Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?
|
|
- Pirjo Kouki
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Harjoitus 1, kevät Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi A a) Osoita, että (AB) t = B t A t aina kun A, B C n n b) Osoita, että sisätulolle pätee (Ax y) = (x A y) aina kun A C n n ja x, y C n. 4. Osoita, että jos A, B, ja A + B ovat säännöllisiä, niin myös A 1 + B 1 on säännöllinen ja (A + B) 1 = A 1 A 1 (A 1 + B 1 ) 1 A Määritellään kuvaus A: K n K n (K = R tai C) siten, että A(x 1, x,..., x n ) = (x 1, x x 1,..., x n x n 1 ). Osoita, että kuvaus A on lineaarinen. Mikä on dim (R(A))? 6. Olkoon A: K n K n lineaarinen kuvaus. Osoita, että seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä: (i) A on injektio; (ii) A on surjektio; (iii) A on bijektio. 7. Olkoon V = {x x on kuvaus R R} ja määritellään kuvaus P : V V siten, että P x(t) = 1 (x(t) + x( t)), kaikilla x V, t R. Osoita, että P on projektio. Mikä on suora summa N (P ) R(P )? 8. Olkoon P, Q: V V projektioita siten, että N (P ) N (Q). Osoita, että QP = Q.
2 Harjoitus, kevät Olkoon z K n yhtälön Ax = c ratkaisu, missä A K n n. Osoita, että (i) jos v N (A), niin z + v on myös yhtälön Ax = c ratkaisu. (ii) jokaiselle ratkaisulle x K n kohti on olemassa v N (A) siten, että x = z + v. [ ] B1 C. Osoita, että matriisin A =, missä B 0 B 1 ja B ovat neliömatriiseja, determinantti on det A = det B 1 det B. [ ] (Vihje. I 0 Esitä A muodossa A = C 1 C, missä C 1 =.) 0 B 3. Olkoon A K m n ja B K n m. Osoita, että [ ] 0 A det = det( AB) (ts. = ( 1) m det(ab)). B I (Vihje. Käytä edellistä tehtävää.) 4. Vektoreiden x 1,..., x k C n (k n) Gram-determinantti on G(x 1,..., x k ) = det(a A), missä A = [x 1,..., x k ] ja A = (A) t. Osoita Binet-Cauchy -kaavaa käyttäen, että aina G Olkoon A = [a ij ] n n K n n yläkolmiomatriisi, jossa a kk 0 aina kun k = 1,,..., n. Osoita, että adj A ja A 1 ovat yläkolmiomatriiseja. 6. Todista ns. Cauchyn identiteetti [ ] a1 c det a n c n a 1 d a n d n = b 1 c b n c n b 1 d b n d n Osoita tämän avulla, että 1 i<j n a i b i a j b j c i d i c j d j. ( a a n )( b b n ) (a 1 b a n b n ) aina kun a i, b i C. (Vihje. Hajota identiteetin vasemman puoleinen matriisi kahden matriisin tuloksi ja käytä Binet-Cauchy -kaavaa.)
3 Harjoitus 3, kevät Olkoon A K n n. Osoita, että (i) jos r(a) = n, niin r(adj A) = n; (ii) jos r(a) = n 1, niin r(adj A) = 1; Vihje. Käytä arvionnissa yhtälöä r(a adj A) r(a) + r(adj A) n. (iii) jos r(a) < n 1, niin r(adj A) = 0.. Määrää matriisille A = LU-hajotelma (ks. Lause.14). Mikä on det A? Vihje. Kirjoita matriisi A vaaditussa muodossa LU tuntemattomien muuttujien avulla ja ratkaise ne. 3. Olkoon A edellisen tehtävän matriisi. Ratkaise LU-hajotelmaa käyttäen yhtälö Ax = (1, 1, 1) t. 4. Olkoon matriisin A K n n kaikki johtavat pääminorit (siis myös det A) nollasta eroavia. Osoita, että A = LDU, missä D on diagonaalimatriisi, L on sellainen alakolmio- ja U sellainen yläkolmiomatriisi, että diagonaalialkiot ovat kaikki ykkösiä. Mitä voit sanoa hajotelman yksikäsitteisyydestä? 5. Osoita, että matriisi A C n n on hermiittinen (ts. A = A) jos ja vain jos (Ax y) = (x Ay) kaikilla x, y C n. 6. Olkoon A C n n. Osoita, että jos x Ax = 0 kaikilla x C n, niin A = 0 C n n. Vihje. Käytä vektoreita e i, e i + e j ja e i + ie j. 7. Matriisin A C n n sanotaan olevan unitaarinen jos A = A 1, ts. A A = I. Osoita tehtävää 5 käyttäen, että A on unitaarinen jos ja vain jos (Ax Ax) = (x x) kaikilla x C n.
4 Harjoitus 4, kevät Olkoon A: V V lineaarinen kuvaus. Osoita, että jos jollakin vektorilla x 0 V (x 0 0) pätee Ax 0 = λx 0, jollakin λ K, niin aliavaruus S = L{x 0 } on A-invariantti.. Määrää matriisin 8 A = karakteristinen polynomi (i) laskemalla det(λi A) ja (ii) laskemalla matriisin A pääminorit (Lause 3.14). Määrää matriisin A spektri σ(a) ja ominaisvektorit. 3. Olkoon matriisi A C n n. Osoita, että seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä: (a) A on unitaarinen; (b) (Ax Ay) = (x y) kaikilla x, y C n ; (c) matriisin A pystyrivit ovat ortonormaaleja; (d) matriisin A vaakarivit ovat ortonormaaleja. (Vihje. Laske kohdissa (c) ja (d) matriisien A A ja AA (i, j)-alkiot ja tulkitse sisätulon avulla.) 4. Olkoon matriisi A C n n unitaarinen. Osoita, että λ = 1 matriisin A jokaiselle ominaisarvolle λ C. Osoita lisäksi, että det A = Osoita, että jos A K n n on hermiittinen (ts. A = A) ja positiivisesti deniitti (ts. x Ax > 0 kaikilla x K n \ {0}), niin det A > 0. (Vihje. Tarkastele ominaisvektoreita.) 6. Osoita, että hermiittisen matriisin ominaisarvot ovat reaaliset ja erisuuria ominaisarvoja vastaavat ominaisvektori ovat keskenään ortogonaaliset. (Vihje. Osoita aluksi, että λ = λ kaikilla ominaisarvoilla λ.) 7. Olkoon T : V V lineaarinen kuvaus, missä dim V = n. Oletetaan, että S V on sellainen T -invariantti aliavaruus, että dim S = r. Osoita, että tällöin lineaarisen kuvauksen T matriisi A voidaan esittää muodossa [ ] A1 B A =, 0 A missä matriisit A 1 K r r ja A K (n r) (n r). (Vihje. Esitä V muodossa S S. Huomaa, että S ei ole välttämättä T - invariantti.) Huom. Yllä V on äärellisulotteinen K-kertoiminen vektoriavaruus.
5 Harjoitus 5, kevät Osoita, että matriisin A K n n erisuuria ominaisarvoja vastaavat ominaisvektorit ovat lineaarisesti riippumattomia.. Laske matriisin A k + 3A + I (k = 1,,...) ominaisarvot kun 8 A = (Vihje. Määrää matriisin A ominaisarvot (ks. harjoitus 4 teht..) 3. Milloin -matriisi on diagonalisoituva? 4. Olkoon matriisit A K n n ja B K n n similaarisia. Osoita, että (a) det A = det B ja r(a) = r(b); (b) c A (λ) = c B (λ) ja tr A = tr B; (c) A t ja B t ovat similaariset; (d) p(a) ja p(b) ovat similaariset aina kun p(λ) on K-kertoiminen polynomi. [ ] [ ] Osoita lisäksi, että matriisit A = ja A = eivät ole similaariset vaikka niiden asteet, determinantit, karakteristiset polynomit ja jäljet ovat samat. 5. Olkoon A ja B diagonalisoituvia. Osoita, että A ja B ovat similaariset jos ja vain jos c A (λ) = c B (λ). (Vrt. edellinen tehtävä) 6. Osoita, että matriisin A K n n vasempia ominaisvektoreita vastaavat ominaisarvot ovat samat kuin oikeita ominaisvektoreita vastaavat ominaisarvot. (Ei siis tarvitse puhua vasemmista ja oikeista ominaisarvoista.) [ ] Osoita, että matriisi A = on diagonalisoituva ja määrää spektraaliesityslauseessa (ks. luennot) esiintyvät projektiot G j. Laske tämän avulla A Osoita, että matriiseilla AB ja BA on sama karakteristinen polynomi aina kun A, B C n n. (Vihje. Käytä hyväksi yhtälöä [ AB ] [ 0 I ] A B }{{ 0 } 0 I E ja totea, että E ja F ovat similaariset.) = [ I ] [ A 0 0 ] 0 I B BA }{{} F
6 Harjoitus 6, kevät Onko matriisi 0 4 A = diagonalisoituva? Onko A unitaarisesti similaarinen jonkin diagonaalimatriisin kanssa? Onko A normaali?. Olkoon matriisin A ominaisarvot λ 1 = 1, λ = 1 ja λ 3 = 0 sekä niitä vastaavat ominaisvektorit x 1 = ( 1, 1, 1) t, x = ( 1, 4, 1) t ja x 3 = (1,, 1) t. Määrää matriisi A. 3. Olkoon matriisi A K n n idempotentti (eli projektio), ts. A = A. (a) Osoita, että jos λ on matriisin A ominaisarvo, niin λ = 0 tai λ = 1. (b) Jos x on matriisin A ominaisarvoa λ vastaava ominaisvektori, niin määrää A 00 x. 4. Olkoon A C n n ja λ 1, λ,..., λ n sen ominaisarvot. Osoita, että (a) A A on hermiittinen; (b) tr (A A) = i,j a ij ; (c) λ λ n i,j a ij = tr (A A). (Vihje. Käytä Schurin normaalimuotoa ja muista, että similaarisilla matriiseilla on sama jälki.) Huom. Merkintä i,j a ij tarkoittaa summaa n i=1 n j=1 a ij. 5. Olkoon A = I αxx, missä x C n \ {0} ja α = / x (muistutus: x = (x x) = x x). Osoita, että matriisi A on hermiittinen ja unitaarinen. Osoita lisäksi, että λ = 1 on matriisin A ominaisarvo ja x sitä vastaava ominaisvektori. 6. Tarkastellaan tehtävän matriisia A C n n. Määrää matriisi B siten, että B = A. Voiko tuloksen yleistää koskemaan jokaista diagonalisoituvaa matriisia A C n n (ts. voiko aina löytää sellaisen matriisi B, että B = A)? (Vihje. Käytä luentojen seurausta 4.5 matriisin B määrittelyssä.) 7. Olkoon A R n n symmetrinen sekä r sen pienin ja R sen suurin ominaisarvo. Osoita, että r x t Ax R aina kun x R n ja x = 1. Muotoile vastaava tulos hermiittisille matriisille A C n n. (Vihje. Käytä luentojen lausetta 4.14.)
7 Harjoitus 7, kevät Määrää matriisin 1 0 A = singulaariarvohajotelma sekä Moore-Penrose -inverssi.. Määrää matriisin 1 1 A = Moore-Penrose -inverssi ja sen avulla yhtälön Ax = (1, 0, ) t paras likimääräisratkaisu. 3. Osoita, että N (A) ja R(A) ovat ortogonaaliset kun A C n n on hermiittinen. 4. Osoita, että matriisin A C n n polaarinen hajotelma on yksikäsitteinen jos matriisi A on säännöllinen. 5. Osoita, että Moore-Penrose -inverssi toteuttaa matriisiyhtälöryhmän AXA = A XAX = X (AX) = AX (XA) = XA 6. Olkoon A C m n. Osoita, että jos U ja V ovat unitaarisia, niin (UAV ) + = V A + U. Osoita tätä käyttäen, että jos matriisi A on normaali, niin (A k ) + = (A + ) k jokaiselle kokonaissluvulle k > 0.
8 Harjoitus 8, kevät Olkoon A(λ) ja B(λ) kokoa n n olevia λ-matriiseja ja olkoon A(λ) = A k λ k A 1 λ + A 0 B(λ) = B q λ q B 1 λ + B 0, missä A k 0 ja B q 0. Osoita, että deg A(λ)B(λ) deg A(λ) + deg B(λ), missä yhtäsuuruus on voimassa jos A k tai B q on säännöllinen.. Osoita, että λ-matriisi λ λ 0 A(λ) = λ λ λ on ekvivalentti λ-matriisin B(λ) = diag(λ, λ, λ 4 (λ 1)). 3. Määrää λ-matriisin λ λ 0 A(λ) = λ λ λ invariantit polynomit määritelmään nojautuen. Vertaa tehtävän. λ-matriisia B(λ) ja sen invariantteja polynomeja. 4. Määrää matriisin 1 5 A = minimaalipolynomi käyttämällä (a) Frobeniuksen lausetta (Lause 6.11: c A (λ) = d(λ)m A (λ)) (b) Frobeniuksen lauseen seurausta (Lause 6.1: Jokainen karakteristisen polynomin c A (λ) nollakohta on minimaalipolynomin m A (λ) nollakohta ja kääntäen.) 5. Määrää matriisin λi A minimaalipolynomi sekä invariantit polynomit kun A = Olkoon matriisi A sama kuin tehtävässä 4. Määrää λ-matriisille λi A jokin ekvivalenttimatriisi B(λ), joka on kanonisessa muodossa. (Vihje. Smithin kanoninen muoto.)
9 Harjoitus 9, kevät Osoita, että polynomin p(λ) toverimatriisin L(p) karakteristinen polynomi on p(λ).. Määrää ensimmäinen ja toinen normaalimuoto sekä Jordan-muoto matriisille A = Olkoon A C 1 1 sellainen matriisi, että λ-matriisin λi A invariantit polynomit ovat i k (λ) = 1 (k = 1,,..., 9), i 10 (λ) = λ + 1, i 11 (λ) = λ 4 + 5λ + 4 ja i 1 (λ) = λ 6 + 6λ 4 + 9λ + 4. Määrää matriisin A Jordan-muoto. 4. Määrää ensimmäinen ja toinen normaalimuoto sekä Jordan-muoto matriisille 6 A = Määrää idempotentin matriisin A Jordan-muoto (A = A). (Vihje. Mikä on minimaalipolynomi?) 6. Olkoon A(λ) kokoa 5 5 oleva λ-matriisi, jonka aste r(a(λ)) = 5 ja alkeistekijät ovat λ, λ, λ 3, λ, (λ ) ja λ+5.määrää polynomimatriisin A(λ) invariantit polynomit. 7. Määrää matriisin A = a b 0. b c Jordan-muoto vakioiden a, b, c eri arvoilla.
10 Harjoitus 10, kevät Määrää ensimmäinen ja toinen normaalimuoto sekä Jordan-muoto matriisille 0 0 A = Onko matriisi A diagonalisoituva?. Määrää matriisin 4 A = alkeistekijät ja Jordan-muoto. 3. (a) Osoita, että matriisi A C n n on similaarinen sen transpoosin A t kanssa. (b) Olkoon A involutorinen, ts. A = I. Osoita, että A on diagonalisoituva. 4. Olkoon A C 3 3, jonka karakteristinen polynomi on c A (λ) = (λ 1) (λ ) ja joka ei ole diagonalisoituva. Määrää matriisin A minimaalipolynomi ja f(a) kun funktio f on määritelty matriisin A spektrissä. 5. Laske A 000 kun A = (Vihje. Käytä luentojen lemmaa 7.1.) 6. Määrää sin A kun π 0 0 A = π π 0. π Osoita, että matriisi A C n n ja sen karakteristisen polynomin toverimatriisi L(c A (λ)) ovat similaariset jos ja vain jos m A (λ) = c A (λ).
11 Harjoitus 11, kevät Määrää ensimmäinen ja toinen normaalimuoto sekä Jordan-muoto matriisille A = Määrää tehtävän 1 matriisille säännöllinen matriisin C C 3 3, jolle matriisin A Jordan-muoto J = CAC 1. (Vihje. Muodosta yleistetyt ominaisvektorit.) 3. Luettele (ilman perusteluja) mahdollisimman monta yhtäpitävää ehtoa sille, että matriisi A C n n on (a) similaarinen jonkin diagonaalimatriisin kanssa; (b) unitaarisesti similaarinen jonkin diagonaalimatriisin kanssa; (c) similaarinen jonkin yläkolmiomatriisin kanssa; (d) unitaarisesti similaarinen jonkin yläkolmiomatriisin kanssa. 4. Määrää matriisin a 1 1 A = 1 a 1 (a R). 1 1 a karakteristinen polynomi, minimaalipolynomi sekä invariantit polynomit. Millä vakion a arvolla matriisi A on positiivisesti deniitti? Montako ortonormaalia vektoria matriisilla A on? (Vihje. Käytä luentojen lemmaa 7.1.) 5. Määrää sin A kun π 0 0 A = π π 0 π 0 0 käyttämällä spektraalihajotelmaa. 6. Neliömatriisin A karakteristinen polynomi on c A (λ) = (λ 1) 7 (λ+) 4, minimaalipolynomi on m A (λ) = (λ 1) 4 (λ + ) ja eräs matriisin λi A alkeistekijöistä on (λ 1). Määrää matriisin λi A invariantit polynomit ja alkeistekijät sekä matriisin A mahdolliset Jordan-muodot. 7. Olkoon A = CBC 1, missä A, B, C C n n. Osoita, että m A (λ) = m B (λ). Osoita tämän avulla, että jos funktio f on määritelty matriisin A spektrissä, niin se on määritelty myös matriisin B spektrissä ja f(a) = Cf(B)C Määrää matriisille A = ensimmäinen ja toinen luonnollinen normaalimuoto sekä Jordan-muoto. Onko matriisi diagonalisoituva?
12 9. Olkoon f(λ) funktio, joka on määritelty matriisin A = spektrissä. Määrää matriisin A spektraalihajotelma, ts. määrää lauseke matriisille f(a). 10. Olkoon f matriisin A = spektrissä määritelty funktio. Määrää lauseke matriisille f(a)
Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
Lisätiedot800350A / S Matriisiteoria
800350A / 800693S Matriisiteoria Emma Leppälä Tero Vedenjuoksun luentomonisteen pohjalta 15 syyskuuta 2017 Sisältö 1 Lineaarialgebraa 2 11 Merkintöjä 2 12 Matriisien perusominaisuuksia 4 13 Matriisien
Lisätiedotominaisvektorit. Nyt 2 3 6
Esimerkki 2 6 8 Olkoon A = 40 0 6 5. Etsitäänmatriisinominaisarvotja 0 0 2 ominaisvektorit. Nyt 2 0 2 6 8 2 6 8 I A = 40 05 40 0 6 5 = 4 0 6 5 0 0 0 0 2 0 0 2 15 / 172 Täten c A ( )=det( I A) =( ) ( 2)
LisätiedotNeliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja
7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien
Lisätiedot6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI
6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,
LisätiedotEsimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt
Esimerkki 4.4. Määrää matriisin 2 2 1 A = 1 3 1 2 4 3 ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt det(a λi ) = 1 + 2 λ 2 1 + 1 λ 1 λ 1 3 λ 1 = 1 3 λ 1 2 4 3 λ 2 4 3 λ 1 λ = 1 4 λ 1 = (1 λ)( 1)1+1 4 λ 1 2 6 3
Lisätiedot(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
LisätiedotSisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006
Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä
Lisätiedot5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT
5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön
LisätiedotMatriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit
Matriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit Antti Rasila 2016 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1/5 Määritelmä Skalaari λ C on matriisin A C n n ominaisarvo ja vektori v C n sitä
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä
LisätiedotMS-A0003/A Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6
MS-A3/A - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 Ratkaisuehdotelmia. Diagonalisointi on hajotelma A SΛS, jossa diagonaalimatriisi Λ sisältää matriisin A ominaisarvot ja matriisin S sarakkeet ovat näitä ominaisarvoja
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
Lisätiedot5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
LisätiedotOminaisarvo-hajoitelma ja diagonalisointi
Ominaisarvo-hajoitelma ja a 1 Lause 1: Jos reaalisella n n matriisilla A on n eri suurta reaalista ominaisarvoa λ 1,λ 2,...,λ n, λ i λ j, kun i j, niin vastaavat ominaisvektorit x 1, x 2,..., x n muodostavat
LisätiedotDemorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Ensi viikolla luennot salissa X Torstaina 7.12. viimeiset demot (12.12. ja 13.12. viimeiset luennot). Torstaina 14.12 on välikoe 2, muista ilmoittautua! Demorastitiedot
LisätiedotMS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
LisätiedotMS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42 Tehtävät 1-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ryhmissä, ja ryhmien ratkaisut esitetään harjoitustilaisuudessa (merkitty kirjaimella L = Lasketaan).
LisätiedotMatematiikka B2 - Avoin yliopisto
6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotSimilaarisuus. Määritelmä. Huom.
Similaarisuus Määritelmä Neliömatriisi A M n n on similaarinen neliömatriisin B M n n kanssa, jos on olemassa kääntyvä matriisi P M n n, jolle pätee Tällöin merkitään A B. Huom. Havaitaan, että P 1 AP
Lisätiedot(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa).
NUMEERISET MENETELMÄT DEMOVASTAUKSET SYKSY 20.. (a) Absoluuttinen virhe: ε x x ˆx /7 0.4 /7 4/00 /700 0.004286. Suhteellinen virhe: ρ x x ˆx x /700 /7 /00 0.00 0.%. (b) Kahden desimaalin tarkkuus x ˆx
Lisätiedot800653S Matriisiteoria. Tero Vedenjuoksu
800653S Matriisiteoria Tero Vedenjuoksu 19 toukokuuta 2010 Sisältö 1 Lineaarialgebraa 3 11 Merkintöjä 3 12 Perusominaisuuksia 5 13 Matriisien lohkomuodot 6 14 Vektoriavaruus ja aliavaruus 8 15 Aliavaruuksien
LisätiedotSingulaariarvohajotelma ja pseudoinverssi
HELSINGIN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Niko Kaitarinne Singulaariarvohajotelma ja pseudoinverssi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Helmikuu 01 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut
MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A
LisätiedotOminaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (
LisätiedotMatematiikka B2 - TUDI
Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotLINEAARIALGEBRA P. LUENTOMONISTE ja HARJOITUSTEHTÄVÄT
LINEAARIALGEBRA II 802119P LUENTOMONISTE ja HARJOITUSTEHTÄVÄT syksy 2008 30 V SISÄTULOAVARUUKSISTA 1. Sisätulon määritelmä Tarkastellaan sisätulon määrittelyä varten kompleksilukujen joukkoa C = {x + iy
Lisätiedot6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI
0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
LisätiedotPäättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1
Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi
LisätiedotAlkeismuunnokset matriisille, sivu 57
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna
LisätiedotMatemaattinen Analyysi / kertaus
Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen
Lisätiedot1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
LisätiedotMatriisialgebra harjoitukset, syksy 2016
Matriisialgebra harjoitukset, syksy 6 MATRIISIALGEBRA, s. 6, Ratkaisuja/ M.Hamina & M. Peltola 8. Olkoon 4 A 6. 4 Tutki, onko A diagonalisoituva. Jos on, niin määrää matriisi D T AT ja siihen liittyvä
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
Lisätiedot1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät
1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n
LisätiedotPaikannuksen matematiikka MAT
TA M P E R E U N I V E R S I T Y O F T E C H N O L O G Y M a t h e m a t i c s Paikannuksen matematiikka MAT-45800 4..008. p.1/4 Käytännön järjestelyt Kotisivu: http://math.tut.fi/courses/mat-45800/ Luennot:
Lisätiedoti=1 Tarkastellaan ensin inversio-ongelman injektiivisyys: Kun vaaditaan, että 0 = M x x 2
Lemma 1. Olkoon V R n lineaarinen aliavaruus. Lineaarisen kuvauksen F : V R m kuvajoukko F (V R m on lineaarinen aliavaruus, joka koostuu lineaarisen kuvauksen F matriisin M pystyvektorien {M i : i 1,...
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat:
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt QR-hajotelma ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto PNS-ongelma PNS-ongelma
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
LisätiedotOminaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170
Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170 Seuraavissa luvuissa matriisit ja vektori ajatellaan kompleksisiksi, ts. kertojakuntana oletetaan olevan aina kompleksilukujoukko C Huomaa, että reaalilukujoukko
LisätiedotMatriisihajotelmat. MS-A0007 Matriisilaskenta. 5.1 Diagonalisointi. 5.1 Diagonalisointi
MS-A0007 Matriisilaskenta 5. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 25.11.2015 Laskentaongelmissa käsiteltävät matriisit ovat tyypillisesti valtavia.
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma
LisätiedotOrtogonaalisen kannan etsiminen
Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1
LisätiedotLineaarikuvaukset. 12. joulukuuta F (A r ) = F (A r ) r .(3) F (s) = s. (4) Skalaareille kannattaa määritellä lisäksi seuraavat tulot:
Lineaarikuvaukset 12. joulukuuta 2005 1 Yleistys multivektoreille Olkoon F lineaarikuvaus vektoriavaruudessa. Yleistetään F luonnollisella tavalla terille F (a 1 a n ) = F (a 1 ) F (a n ), (1) sekä terien
LisätiedotLineaarialgebra II, MATH.1240 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg
Vaasan yliopisto, syksy 218 Lineaarialgebra II, MATH124 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg Tentti T1, 284218 Ratkaise 4 tehtävää Kokeessa saa käyttää laskinta (myös graafista ja CAS-laskinta), mutta ei taulukkokirjaa
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 6.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Kertausta: Kääntyvien matriisien lause Lause 1 Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä.
Lisätiedot1.1. Määritelmiä ja nimityksiä
1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia/Exercises 2017 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
LisätiedotMATRIISIN HESSENBERGIN MUOTO. Niko Holopainen
MATRIISIN HESSENBERGIN MUOTO Niko Holopainen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2013 Tiivistelmä: Niko Holopainen, Matriisin Hessenbergin muoto Matematiikan
LisätiedotLineaarialgebra II P
Lineaarialgebra II 89P Sisältö Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 8 3 Lineaarikuvaus 5 4 Ominaisarvo 5 Luku Vektoriavaruus Määritelmä.. Epätyhjä joukko V on vektoriavaruus, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:.
LisätiedotMatriisilaskenta. Markku Koppinen
Matriisilaskenta Markku Koppinen Alkusanat 7. joulukuuta 2012 Matriisilaskennan kurssilla perehdytään tavallisimpiin matriiseja koskeviin perusasioihin ja -menetelmiin, joita tarvitaan sekä käytännön sovelluksissa
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
LisätiedotMääritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.
1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:
LisätiedotMatriisilaskenta Laskuharjoitus 5 - Ratkaisut / vko 41
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta, I/06 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 5 - Ratkaisut / vko 4 Tehtävä 5 (L): a) Oletetaan, että λ 0 on kääntyvän matriisin A ominaisarvo. Osoita, että /λ on matriisin A
LisätiedotKäänteismatriisi 1 / 14
1 / 14 Jokaisella nollasta eroavalla reaaliluvulla on käänteisluku, jolla kerrottaessa tuloksena on 1. Seuraavaksi tarkastellaan vastaavaa ominaisuutta matriiseille ja määritellään käänteismatriisi. Jokaisella
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
Lisätiedot3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h
HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)
LisätiedotDeterminantti 1 / 30
1 / 30 on reaaliluku, joka on määritelty neliömatriiseille Determinantin avulla voidaan esimerkiksi selvittää, onko matriisi kääntyvä a voidaan käyttää käänteismatriisin määräämisessä ja siten lineaarisen
LisätiedotTällä viikolla viimeiset luennot ja demot. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162
Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/162 Kertausta Vektorin u = (u 1,u 2 ) R 2 pituus u = u 2 1 +u2 2 Vektorien u ja v = (v 1,v 2
LisätiedotMatriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä
Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty
LisätiedotOMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA
1 OMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA Olkoon x = (x 1,..., x n ) avaruuden R n piste (l. vektori). Vektori x samaistetaan n 1-matriisin (x 1 x 2... x n ) T kanssa, ts. voidaan yhtä hyvin kirjoittaa x1
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Kevät 2012 1 Lineaarinen inversio-ongelma Määritelmä 1.1. Yleinen (reaaliarvoinen) lineaarinen inversio-ongelma voidaan esittää muodossa m = Ax +
Lisätiedot110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3
4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5
Lisätiedoti=1 Näistä on helppo näyttää ominaisuudet (1)-(4). Ellei toisin mainita, käytetään R n :ssä
Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 003. 8.0.003 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni.. Normi
LisätiedotRatkaisuehdotukset LH 8 / vko 47
Ratkaisuehdotukset LH 8 / vko 47 Tehtävä 1: Olkoot A R n n matriisi, jonka singulaariarvohajotelma on A [ ] [ ] Σ U 1 U r 0 [V1 ] T 2 V 0 0 2 Jossa Σ r on kääntyvä matriisi, [ U 1 U 2 ] ja [ V1 V 2 ] ovat
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
LisätiedotEnnakkotehtävän ratkaisu
Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb
LisätiedotBM20A0700, Matematiikka KoTiB2
BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin
LisätiedotTehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat.
JOHDATUS LUKUTEORIAAN syksy 017) HARJOITUS 6, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi Pellin yhtälön x Dy = 1 pienin positiivinen ratkaisu kun D {,, 5, 6, 7, 8, 10}. Ratkaisu 1. Tehtävässä annetuilla D:n arvoilla
Lisätiedot1. Normi ja sisätulo
Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 3 83 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni Normi ja sisätulo
LisätiedotLU-hajotelma. Esimerkki 1 Matriisi on yläkolmiomatriisi ja matriisi. on alakolmiomatriisi. 3 / 24
LU-hajotelma 1 / 24 LU-hajotelma Seuravassa tarkastellaan kuinka neliömatriisi voidaan esittää kahden kolmiomatriisin tulona. Käytämme alkeismatriiseja tälläisen esityksen löytämiseen. Edellä mainittua
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
LisätiedotMatikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81
Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/81 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 )
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi
LisätiedotNeliömatriisit A ja B ovat similaareja toistensa suhteen, A B, jos on olemassa kääntyvä matriisi P, jolle pätee A = PBP 1.
Similaarisuus 1 (Kreyszig 8.4, Lay 5.2) Aalto MS-C1340, 2014, Kari Eloranta Määritelmä Neliömatriisit A ja B ovat similaareja toistensa suhteen, A B, jos on olemassa kääntyvä matriisi P, jolle pätee A
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 Tehtävä 1 (L): Oletetaan, että AB = AC, kun B ja C ovat m n-matriiseja. a) Näytä, että jos A on kääntyvä, niin B = C. b) Seuraako yhtälöstä AB = AC yhtälö
LisätiedotDI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 13: ti klo 13:00-15:30 ja to 1.4.
DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 3: ti 33 klo 3:-5:3 ja to 4 klo 9:5-: Käydään läpi differentiaaliyhtälöitä Määritelmä Olkoon A R n n (MatLab:ssa
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
Lisätiedot