802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "802320A LINEAARIALGEBRA OSA I"

Transkriptio

1 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72

2 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus + eli kuvaus + : V V V, (v, w) v + w, missä v + w V, kun v V ja w V sekä LINEAARIALGEBRA 2 / 72

3 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus + eli kuvaus + : V V V, (v, w) v + w, missä v + w V, kun v V ja w V sekä laskutoimitus eli kuvaus : K V V, (k, v) k v, missä k v V, kun k K ja v V. LINEAARIALGEBRA 2 / 72

4 Määritelmä ja esimerkkejä Määritelmä 1 Pari (K, V ) on K-kertoiminen lineaariavaruus eli vektoriavaruus, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: LINEAARIALGEBRA 3 / 72

5 Määritelmä ja esimerkkejä Määritelmä 1 Pari (K, V ) on K-kertoiminen lineaariavaruus eli vektoriavaruus, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun aksiomit: LINEAARIALGEBRA 3 / 72

6 Määritelmä ja esimerkkejä Määritelmä 1 Pari (K, V ) on K-kertoiminen lineaariavaruus eli vektoriavaruus, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun aksiomit: (a) u + (v + w) = (u + v) + w kaikilla u, v, w V (liitännäisyys). LINEAARIALGEBRA 3 / 72

7 Määritelmä ja esimerkkejä Määritelmä 1 Pari (K, V ) on K-kertoiminen lineaariavaruus eli vektoriavaruus, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun aksiomit: (a) u + (v + w) = (u + v) + w kaikilla u, v, w V (liitännäisyys). (b) v + w = w + v kaikilla v, w V (vaihdannaisuus). LINEAARIALGEBRA 3 / 72

8 Määritelmä ja esimerkkejä Määritelmä 1 Pari (K, V ) on K-kertoiminen lineaariavaruus eli vektoriavaruus, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun aksiomit: (a) u + (v + w) = (u + v) + w kaikilla u, v, w V (liitännäisyys). (b) v + w = w + v kaikilla v, w V (vaihdannaisuus). (c) On olemassa neutraalialkio 0 V, jolle 0 + v = v kaikilla v V. LINEAARIALGEBRA 3 / 72

9 Määritelmä ja esimerkkejä Määritelmä 1 Pari (K, V ) on K-kertoiminen lineaariavaruus eli vektoriavaruus, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun aksiomit: (a) u + (v + w) = (u + v) + w kaikilla u, v, w V (liitännäisyys). (b) v + w = w + v kaikilla v, w V (vaihdannaisuus). (c) On olemassa neutraalialkio 0 V, jolle 0 + v = v kaikilla v V. (d) Kaikilla v V on olemassa vasta-alkio v V, jolle v + ( v) = 0. LINEAARIALGEBRA 3 / 72

10 Määritelmä ja esimerkkejä 2. Skalaarilla kertomisen aksiomit: LINEAARIALGEBRA 4 / 72

11 Määritelmä ja esimerkkejä 2. Skalaarilla kertomisen aksiomit: (a) (λµ) v = λ (µ v) kaikilla v V ja λ, µ K. LINEAARIALGEBRA 4 / 72

12 Määritelmä ja esimerkkejä 2. Skalaarilla kertomisen aksiomit: (a) (λµ) v = λ (µ v) kaikilla v V ja λ, µ K. (b) 1 v = v kaikilla v V. LINEAARIALGEBRA 4 / 72

13 Määritelmä ja esimerkkejä 2. Skalaarilla kertomisen aksiomit: (a) (λµ) v = λ (µ v) kaikilla v V ja λ, µ K. (b) 1 v = v kaikilla v V. 3. Osittelulait: LINEAARIALGEBRA 4 / 72

14 Määritelmä ja esimerkkejä 2. Skalaarilla kertomisen aksiomit: (a) (λµ) v = λ (µ v) kaikilla v V ja λ, µ K. (b) 1 v = v kaikilla v V. 3. Osittelulait: (a) λ (v + w) = λ v + λ w kaikilla v, w V ja λ K. LINEAARIALGEBRA 4 / 72

15 Määritelmä ja esimerkkejä 2. Skalaarilla kertomisen aksiomit: (a) (λµ) v = λ (µ v) kaikilla v V ja λ, µ K. (b) 1 v = v kaikilla v V. 3. Osittelulait: (a) λ (v + w) = λ v + λ w kaikilla v, w V ja λ K. (b) (λ + µ) v = λ v + µ v kaikilla v V ja λ, µ K. LINEAARIALGEBRA 4 / 72

16 Määritelmä ja esimerkkejä Määritelmän 1 mukaista joukkoa V kutsutaan lineaariavaruudeksi eli vektoriavaruudeksi kunnan K yli tai K-lineaariavaruudeksi tai K-vektoriavaruudeksi LINEAARIALGEBRA 5 / 72

17 Määritelmä ja esimerkkejä Määritelmän 1 mukaista joukkoa V kutsutaan lineaariavaruudeksi eli vektoriavaruudeksi kunnan K yli tai K-lineaariavaruudeksi tai K-vektoriavaruudeksi ja annettuja ehtoja sanotaan lineaariavaruuden V aksiomeiksi LINEAARIALGEBRA 5 / 72

18 Määritelmä ja esimerkkejä Määritelmän 1 mukaista joukkoa V kutsutaan lineaariavaruudeksi eli vektoriavaruudeksi kunnan K yli tai K-lineaariavaruudeksi tai K-vektoriavaruudeksi ja annettuja ehtoja sanotaan lineaariavaruuden V aksiomeiksi ja joukon V alkioita voidaan kutsua vektoreiksi LINEAARIALGEBRA 5 / 72

19 Määritelmä ja esimerkkejä Määritelmän 1 mukaista joukkoa V kutsutaan lineaariavaruudeksi eli vektoriavaruudeksi kunnan K yli tai K-lineaariavaruudeksi tai K-vektoriavaruudeksi ja annettuja ehtoja sanotaan lineaariavaruuden V aksiomeiksi ja joukon V alkioita voidaan kutsua vektoreiksi sekä joukon K alkioita skalaareiksi. LINEAARIALGEBRA 5 / 72

20 Määritelmä ja esimerkkejä Määritelmän 1 mukaista joukkoa V kutsutaan lineaariavaruudeksi eli vektoriavaruudeksi kunnan K yli tai K-lineaariavaruudeksi tai K-vektoriavaruudeksi ja annettuja ehtoja sanotaan lineaariavaruuden V aksiomeiksi ja joukon V alkioita voidaan kutsua vektoreiksi sekä joukon K alkioita skalaareiksi. Edelleen laskutoimitusta + kutsutaan yhteenlaskuksi ja LINEAARIALGEBRA 5 / 72

21 Määritelmä ja esimerkkejä Määritelmän 1 mukaista joukkoa V kutsutaan lineaariavaruudeksi eli vektoriavaruudeksi kunnan K yli tai K-lineaariavaruudeksi tai K-vektoriavaruudeksi ja annettuja ehtoja sanotaan lineaariavaruuden V aksiomeiksi ja joukon V alkioita voidaan kutsua vektoreiksi sekä joukon K alkioita skalaareiksi. Edelleen laskutoimitusta + kutsutaan yhteenlaskuksi ja laskutoimitusta skalaarilla kertomiseksi. LINEAARIALGEBRA 5 / 72

22 Määritelmä ja esimerkkejä Erikoistapauksia: Esimerkki 1 Reaalinen vektoriavaruus, kun K = R. Tällöin yhteenlasku + on kuvaus + : V V V ja reaaliluvulla kertominen on kuvaus : R V V. LINEAARIALGEBRA 6 / 72

23 Määritelmä ja esimerkkejä Esimerkki 2 Kompleksinen vektoriavaruus, kun K = C. Tällöin yhteenlasku + on kuvaus + : V V V ja kompleksiluvulla kertominen on kuvaus : C V V. LINEAARIALGEBRA 7 / 72

24 Määritelmä ja esimerkkejä Huomautus 1 Identiteetin v = w molemmille puolin saa lisätä saman alkion y, jolloin v + y = w + y. LINEAARIALGEBRA 8 / 72

25 Määritelmä ja esimerkkejä Merkintä 1 Yleensä kertolasku jätetään merkitsemättä eli tehdään samaistus: λv := λ v. LINEAARIALGEBRA 9 / 72

26 Määritelmä ja esimerkkejä Merkintä 1 Yleensä kertolasku jätetään merkitsemättä eli tehdään samaistus: λv := λ v. Merkintä 2 λ v := (λ v). LINEAARIALGEBRA 9 / 72

27 Määritelmä ja esimerkkejä Merkintä 1 Yleensä kertolasku jätetään merkitsemättä eli tehdään samaistus: λv := λ v. Merkintä 2 λ v := (λ v). Merkintä 3 Asetetaan u v := u + ( v). (1) LINEAARIALGEBRA 9 / 72

28 Määritelmä ja esimerkkejä Esimerkki 3 Joukko R n, n Z + on vektoriavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ) R n, y = (y 1,..., y n ) R n identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla λ kertominen määritellään koordinaateittain: x = y x i = y i i = 1,..., n; x + y = (x 1 + y 1,..., x n + y n ); λ x = (λx 1,..., λx n ). Erityisesti R 1 on vektoriavaruus, joka voidaan samaistaa R:n kanssa. LINEAARIALGEBRA 10 / 72

29 Määritelmä ja esimerkkejä Lähtökohtana on, että reaaliluvut on kunta, jolloin reaaliluvut toteuttavat kunta-aksiomit eli liitännäisyyden, vaihdannaisuuden, etc. LINEAARIALGEBRA 11 / 72

30 Määritelmä ja esimerkkejä Lähtökohtana on, että reaaliluvut on kunta, jolloin reaaliluvut toteuttavat kunta-aksiomit eli liitännäisyyden, vaihdannaisuuden, etc. Aluksi nähdään, että reaalilukujen assosiatiivisuus-ominaisuus nousee vektoreiden assosiatiivisuudeksi. LINEAARIALGEBRA 11 / 72

31 Määritelmä ja esimerkkejä Lähtökohtana on, että reaaliluvut on kunta, jolloin reaaliluvut toteuttavat kunta-aksiomit eli liitännäisyyden, vaihdannaisuuden, etc. Aluksi nähdään, että reaalilukujen assosiatiivisuus-ominaisuus nousee vektoreiden assosiatiivisuudeksi. Osoitetaan Vektoriavaruuden Määritelmän 1 kohta 1a (liitännäisyys) eli kaikilla x, y, z R n. x + (y + z) = (x + y) + z LINEAARIALGEBRA 11 / 72

32 Määritelmä ja esimerkkejä Lasketaan ensin vasen puoli x + (y + z) =(x 1,..., x n ) + ((y 1,..., y n ) + (z 1,..., z n )) = (x 1,..., x n ) + (y 1 + z 1,..., y n + z n ) = (x 1 + (y 1 + z 1 ),..., x n + (y n + z n )) = ((x 1 + y 1 ) + z 1,..., (x n + y n ) + z n ), missä koordinaateissa on käytetty reaalilukujen liitännäisyyttä. LINEAARIALGEBRA 12 / 72

33 Määritelmä ja esimerkkejä Lasketaan ensin vasen puoli x + (y + z) =(x 1,..., x n ) + ((y 1,..., y n ) + (z 1,..., z n )) = (x 1,..., x n ) + (y 1 + z 1,..., y n + z n ) = (x 1 + (y 1 + z 1 ),..., x n + (y n + z n )) = ((x 1 + y 1 ) + z 1,..., (x n + y n ) + z n ), missä koordinaateissa on käytetty reaalilukujen liitännäisyyttä. Ja sitten oikea puoli (x + y) + z =((x 1,..., x n ) + (y 1,..., y n )) + (z 1,..., z n ) = (x 1 + y 1,..., x n + y n ) + (z 1,..., z n ) = ((x 1 + y 1 ) + z 1,..., (x n + y n ) + z n ). Havaitaan, että vasen ja oikea puoli ovat samat kaikilla x, y, z R n. LINEAARIALGEBRA 12 / 72

34 Määritelmä ja esimerkkejä Seuraavaksi osoitetaan, että nolla-alkio on (0,..., 0). Lasketaan siis: x +(0,..., 0) = (x 1,..., x n )+(0,..., 0) = (x 1 +0,..., x n +0) = (x 1,..., x n ) = x, joka pätee kaikilla x R n. Siten 0 = (0,..., 0). LINEAARIALGEBRA 13 / 72

35 Määritelmä ja esimerkkejä Osoitetaan vielä Vektoriavaruuden Määritelmän 1 kohta 2(a) eli (λµ) x = λ (µ x) kaikilla x R n ja λ, µ R. LINEAARIALGEBRA 14 / 72

36 Määritelmä ja esimerkkejä Osoitetaan vielä Vektoriavaruuden Määritelmän 1 kohta 2(a) eli (λµ) x = λ (µ x) kaikilla x R n ja λ, µ R. Lasketaan ensin vasen puoli (λµ) x = (λµ) (x 1,..., x n ) = (λµx 1,..., λµx n ) (2) LINEAARIALGEBRA 14 / 72

37 Määritelmä ja esimerkkejä Osoitetaan vielä Vektoriavaruuden Määritelmän 1 kohta 2(a) eli (λµ) x = λ (µ x) kaikilla x R n ja λ, µ R. Lasketaan ensin vasen puoli ja sitten oikea puoli (λµ) x = (λµ) (x 1,..., x n ) = (λµx 1,..., λµx n ) (2) λ (µ x) = λ (µx 1,..., µx n ) = (λµx 1,..., λµx n ). (3) LINEAARIALGEBRA 14 / 72

38 Määritelmä ja esimerkkejä Osoitetaan vielä Vektoriavaruuden Määritelmän 1 kohta 2(a) eli (λµ) x = λ (µ x) kaikilla x R n ja λ, µ R. Lasketaan ensin vasen puoli ja sitten oikea puoli (λµ) x = (λµ) (x 1,..., x n ) = (λµx 1,..., λµx n ) (2) λ (µ x) = λ (µx 1,..., µx n ) = (λµx 1,..., λµx n ). (3) Havaitaan, että vasen ja oikea puoli ovat samat kaikilla x R n ja λ, µ R. LINEAARIALGEBRA 14 / 72

39 Määritelmä ja esimerkkejä Esimerkki 4 Olkoon K kunta. Tällöin joukko K n, n Z + on vektoriavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ) K n, y = (y 1,..., y n ) K n identtisyys, yhteenlasku ja skalaarilla λ K kertominen määritellään koordinaateittain: x = y x i = y i i = 1,..., n; x + y = (x 1 + y 1,..., x n + y n ); λ x = (λx 1,..., λx n ). Erityisesti K 1 on vektoriavaruus, joka voidaan samaistaa K:n kanssa. LINEAARIALGEBRA 15 / 72

40 Määritelmä ja esimerkkejä Esimerkki 5 Joukko M(k, n) = {A A on k n matriisi} on vektoriavaruus, kun se varustetaan tavallisella matriisien yhteenlaskulla ja reaaliluvulla kertomisella. LINEAARIALGEBRA 16 / 72

41 Määritelmä ja esimerkkejä Esimerkki 6 Olkoon F(R, R) = {f f : R R on kuvaus}. Määritellään kaikilla f, g F(R, R) ja λ R identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla kertominen seuraavasti: f = g, jos f (x) = g(x) (4) (f + g)(x) = f (x) + g(x) (5) (λ f )(x) = λf (x) (6) kaikilla x R. Tällöin F(R, R) on vektoriavaruus. LINEAARIALGEBRA 17 / 72

42 Määritelmä ja esimerkkejä Osoitetaan Vektoriavaruuden Määritelmän 1 kohta 1c): Määritellään nollafunktio O asettamalla O(x) = 0 x R. (7) LINEAARIALGEBRA 18 / 72

43 Määritelmä ja esimerkkejä Osoitetaan Vektoriavaruuden Määritelmän 1 kohta 1c): Määritellään nollafunktio O asettamalla Tällöin O(x) = 0 x R. (7) (O + f )(x) = O(x) + f (x) = 0 + f (x) = f (x) x R, (8) LINEAARIALGEBRA 18 / 72

44 Määritelmä ja esimerkkejä Osoitetaan Vektoriavaruuden Määritelmän 1 kohta 1c): Määritellään nollafunktio O asettamalla Tällöin O(x) = 0 x R. (7) (O + f )(x) = O(x) + f (x) = 0 + f (x) = f (x) x R, (8) joten funktioiden identtisyyden nojalla O + f = f. (9) Siten nollafunktio on yhteenlaskun neutraalialkio funktioavaruudessa. LINEAARIALGEBRA 18 / 72

45 Määritelmä ja esimerkkejä Osoitetaan kohta 1d): Määritellään f asettamalla ( f )(x) = f (x) x R. (10) Tällöin (f + ( f ))(x) = f (x) + ( f )(x) = f (x) f (x) = 0 = O(x) x R, (11) joten funktioiden identtisyyden nojalla f + ( f ) = O. (12) Siten f on alkion f vasta-alkio funktioavaruudessa. LINEAARIALGEBRA 19 / 72

46 Laskusääntöjä Lause 1 Olkoon V vektoriavaruus. Tällöin (a) yhteenlaskun neutraalialkio on yksikäsitteinen; LINEAARIALGEBRA 20 / 72

47 Laskusääntöjä Lause 1 Olkoon V vektoriavaruus. Tällöin (a) yhteenlaskun neutraalialkio on yksikäsitteinen; (b) vektorin vasta-alkio on yksikäsitteinen; LINEAARIALGEBRA 20 / 72

48 Laskusääntöjä Lause 1 Olkoon V vektoriavaruus. Tällöin (a) yhteenlaskun neutraalialkio on yksikäsitteinen; (b) vektorin vasta-alkio on yksikäsitteinen; (c) kaikilla v, w V on olemassa täsmälleen yksi x V, jolle v + x = w (toisin sanoen yhtälöllä v + x = w on yksikäsitteinen ratkaisu). Koska (V, +) on Abelin ryhmä, niin todistukset löytyvät kurssilta A Algebran perusteet. LINEAARIALGEBRA 20 / 72

49 Laskusääntöjä Lause 2 Olkoon V vektoriavaruus ja 0 V sen nolla-alkio ja 0 K. Kaikilla v, w V ja λ, µ K pätee LINEAARIALGEBRA 21 / 72

50 Laskusääntöjä Lause 2 Olkoon V vektoriavaruus ja 0 V sen nolla-alkio ja 0 K. Kaikilla v, w V ja λ, µ K pätee a] 0 v = λ 0 = 0; LINEAARIALGEBRA 21 / 72

51 Laskusääntöjä Lause 2 Olkoon V vektoriavaruus ja 0 V sen nolla-alkio ja 0 K. Kaikilla v, w V ja λ, µ K pätee a] 0 v = λ 0 = 0; b] ( 1) v = v; LINEAARIALGEBRA 21 / 72

52 Laskusääntöjä Lause 2 Olkoon V vektoriavaruus ja 0 V sen nolla-alkio ja 0 K. Kaikilla v, w V ja λ, µ K pätee a] 0 v = λ 0 = 0; b] ( 1) v = v; c] ( v) = v; LINEAARIALGEBRA 21 / 72

53 Laskusääntöjä Lause 2 Olkoon V vektoriavaruus ja 0 V sen nolla-alkio ja 0 K. Kaikilla v, w V ja λ, µ K pätee a] 0 v = λ 0 = 0; b] ( 1) v = v; c] ( v) = v; d] (v + w) = v w; LINEAARIALGEBRA 21 / 72

54 Laskusääntöjä Lause 2 Olkoon V vektoriavaruus ja 0 V sen nolla-alkio ja 0 K. Kaikilla v, w V ja λ, µ K pätee a] 0 v = λ 0 = 0; b] ( 1) v = v; c] ( v) = v; d] (v + w) = v w; e] λ v = ( λ) v = λ ( v); LINEAARIALGEBRA 21 / 72

55 Laskusääntöjä f] ( λ) ( v) = λ v; LINEAARIALGEBRA 22 / 72

56 Laskusääntöjä f] ( λ) ( v) = λ v; g] λ (v w) = λ v λ w; LINEAARIALGEBRA 22 / 72

57 Laskusääntöjä f] ( λ) ( v) = λ v; g] λ (v w) = λ v λ w; h] (λ µ) v = λ v µ v; LINEAARIALGEBRA 22 / 72

58 Laskusääntöjä f] ( λ) ( v) = λ v; g] λ (v w) = λ v λ w; h] (λ µ) v = λ v µ v; i] λ v = 0 jos ja vain jos λ = 0 tai v = 0; LINEAARIALGEBRA 22 / 72

59 Laskusääntöjä f] ( λ) ( v) = λ v; g] λ (v w) = λ v λ w; h] (λ µ) v = λ v µ v; i] λ v = 0 jos ja vain jos λ = 0 tai v = 0; j] Jos λ v = λ w ja λ 0, niin v = w; LINEAARIALGEBRA 22 / 72

60 Laskusääntöjä f] ( λ) ( v) = λ v; g] λ (v w) = λ v λ w; h] (λ µ) v = λ v µ v; i] λ v = 0 jos ja vain jos λ = 0 tai v = 0; j] Jos λ v = λ w ja λ 0, niin v = w; k] Jos λ v = µ v ja v 0, niin λ = µ. LINEAARIALGEBRA 22 / 72

61 Laskusääntöjä Todistetaan kohdan LINEAARIALGEBRA 23 / 72

62 Laskusääntöjä Todistetaan kohdan a] tapaus: 0 v = 0. LINEAARIALGEBRA 23 / 72

63 Laskusääntöjä Todistetaan kohdan a] tapaus: 0 v = 0. Aluksi 0 v = (0 + 0) v = 0 v + 0 v. (13) LINEAARIALGEBRA 23 / 72

64 Laskusääntöjä Todistetaan kohdan a] tapaus: 0 v = 0. Aluksi 0 v = (0 + 0) v = 0 v + 0 v. (13) Lisätään vasta-alkio 0 v yhtälön molemmille puolille, jolloin 0 = 0 v + ( 0 v) = (0 v + 0 v) + ( 0 v) = 0 v + (0 v 0 v) = 0 v + 0 = 0 v. (14) LINEAARIALGEBRA 23 / 72

65 Laskusääntöjä b] ( 1) v = v. LINEAARIALGEBRA 24 / 72

66 Laskusääntöjä b] ( 1) v = v. Lasketaan ( 1) v + v: ( 1) v + v = ( 1) v + 1 v = ( 1 + 1) v = 0 v = 0. (15) Täten vasta-alkion määritelmän ja yksikäsitteisyyden nojalla ( 1) v = v. LINEAARIALGEBRA 24 / 72

67 Laskusääntöjä e] Osoitetaan tapaus λ v = ( λ) v käyttämällä b]-kohdan tulosta w = ( 1) w. LINEAARIALGEBRA 25 / 72

68 Laskusääntöjä e] Osoitetaan tapaus λ v = ( λ) v käyttämällä b]-kohdan tulosta w = ( 1) w. Lasketaan V.P = λ v = ( 1) (λ v) = (( 1)λ) v = ( λ) v = O.P. (16) LINEAARIALGEBRA 25 / 72

69 Laskusääntöjä i] Esitetään ensin väite muodossa: λ v = 0 λ = 0 tai v = 0. LINEAARIALGEBRA 26 / 72

70 Laskusääntöjä i] Esitetään ensin väite muodossa: λ v = 0 λ = 0 tai v = 0. :n todistus: Oletuksena on, että λ = 0 tai v = 0. Nyt on osoitettava, että λ v = 0. LINEAARIALGEBRA 26 / 72

71 Laskusääntöjä i] Esitetään ensin väite muodossa: λ v = 0 λ = 0 tai v = 0. :n todistus: Oletuksena on, että λ = 0 tai v = 0. Nyt on osoitettava, että λ v = 0. Katso a]-kohta. LINEAARIALGEBRA 26 / 72

72 Laskusääntöjä :n todistus: Nyt oletuksena on On siis osoitettava, että λ = 0 tai v = 0. λ v = 0. (17) LINEAARIALGEBRA 27 / 72

73 Laskusääntöjä :n todistus: Nyt oletuksena on λ v = 0. (17) On siis osoitettava, että λ = 0 tai v = 0. Tehdään vastaoletus: λ 0 ja v 0. LINEAARIALGEBRA 27 / 72

74 Laskusääntöjä :n todistus: Nyt oletuksena on On siis osoitettava, että λ = 0 tai v = 0. Tehdään vastaoletus: λ 0 ja v 0. λ v = 0. (17) Tällöin λ 1 K, joten yhtälö (17) voidaan kertoa puolittain alkiolla λ 1. Saadaan λ 1 (λ v) = λ 1 0 (λ 1 λ) v = 0 1 v = v = 0. (18) Ristiriita vastaoletuksen kanssa. LINEAARIALGEBRA 27 / 72

75 Aliavaruus Määritelmä 2 Vektoriavaruuden V epätyhjä osajoukko W on vektoriavaruuden V aliavaruus, jos W on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen, toisin sanoen LINEAARIALGEBRA 28 / 72

76 Aliavaruus Määritelmä 2 Vektoriavaruuden V epätyhjä osajoukko W on vektoriavaruuden V aliavaruus, jos W on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen, toisin sanoen 1 W V ; 2 jos w 1, w 2 W, niin w 1 + w 2 W ; 3 jos w W ja λ K, niin λw W. LINEAARIALGEBRA 28 / 72

77 Aliavaruus Seuraava lause antaa hyvän tavan todeta joukko vektoriavaruudeksi: Osoitetaan joukko jonkin tunnetun vektoriavaruuden aliavaruudeksi. Lause 3 Epätyhjä joukko W V on vektoriavaruuden V aliavaruus jos ja vain jos W varustettuna avaruuden V yhteenlaskulla ja skalaarilla kertomisella on vektoriavaruus. LINEAARIALGEBRA 29 / 72

78 Aliavaruus Esimerkki 7 Olkoon V vektoriavaruus ja 0 V sen nolla-alkio. Tällöin osajoukot {0} ja V ovat vektoriavaruuden V aliavaruuksia. LINEAARIALGEBRA 30 / 72

79 Aliavaruus Esimerkki 7 Olkoon V vektoriavaruus ja 0 V sen nolla-alkio. Tällöin osajoukot {0} ja V ovat vektoriavaruuden V aliavaruuksia. Todistetaan, että {0} on aliavaruus. Merkitään hetkeksi W 0 = {0}. LINEAARIALGEBRA 30 / 72

80 Aliavaruus Esimerkki 7 Olkoon V vektoriavaruus ja 0 V sen nolla-alkio. Tällöin osajoukot {0} ja V ovat vektoriavaruuden V aliavaruuksia. Todistetaan, että {0} on aliavaruus. Merkitään hetkeksi W 0 = {0}. AA1. Koska 0 W 0, niin W 0. LINEAARIALGEBRA 30 / 72

81 Aliavaruus Esimerkki 7 Olkoon V vektoriavaruus ja 0 V sen nolla-alkio. Tällöin osajoukot {0} ja V ovat vektoriavaruuden V aliavaruuksia. Todistetaan, että {0} on aliavaruus. Merkitään hetkeksi W 0 = {0}. AA1. Koska 0 W 0, niin W 0. AA2. Olkoot w 1, w 2 W 0. Tällöin w 1 = w 2 = 0 ja siten w 1 + w 2 = 0 W 0. LINEAARIALGEBRA 30 / 72

82 Aliavaruus Esimerkki 7 Olkoon V vektoriavaruus ja 0 V sen nolla-alkio. Tällöin osajoukot {0} ja V ovat vektoriavaruuden V aliavaruuksia. Todistetaan, että {0} on aliavaruus. Merkitään hetkeksi W 0 = {0}. AA1. Koska 0 W 0, niin W 0. AA2. Olkoot w 1, w 2 W 0. Tällöin w 1 = w 2 = 0 ja siten w 1 + w 2 = 0 W 0. AA3. Olkoot λ K ja w W 0. Tällöin w = 0 ja siten λ w = λ 0 = 0 W 0. Huomautus 2 Sanotaan, että {0} ja V ovat triviaalit aliavaruudet. LINEAARIALGEBRA 30 / 72

83 Aliavaruus Esimerkki 8 Joukko C(R, R) = {f f : R R on jatkuva kuvaus} on vektoriavaruuden F(R, R) aliavaruus. LINEAARIALGEBRA 31 / 72

84 Aliavaruus Esimerkki 8 Joukko C(R, R) = {f f : R R on jatkuva kuvaus} on vektoriavaruuden F(R, R) aliavaruus. AA1. Koska nollakuvaus O : R R on jatkuva, niin O C(R, R) ja siten C(R, R). LINEAARIALGEBRA 31 / 72

85 Aliavaruus Esimerkki 8 Joukko C(R, R) = {f f : R R on jatkuva kuvaus} on vektoriavaruuden F(R, R) aliavaruus. AA1. Koska nollakuvaus O : R R on jatkuva, niin O C(R, R) ja siten C(R, R). AA2. Jos f, g C(R, R), niin f + g on jatkuva ja siten f + g C(R, R). LINEAARIALGEBRA 31 / 72

86 Aliavaruus Esimerkki 8 Joukko C(R, R) = {f f : R R on jatkuva kuvaus} on vektoriavaruuden F(R, R) aliavaruus. AA1. Koska nollakuvaus O : R R on jatkuva, niin O C(R, R) ja siten C(R, R). AA2. Jos f, g C(R, R), niin f + g on jatkuva ja siten f + g C(R, R). AA3. Olkoot λ R ja f C(R, R), tällöin λf on jatkuva, joten λf C(R, R). LINEAARIALGEBRA 31 / 72

87 Aliavaruus Esimerkki 9 Olkoon Pol(R, R) = {f F(R, R) f (x) = a 0 + a 1 x a n x n kaikilla x R joillekin n N ja a 0,..., a n R} eli Pol(R, R) on kaikkien polynomien joukko. Tällöin Pol(R, R) on vektoriavaruuksien C(R, R) ja F(R, R) aliavaruus. LINEAARIALGEBRA 32 / 72

88 Aliavaruus Esimerkki 10 Olkoot k N ja Pol k (R, R) = {f Pol(R, R) polynomin f aste k}. Tällöin Pol k (R, R) on avaruuden Pol(R, R) aliavaruus. Saadaan siis aliavaruusketju Pol 0 (R, R) Pol 1 (R, R)... Pol k (R, R) Pol k+1 (R, R) Pol(R, R) C(R, R) F(R, R). LINEAARIALGEBRA 33 / 72

89 Aliavaruus Huomautus 3 Olkoon K kunta. Yleensä K-kertoimisten polynomien joukolle käytetään merkintää K[x] = {f (x) f (x) = a 0 + a 1 x a n x n joillekin n N ja a 0,..., a n K}. Kun polynomien yhteen- ja kertolasku määritellään tavanomaisesti, niin saadaan polynomirengas (K[x], +, ), missä nolla- ja ykköspolynomit ovat 0(x) = x + 0 x , 1(x) = x + 0 x Edelleen vakiopolynomille a(x) = a + 0 x + 0 x voidaan käyttää lyhennysmerkintää a. LINEAARIALGEBRA 34 / 72

90 Lineaarikombinaatio ja lineaarinen verho Määritelmä 3 Olkoon V vektoriavaruus kunnan K yli. Vektori v V on vektoreiden v 1,..., v n V (äärellinen) lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset luvut λ 1,..., λ n K, että v = n λ i v i. (19) i=1 LINEAARIALGEBRA 35 / 72

91 Lineaarikombinaatio ja lineaarinen verho Määritelmä 3 Olkoon V vektoriavaruus kunnan K yli. Vektori v V on vektoreiden v 1,..., v n V (äärellinen) lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset luvut λ 1,..., λ n K, että v = n λ i v i. (19) i=1 Esimerkki 11 V = R 3, K = R, v 1 = (1, 1, 0), v 2 = (0, 1, 1), v 3 = (1, 0, 1) ja v = (3, 3, 0). Tällöin v = v 1 + 2v 2 + 2v 3 (20) = 2v 1 + v 2 + v 3. (21) Siten (3, 3, 0) on vektoreiden v 1, v 2 ja v 3 lineaarikombinaatio mutta esitys ei ole yksikäsitteinen. LINEAARIALGEBRA 35 / 72

92 Lineaarikombinaatio ja lineaarinen verho Esimerkki 12 V = C 3, K = C. ( i, i, 2 + i) = 1 ( i, i, i) + 1 (0, 0, 2) (22) = i ( 1, 1, 1) + i (0, 0, 2i). (23) LINEAARIALGEBRA 36 / 72

93 Lineaarikombinaatio ja lineaarinen verho Määritelmä 4 K-vektoriavaruuden V epätyhjän osajoukon S lineaarinen verho S koostuu kaikista joukon S äärellisistä K-lineaarikombinaatioista, toisin sanoen S K = S = {u V u = n λ i v i, i=1 joillekin n N, v 1,..., v n S ja λ 1,..., λ n K}. LINEAARIALGEBRA 37 / 72

94 Lineaarikombinaatio ja lineaarinen verho Esimerkki 13 V = R 2, K = R, e 1 = (1, 0), e 2 = (0, 1). Tällöin e 1, e 2 R = {λ 1 e 1 + λ 2 e 2 = (λ 1, λ 2 ) λ 1, λ 2 R} = R 2. (24) LINEAARIALGEBRA 38 / 72

95 Lineaarikombinaatio ja lineaarinen verho Esimerkki 14 Koska f Pol 1 (R, R) täsmälleen silloin, kun on olemassa sellaiset a 0, a 1 R, että f (x) = a 0 + a 1 x, niin Yleisemmin Pol 1 (R, R) = 1, x R. Pol k (R, R) = 1, x,..., x k R. LINEAARIALGEBRA 39 / 72

96 Lineaarikombinaatio ja lineaarinen verho Lause 4 Olkoot V vektoriavaruus kunnan K yli ja S V epätyhjä osajoukko. Tällöin LINEAARIALGEBRA 40 / 72

97 Lineaarikombinaatio ja lineaarinen verho Lause 4 Olkoot V vektoriavaruus kunnan K yli ja S V epätyhjä osajoukko. Tällöin (a) S K on avaruuden V aliavaruus. LINEAARIALGEBRA 40 / 72

98 Lineaarikombinaatio ja lineaarinen verho Lause 4 Olkoot V vektoriavaruus kunnan K yli ja S V epätyhjä osajoukko. Tällöin (a) S K on avaruuden V aliavaruus. (b) Jos S W ja W on avaruuden V aliavaruus, niin S K W. LINEAARIALGEBRA 40 / 72

99 Lineaarinen vapaus ja riippuvuus Seuraavassa tarkastellaan vektoreiden s 1,..., s n V muodostamia listoja s 1,..., s n, missä n N on listan pituus. LINEAARIALGEBRA 41 / 72

100 Lineaarinen vapaus ja riippuvuus Seuraavassa tarkastellaan vektoreiden s 1,..., s n V muodostamia listoja s 1,..., s n, missä n N on listan pituus. Tapaus n = 0 tarkoittaa, että lista on tyhjä eli listassa ei ole alkioita. LINEAARIALGEBRA 41 / 72

101 Lineaarinen vapaus ja riippuvuus Seuraavassa tarkastellaan vektoreiden s 1,..., s n V muodostamia listoja s 1,..., s n, missä n N on listan pituus. Tapaus n = 0 tarkoittaa, että lista on tyhjä eli listassa ei ole alkioita. LINEAARIALGEBRA 41 / 72

102 Lineaarinen vapaus ja riippuvuus Määritelmä 5 Olkoon V vektoriavaruus kunnan K yli ja s 1,..., s n V, n N. LINEAARIALGEBRA 42 / 72

103 Lineaarinen vapaus ja riippuvuus Määritelmä 5 Olkoon V vektoriavaruus kunnan K yli ja s 1,..., s n V, n N. Tapaus n = 0: Tyhjä lista on lineaarisesti vapaa. LINEAARIALGEBRA 42 / 72

104 Lineaarinen vapaus ja riippuvuus Määritelmä 5 Olkoon V vektoriavaruus kunnan K yli ja s 1,..., s n V, n N. Tapaus n = 0: Tyhjä lista on lineaarisesti vapaa. Tapaus n 1: Alkiolista s 1,..., s n on lineaarisesti vapaa (kunnan K yli) LINEAARIALGEBRA 42 / 72

105 Lineaarinen vapaus ja riippuvuus Määritelmä 5 Olkoon V vektoriavaruus kunnan K yli ja s 1,..., s n V, n N. Tapaus n = 0: Tyhjä lista on lineaarisesti vapaa. Tapaus n 1: Alkiolista s 1,..., s n on lineaarisesti vapaa (kunnan K yli) jos ehdosta n λ i s i = 0, λ 1,..., λ n K, (25) i=1 LINEAARIALGEBRA 42 / 72

106 Lineaarinen vapaus ja riippuvuus Määritelmä 5 Olkoon V vektoriavaruus kunnan K yli ja s 1,..., s n V, n N. Tapaus n = 0: Tyhjä lista on lineaarisesti vapaa. Tapaus n 1: Alkiolista s 1,..., s n on lineaarisesti vapaa (kunnan K yli) jos ehdosta seuraa, että n λ i s i = 0, λ 1,..., λ n K, (25) i=1 λ 1 = λ 2 =... = λ n = 0. (26) LINEAARIALGEBRA 42 / 72

107 Lineaarinen vapaus ja riippuvuus Määritelmä 5 Olkoon V vektoriavaruus kunnan K yli ja s 1,..., s n V, n N. Tapaus n = 0: Tyhjä lista on lineaarisesti vapaa. Tapaus n 1: Alkiolista s 1,..., s n on lineaarisesti vapaa (kunnan K yli) jos ehdosta seuraa, että n λ i s i = 0, λ 1,..., λ n K, (25) i=1 λ 1 = λ 2 =... = λ n = 0. (26) Muutoin lista s 1,..., s n on lineaarisesti sidottu (kunnan K yli). LINEAARIALGEBRA 42 / 72

108 Lineaarinen vapaus ja riippuvuus Lineaarisesti vapaa=lineaarisesti riippumaton LINEAARIALGEBRA 43 / 72

109 Lineaarinen vapaus ja riippuvuus Lineaarisesti vapaa=lineaarisesti riippumaton vektorit ovat lineaarisesti vapaita eli riippumattomia LINEAARIALGEBRA 43 / 72

110 Lineaarinen vapaus ja riippuvuus Lineaarisesti vapaa=lineaarisesti riippumaton vektorit ovat lineaarisesti vapaita eli riippumattomia lineaarisesti sidottu=lineaarisesti riippuva LINEAARIALGEBRA 43 / 72

111 Lineaarinen vapaus ja riippuvuus Lineaarisesti vapaa=lineaarisesti riippumaton vektorit ovat lineaarisesti vapaita eli riippumattomia lineaarisesti sidottu=lineaarisesti riippuva vektorit ovat lineaarisesti sidottuja eli riippuvia LINEAARIALGEBRA 43 / 72

112 Lineaarinen vapaus ja riippuvuus Lause 5 Olkoot V vektoriavaruus kunnan K yli ja s 1,..., s n V, n Z +. Alkiolista s 1,..., s n on lineaarisesti riippuva (kunnan K yli) LINEAARIALGEBRA 44 / 72

113 Lineaarinen vapaus ja riippuvuus Lause 5 Olkoot V vektoriavaruus kunnan K yli ja s 1,..., s n V, n Z +. Alkiolista s 1,..., s n on lineaarisesti riippuva (kunnan K yli) jos ja vain jos LINEAARIALGEBRA 44 / 72

114 Lineaarinen vapaus ja riippuvuus Lause 5 Olkoot V vektoriavaruus kunnan K yli ja s 1,..., s n V, n Z +. Alkiolista s 1,..., s n on lineaarisesti riippuva (kunnan K yli) jos ja vain jos on olemassa sellaiset luvut λ 1,..., λ n K, että n λ i s i = 0 (27) ja ainakin yksi λ i 0, 1 i n. i=1 LINEAARIALGEBRA 44 / 72

115 Lineaarinen vapaus ja riippuvuus Lause 5 Olkoot V vektoriavaruus kunnan K yli ja s 1,..., s n V, n Z +. Alkiolista s 1,..., s n on lineaarisesti riippuva (kunnan K yli) jos ja vain jos on olemassa sellaiset luvut λ 1,..., λ n K, että n λ i s i = 0 (27) ja ainakin yksi λ i 0, 1 i n. i=1 LINEAARIALGEBRA 44 / 72

116 Lineaarinen vapaus ja riippuvuus Esimerkki 15 Tutkitaan listaa s 1, s 2, missä vektorit ovat identtiset eli s 1 = s 2 = s. Tällöin 1 s 1 + ( 1) s 2 = s s = 0, joten lista s 1, s 2 = s, s on lineaarisesti sidottu. LINEAARIALGEBRA 45 / 72

117 Lineaarinen vapaus ja riippuvuus Esimerkki 15 Tutkitaan listaa s 1, s 2, missä vektorit ovat identtiset eli s 1 = s 2 = s. Tällöin 1 s 1 + ( 1) s 2 = s s = 0, joten lista s 1, s 2 = s, s on lineaarisesti sidottu. Edelleen kaikki listat, joissa on toisto eli sama alkio esiintyy vähintään kahdesti, ovat lineaarisesti sidottuja. LINEAARIALGEBRA 45 / 72

118 Lineaarinen vapaus ja riippuvuus Olkoon s 1,..., s n, n N, lineaarisesti vapaa lista. Tällöin listassa ei esiinny toistoa, joten listassa ja joukossa S = {s 1,..., s n } on sama määrä alkioita. LINEAARIALGEBRA 46 / 72

119 Lineaarinen vapaus ja riippuvuus Olkoon s 1,..., s n, n N, lineaarisesti vapaa lista. Tällöin listassa ei esiinny toistoa, joten listassa ja joukossa S = {s 1,..., s n } on sama määrä alkioita. Siten on luonnollista sanoa, että joukko S = {s 1,..., s n } on lineaarisesti vapaa. LINEAARIALGEBRA 46 / 72

120 Lineaarinen vapaus ja riippuvuus Olkoon s 1,..., s n, n N, lineaarisesti vapaa lista. Tällöin listassa ei esiinny toistoa, joten listassa ja joukossa S = {s 1,..., s n } on sama määrä alkioita. Siten on luonnollista sanoa, että joukko S = {s 1,..., s n } on lineaarisesti vapaa. Tyhjää listaa vastaa tyhjä joukko, jonka takia sovitaan, että on lineaarisesti vapaa. LINEAARIALGEBRA 46 / 72

121 Lineaarinen vapaus ja riippuvuus Olkoon s 1,..., s n, n N, lineaarisesti vapaa lista. Tällöin listassa ei esiinny toistoa, joten listassa ja joukossa S = {s 1,..., s n } on sama määrä alkioita. Siten on luonnollista sanoa, että joukko S = {s 1,..., s n } on lineaarisesti vapaa. Tyhjää listaa vastaa tyhjä joukko, jonka takia sovitaan, että on lineaarisesti vapaa. Edelleen, jos listassa s 1,..., s n, n Z + ei ole toistoa ja lista on lineaarisesti sidottu, niin myös vastaavaa joukkoa S = {s 1,..., s n } sanotaan lineaarisesti sidotuksi. LINEAARIALGEBRA 46 / 72

122 Lineaarinen vapaus ja riippuvuus Esimerkki 16 Nolla-alkion muodostama lista 0 on lineaarisesti sidottu, koska 1 0 = 0. Siten joukko {0} on lineaarisesti sidottu. LINEAARIALGEBRA 47 / 72

123 Lineaarinen vapaus ja riippuvuus Esimerkki 16 Nolla-alkion muodostama lista 0 on lineaarisesti sidottu, koska 1 0 = 0. Siten joukko {0} on lineaarisesti sidottu. Esimerkki 17 Olkoon 0 v V. Alkion v muodostama lista v on lineaarisesti vapaa, koska ehdosta λ v = 0 seuraa λ = 0. Niinpä yhden vektorin muodostama joukko {v} on lineaarisesti vapaa, jos v 0. LINEAARIALGEBRA 47 / 72

124 Lineaarinen vapaus ja riippuvuus Esimerkki 18 V = R 3, K = R, s 1 = (1, 1, 0), s 2 = (0, 1, 1), s 3 = (1, 0, 1) ja s 4 = (3, 3, 0). Koska 1 s 1 + ( 1) s 2 + ( 1) s 3 = 0; (28) 2 s s s 3 + ( 1) s 4 = 0, (29) LINEAARIALGEBRA 48 / 72

125 Lineaarinen vapaus ja riippuvuus Esimerkki 18 V = R 3, K = R, s 1 = (1, 1, 0), s 2 = (0, 1, 1), s 3 = (1, 0, 1) ja s 4 = (3, 3, 0). Koska 1 s 1 + ( 1) s 2 + ( 1) s 3 = 0; (28) 2 s s s 3 + ( 1) s 4 = 0, (29) niin s 1, s 2, s 3 on lineaarisesti riippuva ja myös s 1, s 2, s 3, s 4 on lineaarisesti riippuva. LINEAARIALGEBRA 48 / 72

126 Lineaarinen vapaus ja riippuvuus Esimerkki 19 Joukko {1, 3} on lineaarisesti vapaa kunnan Q yli. Esimerkki 20 Joukko {1, 3} on lineaarisesti sidottu kunnan R yli. LINEAARIALGEBRA 49 / 72

127 Lineaarinen vapaus ja riippuvuus Määritelmä 6 Olkoot V vektoriavaruus kunnan K yli ja S V epätyhjä osajoukko. Joukko S on lineaarisesti vapaa (kunnan K yli) jos ja vain jos sen jokainen äärellinen epätyhjä osajoukko on lineaarisesti vapaa, LINEAARIALGEBRA 50 / 72

128 Lineaarinen vapaus ja riippuvuus Määritelmä 6 Olkoot V vektoriavaruus kunnan K yli ja S V epätyhjä osajoukko. Joukko S on lineaarisesti vapaa (kunnan K yli) jos ja vain jos sen jokainen äärellinen epätyhjä osajoukko on lineaarisesti vapaa, toisin sanoen ehdosta n λ i s i = 0, λ i K, (30) i=1 LINEAARIALGEBRA 50 / 72

129 Lineaarinen vapaus ja riippuvuus Määritelmä 6 Olkoot V vektoriavaruus kunnan K yli ja S V epätyhjä osajoukko. Joukko S on lineaarisesti vapaa (kunnan K yli) jos ja vain jos sen jokainen äärellinen epätyhjä osajoukko on lineaarisesti vapaa, toisin sanoen ehdosta n λ i s i = 0, λ i K, (30) i=1 seuraa, että λ 1 = λ 2 =... = λ n = 0 (31) kaikilla joukon S äärellisillä osajoukoilla {s 1,..., s n }. LINEAARIALGEBRA 50 / 72

130 Lineaarinen vapaus ja riippuvuus Määritelmä 6 Olkoot V vektoriavaruus kunnan K yli ja S V epätyhjä osajoukko. Joukko S on lineaarisesti vapaa (kunnan K yli) jos ja vain jos sen jokainen äärellinen epätyhjä osajoukko on lineaarisesti vapaa, toisin sanoen ehdosta n λ i s i = 0, λ i K, (30) i=1 seuraa, että λ 1 = λ 2 =... = λ n = 0 (31) kaikilla joukon S äärellisillä osajoukoilla {s 1,..., s n }. Muutoin S on lineaarisesti sidottu. LINEAARIALGEBRA 50 / 72

131 Lineaarinen vapaus ja riippuvuus Lause 6 Olkoot V vektoriavaruus kunnan K yli ja S V epätyhjä osajoukko. Joukko S on lineaarisesti sidottu (kunnan K yli), jos on olemassa äärellisen monta alkiota s 1,..., s n S ja sellaiset luvut λ 1,..., λ n K, että ja ainakin yksi λ i 0, 1 i n. n λ i s i = 0 (32) i=1 LINEAARIALGEBRA 51 / 72

132 Lineaarinen vapaus ja riippuvuus Lause 7 Olkoot V vektoriavaruus kunnan K yli, S V epätyhjä osajoukko ja x V. Tällöin x S K {x} S K = S K ; (33) Jos S on lineaarisesti vapaa kunnan K yli, niin x V \ S K {x} S on lineaarisesti vapaa/k. (34) LINEAARIALGEBRA 52 / 72

133 Lineaarinen vapaus ja riippuvuus Todistetaan (34) tapauksessa S = {s 1,..., s n }. : Oletuksena siis, että x / S K. Asetetaan lineaarikombinaatio nollaksi α 1 s α n s n + α n+1 x = 0, α k K. (35) Jos α n+1 0, niin x = β 1 s β n s n, β k K x S K. (36) Ristiriita. Joten α n+1 = 0 ja siten α 1 s α n s n = 0, α k = 0 k. (37) Siten x, s 1,..., s n on lineaarisesti vapaa. LINEAARIALGEBRA 53 / 72

134 Lineaarinen vapaus ja riippuvuus : Oletuksena siis, että x, s 1,..., s n on lineaarisesti vapaa. Vastaoletus: x S K. Tällöin x = λ 1 s λ n s n, λ k K, (38) Siten x, s 1,..., s n on lineaarisesti sidottu. Ristiriita oletuksen kanssa, joten vastaoletus väärä. Niinpä x / S K. LINEAARIALGEBRA 54 / 72

135 Lineaarinen vapaus ja riippuvuus Esimerkki 21 Joukko {1(x), x, x 2 } Pol 2 (R, R) on lineaarisesti riippumaton (kunnan R yli). LINEAARIALGEBRA 55 / 72

136 Lineaarinen vapaus ja riippuvuus Esimerkki 21 Joukko {1(x), x, x 2 } Pol 2 (R, R) on lineaarisesti riippumaton (kunnan R yli). Todistus: Olkoot λ 0, λ 1, λ 2 R sellaiset, että kaikilla x R. λ 0 1(x) + λ 1 x + λ 2 x 2 = 0(x) LINEAARIALGEBRA 55 / 72

137 Lineaarinen vapaus ja riippuvuus Esimerkki 21 Joukko {1(x), x, x 2 } Pol 2 (R, R) on lineaarisesti riippumaton (kunnan R yli). Todistus: Olkoot λ 0, λ 1, λ 2 R sellaiset, että kaikilla x R. λ 0 1(x) + λ 1 x + λ 2 x 2 = 0(x) Valitaan x = 0, jolloin saadaan λ = 0, eli λ 0 = 0. Valitaan x = 1 ja x = 1, jolloin saadaan { { λ 1 + λ 2 = 0 λ 1 = 0 λ 1 + λ 2 = 0 λ 2 = 0. Siis λ 0 = λ 1 = λ 2 = 0. LINEAARIALGEBRA 55 / 72

138 Lineaarinen vapaus ja riippuvuus Esimerkki 22 Joukko {1, x,..., x k } Pol k (R, R) on lineaarisesti riippumaton. LINEAARIALGEBRA 56 / 72

139 Lineaarinen vapaus ja riippuvuus Esimerkki 22 Joukko {1, x,..., x k } Pol k (R, R) on lineaarisesti riippumaton. Esimerkki 23 Joukko {1, x,..., x k,...} Pol(R, R) on lineaarisesti riippumaton. LINEAARIALGEBRA 56 / 72

140 Lineaarinen vapaus ja riippuvuus Esimerkki 22 Joukko {1, x,..., x k } Pol k (R, R) on lineaarisesti riippumaton. Esimerkki 23 Joukko {1, x,..., x k,...} Pol(R, R) on lineaarisesti riippumaton. Esimerkki 24 Joukko {1, sin 2, cos 2 } C(R, R) on lineaarisesti riippuva (kunnan R yli), sillä 1 sin 2 x + 1 cos 2 x 1 1 = 0 = 0(x) kaikilla x R. LINEAARIALGEBRA 56 / 72

141 Kanta ja dimensio Määritelmä 7 K-Vektoriavaruuden V epätyhjä osajoukko S on avaruuden V kanta (kunnan K yli), jos LINEAARIALGEBRA 57 / 72

142 Kanta ja dimensio Määritelmä 7 K-Vektoriavaruuden V epätyhjä osajoukko S on avaruuden V kanta (kunnan K yli), jos (a) S on lineaarisesti riippumaton kunnan K yli, ja LINEAARIALGEBRA 57 / 72

143 Kanta ja dimensio Määritelmä 7 K-Vektoriavaruuden V epätyhjä osajoukko S on avaruuden V kanta (kunnan K yli), jos (a) S on lineaarisesti riippumaton kunnan K yli, ja (b) S K = V. LINEAARIALGEBRA 57 / 72

144 Kanta ja dimensio Määritelmä 7 K-Vektoriavaruuden V epätyhjä osajoukko S on avaruuden V kanta (kunnan K yli), jos (a) S on lineaarisesti riippumaton kunnan K yli, ja (b) S K = V. Lause 8 (Hamelin kantalause) Jokaisella vektoriavaruudella V {0} on olemassa kanta. Todistus, joka perustuu valinta-aksiomiin on aika haastava eikä kuulu tämän kurssin vaatimuksiin. LINEAARIALGEBRA 57 / 72

145 Kanta ja dimensio Lause 9 Olkoon V vektoriavaruus kunnan K yli, R, T V, r := #R ja t := #T. Jos R T K ja r > t 1, (39) niin R on lineaarisesti sidottu kunnan K yli. Todistus. Induktio lukumäärän t suhteen. Olkoon t = 1, jolloin r 2. Kirjoitetaan Koska R T K, niin R = {x 1,..., x r }, T = {y 1 }. LINEAARIALGEBRA 58 / 72

146 Kanta ja dimensio x 1 =a 1 y 1, a 1 K x 2 =a 2 y 1, a 2 K, missä ainakin toinen luvuista a i 0, olkoon a 1 0. Tällöin 1 x 2 a 1 1 a 2x 1 = 0 (40) joten x 1, x 2 on lineaarisesti sidottu ja siten R on lineaarisesti sidottu. LINEAARIALGEBRA 59 / 72

147 Kanta ja dimensio Olkoon s Z +. Induktio-oletus: Kaikilla t s väite pätee. Induktioaskel: Olkoon t = s + 1 = #T, r = #R, r > t ja R = {x 1,..., x r }, T = {y 1,..., y s+1 }. Aluksi huomataan, että r s + 2. Oletuksen R T K nojalla x 1 =a 1,1 y 1 + a 1,2 y a 1,s+1 y s+1, x 2 =a 2,1 y 1 + a 2,2 y a 2,s+1 y s+1,... x r =a r,1 y 1 + a r,2 y a r,s+1 y s+1, missä a i,j K. Jos olisi a 1,1 = a 2,1 =... = a r,1 = 0, niin R y 2,..., y s+1 K, #R = r s + 2 > #{y 2,..., y s+1 } = s, (41) joten induktio-oletuksen nojalla R olisi lineaarisesti sidottu tässä tapauksessa. LINEAARIALGEBRA 60 / 72

148 Kanta ja dimensio Tarkastellaan seuraavaksi tapaus, josa ainakin yksi luvuista a 1,1, a 2,1,..., a r,1 on nollasta eroava, olkoon a 1,1 0. Määritellään seuraavaksi uudet vektorit joille pätee: x 1 = 0 ja x k = x k a 1 1,1 a k,1x 1, k = 1,..., r, R := {x 2,..., x r } y 2,..., y s+1 K. (42) Jos joukossa R olisi identtisiä alkioita, niin R olisi sidottu. Muutoin joukkojen lukumäärille pätee #R = r 1 s + 1 > #{y 2,..., y s+1 } = s, (43) joten induktio-oletuksen nojalla R on nytkin lineaarisesti sidottu. LINEAARIALGEBRA 61 / 72

149 Kanta ja dimensio Siten b 2 x b r x r = 0, b k K, (44) ja b j 0, jollakin 2 j r. Sijoitetaan x k = x k a 1 1,1 a k,1x 1 takaisin, jolloin saadaan lineaarikombinaatio ( b 2 a 1 1,1 a 2,1... b r a 1 1,1 a r,1)x 1 + b 2 x b r x r = 0, (45) missä ainakin yksi kerroin on nollasta eroava, nimittäin b j 0. Niinpä x 1, x 2,..., x r on lineaarisesti sidottu mikä todistaa induktioaskeleen. LINEAARIALGEBRA 62 / 72

150 Kanta ja dimensio Lause 10 Olkoon V {0} vektoriavaruus kunnan K yli. Jos avaruudella V on olemassa äärellinen kanta kunnan K yli, niin kaikissa kannoissa kunnan K yli on sama määrä alkioita. Todistus. Olkoot S 1 ja S 2 kantoja, s 1 := #S 1 ja s 2 := #S 2. Tällöin S 1 on lineaarisesti vapaa ja S 2 on lineaarisesti vapaa sekä Jos olisi S 1 K = S 2 K = V. s 1 > s 2, (46) ja koska S 1 S 2 K, niin Lauseen 9 nojalla S 1 olisi lineaarisesti sidottu. Ristiriita. LINEAARIALGEBRA 63 / 72

151 Kanta ja dimensio Määritelmä 8 K-vektoriavaruus V on äärellisulotteinen, jos sillä on olemassa äärellinen kanta (kunnan K yli). LINEAARIALGEBRA 64 / 72

152 Kanta ja dimensio Määritelmä 8 K-vektoriavaruus V on äärellisulotteinen, jos sillä on olemassa äärellinen kanta (kunnan K yli). Myös {0} on äärellisulotteinen. LINEAARIALGEBRA 64 / 72

153 Kanta ja dimensio Määritelmä 8 K-vektoriavaruus V on äärellisulotteinen, jos sillä on olemassa äärellinen kanta (kunnan K yli). Myös {0} on äärellisulotteinen. Muulloin V on ääretönulotteinen. LINEAARIALGEBRA 64 / 72

154 Kanta ja dimensio Määritelmä 8 K-vektoriavaruus V on äärellisulotteinen, jos sillä on olemassa äärellinen kanta (kunnan K yli). Myös {0} on äärellisulotteinen. Muulloin V on ääretönulotteinen. Jos avaruuden V kannassa on n alkiota (kunnan K yli), missä n N, niin avaruuden V dimensio on n. LINEAARIALGEBRA 64 / 72

155 Kanta ja dimensio Määritelmä 8 K-vektoriavaruus V on äärellisulotteinen, jos sillä on olemassa äärellinen kanta (kunnan K yli). Myös {0} on äärellisulotteinen. Muulloin V on ääretönulotteinen. Jos avaruuden V kannassa on n alkiota (kunnan K yli), missä n N, niin avaruuden V dimensio on n. Tällöin käytetään merkintää dim K V = dim V = n. LINEAARIALGEBRA 64 / 72

156 Kanta ja dimensio Määritelmä 8 K-vektoriavaruus V on äärellisulotteinen, jos sillä on olemassa äärellinen kanta (kunnan K yli). Myös {0} on äärellisulotteinen. Muulloin V on ääretönulotteinen. Jos avaruuden V kannassa on n alkiota (kunnan K yli), missä n N, niin avaruuden V dimensio on n. Tällöin käytetään merkintää dim K V = dim V = n. Jos V = {0}, niin dim K V = 0. LINEAARIALGEBRA 64 / 72

157 Kanta ja dimensio Määritelmä 8 K-vektoriavaruus V on äärellisulotteinen, jos sillä on olemassa äärellinen kanta (kunnan K yli). Myös {0} on äärellisulotteinen. Muulloin V on ääretönulotteinen. Jos avaruuden V kannassa on n alkiota (kunnan K yli), missä n N, niin avaruuden V dimensio on n. Tällöin käytetään merkintää dim K V = dim V = n. Jos V = {0}, niin dim K V = 0. Muulloin dim K V =. LINEAARIALGEBRA 64 / 72

158 Kanta ja dimensio Huomautus 4 Lauseen 10 nojalla vektoriavaruuden V dimensio on hyvin määritelty. LINEAARIALGEBRA 65 / 72

159 Kanta ja dimensio Huomautus 4 Lauseen 10 nojalla vektoriavaruuden V dimensio on hyvin määritelty. Seuraus 1 Jos dim K V = n, jollain n Z +, niin jokainen lineaarisesti riippumaton avaruuden V osajoukko S, jossa on n alkiota, on avaruuden V kanta. LINEAARIALGEBRA 65 / 72

160 Kanta ja dimensio Seuraus 2 Jos dim K V = n jollain n N, niin jokainen sellainen avaruuden V osajoukko, jossa on vähintään n + 1 alkiota, on lineaarisesti riippuva kunnan K yli. LINEAARIALGEBRA 66 / 72

161 Kanta ja dimensio Seuraus 2 Jos dim K V = n jollain n N, niin jokainen sellainen avaruuden V osajoukko, jossa on vähintään n + 1 alkiota, on lineaarisesti riippuva kunnan K yli. Seuraus 3 Jos V on vektoriavaruus kunnan K yli, W on avaruuden V aliavaruus ja S on avaruuden W kanta, niin on olemassa sellainen avaruuden V kanta T, että S T. Erityisesti dim K W dim K V. (47) LINEAARIALGEBRA 66 / 72

162 Kanta ja dimensio Lause 11 Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus kunnan K yli ja S = {v 1,..., v n } avaruuden V kanta. Tällöin jokaista vektoria v V kohti on olemassa yksikäsitteiset luvut λ 1,..., λ n K siten, että v = n λ i v i. (48) i=1 LINEAARIALGEBRA 67 / 72

163 Kanta ja dimensio Lause 11 Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus kunnan K yli ja S = {v 1,..., v n } avaruuden V kanta. Tällöin jokaista vektoria v V kohti on olemassa yksikäsitteiset luvut λ 1,..., λ n K siten, että v = n λ i v i. (48) i=1 Määritelmä 9 Lineaarikombinaatiota (48) sanotaan vektorin v kantaesitykseksi kannan S suhteen ja LINEAARIALGEBRA 67 / 72

164 Kanta ja dimensio Lause 11 Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus kunnan K yli ja S = {v 1,..., v n } avaruuden V kanta. Tällöin jokaista vektoria v V kohti on olemassa yksikäsitteiset luvut λ 1,..., λ n K siten, että v = n λ i v i. (48) i=1 Määritelmä 9 Lineaarikombinaatiota (48) sanotaan vektorin v kantaesitykseksi kannan S suhteen ja kertoimet λ i ovat vektorin v koordinaatit kannassa S. LINEAARIALGEBRA 67 / 72

165 Kanta ja dimensio Lause 11 Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus kunnan K yli ja S = {v 1,..., v n } avaruuden V kanta. Tällöin jokaista vektoria v V kohti on olemassa yksikäsitteiset luvut λ 1,..., λ n K siten, että v = n λ i v i. (48) i=1 Määritelmä 9 Lineaarikombinaatiota (48) sanotaan vektorin v kantaesitykseksi kannan S suhteen ja kertoimet λ i ovat vektorin v koordinaatit kannassa S. Tällöin voidaan kirjoittaa v = (λ 1,..., λ n ) S = (λ 1,..., λ n ), jota sanotaan vektorin v koordinaattiesitykseksi kannassa S. LINEAARIALGEBRA 67 / 72

166 Kanta ja dimensio Esimerkki 25 Koska {1, x,..., x n } on avaruuden Pol n (R, R) eräs kanta, niin dim Pol n (R, R) = n + 1. LINEAARIALGEBRA 68 / 72

167 Kanta ja dimensio Esimerkki 25 Koska {1, x,..., x n } on avaruuden Pol n (R, R) eräs kanta, niin dim Pol n (R, R) = n + 1. Koska {1, x, x 2,..., x k,...} Pol(R, R) on lineaarisesti riippumaton, niin dim Pol(R, R) =. LINEAARIALGEBRA 68 / 72

168 Kanta ja dimensio Esimerkki 25 Koska {1, x,..., x n } on avaruuden Pol n (R, R) eräs kanta, niin dim Pol n (R, R) = n + 1. Koska {1, x, x 2,..., x k,...} Pol(R, R) on lineaarisesti riippumaton, niin dim Pol(R, R) =. Tuloksen (47) nojalla saadaan dim Pol(R, R) = dim C(R, R) = dim F(R, R) =. LINEAARIALGEBRA 68 / 72

169 Kanta ja dimensio Esimerkki 26 Laske dim S, kun S = {1 + x, 1 + x 2, 1 + 2x 3x 2 } Pol 2 (R, R). Ratkaisu: Tutkitaan, onko joukko S lineaarisesti riippumaton. Nyt a(1 + x) + b(1 + x 2 ) + c( 1 + 2x 3x 2 ) = 0 (a + b c)1 + (a + 2c)x + (b 3c)x 2 = 0 Koska 1, x, x 2 on lineaarisesti vapaa, niin LINEAARIALGEBRA 69 / 72

170 Kanta ja dimensio saadaan a + b c = 0 a + 2c = 0 a + 2c = 0 a + 2c = 0 b 3c = 0 b 3c = 0 a = 2c b = 3c c R. (Ensimmäisessä kohdassa viimeinen yhtälö on vähennetty ensimmäisestä.) LINEAARIALGEBRA 70 / 72

171 Kanta ja dimensio Koska yllä olevalla yhtälöryhmällä on epätriviaali ratkaisu, esim. a = 2, b = 3, c = 1, niin S on lineaarisesti riippuva. Tästä nähdään, että polynomi 1 + 2x 3x 2 on lineaarikombinaatio polynomeista 1 + x ja 1 + x 2, joten S = 1 + x, 1 + x 2. Joukko {1 + x, 1 + x 2 } on lineaarisesti riippumaton, sillä a(1 + x) + b(1 + x 2 ) = 0 (a + b)1 + ax + bx 2 = 0 Näin ollen dim S = 2. a = 0 ja b = 0. LINEAARIALGEBRA 71 / 72

172 Kanta ja dimensio Esimerkki 27 Reaaliluvut muodostavat ääretönulotteisen vektoriavaruuden rationaalilukujen kunnan yli eli dim Q R =. Todistus on aika haastava eikä kuulu tämän kurssin vaatimuksiin. LINEAARIALGEBRA 72 / 72

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus Lineaarikuvaus Ominaisarvo 0-68

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus Lineaarikuvaus Ominaisarvo 0-68 SISÄLTÖ Sisältö pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 0-1 2 Sisätuloavaruus 0-20 3 Lineaarikuvaus 0-41 4 Ominaisarvo 0-68 5 Esimerkkejä 0-88 1. Lineaariavaruus eli V 1 Lineaariavaruus

Lisätiedot

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus. 1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:

Lisätiedot

LINEAARIALGEBRA A 2016 TOMI ALASTE EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF

LINEAARIALGEBRA A 2016 TOMI ALASTE EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF LINEAARIALGEBRA 83A 6 EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF TOMI ALASTE SISÄLTÖ Sisältö Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 3 Lineaarikuvaus 4 Ominaisarvo 34 5 Esimerkkejä 44 . Lineaariavaruus

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Lineaarialgebra II P

Lineaarialgebra II P Lineaarialgebra II 89P Sisältö Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 8 3 Lineaarikuvaus 5 4 Ominaisarvo 5 Luku Vektoriavaruus Määritelmä.. Epätyhjä joukko V on vektoriavaruus, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:.

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa. LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista 29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Lineaarialgebra Kerroinrenkaat. Kevät Kerkko Luosto Informaatiotieteiden yksikkö, Tampereen yliopisto

Lineaarialgebra Kerroinrenkaat. Kevät Kerkko Luosto Informaatiotieteiden yksikkö, Tampereen yliopisto Lineaarialgebra 2 Kevät 2014 Kerkko Luosto Informaatiotieteiden yksikkö, Tampereen yliopisto Á Ë Ð Ö Ø Ú ØÓÖ Ø 1. Kerroinrenkaat 1.1. Määritelmä. Yhden laskutoimituksen rakenne(g, + on Abelin ryhmä, jos

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä 7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan

Lisätiedot

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:

Lisätiedot

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja 5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot

Yleiset lineaarimuunnokset

Yleiset lineaarimuunnokset TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin

Lisätiedot

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja

Lisätiedot

ja jäännösluokkien joukkoa

ja jäännösluokkien joukkoa 3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi

Lisätiedot

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät 3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2014 164/246 Kertausta:

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/310 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon

Lisätiedot

3 Skalaari ja vektori

3 Skalaari ja vektori 3 Skalaari ja vektori Määritelmä 3.1 Skalaari on suure, jolla on vain suuruus, jota mitataan jossakin mittayksikössä. Skalaaria merkitään reaaliluvulla. Esimerkki 3.2 Paino, pituus, etäisyys, pinta-ala,

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Ortogonaalisen kannan etsiminen Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Vektorien virittämä aliavaruus

Vektorien virittämä aliavaruus Vektorien virittämä aliavaruus Esimerkki 13 Mikä ehto vektorin w = (w 1, w 2, w 3 ) komponenttien on toteutettava, jotta w kuuluu vektoreiden v 1 = (3, 2, 1), v 2 = (2, 2, 6) ja v 3 = (3, 4, 5) virittämään

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä 4. Ryhmät Tässä luvussa tarkastelemme laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimitukselta oletamme muutamia yksinkertaisia ominaisuuksia: Määritelmä 4.1. Laskutoimituksella varustettu joukko

Lisätiedot

802120P Matriisilaskenta (5 op)

802120P Matriisilaskenta (5 op) 802120P Matriisilaskenta (5 op) Marko Leinonen Matemaattiset tieteet Syksy 2016 1 / 220 Luennoitsija: Marko Leinonen marko.leinonen@oulu.fi MA333 Kurssilla käytetään Noppaa (noppa.oulu.fi) Luentomoniste

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

x 2 x 3 x 1 x 2 = 1 2x 1 4 x 2 = 3 x 1 x 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili

x 2 x 3 x 1 x 2 = 1 2x 1 4 x 2 = 3 x 1 x 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili 6 4 2 x 2 x 3 15 10 5 0 5 15 5 3 2 1 1 2 3 2 0 x 2 = 1 2x 1 0 4 x 2 = 3 x 1 x 5 2 5 x 1 10 x 1 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili Sisältö

Lisätiedot

2. REAALIKERTOIMISET VEKTORIAVARUUDET

2. REAALIKERTOIMISET VEKTORIAVARUUDET 30 REAALIKERTOIMISET VEKTORIAVARUUDET 1 Koordinaattiavaruus R n Olkoon n N = {1,, 3, } positiivinen kokonaisluku (luonnollisten lukujen joukko on tällä kurssilla N = {0, 1,, 3, }) Merkitään R n = R n 1

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka

Lisätiedot

1. Lineaarinen yhtälöryhmä ja matriisi

1. Lineaarinen yhtälöryhmä ja matriisi I LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT 1 Lineaarinen yhtälöryhmä ja matriisi Tällä kurssilla käytämme kirjainta K tarkoittamaan reaalilukuja R, kompleksilukuja C tai rationaalilukuja Q (aluksi K = R) Nämä lukujoukot

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2

Lisätiedot

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin

Lisätiedot

1. Normi ja sisätulo

1. Normi ja sisätulo Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 3 83 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni Normi ja sisätulo

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Lineaarikuvaus

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Lotta Oinonen ja Johanna Rämö 6. joulukuuta 2012 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos 2012 Sisältö 1 Avaruus R n 4 1 Avaruuksien R 2 ja R 3 vektorit.....................

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 3. Lineaariset koodit Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 2 / 22 3.1 Lineaarisen koodin määrittely Olkoon F äärellinen kunta.

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Matriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0

Matriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0 MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 22 Virittääkö vektorijoukko S vektoriavaruuden V, kun a V = R 3 ja S = {(1,0, 1,(2,0,4,( 5,0,2,(0,0,1} b V = P 2 (R ja S = {t1,t 2 1,t 2 t} ( ( 1 0 c

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

Lineaarialgebra I. Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Esa Järvenpää Kirjoittanut Tuula Ripatti

Lineaarialgebra I. Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Esa Järvenpää Kirjoittanut Tuula Ripatti Lineaarialgebra I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Esa Järvenpää Kirjoittanut Tuula Ripatti 2 1 Lineaarinen yhtälöryhmä 11 Esimerkki (a) Ratkaise yhtälö 5x = 7 Kerrotaan yhtälö puolittain

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä

Lisätiedot

2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo

2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo 2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo Ratkaisun olemassaolon tutkimiseen tarvitaan perustietoja konvekseista joukoista ja lineaarialgebrasta. Niitä tarvitaan myös ratkaisualgoritmin ymmärtämiseen. Tutkitaan

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 25. lokakuuta 2015 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus... 111 16 Aliavaruus... 117 16.1 Vektoreiden

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi / kertaus

Matemaattinen Analyysi / kertaus Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen

Lisätiedot

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x 8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

koska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan

koska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan 4. Äärellisten kuntien yleisiä ominaisuuksia 4.1. Laajenuskunnat. Tarkastellaan aluksi yleistä kuntaparia F ja K, missä F on kunnan K alikunta. Tällöin sanotaan, että kunta K on kunnan F laajennuskunta

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 5.2 BCH-koodin dekoodaus Tarkastellaan t virhettä korjaavaa n-pituista BCH-koodia. Olkoon α primitiivinen n:s ykkösen juuri, c = c(x)

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate 1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Vektoreiden virittämä aliavaruus

Vektoreiden virittämä aliavaruus Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Lineaarikuvaukset Lineaarikuvaus Olkoot U ja V

Lisätiedot

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut 2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 23.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Käytännön asioita Ensimmäiset tehtävät olivat sujuneet hyvin. Kansilehdet on oltava mukana tehtäviä palautettaessa,

Lisätiedot

802118P Lineaarialgebra I (4 op)

802118P Lineaarialgebra I (4 op) 802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua)

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua) Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin ( sivua).... Nämä ovat kurssin Algebra I harjoitustehtävien ratkaisuehdoituksia. Ratkaisut koostuvat kahdesta osiosta,

Lisätiedot

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta. ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 9

Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo ja pituus Vektorien välinen kulma Motivointi Tähän asti olemme tarkastelleet yhden

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä) Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus

Lisätiedot