Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?

Transkriptio

1 Harjoitus 1, kevät Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi A a) Osoita, että (AB) t = B t A t aina kun A, B C n n b) Osoita, että sisätulolle pätee (Ax y) = (x A y) aina kun A C n n ja x, y C n. 4. Osoita, että jos A, B, ja A + B ovat säännöllisiä, niin myös A 1 + B 1 on säännöllinen ja (A + B) 1 = A 1 A 1 (A 1 + B 1 ) 1 A Määritellään kuvaus A: K n K n (K = R tai C) siten, että A(x 1, x,..., x n ) = (x 1, x x 1,..., x n x n 1 ). Osoita, että kuvaus A on lineaarinen. Mikä on dim (R(A))? 6. Olkoon A: K n K n lineaarinen kuvaus. Osoita, että seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä: (i) A on injektio; (ii) A on surjektio; (iii) A on bijektio. 7. Olkoon V = {x x on kuvaus R R} ja määritellään kuvaus P : V V siten, että P x(t) = 1 (x(t) + x( t)), kaikilla x V, t R. Osoita, että P on projektio. Mikä on suora summa N (P ) R(P )? 8. Olkoon P, Q: V V projektioita siten, että N (P ) N (Q). Osoita, että QP = Q.

2 Harjoitus, kevät Olkoon z K n yhtälön Ax = c ratkaisu, missä A K n n. Osoita, että (i) jos v N (A), niin z + v on myös yhtälön Ax = c ratkaisu. (ii) jokaiselle ratkaisulle x K n kohti on olemassa v N (A) siten, että x = z + v. [ ] B1 C. Osoita, että matriisin A =, missä B 0 B 1 ja B ovat neliömatriiseja, determinantti on det A = det B 1 det B. [ ] (Vihje. I 0 Esitä A muodossa A = C 1 C, missä C 1 =.) 0 B 3. Olkoon A K m n ja B K n m. Osoita, että [ ] 0 A det = det( AB) (ts. = ( 1) m det(ab)). B I (Vihje. Käytä edellistä tehtävää.) 4. Vektoreiden x 1,..., x k C n (k n) Gram-determinantti on G(x 1,..., x k ) = det(a A), missä A = [x 1,..., x k ] ja A = (A) t. Osoita Binet-Cauchy -kaavaa käyttäen, että aina G Olkoon A = [a ij ] n n K n n yläkolmiomatriisi, jossa a kk 0 aina kun k = 1,,..., n. Osoita, että adj A ja A 1 ovat yläkolmiomatriiseja. 6. Todista ns. Cauchyn identiteetti [ ] a1 c det a n c n a 1 d a n d n = b 1 c b n c n b 1 d b n d n Osoita tämän avulla, että 1 i<j n a i b i a j b j c i d i c j d j. ( a a n )( b b n ) (a 1 b a n b n ) aina kun a i, b i C. (Vihje. Hajota identiteetin vasemman puoleinen matriisi kahden matriisin tuloksi ja käytä Binet-Cauchy -kaavaa.)

3 Harjoitus 3, kevät Olkoon A K n n. Osoita, että (i) jos r(a) = n, niin r(adj A) = n; (ii) jos r(a) = n 1, niin r(adj A) = 1; Vihje. Käytä arvionnissa yhtälöä r(a adj A) r(a) + r(adj A) n. (iii) jos r(a) < n 1, niin r(adj A) = 0.. Määrää matriisille A = LU-hajotelma (ks. Lause.14). Mikä on det A? Vihje. Kirjoita matriisi A vaaditussa muodossa LU tuntemattomien muuttujien avulla ja ratkaise ne. 3. Olkoon A edellisen tehtävän matriisi. Ratkaise LU-hajotelmaa käyttäen yhtälö Ax = (1, 1, 1) t. 4. Olkoon matriisin A K n n kaikki johtavat pääminorit (siis myös det A) nollasta eroavia. Osoita, että A = LDU, missä D on diagonaalimatriisi, L on sellainen alakolmio- ja U sellainen yläkolmiomatriisi, että diagonaalialkiot ovat kaikki ykkösiä. Mitä voit sanoa hajotelman yksikäsitteisyydestä? 5. Osoita, että matriisi A C n n on hermiittinen (ts. A = A) jos ja vain jos (Ax y) = (x Ay) kaikilla x, y C n. 6. Olkoon A C n n. Osoita, että jos x Ax = 0 kaikilla x C n, niin A = 0 C n n. Vihje. Käytä vektoreita e i, e i + e j ja e i + ie j. 7. Matriisin A C n n sanotaan olevan unitaarinen jos A = A 1, ts. A A = I. Osoita tehtävää 5 käyttäen, että A on unitaarinen jos ja vain jos (Ax Ax) = (x x) kaikilla x C n.

4 Harjoitus 4, kevät Olkoon A: V V lineaarinen kuvaus. Osoita, että jos jollakin vektorilla x 0 V (x 0 0) pätee Ax 0 = λx 0, jollakin λ K, niin aliavaruus S = L{x 0 } on A-invariantti.. Määrää matriisin 8 A = karakteristinen polynomi (i) laskemalla det(λi A) ja (ii) laskemalla matriisin A pääminorit (Lause 3.14). Määrää matriisin A spektri σ(a) ja ominaisvektorit. 3. Olkoon matriisi A C n n. Osoita, että seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä: (a) A on unitaarinen; (b) (Ax Ay) = (x y) kaikilla x, y C n ; (c) matriisin A pystyrivit ovat ortonormaaleja; (d) matriisin A vaakarivit ovat ortonormaaleja. (Vihje. Laske kohdissa (c) ja (d) matriisien A A ja AA (i, j)-alkiot ja tulkitse sisätulon avulla.) 4. Olkoon matriisi A C n n unitaarinen. Osoita, että λ = 1 matriisin A jokaiselle ominaisarvolle λ C. Osoita lisäksi, että det A = Osoita, että jos A K n n on hermiittinen (ts. A = A) ja positiivisesti deniitti (ts. x Ax > 0 kaikilla x K n \ {0}), niin det A > 0. (Vihje. Tarkastele ominaisvektoreita.) 6. Osoita, että hermiittisen matriisin ominaisarvot ovat reaaliset ja erisuuria ominaisarvoja vastaavat ominaisvektori ovat keskenään ortogonaaliset. (Vihje. Osoita aluksi, että λ = λ kaikilla ominaisarvoilla λ.) 7. Olkoon T : V V lineaarinen kuvaus, missä dim V = n. Oletetaan, että S V on sellainen T -invariantti aliavaruus, että dim S = r. Osoita, että tällöin lineaarisen kuvauksen T matriisi A voidaan esittää muodossa [ ] A1 B A =, 0 A missä matriisit A 1 K r r ja A K (n r) (n r). (Vihje. Esitä V muodossa S S. Huomaa, että S ei ole välttämättä T - invariantti.) Huom. Yllä V on äärellisulotteinen K-kertoiminen vektoriavaruus.

5 Harjoitus 5, kevät Osoita, että matriisin A K n n erisuuria ominaisarvoja vastaavat ominaisvektorit ovat lineaarisesti riippumattomia.. Laske matriisin A k + 3A + I (k = 1,,...) ominaisarvot kun 8 A = (Vihje. Määrää matriisin A ominaisarvot (ks. harjoitus 4 teht..) 3. Milloin -matriisi on diagonalisoituva? 4. Olkoon matriisit A K n n ja B K n n similaarisia. Osoita, että (a) det A = det B ja r(a) = r(b); (b) c A (λ) = c B (λ) ja tr A = tr B; (c) A t ja B t ovat similaariset; (d) p(a) ja p(b) ovat similaariset aina kun p(λ) on K-kertoiminen polynomi. [ ] [ ] Osoita lisäksi, että matriisit A = ja A = eivät ole similaariset vaikka niiden asteet, determinantit, karakteristiset polynomit ja jäljet ovat samat. 5. Olkoon A ja B diagonalisoituvia. Osoita, että A ja B ovat similaariset jos ja vain jos c A (λ) = c B (λ). (Vrt. edellinen tehtävä) 6. Osoita, että matriisin A K n n vasempia ominaisvektoreita vastaavat ominaisarvot ovat samat kuin oikeita ominaisvektoreita vastaavat ominaisarvot. (Ei siis tarvitse puhua vasemmista ja oikeista ominaisarvoista.) [ ] Osoita, että matriisi A = on diagonalisoituva ja määrää spektraaliesityslauseessa (ks. luennot) esiintyvät projektiot G j. Laske tämän avulla A Osoita, että matriiseilla AB ja BA on sama karakteristinen polynomi aina kun A, B C n n. (Vihje. Käytä hyväksi yhtälöä [ AB ] [ 0 I ] A B }{{ 0 } 0 I E ja totea, että E ja F ovat similaariset.) = [ I ] [ A 0 0 ] 0 I B BA }{{} F

6 Harjoitus 6, kevät Onko matriisi 0 4 A = diagonalisoituva? Onko A unitaarisesti similaarinen jonkin diagonaalimatriisin kanssa? Onko A normaali?. Olkoon matriisin A ominaisarvot λ 1 = 1, λ = 1 ja λ 3 = 0 sekä niitä vastaavat ominaisvektorit x 1 = ( 1, 1, 1) t, x = ( 1, 4, 1) t ja x 3 = (1,, 1) t. Määrää matriisi A. 3. Olkoon matriisi A K n n idempotentti (eli projektio), ts. A = A. (a) Osoita, että jos λ on matriisin A ominaisarvo, niin λ = 0 tai λ = 1. (b) Jos x on matriisin A ominaisarvoa λ vastaava ominaisvektori, niin määrää A 00 x. 4. Olkoon A C n n ja λ 1, λ,..., λ n sen ominaisarvot. Osoita, että (a) A A on hermiittinen; (b) tr (A A) = i,j a ij ; (c) λ λ n i,j a ij = tr (A A). (Vihje. Käytä Schurin normaalimuotoa ja muista, että similaarisilla matriiseilla on sama jälki.) Huom. Merkintä i,j a ij tarkoittaa summaa n i=1 n j=1 a ij. 5. Olkoon A = I αxx, missä x C n \ {0} ja α = / x (muistutus: x = (x x) = x x). Osoita, että matriisi A on hermiittinen ja unitaarinen. Osoita lisäksi, että λ = 1 on matriisin A ominaisarvo ja x sitä vastaava ominaisvektori. 6. Tarkastellaan tehtävän matriisia A C n n. Määrää matriisi B siten, että B = A. Voiko tuloksen yleistää koskemaan jokaista diagonalisoituvaa matriisia A C n n (ts. voiko aina löytää sellaisen matriisi B, että B = A)? (Vihje. Käytä luentojen seurausta 4.5 matriisin B määrittelyssä.) 7. Olkoon A R n n symmetrinen sekä r sen pienin ja R sen suurin ominaisarvo. Osoita, että r x t Ax R aina kun x R n ja x = 1. Muotoile vastaava tulos hermiittisille matriisille A C n n. (Vihje. Käytä luentojen lausetta 4.14.)

7 Harjoitus 7, kevät Määrää matriisin 1 0 A = singulaariarvohajotelma sekä Moore-Penrose -inverssi.. Määrää matriisin 1 1 A = Moore-Penrose -inverssi ja sen avulla yhtälön Ax = (1, 0, ) t paras likimääräisratkaisu. 3. Osoita, että N (A) ja R(A) ovat ortogonaaliset kun A C n n on hermiittinen. 4. Osoita, että matriisin A C n n polaarinen hajotelma on yksikäsitteinen jos matriisi A on säännöllinen. 5. Osoita, että Moore-Penrose -inverssi toteuttaa matriisiyhtälöryhmän AXA = A XAX = X (AX) = AX (XA) = XA 6. Olkoon A C m n. Osoita, että jos U ja V ovat unitaarisia, niin (UAV ) + = V A + U. Osoita tätä käyttäen, että jos matriisi A on normaali, niin (A k ) + = (A + ) k jokaiselle kokonaissluvulle k > 0.

8 Harjoitus 8, kevät Olkoon A(λ) ja B(λ) kokoa n n olevia λ-matriiseja ja olkoon A(λ) = A k λ k A 1 λ + A 0 B(λ) = B q λ q B 1 λ + B 0, missä A k 0 ja B q 0. Osoita, että deg A(λ)B(λ) deg A(λ) + deg B(λ), missä yhtäsuuruus on voimassa jos A k tai B q on säännöllinen.. Osoita, että λ-matriisi λ λ 0 A(λ) = λ λ λ on ekvivalentti λ-matriisin B(λ) = diag(λ, λ, λ 4 (λ 1)). 3. Määrää λ-matriisin λ λ 0 A(λ) = λ λ λ invariantit polynomit määritelmään nojautuen. Vertaa tehtävän. λ-matriisia B(λ) ja sen invariantteja polynomeja. 4. Määrää matriisin 1 5 A = minimaalipolynomi käyttämällä (a) Frobeniuksen lausetta (Lause 6.11: c A (λ) = d(λ)m A (λ)) (b) Frobeniuksen lauseen seurausta (Lause 6.1: Jokainen karakteristisen polynomin c A (λ) nollakohta on minimaalipolynomin m A (λ) nollakohta ja kääntäen.) 5. Määrää matriisin λi A minimaalipolynomi sekä invariantit polynomit kun A = Olkoon matriisi A sama kuin tehtävässä 4. Määrää λ-matriisille λi A jokin ekvivalenttimatriisi B(λ), joka on kanonisessa muodossa. (Vihje. Smithin kanoninen muoto.)

9 Harjoitus 9, kevät Osoita, että polynomin p(λ) toverimatriisin L(p) karakteristinen polynomi on p(λ).. Määrää ensimmäinen ja toinen normaalimuoto sekä Jordan-muoto matriisille A = Olkoon A C 1 1 sellainen matriisi, että λ-matriisin λi A invariantit polynomit ovat i k (λ) = 1 (k = 1,,..., 9), i 10 (λ) = λ + 1, i 11 (λ) = λ 4 + 5λ + 4 ja i 1 (λ) = λ 6 + 6λ 4 + 9λ + 4. Määrää matriisin A Jordan-muoto. 4. Määrää ensimmäinen ja toinen normaalimuoto sekä Jordan-muoto matriisille 6 A = Määrää idempotentin matriisin A Jordan-muoto (A = A). (Vihje. Mikä on minimaalipolynomi?) 6. Olkoon A(λ) kokoa 5 5 oleva λ-matriisi, jonka aste r(a(λ)) = 5 ja alkeistekijät ovat λ, λ, λ 3, λ, (λ ) ja λ+5.määrää polynomimatriisin A(λ) invariantit polynomit. 7. Määrää matriisin A = a b 0. b c Jordan-muoto vakioiden a, b, c eri arvoilla.

10 Harjoitus 10, kevät Määrää ensimmäinen ja toinen normaalimuoto sekä Jordan-muoto matriisille 0 0 A = Onko matriisi A diagonalisoituva?. Määrää matriisin 4 A = alkeistekijät ja Jordan-muoto. 3. (a) Osoita, että matriisi A C n n on similaarinen sen transpoosin A t kanssa. (b) Olkoon A involutorinen, ts. A = I. Osoita, että A on diagonalisoituva. 4. Olkoon A C 3 3, jonka karakteristinen polynomi on c A (λ) = (λ 1) (λ ) ja joka ei ole diagonalisoituva. Määrää matriisin A minimaalipolynomi ja f(a) kun funktio f on määritelty matriisin A spektrissä. 5. Laske A 000 kun A = (Vihje. Käytä luentojen lemmaa 7.1.) 6. Määrää sin A kun π 0 0 A = π π 0. π Osoita, että matriisi A C n n ja sen karakteristisen polynomin toverimatriisi L(c A (λ)) ovat similaariset jos ja vain jos m A (λ) = c A (λ).

11 Harjoitus 11, kevät Määrää ensimmäinen ja toinen normaalimuoto sekä Jordan-muoto matriisille A = Määrää tehtävän 1 matriisille säännöllinen matriisin C C 3 3, jolle matriisin A Jordan-muoto J = CAC 1. (Vihje. Muodosta yleistetyt ominaisvektorit.) 3. Luettele (ilman perusteluja) mahdollisimman monta yhtäpitävää ehtoa sille, että matriisi A C n n on (a) similaarinen jonkin diagonaalimatriisin kanssa; (b) unitaarisesti similaarinen jonkin diagonaalimatriisin kanssa; (c) similaarinen jonkin yläkolmiomatriisin kanssa; (d) unitaarisesti similaarinen jonkin yläkolmiomatriisin kanssa. 4. Määrää matriisin a 1 1 A = 1 a 1 (a R). 1 1 a karakteristinen polynomi, minimaalipolynomi sekä invariantit polynomit. Millä vakion a arvolla matriisi A on positiivisesti deniitti? Montako ortonormaalia vektoria matriisilla A on? (Vihje. Käytä luentojen lemmaa 7.1.) 5. Määrää sin A kun π 0 0 A = π π 0 π 0 0 käyttämällä spektraalihajotelmaa. 6. Neliömatriisin A karakteristinen polynomi on c A (λ) = (λ 1) 7 (λ+) 4, minimaalipolynomi on m A (λ) = (λ 1) 4 (λ + ) ja eräs matriisin λi A alkeistekijöistä on (λ 1). Määrää matriisin λi A invariantit polynomit ja alkeistekijät sekä matriisin A mahdolliset Jordan-muodot. 7. Olkoon A = CBC 1, missä A, B, C C n n. Osoita, että m A (λ) = m B (λ). Osoita tämän avulla, että jos funktio f on määritelty matriisin A spektrissä, niin se on määritelty myös matriisin B spektrissä ja f(a) = Cf(B)C Määrää matriisille A = ensimmäinen ja toinen luonnollinen normaalimuoto sekä Jordan-muoto. Onko matriisi diagonalisoituva?

12 9. Olkoon f(λ) funktio, joka on määritelty matriisin A = spektrissä. Määrää matriisin A spektraalihajotelma, ts. määrää lauseke matriisille f(a). 10. Olkoon f matriisin A = spektrissä määritelty funktio. Määrää lauseke matriisille f(a)