Insinöörimatematiikka D
|
|
|
- Minna Pääkkönen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Insinöörimatematiikka D Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2014 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 1 of 16
2 Kertausta Lineaarinen riippuvuus Vektorijoukko {v 1, v 2,..., v k } on lineaarisesti riippumaton, jos vektoreiden v 1,..., v k lineaarikombinaationa voidaan nollavektori muodostaa vain ilmeisellä tavalla 0 v v v k = 0. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 2 of 16
3 Kertausta Lineaarinen riippuvuus Vektorijoukko {v 1, v 2,..., v k } on lineaarisesti riippumaton, jos vektoreiden v 1,..., v k lineaarikombinaationa voidaan nollavektori muodostaa vain ilmeisellä tavalla 0 v v v k = 0. Jos on muitakin tapoja, on joukko lineaarisesti riippuva. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 2 of 16
4 Kertausta Lineaarinen riippuvuus Vektorijoukko {v 1, v 2,..., v k } on lineaarisesti riippumaton, jos vektoreiden v 1,..., v k lineaarikombinaationa voidaan nollavektori muodostaa vain ilmeisellä tavalla 0 v v v k = 0. Jos on muitakin tapoja, on joukko lineaarisesti riippuva. Lineaarinen riippuvuus jokin joukon vektoreista voidaan esittää muiden avulla: v i = c 1 v c i 1 v i 1 + c i+1 v i c k v k Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 2 of 16
5 Kertausta Lineaarinen riippuvuus Vektorijoukko {v 1, v 2,..., v k } on lineaarisesti riippumaton, jos vektoreiden v 1,..., v k lineaarikombinaationa voidaan nollavektori muodostaa vain ilmeisellä tavalla 0 v v v k = 0. Jos on muitakin tapoja, on joukko lineaarisesti riippuva. Lineaarinen riippuvuus jokin joukon vektoreista voidaan esittää muiden avulla: v i = c 1 v c i 1 v i 1 + c i+1 v i c k v k L(v 1,..., v k ) = L(v 1,..., v i 1, v i+1,..., v k ) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 2 of 16
6 Kertausta Esimerkkejä Esimerkit Mika Hirvensalo Luentokalvot 3 3 of 16
7 Vektoriavaruudet Lause Olkoot v 1,..., v k R n ja A k n matriisi: A = v 1. v k. Jos A B ja niin B = u 1. u k, L(v 1,..., v k ) = L(u 1,..., u k ) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 4 of 16
8 Vektoriavaruudet Seuraus Olkoon S = {v 1,..., v k } ja A matriisi, jonka riveinä ovat nämä vektorit. Olkoon A B, missä B on redusoitu porrasmatriisi. Vektorijoukko S on lineaarisesti riippuva tarkalleen silloin kun matriisissa B on nollarivi. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 5 of 16
9 Vektoriavaruudet Seuraus Olkoon S = {v 1,..., v k } ja A matriisi, jonka riveinä ovat nämä vektorit. Olkoon A B, missä B on redusoitu porrasmatriisi. Vektorijoukko S on lineaarisesti riippuva tarkalleen silloin kun matriisissa B on nollarivi. Esimerkki 24 Olkoon S = {(1, 2, 1), ( 2, 3, 1), (4, 1, 3)}. Koska on S lineaarisesti riippuva , Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 5 of 16
10 Vektoriavaruudet Seuraus Olkoon S = {v 1,..., v k } ja A matriisi, jonka riveinä ovat nämä vektorit. Olkoon A B, missä B on redusoitu porrasmatriisi. Vektorijoukko S on lineaarisesti riippuva tarkalleen silloin kun matriisissa B on nollarivi. Esimerkki 24 Olkoon S = {(1, 2, 1), ( 2, 3, 1), (4, 1, 3)}. Koska on S lineaarisesti riippuva. Lisäksi , L((1, 2, 1), ( 2, 3, 1), (4, 1, 3)) = L((1, 0, 5 7 ), (0, 1, 1 7 )). Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 5 of 16
11 Vektoriavaruudet Joukko B on vektoriavaruuden V kanta, jos V = L(B). B on lineaarisesti riippumaton. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 6 of 16
12 Vektoriavaruudet Joukko B on vektoriavaruuden V kanta, jos V = L(B). B on lineaarisesti riippumaton. Jos B = {v 1,..., v k } on äärellinen, sanotaan että V on k-ulotteinen. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 6 of 16
13 Vektoriavaruudet Joukko B on vektoriavaruuden V kanta, jos V = L(B). B on lineaarisesti riippumaton. Jos B = {v 1,..., v k } on äärellinen, sanotaan että V on k-ulotteinen. Merkintä: dim(v ) = k. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 6 of 16
14 Vektoriavaruudet Joukko B on vektoriavaruuden V kanta, jos V = L(B). B on lineaarisesti riippumaton. Jos B = {v 1,..., v k } on äärellinen, sanotaan että V on k-ulotteinen. Merkintä: dim(v ) = k. Vektoriavaruuden V = {0} kannaksi sovitaan tyhjä joukko; dim({0}) = 0 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 6 of 16
15 Vektoriavaruudet Joukko B on vektoriavaruuden V kanta, jos V = L(B). B on lineaarisesti riippumaton. Jos B = {v 1,..., v k } on äärellinen, sanotaan että V on k-ulotteinen. Merkintä: dim(v ) = k. Vektoriavaruuden V = {0} kannaksi sovitaan tyhjä joukko; dim({0}) = 0 Jos vektoriavaruudella V ei ole äärellistä kantaa, sanotaan, että V on ääretönulotteinen; dim(v ) = Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 6 of 16
16 Vektoriavaruudet Lause Vektoriavaruuden kaikissa kannoissa on yhtä monta vektoria. Mika Hirvensalo Luentokalvot 3 7 of 16
17 Vektoriavaruudet Lause Vektoriavaruuden kaikissa kannoissa on yhtä monta vektoria. Lause Jos B = {b 1,..., b n } on avaruuden V kanta, niin jokaisella x V on yksikäsitteinen esitys kantavektoreiden lineaarikombinaationa: x = x 1 b x n b n Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 7 of 16
18 Vektoriavaruudet Lause Vektoriavaruuden kaikissa kannoissa on yhtä monta vektoria. Lause Jos B = {b 1,..., b n } on avaruuden V kanta, niin jokaisella x V on yksikäsitteinen esitys kantavektoreiden lineaarikombinaationa: Esimerkki x = x 1 b x n b n {e 1, e 2,..., e n } on R n :n kanta, ns. luonnollinen kanta. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 7 of 16
19 Vektoriavaruudet Olkoon x V ja B = {b 1,..., b n } on avaruuden V (reaalinen tai kompleksinen) kanta ja x = x 1 b x n b n. lukuja x 1,..., x n kutsutaan vektorin x koordinaateiksi kannan B suhteen. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 8 of 16
20 Vektoriavaruudet Olkoon x V ja B = {b 1,..., b n } on avaruuden V (reaalinen tai kompleksinen) kanta ja x = x 1 b x n b n. lukuja x 1,..., x n kutsutaan vektorin x koordinaateiksi kannan B suhteen. Vektoria x B = (x 1,..., x n ) ( R n tai C n ) sanotaan x:n koordinaattivektoriksi kannan B suhteen. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 8 of 16
21 Vektoriavaruudet Olkoon x V ja B = {b 1,..., b n } on avaruuden V (reaalinen tai kompleksinen) kanta ja x = x 1 b x n b n. lukuja x 1,..., x n kutsutaan vektorin x koordinaateiksi kannan B suhteen. Vektoria x B = (x 1,..., x n ) ( R n tai C n ) sanotaan x:n koordinaattivektoriksi kannan B suhteen. Esimerkkejä Esimerkit Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 8 of 16
22 Vektoriavaruudet Huomautus Jos V = L(v 1,..., v k ), mutta S = {v 1,..., v k } ei ole avaruuden V, kanta, on S välttämättä lineaarisesti riippuva. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 9 of 16
23 Vektoriavaruudet Huomautus Jos V = L(v 1,..., v k ), mutta S = {v 1,..., v k } ei ole avaruuden V, kanta, on S välttämättä lineaarisesti riippuva. Tällöin jokin vektori, esim. v k L(v 1,..., v k 1 ) ja siksi V = L(v 1,..., v k 1 ). Poistamista voidaan jatkaa, kunnes saadaan kanta. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 9 of 16
24 Vektoriavaruudet Huomautus Jos V = L(v 1,..., v k ), mutta S = {v 1,..., v k } ei ole avaruuden V, kanta, on S välttämättä lineaarisesti riippuva. Tällöin jokin vektori, esim. v k L(v 1,..., v k 1 ) ja siksi V = L(v 1,..., v k 1 ). Poistamista voidaan jatkaa, kunnes saadaan kanta. Esimerkki Esimerkki 32 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 9 of 16
25 Vektoriavaruudet Huomautus Jos V = L(v 1,..., v k ), mutta S = {v 1,..., v k } ei ole avaruuden V, kanta, on S välttämättä lineaarisesti riippuva. Tällöin jokin vektori, esim. v k L(v 1,..., v k 1 ) ja siksi V = L(v 1,..., v k 1 ). Poistamista voidaan jatkaa, kunnes saadaan kanta. Esimerkki Esimerkki 32 Lause Jos V on äärellisesti generoitu, ja U V, voidaan U:n kanta täydentää V :n kannaksi. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 9 of 16
26 Vektoriavaruudet Huomautus Jos V = L(v 1,..., v k ), mutta S = {v 1,..., v k } ei ole avaruuden V, kanta, on S välttämättä lineaarisesti riippuva. Tällöin jokin vektori, esim. v k L(v 1,..., v k 1 ) ja siksi V = L(v 1,..., v k 1 ). Poistamista voidaan jatkaa, kunnes saadaan kanta. Esimerkki Esimerkki 32 Lause Jos V on äärellisesti generoitu, ja U V, voidaan U:n kanta täydentää V :n kannaksi. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 9 of 16
27 Vektoriavaruudet Seuraus Jos U V, on dim(u) dim(v ) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 10 of 16
28 Vektoriavaruudet Seuraus Jos U V, on dim(u) dim(v ) Jos n = dim(v ), on jokainen V :n osajoukko, jossa on enemmän kuin n vektoria, lineaarisesti riippuva. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 10 of 16
29 Matriisit Matriisi A on kaavio A = A 11 A A 1n A 21 A A 2n A m1 A m2... A mn. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 11 of 16
30 Matriisit Matriisi A on kaavio A = A 11 A A 1n A 21 A A 2n A m1 A m2... A mn. Tyyppi m n: m riviä, n saraketta. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 11 of 16
31 Matriisit Matriisi A on kaavio A = A 11 A A 1n A 21 A A 2n A m1 A m2... A mn. Tyyppi m n: m riviä, n saraketta. A ij : matriisin alkiot Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 11 of 16
32 Matriisit Matriisi A on kaavio A = A 11 A A 1n A 21 A A 2n A m1 A m2... A mn. Tyyppi m n: m riviä, n saraketta. A ij : matriisin alkiot A ij R: reaalinen matriisi Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 11 of 16
33 Matriisit Matriisi A on kaavio A = A 11 A A 1n A 21 A A 2n A m1 A m2... A mn. Tyyppi m n: m riviä, n saraketta. A ij : matriisin alkiot A ij R: reaalinen matriisi A ij C: kompleksinen matriisi Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 11 of 16
34 Matriisit 1 n-matriisia A = (A 11 A A 1n ) kutsutaan vaakavektoriksi tai rivivektoriksi. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 12 of 16
35 Matriisit 1 n-matriisia A = (A 11 A A 1n ) kutsutaan vaakavektoriksi tai rivivektoriksi. A 11 A 21 m 1-matriisia A = kutsutaan pystyvektoriksi tai. sarakevektoriksi. A m1 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 12 of 16
36 Matriisit 1 n-matriisia A = (A 11 A A 1n ) kutsutaan vaakavektoriksi tai rivivektoriksi. A 11 A 21 m 1-matriisia A = kutsutaan pystyvektoriksi tai. sarakevektoriksi. Huomautus A m1 Sekä pysty- että vaakavektori voidaan tulkita avaruuden R n (tai C n ) alkioksi. Näissä käytetään yleensä vain yksinkertaista indeksointia. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 12 of 16
37 Matriisit Nollamatriisi O on matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 13 of 16
38 Matriisit Nollamatriisi O on matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia Neliömatriisi on matriisi, jossa rivien määrä on sama kuin sarakkeiden määrä Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 13 of 16
39 Matriisit Nollamatriisi O on matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia Neliömatriisi on matriisi, jossa rivien määrä on sama kuin sarakkeiden määrä Diagonaalimatriisi on neliömatriisi D, jolle pätee i j D ij = 0. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 13 of 16
40 Matriisit Nollamatriisi O on matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia Neliömatriisi on matriisi, jossa rivien määrä on sama kuin sarakkeiden määrä Diagonaalimatriisi on neliömatriisi D, jolle pätee i j D ij = 0. Identiteettimatriisi I n on diagonaalimatriisi, jonka kaikki diagonaalialkiot ovat ykkösiä. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 13 of 16
41 Matriisit Nollamatriisi O on matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia Neliömatriisi on matriisi, jossa rivien määrä on sama kuin sarakkeiden määrä Diagonaalimatriisi on neliömatriisi D, jolle pätee i j D ij = 0. Identiteettimatriisi I n on diagonaalimatriisi, jonka kaikki diagonaalialkiot ovat ykkösiä. Transpoosi (A T ) ij = A ji. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 13 of 16
42 Matriisit Nollamatriisi O on matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia Neliömatriisi on matriisi, jossa rivien määrä on sama kuin sarakkeiden määrä Diagonaalimatriisi on neliömatriisi D, jolle pätee i j D ij = 0. Identiteettimatriisi I n on diagonaalimatriisi, jonka kaikki diagonaalialkiot ovat ykkösiä. Transpoosi (A T ) ij = A ji. Neliömatriisi A on symmetrinen, jos A T = A. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 13 of 16
43 Matriisit Nollamatriisi O on matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia Neliömatriisi on matriisi, jossa rivien määrä on sama kuin sarakkeiden määrä Diagonaalimatriisi on neliömatriisi D, jolle pätee i j D ij = 0. Identiteettimatriisi I n on diagonaalimatriisi, jonka kaikki diagonaalialkiot ovat ykkösiä. Transpoosi (A T ) ij = A ji. Neliömatriisi A on symmetrinen, jos A T = A. Matriisin A:n vastamatriisi A määritellään asettamalla ( A) ij = A ij. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 13 of 16
44 Matriisit Skalaarikertolasku Jos A on m n-matriisi ja c joko kompleksi- tai reaaliluku, on ca m n-matriisi, jolle pätee (ca) ij = ca ij (kertolasku alkioittain). Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 14 of 16
45 Matriisit Skalaarikertolasku Jos A on m n-matriisi ja c joko kompleksi- tai reaaliluku, on ca m n-matriisi, jolle pätee (ca) ij = ca ij (kertolasku alkioittain). Matriisien yhteenlasku Jos A on m n-matriisi ja B r s-matriisi, summa A + B määritellään vain jos m = r ja n = s. Tällöin (A + B) ij = A ij + B ij Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 14 of 16
46 Matriisit Skalaarikertolasku Jos A on m n-matriisi ja c joko kompleksi- tai reaaliluku, on ca m n-matriisi, jolle pätee (ca) ij = ca ij (kertolasku alkioittain). Matriisien yhteenlasku Jos A on m n-matriisi ja B r s-matriisi, summa A + B määritellään vain jos m = r ja n = s. Tällöin (A + B) ij = A ij + B ij Huomautus m n-matriisit muodostavat vektoriavaruuden yhteenlaskun ja skalaarikertolaskun suhteen. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 14 of 16
47 Matriisit Esimerkki 33 ( ) A = on 2 3-matriisi, Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 15 of 16
48 Matriisit Esimerkki 33 ( ) A = on 2 3-matriisi, 5A = ( ) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 15 of 16
49 Matriisit Esimerkki 33 ( ) A = on 2 3-matriisi, 5A = Esimerkki 34 ( ) A = on 2 3-matriisi ja B = matriisi. Summaa A + B ei ole määritelty. ( ) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 15 of 16
50 Matriisit Esimerkki 35 ( A = matriisi. ) on 2 3-matriisi ja B = ( ) on Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 16 of 16
51 Matriisit Esimerkki 35 ( ) A = on 2 3-matriisi ja B = matriisi. ( ) ( ) A + B = + = ( ( ) on ) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 16 of 16
52 Matriisit Esimerkki 35 ( ) A = on 2 3-matriisi ja B = matriisi. ( ) ( ) A + B = + = Esimerkki 36 ( ( ) on ) ( x + 3, x 1, x) = ( x, x, x) + (3, 1, 0) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 16 of 16
53 Matriisit Esimerkki 35 ( ) A = on 2 3-matriisi ja B = matriisi. ( ) ( ) A + B = + = Esimerkki 36 ( ( ) on ) ( x + 3, x 1, x) = ( x, x, x) + (3, 1, 0) = x( 1, 1, 1) + (3, 1, 0) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 16 of 16
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja
Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.
Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus
Kanta ja dimensio 1 / 23
1 / 23 Kuten ollaan huomattu, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio
Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka D 2018
Mika Hirvensalo Insinöörimatematiikka D 2018 Sisältö 1 Lineaarialgebran peruskäsitteitä 5 11 Lineaariset yhtälöryhmät 5 111 Gaussin-Jordanin menetelmä 5 112 Ratkaisujoukon systemaattinen esittäminen 8
1.1. Määritelmiä ja nimityksiä
1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden
MS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Matriisitulo Determinantti
Talousmatematiikan perusteet: Luento 1 Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Matriisitulo Determinantti Viime luennolta Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
2.8. Kannanvaihto R n :ssä
28 Kannanvaihto R n :ssä Seuraavassa kantavektoreiden { x, x 2,, x n } järjestystä ei saa vaihtaa Vektorit ovat pystyvektoreita ( x x 2 x n ) on vektoreiden x, x 2,, x n muodostama matriisi, missä vektorit
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.
Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin
Talousmatematiikan perusteet: Luento 9. Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Transponointi Matriisitulo
Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Transponointi Matriisitulo Viime luennolta Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,
Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka D 2015
Mika Hirvensalo Insinöörimatematiikka D 2015 Sisältö 1 Lineaarialgebran peruskäsitteitä............................................... 5 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät..................................................
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.
Lineaarialgebra (muut ko)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/103 Lineaarialgebra (muut ko) Tero Laihonen Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/103 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v
Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210
Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2
Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan
Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Informaatioteknologian tiedekunta Jyväskylän yliopisto 5. luento.2.27 Lineaarialgebraa - Miksi? Neuroverkon parametreihin liittyvät kaavat annetaan monesti
Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia
Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella
Avaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta
Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä
BM20A0700, Matematiikka KoTiB2
BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin
Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006
Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä
Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.
1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:
6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio
6 Vektoriavaruus R n 6.1 Lineaarikombinaatio Määritelmä 19. Vektori x œ R n on vektorien v 1,...,v k œ R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että x = i v i. i=1 Esimerkki 30.
Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi
Matriisit, L20 Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio.
9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia
9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä
Seuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117
Seuraava luento ti 31.10 on salissa XXII Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/117 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Lineaarikuvaus
Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka D 2019
Mika Hirvensalo Insinöörimatematiikka D 2019 Sisältö 1 Lineaarialgebran peruskäsitteitä 3 11 Lineaariset yhtälöryhmät 3 111 Gaussin-Jordanin menetelmä 3 112 Ratkaisujoukon systemaattinen esittäminen 6
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi
Matriisit, L20 Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ( 0, 4, ( ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin (amer. kirjoissa
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo
Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Antti Rasila 2016 Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Jos {v 1, v 2,..., v k } on äärellisulotteisen vektoriavaruuden V lineaarisesti riippumaton
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/310 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi
Matriisit, kertausta Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin
2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut
2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja
1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät
1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n
Matematiikka B2 - TUDI
Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
Matriisit. Määritelmä 1 Reaaliluvuista a ij, missä i = 1,..., k ja j = 1,..., n, muodostettua kaaviota a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =
1 / 21 Määritelmä 1 Reaaliluvuista a ij, missä i 1,..., k ja j 1,..., n, muodostettua kaaviota a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A... a k1 a k2 a kn sanotaan k n matriisiksi. Usein merkitään A [a ij ]. Lukuja
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä
Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty
Muistutus: Matikkapaja ke Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta yms.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/139 Ensi viikon luennot salissa X Muistutus: Matikkapaja ke 14-16 Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta
MS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Lineaarikuvaukset Lineaarikuvaus Olkoot U ja V
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 23.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Käytännön asioita Ensimmäiset tehtävät olivat sujuneet hyvin. Kansilehdet on oltava mukana tehtäviä palautettaessa,
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna
802120P Matriisilaskenta (5 op)
802120P Matriisilaskenta (5 op) Marko Leinonen Matemaattiset tieteet Syksy 2016 1 / 220 Luennoitsija: Marko Leinonen marko.leinonen@oulu.fi MA333 Kurssilla käytetään Noppaa (noppa.oulu.fi) Luentomoniste
8 KANNAT JA ORTOGONAALISUUS. 8.1 Lineaarinen riippumattomuus. Vaasan yliopiston julkaisuja 151
Vaasan yliopiston julkaisuja 151 8 KANNAT JA ORTOGONAALISUUS KantaOrthogon Sec:LinIndep 8.1 Lineaarinen riippumattomuus Lineaarinen riippumattomuus on oikeastaan jo määritelty, mutta kirjoitamme määritelmät
1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
1. Lineaarinen yhtälöryhmä ja matriisi
I LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT 1 Lineaarinen yhtälöryhmä ja matriisi Tällä kurssilla käytämme kirjainta K tarkoittamaan reaalilukuja R, kompleksilukuja C tai rationaalilukuja Q (aluksi K = R) Nämä lukujoukot
Matemaattinen Analyysi / kertaus
Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen
Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66
Ensi viikon luennot salissa X Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/66 Redusoitu porrasmuoto 1 1 2 4 1 1 4 6 2 2 5 9 1 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 Eli aste r(a) = 2 ja vaakariviavaruuden
Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
Vektoreiden virittämä aliavaruus
Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden
Johdatus lineaarialgebraan. Juha Honkala 2017
Johdatus lineaarialgebraan Juha Honkala 2017 Sisällysluettelo 1 Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit 11 Lineaariset yhtälöryhmät 12 Matriisit 13 Matriisien alkeismuunnokset ja porrasmatriisit 14 Yhtälöryhmien
802118P Lineaarialgebra I (4 op)
802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu
Kanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
Matriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0
MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 22 Virittääkö vektorijoukko S vektoriavaruuden V, kun a V = R 3 ja S = {(1,0, 1,(2,0,4,( 5,0,2,(0,0,1} b V = P 2 (R ja S = {t1,t 2 1,t 2 t} ( ( 1 0 c
Yleiset lineaarimuunnokset
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47
MS-C34 Lineaarialgebra, II/7 Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 Tehtävä : Olkoot M R symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi (i) Näytä, että m > ja m > (ii) Etsi Eliminaatiomatriisi E R siten, että [
Matematiikka B2 - Avoin yliopisto
6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset
32 Idea: Lineaarikuvausten laskutoimitusten avulla määritellään vastaavat matriisien laskutoimitukset Vakiolla kertominen ja summa Olkoon t R ja A, B R n m Silloin ta, A + B R n m ja määritellään ta ta
x 2 x 3 x 1 x 2 = 1 2x 1 4 x 2 = 3 x 1 x 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili
6 4 2 x 2 x 3 15 10 5 0 5 15 5 3 2 1 1 2 3 2 0 x 2 = 1 2x 1 0 4 x 2 = 3 x 1 x 5 2 5 x 1 10 x 1 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili Sisältö
Johdatus lineaarialgebraan
Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 25. lokakuuta 2015 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus... 111 16 Aliavaruus... 117 16.1 Vektoreiden
7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen
Informaatiotieteiden yksikkö Lineaarialgebra 1A Pentti Haukkanen Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen . 2 Sisältö 1 Matriisit, determinantit ja lineaariset yhtälöryhmät 4 1.1 Matriisin määritelmä.......................
Ennakkotehtävän ratkaisu
Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb
Matemaattinen Analyysi, s2016, L2
Matemaattinen Analyysi, s2016, L2 riippumattomuus, 1 Esimerkkejä esimerkki Dieetti-välipala 1: Opiskelija Ken Obi on dieetillä. Lenkin jälkeen Ken pysähtyy välipalalle. Dieetin mukaan hänen pitäisi saada
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
Käänteismatriisi 1 / 14
1 / 14 Jokaisella nollasta eroavalla reaaliluvulla on käänteisluku, jolla kerrottaessa tuloksena on 1. Seuraavaksi tarkastellaan vastaavaa ominaisuutta matriiseille ja määritellään käänteismatriisi. Jokaisella
Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
Insinöörimatematiikka D, 06 laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Alla olevat esimerkkiratkaisut ovat melko ksitiskohtaisia Tenttivastauksissa ei leensä tarvitse muistaa lauseiden, määritelmien, esimerkkien
x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
Lineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162
Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/162 Kertausta Vektorin u = (u 1,u 2 ) R 2 pituus u = u 2 1 +u2 2 Vektorien u ja v = (v 1,v 2
Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159
Ensi viikon luennot salissa X Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/159 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 ) Skalaarilla
Determinantti 1 / 30
1 / 30 on reaaliluku, joka on määritelty neliömatriiseille Determinantin avulla voidaan esimerkiksi selvittää, onko matriisi kääntyvä a voidaan käyttää käänteismatriisin määräämisessä ja siten lineaarisen
Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2