Insinöörimatematiikka D

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Insinöörimatematiikka D"

Transkriptio

1 Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 13 1 of 21

2 Kertausta Tunnettuja sarjakehitelmiä 1 1 x = 1+x +x2 +x 3 + +x n +, kun x < 1 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 13 2 of 21

3 Kertausta Tunnettuja sarjakehitelmiä 1 1 x = 1+x +x2 +x 3 + +x n +, kun x < 1 e x = 1+x + x2 2! + x3 xn 3! + + n! + M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 13 2 of 21

4 Kertausta Tunnettuja sarjakehitelmiä 1 1 x = 1+x +x2 +x 3 + +x n +, kun x < 1 e x = 1+x + x2 2! + x3 xn 3! + + n! + sinx = x x3 3! + x5 x2n+1 5! +( 1)n (2n+1)! + M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 13 2 of 21

5 Kertausta Tunnettuja sarjakehitelmiä 1 1 x = 1+x +x2 +x 3 + +x n +, kun x < 1 e x = 1+x + x2 2! + x3 xn 3! + + n! + sinx = x x3 3! + x5 x2n+1 5! +( 1)n (2n+1)! + cosx = 1 x2 2! + x4 x2n 4! +( 1)n (2n)! + M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 13 2 of 21

6 Sarjaratkaisut M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 13 3 of 21

7 Sarjaratkaisut Kertaus Toisen kertaluvun lineaarinen DY y +a(x)y +b(x)y = c(x) voidaan ratkaista täydellisesti jos homogeeniselle DY:lle löytyy yksikin ratkaisu. y +a(x)y +b(x)y = 0 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 13 3 of 21

8 Sarjaratkaisut Sarjaratkaisu Jos a(x) ja b(x) ovat riittävän säännöllisiä, voidaan DY:n y +a(x)y +b(x)y = 0 ratkaisu löytää Taylorin kehitelmän y = a 0 +a 1 x +a 2 x 2 +a 3 x avulla. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 13 4 of 21

9 Sarjaratkaisut Astrofyysikko Robert Emden päätyi laskuissaan 1900-luvun alussa differentiaaliyhtälöön 1 d x 2 dx alkuehdoilla y(0) = 1 ja y (0) = 0. ( ) x 2dy +y n = 0. dx M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 13 5 of 21

10 Sarjaratkaisut Astrofyysikko Robert Emden päätyi laskuissaan 1900-luvun alussa differentiaaliyhtälöön 1 d x 2 dx ( ) x 2dy +y n = 0. dx alkuehdoilla y(0) = 1 ja y (0) = 0. Tapauksessa n = 1 tämä voidaan kirjoittaa muotoon xy +2y +xy = 0. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 13 5 of 21

11 Sarjaratkaisut (jatkoa) Fysikaalisen luonteensa perusteella DY:llä xy +2y +xy = 0. alkuehdoilla y(0) = 1 ja y (0) = 0 pitäisi olla kaunis ratkaisu. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 13 6 of 21

12 Sarjaratkaisut (jatkoa) Fysikaalisen luonteensa perusteella DY:llä xy +2y +xy = 0. alkuehdoilla y(0) = 1 ja y (0) = 0 pitäisi olla kaunis ratkaisu. Tehdään ratkaisusta sarjakehitelmäyrite y = a 0 +a 1 x +a 2 x 2 + = a n x n. n=0 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 13 6 of 21

13 Sarjaratkaisut (jatkoa) Fysikaalisen luonteensa perusteella DY:llä xy +2y +xy = 0. alkuehdoilla y(0) = 1 ja y (0) = 0 pitäisi olla kaunis ratkaisu. Tehdään ratkaisusta sarjakehitelmäyrite y = a 0 +a 1 x +a 2 x 2 + = a n x n. n=0 Alkuehdot huomioiden päädytään lopulta ratkaisuun y(x) = sinx x. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 13 6 of 21

14 Sarjaratkaisut 114 Tarkastellaan valon diffraktioon liittyvä Airyn differentiaaliyhtälöä y +xy = 0 alkuehdoilla y(0) = 0 ja y (0) = 1. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 13 7 of 21

15 Kertausta Vakiokertoiminen lineaarinen DY Vakiokertoimisen lineaarisen DY:n a n y (n) +a n 1 y (n 1) +...+a 2 y +a 1 y +a 0 y = b(x) ratkaiseminen: M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 13 8 of 21

16 Kertausta Vakiokertoiminen lineaarinen DY Vakiokertoimisen lineaarisen DY:n a n y (n) +a n 1 y (n 1) +...+a 2 y +a 1 y +a 0 y = b(x) ratkaiseminen: Etsitään homogenisoidun DY:n kaikki ratkaisut y 1,y 2,...,y n karakterisen polynomin nollakohtina. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 13 8 of 21

17 Kertausta Vakiokertoiminen lineaarinen DY Vakiokertoimisen lineaarisen DY:n a n y (n) +a n 1 y (n 1) +...+a 2 y +a 1 y +a 0 y = b(x) ratkaiseminen: Etsitään homogenisoidun DY:n kaikki ratkaisut y 1,y 2,...,y n karakterisen polynomin nollakohtina. Etsitään eräs alkuperäisen DY:n yksittäisratkaisu y 0. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 13 8 of 21

18 Kertausta Vakiokertoiminen lineaarinen DY Vakiokertoimisen lineaarisen DY:n a n y (n) +a n 1 y (n 1) +...+a 2 y +a 1 y +a 0 y = b(x) ratkaiseminen: Etsitään homogenisoidun DY:n kaikki ratkaisut y 1,y 2,...,y n karakterisen polynomin nollakohtina. Etsitään eräs alkuperäisen DY:n yksittäisratkaisu y 0. Yhdistettynä saadaan kaikki ratkaisut muodossa: C 1 y 1 +C 2 y 2 + C n y n +y 0. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 13 8 of 21

19 Kertausta Olkoon karakteristisella yhtälöllä erisuuret ratkaisut λ 1,...,λ k. Tällöin vakiokertoimisella homogeenisella DY:llä on lineaarisesti riippumattomat ratkaisut e λ 1t,...,e λ kt. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 13 9 of 21

20 Kertausta Olkoon karakteristisella yhtälöllä erisuuret ratkaisut λ 1,...,λ k. Tällöin vakiokertoimisella homogeenisella DY:llä on lineaarisesti riippumattomat ratkaisut e λ 1t,...,e λ kt. Jos karakteristisella yhtälöllä on j-kertainen juuri λ i, on vakiokertoimisella homogeenisella DY:llä lineaarisesti riippumattomat ratkaisut e λ it,te λ it,t 2 e λ it,...,t j 1 e λ it. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 13 9 of 21

21 Kertausta Olkoon karakteristisella yhtälöllä erisuuret ratkaisut λ 1,...,λ k. Tällöin vakiokertoimisella homogeenisella DY:llä on lineaarisesti riippumattomat ratkaisut e λ 1t,...,e λ kt. Jos karakteristisella yhtälöllä on j-kertainen juuri λ i, on vakiokertoimisella homogeenisella DY:llä lineaarisesti riippumattomat ratkaisut e λ it,te λ it,t 2 e λ it,...,t j 1 e λ it. Jos reaalikertoimisella karakteristisella polynomilla on kompleksinen juuri λ, on tämän liittoluku λ myös ratkaisu. Merkitään λ = α+iβ (λ = α iβ). Tällöin ratkaisut e λt ja e λt voidaan korvata reaalisilla ratkaisuilla e αt cos(βt) ja e αt sin(βt). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 13 9 of 21

22 Yksittäisratkaisun etsiminen Yksittäisratkaisu Laplace-muunnoksilla Menetelmä: Ottamalla alkuperäisestä DY:stä Laplace-muunnokset puolittain voidaan näin saadusta yhtälöstä ratkaista L[y] = Y(s). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21

23 Yksittäisratkaisun etsiminen Yksittäisratkaisu Laplace-muunnoksilla Menetelmä: Ottamalla alkuperäisestä DY:stä Laplace-muunnokset puolittain voidaan näin saadusta yhtälöstä ratkaista L[y] = Y(s). Edelleen voidaan löytää Laplace-muunnosta vastaava originaalifunktio y(x), joka on siis eräs yksittäisratkaisu. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21

24 Yksittäisratkaisun etsiminen Yksittäisratkaisu Laplace-muunnoksilla Menetelmä: Ottamalla alkuperäisestä DY:stä Laplace-muunnokset puolittain voidaan näin saadusta yhtälöstä ratkaista L[y] = Y(s). Edelleen voidaan löytää Laplace-muunnosta vastaava originaalifunktio y(x), joka on siis eräs yksittäisratkaisu. Yksittäisratkaisu määräämättömien kertoimien menetelmällä Tehdään DY:n oikean puolen funktion b(x) perusteella valistunut, määräämättömiä kertoimia sisältävä yrite (arvaus) yksittäisratkaisun muodosta. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21

25 Yksittäisratkaisun etsiminen Yksittäisratkaisu Laplace-muunnoksilla Menetelmä: Ottamalla alkuperäisestä DY:stä Laplace-muunnokset puolittain voidaan näin saadusta yhtälöstä ratkaista L[y] = Y(s). Edelleen voidaan löytää Laplace-muunnosta vastaava originaalifunktio y(x), joka on siis eräs yksittäisratkaisu. Yksittäisratkaisu määräämättömien kertoimien menetelmällä Tehdään DY:n oikean puolen funktion b(x) perusteella valistunut, määräämättömiä kertoimia sisältävä yrite (arvaus) yksittäisratkaisun muodosta. Sijoittamalla yrite alkuperäiseen DY:hyn ratkaistaan määräämättömät kertoimet. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21

26 Määräämättömien kertoimien menetelmä Ratkaistaan homogeeninen DY y 6y +8y = 0. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21

27 Määräämättömien kertoimien menetelmä Ratkaistaan homogeeninen DY y 6y +8y = 0. Yritteen y = e λx ja karakterisen polynomin avulla saadaan yleinen ratkaisu: y = C 1 e 2x +C 2 e 4x. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21

28 Määräämättömien kertoimien menetelmä Ratkaistaan homogeeninen DY y 6y +8y = 0. Yritteen y = e λx ja karakterisen polynomin avulla saadaan yleinen ratkaisu: y = C 1 e 2x +C 2 e 4x. Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 4. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21

29 Määräämättömien kertoimien menetelmä Ratkaistaan homogeeninen DY y 6y +8y = 0. Yritteen y = e λx ja karakterisen polynomin avulla saadaan yleinen ratkaisu: y = C 1 e 2x +C 2 e 4x. Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 4. Tehdään yrite y = A ja sijoitetaan se DY:hyn. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21

30 Määräämättömien kertoimien menetelmä Ratkaistaan homogeeninen DY y 6y +8y = 0. Yritteen y = e λx ja karakterisen polynomin avulla saadaan yleinen ratkaisu: y = C 1 e 2x +C 2 e 4x. Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 4. Tehdään yrite y = A ja sijoitetaan se DY:hyn. Saadaan yksittäisratkaisuksi y 0 = 1/2. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21

31 Määräämättömien kertoimien menetelmä Ratkaistaan homogeeninen DY y 6y +8y = 0. Yritteen y = e λx ja karakterisen polynomin avulla saadaan yleinen ratkaisu: y = C 1 e 2x +C 2 e 4x. Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 4. Tehdään yrite y = A ja sijoitetaan se DY:hyn. Saadaan yksittäisratkaisuksi y 0 = 1/2. Kaikki ratkaisut ovat siis muotoa y = C 1 e 2x +C 2 e 4x 1/2. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21

32 Määräämättömien kertoimien menetelmä Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 8x. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21

33 Määräämättömien kertoimien menetelmä Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 8x. Tehdään yrite y = Ax +B ja sijoitetaan se DY:hyn. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21

34 Määräämättömien kertoimien menetelmä Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 8x. Tehdään yrite y = Ax +B ja sijoitetaan se DY:hyn. Saadaan yksittäisratkaisuksi y 0 = x +3/4. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21

35 Määräämättömien kertoimien menetelmä Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 8x. Tehdään yrite y = Ax +B ja sijoitetaan se DY:hyn. Saadaan yksittäisratkaisuksi y 0 = x +3/4. Kaikki ratkaisut ovat siis muotoa y = C 1 e 2x +C 2 e 4x +x +3/4. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21

36 Määräämättömien kertoimien menetelmä Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 8x. Tehdään yrite y = Ax +B ja sijoitetaan se DY:hyn. Saadaan yksittäisratkaisuksi y 0 = x +3/4. Kaikki ratkaisut ovat siis muotoa y = C 1 e 2x +C 2 e 4x +x +3/4. Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 5cos2x. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21

37 Määräämättömien kertoimien menetelmä Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 8x. Tehdään yrite y = Ax +B ja sijoitetaan se DY:hyn. Saadaan yksittäisratkaisuksi y 0 = x +3/4. Kaikki ratkaisut ovat siis muotoa y = C 1 e 2x +C 2 e 4x +x +3/4. Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 5cos2x. Tehdään yrite y = Acos2x +Bsin2x ja sijoitetaan se DY:hyn. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21

38 Määräämättömien kertoimien menetelmä Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 8x. Tehdään yrite y = Ax +B ja sijoitetaan se DY:hyn. Saadaan yksittäisratkaisuksi y 0 = x +3/4. Kaikki ratkaisut ovat siis muotoa y = C 1 e 2x +C 2 e 4x +x +3/4. Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 5cos2x. Tehdään yrite y = Acos2x +Bsin2x ja sijoitetaan se DY:hyn. Saadaan yksittäisratkaisuksi y 0 = 1 8 (cos2x 3sin2x). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21

39 Määräämättömien kertoimien menetelmä Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 8x. Tehdään yrite y = Ax +B ja sijoitetaan se DY:hyn. Saadaan yksittäisratkaisuksi y 0 = x +3/4. Kaikki ratkaisut ovat siis muotoa y = C 1 e 2x +C 2 e 4x +x +3/4. Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 5cos2x. Tehdään yrite y = Acos2x +Bsin2x ja sijoitetaan se DY:hyn. Saadaan yksittäisratkaisuksi y 0 = 1 8 (cos2x 3sin2x). Kaikki ratkaisut ovat muotoa y = C 1 e 2x +C 2 e 4x (cos2x 3sin2x). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21

40 Määräämättömien kertoimien menetelmä Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 4e 2x. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21

41 Määräämättömien kertoimien menetelmä Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 4e 2x. Tehdään yrite y = Ae 2x ja sijoitetaan se DY:hyn. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21

42 Määräämättömien kertoimien menetelmä Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 4e 2x. Tehdään yrite y = Ae 2x ja sijoitetaan se DY:hyn. Saadaan yksittäisratkaisuksi y 0 = 1 6 e 2x. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21

43 Määräämättömien kertoimien menetelmä Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 4e 2x. Tehdään yrite y = Ae 2x ja sijoitetaan se DY:hyn. Saadaan yksittäisratkaisuksi y 0 = 1 6 e 2x. Kaikki ratkaisut ovat siis muotoa y = C 1 e 2x +C 2 e 4x 1 6 e 2x. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21

44 Määräämättömien kertoimien menetelmä Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 2e 2x. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21

45 Määräämättömien kertoimien menetelmä Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle Koetetaan yritettä y = Ae 2x. y 6y +8y = 2e 2x. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21

46 Määräämättömien kertoimien menetelmä Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 2e 2x. Koetetaan yritettä y = Ae 2x. Huomataan, että yrite y = Ae 2x ei toimi, sillä e 2x on eräs homogeenisen DY:n ratkaisu. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21

47 Määräämättömien kertoimien menetelmä Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 2e 2x. Koetetaan yritettä y = Ae 2x. Huomataan, että yrite y = Ae 2x ei toimi, sillä e 2x on eräs homogeenisen DY:n ratkaisu. Tehdään uusi yrite y = Axe 2x ja sijoitetaan se DY:hyn. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21

48 Määräämättömien kertoimien menetelmä Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 2e 2x. Koetetaan yritettä y = Ae 2x. Huomataan, että yrite y = Ae 2x ei toimi, sillä e 2x on eräs homogeenisen DY:n ratkaisu. Tehdään uusi yrite y = Axe 2x ja sijoitetaan se DY:hyn. Saadaan yksittäisratkaisuksi y 0 = xe 2x. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21

49 Määräämättömien kertoimien menetelmä Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 2e 2x. Koetetaan yritettä y = Ae 2x. Huomataan, että yrite y = Ae 2x ei toimi, sillä e 2x on eräs homogeenisen DY:n ratkaisu. Tehdään uusi yrite y = Axe 2x ja sijoitetaan se DY:hyn. Saadaan yksittäisratkaisuksi y 0 = xe 2x. Kaikki ratkaisut ovat muotoa y = C 1 e 2x +C 2 e 4x xe 2x. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21

50 Määräämättömien kertoimien menetelmä Jos differentiaaliyhtälöllä on riippumattomat ratkaisut e λ it,te λ it,t 2 e λ it,...,t j 1 e λ it. ja tarvitaan yrite jollekin lineaarikombinaatiolle näistä, pitää yritteen sisältää termi t j e λ it. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21

51 Määräämättömien kertoimien menetelmä Yksittäisratkaisujen yhdistäminen Yksittäisratkaisuja voidaan yhdistellä luonnollisella tavalla, kuten seuraavassa esimerkissä havainnollistetaan. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21

52 Määräämättömien kertoimien menetelmä Yksittäisratkaisujen yhdistäminen Yksittäisratkaisuja voidaan yhdistellä luonnollisella tavalla, kuten seuraavassa esimerkissä havainnollistetaan. Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 8x +2e 2x. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21

53 Määräämättömien kertoimien menetelmä Yksittäisratkaisujen yhdistäminen Yksittäisratkaisuja voidaan yhdistellä luonnollisella tavalla, kuten seuraavassa esimerkissä havainnollistetaan. Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 8x +2e 2x. Differentiaaliyhtälöiden y 6y +8y = 8x ja y 6y +8y = 2e 2x ratkaisut tunnetaan. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21

54 Määräämättömien kertoimien menetelmä Yksittäisratkaisujen yhdistäminen Yksittäisratkaisuja voidaan yhdistellä luonnollisella tavalla, kuten seuraavassa esimerkissä havainnollistetaan. Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 8x +2e 2x. Differentiaaliyhtälöiden y 6y +8y = 8x ja y 6y +8y = 2e 2x ratkaisut tunnetaan. Yhdistämällä nämä saadaan alkuperäisen DY:n yksittäisratkaisu y 0 = x +3/4 xe 2x. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21

55 Määräämättömien kertoimien menetelmä Yksittäisratkaisujen yhdistäminen Yksittäisratkaisuja voidaan yhdistellä luonnollisella tavalla, kuten seuraavassa esimerkissä havainnollistetaan. Etsitään jokin yksittäisratkaisu epähomogeeniselle DY:lle y 6y +8y = 8x +2e 2x. Differentiaaliyhtälöiden y 6y +8y = 8x ja y 6y +8y = 2e 2x ratkaisut tunnetaan. Yhdistämällä nämä saadaan alkuperäisen DY:n yksittäisratkaisu y 0 = x +3/4 xe 2x. Kaikki ratkaisut ovat muotoa y = C 1 e 2x +C 2 e 4x +x +3/4 xe 2x. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21

56 Matriisit Määritelmä Matriisi A on kaavio A = A 11 A A 1n A 21 A A 2n A m1 A m2... A mn. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21

57 Matriisit Määritelmä Matriisi A on kaavio A = A 11 A A 1n A 21 A A 2n A m1 A m2... A mn. Tyyppi m n: m riviä, n saraketta. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21

58 Matriisit Määritelmä Matriisi A on kaavio A = A 11 A A 1n A 21 A A 2n A m1 A m2... A mn. Tyyppi m n: m riviä, n saraketta. A ij : matriisin alkiot M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21

59 Matriisit Määritelmä Matriisi A on kaavio A = A 11 A A 1n A 21 A A 2n A m1 A m2... A mn. Tyyppi m n: m riviä, n saraketta. A ij : matriisin alkiot A ij R: reaalinen matriisi M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21

60 Matriisit Määritelmä Matriisi A on kaavio A = A 11 A A 1n A 21 A A 2n A m1 A m2... A mn. Tyyppi m n: m riviä, n saraketta. A ij : matriisin alkiot A ij R: reaalinen matriisi A ij C: kompleksinen matriisi M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21

61 Matriisit Matriisien alkeisoperaatiot Kahden rivin järjestyksen vaihtaminen Rivin kertominen nollasta eroavalla vakiolla Rivin lisääminen toiseen vakiolla kerrottuna M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21

62 Matriisit Matriisien alkeisoperaatiot Kahden rivin järjestyksen vaihtaminen Rivin kertominen nollasta eroavalla vakiolla Rivin lisääminen toiseen vakiolla kerrottuna Määritelmä Jos matriisi B saadaan matriisista A alkeisoperaatioilla, sanotaan että matriisi A on riviekvivalentti B:n kanssa ja merkitään A B. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21

63 Matriisit Matriisien alkeisoperaatiot Kahden rivin järjestyksen vaihtaminen Rivin kertominen nollasta eroavalla vakiolla Rivin lisääminen toiseen vakiolla kerrottuna Määritelmä Jos matriisi B saadaan matriisista A alkeisoperaatioilla, sanotaan että matriisi A on riviekvivalentti B:n kanssa ja merkitään A B. Huom.: A B on ekvivalenssirelaatio. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21

64 Matriisit Määritelmä Matriisi A on porrasmuodossa, jos sen jokainen rivi alkaa nollilla, joita on enemmän kuin millään ylemmällä rivillä. Ensimmäisen rivin ei tarvitse alkaa nollalla ja jostain rivistä alkaen rivit voivat koostua kokonaan nollista. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21

65 Matriisit Määritelmä Matriisi A on porrasmuodossa, jos sen jokainen rivi alkaa nollilla, joita on enemmän kuin millään ylemmällä rivillä. Ensimmäisen rivin ei tarvitse alkaa nollalla ja jostain rivistä alkaen rivit voivat koostua kokonaan nollista. Pisteet merkitsevät nollia M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21

66 Matriisit Matriisi A on redusoidussa porrasmuodossa, jos A on porrasmuodossa A:n jokaisen rivin ensimmäinen nollasta poikkeava alkio on 1. A:n jokaisen rivin ensimmäisen nollasta poikkeavan alkion yläpuolella on vain nollia. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21

67 Matriisit Matriisi A on redusoidussa porrasmuodossa, jos A on porrasmuodossa A:n jokaisen rivin ensimmäinen nollasta poikkeava alkio on 1. A:n jokaisen rivin ensimmäisen nollasta poikkeavan alkion yläpuolella on vain nollia Pisteet merkitsevät nollia ja asteriskit mitä tahansa lukuja. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21

68 Matriisit Gaussin-Jordanin menetelmä Jokainen matriisi saadaan alkeisoperaatioilla redusoituun porrasmuotoon käyttämällä Gaussin-Jordanin menetelmää. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21

69 Matriisit Gaussin-Jordanin menetelmä Jokainen matriisi saadaan alkeisoperaatioilla redusoituun porrasmuotoon käyttämällä Gaussin-Jordanin menetelmää. Määritelmä Matriisiin A aste (rank) r(a) on sen (redusoidun) porrasmatriisin porrasluku (nollarivistä eroavien rivien määrä), joka saadaan A:sta alkeisoperaatioilla. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot of 21

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 5.4.06 5. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut. Etsitään homogeenisen vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön kaikki ratkaisut (reaalisessa muodossa). y (5) +4y (4)

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1

Lisätiedot

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto 2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Homogeeninen yhtälö on muotoa F(x, y,, y (n) ) = 0. (1) Yhtälö on lineaarinen, jos se voidaan

Lisätiedot

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon Jos r(x)

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Käänteismatriisin ominaisuuksia

Käänteismatriisin ominaisuuksia Käänteismatriisin ominaisuuksia Lause 1.4. Jos A ja B ovat säännöllisiä ja luku λ 0, niin 1) (A 1 ) 1 = A 2) (λa) 1 = 1 λ A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1 4) (A T ) 1 = (A 1 ) T. Tod.... Ortogonaaliset matriisit

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / 16. 18.5. Lineaariset differentiaaliyhtälöt, homogeeniset differentiaaliyhtälöt Tehtävä 1: a) Määritä differentiaaliyhtälön y 3y = 14e 4x

Lisätiedot

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut 2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja

Lisätiedot

3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T

3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T 3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T Huomautus epälineaarisista. kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Epälineaarisen DY:n ratkaisemiseen ei ole yleismenetelmää. Seuraavat erikoistapaukset voidaan ratkaista

Lisätiedot

4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt

4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt c Pekka Alestalo 2015 Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin differentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Luennolla lasketaan esimerkkitehtäviä

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 17. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................

Lisätiedot

a 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0

a 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0 6. Lineaariset toisen kertaluvun yhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt ovat tuntuvasti hankalampia ratkaista kuin ensimmäinen. Käsittelemmekin tässä vain tärkeintä erikoistapausta, toisen kertaluvun

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt

1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt Teknillinen korkeakoulu Matematiikka Dierentiaaliyhtälöt Alestalo Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin dierentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Esimerkkejä luennoilla

Lisätiedot

Vektoreiden virittämä aliavaruus

Vektoreiden virittämä aliavaruus Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 14. helmikuuta 2011 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun olemassaolosta ja yksikäsitteisyydestä...........

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

5 Lineaariset yhtälöryhmät

5 Lineaariset yhtälöryhmät 5 Lineaariset yhtälöryhmät Edellisen luvun lopun esimerkissä päädyttiin yhtälöryhmään, jonka ratkaisemisesta riippui, kuuluuko tietty vektori eräiden toisten vektorien virittämään aliavaruuteen Tämäntyyppisiä

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, syksy 2016 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus, viikko 49 R1 to 12 14 F453 (8.12.) R2 to 14 16 F345 (8.12.) R3 ke 8 10 F345 (7.11.) 1. Määritä funktion f (x) = 1 Taylorin sarja

Lisätiedot

Mat Matematiikan peruskurssi K2

Mat Matematiikan peruskurssi K2 Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT

5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Ensimmäisen kl:n DY-ryhmät Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Useimmat voidaan mallintaa ensimmäisen kertaluvun DY-ryhmien avulla. Ensimmäisen kl:n

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt. osa 2 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.

Lisätiedot

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja 7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo

Lisätiedot

Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva).

Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). 6 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖISTÄ Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). Newtonin II:n lain (ma missä Yhtälö dh dt m dh dt F) mukaan mg, on kiihtyvyys ja

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaarinen yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, (1) voidaan esittää

Lisätiedot

MS-A Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Harjoitus 6 loppuviikko

MS-A Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Harjoitus 6 loppuviikko MS-A0107 - Differentiaali- integraalilaskenta 1 (CHEM) Harjoitus 6 loppuviikko 1 Tehtävä Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut: Ratkaisu: a) y y 2y = 4x, b) y + 4y = sin 3x, c) y + 2y + 5y = e x

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot

Lisätiedot

Esimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt

Esimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt Esimerkki 4.4. Määrää matriisin 2 2 1 A = 1 3 1 2 4 3 ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt det(a λi ) = 1 + 2 λ 2 1 + 1 λ 1 λ 1 3 λ 1 = 1 3 λ 1 2 4 3 λ 2 4 3 λ 1 λ = 1 4 λ 1 = (1 λ)( 1)1+1 4 λ 1 2 6 3

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus 1. Ratkaise y + y + y = x. Kommentti: Yleinen työlista ratkaistaessa lineaarista, vakiokertoimista toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä

Lisätiedot

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI 6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,

Lisätiedot

Matematiikka B2 - TUDI

Matematiikka B2 - TUDI Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Osa 11. Differen-aaliyhtälöt

Osa 11. Differen-aaliyhtälöt Osa 11. Differen-aaliyhtälöt Differen-aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk-on derivaa

Lisätiedot

802118P Lineaarialgebra I (4 op)

802118P Lineaarialgebra I (4 op) 802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 37. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaalihtälöt Tarkastelemme muotoa () ( x) + a( x) ( x) + a( x) ( x) = b( x) olevia htälöitä, missä kerroinfunktiot ja oikea puoli ovat välillä I jatkuvia. Edellisen

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma

Lisätiedot

Osoita, että eksponenttifunktio ja logaritmifunktio ovat differentiaaliyhtälön

Osoita, että eksponenttifunktio ja logaritmifunktio ovat differentiaaliyhtälön 3. Lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1. Lineaariyhtälöiden teoriaa 99. Onko differentiaaliyhtälö y + x(y y )=y + 1 a) lineaarinen, b) homogeeninen? 100. Olkoot funktiot f (x) ja g(x) jatkuvasti derivoituvia

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 406 6 laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Ratkaistaan differentiaaliyhtälö y = y () Tässä = d dy eli kyseessä on lineaarinen kertaluvun differentiaaliyhtälö: Yhtälön () homogenisoidulle

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen

Lisätiedot

2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio

2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio x = x 2 = 5/2 x 3 = 2 eli Ratkaisu on siis x = (x x 2 x 3 ) = ( 5/2 2) (Tarkista sijoittamalla!) 5/2 2 Tämä piste on alkuperäisten tasojen ainoa leikkauspiste Se on myös piste/vektori jonka matriisi A

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Lineaarikuvaukset Lineaarikuvaus Olkoot U ja V

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 6.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Kertausta: Kääntyvien matriisien lause Lause 1 Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä.

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt QR-hajotelma ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto PNS-ongelma PNS-ongelma

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Lineaarikuvaus

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 4 To 15.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 4 To 15.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Lineaarinen yhtälöryhmä Lineaarinen yhtälöryhmä matriisimuodossa Ax = b

Lisätiedot

1 Rajoittamaton optimointi

1 Rajoittamaton optimointi Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y

Lisätiedot

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt

Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöksi (lyh. DY) sanotaan yhtälöä, jossa on tuntemattomana jokin funktio y(x) ja jossa esiintyy sen derivaattoja y, y, y, y (4),... Esimerkiksi y + y = x, y y + y

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät 1 1 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT Muotoa 11 Lineaariset yhtälöryhmät (1) a 1 x 1 + a x + + a n x n b oleva yhtälö on tuntemattomien x 1,, x n lineaarinen yhtälö, jonka kertoimet ovat luvut a 1,,

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 3 Ti 13.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 3 Ti 13.9.2011 p. 1/37 p. 1/37 Epälineaariset yhtälöt Newtonin menetelmä: x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Sekanttimenetelmä:

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä

Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 29 Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä Todetaan ensin ilman todistuksia (tulos on syvällinen) ratkaisujen

Lisätiedot

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien

Lisätiedot

4. Lasketaan transienttivirrat ja -jännitteet kuvan piiristä. Piirielimien arvot ovat C =

4. Lasketaan transienttivirrat ja -jännitteet kuvan piiristä. Piirielimien arvot ovat C = BMA58 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 6, Syksy 5. Olkoon [ 6 6 A =, B = 4 [ 3 4, C = 4 3 [ 5 Määritä matriisien A ja C ominaisarvot ja ominaisvektorit. Näytä lisäksi että matriisilla B

Lisätiedot

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1 1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin

Lisätiedot

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear

Lisätiedot

Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13

Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13 4/3/3 Osa. Differen0aaliyhtälöt Differen0aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk0on derivaa?a. Esim: dx = x2 f x + f xy 2 2m d 2 ψ = Eψ dx 2 Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais Differen0aaliyhtälöt

Lisätiedot