Lineaarialgebra II, MATH.1240 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg

Transkriptio

1 Vaasan yliopisto, syksy 218 Lineaarialgebra II, MATH124 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg Tentti T1, Ratkaise 4 tehtävää Kokeessa saa käyttää laskinta (myös graafista ja CAS-laskinta), mutta ei taulukkokirjaa Huomaa kaavaliite lopussa 1 a) (2p) Määrittele lyhyesti mitä tarkoittaa f : L 1 L 2 on lineaarikuvaus b) (2p) Milloin vektorijono on lineaarisesti riippumaton? c) (2p) Olkoon U ortogonaalinen n n-matriisi Onko silloin Rank(U) n? Perustele valintasi Ratkaisu: a) kuvaus f : L 1 L 2,x f (x) on lineaarikuvaus, jos (1) L 1 on vektoriavaruus, ja (2) L 2 on vektoriavaruus, ja (3) kaikilla x,y L 1 ja kaikilla a,b R on voimassa f (a x + b y) a f (x) + b f (y) b) Vektorijono v 1, v 2, v n on lineaarisesti riippumaton, jos (c 1 x 1 + c 2 x c n x n ) jos ja vain jos c 1 c 2 c n (Määritelmä voidaan myös antaa muodossa: Vektorijono v 1, v 2, v n on lineaarisesti riippumaton, jos mitään vektorijonon vektoria ei voida lausua saman jonon muiden vektoreiden lineaarikombinaationa) c) Rank(U) n, sillä ortogonaalinen matriisi on säännöllinen (U 1 U T ), ja säännöllisen matriisin sarakkeet muodostavat lineaarisesti riippumattoman vektorijoukon, joten lineaarisesti riippumattomia sarakkeita on n kappaletta

2 2 (4p) Millä vakion R arvoilla seuraavalla yhtälöryhmällä on ei-triviaali ratkaisu? Rx + 3y 2z x + 2y z, R R 2x y + Rz b) (2p) Määritä yllä olevan yhtälöryhmän kaikki ei-triviaalit ratkaisut, joissa muuttuja z saa arvon z 1 Ratkaisu: a) Yhtälöryhmä on homogeeninen, joten sillä on ei-triviaali ratkaisu jos ja vain jos kerroinmatriisin determinantti on nolla R R +R R R + ( 2) R(2R 1) 3 ( R ( 2)) 2 (1 4) 2R 2 R + 3R R 2 + 2R R tai R 1 b) Kun R ja z 1 yhtälöryhmä menee muotoon 3y 2 x + 2y 1 2x y 3y 2 x 2y 1 2x y { y 2/3 x 1/3 Kun R 1 ja z 1 yhtälöryhmä menee muotoon x + 3y 2 x + 2y 1 2x y 1 y 1 x 2y 1 3y 3 + ( 1) 2 + { y 1 x 1 Vastaus: a) R tai R 1, b) kun R, niin x 1/3 y 2/3,kun R 1, niin z 1 x 1 y 1 z 1

3 3 Laske a) (2p) determinantti b) (2p) käänteismatriisi seuraavalle n n matriisille M (Ohje: m ii 1, kun 1 i n ja m 1;(n 1) m 1n 1, m (n 1);n 3, m n;(n 1) 2 ja muut kaaviossa olevat luvut ovat nollia) c) (2p) Anna neljä determinantin ominaisuutta, joita voit käyttää determinantin laskun aikana helpottamassa laskemista Ratkaisu: a) matriisi on melkein kolmio-muodossa, joten tehdään ensin rivioperaatio, joka muuttaa kaavion kolmio-muotoon (muuttamatta determinantin arvoa) Kerrotaan viimeistä edeltävä rivi ( 2):lla ja lisätään viimeiseen riviin Det(M) ( 2) b) Käännetään matriisi rivioperaatioilla Ensimmäinen pivot-paikka jossa tulee tehdä jotakin on (n 1),(n 1) 1 ( 1) [1] ( 2) (2) (2) [3] 1 + ( 5) 2 1,4,6 (,2) 1 1,2, ,2,6 1,4,2

4 Siis c) 1,2,4 1 M 1 1,2,6,4,2 Jos kaaviossa on nolla-rivi (tai nolla-sarake), niin kaavion determinantti on nolla Jos kaavion kaksi riviä (tai kaksi saraketta) vaihtavat paikkojaan, niin syntyvän uuden kaavion determinantti on alkuperäisen kaavion determinantin vastaluku Jos kaavion rivi luvulla kerrottuna lisätään toiseen kaavion riviin, niin syntyvän uuden kaavion determinantti on sama kuin alkuperäisen kaavion determinantti Jos kaavion sarakkeissa (tai riveissä) on lineaarista riippuvuutta, niin kaavion determinantti on nolla Jos kaavio on kolmiomuodossa, niin kaavion determinantti on diagonaali-lukujen tulo Jos kaavion yhden sarakkeen kaikki luvut kerrotaan luvulla r, niin uuden kaavion determinantti on r kertaa alkuperäisen kaavion determinantti Jos n n matriisi kerrotaan luvulla r, niin uuden kaavion determinantti on r n kertaa alkuperäisen kaavion determinantti 1,2,4 1 Vastaus: a) Det(M) 5, b) M 1 c) ks vastaus yllä 1,2,6,4,2

5 4 a) (2p) Etsi kaksi eri ratkaisua yhtälöryhmälle x 1 + 3x 2 + x 3 3 B x b x 1 + x 2 + x x 1 + x 2 + x 5 18 b) (2p) Olkoot x 1 ja x 2 mitkä tahansa kaksi yllä olevan yhtälöryhmän ratkaisua Näytä, että niiden keskiarvo x ( x 1 + x 2 ) on myös ratkaisu Selitä miksi c) (2p) Olkoon X { x B x b} kaikkien a-kohdan yhtälöryhmän B x b ratkaisujen joukko, varustettuna normaalilla vektoreiden yhteenlaskulla ja skalaarilla kertomisella Onko X lineaariavaruus? Perustele! Ratkaisu: a) Asetetaan ensin x 1 ja x 2, jolloin yhtälöryhmä menee muotoon x x x 5 18 Siis x 1 ( ) T Tarkistus: ok ok ok Toiseksi asetetaan x 2 ja x 3, jolloin yhtälöryhmä menee muotoon x 1 3 x 3 x 1 + x 4 12 x x 1 + x 5 18 x 5 42 Siis x 2 ( ) T Tarkistus: ok ok ok b) Olkoot x 1 ja x 2 mitkä tahansa kaksi yllä olevan yhtälöryhmän ratkaisua ja x ( x 1 + x 2 ) Silloin B x 3 B( 1 2 x x 2) 1 2 B x B x b b b joten myäs x 3 on yhtälöryhmän ratkaisu c) X ei ole vektoriavaruus Asian voi perustella ainakin kahdella tavalla: (1) X on varustettu tavallisella yhteenlaskulla Jotta X olisi vektoriavaruus, pitää kahden siihen kuuluvan vektorin summan myös kuulua X:ään Olkoon x 1 X ja x 2 X Silloin x 1 + x 2 on olemassa, mutta B( x 1 + x 2 ) b + b 2 b, joten x 1 + x 2 / X X ei siis ole vektoriavaruus (2) X on varustettu tavallisella yhteenlaskulla Silloin tulee tavallisen yhteenlaskun neutraalivektorin kuulua X:ään Nyt näin ei ole, joten X ei ole vektoriavaruus

6 5 Ratkaise a) ominaisarvot ja b ) ominaisvektorit matriisille (Huom Pelkät vastaukset eivät riitä: a-kohdassa anna karakteristinen yhtälö ja ratkaise se, b-kohdassa anna ominaisarvo-yhtälöryhmät ja lopuksi tarkista, että saamasi vektorit todella toteuttavat nämä yhtälöryhmät) A Ratkaisu: Muodostetaan karakteristinen yhtälö ja ratkaistaan siitä ominaisarvot Det(A λ I) 2 λ 1 λ λ (2 λ) 1 λ λ + (2 λ){(1 λ)(4 λ) 5 2} (2 λ){λ 2 5λ 6} (λ 2)(λ 6)(λ + 1) ominaisarvot ovat λ 1 6, λ 2 2 ja λ 3 1 b) Ominaisvektorit: λ 1 6 A x λ x 2 x 1 x x 2 6 x x 3 x 3 2x 1 6x 1 x 2 + 5x 3 6x 2 2x 2 + 4x 3 6x 3 4x 1 5x 2 + 5x 3 2x 2 + 2x 3 x I a, a a { x1 x 2 x 3

7 λ 2 2 A x λ x 2 x 1 x x 2 2 x x 3 x 3 2x 1 2x 1 x 2 + 5x 3 2x 2 2x 2 + 4x 3 2x 3 x 1 x 2 + 5x 3 2x 2 + 2x 3 b x II, b { x1 on vapaa x 2 x 3 λ 3 1 A x λ x 2 x 1 x x 2 1 x x 3 x 3 2x 1 x 1 x 2 + 5x 3 x 2 2x 2 + 4x 3 x 3 3x 1 2x 2 + 5x 3 2x 2 + 5x 3 x III 5c, c 2c { x1 2x 2 5x 3 Vastaus: a) ominaisarvot ovat λ 1 6, λ 2 2 ja λ 3 1 b) Ominaisarvoon λ 1 6 liittyy ominaisvektori x I a, a a b Ominaisarvoon λ 2 2 liittyy ominaisvektori x II, b Ominaisarvoon λ 3 1 liittyy ominaisvektori x III 5c, c 2c

8 6 Olkoon matriisilla 3 2 matriisilla C QR-hqjoitelma C QR, missä Q on ortogonaalinen ja 1 3 R 2 Anna C:n More-Penrosen pseudoinverssille C (C T C) 1 C T mahdollisimman yksinkertainen esitys Ratkaisu: C (C T C) 1 C T ((QR) T (QR)) 1 (QR) T (R T Q T QR) 1 (R T Q T ) (R T R) 1 R T Q T ( ) 3 ( ) R T 1 R ( ) 1 (R T R) ( ) ( ) /4 3/ /4 1/4 ( )( ) ( ) (R T R) 1 R T 13/4 3/ /2 3/4 1/ /2 Siis Vastaus: C (R T R) 1 R T Q T ( ) 1 3/2 Q T 1/2

9 Kaavoja: Determinantit: a 11 a 12 a 21 a 22 a 11a 22 a 21 a 12 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11(a 22 a 33 a 23 a 32 ) a 12 (a 21 a 33 a 23 a 31 ) + a 13 (a 21 a 32 a 22 a 31 ) Det(A) n j1 ( 1) i+ j a i j m i j n i1 ( 1) i+ j a i j m i j missa m i j on paikkaan i j liittyvan alimatriisin determinantti, eli minori Adjungaatti: Kaanteismatriisi: Adj(A) +m 11 m 21 +m 31 m 12 +m 22 m 32 +m 13 m 23 +m 33 AA 1 I A 1 A I A 1 1 Det(A) Adj(A) Saannollisyys ja vapaus: Neliomatriisi A on saannollinen Det(A) Matriisi A on vapaa, jos Det(A T A) Pseudoinverssi: (AB) T B T A T (AB) 1 B 1 A 1 A (A T A) 1 A T Cramerin kaava: x k D k D Kannanvaihto Olkoon V { v 1,, v n } ja W { w 1,, w n } on kaksi kantaa ja v 1 a 11 w 1 + a 21 w a n1 w n v 2 a 12 w 1 + a 22 w a n2 w n V W A v n a 1n w 1 + a 2n w a nn w n Jos a V x v W x w, niin x w A x v, ja x v A 1 x w

10 Ominaisarvot: Matriisin A ominaisarvo-yhtalo A x λ x Karakteristinen yhtalo det(a λ I)