Matriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit

Transkriptio

1 Matriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit Antti Rasila 2016

2 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1/5 Määritelmä Skalaari λ C on matriisin A C n n ominaisarvo ja vektori v C n sitä vastaava ominaisvektori, jos Av = λv, v 0. Intuitiivisesti ominaisvektori on vektori, jonka suunta ei muutu kuvauksessa v Av. Myös vektorin v skalaarikerrannaiset αv C n, α C \ {0} ovat ominaisarvoon λ liittyviä ominaisvektoreita, koska A(αv) = αav = αλv = λ(αv). Matriisilaskenta 2/12

3 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 2/5 Kompleksiluku α C on matriisin A C n n ominaisarvo, jos ja vain jos yhtälöllä (A λi)v = 0 on ei-triviaali ratkaisu v C n \ {0}. Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että λ C on matriisin A karakteristisen polynomin nollakohta. P A (λ) := det(a λi) (1) Matriisilaskenta 3/12

4 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 3/5 Algebran peruslauseen mukaan P A = ( 1) n (λ λ 1 ) m 1 (λ λ 2 ) m2 (λ λ k ) m k, (2) missä λ 1,..., λ k ovat matriisin ominaisarvot. Lukuihin m j := m λj liittyen saadaan seuraava määritelmä. Matriisilaskenta 4/12

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 4/5 Määritelmä Yhtälössä (2) esiintyvät luvut m 1,..., m k ovat ominaisarvojen λ 1,..., λ k C algebralliset kertaluvut, ja E j := E λj (A) := {v C n : Av = λ j v} on ominaisarvoon λ j liittyvä ominaisavaruus. Luku g j := g λj := dim ( E j (A) ) on ominaisarvon λ j geometrinen kertaluku. Matriisilaskenta 5/12

6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5/5 Lisäksi määritellään: Määritelmä Matriisin A C n n spektri on sen ominaisarvojen joukko σ(a) := { λ C : Av = λv jollakin v C n \ {0} } Saadaan seuraava tulos: Lause Matriisin A C n n eri ominaisarvoja vastaavat ominaisvektorit ovat lineaarisesti riippumattomia. Matriisilaskenta 6/12

7 Todistus 1/2 Olkoot Av j = λ j v j, j = 1,..., k, k n, missä λ j λ p, kun j p. Tehdään vastaoletus: v 1,..., v k ovat lineaarisesti riippuvia. Tällöin yksi vektoreista voidaan esittää toisten lineaarikombinaationa. Olkoon l pienin indeksi, jolle v l+1 voidaan esitää muodossa Nyt saadaan c 1 v c l v k = v l+1 joillekin c 1,..., c l C. (3) Av l+1 = A(c 1 v c l v l ) = c 1 Av c l Av l. Vektorit v j ovat A:n ominaisvektoreita, ja siten c 1 λ 1 v c l λ l v l = λ l+1 v l+1. Matriisilaskenta 7/12

8 Todistus 2/2 Vähennetään tästä yhtälö (3) kerrottuna luvulla λ l+1. Saadaan c 1 (λ 1 λ l+1 )v c l (λ l λ l+1 )v l = 0. Indeksin l valinnan perusteella vektorit v 1,..., v l ovat lineaarisesti riippumattomia. Siten c 1 (λ 1 λ l+1 ) =... = c l (λ l λ l+1 ) = 0. Koska λ j λ p, kun p j, saadaan edelleen c 1 =... = c l = 0, eli v l+1 = 0. Tämä on ristiriita, koska vektorin v l+1 piti olla ominaisvektori. Matriisilaskenta 8/12

9 Hermiittisen matriisin ominaisarvot Lause Hermiittisen matriisin ominaisarvot ovat reaalisia. Todistus. Olk. A hermiittinen, λ sen ominaisarvo ja v vastaava ominaisvektori. Tällöin λ v 2 = λ v, v = λv, v = Av, v = v, A v = v, Av = v, λv = λ v 2. Siten λ = λ, eli λ R. Matriisilaskenta 9/12

10 Esimerkki 1/3 ( ) 1 3 Lasketaan matriisin A = ominaisarvot ja -vektorit. 3 3 Muodostetaan karakteristinen polynomi: P A = det(a λi) = 1 λ λ = (1 λ)(3 λ) 9 = 3 λ 3λ + λ 2 9 = λ 2 4λ 6. Ratkaistaan nollakohdat P A (λ) = 0. Saadaan λ = 4 ± = 2 ± 10 =: λ ±. Matriisilaskenta 10/12

11 Esimerkki 2/3 Seuraavaksi ratkaistaan ominaisvektorit yhtälöstä Av = λ ± v, eli (A 2 ± 10I)v = 0. Saadaan siis yhtälöt ( ) ( ) v1 = 10 v 2 ( ) 0. 0 Gaussin eliminoinneilla matriisi saadaan muotoon ( ) ( ) ( ) Matriisilaskenta 11/12

12 Esimerkki 3/3 Ominaisarvoa λ + = vastaava ominaisvektori v + voidaan ratkaista yhtälöstä (1 + 10)v 1 + 3v 2 = 0. ( ) 3 Esimerkiksi voidaan valita vektori v + = Samaan tapaan ominaisarvoon λ = 2 10 liittyvät ominaisvektorit voidaan ratkaista yhtälöstä (1 10)v 1 + 3v 2 = 0. Tässä tapauksessa voidaan siis valita vektori ( ) 3 v = Matriisilaskenta 12/12