Käänteismatriisi 1 / 14

Transkriptio

1 1 / 14

2 Jokaisella nollasta eroavalla reaaliluvulla on käänteisluku, jolla kerrottaessa tuloksena on 1. Seuraavaksi tarkastellaan vastaavaa ominaisuutta matriiseille ja määritellään käänteismatriisi. Jokaisella matriisilla ei kuitenkaan ole käänteismatriisia. Ensinnäkin, matriisissa täytyy olla yhtä monta riviä ja saraketta, jotta käänteismatriisi voi olla olemassa. Se ei ole vielä riittävä ehto, vaan tarvitaan menetelmiä käänteismatriisin ja sen olemassaolon määräämiseksi. Määritellään ensin ykkösalkio matriiseille. 2 / 14

3 Määritelmä 1 Matriisi A on neliömatriisi, jos A M(n, n) jollakin n N. Neliömatriisi A = [a ij ] on diagonaalimatriisi, jos a ij = 0 kaikilla i j. Diagonaalimatriisi I = [δ ij ] = M(n, n) on yksikkömatriisi eli identtinen matriisi. Tässä { 1, i = j δ ij = 0, i j. 3 / 14

4 Lause 1 Olkoon A M(n, n). Tällöin IA = AI = A. Todistus. Olkoon A = [a ij ] M(n, n). Nyt (AI ) ij = n A ip I pj = p=1 n a ip δ pj = a ij δ jj = a ij 1 = a ij = A ij, p=1 kaikilla i = 1,..., n ja j = 1,..., n. Näin ollen AI = A. Lisäksi (IA) ij = n I ip A pj = p=1 n δ ip a pj = δ ii a ij = 1 a ij = a ij = A ij, p=1 kaikilla i = 1,..., n ja j = 1,..., n, joten IA = A. 4 / 14

5 Määritelmä 2 Neliömatriisi A M(n, n) on kääntyvä, jos on olemassa B M(n, n), jolle AB = BA = I. Tällöin B on A:n käänteismatriisi ja sitä merkitään B = A 1. Esimerkki 1 Matriisi A = [ ] [ ] on kääntyvä ja A =, sillä 3 2 [ ] [ ] = [ ] [ = ] [ ] / 14

6 Esimerkki 2 Matriisi A = [ a b B = c d [ ] 1 2 ei ole kääntyvä. Jos nimittäin olisi 2 4 ], jolle [ ] [ ] [ ] 1 2 a b a + 2c b + 2d = = 2 4 c d 2a + 4c 2b + 4d [ ] 1 0, 0 1 niin a + 2c = 1 b + 2d = 0 2a + 4c = 0 2b + 4d = 1. { a + 2c = 1 2a + 4c = 0 mikä on ristiriita. Täten B:tä ei ole. { 0 = 1 a = 2c, 6 / 14

7 Kun matriisia kerrotaan käänteismatriisilla, saadaan ykkösalkio (yksikkömatriisi) Jokaisella matriisilla ei ole käänteismatriisia Ensimmäinen ehto on, että matriisissa täytyy olla yhtä monta riviä ja saraketta Edes jokaisella n n-matriisilla ei ole käänteismatriisia Tarvitaan menetelmiä käänteismatriisin ja sen olemassaolon määräämiseksi 7 / 14

8 Lause 2 (a) Jos neliömatriisilla A on käänteismatriisi, niin se on yksikäsitteinen. Erityisesti (A 1 ) 1 = A. (b) Jos A, B M(n, n) ovat kääntyviä, niin AB on kääntyvä ja (AB) 1 = B 1 A 1. 8 / 14

9 Todistus. (a) Olkoot B ja C matriisin A käänteismatriiseja (AB = I = BA ja AC = CA = I ). Tällöin B= BI = B(AC) = (BA)C = IC = C. Siis B = C eli käänteismatriisi on yksikäsitteinen. Koska A 1 A = I = AA 1, on A = (A 1 ) 1. (b) Nyt B 1 A 1 M(n, n) ja (AB)(B 1 A 1 ) = A(BB 1 )A 1 = AIA 1 = AA 1 = I sekä (B 1 A 1 )(AB) = B 1 (A 1 A)B = B 1 IB = B 1 B = I. Täten (AB) 1 = B 1 A 1. 9 / 14

10 Esimerkki 3 Jos A on kääntyvä, niin A 2 = AA on kääntyvä ja (A 2 ) 1 = (AA) 1 = A 1 A 1 = (A 1 ) 2. Lause 3 (Työnpuolituslause) Olkoot A, B M(n, n). Jos AB = I tai BA = I, niin A ja B ovat kääntyviä sekä A = B 1 ja B = A 1. Todistus. Myöhemmin determinantin avulla. 10 / 14

11 Lause 4 Olkoon A M(n, n) kääntyvä. Tällöin kaikilla b R n yhtälöllä Ax = b on yksikäsitteinen ratkaisu x = A 1 b. 11 / 14

12 Todistus Todistus. Olkoon b R n mielivaltainen. Ensin osoitetaan, että ratkaisu on olemassa. Vektori A 1 b on yhtälön Ax = b ratkaisu, sillä sijoittamalla se muuttujan x paikalle saadaan Ax = A(A 1 b)= (AA 1 )b= Ib = b. Vielä täytyy osoittaa, että ratkaisu on yksikäsitteinen. Oletetaan, että y R n on mikä tahansa yhtälön Ay = b ratkaisu ja osoitetaan, että y = A 1 b. Kertomalla yhtälöä Ay = b puolittain käänteismatriisilla A 1 saadaan A 1 (Ay) = A 1 b (A 1 A)y = A 1 b Iy = A 1 b, joten y = A 1 b. 12 / 14

13 Esimerkki 4 Ratkaise yhtälöryhmä { 2x1 + x 2 = 3 3x 1 + x 2 = 5. [ ] 2 1 Tästä saadaan matriisi yhtälö Ax = b, missä A =, 3 1 [ ] [ ] [ ] x x = ja b =. Koska A on kääntyvä ja A x = 3 2 ( ) esim. 1, niin [ ] [ ] [ ] { x = A 1 x1 = 2 b = = eli x 2 = 1 on yhtälöryhmän ainoa ratkaisu. 13 / 14

14 Huomautus 1 Matriisi A M(k, n) voidaan ajatella kuvauksena f A : R n R k, jolle f A (x) = Ax kaikilla x R n. Mitä tarkoittaa yhtälöryhmän Ax = b yksikäsitteisen ratkaisun olemassaolo? Entä mitä tarkoittaa matriisin A M(n, n) kääntyvyys? 14 / 14