Insinöörimatematiikka D
|
|
|
- Heli Salo
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 13 1 of 21
2 Kertausta Tunnettuja sarjakehitelmiä 1 1 x = 1+x +x2 +x 3 + +x n +, kun x < 1 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 13 2 of 21
3 Kertausta Tunnettuja sarjakehitelmiä 1 1 x = 1+x +x2 +x 3 + +x n +, kun x < 1 e x = 1+x + x2 2! + x3 xn 3! + + n! + M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 13 2 of 21
4 Kertausta Tunnettuja sarjakehitelmiä 1 1 x = 1+x +x2 +x 3 + +x n +, kun x < 1 e x = 1+x + x2 2! + x3 xn 3! + + n! + sinx = x x3 3! + x5 x2n+1 5! +( 1)n (2n+1)! + M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 13 2 of 21
5 Kertausta Tunnettuja sarjakehitelmiä 1 1 x = 1+x +x2 +x 3 + +x n +, kun x < 1 e x = 1+x + x2 2! + x3 xn 3! + + n! + sinx = x x3 3! + x5 x2n+1 5! +( 1)n (2n+1)! + cosx = 1 x2 2! + x4 x2n 4! +( 1)n (2n)! + M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 13 2 of 21
6 Sarjaratkaisut M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 13 3 of 21
7 Sarjaratkaisut Kertaus Toisen kertaluvun lineaarinen DY y +a(x)y +b(x)y = c(x) voidaan ratkaista täydellisesti jos homogeeniselle DY:lle löytyy yksikin ratkaisu. y +a(x)y +b(x)y = 0 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 13 3 of 21
8 Sarjaratkaisut Sarjaratkaisu Jos a(x) ja b(x) ovat riittävän säännöllisiä, voidaan DY:n y +a(x)y +b(x)y = 0 ratkaisu löytää Taylorin kehitelmän y = a 0 +a 1 x +a 2 x 2 +a 3 x avulla. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 13 4 of 21
9 Sarjaratkaisut Astrofyysikko Robert Emden päätyi laskuissaan 1900-luvun alussa differentiaaliyhtälöön 1 d x 2 dx alkuehdoilla y(0) = 1 ja y (0) = 0. ( ) x 2dy +y n = 0. dx M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 13 5 of 21
10 Sarjaratkaisut Astrofyysikko Robert Emden päätyi laskuissaan 1900-luvun alussa differentiaaliyhtälöön 1 d x 2 dx ( ) x 2dy +y n = 0. dx alkuehdoilla y(0) = 1 ja y (0) = 0. Tapauksessa n = 1 tämä voidaan kirjoittaa muotoon xy +2y +xy = 0. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 13 5 of 21
11 Sarjaratkaisut (jatkoa) Fysikaalisen luonteensa perusteella DY:llä xy +2y +xy = 0. alkuehdoilla y(0) = 1 ja y (0) = 0 pitäisi olla kaunis ratkaisu. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 13 6 of 21
12 Sarjaratkaisut (jatkoa) Fysikaalisen luonteensa perusteella DY:llä xy +2y +xy = 0. alkuehdoilla y(0) = 1 ja y (0) = 0 pitäisi olla kaunis ratkaisu. Tehdään ratkaisusta sarjakehitelmäyrite y = a 0 +a 1 x +a 2 x 2 + = a n x n. n=0 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 13 6 of 21
13 Sarjaratkaisut (jatkoa) Fysikaalisen luonteensa perusteella DY:llä xy +2y +xy = 0. alkuehdoilla y(0) = 1 ja y (0) = 0 pitäisi olla kaunis ratkaisu. Tehdään ratkaisusta sarjakehitelmäyrite y = a 0 +a 1 x +a 2 x 2 + = a n x n. n=0 Alkuehdot huomioiden päädytään lopulta ratkaisuun y(x) = sinx x. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 13 6 of 21
14 Sarjaratkaisut 114 Tarkastellaan valon diffraktioon liittyvä Airyn differentiaaliyhtälöä y +xy = 0 alkuehdoilla y(0) = 0 ja y (0) = 1. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 13 7 of 21
15 Kertausta Vakiokertoiminen lineaarinen DY Vakiokertoimisen lineaarisen DY:n a n y (n) +a n 1 y (n 1) +...+a 2 y +a 1 y +a 0 y = b(x) ratkaiseminen: M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 13 8 of 21
16 Kertausta Vakiokertoiminen lineaarinen DY Vakiokertoimisen lineaarisen DY:n a n y (n) +a n 1 y (n 1) +...+a 2 y +a 1 y +a 0 y = b(x) ratkaiseminen: Etsitään homogenisoidun DY:n kaikki ratkaisut y 1,y 2,...,y n karakterisen polynomin nollakohtina. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 13 8 of 21
17 Kertausta Vakiokertoiminen lineaarinen DY Vakiokertoimisen lineaarisen DY:n a n y (n) +a n 1 y (n 1) +...+a 2 y +a 1 y +a 0 y = b(x) ratkaiseminen: Etsitään homogenisoidun DY:n kaikki ratkaisut y 1,y 2,...,y n karakterisen polynomin nollakohtina. Etsitään eräs alkuperäisen DY:n yksittäisratkaisu y 0. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 13 8 of 21
18 Kertausta Vakiokertoiminen lineaarinen DY Vakiokertoimisen lineaarisen DY:n a n y (n) +a n 1 y (n 1) +...+a 2 y +a 1 y +a 0 y = b(x) ratkaiseminen: Etsitään homogenisoidun DY:n kaikki ratkaisut y 1,y 2,...,y n karakterisen polynomin nollakohtina. Etsitään eräs alkuperäisen DY:n yksittäisratkaisu y 0. Yhdistettynä saadaan kaikki ratkaisut muodossa: C 1 y 1 +C 2 y 2 + C n y n +y 0. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 13 8 of 21
19 Kertausta Olkoon karakteristisella yhtälöllä erisuuret ratkaisut λ 1,...,λ k. Tällöin vakiokertoimisella homogeenisella DY:llä on lineaarisesti riippumattomat ratkaisut e λ 1t,...,e λ kt. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 13 9 of 21
20 Kertausta Olkoon karakteristisella yhtälöllä erisuuret ratkaisut λ 1,...,λ k. Tällöin vakiokertoimisella homogeenisella DY:llä on lineaarisesti riippumattomat ratkaisut e λ 1t,...,e λ kt. Jos karakteristisella yhtälöllä on j-kertainen juuri λ i, on vakiokertoimisella homogeenisella DY:llä lineaarisesti riippumattomat ratkaisut e λ it,te λ it,t 2 e λ it,...,t j 1 e λ it. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 13 9 of 21
21 Kertausta Olkoon karakteristisella yhtälöllä erisuuret ratkaisut λ 1,...,λ k. Tällöin vakiokertoimisella homogeenisella DY:llä on lineaarisesti riippumattomat ratkaisut e λ 1t,...,e λ kt. Jos karakteristisella yhtälöllä on j-kertainen juuri λ i, on vakiokertoimisella homogeenisella DY:llä lineaarisesti riippumattomat ratkaisut e λ it,te λ it,t 2 e λ it,...,t j 1 e λ it. Jos reaalikertoimisella karakteristisella polynomilla on kompleksinen juuri λ, on tämän liittoluku λ myös ratkaisu. Merkitään λ = α+iβ (λ = α iβ). Tällöin ratkaisut e λt ja e λt voidaan korvata reaalisilla ratkaisuilla e αt cos(βt) ja e αt sin(βt). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 13 9 of 21
22 Yksittäisratkaisun etsiminen Yksittäisratkaisu Laplace-muunnoksilla Menetelmä: Ottamalla alkuperäisestä DY:stä Laplace-muunnokset puolittain voidaan näin saadusta yhtälöstä ratkaista L[y] = Y(s). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21
23 Yksittäisratkaisun etsiminen Yksittäisratkaisu Laplace-muunnoksilla Menetelmä: Ottamalla alkuperäisestä DY:stä Laplace-muunnokset puolittain voidaan näin saadusta yhtälöstä ratkaista L[y] = Y(s). Edelleen voidaan löytää Laplace-muunnosta vastaava originaalifunktio y(x), joka on siis eräs yksittäisratkaisu. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21
24 Yksittäisratkaisun etsiminen Yksittäisratkaisu Laplace-muunnoksilla Menetelmä: Ottamalla alkuperäisestä DY:stä Laplace-muunnokset puolittain voidaan näin saadusta yhtälöstä ratkaista L[y] = Y(s). Edelleen voidaan löytää Laplace-muunnosta vastaava originaalifunktio y(x), joka on siis eräs yksittäisratkaisu. Yksittäisratkaisu määräämättömien kertoimien menetelmällä Tehdään DY:n oikean puolen funktion b(x) perusteella valistunut, määräämättömiä kertoimia sisältävä yrite (arvaus) yksittäisratkaisun muodosta. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21
25 Yksittäisratkaisun etsiminen Yksittäisratkaisu Laplace-muunnoksilla Menetelmä: Ottamalla alkuperäisestä DY:stä Laplace-muunnokset puolittain voidaan näin saadusta yhtälöstä ratkaista L[y] = Y(s). Edelleen voidaan löytää Laplace-muunnosta vastaava originaalifunktio y(x), joka on siis eräs yksittäisratkaisu. Yksittäisratkaisu määräämättömien kertoimien menetelmällä Tehdään DY:n oikean puolen funktion b(x) perusteella valistunut, määräämättömiä kertoimia sisältävä yrite (arvaus) yksittäisratkaisun muodosta. Sijoittamalla yrite alkuperäiseen DY:hyn ratkaistaan määräämättömät kertoimet. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21
26 Määräämättömien kertoimien menetelmä Ratkaistaan homogeeninen DY y 6y +8y = 0. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21
27 Määräämättömien kertoimien menetelmä Ratkaistaan homogeeninen DY y 6y +8y = 0. Yritteen y = e λx ja karakterisen polynomin avulla saadaan yleinen ratkaisu: y = C 1 e 2x +C 2 e 4x. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21
28 Määräämättömien kertoimien menetelmä Ratkaistaan homogeeninen DY y 6y +8y = 0. Yritteen y = e λx ja karakterisen polynomin avulla saadaan yleinen ratkaisu: y = C 1 e 2x +C 2 e 4x. Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 4. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21
29 Määräämättömien kertoimien menetelmä Ratkaistaan homogeeninen DY y 6y +8y = 0. Yritteen y = e λx ja karakterisen polynomin avulla saadaan yleinen ratkaisu: y = C 1 e 2x +C 2 e 4x. Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 4. Tehdään yrite y = A ja sijoitetaan se DY:hyn. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21
30 Määräämättömien kertoimien menetelmä Ratkaistaan homogeeninen DY y 6y +8y = 0. Yritteen y = e λx ja karakterisen polynomin avulla saadaan yleinen ratkaisu: y = C 1 e 2x +C 2 e 4x. Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 4. Tehdään yrite y = A ja sijoitetaan se DY:hyn. Saadaan yksittäisratkaisuksi y 0 = 1/2. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21
31 Määräämättömien kertoimien menetelmä Ratkaistaan homogeeninen DY y 6y +8y = 0. Yritteen y = e λx ja karakterisen polynomin avulla saadaan yleinen ratkaisu: y = C 1 e 2x +C 2 e 4x. Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 4. Tehdään yrite y = A ja sijoitetaan se DY:hyn. Saadaan yksittäisratkaisuksi y 0 = 1/2. Kaikki ratkaisut ovat siis muotoa y = C 1 e 2x +C 2 e 4x 1/2. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21
32 Määräämättömien kertoimien menetelmä Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 8x. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21
33 Määräämättömien kertoimien menetelmä Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 8x. Tehdään yrite y = Ax +B ja sijoitetaan se DY:hyn. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21
34 Määräämättömien kertoimien menetelmä Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 8x. Tehdään yrite y = Ax +B ja sijoitetaan se DY:hyn. Saadaan yksittäisratkaisuksi y 0 = x +3/4. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21
35 Määräämättömien kertoimien menetelmä Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 8x. Tehdään yrite y = Ax +B ja sijoitetaan se DY:hyn. Saadaan yksittäisratkaisuksi y 0 = x +3/4. Kaikki ratkaisut ovat siis muotoa y = C 1 e 2x +C 2 e 4x +x +3/4. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21
36 Määräämättömien kertoimien menetelmä Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 8x. Tehdään yrite y = Ax +B ja sijoitetaan se DY:hyn. Saadaan yksittäisratkaisuksi y 0 = x +3/4. Kaikki ratkaisut ovat siis muotoa y = C 1 e 2x +C 2 e 4x +x +3/4. Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 5cos2x. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21
37 Määräämättömien kertoimien menetelmä Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 8x. Tehdään yrite y = Ax +B ja sijoitetaan se DY:hyn. Saadaan yksittäisratkaisuksi y 0 = x +3/4. Kaikki ratkaisut ovat siis muotoa y = C 1 e 2x +C 2 e 4x +x +3/4. Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 5cos2x. Tehdään yrite y = Acos2x +Bsin2x ja sijoitetaan se DY:hyn. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21
38 Määräämättömien kertoimien menetelmä Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 8x. Tehdään yrite y = Ax +B ja sijoitetaan se DY:hyn. Saadaan yksittäisratkaisuksi y 0 = x +3/4. Kaikki ratkaisut ovat siis muotoa y = C 1 e 2x +C 2 e 4x +x +3/4. Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 5cos2x. Tehdään yrite y = Acos2x +Bsin2x ja sijoitetaan se DY:hyn. Saadaan yksittäisratkaisuksi y 0 = 1 8 (cos2x 3sin2x). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21
39 Määräämättömien kertoimien menetelmä Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 8x. Tehdään yrite y = Ax +B ja sijoitetaan se DY:hyn. Saadaan yksittäisratkaisuksi y 0 = x +3/4. Kaikki ratkaisut ovat siis muotoa y = C 1 e 2x +C 2 e 4x +x +3/4. Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 5cos2x. Tehdään yrite y = Acos2x +Bsin2x ja sijoitetaan se DY:hyn. Saadaan yksittäisratkaisuksi y 0 = 1 8 (cos2x 3sin2x). Kaikki ratkaisut ovat muotoa y = C 1 e 2x +C 2 e 4x (cos2x 3sin2x). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21
40 Määräämättömien kertoimien menetelmä Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 4e 2x. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21
41 Määräämättömien kertoimien menetelmä Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 4e 2x. Tehdään yrite y = Ae 2x ja sijoitetaan se DY:hyn. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21
42 Määräämättömien kertoimien menetelmä Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 4e 2x. Tehdään yrite y = Ae 2x ja sijoitetaan se DY:hyn. Saadaan yksittäisratkaisuksi y 0 = 1 6 e 2x. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21
43 Määräämättömien kertoimien menetelmä Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 4e 2x. Tehdään yrite y = Ae 2x ja sijoitetaan se DY:hyn. Saadaan yksittäisratkaisuksi y 0 = 1 6 e 2x. Kaikki ratkaisut ovat siis muotoa y = C 1 e 2x +C 2 e 4x 1 6 e 2x. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21
44 Määräämättömien kertoimien menetelmä Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 2e 2x. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21
45 Määräämättömien kertoimien menetelmä Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle Koetetaan yritettä y = Ae 2x. y 6y +8y = 2e 2x. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21
46 Määräämättömien kertoimien menetelmä Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 2e 2x. Koetetaan yritettä y = Ae 2x. Huomataan, että yrite y = Ae 2x ei toimi, sillä e 2x on eräs homogeenisen DY:n ratkaisu. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21
47 Määräämättömien kertoimien menetelmä Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 2e 2x. Koetetaan yritettä y = Ae 2x. Huomataan, että yrite y = Ae 2x ei toimi, sillä e 2x on eräs homogeenisen DY:n ratkaisu. Tehdään uusi yrite y = Axe 2x ja sijoitetaan se DY:hyn. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21
48 Määräämättömien kertoimien menetelmä Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 2e 2x. Koetetaan yritettä y = Ae 2x. Huomataan, että yrite y = Ae 2x ei toimi, sillä e 2x on eräs homogeenisen DY:n ratkaisu. Tehdään uusi yrite y = Axe 2x ja sijoitetaan se DY:hyn. Saadaan yksittäisratkaisuksi y 0 = xe 2x. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21
49 Määräämättömien kertoimien menetelmä Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 2e 2x. Koetetaan yritettä y = Ae 2x. Huomataan, että yrite y = Ae 2x ei toimi, sillä e 2x on eräs homogeenisen DY:n ratkaisu. Tehdään uusi yrite y = Axe 2x ja sijoitetaan se DY:hyn. Saadaan yksittäisratkaisuksi y 0 = xe 2x. Kaikki ratkaisut ovat muotoa y = C 1 e 2x +C 2 e 4x xe 2x. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21
50 Määräämättömien kertoimien menetelmä Jos differentiaaliyhtälöllä on riippumattomat ratkaisut e λ it,te λ it,t 2 e λ it,...,t j 1 e λ it. ja tarvitaan yrite jollekin lineaarikombinaatiolle näistä, pitää yritteen sisältää termi t j e λ it. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21
51 Määräämättömien kertoimien menetelmä Yksittäisratkaisujen yhdistäminen Yksittäisratkaisuja voidaan yhdistellä luonnollisella tavalla, kuten seuraavassa esimerkissä havainnollistetaan. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21
52 Määräämättömien kertoimien menetelmä Yksittäisratkaisujen yhdistäminen Yksittäisratkaisuja voidaan yhdistellä luonnollisella tavalla, kuten seuraavassa esimerkissä havainnollistetaan. Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 8x +2e 2x. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21
53 Määräämättömien kertoimien menetelmä Yksittäisratkaisujen yhdistäminen Yksittäisratkaisuja voidaan yhdistellä luonnollisella tavalla, kuten seuraavassa esimerkissä havainnollistetaan. Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 8x +2e 2x. Differentiaaliyhtälöiden y 6y +8y = 8x ja y 6y +8y = 2e 2x ratkaisut tunnetaan. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21
54 Määräämättömien kertoimien menetelmä Yksittäisratkaisujen yhdistäminen Yksittäisratkaisuja voidaan yhdistellä luonnollisella tavalla, kuten seuraavassa esimerkissä havainnollistetaan. Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 8x +2e 2x. Differentiaaliyhtälöiden y 6y +8y = 8x ja y 6y +8y = 2e 2x ratkaisut tunnetaan. Yhdistämällä nämä saadaan alkuperäisen DY:n yksittäisratkaisu y 0 = x +3/4 xe 2x. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21
55 Määräämättömien kertoimien menetelmä Yksittäisratkaisujen yhdistäminen Yksittäisratkaisuja voidaan yhdistellä luonnollisella tavalla, kuten seuraavassa esimerkissä havainnollistetaan. Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 8x +2e 2x. Differentiaaliyhtälöiden y 6y +8y = 8x ja y 6y +8y = 2e 2x ratkaisut tunnetaan. Yhdistämällä nämä saadaan alkuperäisen DY:n yksittäisratkaisu y 0 = x +3/4 xe 2x. Kaikki ratkaisut ovat muotoa y = C 1 e 2x +C 2 e 4x +x +3/4 xe 2x. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21
56 Matriisit Määritelmä Matriisi A on kaavio A = A 11 A A 1n A 21 A A 2n A m1 A m2... A mn. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21
57 Matriisit Määritelmä Matriisi A on kaavio A = A 11 A A 1n A 21 A A 2n A m1 A m2... A mn. Tyyppi m n: m riviä, n saraketta. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21
58 Matriisit Määritelmä Matriisi A on kaavio A = A 11 A A 1n A 21 A A 2n A m1 A m2... A mn. Tyyppi m n: m riviä, n saraketta. A ij : matriisin alkiot M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21
59 Matriisit Määritelmä Matriisi A on kaavio A = A 11 A A 1n A 21 A A 2n A m1 A m2... A mn. Tyyppi m n: m riviä, n saraketta. A ij : matriisin alkiot A ij R: reaalinen matriisi M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21
60 Matriisit Määritelmä Matriisi A on kaavio A = A 11 A A 1n A 21 A A 2n A m1 A m2... A mn. Tyyppi m n: m riviä, n saraketta. A ij : matriisin alkiot A ij R: reaalinen matriisi A ij C: kompleksinen matriisi M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21
61 Matriisit Matriisien alkeisoperaatiot Kahden rivin järjestyksen vaihtaminen Rivin kertominen nollasta eroavalla vakiolla Rivin lisääminen toiseen vakiolla kerrottuna M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21
62 Matriisit Matriisien alkeisoperaatiot Kahden rivin järjestyksen vaihtaminen Rivin kertominen nollasta eroavalla vakiolla Rivin lisääminen toiseen vakiolla kerrottuna Määritelmä Jos matriisi B saadaan matriisista A alkeisoperaatioilla, sanotaan että matriisi A on riviekvivalentti B:n kanssa ja merkitään A B. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21
63 Matriisit Matriisien alkeisoperaatiot Kahden rivin järjestyksen vaihtaminen Rivin kertominen nollasta eroavalla vakiolla Rivin lisääminen toiseen vakiolla kerrottuna Määritelmä Jos matriisi B saadaan matriisista A alkeisoperaatioilla, sanotaan että matriisi A on riviekvivalentti B:n kanssa ja merkitään A B. Huom.: A B on ekvivalenssirelaatio. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21
64 Matriisit Määritelmä Matriisi A on porrasmuodossa, jos sen jokainen rivi alkaa nollilla, joita on enemmän kuin millään ylemmällä rivillä. Ensimmäisen rivin ei tarvitse alkaa nollalla ja jostain rivistä alkaen rivit voivat koostua kokonaan nollista. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21
65 Matriisit Määritelmä Matriisi A on porrasmuodossa, jos sen jokainen rivi alkaa nollilla, joita on enemmän kuin millään ylemmällä rivillä. Ensimmäisen rivin ei tarvitse alkaa nollalla ja jostain rivistä alkaen rivit voivat koostua kokonaan nollista. Pisteet merkitsevät nollia M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21
66 Matriisit Matriisi A on redusoidussa porrasmuodossa, jos A on porrasmuodossa A:n jokaisen rivin ensimmäinen nollasta poikkeava alkio on 1. A:n jokaisen rivin ensimmäisen nollasta poikkeavan alkion yläpuolella on vain nollia. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21
67 Matriisit Matriisi A on redusoidussa porrasmuodossa, jos A on porrasmuodossa A:n jokaisen rivin ensimmäinen nollasta poikkeava alkio on 1. A:n jokaisen rivin ensimmäisen nollasta poikkeavan alkion yläpuolella on vain nollia Pisteet merkitsevät nollia ja asteriskit mitä tahansa lukuja. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21
68 Matriisit Gaussin-Jordanin menetelmä Jokainen matriisi saadaan alkeisoperaatioilla redusoituun porrasmuotoon käyttämällä Gaussin-Jordanin menetelmää. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21
69 Matriisit Gaussin-Jordanin menetelmä Jokainen matriisi saadaan alkeisoperaatioilla redusoituun porrasmuotoon käyttämällä Gaussin-Jordanin menetelmää. Määritelmä Matriisiin A aste (rank) r(a) on sen (redusoidun) porrasmatriisin porrasluku (nollarivistä eroavien rivien määrä), joka saadaan A:sta alkeisoperaatioilla. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1
Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
Insinöörimatematiikka D, 5.4.06 5. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut. Etsitään homogeenisen vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön kaikki ratkaisut (reaalisessa muodossa). y (5) +4y (4)
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Matematiikka B3 - Avoin yliopisto
2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Homogeeninen yhtälö on muotoa F(x, y,, y (n) ) = 0. (1) Yhtälö on lineaarinen, jos se voidaan
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon Jos r(x)
Käänteismatriisin ominaisuuksia
Käänteismatriisin ominaisuuksia Lause 1.4. Jos A ja B ovat säännöllisiä ja luku λ 0, niin 1) (A 1 ) 1 = A 2) (λa) 1 = 1 λ A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1 4) (A T ) 1 = (A 1 ) T. Tod.... Ortogonaaliset matriisit
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T
3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T Huomautus epälineaarisista. kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Epälineaarisen DY:n ratkaisemiseen ei ole yleismenetelmää. Seuraavat erikoistapaukset voidaan ratkaista
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle /
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / 16. 18.5. Lineaariset differentiaaliyhtälöt, homogeeniset differentiaaliyhtälöt Tehtävä 1: a) Määritä differentiaaliyhtälön y 3y = 14e 4x
2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut
2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja
4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt
Differentiaaliyhtälöt c Pekka Alestalo 2015 Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin differentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Luennolla lasketaan esimerkkitehtäviä
Dierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 17. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
a 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0
6. Lineaariset toisen kertaluvun yhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt ovat tuntuvasti hankalampia ratkaista kuin ensimmäinen. Käsittelemmekin tässä vain tärkeintä erikoistapausta, toisen kertaluvun
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
y + 4y = 0 (1) λ = 0
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 6 mallit Kevät 2019 Tehtävä 1. Ratkaise yhtälöt a) y + 4y = x 2, b) y + 4y = 3e x. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön yleinen
6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.
2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x
y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x
BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen
Dierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2014 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 1 of 16 Kertausta Lineaarinen riippuvuus
5 Differentiaaliyhtälöryhmät
5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =
5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT
5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön
1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt
Teknillinen korkeakoulu Matematiikka Dierentiaaliyhtälöt Alestalo Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin dierentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Esimerkkejä luennoilla
Matemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, syksy 2016 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus, viikko 49 R1 to 12 14 F453 (8.12.) R2 to 14 16 F345 (8.12.) R3 ke 8 10 F345 (7.11.) 1. Määritä funktion f (x) = 1 Taylorin sarja
Vektoreiden virittämä aliavaruus
Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden
Dierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 14. helmikuuta 2011 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun olemassaolosta ja yksikäsitteisyydestä...........
Lineaarinen yhtälöryhmä
Lineaarinen yhtälöryhmä 1 / 39 Lineaarinen yhtälö Määritelmä 1 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia.
1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät
1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n
5 Lineaariset yhtälöryhmät
5 Lineaariset yhtälöryhmät Edellisen luvun lopun esimerkissä päädyttiin yhtälöryhmään, jonka ratkaisemisesta riippui, kuuluuko tietty vektori eräiden toisten vektorien virittämään aliavaruuteen Tämäntyyppisiä
Mat Matematiikan peruskurssi K2
Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut
MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A
5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT
5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Ensimmäisen kl:n DY-ryhmät Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Useimmat voidaan mallintaa ensimmäisen kertaluvun DY-ryhmien avulla. Ensimmäisen kl:n
Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Ominaisarvo-hajoitelma ja diagonalisointi
Ominaisarvo-hajoitelma ja a 1 Lause 1: Jos reaalisella n n matriisilla A on n eri suurta reaalista ominaisarvoa λ 1,λ 2,...,λ n, λ i λ j, kun i j, niin vastaavat ominaisvektorit x 1, x 2,..., x n muodostavat
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö
Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Toisen kertaluvun täydellinen lineaarinen yhtälö muotoa p 2 (x)y + p 1 (x)y
Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt. osa 2 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.
Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja
7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien
10 Matriisit ja yhtälöryhmät
10 Matriisit ja yhtälöryhmät Tässä luvussa esitellään uusi tapa kirjoittaa lineaarinen yhtälöryhmä matriisien avulla käyttäen hyväksi matriisikertolaskua sekä sarakevektoreita Pilkotaan sitä varten yhtälöryhmän
Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmä
1 / 25 : Se on menetelmä lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemiseksi. Sitä käytetään myöhemmin myös käänteismatriisin määräämisessä. Ideana on tiettyjä rivioperaatioita käyttäen muokata yhtälöryhmää niin,
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
Matemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo
Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva).
6 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖISTÄ Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). Newtonin II:n lain (ma missä Yhtälö dh dt m dh dt F) mukaan mg, on kiihtyvyys ja
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin
Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170
Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170 Seuraavissa luvuissa matriisit ja vektori ajatellaan kompleksisiksi, ts. kertojakuntana oletetaan olevan aina kompleksilukujoukko C Huomaa, että reaalilukujoukko
Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit
Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaarinen yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, (1) voidaan esittää
Esimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt
Esimerkki 4.4. Määrää matriisin 2 2 1 A = 1 3 1 2 4 3 ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt det(a λi ) = 1 + 2 λ 2 1 + 1 λ 1 λ 1 3 λ 1 = 1 3 λ 1 2 4 3 λ 2 4 3 λ 1 λ = 1 4 λ 1 = (1 λ)( 1)1+1 4 λ 1 2 6 3
MS-A Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Harjoitus 6 loppuviikko
MS-A0107 - Differentiaali- integraalilaskenta 1 (CHEM) Harjoitus 6 loppuviikko 1 Tehtävä Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut: Ratkaisu: a) y y 2y = 4x, b) y + 4y = sin 3x, c) y + 2y + 5y = e x
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot
Matemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus 1. Ratkaise y + y + y = x. Kommentti: Yleinen työlista ratkaistaessa lineaarista, vakiokertoimista toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä
MS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä
Epähomogeenisen yhtälön ratkaisu
Epähomogeenisen yhtälön ratkaisu Lause Olkoot a = a(x), b = b(x) ja f = f(x) jatkuvia funktioita välillä I R ja olkoot y 1 = y 1 (x) ja y 2 = y 2 (x) eräs homogeeniyhtälön y + a(x)y + b(x)y = 0 ratkaisujen
Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
Ennakkotehtävän ratkaisu
Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb
802118P Lineaarialgebra I (4 op)
802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu
6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI
6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,
Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa
Normaaliryhmä Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa x = u(t,x,y), y t I, = v(t,x,y), Funktiot u = u(t,x,y), t I ja v = v(t,x,y), t I ovat tunnettuja Toisen kertaluvun normaaliryhmän ratkaisu
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen
Matematiikka B2 - TUDI
Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
Matemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, kevät 01 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi. harjoitus, viikko 1 R1 ke 1 16 D11 (..) R to 10 1 D11 (..) 1. Määritä funktion y(x) MacLaurinin sarjan kertoimet, kun y(0) = ja y (x) = (x
y = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
Osa 11. Differen-aaliyhtälöt
Osa 11. Differen-aaliyhtälöt Differen-aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk-on derivaa
Matematiikka B2 - Avoin yliopisto
6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
s = 11 7 t = = 2 7 Sijoittamalla keskimmäiseen yhtälöön saadaan: k ( 2) = 0 2k = 8 k = 4
BM0A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 5, Syksy 05. (a) i. Jotta vektori c sijaitsisi a:n ja b:n virittämällä tasolla, c on voitava esittää a:n ja b:n lineaarikombinaationa. c ta + sb
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma
10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
37. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaalihtälöt Tarkastelemme muotoa () ( x) + a( x) ( x) + a( x) ( x) = b( x) olevia htälöitä, missä kerroinfunktiot ja oikea puoli ovat välillä I jatkuvia. Edellisen
Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö
Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö x 2 y xy =1/x. 1 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 1/20 20 Esimerkki 2 Ratkaise differentiaaliyhtälö x(ln y)y y ln x =0. 2 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
Osoita, että eksponenttifunktio ja logaritmifunktio ovat differentiaaliyhtälön
3. Lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1. Lineaariyhtälöiden teoriaa 99. Onko differentiaaliyhtälö y + x(y y )=y + 1 a) lineaarinen, b) homogeeninen? 100. Olkoot funktiot f (x) ja g(x) jatkuvasti derivoituvia
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
Insinöörimatematiikka D, 406 6 laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Ratkaistaan differentiaaliyhtälö y = y () Tässä = d dy eli kyseessä on lineaarinen kertaluvun differentiaaliyhtälö: Yhtälön () homogenisoidulle
2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio
x = x 2 = 5/2 x 3 = 2 eli Ratkaisu on siis x = (x x 2 x 3 ) = ( 5/2 2) (Tarkista sijoittamalla!) 5/2 2 Tämä piste on alkuperäisten tasojen ainoa leikkauspiste Se on myös piste/vektori jonka matriisi A
13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
MS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Lineaarikuvaukset Lineaarikuvaus Olkoot U ja V
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 6.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Kertausta: Kääntyvien matriisien lause Lause 1 Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä.
Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (
MS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon
MS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt QR-hajotelma ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto PNS-ongelma PNS-ongelma
3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset
31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2292015 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita
Numeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 4 To 15.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 4 To 15.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Lineaarinen yhtälöryhmä Lineaarinen yhtälöryhmä matriisimuodossa Ax = b
Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden