Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Transkriptio

1 Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear algebra and its applications (3rd edition). 1 Päättelyitä Induktion periaate: Todistettava väite P(n) kaikilla n Z Todistetaan väite P(1). 2. Induktio-askel: näytetään, että jos väite P(n 0 ) on tosi, niin väite P(n 0 + 1) on tosi. Epäsuoran todistuksen periaate: 1. Tehdään vastaväite (eli käännetään väite vastakohdakseen). 2. Näytetään, että vastaväitteestä seuraa ristiriita. 3. Päätellään siitä, että vastaväite on epätosi eli alkuperäinen väite on tosi! 2 Vektorien geometriaa [Lay 1.3, , 6.7 & [Adams Taso R 2 [Lay 1.3, , 6.7 (& [Adams ) R 2 = {x = (x 1,x 2 ) : x 1,x 2 R}. { x + y := (x 1 + y 1,x 2 + y 2 ) R 2, tx := (tx 1,tx 2 ) R 2 (kun t R). x y := x + ( y). 1

2 Pistetulo x y R: x y := x 1 y 1 + x 2 y 2. Kohtisuoruus: x y x y = 0. a := {x R 2 a x}. Normi eli vektorin pituus x := x x. Pisteiden x,y R 2 välinen etäisyys x y. Pythagoras : x y x 2 + y 2 = x y 2. Pistettä x R 2 lähin piste suoralla Ry eli x:n vektoriprojektio y:lle: P y (x) = ( x y y ) y y. Cauchy Schwarz -epäyhtälö x y x y. Kun Q y (x) := x P y (x), pätee P y (P y (x)) = P y (x), P y (x) Q y (x), Q y (Q y (x)) = Q y (x), Q y (x) y. Pistettä z R 2 lähin piste suoralla b + Ry: b + P y (z b). Jos α vektorien x,y R 2 \ {0} välinen kulma, niin x y = x y cos(α). Kolmioepäyhtälö: x z x y + y z Napakoordinaatit ja kompleksiluvut [Adams AI II (& 8.5) x R 2, x = r (cos(t), sin(t)), missä x:n napakoordinaatit (r,t): r = x = x x 2 2 ja t = arg(x). Vektorien x,y R 2 tulo xy R 2 määritellään kaavoilla xy = x y ja arg(xy) = arg(x) + arg(y). Samaistetaan vektori z = (z 1,z 2 ) R 2 ja kompleksiluku z = z 1 + i z 2 C, eli R 2 = {(z 1,z 2 ) : z 1,z 2 R} = C = {z1 + i z 2 : z 1,z 2 R}. de Moivren kaava: (cos(t) + i sin(t)) n = cos(nt) + i sin(nt). 2.2 Avaruus R n [Lay 1.3, , 6.7 & [Adams Tason R 2 tutut määritelmät ja ominaisuudet siirretään avaruuteen R n : R n = {x = (x k ) n k=1 = (x 1,x 2,...,x n ) : x 1,x 2,...,x n R}. 2

3 { x + y := (x k + y k ) n k=1 Rn, tx := (tx k ) n k=1 R n. x y := x + ( y). Pistetulo x y R: x y := x 1 y 1 + x 2 y x n y n. Kohtisuoruus: x y x y = 0. a := {x R n a x}. Normi eli vektorin pituus x := x x. Pisteiden x,y R n välinen etäisyys x y. Pythagoras : x y x 2 + y 2 = x y 2. Pistettä x R n lähin piste suoralla Ry eli x:n vektoriprojektio y:lle: P y (x) = ( x y y ) y y. Cauchy Schwarz -epäyhtälö x y x y. Kun Q y (x) := x P y (x), pätee P y (P y (x)) = P y (x), P y (x) Q y (x), Q y (Q y (x)) = Q y (x), Q y (x) y. Pistettä z R n lähin piste suoralla b + Ry: b + P y (z b). Jos α vektorien x,y R n \ {0} välinen kulma, niin x y = x y cos(α). Kolmioepäyhtälö: x z x y + y z. R n :n hypertaso {z R n a (z b) = 0}. Pistettä x lähinnä hypertasossa {z R n : a z = 0}: Q a (x) = x P a (x). Pistettä w lähinnä hypertasossa {z R n : a (z b) = 0}: b + Q a (w b). Vektorien x,y R 3 ristitulon x y R 3 säännöt: 1. x (x y) ja y (x y); 2. x y = x y sin(α), missä α on vektorien x, y välinen kulma. 3. Vektorikolmikko (x, y, x y) on oikeakätisesti suunnattu. Pätee x y = (x 2 y 3 x 3 y 2,x 3 y 1 x 1 y 3,x 1 y 2 x 2 y 1 ). x y on vektorien x,y virittämän suunnikkaan pinta-ala. (x y) z on vektorien x, y, z virittämän virittämän suuntaissärmiön tilavuus. Jos tiedetään R 3 :n tasosta kaksi erisuuntaista vektoria x,y, on tason normaalivektorina x y. 3

4 3 Lineaariset yhtälöt 3.1 Lineaarikuvaukset [Lay 1.8 Funktio A : R n R m on lineaarikuvaus, merkitään A L(R n, R m ), jos A(x + y) = A(x) + A(y) ja A(tx) = ta(x) kaikilla x,y R n ja t R. Jos s R ja A,B : R n R n, niin A + B ja sa ovat lineaarisia. Jos A,B lineaarisia ja R n A R m B R p, niin R n BA=B A R p lineaarinen. 3.2 Lineaarikuvauksen matriisi [Lay A 11 A A 1n Lineaarisen A : R n R m A 21 A A 2n matriisi [A = Rm n, A m1 A m2... A mn missä A ij = e m,i A (e n,j ) R ja e n,j on R n :n standardikannan j:s vektori. Esim. R 4 :n standardikannan vektorit e 4,j, missä j {1, 2, 3, 4}: e 4,1 = (1, 0, 0, 0), e 4,2 = (0, 1, 0, 0), e 4,3 = (0, 0, 1, 0), e 4,4 = (0, 0, 0, 1). 3.3 Pysty- ja vaakavektorit Kun x = (x j ) n j=1 = (x 1,...,x n ) R n, määritellään lineaarikuvaus x : R 1 R n kaavalla x(r) := rx. Tämän matriisi on pystyvektori x := [ x =. x 1 x n R n Matriisien laskutoimitukset [Lay 2.1 t [A := [ta, [A + [B := [A + B ja [A := [ A. Huom. (ta) ij = t A ij, (A + B) ij = A ij + B ij ja ( A) ij = (A ij ). [B [A := [BA. Huom. m (BA) ij = B ik A kj. [ k=1 Esim. Ax = [A x = [A [ x = [Ax. 4

5 3.5 Lineaariset yhtälöt [Lay , 1.4 (1.6, 1.10) Olkoon A : R n R m lineaarikuvaus ja b R m. Lineaarisen yhtälön Ax = b matriisimuotoilu [Ax = b, missä [A R m n, b = [ b R m 1 ja tuntematon x = [ x R n Gauss-eliminointeja Ax = b liittomatriisina [A b, jota muokataan rivioperaatioin: 1. lisäämällä (painotettu) rivi toiseen riviin, 2. vaihtamalla kahden rivin paikkaa keskenään, 3. kertomalla yksittäinen rivi vakiolla c 0. Jos lineaarisesta yhtälöstä Ax = b saadaan rivioperaatioin Cx = d, merkitään [A b [C d. Tavoitteena on matriisi [C, jossa 1. nollarivit ovat alimpina; 2. rivin i + 1 ensimmäinen nollasta poikkeava luku on rivin i ensimmäisestä nollasta poikkeavasta luvusta oikealle; 3. jos rivin i ensimmäinen nollasta poikkeava luku on sarakkeessa j, niin sarakkeessa j muut luvut ovat nollia. Kirjoita ratkaisu(t) (jos niitä on) muodossa x = (x 1,...,x n ) = Käänteismatriisi [Lay Jos A : R n R m on lineaarinen bijektio, niin m = n; silloin matriisin [A R n n käänteismatriisi [ A 1 := [ A 1 R n n. [A[A 1 = [I n = [A 1 [A, missä I n : R n R n identiteettikuvaus eli I n (x) = x. [A[X = [I n ratkotaan Gauss-eliminaatiolla: [ A I n... [ In A Determinantti [Lay Matriisin [A R n n determinantin det[a R laskemiseen tarvitaan lait 1 4: Laki 1: Identiteettimatriisin determinantti det[i n = 1. Laki 2: Matriisin sarake t-kertaistuu determinantti t-kertaistuu. Laki 3: Jos matriisissa on (ainakin) kaksi samaa saraketta, niin det[a = 0. Laki 4: Determinantti on summautuva sarakkeiden suhteen. 5

6 Huom. det[a = [P P n ( 1) k P a P, missä P n on permutaatiomatriisien joukko, k P on niiden sarakkeiden paikanvaihtojen määrä, joilla [P muuttuu identiteettimatriisiksi ja a P on [A:n niiden alkioiden tulo, jotka ovat [P:n ykköskohdissa. Sarakkeiden paikan vaihdossa determinantti muuttuu kertoimella 1. Jos [A R n n yläkolmiomuotoa, niin det[a = A 11 A 22 A 33...A nn. Huom. Lait 1, 2, 3, 4 ovat ok, jos sana sarake muutetaan sanaksi rivi. Jos [A R n n muokataan Gauss-eliminaatiolla yläkolmiomatriisiksi [B, niin det[a = ( 1) k det[b, missä k on tarvittava rivinvaihtojen määrä. [A 1 det[a 0. det([a[b) = det[a det[b. 3.8 Yhteenveto lineaarialgebrasta Olkoon A : R n R m lineaarikuvaus ja b R m. Montako ratkaisua voi olla yhtälöllä A(x) = b? Ratkaisuja on: 0 kpl, jos b A(R n ) silloin A ei ole surjektio. tasan 1 kpl, jos b A(R n ) ja A on injektio. kpl, jos b A(R n ) ja A ei ole injektio. Surjektiivisuus/injektiivisyys: Jos A surjektio, niin n m ratkaisuja 1 tai kpl. Jos A injektio, niin n m ratkaisuja 0 tai 1 kpl. Jos A bijektio, niin m = n ratkaisuja tasan 1! Lause. Olkoon A : R n R n lineaarikuvaus ja [A R n n sen matriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä: (a) det[a 0. (b) A on bijektio. (c) A on injektio. (d) A on surjektio. 6