = 2. Laske det. c d 2d 2c 102 / 220
103 Ennakkotehtävä seuraavalle luentokerralle Lause 18 Matriisi A M(n, n) on kääntyvä jos ja vain jos det A 0. Ennakkotehtävä Onko matriisi A = kääntyvä? / 220
104 Nyt osaamme laskea neliömatriiseille käänteismatriisin (jos se on olemassa) Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmällä ja determinantin. Määrittelimme myös matriisin transpoosin, joka voidaan määrätä kaikenkokoisille matriiseille. Osoitetaan, että matriisin kääntyvyys voidaan selvittää laskemalla sen determinantti. 104 / 220
105 Esimerkki (a) Matriisi A = [a] M(1, 1) on kääntyvä jos ja vain jos det A = a 0. [ ] a11 a (b) Matriisi A = 12 M(2, 2) on kääntyvä ja a 21 a [ 22 ] A 1 = 1 a22 a 12 det A jos ja vain jos det A 0. a 21 a / 220
106 Lause 18 Matriisi A M(n, n) on kääntyvä jos ja vain jos det A / 220
107 Todistus. : Oletetaan, että A on kääntyvä. Tällöin A on riviekvivalentti yksikkömatriisin I kanssa eli A muuttuu Gaussin ja Jordanin menetelmällä matriisiksi I. Lauseen 17 nojalla operaatio P ij vaihtaa determinantin merkin, operaatio M i (c) kertoo determinantin c:llä (c 0) ja A R ij (c) ei muuta determinanttia. Siten det A = c det I = c jollakin c 0, joten det A 0. : Oletetaan, että A ei ole kääntyvä. Tällöin A muuttuu Gaussin ja Jordanin menetelmällä matriisiksi B, jossa on nollarivi. Siten Lauseen 17 nojalla det A = c det B = / 220
108 Lause 19 Olkoot A, B M(n, n). Tällöin (a) det(ab) = det A det B, (b) det(a T ) = det A, (c) jos A on kääntyvä, niin det(a 1 ) = 1 det A. 108 / 220
109 Todistus. (c) Koska 1 = det I = det(aa 1 ) (a) = det A det(a 1 ), niin det(a 1 ) = 1 det A. 109 / 220
110 Määritelmä 18 Olkoon A M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cofa M(n, n), missä kaikilla i, j = 1,..., n. Huomautus (cofa) ij = ( 1) i+j det A ij Olkoon A M(n, n). Tällöin kaikilla i = 1,..., n det A = n ( 1) i+k A ik det A ik = k=1 n A ik (cofa) ik. k=1 110 / 220
111 Esimerkki Määrää matriisin A = liittomatriisi / 220
112 Lause 20 Olkoon A M(n, n). Tällöin A(cofA) T = det A I. Erityisesti, jos A on kääntyvä, niin A 1 = 1 det A (cofa)t. 112 / 220
113 Todistus Olkoot i, j {1,..., n}. Määritellään B M(n, n) seuraavasti: B = A paitsi B:n j:s rivi on sama kuin A:n i:s rivi. Tällöin det B = n B jk (cofb) jk = k=1 = ( A(cofA) T ) ij. n A ik (cofa) jk = k=1 n ( A ik (cofa) T ) kj k=1 Jos i = j, niin B = A, joten det B = det A. Jos i j, niin B:ssä on kaksi samaa riviä, joten det B = 0. Siis ( A(cofA) T ) ij = { det A, jos i = j 0, jos i j eli A(cofA) T = det A I. 113 / 220
114 Todistus. Jos A on kääntyvä, niin det A 0, joten A 1 det A (cofa)t = I eli A 1 = 1 det A (cofa)t. 114 / 220
115 Esimerkki Jos matriisi A = on kääntyvä, määrää A / 220
116 Lause 21 (Cramerin sääntö) Olkoon A M(n, n) kääntyvä. Tällöin yhtälöryhmän Ax = b yksikäsitteinen ratkaisu on det C(1) x 1 = x 2 =. x n = det A det C(2) det A det C(n) det A, missä A 11 b 1 A 1n A 21 b 2 A 2n C(i) = M(n, n) kaikilla i = 1,..., n.. A n1 b n A nn i:s sarake 116 / 220
117 Todistus. Lauseen 20 perusteella A 1 = 1 det A (cofa)t. Siten Lauseen 9 nojalla yhtälön Ax = b yksikäsitteinen ratkaisu on Nyt x = A 1 b = 1 det A (cofa)t b. x i = 1 det A = 1 det A n k=1 ( (cofa) T ) ik b k = 1 det A n ( 1) k+i b k det A ki = k=1 n b k (cofa) ki k=1 det C(i) det A kaikilla i = 1,..., n. 117 / 220
118 Esimerkki Ratkaise yhtälöryhmä x 1 + x 2 + 3x 3 = 9 2x 1 + 4x 2 3x 3 = 1 3x 1 + 6x 2 5x 3 = / 220
119 Kurssin alussa ratkaisimme lineaaristen yhtälöiden a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b muodostamia yhtälöryhmiä Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmällä. Sen jäälkeen yhtälöryhmä kirjoitettiin matriisien avulla muodossa Ax = b. Jos matriisi A on kääntyvä, niin matriisiyhtälöllä on yksikäsitteinen ratkaisu ja se voidaan ratkaista joko käänteismatriisi määräämällä, jolloin x = A 1 Ax = A 1 b, tai Cramerin säännön avulla. Erityisesti, jos n = 2, niin etsitään suorien leikkauspisteitä ja jos n = 3, etsitään tasojen leikkauspisteitä. 119 / 220
120 Ennakkotehtävä seuraavalle luentokerralle Ennakkotehtävä Esitä seuraavat vektorijoukot mahdollisimman yksinkertaisessa ( turhat vektorit pois) muodossa: (a) {λ 1 (2, 4) + λ 2 (4, 6) λ 1, λ 2 R} R 2 (b) {λ 1 (1, 3, 1) + λ 2 (1, 1, 1) + λ 3 (2, 6, 2) λ 1, λ 2, λ 3 R} R / 220
121 Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen kuvan muodostaa joukko {λ 1 v 1 + λ 2 v 2 λ 1, λ 2 R, v 1, v 2 R 3 }? Seuraavaksi tarkastellaan vektoreiden v 1,..., v k R n määräämää lineaarista verhoa {λ 1 v 1 + λ 2 v λ k v k λ 1,..., λ k R}. Jos on olemassa kertoimet λ 1,..., λ k R niin, että x = λ 1 v 1 + λ 2 v λ k v k, niin x on vektoreiden v 1,..., v k R n lineaarikombinaatio. 121 / 220
122 Vektoreiden v 1,..., v k R n määräämä lineaarinen verho on {λ 1 v 1 + λ 2 v λ k v k λ 1,..., λ k R}. (1) Loppukurssin yksi tärkeimmistä tavoitteista on löytää pienin mahdollinen vektorijoukko v 1,..., v l R n (kanta), joka riittää määräämään joukon (1).Esimerkiksi, jos v 1 ja v 2 ovat samansuuntaiset eli v 2 = tv 1, t R ja v 1, v 2 R 3, niin {λ 1 v 1 + λ 2 v 2 λ 1, λ 2 R} = {(λ 1 + tλ 2 )v 1 λ 1, λ 2, t R} = {λv 1 λ R} ja vektori v 1 riittää määräämään tämän joukon. Nyt vektorit v 1 ja v 2 ovat lineaarisesti riippuvat (koska v 2 = tv 1 eli v 2 tv 1 = 0). Jos v 1 ja v 2 ovat erisuuntaiset, ne ovat lineaarisesti riippumattomat. 122 / 220
123 Määritelmä 19 Vektori x R n on vektorien v 1,..., v k R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset λ 1,..., λ k R, että x = k λ i v i. i=1 Merkintä 4 i:s Merkitään e i = (0,..., 0, 1, 0,..., 0) R n, i = 1,..., n. Vektoreita e 1, e 2,..., e n kutsutaan R n :n luonnollisiksi kantavektoreiksi. 123 / 220
124 Esimerkki (a) Kirjoita vektori (5, 1, 7) R 3 luonnollisten kantavektorien e 1, e 2, e 3 R 3 lineaarikombinaationa. (b) Olkoot x = ( 4, 1, 6), v 1 = (1, 2, 0), v 2 = (3, 0, 4) ja v 3 = (2, 1, 2). Onko x vektorien v 1, v 2 ja v 3 lineaarikombinaatio? 124 / 220
125 Määritelmä 20 Vektorit v 1,..., v k R n ovat lineaarisesti riippuvia, jos on olemassa sellaiset λ 1,..., λ k R, että λ i 0 jollekin i = 1,..., k ja k i=1 λ iv i = 0. Muutoin vektorit v 1,..., v k ovat lineaarisesti riippumattomia, toisin sanoen ehdosta k i=1 λ iv i = 0 seuraa, että λ 1 = = λ k = / 220
126 Annettujen vektoreiden v 1,..., v k R n lineaarisen riippuvuuden/riippumattomuuden tutkiminen: Ratkaise λ 1,..., λ k R vektoriyhtälöstä λ 1 v 1 + λ 2 v λ k v k = 0. (2) Jos ainoa ratkaisu on λ 1 = = λ k = 0, vektorit ovat lineaarisesti riippumattomat. Muutoin ne ovat lineaarisesti riippuvat, eli tällöin on olemassa vähintään yksi λ i 0, i {1,..., k}, niin, että (2) pätee. Joskus lineaarinen riippuvuus nähdään helposti: Vektorit v 1 = (1, 0), v 2 = (1, 2) ja v 3 = (3, 4) ovat lineaarisesti riippuvia, koska ( 1)v 1 + ( 2)v 2 + 1v 3 = (1, 0) 2(1, 2) + (3, 4) = (0, 0). 126 / 220
127 Huomautus Lineaarisesti riippuvien vektorien monikerroista voidaan muodostaa suljettu silmukka. Sanotaan, että joukko {v 1,..., v k } on lineaarisesti riippuva/riippumaton, jos vektorit v 1,..., v k ovat lineaarisesti riippuvia/riippumattomia. 127 / 220
128 Esimerkki 32 (a) Vektorit v 1 = (1, 2, 0), v 2 = (3, 0, 4) ja v 3 = (2, 1, 2) ovat lineaarisesti riippuvia, sillä 1 v v 2 2 v 3 = (1, 2, 0) + (3, 0, 4) (4, 2, 4) = (0, 0, 0) = 0. (b) Joukko {(1, 0, 0), (0, 0, 1)} R 3 on lineaarisesti riippumaton, sillä ehdosta λ 1 (1, 0, 0) + λ 2 (0, 0, 1) = (0, 0, 0), seuraa, että (λ 1, 0, λ 2 ) = (0, 0, 0) eli λ 1 = 0 = λ / 220
129 Esimerkki 32 (c) Olkoot v 1,..., v k R n. Jos v i = 0 jollakin i = 1,..., k, niin vektorit v 1,..., v k ovat lineaarisesti riippuvia. Todistus. Oletetaan, että v i = 0. Valitaan λ j = 0 kaikilla j i ja λ i = 1. Tällöin k λ j v j = 0 v v i v i + 0 v i v k j=1 = = 0 ja λ i 0. Koska riittää, että vähintään yksi λ i on nollasta eroava, vektorit v 1,..., v k R n ovat lineaarisesti riippuvia. 129 / 220
130 Esimerkki 32 (d) Olkoon V = {v} R n. Tällöin V on lineaarisesti riippumaton täsmälleen silloin, kun v 0. Todistus. : Jos v = 0, niin (c)-kohdan perusteella V on lineaarisesti riippuva. : Jos v 0, niin λv = 0 vain, jos λ = 0, joten V on lineaarisesti riippumaton. 130 / 220
131 Esimerkki 32 (e) Jos vektorit v 1,..., v k R n ovat lineaarisesti riippuvia, niin vektorit v 1,..., v k, v R n ovat lineaarisesti riippuvia olipa v R n mikä tahansa. (f) Lineaarisesti riippumattoman joukon jokainen epätyhjä osajoukko on lineaarisesti riippumaton. 131 / 220
132 Esimerkki Ovatko vektorit (2, 1, 1), (3, 4, 2) ja (5, 10, 8) lineaarisesti riippumattomia? 132 / 220
133 Lause 22 Olkoon äärellisessä joukossa V R n vähintään kaksi alkiota. Tällöin V on lineaarisesti riippuva täsmälleen silloin, kun jokin V :n alkio v on joidenkin joukon V \{v} alkioiden lineaarikombinaatio. Huomautus Edellinen lause ei väitä, että jokainen vektori lineaarisesti riippuvassa joukossa voidaan esittää muiden vektoreiden lineaarikombinaationa. Lineaarisesti riippuvassa vektorijoukossa voi siis olla vektoreita, jotka eivät ole muiden vektoreiden lineaarikombinaatioita. Vrt. esimerkiksi joukko V = {(1, 2), (3, 0), (4, 8)} R / 220
134 Todistus : Oleteaan, että v V on vektorien v 1,..., v k V \{v} lineaarikombinaatio, toisin sanoen v = k i=1 λ iv i joillekin λ i R, i = 1,..., k. Tällöin k λ i v i 1 v = 0, i=1 joten vektorit v 1,..., v k, v ovat lineaarisesti riippuvia. Siten V on lineaarisesti riippuva Esimerkin 32 (e) perusteella. 134 / 220
135 Todistus. : Olkoon V = {v 1,..., v k } lineaarisesti riippuva. Tällöin on olemassa sellaiset λ 1,..., λ k R, että λ i 0 jollekin i = 1,..., k ja k j=1 λ jv j = 0. Siten λ i v i = k λ j v j eli v i = j=1 j i k j=1 j i λ j λ i v j, joten v i on joukon V \{v i } alkioiden lineaarikombinaatio. 135 / 220
136 Ennakkotehtävä seuraavalle luentokerralle Ennakkotehtävä Olkoot vektorit (2, 1, 1), (3, 4, 2) ja (5, 10, 8) matriisin A sarakkeita. Mikä on matriisin A determinantti? Miten arvelet vektoreiden lineaarisen riippumattomuuden ja edellisellä tavalla muodostetun matriisin determinantin liittyvän toisiinsa? 136 / 220
137 Lause 23 Olkoon A M(n, k). Merkitään A = [A 1 A k ], missä A i R n on A:n i:s sarakevektori kaikilla i = 1,..., k. Tällöin vektori A 1,..., A k R n ovat lineaarisesti riippumattomia, jos ja vain jos homogeeniyhtälöllä Ax = 0 on vain triviaaliratkaisu x = / 220
138 Todistus a 11 a ik Merkitään A =... Nyt a n1... a nk a 11 x a 1k x k 0 Ax = 0. =. a n1 x a nk x k 0 a 11 x 1 a 1k x k =. a n1 x 1 a nk x k 0 x 1 A x k A k = 0, missä x i R ja A i R n kaikilla i = 1,..., k. 138 / 220
139 Todistus. Jos A 1,..., A k ovat lineaarisesti riippumattomia, niin x 1 = = x k = 0, joten yhtälöllä Ax = 0 on vain triviaaliratkaisu x = 0. Jos taas yhtälöllä Ax = 0 on vain triviaaliratkaisu, niin vektorit A 1,..., A k ovat lineaarisesti riippumattomia. 139 / 220
140 Seuraus 1 Olkoot v 1,..., v n R n. Määritellään matriisi A M(n, n) asettamalla A = [v 1 v n ]. Tällöin vektorit v 1,..., v n ovat lineaarisesti riippumattomia, jos ja vain jos det A 0. Todistus. Seuraa Lauseista 23, 13 ja / 220
141 Olemme määritelleet vektorien lineaarikombinaation sekä lineaarisen riippuvuuden ja riippumattomuuden. Vektori x R n on vektorien v 1,..., v k R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset λ 1,..., λ k R, että x = k λ i v i. i=1 Vektorit v 1,..., v k R n ovat lineaarisesti riippuvia, jos on olemassa sellaiset λ 1,..., λ k R, että λ i 0 jollekin i = 1,..., k ja k i=1 λ iv i = 0. Muutoin vektorit v 1,..., v k ovat lineaarisesti riippumattomia, toisin sanoen ehdosta k i=1 λ iv i = 0 seuraa, että λ 1 = = λ k = 0. Huomaa, että λ 1 = = λ k = 0 toteuttaa aina yhtälön k i=1 λ iv i = 0. Pitää tutkia, onko olemassa nollasta eroavia arvoja λ i. 141 / 220
142 Seuraavaksi yleistetään origon kautta kulkevat suorat ja tasot avaruuteen R n. Ensin käsitellään vektorien kaikista lineaarikombinaatioista muodostuvaa lineaarista verhoa. Koko avaruuden R n riittää määräämään n kappaletta vektoreita v i R n. Sitten tutustutaan käsitteeseen avaruuden R n aliavaruus: Aliavaruus on R n :n osajoukko, joka on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen: jos kaksi joukon alkiota lasketaan yhteen, summa kuuluu samaan joukkoon ja jos joukon alkiota kerrotaan reaaliluvulla, monikerta kuuluu samaan joukkoon. Lineaarinen verho on aina avaruuden R n aliavaruus. 142 / 220
143 Määritelmä 21 Olkoon S = {v 1,..., v k } R n epätyhjä äärellinen joukko. Joukon S lineaarinen verho (peite) S = v 1,..., v k = { k λ j v j λ j R, j = 1,..., k} j=1 on vektorien v 1,..., v k kaikkien lineaarikombinaatioiden joukko. Vektori x kuuluu vektorien v 1,..., v k määräämään lineaariseen verhoon, jos on olemassa sellaiset λ 1, λ 2,..., λ k R, että x = λ 1 v 1 + λ 2 v λ k v k. 143 / 220
144 Esimerkki (a) (2, 4), (4, 8) = (2, 4), sillä {λ 1 (2, 4) + λ 2 (4, 8) λ 1, λ 2 R} = {c(2, 4) c R}. (b) (1, 3, 1), (1, 1, 1), (2, 6, 2) = (1, 3, 1), (1, 1, 1), sillä {λ 1 (1, 3, 1) + λ 2 (1, 1, 1) + λ 3 (2, 6, 2) λ 1, λ 2, λ 3 R} = {c 1 (1, 3, 1) + c 2 (1, 1, 1) λ R}. 144 / 220
145 Lause 24 Olkoon S = {v 1,..., v k } R n epätyhjä joukko ja x R n. Tällöin (a) x S S {x} = S. (b) Jos S on lineaarisesti riippumaton, niin x / S v 1,..., v k, x ovat lineaarisesti riippumattomia. 145 / 220
146 Todistus (a) : Oletetaan, että x S eli x = k i=1 λ iv i joillekin λ 1,..., λ k R. On osoitettava, että S {x} = S. Selvästi S S {x}, sillä jos y S, niin on olemassa sellaiset µ 1,..., µ k R, että y = k µ i v i = i=1 k µ i v i + 0 x, i=1 joten y S {x}. Olkoon siis y S {x}. Tällöin on olemassa sellaiset µ 1,..., µ k, µ k+1 R, että y = k µ i v i + µ k+1 x = i=1 k k µ i v i + µ k+1 λ i v i = i=1 i=1 k (µ i + µ k+1 λ i )v i, i=1 joten y S. Siis S {x} S ja S {x} = S. 146 / 220
147 Todistus. : Oletetaan, että S {x} = S. Aina pätee, että S S, sillä v = 1 v + w S\{v} 0 w kaikilla v S. Täten x S {x} S {x} = S eli x S. 147 / 220
148 Lause 25 Olkoon S = {v 1,..., v k } R n epätyhjä joukko ja w 1,..., w l S, missä l k + 1. Tällöin w 1,..., w l ovat lineaarisesti riippuvia. 148 / 220
149 Todistus Koska w j S kaikilla j = 1,..., l, löytyy sellaiset a ij R, i = 1,..., k, j = 1,..., l, että w 1 =a 11 v a k1 v k w 2 =a 12 v a k2 v k. w l =a 1l v a kl v k. Riittää löytää sellaiset λ 1,..., λ l R, että (λ 1,..., λ l ) 0 ja l j=1 λ jw j = 0, toisin sanoen yhtälöllä λ 1 (a 11 v a k1 v k ) + + λ l (a 1l v a kl v k ) = (a 11 λ a 1l λ l )v (a k1 λ a kl λ l )v k = 0 ( ) on epätriviaali ratkaisu λ = (λ 1,..., λ l ) / 220
150 Todistus. Yhtälö ( ) toteutuu ainakin silloin, kun jokaisen v i :n kerroin on nolla eli homogeeniyhtälö a 11 λ a 1l λ l =0. a k1 λ a kl λ l =0. toteutuu. Koska tässä yhtälöryhmässä on enemmän tuntemattomia kuin yhtälöitä (l > k), niin Gaussin ja Jordanin menetelmän tapaus (1) ei esiinny. Koska yhtälö on homogeeninen, tapaus (2) ei ole mahdollinen. Siten yhtälöllä on äärettömän monta ratkaisua. Erityisesti sillä on ratkaisu λ / 220
151 Seuraus 2 Olkoon S = {v 1,..., v k } R n. (a) Jos k > n, niin S on lineaarisesti riippuva. (b) Jos k < n, niin S R n. Todistus. (a) Koska e 1,..., e n = R n, v 1,..., v k R n ja k > n, niin Lauseen 25 nojalla v 1,..., v k ovat lineaarisesti riippuvia. (b) Jos S = R n, niin Lauseen 25 nojalla e 1,..., e n R n olisivat lineaarisesti riippuvia (n > k), mikä on ristiriita. 151 / 220
152 Seuraus 3 Olkoon S R n lineaarisesti riippumaton. Tällöin S = R n S:ssä on n alkiota. Todistus. : Seuraa Seurauksesta 2. : Jos S R n, niin on olemassa x R n \ S. Lauseen 24 (b) nojalla S {x} on lineaarisesti riippumaton, mikä on ristiriita Seurauksen 2 kanssa. 152 / 220
153 Esimerkki Mikä on joukon S = {( 2, 2, 3), (4, 6, 8), ( 2, 3, 2), ( 4, 1, 3)} lineaarinen verho? 153 / 220
154 Ennakkotehtävä seuraavalle luentokerralle Ennakkotehtävä Joukko R voidaan upottaa tasoon R 2 samaistamalla se joukon R = {(x, 0) R 2 x R} kanssa. Jos x, y R, niin x + y = (x 1, 0) + (y 1, 0) = (x 1 + y 1, 0) R ja λx = λ(x 1, 0) = (λx 1, 0) R kaikilla λ R. Onko R 2 :ssa muita aitoja osajoukkoja, jotka ovat suljettuja yhteenlaskun ja reaaliluvulla kertomisen suhteen? Entä R n :ssä? 154 / 220
155 Esimerkki Kuva : Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 155 / 220
156 Esimerkki Kuva : Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 156 / 220
157 Määritelmä 22 Epätyhjä joukko V R n on R n :n (vektori)aliavaruus, jos (a) v, w V v + w V ja (b) λ R, v V λv V. Huomautus Aliavaruus on epätyhjä joukko, joten siellä on vähintään yksi alkio v V. Koska λv V kaikilla λ R, niin 0 = 0 v V. Nolla-alkio kuuluu siis aina aliavaruuteen. 157 / 220
158 Esimerkki Onko vektorijoukko V = {x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 : x 1 x 2 + 2x 3 = 0} avaruuden R 3 aliavaruus? 158 / 220
159 Lause 26 Olkoot V, W R n aliavaruuksia. Tällöin V W on R n :n aliavaruus, mutta V W ei yleensä ole R n :n aliavaruus. Todistus. Koska 0 V ja 0 W, niin 0 V W, joten V W. Olkoot v, w V W ja λ R. Nyt v, w V, joten v + w V, ja v, w W joten v + w W. Siis v + w V W. Lisäksi λv V ja λv W, joten λv V W. Näin ollen V W on R n :n aliavaruus. Tapaus V W HT. 159 / 220
160 Lause 27 Olkoon V R n aliavaruus. Tällöin kaikilla k N pätee: jos v 1,..., v k V ja λ 1,..., λ k R, niin k i=1 λ iv i V. 160 / 220
161 Lause 28 (a) Olkoon A M(k, n). Yhtälöryhmän Ax = 0 ratkaisujoukko R 0 on R n :n aliavaruus. (b) Olkoon b R k ja A M(k, n). Oletetaan, että yhtälöryhmällä Ax = b on jokin ratkaisu x 0. Tällöin yhtälöryhmän Ax = b ratkaisujoukko on R = x 0 + R 0 = {x 0 + y y R 0 }, missä R 0 on yhtälöryhmän Ax = 0 ratkaisujoukko. 161 / 220
162 Todistus (a) Koska A0 = 0, niin 0 R 0. Olkoot x, y R 0. Tällöin A(x + y) = Ax + Ay = = 0, joten x + y R 0. Samoin A(λx) = λax = λ 0 = 0 kaikilla λ R, joten λx R / 220
163 Todistus. (b) Olkoon z R. Tällöin z = x 0 + y jollakin y R 0. Nyt Az = A(x 0 + y) = Ax 0 + Ay = b + 0 = b, joten z on yhtälön Ax = b ratkaisu. Jos taas z on yhtälön Ax = b ratkaisu, niin A(z x 0 ) = Az Ax 0 = b b = 0, joten z x 0 R 0. Nyt z = x 0 + z x 0 R. 163 / 220
164 x x 2 x 1 Kuva : Origon kautta kulkeva alempi taso on yhtälöryhmän Ax = 0 ratkaisujoukko (kun ratkaisujoukossa on kaksi vapaata muuttujaa). Ylempi taso on yhtälöryhmän Ax = b ratkaisujoukko. 164 / 220
165 Lause 29 Epätyhjän joukon S = {v 1,..., v k } R n lineaarinen verho S on R n :n aliavaruus. Se on pienin R n :n aliavaruus, joka sisältää joukon S, toisin sanoen, jos V on R n :n aliavaruus ja S V, niin S V. 165 / 220
166 Todistus Osoitetaan, ensin, että S on R n :n aliavaruus. Koska S S ja S, niin S. Olkoot v, w S. Tällöin on olemassa λ 1,..., λ k R ja µ 1,..., µ k R, joille v = k i=1 λ iv i ja w = k i=1 µ iv i. Tällöin v + w = k k λ i v i + µ i v i = i=1 i=1 k (λ i + µ i )v i S. i=1 Samoin, jos λ R, niin k λv = λ λ i v i = i=1 k (λλ i )v i S. i=1 Siis S on R n :n aliavaruus. 166 / 220
167 Todistus. Olkoon V R n :n aliavaruus, jolle S V. Osoitetaan, että S V. Olkoon v S. Tällöin löytyy sellaiset λ 1,..., λ k R, että v = k i=1 λ iv i. Koska v i V kaikilla i = 1,..., k, niin Lauseen 27 nojalla v V. Siis S V. 167 / 220
168 Huomautus (a) Joukon S lineaarista verhoa S kutsutaan usein S:n virittämäksi aliavaruudeksi. Jos V on aliavaruus ja V = S, niin S virittää V :n. (b) Luonnolliset kantavektorit e 1,..., e n virittävät R n :n, sillä e 1,..., e n = R n. Lisäksi vektorit e 1,..., e n ovat lineaarisesti riippumattomia. 168 / 220
169 Seuraavaksi määritellään aliavaruuden kanta ja dimensio. (Kysymys: Mikä on pienin vektorijoukko, minkä avulla voidaan esittää tarkasteltava aliavaruus?) 169 / 220
170 Määritelmä 23 Olkoon V R n aliavaruus. Vektorit v 1,..., v k V muodostavat aliavaruuden V kannan, jos (a) v 1,..., v k ovat lineaarisesti riippumattomia ja (b) v 1,..., v k = V. Tällöin sanotaan, että joukko {v 1,..., v k } on V :n kanta. Aliavaruuden V kanta on pienin vektorijoukko, joka virittää V :n eli v 1,..., v k = V pätee. Toisaalta, V :n kanta on suurin mahdollinen lineaarisesti riippumaton V :n osajoukko. 170 / 220
171 Esimerkki Mitkä seuraavista vektorijoukoista ovat avaruuden R 3 kantoja? a) {(1, 0, 3), (3, 1, 4), ( 2, 1, 1)} b) {(3, 3, 0), ( 3, 7, 0), (0, 0, 0), (0, 3, 5)} c) {(1, 2, 4), ( 4, 3, 6)} 171 / 220
172 Lause 30 Jos vektorit v 1,..., v k R n ovat lineaarisesti riippumattomia, niin jokainen v v 1,..., v k voidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa v = k λ i v i, i=1 missä λ 1,..., λ k R. 172 / 220
173 Todistus. Olkoon v v 1,..., v k. Tällöin on olemassa sellaiset λ 1,..., λ k R, että v = k i=1 λ iv i. Olkoot µ 1,..., µ k R sellaiset, että v = k i=1 µ iv i. Osoitetaan, että λ i = µ i kaikilla i = 1,..., k. Nyt 0 = v v = k k λ i v i µ i v i = i=1 i=1 k (λ i µ i )v i. i=1 Koska v 1,..., v k ovat lineaarisesti riippumattomia, on λ i µ i = 0 kaikilla i = 1,..., k eli λ i = µ i kaikilla i = 1,..., k. 173 / 220
174 Määritelmä 24 Olkoon K = {v 1,..., v k } aliavaruuden V R n kanta. Vektorin v K koordinaatit kannassa K ovat lauseen 30 antamat yksikäsitteiset kertoimet λ 1,..., λ k, joille v = k i=1 λ iv i. Tällöin merkitään v = (λ 1,..., λ k ) K. Jos K on avaruuden R n luonnollinen kanta, niin alaindeksi K jätetään pois: x = (x 1,..., x n ). 174 / 220
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotEnnakkotehtävän ratkaisu
Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb
Lisätiedotx 2 x 3 x 1 x 2 = 1 2x 1 4 x 2 = 3 x 1 x 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili
6 4 2 x 2 x 3 15 10 5 0 5 15 5 3 2 1 1 2 3 2 0 x 2 = 1 2x 1 0 4 x 2 = 3 x 1 x 5 2 5 x 1 10 x 1 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili Sisältö
LisätiedotMatriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä
Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty
Lisätiedot802118P Lineaarialgebra I (4 op)
802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu
Lisätiedot802120P Matriisilaskenta (5 op)
802120P Matriisilaskenta (5 op) Tero Vedenjuoksu Matemaattiset tieteet Syksy 2015 1 / 159 Luennoitsija: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi M321 Kurssilla käytetään Noppaa (noppa.oulu.fi) sekäoptimaa
LisätiedotDeterminantti 1 / 30
1 / 30 on reaaliluku, joka on määritelty neliömatriiseille Determinantin avulla voidaan esimerkiksi selvittää, onko matriisi kääntyvä a voidaan käyttää käänteismatriisin määräämisessä ja siten lineaarisen
LisätiedotLineaarinen yhtälöryhmä
Lineaarinen yhtälöryhmä 1 / 39 Lineaarinen yhtälö Määritelmä 1 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia.
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
Lisätiedot802120P MATRIISILASKENTA (5 op)
802120P MARIIILAKENA (5 op) Oulun yliopisto Matemaattiset tieteet 2015 ero Vedenjuoksu 1 Alkusanat ämä luentomoniste pohjautuu osaksi Esa Järvenpään (2011) ja osaksi Hanna Kiilin (2014) kurssin Lineaarialgebra
Lisätiedot6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio
6 Vektoriavaruus R n 6.1 Lineaarikombinaatio Määritelmä 19. Vektori x œ R n on vektorien v 1,...,v k œ R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että x = i v i. i=1 Esimerkki 30.
LisätiedotKäänteismatriisi 1 / 14
1 / 14 Jokaisella nollasta eroavalla reaaliluvulla on käänteisluku, jolla kerrottaessa tuloksena on 1. Seuraavaksi tarkastellaan vastaavaa ominaisuutta matriiseille ja määritellään käänteismatriisi. Jokaisella
LisätiedotLineaarialgebra I. Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Esa Järvenpää Kirjoittanut Tuula Ripatti
Lineaarialgebra I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Esa Järvenpää Kirjoittanut Tuula Ripatti 2 1 Lineaarinen yhtälöryhmä 11 Esimerkki (a) Ratkaise yhtälö 5x = 7 Kerrotaan yhtälö puolittain
LisätiedotGaussin ja Jordanin eliminointimenetelmä
1 / 25 : Se on menetelmä lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemiseksi. Sitä käytetään myöhemmin myös käänteismatriisin määräämisessä. Ideana on tiettyjä rivioperaatioita käyttäen muokata yhtälöryhmää niin,
LisätiedotMatriisit. Määritelmä 1 Reaaliluvuista a ij, missä i = 1,..., k ja j = 1,..., n, muodostettua kaaviota a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =
1 / 21 Määritelmä 1 Reaaliluvuista a ij, missä i 1,..., k ja j 1,..., n, muodostettua kaaviota a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A... a k1 a k2 a kn sanotaan k n matriisiksi. Usein merkitään A [a ij ]. Lukuja
LisätiedotVektorit, suorat ja tasot
, suorat ja tasot 1 / 22 Koulussa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus. Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa. Tällöin sen kärki on pisteessä (x 1, x 2 ). Jos vektorin
LisätiedotLiittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.
Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotMatriisilaskenta. Harjoitusten 3 ratkaisut (Kevät 2019) 1. Olkoot AB = ja 2. Osoitetaan, että matriisi B on matriisin A käänteismatriisi.
Matriisilaskenta Harjoitusten ratkaisut (Kevät 9). Olkoot ja A = B = 5. Osoitetaan, että matriisi B on matriisin A käänteismatriisi. Tapa Käänteismatriisin määritelmän nojalla riittää osoittaa, että AB
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot1.1. Määritelmiä ja nimityksiä
1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotMatematiikka B2 - TUDI
Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotMatikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210
Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1
Lisätiedot1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät
1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n
LisätiedotLineaariset yhtälöryhmät ja matriisit
Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaarinen yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, (1) voidaan esittää
LisätiedotMatematiikka B2 - Avoin yliopisto
6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotMatikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81
Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/81 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 )
LisätiedotBM20A0700, Matematiikka KoTiB2
BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin
LisätiedotKanta ja dimensio 1 / 23
1 / 23 Kuten ollaan huomattu, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio
Lisätiedot2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut
2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
Lisätiedot10 Matriisit ja yhtälöryhmät
10 Matriisit ja yhtälöryhmät Tässä luvussa esitellään uusi tapa kirjoittaa lineaarinen yhtälöryhmä matriisien avulla käyttäen hyväksi matriisikertolaskua sekä sarakevektoreita Pilkotaan sitä varten yhtälöryhmän
LisätiedotVektoreiden virittämä aliavaruus
Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden
LisätiedotOrtogonaalinen ja ortonormaali kanta
Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2014 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 1 of 16 Kertausta Lineaarinen riippuvuus
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
Lisätiedot3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h
HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)
LisätiedotLineaarialgebra (muut ko)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/103 Lineaarialgebra (muut ko) Tero Laihonen Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/103 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.
LisätiedotVastaavasti, jos vektori kerrotaan positiivisella reaaliluvulla λ, niin
1 / 14 Lukiossa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus. Tarkastellaan aluksi tason vektoreita (R 2 ). Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa. Tällöin sen kärki on pisteessä
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 6.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Kertausta: Kääntyvien matriisien lause Lause 1 Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä.
LisätiedotJohdatus lineaarialgebraan
Johdatus lineaarialgebraan Lotta Oinonen ja Johanna Rämö 6. joulukuuta 2012 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos 2012 Sisältö 1 Avaruus R n 4 1 Avaruuksien R 2 ja R 3 vektorit.....................
Lisätiedotominaisvektorit. Nyt 2 3 6
Esimerkki 2 6 8 Olkoon A = 40 0 6 5. Etsitäänmatriisinominaisarvotja 0 0 2 ominaisvektorit. Nyt 2 0 2 6 8 2 6 8 I A = 40 05 40 0 6 5 = 4 0 6 5 0 0 0 0 2 0 0 2 15 / 172 Täten c A ( )=det( I A) =( ) ( 2)
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 23.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Käytännön asioita Ensimmäiset tehtävät olivat sujuneet hyvin. Kansilehdet on oltava mukana tehtäviä palautettaessa,
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotOrtogonaalisen kannan etsiminen
Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,
LisätiedotKäänteismatriisin ominaisuuksia
Käänteismatriisin ominaisuuksia Lause 1.4. Jos A ja B ovat säännöllisiä ja luku λ 0, niin 1) (A 1 ) 1 = A 2) (λa) 1 = 1 λ A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1 4) (A T ) 1 = (A 1 ) T. Tod.... Ortogonaaliset matriisit
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 10. Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Matriisitulo Determinantti
Talousmatematiikan perusteet: Luento 1 Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Matriisitulo Determinantti Viime luennolta Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
Lisätiedot1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät
1 1 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT Muotoa 11 Lineaariset yhtälöryhmät (1) a 1 x 1 + a x + + a n x n b oleva yhtälö on tuntemattomien x 1,, x n lineaarinen yhtälö, jonka kertoimet ovat luvut a 1,,
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 9. Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Transponointi Matriisitulo
Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Transponointi Matriisitulo Viime luennolta Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,
Lisätiedot9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia
9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 4.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Viimeiset harjoitukset on palautettava torstaina 13.6. Laskaripisteensä ja läsnäolonsa voi kukin tarkistaa
LisätiedotJohdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan
Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Informaatioteknologian tiedekunta Jyväskylän yliopisto 5. luento.2.27 Lineaarialgebraa - Miksi? Neuroverkon parametreihin liittyvät kaavat annetaan monesti
Lisätiedot9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista
29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n
LisätiedotSeuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117
Seuraava luento ti 31.10 on salissa XXII Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/117 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v
LisätiedotJohdatus lineaarialgebraan
Johdatus lineaarialgebraan Osa I Jokke Häsä, Lotta Oinonen, Johanna Rämö 9 heinäkuuta 2013 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Avaruuksien R 2 ja R 3 vektorit 4 11 Kaksiulotteisen
Lisätiedot7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Lisätiedot2.8. Kannanvaihto R n :ssä
28 Kannanvaihto R n :ssä Seuraavassa kantavektoreiden { x, x 2,, x n } järjestystä ei saa vaihtaa Vektorit ovat pystyvektoreita ( x x 2 x n ) on vektoreiden x, x 2,, x n muodostama matriisi, missä vektorit
LisätiedotKaksirivisen matriisin determinantille käytämme myös merkintää. a 11 a 12 a 21 a 22. = a 11a 22 a 12 a 21. (5.1) kaksirivine
Vaasan yliopiston julkaisuja 97 5 DETERMINANTIT Ch:Determ Sec:DetDef 5.1 Determinantti Tämä kappale jakautuu kolmeen alakappaleeseen. Ensimmäisessä alakappaleessa määrittelemme kaksi- ja kolmiriviset determinantit.
LisätiedotMatriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät
Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa
LisätiedotLU-hajotelma. Esimerkki 1 Matriisi on yläkolmiomatriisi ja matriisi. on alakolmiomatriisi. 3 / 24
LU-hajotelma 1 / 24 LU-hajotelma Seuravassa tarkastellaan kuinka neliömatriisi voidaan esittää kahden kolmiomatriisin tulona. Käytämme alkeismatriiseja tälläisen esityksen löytämiseen. Edellä mainittua
LisätiedotYhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia
Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella
LisätiedotOminaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (
LisätiedotMatriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n.
Matriisipotenssi Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: Määritelmä Oletetaan, että A on n n -matriisi (siis neliömatriisi) ja k
LisätiedotJohdatus lineaarialgebraan. Juha Honkala 2017
Johdatus lineaarialgebraan Juha Honkala 2017 Sisällysluettelo 1 Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit 11 Lineaariset yhtälöryhmät 12 Matriisit 13 Matriisien alkeismuunnokset ja porrasmatriisit 14 Yhtälöryhmien
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi
Talousmatematiikan perusteet: Luento 10 Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Lineaarikuvaus Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta, jossa käytetään
LisätiedotInformaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen
Informaatiotieteiden yksikkö Lineaarialgebra 1A Pentti Haukkanen Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen . 2 Sisältö 1 Matriisit, determinantit ja lineaariset yhtälöryhmät 4 1.1 Matriisit..............................
LisätiedotLineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
Lisätiedot5 Lineaariset yhtälöryhmät
5 Lineaariset yhtälöryhmät Edellisen luvun lopun esimerkissä päädyttiin yhtälöryhmään, jonka ratkaisemisesta riippui, kuuluuko tietty vektori eräiden toisten vektorien virittämään aliavaruuteen Tämäntyyppisiä
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.
LisätiedotA = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla:
11 Determinantti Neliömatriisille voidaan laskea luku, joka kertoo muun muassa, onko matriisi kääntyvä vai ei Tätä lukua kutsutaan matriisin determinantiksi Determinantilla on muitakin sovelluksia, mutta
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
LisätiedotJAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT
JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause
LisätiedotKurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa.
7 Matriisilaskenta Kurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa. 7.1 Lineaariset yhtälöryhmät Yhtälöryhmät liittyvät tilanteisiin, joissa on monta tuntematonta
LisätiedotKäänteismatriisin. Aiheet. Käänteismatriisin ominaisuuksia. Rivioperaatiot matriisitulona. Matriisin kääntäminen rivioperaatioiden avulla
Käänteismatriisi, L5 1 Tässä kalvosarjassa käsittelemme neliömatriiseja. Ilman asian jatkuvaa toistamista oletamme seuraavassa, että kaikki käsittelemämme matriisit ovat neliömatriiseja. Määritelmä. Olkoon
LisätiedotMääritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.
1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:
LisätiedotVille Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007
Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
LisätiedotLineaarialgebra II, MATH.1240 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg
Vaasan yliopisto, syksy 218 Lineaarialgebra II, MATH124 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg Tentti T1, 284218 Ratkaise 4 tehtävää Kokeessa saa käyttää laskinta (myös graafista ja CAS-laskinta), mutta ei taulukkokirjaa
LisätiedotJohdatus lineaarialgebraan
Johdatus lineaarialgebraan Osa I Jokke Häsä, Lotta Oinonen, Johanna Rämö 27. marraskuuta 2015 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Vektoriavaruuksien R 2 ja R 3 vektorit........................
LisätiedotMatriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi
Matriisit, kertausta Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin
Lisätiedot