6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI"

Transkriptio

1 0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos on olemassa vektori v V, v 0, jolla L(v) = λv Tällöin jokainen v 0, jolla L(v) = λv, on L:n ominaisarvoon λ liittyvä ominaisvektori Neliömatriisin A R n n ominaisarvot ja -vektorit ovat vastaavan lineaarikuvauksen A : R n R n ominaisarvot ja -vektorit Kun λ R, merkitään V λ = V λ (L) = v V L(v) = λv} = v V (L λ id V )(v) = 0} = Ker(L λ id V ) Lauseen 4 nojalla V λ on V :n aliavaruus Edelleen 6:n mukaan λ on L:n ominaisarvo V λ 0} Tällöin V λ on λ:aan liittyvä L:n ominaisavaruus Vektorit v V λ, v 0, ovat siis λ:aan liittyvät L:n ominaisvektorit Luku dim(v λ ) on ominaisarvon λ (geometrinen) kertaluku Huomautus 6 a) Jos λ on L:n ominaisarvo, aliavaruus V λ on L-invariantti, ts L(V λ ) V λ (jos v V λ, niin L(v) = λv V λ, koska V λ on aliavaruus) Tällöin L:n rajoittuma L V λ : V λ V λ on homotetia v λv b) Jos λ, µ R ovat L:n ominaisarvoja ja λ µ, niin V λ V µ = 0} (v V λ V µ = λv = L(v) = µv = (λ µ)v = 0 = v = 0, sillä λ µ 0) Siten jokainen v 0 voi olla korkeintaan yhteen L:n ominaisarvoon liittyvä ominaisvektori Lause 63 λ R on L:n ominaisarvo det(l λ id V ) = 0 Todistus λ on L:n ominaisarvo Ker(L λ id V ) 0} 48 L λ id V ei ole injektio 4 7 L λ id V ei ole isomorfismi det(l λ id V ) = 0

2 Tarkastellaan nyt lauseketta p(λ) = p L (λ) = det(l λ id V ), λ R Olkoon S = (v,, v n ) jokin V :n kanta ja M(L; S S) = A = [ a ij ] R n n Silloin M(L λ id V ; S S) = M(L; S S) λm(id V ; S S) = A λi n, joten määritelmän 7 nojalla a λ a a n a (64) p L (λ) = det(a λi n ) = a λ a n a n a n a nn λ Seuraus 6 p L (λ) = p A (λ), kun A = M(L; S S) Erityisesti L:llä ja A:lla on samat ominaisarvot Lause 66 p L (λ) = det(l λ id V ) on muuttujan λ R n-asteinen polynomi ( n = dim(v ) ), L:n karakteristinen polynomi Todistus 64:ssä A λi n = [ a ij λδ ij ], missä δ ii = i ja δ ij = 0, kun i j Niinpä p(λ) = det(a λi n ) 6 = σ S n ɛ(σ)(a σ() λδ σ() ) (a σ(n)n λδ σ(n)n ) Tässä jokainen yhteenlaskettava on λ:n polynomi Ne yhteenlaskettavat, joissa σ id, ovat astetta < n (ainakin yksi δ σ(i)i = 0), ja permutaatiota σ = id vastaava yhteenlaskettava on (a λ)(a λ) (a nn λ) = ( ) n λ n + alempiasteisia λ:n monomeja} Seuraus 67 a) Lineaarikuvauksen L : V V ominaisarvot ovat L:n karakteristisen polynomin nollakohdat b) L:llä on korkeintaan n = dim(v ) eri ominaisarvoa Todistus Jälkimmäinen väite seuraa siitä, että n-asteisella polynomilla on korkeintaan n nollakohtaa

3 Määritelmä 68 Lineaarikuvaus L : V V on diagonalisoituva, jos V :llä on sellainen kanta S, että M(L; S S) on lävistäjämatriisi Neliömatriisi A R n n on diagonalisoituva jos vastaava lineaarikuvaus A : R n R n on sitä Olkoon S = (v,, v n ) V :n kanta Tällöin M(L; S S) on lävistäjämatriisi on olemassa luvut λ,, λ n R, joilla λ λ M(L; S S) = 0 (voi olla λ i = λ j joillakin i j) 0 0 λ n L(v j ) = λ j v j j v j :t ovat L:n ominaisvektoreita Tässä λ j :t ovat L:n ominaisarvoja, ja muita ominaisarvoja L:llä ei ole, koska p L (λ) = (λ λ) (λ n λ) 0, kun λ / λ,, λ n } Lause 69 A R n n on diagonalisoituva on olemassa säännöllinen matriisi P R n n, jolla P AP on lävistäjämatriisi Todistus = Jos A on diagonalisoituva, on olemassa R n :n kanta S, jolla M(A; S S) on lävistäjämatriisi Lauseiden 86 ja 43 mukaan P = M(E n S) on säännöllinen (E n on tavalliseen tapaan R n :n luonnollinen kanta) ja P AP = M(S E n )M(A; E n E n )M(E n S) = M(A; S S), lävistäjämatriisi = Olkoon P = [ v v v n ] R n n säännöllinen (P :n sarakkeet v,, v n ) ja P AP lävistäjämatriisi Silloin S = (v,, v n ) on R n :n kanta, P = M(E n S) ja M(A; S S) = P AP on lävistäjämatriisi Siis A on diagonalisoituva Esimerkki 60 a) Olkoon A = (so A : R R on kierto 4 origon ympäri) Tällöin p A (λ) = λ λ = ( λ) + > 0 λ R, joten A:lla ei ole yhtään ominaisarvoa eikä A ole diagonalisoituva b) Olkoon A = Silloin P 0 A (λ) = ( λ) = 0 λ = Näin ollen λ = on A:n ainoa ominaisarvo Etsitään vastaavat ominaisvektorit x = [ x x ] T R (seuraavassa merkitään V = R ): x + x = x x V Ax = x x = t = te x = x 0, t R

4 Siis V = span(e ) = x -akseli, ja dim(v ) = Koska kaikki A:n ominaisvektorit sijaitsevat yksiulotteisessa avaruudessa V, A:lla ei voi olla kahta lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria, eikä siis R :lla ole sellaista kantaa (v, v ), että v ja v olisivat molemmat A:n ominaisvektoreita Tämä merkitsee sitä, että A ei ole diagonalisoituva c) Olkoon A = [ 3 ] Silloin P A (λ) = λ 3 λ = ( λ)( λ) 3 = λ 3λ 4 = 0 λ = 4 tai λ = Siis A:n ominaisarvot ovat 4 ja Etsimme vastaavat ominaisavaruudet Olkoon x = [ x x ] T R 3 λ = 4 : λ = : Ax = 4x x + x = 4x 3x + x = 4x 3x + x = 0 3x x = 0 x = tv (t R), v = [ 3 ] T Siis V 4 = span(v ) Ax = x x + x = x 3x + x = x x + x = 0 3x + 3x = 0 x = tv (t R), v = [ ] T Siis V = span(v ) Nyt S = (v, v ) on R :n kanta, jolla 4 0 M(A; S S) =, joten A on 0 diagonalisoituva V 4 V Lause 6 Olkoot λ,, λ k lineaarikuvauksen L : V V eri ominaisarvoja ja v j jokin λ j :hin liittyvä ominaisvektori (j =,, k) Tällöin jono (v,, v k ) on vapaa Jos L:llä on n = dim(v ) eri ominaisarvoa, niin L on diagonalisoituva Todistus Induktio k:n suhteen Tapaus k = on selvä ((v ) on vapaa, koska v 0) Olkoon sitten k Induktio-oletus: (v,, v k ) on vapaa On osoitettava, että (v,, v k, v k ) on vapaa

5 Olkoot x,, x k R sellaisia, että x v + + x k v k = 0 Silloin Näistä seuraa, että 0 = λ k (x v + + x k v k ) = (x λ k )v + + (x k λ k )v k, ja 0 = L(x v + + x k v k ) = x L(v ) + + x k L(v k ) = (x λ )v + + (x k λ k )v k 0 = ( (x λ )v + + (x k λ k )v k ) ( (x λ k )v + + (x k λ k )v k ) = x (λ λ k )v + + x k (λ k λ k )v k 4 Koska (v,, v k ) on vapaa, on x j (λ j λ k ) = 0, j =,, k ; edelleen, koska λ j λ k 0, on x j = 0, j =,, k, ja siten x k v k = 0; lopuksi, koska v k 0, on myös x k = 0 Näin on nähty, että (v,, v k ) on vapaa, ja induktiotodistus on valmis Viimeinen väite: Jos k = n = dim(v ), on lauseen 4 a) mukaan vapaa jono (v,, v k ) avaruuden V :n kanta Huomautus 6 L voi tietysti olla diagonalisoituva, vaikka sillä olisi vähemmän kuin n = dim(v ) eri ominaisarvoa 6 Symmetriset lineaarikuvaukset ja matriisit Olkoon V äärellisulotteinen sisätuloavaruus (sisätulo, ), dim(v ) = n Määritelmä 6 Lineaarikuvaus L : V V on symmetrinen (l itseadjungoitu), jos L(v), w = v, L(w) kaikilla v, w V Lause 6 Olkoon L : V V lineaarikuvaus, S = (u,, u n ) jokin V :n ortonormaali kanta ja A = M(L; S S) R n n Tällöin L on symmetrinen A on symmetrinen matriisi Todistus Kaikilla v, w V on L(v), w 33 = b 433 [L(v)] S [w] S = (A[v] S ) [w] S, ja samoin v, L(w) = [v] S (A[w] S ) Koska v [v] S on bijektio V R n, on L symmetrinen Ax y = x Ay x, y R n Matriisitulon avulla on Ax y = (Ax) T y = x T A T y ja x Ay = x T Ay Siispä L on symmetrinen ( ) x T A T y = x T Ay x, y R n Jos A T = A, ( ) on selvästi voimassa Kääntäen, jos ( ) on voimassa, niin kaikilla i, j on e T i AT e j = e T i Ae j eli A T (i, j) = A(i, j), ja siten A T = A Erityisesti matriisi A R n n on symmetrinen lineaarikuvaus A : R n R n on symmetrinen pistetulon suhteen (A = M(A; E n E n ); R n :n luonnollinen kanta E n on ortonormaali pistetulon suhteen)

6 Lemma 63 Olkoon L : V V symmetrinen a) Jos λ ja λ ovat L:n kaksi eri ominaisarvoa ja v i jokin λ i :hin liityvä ominaisvektori (i =, ), niin v v b) Jos W V on L-invariantti aliavaruus, so L(W ) W, niin W on myös L-invariantti, so L(W ) W Todistus a) λ v, v = λ v, v = L(v ), v = v, L(v ) = v, λ v = λ v, v = (λ λ ) v, v = 0 = v, v = 0 b) v W = v, w = 0 w W = L(v), w = v, L(w) = 0 w W }} = L(v) W W Seuraavan tuloksen vaikea todistus sivuutetaan: Lemma 64 Jokaisella symmetrisellä matriisilla A R n n on (reaalisia) ominaisarvoja Siten myös jokaisella symmetrisellä lineaarikuvauksella L : V V (V kuten yllä) on ominaisarvoja (tarkastellaan symmetristä matriisia A = M(L; S S), missä S on jokin V :n ortonormaali kanta) Lause 6 Jos V on äärellisulotteinen sisätuloavaruus ja L : V V symmetrinen lineaarikuvaus, niin V :llä on L:n ominaisvektoreista koostuva ortonormaali kanta Todistus Induktio luvun n = dim(v ) suhteen n = : Valitaan sellainen u V, että u = Tällöin (u) on V :n ortonormaali kanta, ja L(u) V = span(u), joten L(u) = λu eräällä λ R Olkoon sitten dim(v ) = n ja L : V V symmetrinen Induktio-oletus: Väite pätee symmetrisillä lineaarikuvauksilla L : V V kun dim(v ) = n Lemman 64 nojalla L:llä on ominaisarvo λ R Olkoon v V jokin λ :een liittyvä L:n ominaisvektori, u = v / v ja U = span(u ) V Koska L(U) U, niin lauseen 63 b) nojalla L(U ) U, mistä seuraa, että L rajoittuu symmetriseksi lineaarikuvaukseksi L : U U Lauseen 34 c) mukaan on dim(u ) = dim(v ) dim(u) = n Induktio-oletuksesta seuraa, että U :lla on L :n ominaisvektoreista koostuva ortonormaali kanta (u,, u n ) Nyt (u, u,, u n ) on L:n ominaisvektoreista koostuva ortonormaali jono, joka dimensiosyistä on V :n kanta Erityisesti jokainen symmetrinen lineaarikuvaus L : V V on diagonalisoituva Koska ominaisvektoreista koostuva V :n kanta voidaan valita jopa ortonormaaliksi, sanotaan, että L on ortogonaalisesti diagonalisoituva Olkoon A R n n symmetrinen n n-matriisi Lauseen 6 nojalla R n :llä on sellainen (pistetulon suhteen) ortonormaali kanta S = (u,, u n ), että u j :t ovat

7 A:n ominaisvektoreita Merkitään P = [ u u n ] R n n (P :n sarakkeet ovat u,, u n ) Kuten 69:ssä, P AP on lävistäjämatriisi Olkoon välillä P = [ u u n ] R n n mielivaltainen n n-matriisi Sarakevektorien jono (u,, u n ) on ortonormaali 6, kun i = j (P T P )(i, j) = u T i u j = u i u j = 0, kun i j P T P = I n ; tällöin lauseen 66 nojalla P on säännöllinen ja P = P T Määritelmä 66 Neliömatriisi P R n n on ortogonaalinen, jos se on säännöllinen ja P = P T Seuraus 67 Jos A R n n on symmetrinen, niin on olemassa sellainen ortogonaalinen matriisi P R n n, että P T AP on lävistäjämatriisi Laskumenetelmä 68 Diagonalisoitava ortogonaalisesti annettu symmetrinen matriisi A R n n, so etsittävä sellainen ortogonaalinen matriisi P R n n, että P T AP on lävistäjämatriisi Ratkaisu Etsitään kaikki A:n ominaisarvot eli karakteristisen polynomin p(λ) = det(a λi n ) nollakohdat λ Tämä voi olla vaikeaa (tai käytännössä mahdotonta) Etsitään jokaiselle ominaisavaruudelle Null(A λi n ) jokin kanta, so ratkaistaan yhtälöryhmät Ax = λx (ks 69) 3 Sovelletaan Gramin Schmidtin menetelmää ominaisavaruuksien Null(A λi n ) kohdassa löydettyihin kantoihin, tuloksena jokaiselle ominaisavaruudelle ortonormaali kanta (Jos dim Null(A λi n ) =, riittää yksi u, jolla u = ) 4 Eri ominaisavaruuksien ortonormaalit kannat yhdessä muodostavat alla olevan lauseen 69 nojalla R n :n ortonormaalin kannan (u,, u n ) Tällöin matriisi P = [ u u n ] R n n on ortogonaalinen, ja P T AP on lävistäjämatriisi, jossa lävistäjäalkioina ovat A:n ominaisarvot ominaisvektorien u j mukaisessa järjestyksessä Lause 69 Olkoon L : V V symmetrinen lineaarikuvaus, λ,, λ p R L:n eri ominaisarvot, V k V ominaisarvoon λ k liittyvä L:n ominaisavaruus ja (u jk +,, u jk ) ominaisavaruuden V k ortonormaali kanta (k =,, p); tässä 0 = j 0 < j < < j p Silloin S = (u, u,, u jp ) on V :n ortonormaali kanta Todistus Koska eri ominaisavaruuksien V k vektorit ovat 63 a):n mukaan kohtisuorassa toisiaan vastaan, on helppo todeta, että S on ortonormaali jono Lauseen 3 nojalla S on vapaa, ja siten sen pituus j p n = dim(v ) Toisaalta lauseen 6 mukaan V :llä on L:n ominaisvektoreista koostuva ortonormaali kanta S = (u, u n ) Olkoon n k ominaisavaruuteen V k kuuluvien S :n vektorien lukumäärä (k =,, p) Koska jokainen u j on johonkin ominaisarvoon

8 7 liittyvä L:n ominaisvektori, täytyy olla n + + n p = n Lisäksi tällöin avaruus V k sisältää n k -alkioisen vapaan jonon, joten n k dim(v k ) = j k j k Tästä seuraa, että p p n = n k (j k j k ) = j p n k= k= Siispä j p = n, ja V :n dimension pituisena vapaana jonona S on V :n kanta Esimerkki 60 a) A = Ominaisarvot : p(λ) = λ λ = ( λ) 4 = λ λ 3 = 0 λ = 3 tai λ = Ominaisavaruudet : Olkoon x = [ x x ] T x x = 3x x x = 0 () Ax = 3x x + x = 3x x x = 0 () x + x = 0 x span ; normitettu ominaisvektori u = () Ax = x x x = x x + x = x x x = 0 x span x x = 0 () ; x + x = 0 normitettu ominaisvektori u = Nyt (u, u ) on R :n ortonormaali kanta, P = [ u u ] = on ortogonaalinen matriisi, ja P T 3 0 AP = (tarkista laskemalla) b) A = 0 4 3

9 8 Ominaisarvot : p(λ) = 3 λ 4 λ 4 3 λ = λ3 6λ + λ 8 Havainto: p() = 0 Jakamalla jakokulmassa (tai muuten) nähdään, että p(λ) = (λ )(λ + 7λ 8) Edelleen λ + 7λ 8 = 0 λ = tai λ = 8 Siis p(λ) = 0 λ = tai λ = 8 Nämä ovat A:n ominaisarvot Huomautus Koska p(λ) = (λ ) (λ + 8), ominaisarvon algebrallinen kertaluku on = Ominaisavaruudet : Merkitään V = Null(A I 3 ), V 8 = Null(A + 8I 3 ) 4 4 () A I 3 = Siis x V x + x x 3 = 0 x = t + t x = t R x 3 = t R x = t w + t w, w = [ 0 ] T, w = [ 0 ] T (w, w ) on V :n kanta Muodostetaan Gramin-Schmidtin menetelmällä V :n ortonormaali kanta (u, u ): v = w = 0, v = w w v v v v = u = v v = v, u = v v = 3 v 4, v = v = 4 ; () A + 8I 3 = ; 0 0 0

10 x V 8 x 4x x 3 = 0 x + x 3 = 0 x = t x = t x 3 = t R 9 x = tw 3, w 3 = [ ] T ; normitettu ominaisvektori on u 3 = w 3 w 3 = 3 Tulos : Haetuksi ortogonaaliseksi matriisiksi P kelpaa P = [ u u u 3 ] = , P T AP = Neliömuodon pääakseliesitys Symmetriseen n n-matriisiin A = [ a ij ] R n n liittyvä neliömuoto on kaavan (63) q(x) = x T Ax kaikilla x R n määrittelemä kuvaus q = q A : R n R Huomautus 63 Kun x = [ x x n ] T R n, on q(x) = x T Ax = n i= j= n a ij x i x j = n a ii x i + i= i<j n a ij x i x j, missä jälkimmäinen yhtäsuuruus johtuu siitä, että a ij = a ji kaikilla i, j Siten q on muuttujien x,, x n homogeeninen asteen polynomi Kertoimet a ij (ja siis symmetrinen matriisi A) ovat q:n yksikäsitteisesti määräämät Seurauksen 67 nojalla on olemassa ortogonaalinen matriisi P = [ u u n ] R n n (sarakkeet u j muodostavat R n :n ortonormaalin kannan), jolla P T AP on lävistäjämatriisi; P T AP = D = λ λ λ n missä λ,, λ n R ovat A:n ominaisarvot Kun x = [ x x n ] T R n, merkitään y = [ y y n ] T = P T x R n eli x = P y (P T = P ); silloin x T Ax = (P y) T A(P y) = y T (P T AP )y = y T Dy = λ y + + λ ny n,

11 Siispä q(x) = λ y + + λ ny n, y = [ y y n ] T = P T x Tämä on neliömuodon q pääakseliesitys; q:n pääakselit ovat suorat span(u j ), j =,, n, eli uuden (y,, y n )-koordinaatiston koordinaattiakselit Huomautus 63 Jos P R n n on ortogonaalinen, on P T P = I n, joten = det(i n ) = det(p T P ) = det(p T ) det(p ) = det(p ), mistä seuraa, että det(p ) = tai Usein 634:ssä ortogonaalinen matriisi P halutaan valita niin, että det(p ) = (tällöin sanotaan, että R n :n ortonormaali kanta (u,, u n ) on positiivisesti suunnistettu) Tähän päästään vaihtamalla tarvittaessa P :n yhden sarakkeen merkki 30 Esimerkki 636 Olkoon q(x) = 3x 3x 3 4x x + 8x x 3 + 4x x 3, kun x = [ x x x 3 ] T R 3 Vastaava symmetrinen matriisi on 3 4 A = (A:ta muodostettaessa on huomattava, että a ij = a ji = (x ix j :n kerroin), kun i j) Esimerkin 60 b) nojalla on P T AP = , kun P = , missä P on ortogonaalinen vektorien Neliömuodon q pääakselit ovat P :n sarakkeiden eli u = [ 0 ] T, u = 3 [ 4 ]T ja u 3 = [ ]T 3 suuntaiset Tässä det(p ) =, joten ortonormaali kanta (u, u, u 3 ) ei ole positiivisesti suunnistettu Kun y = [ y y y 3 ] T = P T x eli x = P y = y u +y u +y 3 u 3, on q(x) = y + y 8y 3 Toisen asteen käyrät R :ssa Kun x = [ x x ] T R, olkoon f(x) = a x + a x + a x x + b x + b x + c = x T Ax + Bx + c, a a missä A = R a a on symmetrinen (a = a ), A 0, B = [ b b ] R ja c R

12 3 Tehtävä 637 Selvitettävä millainen on R :n osajoukko X = x R f(x) = 0} Seurauksen 67 ja huomautuksen 63 nojalla on olemassa ortogonaalinen P = [ u ij ] = [ u u ] R, jolla det(p ) = ja missä λ ja λ ovat A:n ominaisarvot [ D = P T λ 0 AP = 0 λ Huomautus 638 Koska u =, on u + u =, joten u = cos ϕ ja u = sin ϕ eräällä ϕ [0, π[ Edelleen ehdoista u u = 0 ja det(p ) = saadaan yhtälöt u u + u u = 0 ja u u u u = Yhtälöparista ], cos ϕ u + sin ϕ u = 0 sin ϕ u + cos ϕ u = saadaan u = sin ϕ ja u = cos ϕ Siispä cos ϕ sin ϕ P = : R R sin ϕ cos ϕ on kierto kulman ϕ verran origon ympäri (vrt 43 d) Kääntäen, jokainen tällainen P on ortogonaalinen ja det(p ) = Merkitään x = P y eli y = [ y y ] T = P T x Tällöin siis x = cos ϕ y sin ϕ y x = sin ϕ y + cos ϕ y Koska u i = P e i, saadaan y i -akseli span(u i ) kiertämällä x i -akselia span(e i ) kulman ϕ verran origon ympäri Nyt f(x) = x T Ax + Bx + c = (P y) T A(P y) + B(P y) + c = y T (P T AP )y + (BP )y + c = y T Dy + (BP )y + c = λ y + λ y + b y + b y + c, missä [ b b ] = BP Näin ollen f(x) = 0 (639) λ y + λ y + b y + b y + c = 0, x = P y

13 Koska A 0, ainakin toinen ominaisarvoista λ, λ on 0 useisiin tapauksiin: I λ 0 λ (ts A on säännöllinen) 3 Jaetaan käsittely Neliöiksi täydentämällä päästään 639:ssä eroon asteen termeistä: (639) (630) λ z + λ z = d, z i = y i + b i (i =, ), d = b + b c λ i 4λ 4λ Edellä suoritetun koordinaatiston kierron jälkeen on siis vielä tehty origon siirto: (z, z )-koordinaatiston origo sijaitsee (y, y )-koordinaatiston pisteessä y 0 = ( b /λ, b /λ ) eli alkuperäisen (x, x )-koordinaatiston pisteessä x 0 = P y 0 I d = 0 Jos λ ja λ ovat samanmerkkiset, niin (630) z = z = 0 Tällöin X = x 0 } on piste Oletetaan sitten, että λ ja λ ovat erimerkkiset, esimerkiksi λ > 0 ja λ < 0 Tässä tapauksessa (630) (λ z ) (λ z ) = 0 (λ = λ, λ = ) λ (λ z λ z )(λ z + λ z ) = 0 λ z = λ z tai λ z = λ z Siis X on kahden x 0 :n kautta kulkevan suoran yhdiste I d 0 Tällöin (630) λ z + λ z =, missä λ i = λ i (i =, ) d Oletetaan, että λ > 0 ja λ > 0 Merkitsemällä µ i = / λ i, (i =, ), saadaan joten X on ellipsi (630) z µ + z µ =, Oletetaan, että λ ja λ ovat erimerkkiset, esimerkiksi λ > 0 ja λ < 0 Merkitsemällä µ = / λ ja µ = / λ saadaan tällä kertaa joten X on hyperbeli (630) z µ z µ =, Oletetaan, että λ < 0 ja λ < 0 Tällöin yhtälön λ z + λ z = vasen puoli on 0 ja oikea puoli = > 0, joten ei ole ratkaisua (z, z ), ja X =

14 33 II λ 0 = λ (vastaavasti käsiteltäisiin tapaus λ = 0 λ ) Suoritetaan taas origon siirto: (639) (63) λ z + b z = d, z = y + b, z = y, d = b c ; λ 4λ (z, z )-koordinaatiston origo on (y, y )-koordinaatiston pisteessä ( b /λ, 0) II b = 0 (63) λ z = d II d = 0 (63) z = 0 Siis X on z -akseli II d 0 Oletetaan, että λ d > 0 Tällöin (63) z = ± d/λ, joten X on kahden yhdensuuntaisen suoran yhdiste Oletetaan, että λ d < 0 Tällöin (63) (λ /d)z =, joten X = II b 0 (63) z = λ b z + d b Siispä X on paraabeli, jonka akseli on z -akseli ja huippu on (z, z )-koordinaatiston pisteessä (0, d/b ) Esimerkki 63 ( ) x + x 4x x = 9 Neliömuotoa vastaava symmetrinen matriisi on A = 60 a) = P T AP = 3 0, P = 0 [ P on ortogonaalinen ja det(p ) = (kierto 4 origon ympäri myötäpäivään) Merkitään x = P y eli x = (y + y ) Tällöin x = ( y + y ) ( ) 3y y = 9 y 3 y 9 = Kyseessä on hyperbeli, jonka pääakselit ovat vektorien [ ] T ja [ ] T suuntaiset ] ;

15 34 Esimerkki 633 ( ) x + 3x + 3x x + 4 3x 4x + 4 = 0 [ 3 Neliömuotoa vastaava symmetrinen matriisi on A = ] 3 3 A:n ominaisarvot: λ 3 = λ 4λ = 0 λ = 4 tai λ = 0 3 λ Ominaisvektorit: Ax = 4x 3x + 3x = 0 3x x = 0 x = 3x ; normitettu ominaisvektori u = [ 3 ] T Ax = 0 x + 3x = 0 3x + 3x = 0 x = 3x ; normitettu ominaisvektori u = [ 3 ] T Koordinaatiston kierto: x = P y, P = [ u u ] = [ ] 3, eli 3 x = (y 3y ) x = ( 3y + y ) (P on ortogonaalinen ja det(p ) = ) Sijoitetaan: ( ) 4y 8y + 4 = 0 y = y + Kyseessä on paraabeli, jonka akseli on u :n eli y -akselin suuntainen ja huippu (y, y )-koordinaatiston pisteessä (0, ) Esimerkki 634 ( ) x + x 8x x 8x + 8x + 8 = 0 4 Neliömuotoa vastaava symmetrinen matriisi on A = 4 A:n ominaisarvot: λ 4 4 λ = ( λ) 6 = 0 λ = tai λ = 9 Ominaisvektorit: 4x 4x = 0 Ax = x 4x + 4x = 0 x = x ; normitettu ominaisvektori u = [ ] T Ax = 9x 4x 4x = 0 4x 4x = 0 x = x ;

16 3 normitettu ominaisvektori u = [ ] T P T AP = 0, kun P = 0 9 = kierto 4 origon ympäri vastapäivään Sijoitetaan ( ):ssä x = P y eli x = (y y ) x = (y + y ) : ( ) y + 9y 9 (y y ) + 9 (y + y ) + 8 = 0 y + 9(y + y ) + 8 = 0 y + 9(y + ) = 0 y ( 0) + (y + ) ( 0/3) = Kyseessä on ellipsi, jonka keskipiste on (y, y )-koordinaatiston piste (0, )

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Ortogonaalisen kannan etsiminen Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,

Lisätiedot

Similaarisuus. Määritelmä. Huom.

Similaarisuus. Määritelmä. Huom. Similaarisuus Määritelmä Neliömatriisi A M n n on similaarinen neliömatriisin B M n n kanssa, jos on olemassa kääntyvä matriisi P M n n, jolle pätee Tällöin merkitään A B. Huom. Havaitaan, että P 1 AP

Lisätiedot

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI 6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,

Lisätiedot

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja 7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien

Lisätiedot

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa. LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,

Lisätiedot

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi / kertaus

Matemaattinen Analyysi / kertaus Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

Demorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104

Demorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Ensi viikolla luennot salissa X Torstaina 7.12. viimeiset demot (12.12. ja 13.12. viimeiset luennot). Torstaina 14.12 on välikoe 2, muista ilmoittautua! Demorastitiedot

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

(1.1) Ae j = a k,j e k.

(1.1) Ae j = a k,j e k. Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

4. LINEAARIKUVAUKSET

4. LINEAARIKUVAUKSET 86 4 LINEAARIKUVAUKSET 41 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoot V ja V vektoriavaruuksia Tarkastellaan kuvausta L : V V Tällöin jokaiseen vektoriin v V liittyy tietty, L:n ja v:n yksikäsitteisesti määräämä

Lisätiedot

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on? Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi

Lisätiedot

Lineaarialgebra II P

Lineaarialgebra II P Lineaarialgebra II 89P Sisältö Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 8 3 Lineaarikuvaus 5 4 Ominaisarvo 5 Luku Vektoriavaruus Määritelmä.. Epätyhjä joukko V on vektoriavaruus, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:.

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

Esimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt

Esimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt Esimerkki 4.4. Määrää matriisin 2 2 1 A = 1 3 1 2 4 3 ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt det(a λi ) = 1 + 2 λ 2 1 + 1 λ 1 λ 1 3 λ 1 = 1 3 λ 1 2 4 3 λ 2 4 3 λ 1 λ = 1 4 λ 1 = (1 λ)( 1)1+1 4 λ 1 2 6 3

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi

Lisätiedot

OMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA

OMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA 1 OMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA Olkoon x = (x 1,..., x n ) avaruuden R n piste (l. vektori). Vektori x samaistetaan n 1-matriisin (x 1 x 2... x n ) T kanssa, ts. voidaan yhtä hyvin kirjoittaa x1

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

Ortogonaaliset matriisit, määritelmä 1

Ortogonaaliset matriisit, määritelmä 1 , määritelmä 1 Määritelmä (a). Neliömatriisi Q on ortogonaalinen, jos Q T Q = I. Määritelmästä voidaan antaa samaa tarkoittavat, mutta erilaiselta näyttävät muodot: Määritelmä (b). n n neliömatriisi Q,

Lisätiedot

Neliömuodoista, matriisin ominaisarvoista ja avaruuden kierroista

Neliömuodoista, matriisin ominaisarvoista ja avaruuden kierroista Neliömuodoista matriisin ominaisarvoista ja avaruuden kierroista Marko Moisio 1 Neliömuodoista ja matriisin ominaisarvoista Tarkastellaan toisen asteen tasokäyrän määräävää yhtälöä a + by 2 + 2cxy = d

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus Lineaarikuvaus Ominaisarvo 0-68

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus Lineaarikuvaus Ominaisarvo 0-68 SISÄLTÖ Sisältö pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 0-1 2 Sisätuloavaruus 0-20 3 Lineaarikuvaus 0-41 4 Ominaisarvo 0-68 5 Esimerkkejä 0-88 1. Lineaariavaruus eli V 1 Lineaariavaruus

Lisätiedot

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006 Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus. 1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

LINEAARIALGEBRA A 2016 TOMI ALASTE EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF

LINEAARIALGEBRA A 2016 TOMI ALASTE EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF LINEAARIALGEBRA 83A 6 EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF TOMI ALASTE SISÄLTÖ Sisältö Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 3 Lineaarikuvaus 4 Ominaisarvo 34 5 Esimerkkejä 44 . Lineaariavaruus

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 6.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Kertausta: Kääntyvien matriisien lause Lause 1 Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä.

Lisätiedot

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon

Lisätiedot

Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162

Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162 Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/162 Kertausta Vektorin u = (u 1,u 2 ) R 2 pituus u = u 2 1 +u2 2 Vektorien u ja v = (v 1,v 2

Lisätiedot

LINEAARIALGEBRA P. LUENTOMONISTE ja HARJOITUSTEHTÄVÄT

LINEAARIALGEBRA P. LUENTOMONISTE ja HARJOITUSTEHTÄVÄT LINEAARIALGEBRA II 802119P LUENTOMONISTE ja HARJOITUSTEHTÄVÄT syksy 2008 30 V SISÄTULOAVARUUKSISTA 1. Sisätulon määritelmä Tarkastellaan sisätulon määrittelyä varten kompleksilukujen joukkoa C = {x + iy

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö

Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö Kevät 017 Luennot: Kerkko Luosto Muistiinpanot: Jesse Railo (013) ja Jussi Klemetti (017) 6 Kartioleikkaukset Vanhan ajan geometrian merkittävimpiä tuloksia

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Simo Jaakkola. Ortogonaalisuudesta

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Simo Jaakkola. Ortogonaalisuudesta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Simo Jaakkola Ortogonaalisuudesta Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Joulukuu 2015 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö JAAKKOLA, SIMO: Ortogonaalisuudesta

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt QR-hajotelma ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto PNS-ongelma PNS-ongelma

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma

Lisätiedot

Matematiikka B2 - TUDI

Matematiikka B2 - TUDI Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/310 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka

Lisätiedot

i=1 Näistä on helppo näyttää ominaisuudet (1)-(4). Ellei toisin mainita, käytetään R n :ssä

i=1 Näistä on helppo näyttää ominaisuudet (1)-(4). Ellei toisin mainita, käytetään R n :ssä Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 003. 8.0.003 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni.. Normi

Lisätiedot

Esimerkki 19. Esimerkissä 16 miniminormiratkaisu on (ˆx 1, ˆx 2 ) = (1, 0).

Esimerkki 19. Esimerkissä 16 miniminormiratkaisu on (ˆx 1, ˆx 2 ) = (1, 0). Esimerkki 9 Esimerkissä 6 miniminormiratkaisu on (ˆx, ˆx (, 0 Seuraavaksi näytetään, että miniminormiratkaisuun siirtyminen poistaa likimääräisongelman epäyksikäsitteisyyden (mutta lisääntyvän ratkaisun

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin

Lisätiedot

Lineaarialgebra, kertausta aiheita

Lineaarialgebra, kertausta aiheita Lineaarialgebra, kertausta aiheita Matriisitulo käänteismatriisi determinantin kehittäminen determinantin ominaisuudet adjungaatti ja Cramerin kaavat yhtälöryhmän eri esitystavat Gauss-Jordan -algoritmi

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2.

Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2. HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2016 Harjoitus 3 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 29.8.2016 klo 13.15. Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä

Lisätiedot

Monissa käytännön ongelmissa ei matriisiyhtälölle Ax = b saada ratkaisua, mutta approksimaatio on silti käyttökelpoinen.

Monissa käytännön ongelmissa ei matriisiyhtälölle Ax = b saada ratkaisua, mutta approksimaatio on silti käyttökelpoinen. Pns ratkaisu (Kr. 20.5, Lay 6.5 C-II/KP-II, 20, Kari Eloranta Monissa käytännön ongelmissa ei matriisiyhtälölle Ax = b saada ratkaisua, mutta approksimaatio on silti käyttökelpoinen. Määritelmä Jos A on

Lisätiedot

Paraabeli suuntaisia suoria.

Paraabeli suuntaisia suoria. 15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

1. Normi ja sisätulo

1. Normi ja sisätulo Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 3 83 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni Normi ja sisätulo

Lisätiedot

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen

Lisätiedot

Kompaktien operaattoreiden spektraaliteoriasta

Kompaktien operaattoreiden spektraaliteoriasta Kompaktien operaattoreiden spektraaliteoriasta Lauri Horttanainen Matematiikan Pro Gradu -tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2008 Sisältö Johdanto 2 1. Sisätuloavaruuden

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2014 Harjoitus 4 Ratkaisujen viimeinen palautuspäivä: pe 662014 klo 1930 Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot

Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47

Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 MS-C34 Lineaarialgebra, II/7 Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 Tehtävä : Olkoot M R symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi (i) Näytä, että m > ja m > (ii) Etsi Eliminaatiomatriisi E R siten, että [

Lisätiedot

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä

Lisätiedot

Neliömatriisit A ja B ovat similaareja toistensa suhteen, A B, jos on olemassa kääntyvä matriisi P, jolle pätee A = PBP 1.

Neliömatriisit A ja B ovat similaareja toistensa suhteen, A B, jos on olemassa kääntyvä matriisi P, jolle pätee A = PBP 1. Similaarisuus 1 (Kreyszig 8.4, Lay 5.2) Aalto MS-C1340, 2014, Kari Eloranta Määritelmä Neliömatriisit A ja B ovat similaareja toistensa suhteen, A B, jos on olemassa kääntyvä matriisi P, jolle pätee A

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin

Lisätiedot

Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo

Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Antti Rasila 2016 Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Jos {v 1, v 2,..., v k } on äärellisulotteisen vektoriavaruuden V lineaarisesti riippumaton

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu

Talousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Talousmatematiikan perusteet: Luento 13 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Viime luennolla Aloimme tarkastella yleisiä, usean muuttujan funktioita

Lisätiedot

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =

Lisätiedot

Paikannuksen matematiikka MAT

Paikannuksen matematiikka MAT TA M P E R E U N I V E R S I T Y O F T E C H N O L O G Y M a t h e m a t i c s Paikannuksen matematiikka MAT-45800 4..008. p.1/4 Käytännön järjestelyt Kotisivu: http://math.tut.fi/courses/mat-45800/ Luennot:

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2014 164/246 Kertausta:

Lisätiedot

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Lotta Oinonen ja Johanna Rämö 6. joulukuuta 2012 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos 2012 Sisältö 1 Avaruus R n 4 1 Avaruuksien R 2 ja R 3 vektorit.....................

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Matriisihajotelmat. MS-A0007 Matriisilaskenta. 5.1 Diagonalisointi. 5.1 Diagonalisointi

Matriisihajotelmat. MS-A0007 Matriisilaskenta. 5.1 Diagonalisointi. 5.1 Diagonalisointi MS-A0007 Matriisilaskenta 5. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 25.11.2015 Laskentaongelmissa käsiteltävät matriisit ovat tyypillisesti valtavia.

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Lineaarikuvaukset Lineaarikuvaus Olkoot U ja V

Lisätiedot

tyyppi metalli puu lasi työ I II III metalli puu lasi työ

tyyppi metalli puu lasi työ I II III metalli puu lasi työ MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 29 ( 7 1 1 4 1 1. Olkoot, B = 1 5 2 5 3 Määrää 2A, B 2A, A T, ( 2A) T, (A T ) T. ), C = ( 1 ) 4 4 ja E = 7. 3 2. Olkoot A, B, C ja E kuten edellisessä tehtävässä.

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Lineaarikuvaus

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot