Insinöörimatematiikka D

Transkriptio

1 Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 2 1 of 18

2 Kertausta Gaussin-Jordanin menetelmä Gaussin-Jordanin menetelmällä (moniste s.7) saadaan rivioperaatioita käyttämällä yhtälöryhmää kuvaava augmentoitu matriisi redusoituun porrasmuotoon: M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 2 2 of 18

3 Kertausta Gaussin-Jordanin menetelmä Gaussin-Jordanin menetelmällä (moniste s.7) saadaan rivioperaatioita käyttämällä yhtälöryhmää kuvaava augmentoitu matriisi redusoituun porrasmuotoon: Lineaarisen yhtälöryhmän m n-kerroinmatriisin A (ei augmentoitu) aste r(a) = r on portaan aloittavien muuttujien määrä. Nämä muuttujat voidaan esittää muiden muuttujien avulla (n r kpl). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 2 2 of 18

4 Kertausta Augmentoidun matriisin kerroinmatriisi on 7 13-matriisi, jonka aste r on 6 (x 3,x 4,x 5,x 8,x 9,x 13 ) ja muita muuttujia on 7 (x 1,x 2,x 6,x 7,x 10,x 11,x 12 ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 2 3 of 18

5 Kertausta Aiemmin saatiin yhtälöryhmälle x 1 ratkaisuksi (x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 ) 4x 4 6x 5 = 2 x 2 +3x 4 = 3 x 3 +x 4 +2x 5 = 7 x 4 (4, 3, 1,1,0) +x 5 (6,0, 2,0,1) +( 2,3,7,0,0). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 2 4 of 18

6 Kertausta Aiemmin saatiin yhtälöryhmälle x 1 ratkaisuksi (x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 ) 4x 4 6x 5 = 2 x 2 +3x 4 = 3 x 3 +x 4 +2x 5 = 7 x 4 (4, 3, 1,1,0) +x 5 (6,0, 2,0,1) +( 2,3,7,0,0). Yleisesti yhtälöryhmän ratkaisut voidaan esittää muodossa x = a 1 c a n r c n r +c, missä c i,c R n ovat vakiovektoreita ja a i R. Vektoria c kutsutaan yksittäis- tai yksityisratkaisuksi. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 2 4 of 18

7 Kertausta Vektorit Karteesisen potenssin A n = {(a 1,a 2,...,a n ) a i A}. alkioita kutsutaan vektoreiksi (merkintä: a = (a 1,...,a n )). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 2 5 of 18

8 Kertausta Vektorit Karteesisen potenssin A n = {(a 1,a 2,...,a n ) a i A}. alkioita kutsutaan vektoreiksi (merkintä: a = (a 1,...,a n )). Vektoreiden a = (a 1,...,a n ) ja b = (b 1,...,b n ) yhteenlasku määritellään a+b = (a 1 +b 1,...,a n +b n ). ja skalaarikertolasku määritellään ca = (ca 1,...,ca n ). Nollavektori on 0 = (0,0,...,0) ja vektorin a vastavektori määritellään a = ( a 1,..., a n ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 2 5 of 18

9 Kertausta Vektoriavaruuden aksioomat V on vektoriavaruus summan + ja skalaarilla kertomisen suhteen, jos seuraavat aksioomat toteutuvat kaikilla X,Y,Z V ja a,b K: V1 X +(Y +Z) = (X +Y)+Z V2 X +Y = Y +X V3 X +0 = X, missä 0 on nolla-alkio V4 X +( X) = 0, missä X on vasta-alkio V5 a(x +Y) = ax +ay V6 (a+b)x = ax +bx V7 a(bx) = (ab)x V8 1X = X Huomaa: Vektoriavaruuden V alkioille summan ja skalaarilla kertomisen tuloksen tulee edelleen kuulua tähän vektoriavaruuteen. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 2 6 of 18

10 Kertausta Vektorien lineaarikombinaatiot (K on joko R tai C): L(v 1,...,v k ) = {c 1 v c k v k c 1,...,c k K}. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 2 7 of 18

11 Kertausta Vektorien lineaarikombinaatiot (K on joko R tai C): L(v 1,...,v k ) = {c 1 v c k v k c 1,...,c k K}. Vaihtoehtoinen merkintä: L(v 1,...,v k ) = v 1,...,v k. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 2 7 of 18

12 Kertausta Merkitään i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1), jolloin (x,y,z) = (x,0,0)+(0,y,0) +(0,0,z) = xi+yj+zk. Siis R 3 = L(i,j,k) = i,j,k. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 2 8 of 18

13 Kertausta Merkitään i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1), jolloin (x,y,z) = (x,0,0)+(0,y,0) +(0,0,z) = xi+yj+zk. Siis R 3 = L(i,j,k) = i,j,k. Merkitään e 1 = (1,0,...,0), e 2 = (0,1,...,0),..., e n = (0,0,...,1). Tällöin (x 1,...,x n ) = x 1 e 1 +x 2 e x n e n ja edelleen saadaan R n = L(e 1,...,e n ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 2 8 of 18

14 Kertausta Vektorien generoima joukko Vektorit v 1,..., v k generoivat joukon U = L(v 1,...,v k ) = {c 1 v c k v k c 1,...,c k K} M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 2 9 of 18

15 Lause v i L(v 1,...,v k ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 2 10 of 18

16 Lause v i L(v 1,...,v k ) Jos {v 1,...,v l } {v 1,...,v k }, on L(v 1,...,v l ) L(v 1,...,v k ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 2 10 of 18

17 Lause v i L(v 1,...,v k ) Jos {v 1,...,v l } {v 1,...,v k }, on L(v 1,...,v l ) L(v 1,...,v k ) Jos {u 1,...,u l } L(v 1,...,v k ), niin L(u 1,...,u l ) L(v 1,...,v k ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 2 10 of 18

18 Lause v i L(v 1,...,v k ) Jos {v 1,...,v l } {v 1,...,v k }, on L(v 1,...,v l ) L(v 1,...,v k ) Jos {u 1,...,u l } L(v 1,...,v k ), niin L(u 1,...,u l ) L(v 1,...,v k ) u L(v 1,...,v k ), tarkalleen silloin kun L(v 1,...,v k ) = L(v 1,...,v k,u) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 2 10 of 18

19 Lause v i L(v 1,...,v k ) Jos {v 1,...,v l } {v 1,...,v k }, on L(v 1,...,v l ) L(v 1,...,v k ) Jos {u 1,...,u l } L(v 1,...,v k ), niin L(u 1,...,u l ) L(v 1,...,v k ) u L(v 1,...,v k ), tarkalleen silloin kun L(v 1,...,v k ) = L(v 1,...,v k,u) L({v 1,...,v k } {0}) = L(v 1,...,v k ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 2 10 of 18

20 Määritelmä Vektoriavaruuden V epätyhjä osajoukko U V on aliavaruus, jos c 1 v 1 +c 2 v 2 U aina kun v 1, v 2 U. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 2 11 of 18

21 Määritelmä Vektoriavaruuden V epätyhjä osajoukko U V on aliavaruus, jos c 1 v 1 +c 2 v 2 U aina kun v 1, v 2 U. Merkintä: U V. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 2 11 of 18

22 Määritelmä Vektoriavaruuden V epätyhjä osajoukko U V on aliavaruus, jos c 1 v 1 +c 2 v 2 U aina kun v 1, v 2 U. Merkintä: U V. Huomautus Jokaisella vektoriavaruudella V on ainakin aliavaruudet {0} ja V. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 2 11 of 18

23 Määritelmä Vektoriavaruuden V epätyhjä osajoukko U V on aliavaruus, jos c 1 v 1 +c 2 v 2 U aina kun v 1, v 2 U. Merkintä: U V. Huomautus Jokaisella vektoriavaruudella V on ainakin aliavaruudet {0} ja V. Koska 0 = 0 v 1 +0 v 2, kuuluu nollavektori 0 jokaiseen aliavaruuteen. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 2 11 of 18

24 Määritelmä Vektoriavaruuden V epätyhjä osajoukko U V on aliavaruus, jos c 1 v 1 +c 2 v 2 U aina kun v 1, v 2 U. Merkintä: U V. Huomautus Jokaisella vektoriavaruudella V on ainakin aliavaruudet {0} ja V. Koska 0 = 0 v 1 +0 v 2, kuuluu nollavektori 0 jokaiseen aliavaruuteen. Lause Jos v 1,..., v k V, on joukko L(v 1,...,v k ) avaruuden V aliavaruus. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 2 11 of 18

25 Joukko U 1 = {(a+b,a,0) a,b R} on R 3 :n aliavaruus. Joukko U 2 = {(a+b,a,1) a,b R} ei ole R 3 :n aliavaruus. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 2 12 of 18

26 Määritelmä Vektoriavaruus V on äärellisesti generoitu, jos on olemassa sellainen äärellinen joukko {v 1,...,v k } V, että V = L(v 1,...,v k ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 2 13 of 18

27 Määritelmä Vektoriavaruus V on äärellisesti generoitu, jos on olemassa sellainen äärellinen joukko {v 1,...,v k } V, että V = L(v 1,...,v k ) Vektoriavaruus R n (samoin kuin C n ) on äärellisesti generoitu: R n = L(e 1,...,e n ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 2 13 of 18

28 Määritelmä Vektoriavaruus V on äärellisesti generoitu, jos on olemassa sellainen äärellinen joukko {v 1,...,v k } V, että V = L(v 1,...,v k ) Vektoriavaruus R n (samoin kuin C n ) on äärellisesti generoitu: R n = L(e 1,...,e n ). L((1,1)) avaruudessa R 2. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 2 13 of 18

29 Välillä [α, α + T] määritellyn funktion Fourier-sarjan kerroinjonon A (A n cos( 2πn T x)+b nsin( 2πn T x)) n=1 ( A 0 2,A 1,B 1,A 2,B 2,...) alkioita voidaan pitää Fourier-sarjan määrittämän funktion koordinaatteina. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 2 14 of 18

30 R 2 = L(i,j) ja R 3 = L(i,j,k). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 2 15 of 18

31 R 2 = L(i,j) ja R 3 = L(i,j,k). Toisaalta myös (x,y) = xi+yj+0 (i+j) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 2 15 of 18

32 R 2 = L(i,j) ja R 3 = L(i,j,k). Toisaalta myös (x,y) = xi+yj+0 (i+j) ja (x,y) = 1 2 (x +y)(i+j)+ 1 (x y)(i j), 2 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 2 15 of 18

33 R 2 = L(i,j) ja R 3 = L(i,j,k). Toisaalta myös (x,y) = xi+yj+0 (i+j) ja (x,y) = 1 2 (x +y)(i+j)+ 1 (x y)(i j), 2 joten R 2 = L(i,j,i+j) = L(i+j,i j). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 2 15 of 18

34 R 2 = L(i,j) ja R 3 = L(i,j,k). Toisaalta myös (x,y) = xi+yj+0 (i+j) ja (x,y) = 1 2 (x +y)(i+j)+ 1 (x y)(i j), 2 joten R 2 = L(i,j,i+j) = L(i+j,i j). Huomautus i+j = 1 i+1 j L(i,j) L(i,j) = L(i,j,i+j) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 2 15 of 18

35 R 2 = L(i,j) ja R 3 = L(i,j,k). Toisaalta myös (x,y) = xi+yj+0 (i+j) ja (x,y) = 1 2 (x +y)(i+j)+ 1 (x y)(i j), 2 joten R 2 = L(i,j,i+j) = L(i+j,i j). Huomautus i+j = 1 i+1 j L(i,j) L(i,j) = L(i,j,i+j) i = 1 j+1 (i+j) L(j,i+j) L(j,i+j) = L(i,j,i+j) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 2 15 of 18

36 Määritelmä {v 1, v 2,..., v k } on lineaarisesti riippuva (riippuva), jos jokin sen vektoreista voidaan esittää muiden lineaarikombinaationa: v i L(v 1,...,v i 1,v i+1,...,v k ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 2 16 of 18

37 Määritelmä {v 1, v 2,..., v k } on lineaarisesti riippuva (riippuva), jos jokin sen vektoreista voidaan esittää muiden lineaarikombinaationa: v i L(v 1,...,v i 1,v i+1,...,v k ). Vastakohta: Lineaarisesti riippumaton. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 2 16 of 18

38 Määritelmä {v 1, v 2,..., v k } on lineaarisesti riippuva (riippuva), jos jokin sen vektoreista voidaan esittää muiden lineaarikombinaationa: v i L(v 1,...,v i 1,v i+1,...,v k ). Vastakohta: Lineaarisesti riippumaton. Joukko {i, j} on lineaarisesti riippumaton. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 2 16 of 18

39 Määritelmä {v 1, v 2,..., v k } on lineaarisesti riippuva (riippuva), jos jokin sen vektoreista voidaan esittää muiden lineaarikombinaationa: v i L(v 1,...,v i 1,v i+1,...,v k ). Vastakohta: Lineaarisesti riippumaton. Joukko {i, j} on lineaarisesti riippumaton. Joukko {i,j,i+j} on lineaarisesti riippuva. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 2 16 of 18

40 Määritelmä {v 1, v 2,..., v k } on lineaarisesti riippuva (riippuva), jos jokin sen vektoreista voidaan esittää muiden lineaarikombinaationa: v i L(v 1,...,v i 1,v i+1,...,v k ). Vastakohta: Lineaarisesti riippumaton. Joukko {i, j} on lineaarisesti riippumaton. Joukko {i,j,i+j} on lineaarisesti riippuva. Jokainen vektorijoukko A = {0,v 2,...,v k } joka sisältää nollavektorin, on riippuva. (Aina 0 L(v 2,...,v k ).) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 2 16 of 18

41 Lause Vektorijoukko {v 1,...,v k } on lineaarisesti riippumaton tarkalleen silloin kun c 1 v c k v k = 0 toteutuu vain ilmeisellä valinnalla jossa kaikki kertoimet ovat nollia: c 1 =... = c k = 0. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 2 17 of 18

42 Lause Vektorijoukko {v 1,...,v k } on lineaarisesti riippumaton tarkalleen silloin kun c 1 v c k v k = 0 toteutuu vain ilmeisellä valinnalla jossa kaikki kertoimet ovat nollia: c 1 =... = c k = 0. Joukko {i,j,i+j} on lineaarisesti riippuva, koska 1 i+1 j+( 1) (i+j) = 0. Joukko {e 1,e 2,...,e n } on lineaarisesti riippumaton, koska c 1 e 1 + +c n e n = (c 1,...,c n ) = (0,...,0). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 2 17 of 18

43 Jos vektorijoukossa {v 1,..., v k } ei ole nollavektoria ja vektorissa v i+1 on enemmän alkunollia kuin vektorissa v i, on joukko lineaarisesti riippumaton. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 2 18 of 18

44 Jos vektorijoukossa {v 1,..., v k } ei ole nollavektoria ja vektorissa v i+1 on enemmän alkunollia kuin vektorissa v i, on joukko lineaarisesti riippumaton. ( 18) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 2 18 of 18

45 Jos vektorijoukossa {v 1,..., v k } ei ole nollavektoria ja vektorissa v i+1 on enemmän alkunollia kuin vektorissa v i, on joukko lineaarisesti riippumaton. ( 18) Esimerkkejä Tarkastellaan esimerkkejä monisteesta ja muualta. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 2 18 of 18