802120P Matriisilaskenta (5 op)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "802120P Matriisilaskenta (5 op)"

Transkriptio

1 802120P Matriisilaskenta (5 op) Marko Leinonen Matemaattiset tieteet Syksy / 220

2 Luennoitsija: Marko Leinonen MA333 Kurssilla käytetään Noppaa (noppa.oulu.fi) Luentomoniste (T. Vedenjuoksu 2015) Luentokalvot (T. Vedenjuoksun luentokalvojen pohjilta muokatut) Harjoitustehtävät Harjoitustehtävien ratkaisut Luento- ja harjoitusajat Tenttiajat Verkkomateriaalia: YouTube, Khan Academy ( 2 / 220

3 Opintojakson suorittaminen Kurssi koostuu luennoista, itsenäisestä opiskelusta ja harjoituksista. Viikottain tehtäviä asioita: Luentojen ennakkotehtävät (esim. helpohko ongelma ratkaistavaksi ja tulevan kerran käsitteisiin tutustumista) Harjoitustehtävät Kurssisuoritus arvioidaan yliopistotentillä, jossa ei saa olla laskimia. Harjoitukset Tehtävät käydään läpi dokumenttikameran avulla Saa kolmeen ensimmäiseen loppukokeesen lisäpisteitä suhteessa tehtyihin tehtäviin 3 pistettä, jos on tehnyt vähintään 75 prosenttia harjoitustehtävistä 2 pistettä, jos on tehnyt vähintään 50 prosenttia harjoitustehtävistä 1 piste, jos on tehnyt vähintään 25 prosenttia harjoitustehtävistä Lisäpisteet edellyttävät omien ratkaisujen esittämistä Kolme lisäpistettä vastaa yhtä arvosanaa 3 / 220

4 Mistä tukea opintojakson sisältöjen opiskeluun Luennot MA ja TO klo Valmistaudu luentoon tekemällä ennakkotehtävä Uskalla kysyä ja keskeyttää Tutortupa (3. krs) Laskuharjoitukset Ke Marko Leinonen Ke Eemeli Perälä To Eemeli Perälä Pe Marko Leinonen 4 / 220

5 Arviointi Yliopistotentti (muista ilmoittautua) ti klo ma klo ma klo Pisterajat (max 33 (tentti 30 + harjoitusten lisäpisteet 3)) pisteet arvosana 5 pisteet arvosana 4 pisteet arvosana 3 pisteet arvosana 2 pisteet arvosana 1 pisteet 0-14 hylätty suoritus 5 / 220

6 Lineaarialgebraa ja matriiseja tarvitaan lähes jokaisella matematiikan kurssilla, ja lisäksi tilastotieteessä, fysiikassa,... Sovelluskohteita: Kuvankäsittely Signaalinkäsittely Tomografia GPS Virheen havaitsevat koodit ja virheen korjaavat koodit Kuvanpakkaus... 6 / 220

7 Kurssin sisältöä: Vektorit Lineaarinen yhtälöryhmä ja sen ratkaiseminen Matriisit ja niiden laskutoimitukset Determinantti Vektoriavaruudet Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit Similaarisuus ja diagonalisoituvuus 7 / 220

8 Vektorit 8 / 220

9 Määritelmä 1 Olkoon n N = {1, 2, 3,...}. Jono x = (x 1, x 2,..., x n ), missä x 1, x 2,..., x n R, on n-ulotteinen tai n-komponenttinen vektori. Kaikkien n-ulotteisten vektorien joukko on avaruus R n, ts. R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R}. Vektorit x, y R n ovat samat, jos x i = y i kaikilla i = 1,..., n. Olkoot x, y R n ja λ R. Tällöin x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ) R n ja λx = (λx 1, λx 2,..., λx n ) R n. 9 / 220

10 Lause 1 Olkoot x, y, z R n ja λ, µ R. Tällöin (a) x + y = y + x (vaihdannaisuus) (b) x + (y + z) = (x + y) + z (liitännäisyys) (c) on olemassa nollavektori 0 = (0,..., 0) R n ja x + 0 = x (d) on olemassa vastavektori x = 1 x ja x + ( x) = 0 (e) λ(µx) = (λµ)x (f) 1 x = x (g) (λ + µ)x = λx + µx (h) λ(x + y) = λx + λy (osittelulait). Huomautus Edellisen lauseen (d)-kohdan nojalla jokaisella vektorilla y R n on vastavektori y R n. Otetaan käyttöön lyhennysmerkintä x y := x + ( y). 10 / 220

11 Määritelmä 2 Vektoreiden u = (u 1,..., u n ) R n ja v = (v 1,..., v n ) R n pistetulo on u v = u 1 v 1 + u 2 v u n v n. Määritelmä 3 Vektorit u R n ja v R n ovat ortogonaaliset eli kohtisuorassa toisiaan vastaan, jos u v = / 220

12 Määritelmä 4 Avaruuden R n, n = 2, 3, suora on joukko {u + kv k R}, missä u R n ja v R n \{0}. Tätä suoran esitystä kutsutaan suoran vektoriesitykseksi. Vektoria u kutsutaan paikkavektoriksi ja vektoria v suuntavektoriksi. Avaruuden R 2 suora voidaan esittää myös muodossa ax 1 + bx 2 + c = 0, missä a, b, c R ja vähintään toinen luvuista a tai b on nollasta eroava. 12 / 220

13 Määritelmä 5 Avaruuden R 3 taso on joukko {u + kv + tw k, t R}, missä u R 3 ja v, w R 3 \{0} ja vektorit v ja w eivät ole yhdensuuntaiset. Vektoria u kutsutaan paikkavektoriksi ja vektoreita v ja w suuntavektoreiksi. Taso avaruudessa R 3 on myös sellaisten pisteiden (x 1, x 2, x 3 ) R 3 joukko, jotka toteuttavat yhtälön ax 1 + bx 2 + cx 3 + d = 0, missä a, b, c, d R ja ainakin yksi luvuista a, b, c on nollasta eroava. Tätä yhtälöä kutsutaan tason skalaariyhtälöksi. 13 / 220

14 Ennakkotehtävät seuraavalle luentokerralle Tehtävä 1 Ratkaise yhtälöparit a) { x1 2x 2 = 1 x 1 + 3x 2 = 3 b) { x1 2x 2 = 1 x 1 + 2x 2 = 3 { x1 2x 2 = 1 c). x 1 + 2x 2 = 1 Tulkitse ratkaisut geometrisesti. Tehtävä 2 Ratkaise yhtälöryhmä x 1 2x 2 + x 3 = 0 2x 2 8x 3 = 8 4x 1 + 5x 2 + 9x 3 = / 220

15 Määritelmä 6 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia. Yhtälön toteuttavaa lukujonoa (x 1, x 2,..., x n ) sanotaan yhtälön ratkaisuksi ja kaikkien ratkaisujen joukkoa sanotaan yhtälön ratkaisujoukoksi. Jos b = 0, yhtälö on homogeeninen ja sillä on aina triviaaliratkaisu x 1 = x 2 = = x n = 0. Esimerkki Ovatko seuraavat yhtälöt lineaarisia? Miksi? a) 3x 1 + (log 3) 3 x 2 = 0 b) x 1 + x 2 = 100x c) e x 1 + sin x 2 + x 2 3 = 4 15 / 220

16 Määritelmä 7 Lineaarinen yhtälöryhmä on muotoa a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. a k1 x 1 + a k2 x a kn x n = b k, missä a ij, b i R, i = 1,..., k, j = 1,... n, ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia. Yhtälöryhmän toteuttavaa lukujonoa (x 1, x 2,..., x n ) sanotaan yhtälöryhmän ratkaisuksi ja kaikkien ratkaisujen joukkoa sanotaan yhtälöryhmän ratkaisujoukoksi. Jos b 1 = b 2 = = b k = 0, yhtälöryhmä on homogeeninen ja sillä on aina triviaaliratkaisu x 1 = x 2 = = x n = / 220

17 Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmä: Se on menetelmä lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemiseksi. Sitä käytetään myöhemmin myös käänteismatriisin määräämisessä. 17 / 220

18 Lineaarinen yhtälöryhmä voidaan ratkaista käyttämällä seuraavia operaatioita: P ij : vaihdetaan yhtälöt i ja j keskenään. M i (c): kerrotaan yhtälö i luvulla c 0. A ij (c): kerrotaan yhtälö i luvulla c R ja lisätään se yhtälöön j, missä i j. Miten operaatiot vaikuttavat yhtälöryhmän ratkaisuihin? 18 / 220

19 Määritelmä 8 Kaksi yhtälöryhmää (merkitään A ja B) ovat ekvivalentit, jos yhtälöryhmä A saadaan yhtälöryhmästä B tekemällä äärellisen määrän rivioperaatioita. Lause 2 Ekvivalenteilla yhtälöryhmillä on samat ratkaisut. 19 / 220

20 Koska rivioperaatiot vaikuttavat vain kertoimiin a ij ja b i, on kätevää kirjoittaa yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. a k1 x 1 + a k2 x a kn x n = b k laajennettuna kerroinmatriisina a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b a k1 a k2 a kn b k Eli jätetään muuttujat (x:t) ja välimerkit (+:t) kirjoittamatta (muistetaan kuitenkin niin paikat), korvataan =-merkit pystysuoralla viivalla ja lisätään sulut. 20 / 220

21 Esimerkki Esimerkki Muodosta yhtälöryhmän a) x 1 2x 2 + x 3 = 0 2x 2 8x 3 = 8 4x 1 + 5x 2 + 9x 3 = 9 b) 2x 1 x 2 = 5 x 1 + x 3 = 5 3x 1 x 2 x 3 = 0 laajennettu kerroinmatriisi. Miten voit ratkaista yhtälöryhmät käyttämällä laajennettua kerroinmatriisia? Etsi yhtälöryhmien ratkaisujoukot. 21 / 220

22 Ratkaisu a) Yhtälöryhmän laajennettu kerroinmatriisi on x 1 2x 2 + x 3 = 0 2x 2 8x 3 = 8 4x 1 + 5x 2 + 9x 3 = / 220

23 Ratkaisu Nyt , A 13(4) A 23(3) A 21 (2) A 32(4) A 31 (7) joten ratkaisu on (x 1, x 2, x 3 ) = (29, 16, 3) R 3 (ei muita ratkaisuja). M 2( 1 2 ) 23 / 220

24 Määritelmä 9 Matriisia kutsutaan redusoiduksi porrasmatriisiksi, jos siinä on pelkät nollarivit ovat alimmaisina, jokaisen rivin ensimmäinen nollasta eroava luku on 1 ja sen ylä- ja alapuolella on pelkkiä nollia, ylemmän rivin ensimmäinen 1 on alemman rivin ensimmäisen 1:sen vasemmalla puolella. 24 / 220

25 Ennakkotehtävä seuraavalle luentokerralle Tehtävä Ovatko seuraavat laajennetut kerroinmatriisit redusoituja porrasmatriiseja? (a) (b) (c) Mitkä ovat laajennettujen kerroinmatriisien esittämien yhtälöryhmien ratkaisut? 25 / 220

26 Redusoidun porrasmatriisin ratkaisujen lukumäärä (1) d d d n x 1 = d 1 x 2 = d 2. x n = d n. eli yksikäsitteinen ratkaisu. (2) Jokin riveistä on 0 0 c, missä c 0. Tällöin saadaan yhtälö 0 = c, mikä on ristiriita, joten yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. (3) Kun tapaukset (1) ja (2) eivät esiinny, niin epätriviaaleja yhtälöitä on vähemmän kuin tuntemattomia ja yhtälöryhmällä on äärettömän monta ratkaisua. 26 / 220

27 Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmä: 1. Kirjoita yhtälöryhmä laajennettuna kerroinmatriisina. 2. Muuta kerroinmatriisi rivioperaatioilla redusoiduksi porrasmatriisiksi. 3. Lue ratkaisu redusoidusta porrasmatriisista kirjoittamalla se takaisin yhtälöryhmäksi. 27 / 220

28 Esimerkki Esimerkki Ratkaise Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmällä yhtälö x 1 + x 2 2x 3 + x 4 + 3x 5 = 1 2x 1 x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 2 3x 1 + 2x 2 4x 3 3x 4 9x 5 = / 220

29 Matriisi Matriisit ja niiden laskutoimitukset 29 / 220

30 Määritelmä 10 Reaaliluvuista a ij, missä i = 1,..., k ja j = 1,..., n, muodostettua kaaviota a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =... a k1 a k2 a kn sanotaan k n matriisiksi. Usein merkitään A = [a ij ]. Lukuja a ij sanotaan matriisin A alkioiksi (a ij on alkio rivillä i ja sarakkeessa j). Toinen merkintä alkiolle a ij on A ij. 30 / 220

31 Matriisit A ja B ovat samat, jos A ij = B ij kaikilla i ja j. Kaikkien k n-matriisien joukkoa merkitään symbolilla M(k, n). Olkoot A, B M(k, n) ja λ R. Tällöin A + B M(k, n) ja λa M(k, n), missä (A + B) ij = A ij + B ij ja (λa) ij = λa ij kaikilla i = 1,..., k ja j = 1,..., n. Huomautus Matriisit voidaan laskea yhteen vain, jos ne ovat samankokoisia. 31 / 220

32 Esimerkki Esimerkki (a) Olkoot Milloin A = B? (b) Olkoot [ ] a + b d A = a b 2c A = [ 3 3 ] Mitä ovat A + B ja 2A? ja B = ja B = [ ] 2 d. 2 1 [ ] / 220

33 Lause 3 Olkoot A, B, C M(k, n) ja λ, µ R. Tällöin (a) A + B = B + A (b) A + (B + C) = (A + B) + C (c) on olemassa nollamatriisi 0 M(k, n), jolle A + 0 = A (d) on olemassa vastamatriisi A M(k, n), jolle A + ( A) = 0 (e) λ(µa) = (λµ)a (f) 1A = A (g) (λ + µ)a = λa + µa (h) λ(a + B) = λa + λb. 33 / 220

34 Merkintä 1 Lyhennysmerkintä summalle: k a i = a 1 + a a k. i=1 Määritelmä 11 Olkoot A M(k, n) ja B M(n, l). Matriisien A ja B tulo on matriisi AB M(k, l), missä (AB) ij = n A ip B pj = A i1 B 1j + A i2 B 2j + + A in B nj p=1 kaikilla i = 1,..., k ja j = 1,..., l. 34 / 220

35 Matriisien tulo Tulomatriisin AB alkio (AB) ij saadaan siis kertomalla A:n i:nen rivin alkiot A i1, A i2,..., A in vastaavilla B:n j:nnen sarakkeen alkioilla B 1j, B 2j,..., B nj ja laskemalla näin saadut tulot yhteen. Eli A 11 A 12 A 1n B 11 B 1j B... 1l AB = A i1 A i2 A in B 21 B 2j B 2l B n1 B nj B nl A k1 A k2 A kn (AB) 11 (AB) 1j (AB) 1l... = (AB) i1 (AB) ij (AB) il,... (AB) k1 (AB) kj (AB) kl missä (AB) ij = A i1 B 1j + A i2 B 2j + + A in B nj kaikilla i = 1,..., k ja j = 1,..., l. 35 / 220

36 Esimerkki Esimerkki Olkoot A = 0 3 B = 7 1 ja C = Laske AC ja CB. [ 0 1 ] / 220

37 Ennakkotehtävät seuraavalle luentokerralle 1 Onko matriisien tulo AB määritelty aina kun tulo BA on määritelty? Jos ei, niin anna esimerkki. 2 Onko AB = BA aina kun matriisitulot ovat määritelty? Jos ei, niin anna esimerkki. 3 Onko mahdollista, että AB = 0, vaikka A 0 ja B 0? Jos on, niin anna esimerkki. 37 / 220

38 [ A = ] M(2, 3), B = M(3, 4) Matriisin A sarakkeiden lukumäärä = matriisin B rivien lukumäärä 38 / 220

39 [ AB = ] ( 1) = = [ 27 ] 39 / 220

40 [ AB = ] = [ = 26 (2 3)-matriisi * (3 4)-matriisi (2 4)-matriisi. Laske tulo AB. ] 40 / 220

41 Lause 4 Olkoot A, B ja C matriiseja ja λ R. Tällöin (a) A(B + C) = AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) = (AB)C, (d) (λa)b = A(λB) = λ(ab), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on hyvin määritelty. 41 / 220

42 Miten vektorit ja matriisit liittyvät toisiinsa? 42 / 220

43 Tulkitaan R n :n vektorit n 1-matriiseiksi eli pystyvektoreiksi x 1 x 2 x =.. x n Tämä tulkinta ei muuta vektorien yhteenlaskua eikä reaaliluvulla λ kertomista, ts. x 1 + y 1 λx 1 x 2 + y 2 λx 2 x + y = ja λx =... x n + y n λx n 43 / 220

44 Miten lineaarinen yhtälöryhmä voidaan kirjoittaa vektoreiden ja matriisien avulla? 44 / 220

45 Tällöin lineaarinen yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. a k1 x 1 + a k2 x a kn x n = b k, voidaan kirjoittaa muodossa Ax = b, missä x a 11 a 1 b 1 1n x 2 A =.., x =. ja b = b 2.. a k1 a kn x n b n Matriisi A on yhtälöryhmän kerroinmatriisi ja b on vakiovektori. 45 / 220

46 Esimerkki Esimerkki Määrää yhtälöryhmän 2x 1 + 3x 2 + 5x 3 = 10 x 1 3x 3 = 2 5x 2 3x 3 = 2, kerroinmatriisi ja vakiovektori. 46 / 220

47 Lause 5 Olkoon A M(k, n). Seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä, toisin sanoen (a) (b) (c): (a) Homogeeniyhtälöllä Ax = 0 on vain triviaaliratkaisu x = 0. (b) Kaikilla b R k yhtälöllä Ax = b on korkeintaan yksi ratkaisu. (c) Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmä yhtälöryhmälle Ax = b johtaa tilanteeseen J O T A.. I N 47 / 220

48 Todistus Todistus. (b) (c): Katso kappale 3.1. (a) (b): Antiteesi: On olemassa b R k ja x, y R n, x y, joille Ax = b = Ay. Tällöin Lauseen 4 perusteella 0 = b b = Ax Ay = Ax + A( y) = A(x y), joten z = x y 0 on homogeeniyhtälön Ax = 0 ratkaisu. Tämä on ristiriita, joten antiteesi on väärä. (b) (a): Koska yhtälöllä Ax = b on korkeintaan yksi ratkaisu kaikilla b R k, niin yhtälöllä Ax = 0 ei voi olla enempää kuin yksi ratkaisu. Koska homogeeniyhtälöllä on aina triviaaliratkaisu x = 0, niin kohta (a) pätee. Nyt kaikki väitteet on todistettu. 48 / 220

49 Lause 6 Olkoon A M(k, n). Seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä: (a) Kaikilla b R k yhtälöllä Ax = b on ainakin yksi ratkaisu. (b) Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmässä tapaus (2) (eli rivi 0 0 c, missä c 0) ei esiinny. 49 / 220

50 Ennakkotehtävä seuraavalle luentokerralle Ennakkotehtävä [ ] 1 3 Olkoot A = ja B = 1 4 [ ] a) Laske matriisien tulo BA. [ ] x1 b) Laske matriisen tulo (BA)x, kun x =. x 2 [ ] 1 c) Laske matriisien tulo Bb, missä b =. 3 d) Mitä voit aikaisempien kohtien perusteella sanoa yhtälön { x 1 + 3x 2 = 1 Ax = b x 1 + 4x 2 = 3 ratkaisusta? 50 / 220

51 Miten lineaarinen yhtälöryhmä voidaan ratkaista matriisien avulla? 51 / 220

52 Määritelmä 12 Matriisi A on neliömatriisi, jos A M(n, n) jollakin n N. Neliömatriisi A = [a ij ] on diagonaalimatriisi, jos a ij = 0 kaikilla i j. Diagonaalimatriisi I = [δ ij ] = M(n, n) on yksikkömatriisi eli identtinen matriisi. Tässä { 1, i = j δ ij = 0, i j. 52 / 220

53 Lause 7 Olkoon A M(n, n). Tällöin IA = AI = A. Määritelmä 13 Neliömatriisi A M(n, n) on kääntyvä, jos on olemassa B M(n, n), jolle AB = BA = I. Tällöin B on A:n käänteismatriisi ja sitä merkitään B = A / 220

54 Esimerkki Esimerkki Onko matriisi B = [ ] 6 2 kääntyvä? / 220

55 Käänteismatriisi Kun matriisia kerrotaan käänteismatriisilla, saadaan ykkösalkio (yksikkömatriisi) Jokaisella matriisilla ei ole käänteismatriisia Ensimmäinen ehto on, että matriisissa täytyy olla yhtä monta riviä ja saraketta Edes jokaisella n n-matriisilla ei ole käänteismatriisia Tarvitaan menetelmiä käänteismatriisin ja sen olemassaolon määräämiseksi 55 / 220

56 Lause 8 (a) Jos neliömatriisilla A on käänteismatriisi, niin se on yksikäsitteinen. Erityisesti (A 1 ) 1 = A. (b) Jos A, B M(n, n) ovat kääntyviä, niin AB on kääntyvä ja (AB) 1 = B 1 A / 220

57 Todistus Todistus. (a) Olkoot B ja C matriisin A käänteismatriiseja. Tällöin B L.7 = BI = B(AC) L.4 = (BA)C = IC L.7 = C. Siis B = C eli käänteismatriisi on yksikäsitteinen. Koska A 1 A = I = AA 1, on A = (A 1 ) 1. (b) Nyt B 1 A 1 M(n, n) ja (AB)(B 1 A 1 ) L.4 = A(BB 1 )A 1 = AIA 1 L.4 = AA 1 = I ja (B 1 A 1 )(AB) = B 1 (A 1 A)B = B 1 IB = B 1 B = I. Siis (AB) 1 = B 1 A / 220

58 Lause 9 Olkoon A M(n, n) kääntyvä. Tällöin kaikilla b R n yhtälöllä Ax = b on yksikäsitteinen ratkaisu x = A 1 b. 58 / 220

59 Todistus Todistus. Olkoon b R n mielivaltainen. Ensin osoitetaan, että ratkaisu on olemassa. Vektori A 1 b on yhtälön Ax = b ratkaisu, sillä sijoittamalla se muuttujan x paikalle saadaan Ax = A(A 1 b) = (AA 1 )b = Ib = b. Vielä täytyy osoittaa, että ratkaisu on yksikäsitteinen. Oletetaan, että y R n on mikä tahansa yhtälön Ay = b ratkaisu ja osoitetaan, että y = A 1 b. Kertomalla yhtälöä Ay = b puolittain käänteismatriisilla A 1 saadaan A 1 (Ay) = A 1 b (A 1 A)y = A 1 b Iy = A 1 b, joten y = A 1 b. 59 / 220

60 Lause 10 (Työnpuolituslause) Olkoot A, B M(n, n). Jos AB = I tai BA = I, niin A ja B ovat kääntyviä sekä A = B 1 ja B = A / 220

61 Miten selvittää, onko matriisi kääntyvä? Miten käänteismatriisi voidaan määrätä? 61 / 220

62 Määritelmä 14 Alkeismatriisi on sellainen matriisi, joka on saatu yksikkömatriisista I yhdellä rivioperaatiolla. Rivioperaatioita olivat P ij : vaihdetaan yhtälöt i ja j keskenään. M i (c): kerrotaan yhtälö i luvulla c 0. A ij (c): kerrotaan yhtälö i luvulla c R ja lisätään se yhtälöön j, missä i j. 62 / 220

63 Esimerkki Esimerkki Olkoot E 1 = 0 1 0, E 2 = 0 1 0, E 3 = 0 1 0, a b c A = d e f. g h i Millä rivioperaatioilla alkeismatriisit E 1, E 2 ja E 3 on saatu (Selvitä mitä ovat E 1 A, E 2 A ja E 3 A?) 63 / 220

64 Lause 11 Olkoon A M(m, n) ja olkoon E M(m, m) tietyllä rivioperaatiolla saatu alkeismatriisi. Tällöin tulo EA tuottaa saman matriisin kuin saman rivioperaation tekeminen matriisiin A. Todistus. Olkoon A 1 A n. A i A =., A j. missä A i on matriisin A i:s rivi ja A j on j:s rivi. 64 / 220

65 Olkoon E 1 matriisi, joka on saatu vaihtamalla rivit i ja j keskenään yksikkömatriisissa eli e 1. e j E 1 =., e i. missä e i = [ ] ja 1 on i:nnessä sarakkeessa. e n 65 / 220

66 Tällöin E 1 A = e 1 A. e j A. e i A. e n A = A 1. A j. A i. A n. Sama matriisi saadaan soveltamalla rivioperaatio P ij matriisiin A, joten väite pätee operaatiolle P ij. Muut kohdat vastaavasti. 66 / 220

67 Ennakkotehtävä seuraavalle luentokerralle Määritelmä 16 Olkoon A M(k, n). Matriisin A transpoosi on A T M(n, k), missä (A T ) ij = A ji kaikilla i = 1,..., n ja j = 1,..., k. Huomautus Transpoosin rivit ovat alkuperäisen matriisin sarakkeita ja transpoosin sarakkeet ovat alkuperäisen matriisin rivejä. Ennakkotehtävä Määrää matriisin (a) A = [ ] (b) A = transpoosi A T. 67 / 220

68 Lause 12 Jokaisella alkeismatriisilla on olemassa käänteismatriisi ja käänteismatriisi on myös alkeismatriisi. Todistus. Olkoon E alkeismatriisi ja olkoon F käänteisellä rivioperaatiolla saatu alkeismatriisi. Lauseen 11 nojalla matriiseilla E ja F kertominen kumoavat toisensa eli Siten E 1 = F. EF = I ja FE = I. 68 / 220

69 Määritelmä 15 Matriisi A on riviekvivalentti matriisin B kanssa, jos B saadaan matriisista A rivioperaatioilla. Lause 13 Olkoon A M(n, n). Tällöin seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä: (a) Matriisi A on kääntyvä. (b) Yhtälöllä Ax = b on täsmälleen yksi ratkaisu kaikilla b R n. (c) Homogeeniyhtälöllä Ax = 0 on vain triviaaliratkaisu x = 0. (d) Matriisi A on riviekvivalentti yksikkömatriisin I M(n, n) kanssa (eli Gaussin ja Jordanin menetelmä muuttaa A:n identtiseksi matriisiksi). (e) Matriisi A on alkeismatriisien tulo. 69 / 220

70 Todistus Todistus Osoitetaan, että (a) (b) (c) (d) (e) (a). (a) (b): Väite pätee Lauseen 9 nojalla. (b) (c): Koska yhtälöllä Ax = b on täsmälleen yksi ratkaisu kaikilla b R n, niin myös yhtälöllä Ax = 0 on täsmälleen yksi ratkaisu. Koska homogeeniyhtälöllä Ax = 0 on aina triviaaliratkaisu x = 0, sen täytyy olla ainoa ratkaisu. 70 / 220

71 Todistus Todistus (c) (d): Oletetaan, että homogeeniyhtälöllä Ax = 0 on vain triviaaliratkaisu. Kun merkitään a 11 a 12 a 1n x 1 a 21 a 22 a 2n A =... ja x = x 2., a n1 a n2 a nn x n niin yhtälöä Ax = 0 vastaava yhtälöryhmä on a 11 x 1 +a 12 x a 1n x n =0 a 21 x 1 +a 22 x a 2n x n =0. a n1 x 1 +a n2 x a nn x n =0. 71 / 220

72 Todistus Todistus Koska yhtälöllä Ax = 0 on täsmälleen yksi ratkaisu x = 0, niin Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmän täytyy johtaa tilanteeseen x 1 = 0 x 2 = 0. x n =0. Tämä tarkoittaa sitä, että matriisi A muuttuu rivioperaatioilla yksikkömatriisiksi I eli A on riviekvivalentti yksikkömatriisin kanssa. 72 / 220

73 Todistus Todistus (d) (e): Oletetaan, että matriisi A on riviekvivalentti yksikkömatriisin I n kanssa. Tällöin Lauseen 11 nojalla on olemassa sellaiset alkeismatriisit E 1,..., E k, että E 1 E k A = I. Koska alkeismatriisit ovat kääntyviä, niin yhtälöä voidaan kertoa vasemmalta puolittain matriisilla E1 1 ja saadaan E 2 E k A = E Seuraavaksi kerrotaan matriisilla E2, jolloin E 3 E k A = E2 1 E 1 1. Jatketaan, kunnes viimeisenä kerrotaan matriisilla E 1 k ja on saatu yhtälö A = E 1 k E2 1 E 1 1. Koska alkeismatriisien käänteismatriisit ovat alkeismatriiseja, kohta (e) pätee. 73 / 220

74 Todistus Todistus. (e) (a): Oletetaan, että A = E 1 E 2 E k, missä E 1,..., E k ovat alkeismatriiseja. Matriisi B = E 1 k E2 1 E 1 1. on matriisin A käänteismatriisi, koska Siten A on kääntyvä. AB = (E 1 E 2 E k )(E 1 k E2 1 = E 1 E 2 (E k E 1 k ) E 1 1 ) 2 E 1 1 = E 1 E 2 E k 1 IE 1 k 1 E 2 1 E 1 1 = E 1 E 2 (E k 1 E 1 k 1 ) E 2 1 E 1 1 = E 1 E1 1 = I. 74 / 220

75 Huomautus Jos matriisi ei ole kääntyvä, niin Lauseen 13 nojalla se ei ole riviekvivalentti yksikkömatriisin I kanssa. Tämä tarkoittaa sitä, että matriisin redusoidussa porrasmatriisissa on vähintään yksi nollarivi. 75 / 220

76 Mitä on saatu? Jokaista rivioperaatiota vastaa jokin alkeismatriisi E. Matriisi A M(n, n) on kääntyvä jos ja vain jos se on riviekvivalentti identiteettimatriisin kanssa. Siis A M(n, n) on kääntyvä jos ja vain jos E k E 2 E 1 A = I, joillakin alkeismatriiseilla E 1, E 2,..., E k M(n, n). Siis jos matriisi A on kääntyvä, A 1 = E k E 2 E 1 = E k E 2 E 1 I Kysymys: Miten saadaan käänteismatriisi selville? 76 / 220

77 Gaussin ja Jordanin algoritmi käänteismatriisin määräämiseksi. Matriisin A M(n, n) kääntyvyys voidaan testata ja A 1 voidaan etsiä Gaussin ja Jordanin menetelmällä seuraavasti: (1) Tarkastellaan laajennettua kerroinmatriisia [ A I ]. (2) Sovelletaan Gaussin ja Jordanin menetelmää. (3) Jos A muuttuu I :ksi, on viivan oikealla puolella A 1 eli [ I A 1 ]. Jos A ei muutu I :ksi, A ei ole kääntyvä. 77 / 220

78 Esimerkki Esimerkki (a) Laske matriisin A = käänteismatriisi [ ] 1 2 (b) Laske matriisin A = käänteismatriisi / 220

79 Määritelmä 16 Olkoon A M(k, n). Matriisin A transpoosi on A T M(n, k), missä (A T ) ij = A ji kaikilla i = 1,..., n ja j = 1,..., k. Huomautus Transpoosin rivit ovat alkuperäisen matriisin sarakkeita ja transpoosin sarakkeet ovat alkuperäisen matriisin rivejä. Esimerkki Määrää matriisin (a) A = [ ] (b) A = transpoosi A T. 79 / 220

80 Lause 14 Olkoot A, B M(k, n), C M(n, l) ja λ R. Tällöin (a) (A T ) T = A. (b) (A + B) T = A T + B T. (c) (λa) T = λa T. (d) (AC) T = C T A T. Lause 15 Olkoon A M(n, n) kääntyvä. Tällöin A T on kääntyvä ja (A T ) 1 = (A 1 ) T. 80 / 220

81 Ennakkotehtävä seuraavalle luentokerralle Ennakkotehtävä Milloin matriisi [ ] a b A = c d on kääntyvä? Määrää tällöin matriisin A käänteismatriisi. 81 / 220

82 Seuraavaksi tutustutaan determinanttiin. Determinantti on reaaliluku, joka on määritelty neliömatriiseille. Determinantin avulla voidaan esimerkiksi selvittää, onko matriisi kääntyvä. Determinanttia voidaan käyttää käänteismatriisin määräämisessä ja siten lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemisessa. 82 / 220

83 Geometrista tulkintaa (ei määritelmä!) Matriisin A M(n, n) determinantin itseisarvo, merkitään det A, on A:n sarakevektoreiden virittämän n-ulotteisen suuntaissärmiön tilavuus. Erityisesti, 1-ulotteisen suuntaissärmiön eli janan pituus on det a = a. 2-ulotteisen [ ] [ suuntaissärmiön ] (suunnikas) eli sarakevektoreiden a11 a12 ja määräämän suunnikkaan ala on a 21 a 22 a 11 a 22 a 12 a 21 ja det A = a 11 a 22 a 12 a 21, [ ] a11 a missä A = 12 (ks. luentomoniste esim. 21). a 21 a / 220

84 Määritelmä 17 Matriisin A M(n, n) ij:s alimatriisi A ij M(n 1, n 1) saadaan poistamalla A:sta i:s rivi ja j:s sarake. Neliömatriisin A M(n, n) determinantti on luku det A = n ( 1) 1+j A 1j det A 1j, j=1 missä det[a] = a. 84 / 220

85 Esimerkki Laske det A, kun [ ] a11 a (a) A = 12 a 21 a 22 a a 22 0 (b) A = a nn c) A = / 220

86 Lause 16 Neliömatriisin A determinantille pätee (a) kehittämissääntö i:nnen rivin suhteen n det A = ( 1) i+k a ik det A ik, k=1 (b) kehittämissääntö j:nnen sarakkeen suhteen n det A = ( 1) k+j a kj det A kj. k=1 86 / 220

87 Esimerkki Minkä rivin/sarakkeen suhteen kehittäisit seuraavien matriisien determinantit: A = 1 0 3, B = , C = 0 0 0? / 220

88 Esimerkki Olkoon A = Laske det A kehittämällä se 3. sarakkeen suhteen. 88 / 220

89 Lause 17 Olkoon A M(n, n). Tällöin seuraavat ominaisuudet pätevät: (a) Olkoon B matriisi, joka on saatu kertomalla jokin A:n rivi/sarake luvulla λ R. Tällöin det B = λ det A. (b) Jos jokin A:n rivi/sarake on nolla, niin det A = 0. (c) Olkoon A = [S 1 S n ], missä S j on A:n j:s sarake. Jos S j = V 1 + V 2 jollekin j, niin det A = det[s 1 V 1 + V 2 S n ] = det[s 1 V 1 S n ] + det[s 1 V 2 S n ]. 89 / 220

90 Lause (jatkuu..) R 1 R n Vastaavasti olkoon A =., missä R i on A:n i:s rivi. Jos R i = W 1 + W 2 jollekin i, niin R 1. det A = det W 1 + W 2 = det. R n R 1. W 1. R n + det R 1. W 2. R n. 90 / 220

91 Lause (jatkuu..) (d) Jos A:ssa on kaksi samaa riviä/saraketta, niin det A = 0. (e) Jos matriisi B saadaan A:sta vaihtamalla kaksi riviä/saraketta keskenään, niin det B = det A. (f) Jos B saadaan A:sta lisäämällä riviin/sarakkeeseen i rivi/sarake j i, kerrottuna luvulla λ R, niin det B = det A. 91 / 220

92 Todistus (a) Todistetaan rivivaihtoehto. Sarakevaihtoehto samoin. Oletetaan, että B on saatu kertomalla A:n i:s rivi luvulla λ. Tällöin kehittämällä i:nen rivin suhteen saadaan det B = = λ n ( 1) i+k B ik det B ik = k=1 n ( 1) i+k λa ik det A ik k=1 n ( 1) i+k A ik det A ik = λ det A. k=1 (b) Seuraa (a)-kohdasta valitsemalla λ = / 220

93 Todistus (c) Todistetaan saraketapaus. Rivitapaus todistetaan vastaavasti. Todistetaan väite induktiolla n:n suhteen. Kun n = 1, on det[a + b] = a + b = det[a] + det[b], joten väite pätee. Tehdään induktio-oletus, että väite pätee n n-matriiseille. Osoitetaan, että se pätee tällöin myös (n + 1) (n + 1)-matriiseille. Olkoot A = [ S 1 V 1 + V 2 S n+1], B = [ S 1 V 1 S n+1] ja C = [ S 1 V 2 S n+1], missä V 1 ja V 2 ovat j:nnessä sarakkeessa. 93 / 220

94 Todistus Tällöin n+1 det A = ( 1) 1+k A 1k det A 1k k=1 j 1 = ( 1) 1+k A 1k det A 1k + ( 1) 1+j (V1 1 + V1 2 ) det A 1j = k=1 n+1 + k=j+1 n+1 k=1,k j ( 1) 1+k A 1k det A 1k ( 1) 1+k A 1k (det B 1k + det C 1k ) + ( 1) 1+j V 1 1 det B 1j + ( 1) 1+j V 2 1 det C 1j 94 / 220

95 Todistus n+1 n+1 = ( 1) 1+k B 1k det B 1k + ( 1) 1+k C 1k det C 1k k=1 k=1 = det B + det C. 95 / 220

96 Todistus (d) Tarkastellaan n n, n 2, matriisia, jossa on kaksi samaa riviä. Todistetaan väite induktiolla luvun n suhteen. Perusaskel: Kun n = 2, niin [ ] a b A =, a b joten det A = a b a b = 0. Induktioaskel: Induktio oletus: Väite pätee k k, k 2, matriisille. Induktioväite: Väite pätee (k + 1) (k + 1) matriisille. Induktioväitteen todistus: Olkoon A (k + 1) (k + 1), k 2, matriisi, jossa rivit R i ja R j ovat samat. Tällöin on olemassa sellainen kokonaisluku m, että m i, m j ja 1 m k + 1. Kehitetään matriisin A determinantti rivin m suhteen. 96 / 220

97 Todistus Nyt k+1 det A = ( 1) m+p A mp det A mp. p=1 Jokaisessa matriisissa A mp on kaksi samaa riviä ja matriisit A mp ovat k k matriiseja. Näin induktio oletuksen nojalla det A mp = 0 kaikilla p = 1,..., k + 1, joten k+1 k+1 det A = ( 1) m+p A mp det A mp = ( 1) m+p A mp 0 = 0. p=1 p=1 Perusaskeleesta ja Induktioaskeleesta seuraa induktioperiaatteen nojalla, että alkuperäinen väite on tosi. 97 / 220

98 Todistus (e) Olkoot A = R 1. R i. R j. R n ja B = R 1. R j. R i. R n. Määritellään C = R 1. R i + R j. R i + R j. R n. 98 / 220

99 Todistus Nyt (d)-kohdan perusteella det C = 0. Lisäksi (c)-kohdan nojalla 0 = det C = det R 1. R i. R i + R j. R n + det R 1. R j. R i + R j. R n 99 / 220

100 Todistus = det R 1. R i. R i. R n + det R 1. R i. R j. R n + det R 1. R j. R i. R n + det R 1. R j. R j. R n = det A + det B. Siis det B = det A. 100 / 220

101 Merkintä 2 Merkintä A S ij (c) tarkoittaa, että i:s sarake kerrotaan luvulla c ja lisätään sarakkeeseen j ja A R ij (c) tarkoittaa vastaavaa rivioperaatiota. 101 / 220

102 Esimerkki (a) Olkoon A = Laske det A [ ] [ ] a b 5d b 5c a (b) Olkoon det = 2. Laske det. c d 2d 2c 102 / 220

103 Ennakkotehtävä seuraavalle luentokerralle Lause 18 Matriisi A M(n, n) on kääntyvä jos ja vain jos det A 0. Ennakkotehtävä Onko matriisi A = kääntyvä? / 220

104 Nyt osaamme laskea neliömatriiseille käänteismatriisin (jos se on olemassa) Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmällä ja determinantin. Määrittelimme myös matriisin transpoosin, joka voidaan määrätä kaikenkokoisille matriiseille. Osoitetaan, että matriisin kääntyvyys voidaan selvittää laskemalla sen determinantti. 104 / 220

105 Esimerkki (a) Matriisi A = [a] M(1, 1) on kääntyvä jos ja vain jos det A = a 0. [ ] a11 a (b) Matriisi A = 12 M(2, 2) on kääntyvä ja a 21 a [ 22 ] A 1 = 1 a22 a 12 det A jos ja vain jos det A 0. a 21 a / 220

106 Lause 18 Matriisi A M(n, n) on kääntyvä jos ja vain jos det A / 220

107 Todistus. : Oletetaan, että A on kääntyvä. Tällöin A on riviekvivalentti yksikkömatriisin I kanssa eli A muuttuu Gaussin ja Jordanin menetelmällä matriisiksi I. Lauseen 17 nojalla operaatio P ij vaihtaa determinantin merkin, operaatio M i (c) kertoo determinantin c:llä (c 0) ja A R ij (c) ei muuta determinanttia. Siten det A = c det I = c jollakin c 0, joten det A 0. : Oletetaan, että A ei ole kääntyvä. Tällöin A muuttuu Gaussin ja Jordanin menetelmällä matriisiksi B, jossa on nollarivi. Siten Lauseen 17 nojalla det A = c det B = / 220

108 Lause 19 Olkoot A, B M(n, n). Tällöin (a) det(ab) = det A det B, (b) det(a T ) = det A, (c) jos A on kääntyvä, niin det(a 1 ) = 1 det A. 108 / 220

109 Todistus. (c) Koska 1 = det I = det(aa 1 ) (a) = det A det(a 1 ), niin det(a 1 ) = 1 det A. 109 / 220

110 Määritelmä 18 Olkoon A M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cofa M(n, n), missä kaikilla i, j = 1,..., n. Huomautus (cofa) ij = ( 1) i+j det A ij Olkoon A M(n, n). Tällöin kaikilla i = 1,..., n det A = n ( 1) i+k A ik det A ik = k=1 n A ik (cofa) ik. k=1 110 / 220

111 Esimerkki Määrää matriisin A = liittomatriisi / 220

112 Lause 20 Olkoon A M(n, n). Tällöin A(cofA) T = det A I. Erityisesti, jos A on kääntyvä, niin A 1 = 1 det A (cofa)t. 112 / 220

113 Todistus Olkoot i, j {1,..., n}. Määritellään B M(n, n) seuraavasti: B = A paitsi B:n j:s rivi on sama kuin A:n i:s rivi. Tällöin det B = n B jk (cofb) jk = k=1 = ( A(cofA) T ) ij. n A ik (cofa) jk = k=1 n ( A ik (cofa) T ) kj k=1 Jos i = j, niin B = A, joten det B = det A. Jos i j, niin B:ssä on kaksi samaa riviä, joten det B = 0. Siis ( A(cofA) T ) ij = { det A, jos i = j 0, jos i j eli A(cofA) T = det A I. 113 / 220

114 Todistus. Jos A on kääntyvä, niin det A 0, joten A 1 det A (cofa)t = I eli A 1 = 1 det A (cofa)t. 114 / 220

115 Esimerkki Jos matriisi A = on kääntyvä, määrää A / 220

116 Lause 21 (Cramerin sääntö) Olkoon A M(n, n) kääntyvä. Tällöin yhtälöryhmän Ax = b yksikäsitteinen ratkaisu on det C(1) x 1 = x 2 =. x n = det A det C(2) det A det C(n) det A, missä A 11 b 1 A 1n A 21 b 2 A 2n C(i) = M(n, n) kaikilla i = 1,..., n.. A n1 b n A nn i:s sarake 116 / 220

117 Todistus. Lauseen 20 perusteella A 1 = 1 det A (cofa)t. Siten Lauseen 9 nojalla yhtälön Ax = b yksikäsitteinen ratkaisu on Nyt x = A 1 b = 1 det A (cofa)t b. x i = 1 det A = 1 det A n k=1 ( (cofa) T ) ik b k = 1 det A n ( 1) k+i b k det A ki = k=1 n b k (cofa) ki k=1 det C(i) det A kaikilla i = 1,..., n. 117 / 220

118 Esimerkki Ratkaise yhtälöryhmä x 1 + x 2 + 3x 3 = 9 2x 1 + 4x 2 3x 3 = 1 3x 1 + 6x 2 5x 3 = / 220

119 Kurssin alussa ratkaisimme lineaaristen yhtälöiden a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b muodostamia yhtälöryhmiä Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmällä. Sen jäälkeen yhtälöryhmä kirjoitettiin matriisien avulla muodossa Ax = b. Jos matriisi A on kääntyvä, niin matriisiyhtälöllä on yksikäsitteinen ratkaisu ja se voidaan ratkaista joko käänteismatriisi määräämällä, jolloin x = A 1 Ax = A 1 b, tai Cramerin säännön avulla. Erityisesti, jos n = 2, niin etsitään suorien leikkauspisteitä ja jos n = 3, etsitään tasojen leikkauspisteitä. 119 / 220

120 Ennakkotehtävä seuraavalle luentokerralle Ennakkotehtävä Esitä seuraavat vektorijoukot mahdollisimman yksinkertaisessa ( turhat vektorit pois) muodossa: (a) {λ 1 (2, 4) + λ 2 (4, 6) λ 1, λ 2 R} R 2 (b) {λ 1 (1, 3, 1) + λ 2 (1, 1, 1) + λ 3 (2, 6, 2) λ 1, λ 2, λ 3 R} R / 220

121 Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen kuvan muodostaa joukko {λ 1 v 1 + λ 2 v 2 λ 1, λ 2 R, v 1, v 2 R 3 }? Seuraavaksi tarkastellaan vektoreiden v 1,..., v k R n määräämää lineaarista verhoa {λ 1 v 1 + λ 2 v λ k v k λ 1,..., λ k R}. Jos on olemassa kertoimet λ 1,..., λ k R niin, että x = λ 1 v 1 + λ 2 v λ k v k, niin x on vektoreiden v 1,..., v k R n lineaarikombinaatio. 121 / 220

122 Vektoreiden v 1,..., v k R n määräämä lineaarinen verho on {λ 1 v 1 + λ 2 v λ k v k λ 1,..., λ k R}. (1) Loppukurssin yksi tärkeimmistä tavoitteista on löytää pienin mahdollinen vektorijoukko v 1,..., v l R n (kanta), joka riittää määräämään joukon (1).Esimerkiksi, jos v 1 ja v 2 ovat samansuuntaiset eli v 2 = tv 1, t R ja v 1, v 2 R 3, niin {λ 1 v 1 + λ 2 v 2 λ 1, λ 2 R} = {(λ 1 + tλ 2 )v 1 λ 1, λ 2, t R} = {λv 1 λ R} ja vektori v 1 riittää määräämään tämän joukon. Nyt vektorit v 1 ja v 2 ovat lineaarisesti riippuvat (koska v 2 = tv 1 eli v 2 tv 1 = 0). Jos v 1 ja v 2 ovat erisuuntaiset, ne ovat lineaarisesti riippumattomat. 122 / 220

123 Määritelmä 19 Vektori x R n on vektorien v 1,..., v k R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset λ 1,..., λ k R, että x = k λ i v i. i=1 Merkintä 4 i:s Merkitään e i = (0,..., 0, 1, 0,..., 0) R n, i = 1,..., n. Vektoreita e 1, e 2,..., e n kutsutaan R n :n luonnollisiksi kantavektoreiksi. 123 / 220

124 Esimerkki (a) Kirjoita vektori (5, 1, 7) R 3 luonnollisten kantavektorien e 1, e 2, e 3 R 3 lineaarikombinaationa. (b) Olkoot x = ( 4, 1, 6), v 1 = (1, 2, 0), v 2 = (3, 0, 4) ja v 3 = (2, 1, 2). Onko x vektorien v 1, v 2 ja v 3 lineaarikombinaatio? 124 / 220

125 Määritelmä 20 Vektorit v 1,..., v k R n ovat lineaarisesti riippuvia, jos on olemassa sellaiset λ 1,..., λ k R, että λ i 0 jollekin i = 1,..., k ja k i=1 λ iv i = 0. Muutoin vektorit v 1,..., v k ovat lineaarisesti riippumattomia, toisin sanoen ehdosta k i=1 λ iv i = 0 seuraa, että λ 1 = = λ k = / 220

126 Annettujen vektoreiden v 1,..., v k R n lineaarisen riippuvuuden/riippumattomuuden tutkiminen: Ratkaise λ 1,..., λ k R vektoriyhtälöstä λ 1 v 1 + λ 2 v λ k v k = 0. (2) Jos ainoa ratkaisu on λ 1 = = λ k = 0, vektorit ovat lineaarisesti riippumattomat. Muutoin ne ovat lineaarisesti riippuvat, eli tällöin on olemassa vähintään yksi λ i 0, i {1,..., k}, niin, että (2) pätee. Joskus lineaarinen riippuvuus nähdään helposti: Vektorit v 1 = (1, 0), v 2 = (1, 2) ja v 3 = (3, 4) ovat lineaarisesti riippuvia, koska ( 1)v 1 + ( 2)v 2 + 1v 3 = (1, 0) 2(1, 2) + (3, 4) = (0, 0). 126 / 220

127 Huomautus Lineaarisesti riippuvien vektorien monikerroista voidaan muodostaa suljettu silmukka. Sanotaan, että joukko {v 1,..., v k } on lineaarisesti riippuva/riippumaton, jos vektorit v 1,..., v k ovat lineaarisesti riippuvia/riippumattomia. 127 / 220

128 Esimerkki 32 (a) Vektorit v 1 = (1, 2, 0), v 2 = (3, 0, 4) ja v 3 = (2, 1, 2) ovat lineaarisesti riippuvia, sillä 1 v v 2 2 v 3 = (1, 2, 0) + (3, 0, 4) (4, 2, 4) = (0, 0, 0) = 0. (b) Joukko {(1, 0, 0), (0, 0, 1)} R 3 on lineaarisesti riippumaton, sillä ehdosta λ 1 (1, 0, 0) + λ 2 (0, 0, 1) = (0, 0, 0), seuraa, että (λ 1, 0, λ 2 ) = (0, 0, 0) eli λ 1 = 0 = λ / 220

129 Esimerkki 32 (c) Olkoot v 1,..., v k R n. Jos v i = 0 jollakin i = 1,..., k, niin vektorit v 1,..., v k ovat lineaarisesti riippuvia. Todistus. Oletetaan, että v i = 0. Valitaan λ j = 0 kaikilla j i ja λ i = 1. Tällöin k λ j v j = 0 v v i v i + 0 v i v k j=1 = = 0 ja λ i 0. Koska riittää, että vähintään yksi λ i on nollasta eroava, vektorit v 1,..., v k R n ovat lineaarisesti riippuvia. 129 / 220

130 Esimerkki 32 (d) Olkoon V = {v} R n. Tällöin V on lineaarisesti riippumaton täsmälleen silloin, kun v 0. Todistus. : Jos v = 0, niin (c)-kohdan perusteella V on lineaarisesti riippuva. : Jos v 0, niin λv = 0 vain, jos λ = 0, joten V on lineaarisesti riippumaton. 130 / 220

131 Esimerkki 32 (e) Jos vektorit v 1,..., v k R n ovat lineaarisesti riippuvia, niin vektorit v 1,..., v k, v R n ovat lineaarisesti riippuvia olipa v R n mikä tahansa. (f) Lineaarisesti riippumattoman joukon jokainen epätyhjä osajoukko on lineaarisesti riippumaton. 131 / 220

132 Esimerkki Ovatko vektorit (2, 1, 1), (3, 4, 2) ja (5, 10, 8) lineaarisesti riippumattomia? 132 / 220

133 Lause 22 Olkoon äärellisessä joukossa V R n vähintään kaksi alkiota. Tällöin V on lineaarisesti riippuva täsmälleen silloin, kun jokin V :n alkio v on joidenkin joukon V \{v} alkioiden lineaarikombinaatio. Huomautus Edellinen lause ei väitä, että jokainen vektori lineaarisesti riippuvassa joukossa voidaan esittää muiden vektoreiden lineaarikombinaationa. Lineaarisesti riippuvassa vektorijoukossa voi siis olla vektoreita, jotka eivät ole muiden vektoreiden lineaarikombinaatioita. Vrt. esimerkiksi joukko V = {(1, 2), (3, 0), (4, 8)} R / 220

134 Todistus : Oleteaan, että v V on vektorien v 1,..., v k V \{v} lineaarikombinaatio, toisin sanoen v = k i=1 λ iv i joillekin λ i R, i = 1,..., k. Tällöin k λ i v i 1 v = 0, i=1 joten vektorit v 1,..., v k, v ovat lineaarisesti riippuvia. Siten V on lineaarisesti riippuva Esimerkin 32 (e) perusteella. 134 / 220

135 Todistus. : Olkoon V = {v 1,..., v k } lineaarisesti riippuva. Tällöin on olemassa sellaiset λ 1,..., λ k R, että λ i 0 jollekin i = 1,..., k ja k j=1 λ jv j = 0. Siten λ i v i = k λ j v j eli v i = j=1 j i k j=1 j i λ j λ i v j, joten v i on joukon V \{v i } alkioiden lineaarikombinaatio. 135 / 220

136 Ennakkotehtävä seuraavalle luentokerralle Ennakkotehtävä Olkoot vektorit (2, 1, 1), (3, 4, 2) ja (5, 10, 8) matriisin A sarakkeita. Mikä on matriisin A determinantti? Miten arvelet vektoreiden lineaarisen riippumattomuuden ja edellisellä tavalla muodostetun matriisin determinantin liittyvän toisiinsa? 136 / 220

137 Lause 23 Olkoon A M(n, k). Merkitään A = [A 1 A k ], missä A i R n on A:n i:s sarakevektori kaikilla i = 1,..., k. Tällöin vektori A 1,..., A k R n ovat lineaarisesti riippumattomia, jos ja vain jos homogeeniyhtälöllä Ax = 0 on vain triviaaliratkaisu x = / 220

138 Todistus a 11 a ik Merkitään A =... Nyt a n1... a nk a 11 x a 1k x k 0 Ax = 0. =. a n1 x a nk x k 0 a 11 x 1 a 1k x k =. a n1 x 1 a nk x k 0 x 1 A x k A k = 0, missä x i R ja A i R n kaikilla i = 1,..., k. 138 / 220

139 Todistus. Jos A 1,..., A k ovat lineaarisesti riippumattomia, niin x 1 = = x k = 0, joten yhtälöllä Ax = 0 on vain triviaaliratkaisu x = 0. Jos taas yhtälöllä Ax = 0 on vain triviaaliratkaisu, niin vektorit A 1,..., A k ovat lineaarisesti riippumattomia. 139 / 220

140 Seuraus 1 Olkoot v 1,..., v n R n. Määritellään matriisi A M(n, n) asettamalla A = [v 1 v n ]. Tällöin vektorit v 1,..., v n ovat lineaarisesti riippumattomia, jos ja vain jos det A 0. Todistus. Seuraa Lauseista 23, 13 ja / 220

141 Olemme määritelleet vektorien lineaarikombinaation sekä lineaarisen riippuvuuden ja riippumattomuuden. Vektori x R n on vektorien v 1,..., v k R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset λ 1,..., λ k R, että x = k λ i v i. i=1 Vektorit v 1,..., v k R n ovat lineaarisesti riippuvia, jos on olemassa sellaiset λ 1,..., λ k R, että λ i 0 jollekin i = 1,..., k ja k i=1 λ iv i = 0. Muutoin vektorit v 1,..., v k ovat lineaarisesti riippumattomia, toisin sanoen ehdosta k i=1 λ iv i = 0 seuraa, että λ 1 = = λ k = 0. Huomaa, että λ 1 = = λ k = 0 toteuttaa aina yhtälön k i=1 λ iv i = 0. Pitää tutkia, onko olemassa nollasta eroavia arvoja λ i. 141 / 220

142 Seuraavaksi yleistetään origon kautta kulkevat suorat ja tasot avaruuteen R n. Ensin käsitellään vektorien kaikista lineaarikombinaatioista muodostuvaa lineaarista verhoa. Koko avaruuden R n riittää määräämään n kappaletta vektoreita v i R n. Sitten tutustutaan käsitteeseen avaruuden R n aliavaruus: Aliavaruus on R n :n osajoukko, joka on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen: jos kaksi joukon alkiota lasketaan yhteen, summa kuuluu samaan joukkoon ja jos joukon alkiota kerrotaan reaaliluvulla, monikerta kuuluu samaan joukkoon. Lineaarinen verho on aina avaruuden R n aliavaruus. 142 / 220

143 Määritelmä 21 Olkoon S = {v 1,..., v k } R n epätyhjä äärellinen joukko. Joukon S lineaarinen verho (peite) S = v 1,..., v k = { k λ j v j λ j R, j = 1,..., k} j=1 on vektorien v 1,..., v k kaikkien lineaarikombinaatioiden joukko. Vektori x kuuluu vektorien v 1,..., v k määräämään lineaariseen verhoon, jos on olemassa sellaiset λ 1, λ 2,..., λ k R, että x = λ 1 v 1 + λ 2 v λ k v k. 143 / 220

144 Esimerkki (a) (2, 4), (4, 8) = (2, 4), sillä {λ 1 (2, 4) + λ 2 (4, 8) λ 1, λ 2 R} = {c(2, 4) c R}. (b) (1, 3, 1), (1, 1, 1), (2, 6, 2) = (1, 3, 1), (1, 1, 1), sillä {λ 1 (1, 3, 1) + λ 2 (1, 1, 1) + λ 3 (2, 6, 2) λ 1, λ 2, λ 3 R} = {c 1 (1, 3, 1) + c 2 (1, 1, 1) λ R}. 144 / 220

145 Lause 24 Olkoon S = {v 1,..., v k } R n epätyhjä joukko ja x R n. Tällöin (a) x S S {x} = S. (b) Jos S on lineaarisesti riippumaton, niin x / S v 1,..., v k, x ovat lineaarisesti riippumattomia. 145 / 220

146 Todistus (a) : Oletetaan, että x S eli x = k i=1 λ iv i joillekin λ 1,..., λ k R. On osoitettava, että S {x} = S. Selvästi S S {x}, sillä jos y S, niin on olemassa sellaiset µ 1,..., µ k R, että y = k µ i v i = i=1 k µ i v i + 0 x, i=1 joten y S {x}. Olkoon siis y S {x}. Tällöin on olemassa sellaiset µ 1,..., µ k, µ k+1 R, että y = k µ i v i + µ k+1 x = i=1 k k µ i v i + µ k+1 λ i v i = i=1 i=1 k (µ i + µ k+1 λ i )v i, i=1 joten y S. Siis S {x} S ja S {x} = S. 146 / 220

147 Todistus. : Oletetaan, että S {x} = S. Aina pätee, että S S, sillä v = 1 v + w S\{v} 0 w kaikilla v S. Täten x S {x} S {x} = S eli x S. 147 / 220

148 Lause 25 Olkoon S = {v 1,..., v k } R n epätyhjä joukko ja w 1,..., w l S, missä l k + 1. Tällöin w 1,..., w l ovat lineaarisesti riippuvia. 148 / 220

149 Todistus Koska w j S kaikilla j = 1,..., l, löytyy sellaiset a ij R, i = 1,..., k, j = 1,..., l, että w 1 =a 11 v a k1 v k w 2 =a 12 v a k2 v k. w l =a 1l v a kl v k. Riittää löytää sellaiset λ 1,..., λ l R, että (λ 1,..., λ l ) 0 ja l j=1 λ jw j = 0, toisin sanoen yhtälöllä λ 1 (a 11 v a k1 v k ) + + λ l (a 1l v a kl v k ) = (a 11 λ a 1l λ l )v (a k1 λ a kl λ l )v k = 0 ( ) on epätriviaali ratkaisu λ = (λ 1,..., λ l ) / 220

150 Todistus. Yhtälö ( ) toteutuu ainakin silloin, kun jokaisen v i :n kerroin on nolla eli homogeeniyhtälö a 11 λ a 1l λ l =0. a k1 λ a kl λ l =0. toteutuu. Koska tässä yhtälöryhmässä on enemmän tuntemattomia kuin yhtälöitä (l > k), niin Gaussin ja Jordanin menetelmän tapaus (1) ei esiinny. Koska yhtälö on homogeeninen, tapaus (2) ei ole mahdollinen. Siten yhtälöllä on äärettömän monta ratkaisua. Erityisesti sillä on ratkaisu λ / 220

151 Seuraus 2 Olkoon S = {v 1,..., v k } R n. (a) Jos k > n, niin S on lineaarisesti riippuva. (b) Jos k < n, niin S R n. Todistus. (a) Koska e 1,..., e n = R n, v 1,..., v k R n ja k > n, niin Lauseen 25 nojalla v 1,..., v k ovat lineaarisesti riippuvia. (b) Jos S = R n, niin Lauseen 25 nojalla e 1,..., e n R n olisivat lineaarisesti riippuvia (n > k), mikä on ristiriita. 151 / 220

152 Seuraus 3 Olkoon S R n lineaarisesti riippumaton. Tällöin S = R n S:ssä on n alkiota. Todistus. : Seuraa Seurauksesta 2. : Jos S R n, niin on olemassa x R n \ S. Lauseen 24 (b) nojalla S {x} on lineaarisesti riippumaton, mikä on ristiriita Seurauksen 2 kanssa. 152 / 220

153 Esimerkki Mikä on joukon S = {( 2, 2, 3), (4, 6, 8), ( 2, 3, 2), ( 4, 1, 3)} lineaarinen verho? 153 / 220

154 Ennakkotehtävä seuraavalle luentokerralle Ennakkotehtävä Joukko R voidaan upottaa tasoon R 2 samaistamalla se joukon R = {(x, 0) R 2 x R} kanssa. Jos x, y R, niin x + y = (x 1, 0) + (y 1, 0) = (x 1 + y 1, 0) R ja λx = λ(x 1, 0) = (λx 1, 0) R kaikilla λ R. Onko R 2 :ssa muita aitoja osajoukkoja, jotka ovat suljettuja yhteenlaskun ja reaaliluvulla kertomisen suhteen? Entä R n :ssä? 154 / 220

155 Esimerkki Kuva : Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 155 / 220

156 Esimerkki Kuva : Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 156 / 220

157 Määritelmä 22 Epätyhjä joukko V R n on R n :n (vektori)aliavaruus, jos (a) v, w V v + w V ja (b) λ R, v V λv V. Huomautus Aliavaruus on epätyhjä joukko, joten siellä on vähintään yksi alkio v V. Koska λv V kaikilla λ R, niin 0 = 0 v V. Nolla-alkio kuuluu siis aina aliavaruuteen. 157 / 220

158 Esimerkki Onko vektorijoukko V = {x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 : x 1 x 2 + 2x 3 = 0} avaruuden R 3 aliavaruus? 158 / 220

159 Lause 26 Olkoot V, W R n aliavaruuksia. Tällöin V W on R n :n aliavaruus, mutta V W ei yleensä ole R n :n aliavaruus. Todistus. Koska 0 V ja 0 W, niin 0 V W, joten V W. Olkoot v, w V W ja λ R. Nyt v, w V, joten v + w V, ja v, w W joten v + w W. Siis v + w V W. Lisäksi λv V ja λv W, joten λv V W. Näin ollen V W on R n :n aliavaruus. Tapaus V W HT. 159 / 220

160 Lause 27 Olkoon V R n aliavaruus. Tällöin kaikilla k N pätee: jos v 1,..., v k V ja λ 1,..., λ k R, niin k i=1 λ iv i V. 160 / 220

161 Lause 28 (a) Olkoon A M(k, n). Yhtälöryhmän Ax = 0 ratkaisujoukko R 0 on R n :n aliavaruus. (b) Olkoon b R k ja A M(k, n). Oletetaan, että yhtälöryhmällä Ax = b on jokin ratkaisu x 0. Tällöin yhtälöryhmän Ax = b ratkaisujoukko on R = x 0 + R 0 = {x 0 + y y R 0 }, missä R 0 on yhtälöryhmän Ax = 0 ratkaisujoukko. 161 / 220

162 Todistus (a) Koska A0 = 0, niin 0 R 0. Olkoot x, y R 0. Tällöin A(x + y) = Ax + Ay = = 0, joten x + y R 0. Samoin A(λx) = λax = λ 0 = 0 kaikilla λ R, joten λx R / 220

163 Todistus. (b) Olkoon z R. Tällöin z = x 0 + y jollakin y R 0. Nyt Az = A(x 0 + y) = Ax 0 + Ay = b + 0 = b, joten z on yhtälön Ax = b ratkaisu. Jos taas z on yhtälön Ax = b ratkaisu, niin A(z x 0 ) = Az Ax 0 = b b = 0, joten z x 0 R 0. Nyt z = x 0 + z x 0 R. 163 / 220

164 x x 2 x 1 Kuva : Origon kautta kulkeva alempi taso on yhtälöryhmän Ax = 0 ratkaisujoukko (kun ratkaisujoukossa on kaksi vapaata muuttujaa). Ylempi taso on yhtälöryhmän Ax = b ratkaisujoukko. 164 / 220

165 Lause 29 Epätyhjän joukon S = {v 1,..., v k } R n lineaarinen verho S on R n :n aliavaruus. Se on pienin R n :n aliavaruus, joka sisältää joukon S, toisin sanoen, jos V on R n :n aliavaruus ja S V, niin S V. 165 / 220

166 Todistus Osoitetaan, ensin, että S on R n :n aliavaruus. Koska S S ja S, niin S. Olkoot v, w S. Tällöin on olemassa λ 1,..., λ k R ja µ 1,..., µ k R, joille v = k i=1 λ iv i ja w = k i=1 µ iv i. Tällöin v + w = k k λ i v i + µ i v i = i=1 i=1 k (λ i + µ i )v i S. i=1 Samoin, jos λ R, niin k λv = λ λ i v i = i=1 k (λλ i )v i S. i=1 Siis S on R n :n aliavaruus. 166 / 220

167 Todistus. Olkoon V R n :n aliavaruus, jolle S V. Osoitetaan, että S V. Olkoon v S. Tällöin löytyy sellaiset λ 1,..., λ k R, että v = k i=1 λ iv i. Koska v i V kaikilla i = 1,..., k, niin Lauseen 27 nojalla v V. Siis S V. 167 / 220

168 Huomautus (a) Joukon S lineaarista verhoa S kutsutaan usein S:n virittämäksi aliavaruudeksi. Jos V on aliavaruus ja V = S, niin S virittää V :n. (b) Luonnolliset kantavektorit e 1,..., e n virittävät R n :n, sillä e 1,..., e n = R n. Lisäksi vektorit e 1,..., e n ovat lineaarisesti riippumattomia. 168 / 220

169 Seuraavaksi määritellään aliavaruuden kanta ja dimensio. (Kysymys: Mikä on pienin vektorijoukko, minkä avulla voidaan esittää tarkasteltava aliavaruus?) 169 / 220

170 Määritelmä 23 Olkoon V R n aliavaruus. Vektorit v 1,..., v k V muodostavat aliavaruuden V kannan, jos (a) v 1,..., v k ovat lineaarisesti riippumattomia ja (b) v 1,..., v k = V. Tällöin sanotaan, että joukko {v 1,..., v k } on V :n kanta. Aliavaruuden V kanta on pienin vektorijoukko, joka virittää V :n eli v 1,..., v k = V pätee. Toisaalta, V :n kanta on suurin mahdollinen lineaarisesti riippumaton V :n osajoukko. 170 / 220

171 Esimerkki Mitkä seuraavista vektorijoukoista ovat avaruuden R 3 kantoja? a) {(1, 0, 3), (3, 1, 4), ( 2, 1, 1)} b) {(3, 3, 0), ( 3, 7, 0), (0, 0, 0), (0, 3, 5)} c) {(1, 2, 4), ( 4, 3, 6)} 171 / 220

172 Lause 30 Jos vektorit v 1,..., v k R n ovat lineaarisesti riippumattomia, niin jokainen v v 1,..., v k voidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa v = k λ i v i, i=1 missä λ 1,..., λ k R. 172 / 220

173 Todistus. Olkoon v v 1,..., v k. Tällöin on olemassa sellaiset λ 1,..., λ k R, että v = k i=1 λ iv i. Olkoot µ 1,..., µ k R sellaiset, että v = k i=1 µ iv i. Osoitetaan, että λ i = µ i kaikilla i = 1,..., k. Nyt 0 = v v = k k λ i v i µ i v i = i=1 i=1 k (λ i µ i )v i. i=1 Koska v 1,..., v k ovat lineaarisesti riippumattomia, on λ i µ i = 0 kaikilla i = 1,..., k eli λ i = µ i kaikilla i = 1,..., k. 173 / 220

174 Määritelmä 24 Olkoon K = {v 1,..., v k } aliavaruuden V R n kanta. Vektorin v K koordinaatit kannassa K ovat lauseen 30 antamat yksikäsitteiset kertoimet λ 1,..., λ k, joille v = k i=1 λ iv i. Tällöin merkitään v = (λ 1,..., λ k ) K. Jos K on avaruuden R n luonnollinen kanta, niin alaindeksi K jätetään pois: x = (x 1,..., x n ). 174 / 220

x 2 x 3 x 1 x 2 = 1 2x 1 4 x 2 = 3 x 1 x 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili

x 2 x 3 x 1 x 2 = 1 2x 1 4 x 2 = 3 x 1 x 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili 6 4 2 x 2 x 3 15 10 5 0 5 15 5 3 2 1 1 2 3 2 0 x 2 = 1 2x 1 0 4 x 2 = 3 x 1 x 5 2 5 x 1 10 x 1 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili Sisältö

Lisätiedot

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty

Lisätiedot

802118P Lineaarialgebra I (4 op)

802118P Lineaarialgebra I (4 op) 802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

Lineaarialgebra I. Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Esa Järvenpää Kirjoittanut Tuula Ripatti

Lineaarialgebra I. Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Esa Järvenpää Kirjoittanut Tuula Ripatti Lineaarialgebra I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Esa Järvenpää Kirjoittanut Tuula Ripatti 2 1 Lineaarinen yhtälöryhmä 11 Esimerkki (a) Ratkaise yhtälö 5x = 7 Kerrotaan yhtälö puolittain

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä 1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä

Lisätiedot

Matematiikka B2 - TUDI

Matematiikka B2 - TUDI Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaarinen yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, (1) voidaan esittää

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/81 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 )

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin

Lisätiedot

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut 2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja

Lisätiedot

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä

Lisätiedot

Vektoreiden virittämä aliavaruus

Vektoreiden virittämä aliavaruus Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.

Lisätiedot

Lineaarialgebra (muut ko)

Lineaarialgebra (muut ko) Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/103 Lineaarialgebra (muut ko) Tero Laihonen Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/103 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v

Lisätiedot

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Lotta Oinonen ja Johanna Rämö 6. joulukuuta 2012 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos 2012 Sisältö 1 Avaruus R n 4 1 Avaruuksien R 2 ja R 3 vektorit.....................

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 6.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Kertausta: Kääntyvien matriisien lause Lause 1 Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä.

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 23.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Käytännön asioita Ensimmäiset tehtävät olivat sujuneet hyvin. Kansilehdet on oltava mukana tehtäviä palautettaessa,

Lisätiedot

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Ortogonaalisen kannan etsiminen Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,

Lisätiedot

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät 1 1 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT Muotoa 11 Lineaariset yhtälöryhmät (1) a 1 x 1 + a x + + a n x n b oleva yhtälö on tuntemattomien x 1,, x n lineaarinen yhtälö, jonka kertoimet ovat luvut a 1,,

Lisätiedot

Käänteismatriisin ominaisuuksia

Käänteismatriisin ominaisuuksia Käänteismatriisin ominaisuuksia Lause 1.4. Jos A ja B ovat säännöllisiä ja luku λ 0, niin 1) (A 1 ) 1 = A 2) (λa) 1 = 1 λ A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1 4) (A T ) 1 = (A 1 ) T. Tod.... Ortogonaaliset matriisit

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Matriisitulo Determinantti

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Matriisitulo Determinantti Talousmatematiikan perusteet: Luento 1 Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Matriisitulo Determinantti Viime luennolta Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia 9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 4.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Viimeiset harjoitukset on palautettava torstaina 13.6. Laskaripisteensä ja läsnäolonsa voi kukin tarkistaa

Lisätiedot

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista 29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n

Lisätiedot

Seuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117

Seuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Seuraava luento ti 31.10 on salissa XXII Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/117 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa I Jokke Häsä, Lotta Oinonen, Johanna Rämö 9 heinäkuuta 2013 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Avaruuksien R 2 ja R 3 vektorit 4 11 Kaksiulotteisen

Lisätiedot

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä 7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

2.8. Kannanvaihto R n :ssä

2.8. Kannanvaihto R n :ssä 28 Kannanvaihto R n :ssä Seuraavassa kantavektoreiden { x, x 2,, x n } järjestystä ei saa vaihtaa Vektorit ovat pystyvektoreita ( x x 2 x n ) on vektoreiden x, x 2,, x n muodostama matriisi, missä vektorit

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Talousmatematiikan perusteet: Luento 10 Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Lineaarikuvaus Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta, jossa käytetään

Lisätiedot

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan. Juha Honkala 2017

Johdatus lineaarialgebraan. Juha Honkala 2017 Johdatus lineaarialgebraan Juha Honkala 2017 Sisällysluettelo 1 Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit 11 Lineaariset yhtälöryhmät 12 Matriisit 13 Matriisien alkeismuunnokset ja porrasmatriisit 14 Yhtälöryhmien

Lisätiedot

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella

Lisätiedot

Kaksirivisen matriisin determinantille käytämme myös merkintää. a 11 a 12 a 21 a 22. = a 11a 22 a 12 a 21. (5.1) kaksirivine

Kaksirivisen matriisin determinantille käytämme myös merkintää. a 11 a 12 a 21 a 22. = a 11a 22 a 12 a 21. (5.1) kaksirivine Vaasan yliopiston julkaisuja 97 5 DETERMINANTIT Ch:Determ Sec:DetDef 5.1 Determinantti Tämä kappale jakautuu kolmeen alakappaleeseen. Ensimmäisessä alakappaleessa määrittelemme kaksi- ja kolmiriviset determinantit.

Lisätiedot

Matriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n.

Matriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n. Matriisipotenssi Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: Määritelmä Oletetaan, että A on n n -matriisi (siis neliömatriisi) ja k

Lisätiedot

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen Informaatiotieteiden yksikkö Lineaarialgebra 1A Pentti Haukkanen Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen . 2 Sisältö 1 Matriisit, determinantit ja lineaariset yhtälöryhmät 4 1.1 Matriisit..............................

Lisätiedot

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa

Lisätiedot

5 Lineaariset yhtälöryhmät

5 Lineaariset yhtälöryhmät 5 Lineaariset yhtälöryhmät Edellisen luvun lopun esimerkissä päädyttiin yhtälöryhmään, jonka ratkaisemisesta riippui, kuuluuko tietty vektori eräiden toisten vektorien virittämään aliavaruuteen Tämäntyyppisiä

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä) Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä

Lisätiedot

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla:

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla: 11 Determinantti Neliömatriisille voidaan laskea luku, joka kertoo muun muassa, onko matriisi kääntyvä vai ei Tätä lukua kutsutaan matriisin determinantiksi Determinantilla on muitakin sovelluksia, mutta

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause

Lisätiedot

Kurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa.

Kurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa. 7 Matriisilaskenta Kurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa. 7.1 Lineaariset yhtälöryhmät Yhtälöryhmät liittyvät tilanteisiin, joissa on monta tuntematonta

Lisätiedot

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus. 1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen Informaatiotieteiden yksikkö Lineaarialgebra 1A Pentti Haukkanen Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen . 2 Sisältö 1 Matriisit, determinantit ja lineaariset yhtälöryhmät 4 1.1 Matriisin määritelmä.......................

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa I Jokke Häsä, Lotta Oinonen, Johanna Rämö 27. marraskuuta 2015 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Vektoriavaruuksien R 2 ja R 3 vektorit........................

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear

Lisätiedot

(1.1) Ae j = a k,j e k.

(1.1) Ae j = a k,j e k. Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim

Lisätiedot

Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi Matriisit, kertausta Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Kertaa tarvittaessa materiaalin lukuja 1 3 ja 9. Tarvitset myös luvusta 4 määritelmän 4.1.

Tehtäväsarja I Kertaa tarvittaessa materiaalin lukuja 1 3 ja 9. Tarvitset myös luvusta 4 määritelmän 4.1. HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 25.5.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Kertaa tarvittaessa materiaalin lukuja

Lisätiedot

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa. LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,

Lisätiedot

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen Informaatiotieteiden yksikkö Lineaarialgebra 1A Pentti Haukkanen Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen . 2 Sisältö 1 Matriisit, determinantit ja lineaariset yhtälöryhmät 4 1.1 Matriisin määritelmä.......................

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2015 Harjoitus 4 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 862015 klo 1615 Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin

Lisätiedot

Oppimistavoitematriisi

Oppimistavoitematriisi Oppimistavoitematriisi Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Arvosanaan 1 2 riittävät Arvosanaan 5 riittävät Yhtälöryhmät (YR) Osaan ratkaista ensimmäisen asteen yhtälöitä ja yhtälöpareja Osaan muokata

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin

Lisätiedot

Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät

Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät LuK-tutkielma Jesse Salo 2309369 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sisältö Johdanto 2 1 Kongruensseista 3 1.1 Kongruenssin ominaisuuksia...................

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2014 Harjoitus 4 Ratkaisujen viimeinen palautuspäivä: pe 662014 klo 1930 Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun

Lisätiedot

Oppimistavoitematriisi

Oppimistavoitematriisi Oppimistavoitematriisi Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Esitiedot Arvosanaan 1 2 riittävät Arvosanaan 3 4 riittävät Arvosanaan 5 riittävät Yhtälöryhmät (YR) Osaan ratkaista ensimmäisen asteen yhtälöitä

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 06 laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Alla olevat esimerkkiratkaisut ovat melko ksitiskohtaisia Tenttivastauksissa ei leensä tarvitse muistaa lauseiden, määritelmien, esimerkkien

Lisätiedot

Vektorien virittämä aliavaruus

Vektorien virittämä aliavaruus Vektorien virittämä aliavaruus Esimerkki 13 Mikä ehto vektorin w = (w 1, w 2, w 3 ) komponenttien on toteutettava, jotta w kuuluu vektoreiden v 1 = (3, 2, 1), v 2 = (2, 2, 6) ja v 3 = (3, 4, 5) virittämään

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

Similaarisuus. Määritelmä. Huom.

Similaarisuus. Määritelmä. Huom. Similaarisuus Määritelmä Neliömatriisi A M n n on similaarinen neliömatriisin B M n n kanssa, jos on olemassa kääntyvä matriisi P M n n, jolle pätee Tällöin merkitään A B. Huom. Havaitaan, että P 1 AP

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 8. Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo

Talousmatematiikan perusteet: Luento 8. Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo Talousmatematiikan perusteet: Luento 8 Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo Motivointi Esim. Herkkumatikka maksaa 50 /kg. Paljonko

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 9

Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo ja pituus Vektorien välinen kulma Motivointi Tähän asti olemme tarkastelleet yhden

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:

Lisätiedot

Yleiset lineaarimuunnokset

Yleiset lineaarimuunnokset TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa I Jokke Häsä, Lotta Oinonen, Johanna Rämö 11. syyskuuta 2016 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Vektoriavaruuksien R 2 ja R 3 vektorit........................

Lisätiedot