Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162

Transkriptio

1 Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162

2 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/162 Kertausta Vektorin u = (u 1,u 2 ) R 2 pituus u = u 2 1 +u2 2 Vektorien u ja v = (v 1,v 2 ) sisätulo (u,v) = u v = u 1 v 1 +u 2 v 2. Muistetaan, että u 2 = (u,u).

3 Lineaarialgebra (muut ko) p. 3/162 Kertausta Kommutatiivisuus u+v = v+u Sisätulolle (u+v,w) = (u,w)+(v,w).

4 Lineaarialgebra (muut ko) p. 4/162 Kertausta Avaruusvektorit Suoran L standardiesitys R 3 = {(x,y,z) x,y,z R}. x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c missä P = (x 0,y 0,z 0 ) on jokin L:n piste ja s = (a,b,c) (0,0,0) on suoran suuntavektori P s

5 Lineaarialgebra (muut ko) p. 5/162 Kertausta Suoran L koordinaattimuotoinen parametriesitys x = x 0 +ta y = y 0 +tb z = z 0 +tc (t R)

6 Lineaarialgebra (muut ko) p. 6/162 Mitä yhtälöryhmälle saa tehdä? 1) Yhtälön voi kertoa vakiolla 0 2) Yhtälön voi lisätä toiseen vakiolla kerrottuna 3) Yhtälöiden järjestystä voi vaihtaa

7 Lineaarialgebra (muut ko) p. 7/162 MATRIISIT: Johdanto (k = 20) { 2x+3y = 0 4x+ky = 0 Ratkaisuja 1, kun 2 k 3 4 0, Ratkaisuja, kun 2 k 3 4 = 0 (eli k = 6).

8 Lineaarialgebra (muut ko) p. 7/162 MATRIISIT: Johdanto (k = 7) { 2x+3y = 0 4x+ky = 0 Ratkaisuja 1, kun 2 k 3 4 0, Ratkaisuja, kun 2 k 3 4 = 0 (eli k = 6).

9 Lineaarialgebra (muut ko) p. 7/162 MATRIISIT: Johdanto { 2x+3y = 1 4x+ky = 5 Ratkaisuja 1, kun 2 k 3 4 0,

10 Lineaarialgebra (muut ko) p. 7/162 MATRIISIT: Johdanto { 2x+3y = 1 4x+ky = 5 Ei ratkaisuja, kun 2 k 3 4 = 0, eli k = 6.

11 Lineaarialgebra (muut ko) p. 8/162 MATRIISIT: Johdanto Kertoimista "matriisi" ( k ) ja "determinantti" k = 2k 3 4

12 Lineaarialgebra (muut ko) p. 9/162 Lineaarialgebra? Tutkitaan ratkaisuja 5x + y + t = 1 3x y + 2z t = 2 x + y z = 0 Onko yhtälöryhmää, jossa tarkalleen 17 ratkaisua? Tutkitaan myös 2x 2 +4y 2 4z 2 +6yz 2xz +yx = 3

13 Lineaarialgebra (muut ko) p. 10/162 Johdanto Tutkitaan ratkaisuja 5x + y + t = 1 3x y + 2z t = 2 x + y z = 0

14 Lineaarialgebra (muut ko) p. 11/162 Matriisit Edellisen yhtälöryhmän kertoimista ja 1 2 0

15 Lineaarialgebra (muut ko) p. 12/162 Matriiseista Kaikkien m n-matriisien joukko M m n Nollamatriisi O = (0) m n Transponointi A T ( ) T =

16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 13/162 Matriisien tulo Matriisitulo ( ) 2 2 ( ) 2 3 =

17 Lineaarialgebra (muut ko) p. 14/162 Matriisien tulo Matriisitulo ( ) 2 2 ( ) 2 3 = ( )

18 Lineaarialgebra (muut ko) p. 15/162 Matriisien tulo Matriisitulo ( ) 2 2 ( ) 2 3 = ( )

19 Lineaarialgebra (muut ko) p. 16/162 Matriisien tulo Yleensä ei KOMMUTOI AB BA

20 Lineaarialgebra (muut ko) p. 17/162 Laskusääntöjä skalaari r R (AB)C = A(BC) A(B +C) = AB +AC (A+B)C = AC +BC r(ab) = A(rB)

21 Lineaarialgebra (muut ko) p. 18/162 Esimerkiksi { 2x + 3y = 1 4x + 5y = 3

22 Lineaarialgebra (muut ko) p. 19/162 Esimerkiksi { 2x 1 + 3x 2 = 1 4x 1 + 5x 2 = 3

23 Lineaarialgebra (muut ko) p. 20/162 Esimerkiksi { 2x 1 + 3x 2 = 1 4x 1 + 5x 2 = 3 A = ( ) x = ( x 1 x 2 ) c = ( 1 3 ) Matriisikielellä Ax = c

24 Lineaarialgebra (muut ko) p. 21/ Lineaariset yhtälöryhmät Monisteessa (2.3) a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = c 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = c 2... a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = c m

25 Lineaarialgebra (muut ko) p. 22/162 Matriisien avulla Ax = c, missä A = a 11 a a 1n a 12 a a 2n , a m1 a m2... a mn ja x = x 1 x 2. c = c 1 c 2. x n c m

26 Lineaarialgebra (muut ko) p. 23/162 Homogeenisuus Yhtälöryhmä on homogeeninen, jos Monisteessa (2.5) a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = 0... a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = 0 eli matriisimuodossa Ax = 0. Muutoin epähomogeeninen

27 Lineaarialgebra (muut ko) p. 24/162 Esimerkiksi Epähomogeeninen { 2x 1 + 3x 2 = 1 4x 1 + 5x 2 = 3 Homogeeninen { 2x 1 + 3x 2 = 0 4x 1 + 5x 2 = 0

28 Lineaarialgebra (muut ko) p. 25/162 Yhtlryhmist Epähomogeenisen yhtälöryhmän Ax = c ratkaisut x = x 0 +y missä y on homogeenisen yhtälöryhmän Ax = 0 kaikki ratkaisut ja x 0 on yksittäisratkaisu

29 Lineaarialgebra (muut ko) p. 26/162 Tulon transponointi (AB) T = B T A T Matriisi on symmetrinen, jos järjestys! A T = A Identiteettimatriisi I = I n =

30 Lineaarialgebra (muut ko) p. 27/162 Matriisin potenssi Kun kokonaisluku k 1 A k = A A A }{{} k Lisäksi A 0 = I

31 Lineaarialgebra (muut ko) p. 28/162 Matriisiyhtälöistä (s. 20) Matriisiyhtälöitä voidaan käsitellä kuten reaalilukuyhtälöitä, kunhan ei käytetä jakolaskua eikä kommutatiivisuutta

32 Lineaarialgebra (muut ko) p. 29/162 Käänteismatriisi Määritelmä käänteismatriisille eli EI MERKITÄ 1 A vaana 1 Ei aina olemassa, esim A = AB = BA = I AA 1 = A 1 A = I ( ).

33 Lineaarialgebra (muut ko) p. 30/162 Säännöllisyys A on säännöllinen, jos A 1 on olemassa.

34 Lineaarialgebra (muut ko) p. 31/162 Laskusääntöjä Olkoot A ja B säännöllisiä matriiseja: (AB) 1 = B 1 A 1 (A T ) 1 = (A 1 ) T

35 Lineaarialgebra (muut ko) p. 32/ Matriisien kertominen lohkomuodossa Lohkominen ( A B C D )( 1 0 a b 0 1 c d A B C D ) = ( ( I A O I ) AA +BC AB +BD CA +DC CB +DD ) Esimerkiksi ( I A O I )( A O I B ) = ( O AB I B )

36 Lineaarialgebra (muut ko) p. 33/162 Determinantti Neliömatriisille A: det(a) = a 11 a a 1n a 21 a a 2n a n1 a n2... a nn = kaikki permutaatiot(j 1,j 2,...,j n ) sign(j 1,j 2,...,j n )a 1j1 a 2j2...a njn

37 Lineaarialgebra (muut ko) p. 34/162 2-rivinen determinantti a b c d = ad cb

38 Lineaarialgebra (muut ko) p. 35/162 Perusominaisuuksia, s. 26 1) 2) a ca 1k... a 1n a ca 2k... a 2n a n1... ca nk... a nn det(a T ) = det(a) = c a a 1k... a 1n a a 2k... a 2n a n1... a nk... a nn vastaavasti vaakariville

39 Lineaarialgebra (muut ko) p. 36/162 Perusominaisuuksia, s. 27 3) a a 1k +b 1k... a 1n a a 2k +b 2k... a 2n a n1... a nk +b nk... a nn = a a 1k... a 1n a a 2k... a 2n a n1... a nk... a nn + a b 1k... a 1n a b 2k... a 2n a n1... b nk... a nn vastaavasti vaakariville

40 Lineaarialgebra (muut ko) p. 37/162 Perusominaisuuksia, s. 27 4) Jos pysty- tai vaakarivi on nollarivi, niin det(a) = 0. 5) Jos kaksi samaa pystyriviä (tai kaksi samaa vaakariviä), niin det(a) = 0. 6) Jos kaksi vaakariviä (tai kaksi pystyriviä) vaihdetaan keskenään, niin determinantti muuttuu vastaluvukseen.

41 Lineaarialgebra (muut ko) p. 38/162 Perusominaisuuksia, s. 27 7) = a a 1h... a 1k... a 1n a a 2h... a 2k... a 2n a n1... a nh... a nk... a nn a a 1h... a 1k +ca 1h... a 1n a a 2h... a 2k +ca 2h... a 2n a n1... a nh... a nk +ca nh... a nn vastaavasti vaakariville

42 Lineaarialgebra (muut ko) p. 39/162 Tulon determinantti det(ab) = det(a) det(b) Jos A on säännöllinen, niin det(a 1 ) = 1 det(a)

43 Lineaarialgebra (muut ko) p. 40/162 Alkion komplementti Matriisin alkion a ij komplementti C ij = ( 1) i+j det(a ij ) missä A ij saatu poistamalla matriisista A vaakarivi i ja pystyrivi j. Deteminantin rivikehitelmät (vaakariville) det(a) = a i1 C i1 + +a in C in

44 Lineaarialgebra (muut ko) p. 41/162 Alkion komplementti Matriisin alkion a ij komplementti C ij = ( 1) i+j det(a ij ) missä A ij saatu poistamalla matriisista A vaakarivi i ja pystyrivi j. Deteminantin rivikehitelmät (vaakariville) ( = ) ( ) ( )

45 Lineaarialgebra (muut ko) p. 42/162 Alkion komplementti Matriisin alkion a ij komplementti C ij = ( 1) i+j det(a ij ) missä A ij saatu poistamalla matriisista A vaakarivi i ja pystyrivi j. Deteminantin rivikehitelmät (vaakariville) det(a) = a i1 C i1 + +a in C in = n a ik C ik k=1 ja pystyriville det(a) = n a kj C kj k=1

46 Lineaarialgebra (muut ko) p. 43/162 Käänteismatriisin kaava Matriisin A liittomatriisi adj(a) = (C ij ) T Jos A on säännöllinen, niin A 1 = 1 det(a) adj(a) A on säännöllinen det(a) 0

47 Lineaarialgebra (muut ko) p. 44/162 Cramerin sääntö Jos yhtälöryhmän Ax = c kerroinmatriisi A on säännöllinen, niin sillä on yksikäsitteinen ratkaisu x j = det(a j) det(a) missä x = x 1 x 2. x n ja A j saadaan korvaamalla j:s pystyrivi c:llä

48 Lineaarialgebra (muut ko) p. 45/162 Ristitulo, s. 34 Tarkastelussa vain R 3 Olkoon u = (u 1,u 2,u 3 ) R 3 v = (v 1,v 2,v 3 ) R 3 Tiedetään, että u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 u 1 u 2 u 3 = 0 = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 v 1 v 2 v 3

49 Lineaarialgebra (muut ko) p. 46/162 Ristitulo Kehittämällä determinantit u 1 u 2 u 3 u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 = 0 = v 1 v 2 v 3 u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 1. vaakarivin mukaan saadaan ( u 2 u 3 0 = u 1 v 2 v 3 +u 2 u 1 u 3 v 1 v 3 ) +u 3 u 1 u 2 v 1 v 2 ja 0 = v 1 u 2 u 3 v 2 v 3 +v 2 ( u 1 u 3 v 1 v 3 ) +v 3 u 1 u 2 v 1 v 2

50 Lineaarialgebra (muut ko) p. 47/162 Ristitulo Kehittämällä determinantit u 1 u 2 u 3 u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 = 0 = v 1 v 2 v 3 u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 1. vaakarivin mukaan ) u 2 u 3 u 1 u 3 u 1 u 2 0 = u 1 +u 2 ( +u 3 v 2 v 3 v 1 v 3 v 1 v 2 }{{}}{{}}{{} C 11 C 12 C 13 ja 0 = v 1 u 2 u 3 v 2 v 3 +v 2 ( u 1 u 3 v 1 v 3 ) +v 3 u 1 u 2 v 1 v 2

51 Lineaarialgebra (muut ko) p. 48/162 Ristitulo Siis u (C 11,C 12,C 13 ) = 0 v (C 11,C 12,C 13 ) = 0

52 Lineaarialgebra (muut ko) p. 49/162 Muistisääntö Ristitulo (vain R 3 :ssa) Vektoreille u = (u 1,u 2,u 3 ) ja v = (v 1,v 2,v 3 ) u v = u u v ja v u v skalaarikolmitulo u (v w) i j k u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3

53 Lineaarialgebra (muut ko) p. 50/162 Aliavaruuskriteerit Aliavaruudelle U R n kolme kriteeriä: 1) U 2) u,v U u+v U 3) a R, u U au U.

54 Lineaarialgebra (muut ko) p. 51/162 Aliavaruuskriteerit Aliavaruudelle U R n kolme kriteeriä: 1) U 2) u,v U u+v U 3) a R, u U au U.

55 Lineaarialgebra (muut ko) p. 52/162 Aliavaruuskriteerit Aliavaruudelle U R n kolme kriteeriä: 1) U 2) u,v U u+v U 3) a R, u U au U. 0 kuuluu aina aliavaruuteen! U = {x R n Ax = 0} on R n :n aliavaruus Triviaalit aliavaruudet: {0} ja R n.

56 Lineaarialgebra (muut ko) p. 53/162 Ratkaisuavaruus (Lause 4.1.8) Lineaarisen homogeenisen yhtälöryhmän a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = 0... a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = 0 ratkaisut x = x 1. x n muodostavat aliavaruuden (ns. ratkaisuavaruuden)

57 Lineaarialgebra (muut ko) p. 54/162 AliavaruudetR 3 :ssa {0} origon kautta kulkevat suorat origon kautta kulkevat tasot R 3

58 Lineaarialgebra (muut ko) p. 55/162 Viritetty aliavaruus vektorien x 1,x 2,...,x k R n lineaarikombinaatio vektorien virittämä aliavaruus c 1 x 1 +c 2 x c k x k L(x 1,x 2,...,x k ) = {c 1 x 1 +c 2 x c k x k c 1,c 2,...,c k R}

59 Lineaarialgebra (muut ko) p. 56/162 Viritetty aliavaruus vektorien x 1,x 2,...,x k R n lineaarikombinaatio vektorien virittämä aliavaruus c 1 x 1 +c 2 x c k x k L(x 1,x 2,...,x k ) = {c 1 x 1 +c 2 x c k x k c 1,c 2,...,c k R} Esimerkiksi a(1,1)+b(1,0) ja L((1,1),(1,0)) sisältää mm. vektorit (0,0),(1,1),(1,0),(2,1),(0,1),( 2,0),...

60 Lineaarialgebra (muut ko) p. 57/162 Matriisien avulla Pystyrivien lineaarikombinaatio A = (a 1 a 2... a n ) Ac = c 1 a 1 + +c n a n

61 Lineaarialgebra (muut ko) p. 58/162 Matriisien avulla matriisin pystyriveille A = (a 1 a 2... a n ) m n neliömatriisille L(a 1,a 2,...,a n ) = {Ac c R n } L(a 1,a 2,...,a n ) = R n A on säännöllinen

62 Lineaarialgebra (muut ko) p. 59/162 Matriisien avulla matriisin pystyriveille A = (a 1 a 2... a n ) m n neliömatriisille L(a 1,a 2,...,a n ) = {Ac c R n } L(a 1,a 2,...,a n ) = R n A on säännöllinen Esimerkiksi L((1,1),(1,0)) = R 2, sillä

63 Lineaarialgebra (muut ko) p. 60/162 Lineaarinen riippumattomuus Lineaarinen riippumattomuus c 1 x c m x m = 0 = c 1 = c 2 =... = c m = 0 Lineaarinen riippuvuus c 1 x c m x m = 0 missä jokin c j 0

64 Lineaarialgebra (muut ko) p. 61/162 Matriisien avulla Neliömatriisin A = (a 1 a 2... a n ) pystyriveille: Pystyrivit ovat lin. riippumattomia A on säännöllinen

65 Lineaarialgebra (muut ko) p. 62/162 Lineaarinen riippumattomuus Lause sanoo: Vektorit ovat lineaarisesti riippuvia jokin niistä saadaan muiden lineaarikombinaationa

66 Lineaarialgebra (muut ko) p. 63/162 Lineaarinen riippumattomuus Kaksi vektoria ovat lineaarisesti riippuvia toinen on toisen skalaarimonikerta Varoitus: ei toimi useammalla vektorilla

67 Lineaarialgebra (muut ko) p. 64/162 Johdanto: kanta Jokainen vektori lin.kombinaationa? (x,y) = c 1 (2,2)

68 Lineaarialgebra (muut ko) p. 65/162 Johdanto: kanta Jokainen vektori lin.kombinaationa? (x,y) = c 1 (2,2)

69 Lineaarialgebra (muut ko) p. 66/162 Johdanto: kanta Jokainen vektori lin.kombinaationa: (x,y) = c 1 (2,2)+c 2 ( 4,2) = 12 0

70 Lineaarialgebra (muut ko) p. 67/162 Johdanto: kanta Jokainen vektori lin.kombinaationa: (x,y) = c 1 (2,2)+c 2 ( 4, 4)

71 Lineaarialgebra (muut ko) p. 68/162 Johdanto: kanta Jokainen vektori lin.kombinaationa (yksikäsitteisesti): (1, 2) = 1 2 (2,2) 1 2 ( 4,2)+0 (1, 2) (1, 2) = 0 (2,2)+0 ( 4,2)+1 (1, 2)

72 Lineaarialgebra (muut ko) p. 69/162 Kanta Vektorit u 1,...,u k muodostavat aliavaruuden U kannan, jos (i) ovat lineaarisesti riippumattomia, (ii) virittävät koko U:n.

73 Lineaarialgebra (muut ko) p. 70/162 Kanta Vektorit u 1,...,u k muodostavat aliavaruuden U kannan, jos (i) ovat lineaarisesti riippumattomia eli c 1 u 1 + +c m u k = 0 c 1 = = c k = 0, (ii) virittävät koko U:n eli L(u 1,...,u k ) = {c 1 u 1 + +c k u k c 1,...,c k R} = U.

74 Lineaarialgebra (muut ko) p. 71/162 Kannan merkitys Yksikäsitteinen kantaesitys vektorille u U R 4 :n luonnollinen kanta u = c 1 u 1 + +c k u k. {e 1,e 2,e 3,e 4 } = Jos U = R n, niin determinantit käteviä, mutta U R n eivät yleensä sovellu.

75 Lineaarialgebra (muut ko) p. 72/162 Kannan merkitys Yksikäsitteinen kantaesitys vektorille u U R 4 :n luonnollinen kanta u = c 1 u 1 + +c k u k. {e 1,e 2,e 3,e 4 } = {(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}. Jos U = R n, niin determinantit käteviä, mutta U R n eivät yleensä sovellu.

76 Lineaarialgebra (muut ko) p. 73/162 Perusominaisuuksia s. 45 1) Jokaisella aliavaruudella U on kanta. 2) Jokaisessa U:n kannassa on sama määrä vektoreita. 3) Lineaarisesti riippumaton U:n joukko {u 1,...,u m } voidaan täydentää U:n kannaksi {u 1,...,u m,u m+1,...u k }. 4) Jos L(u 1,...,u t ) = U, niin tästä saadaan kanta U:lle jättämällä ylimääräiset pois (kunnes lin. riippumaton).

77 Lineaarialgebra (muut ko) p. 74/162 Dimension ominaisuuksia s. 46 Olkoot U,V R n aliavaruuksia: 1) dimu n 2) Jos U V, niin dimu dimv. 3) Jos U V, niin dimu < dimv. 4) Jos u 1,...,u k U ja k < dimu, niin eivät viritä U:ta. 5) Jos u 1,...,u k U ja k > dimu, niin ovat lineaarisesti riippuvia.

78 Lineaarialgebra (muut ko) p. 75/162 Dimension ominaisuuksia s. 46 6) Vektorit u 1,...,u k U muodostavat kannan, jos kaksi seuraavista voimassa: (i) u 1,...,u k ovat lineaarisesti riippumattomia, (ii) U = L(u 1,...,u k ), (ii) k = dimu.

79 Lineaarialgebra (muut ko) p. 76/162 Dimension ominaisuuksia s. 46 7) Olkoon u 1,...,u k kanta U:lle ja vektoreiden v 1,...,v k U kantaesitykset v j = k a ij u i (j = 1,...,k). i=1 Vektorit v 1,...v k muodostavat kannan, jos on säännöllinen. A = (a ij ) k k

80 Lineaarialgebra (muut ko) p. 77/162 Tunnettuja dimensioita Aliavaruuden U R n dimensio dim U = kantavektoreiden lukumäärä Koko avaruudelle dimr n = n. Tasolle T R 3 dimt = 2. Suoralle L R 3 diml = 1.

81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 78/162 Vaaka- ja pystyriviavaruus Matriisin A = vaakariviavaruus ja pystyriviavaruus V(A) = L((1,3),(0,1),(1,2)) P(A) = L((1,0,1),(3,1,2))

82 Lineaarialgebra (muut ko) p. 79/162 Vaaka- ja pystyriviavaruus Nähtiin dimv(a) = 2 = dimp(a) Pitääkö yleisesti paikkansa kaikille A?

83 Lineaarialgebra (muut ko) p. 80/162 Vaaka- ja pystyriviavaruus P(AB) P(A) V(AB) V(B) jos C ja C ovat säännöllisiä, niin P(AC) = P(A) V(C A) = V(A)

84 Lineaarialgebra (muut ko) p. 81/162 Hajotelma Matriisi A M m n saadaan hajotettua A = }{{} B }{{} C m r r n

85 Lineaarialgebra (muut ko) p. 82/162 Matriisin aste Matriisin aste r(a) = dimv(a) = dimp(a) Lause r(ab) r(a) r(ab) r(b) A säännöllinen r(ab) = r(b) B säännöllinen r(ab) = r(a) A = }{{} B }{{} C m r(a) r(a) n r(a T ) = r(a)

86 Lineaarialgebra (muut ko) p. 83/162 Alideterminantti, s. 56 Matriisin A M m n alideterminantti on determinantti det(b), missä B on neliömatriisi, joka saadaan A:sta pyyhkimällä pois jotkin sen vaaka- ja pystyriveistä. Alideterminantin riviluku on B:n riviluku Lause r(a) = A:n nollasta eroavien alideterminanttien suurin riviluku

87 Lineaarialgebra (muut ko) p. 84/162 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna

88 Lineaarialgebra (muut ko) p. 85/162 Käänteismuunnokset AM1: Kahden vaakarivin vaihto Käänteismuunnos: Vaihdetaan vaakarivit takaisin AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 Käänteismuunnos: Kerrotaan vaakarivi skalaarilla 1/c AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna Käänteismuunnos: Lisätään vaakarivi toiseen skalaarilla c kerrottuna

89 Lineaarialgebra (muut ko) p. 86/162 Riviekvivalenssi ( ) ( ) ( ) ( )

90 Lineaarialgebra (muut ko) p. 87/162 Riviekvivalenssi ( ) ( ) ( ) ( ) vastaavat alkeismatriisit E 1 = ( ), E 2 = ( ), E 3 = ( ) eli E 3 E 2 E 1 ( ) = ( ).

91 Lineaarialgebra (muut ko) p. 88/162 Redusoitu porrasmuoto Matriisin redusoitu porrasmuoto

92 Lineaarialgebra (muut ko) p. 89/162 Redusoitu porrasmuoto Matriisin redusoitu porrasmuoto aste r(a) =porrasluku ja V(A):n kanta on portaiden vaakarivit.

93 Lineaarialgebra (muut ko) p. 90/162 Redusoitu porrasmuoto Eli aste r(a) = 2 ja vaakariviavaruuden V(A) kanta {(1,1,0,2),(0,0,1,1)}.

94 Lineaarialgebra (muut ko) p. 91/162 Redusoitu porrasmuoto Myös I on redusoitu porrasmuoto Lause A on säännöllinen A I

95 Lineaarialgebra (muut ko) p. 92/162 Käänteismatriisi alkeismuunnoksilla Alkeismuunnoksilla (A I) (I A 1 )

96 Lineaarialgebra (muut ko) p. 93/162 Ratkaisuavaruuden dimensio Yhtälöryhmän (n tuntematonta) Ax = 0 ratkaisuavaruuden dimensio n r(a)

97 Lineaarialgebra (muut ko) p. 94/162 Koordinaattivektori Kanta B = {b 1,...,b n } avaruudelle R n. Vektorin x R n koordinaattivektori X B = r 1 r 2. r n missä kantaesitys x = r 1 b 1 + +r n b n.

98 Lineaarialgebra (muut ko) p. 95/162 Kannanvaihdon matriisi Toinen kanta C = {c 1,...,c n }. Kannanvaihdon B C matriisi: c 1 = p 11 b 1 + +p n1 b n. c n = p 1n b 1 + +p nn b n. P B C = p 11 p 1n..... p n1 p nn Muista transponointi!

99 Lineaarialgebra (muut ko) p. 96/162 Kannanvaihdon matriisi X C = P C B X B P B C = (P C B ) 1

100 Lineaarialgebra (muut ko) p. 97/162 Kuvauksista Kuvaus f : A B A B f x y A = määrittelyjoukko B = maalijoukko Yleensä A = R n ja B = R m

101 Lineaarialgebra (muut ko) p. 98/162 Kuvauksista Kuvaus f : A B A B f x u z y Ei ole kuvaus!

102 Lineaarialgebra (muut ko) p. 99/162 Kuvauksista Kuvaus f : A B A f B Im(f) = {f(a) a A} kuvajoukko

103 Lineaarialgebra (muut ko) p. 100/162 Kuvauksista Kuvaus f : A B A f B B B 0 f 1 (B 0 ) = {a A f(a) B 0 } alkukuva

104 Lineaarialgebra (muut ko) p. 101/162 Kuvauksista Kuvaus f : A B A f B f on surjektio, jos Im(f) = B

105 Lineaarialgebra (muut ko) p. 102/162 Kuvauksista Kuvaus f : A B A B f a y b Kuvauksessa voi olla

106 Lineaarialgebra (muut ko) p. 103/162 Kuvauksista Kuvaus f : A B A B f a y b z f on injektio, jos a b f(a) f(b) a,b A Bijektio, jos surjektio ja injektio

107 Lineaarialgebra (muut ko) p. 104/162 Kuvauksista Kuvaus f : A B ja kuvaus g : A B ovat yhtäsuuret, jos f(a) = g(a) a A Merkitään f = g

108 Lineaarialgebra (muut ko) p. 105/162 Kuvauksista Kuvaus f : A B ja g : B C A B C f g x g(f(x)) f(x) Yhdistetty kuvaus g f : A C, (g f)(x) = g(f(x))

109 Lineaarialgebra (muut ko) p. 106/162 Kuvauksista Kuvaus f : A B ja g : B A A B f x y g Käänteiskuvauksia, jos f g = id B ja g f = id A. f 1 olemassa f on bijektio

110 Lineaarialgebra (muut ko) p. 107/162 Lineaarikuvaus Kuvaus f : R n R m on lineaarinen, jos L1: f(x 1 +x 2 ) = f(x 1 )+f(x 2 ) x 1,x 2 R n L2: f(ax) = af(x) x R n,a R. Muista f(0) = 0.

111 Lineaarialgebra (muut ko) p. 108/162 Lineaarikuvaus Kuvaus f : R n R m on lineaarinen, jos L1: f(x 1 +x 2 ) = f(x 1 )+f(x 2 ) x 1,x 2 R n L2: f(ax) = af(x) x R n,a R. Muista f(0) = 0. Kantavektorien kuvien avulla f(b i ) = y i määräytyy koko f(x) yksikäsitteisesti.

112 Lineaarialgebra (muut ko) p. 109/162 Lineaarikuvaus Matriisi A M m n indusoi lineaarikuvauksen f : R n R m,f(x) = Ax.

113 Lineaarialgebra (muut ko) p. 110/162 Lineaarikuvaus Matriisi A M m n indusoi lineaarikuvauksen f : R n R m,f(x) = Ax. Lineaarikuvauksen f : R n R m matriisi M B,C (f) B = {b 1,...,b n } kanta R n :ssä C = {c 1,...,c m } kanta R m :ssä

114 Lineaarialgebra (muut ko) p. 111/162 Lineaarikuvauksen matriisi kuvien kantaesitykset f(b 1 ) = a 11 c 1 + +a m1 c m.. f(b n ) = a 1n c 1 + +a mn c m M B,C (f) = a 11. a 1n.... a m1 a mn Muista transponointi!

115 Lineaarialgebra (muut ko) p. 112/162 Lineaarikuvaus y = f(x) Y C = M B,C (f) X B

116 Lineaarialgebra (muut ko) p. 113/162 Lineaarikuvaus y = f(x) Y C = M B,C (f) X B Jos B = E ja C = E, niin y = f(x) y = M E,E (f) x

117 Lineaarialgebra (muut ko) p. 114/162 Lineaarikuvaus y = f(x) Y C = M B,C (f) X B Jos B = E ja C = E, niin y = f(x) y = M(f) x

118 Lineaarialgebra (muut ko) p. 115/162 Lineaarikuvaus y = f(x) Y C = M B,C (f) X B Jos B = E ja C = E, niin y = f(x) y = M E,E (f) x Jos sama lähtö- ja maaliavaruus f : R n R n, niin yleensä sama kanta molemmilla puolilla ja merkitään M B (f) = M B,B (f).

119 Lineaarialgebra (muut ko) p. 116/162 Lineaarikuvaus ja kannanvaihto Lineaarikuvauksen matriisin muuttuminen kannanvaihdossa B B ja C C : R n m R f M

120 Lineaarialgebra (muut ko) p. 117/162 Lineaarikuvaus ja kannanvaihto Lineaarikuvauksen matriisin muuttuminen kannanvaihdossa B B ja C C : R n m R f M M B,C (f) = P C CM B,C (f)p B B

121 Lineaarialgebra (muut ko) p. 118/162 Miksi kannanvaihto? Lineaarikuvauksen matriisi M E (f) =

122 Lineaarialgebra (muut ko) p. 119/162 Miksi kannanvaihto? Vaihtamalla E B matriisiksi M B (f) =

123 Lineaarialgebra (muut ko) p. 120/162 Miksi kannanvaihto? Vaihtamalla E B matriisiksi M B (f) = Onnistuuko? Mistä kanta B? Mitkä luvut diagonaalilla?

124 Lineaarialgebra (muut ko) p. 121/162 Miksi kannanvaihto? Vaihtamalla E B matriisiksi M B (f) = Onnistuuko? Mistä kanta B? Mitkä luvut diagonaalilla? Näihin vastaaminen on loppukurssin tavoite!

125 Lineaarialgebra (muut ko) p. 122/162 Ydin ja kuva Lineaarikuvauksen ydin ja kuva-avaruus f 0 0 Ker(f) Im(f) Ker(f) = {x R n f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x R n }

126 Lineaarialgebra (muut ko) p. 123/162 Dimensioyhtälö Lineaarikuvauksen f : R n R m dimensioyhtälö n = dim Ker(f)+dim Im(f)

127 Lineaarialgebra (muut ko) p. 124/162 Matriisin avulla Jos niin A = M E,E (f) Im(f) = V(A T ).

128 Lineaarialgebra (muut ko) p. 125/162 Helppoa Lineaarikuvaus f : R n R m on injektio Ker(f) = {0}.

129 Lineaarialgebra (muut ko) p. 126/162 Helppoa Lineaarikuvaus f : R n R n on injektio surjektio bijektio

130 Lineaarialgebra (muut ko) p. 127/162 Aliavaruuksien summa Aliavaruuksien summa U 1 +U 2 U+ U 1 2 U 1 U 2 0 U 1 +U 2 = {u 1 +u 2 u 1 U 1,u 2 U 2 }.

131 Lineaarialgebra (muut ko) p. 128/162 Kertausta Suora summa U 1 U 2 jos yksikäsitteinen esitys x = u }{{} 1 + u }{{} 2 U 1 U 2,

132 Lineaarialgebra (muut ko) p. 129/162 Aliavaruuksien summa Suora summa U 1 U 2 Ehto 1: jos U 1 U 2 = {0}.

133 Lineaarialgebra (muut ko) p. 130/162 Aliavaruuksien summa Suora summa U 1 U 2 Ehto 1: jos U 1 U 2 = {0}. Ehto 2: jos u 1 +u 2 = 0, missä u 1 U 1 ja u 2 U 2, niin u 1 = u 2 = 0.

134 Lineaarialgebra (muut ko) p. 131/162 Aliavaruuksien summa Kahden aliavaruuden leikkaus on myös aliavaruus. U 1 U 2

135 Lineaarialgebra (muut ko) p. 132/162 Kannat aliavaruuksien summassa Suoran summan kannat u k u 2 u y 1 1 y 2 y m U+ U 1 2

136 Lineaarialgebra (muut ko) p. 133/162 Kannat aliavaruuksien summassa Suoran summan kannat u k u u 2 1 y y 1 2 U+ U y 1 2 m dim(u 1 U 2 ) = dimu 1 +dimu 2.

137 Lineaarialgebra (muut ko) p. 134/162 Usean aliavaruuden summa Usean aliavaruuden summa U 1 + +U m on suora summa eli U 1 U m jos ja vain jos Tällöin u }{{} u m = 0 u }{{} 1 = = u m = 0 U 1 U m dim(u 1 U m ) = dimu 1 + +dimu m.

138 Lineaarialgebra (muut ko) p. 135/162 Johdanto Meillä oli esimerkki M E (f) = ( 20/7 3/7 2/7 15/7 ) saatiin sopivalla kannanvaihdolla M B (f) = ( )

139 Lineaarialgebra (muut ko) p. 136/162 Johdanto Yleisestikin pyritään M B (f) = λ λ λ n Onnistuuko aina? Miten löydetään kanta?

140 Lineaarialgebra (muut ko) p. 137/162 Ominaisarvot Jos Ax = λx missä x 0, niin λ on ominaisarvo ja x siihen kuuluva ominaisvektori.

141 Lineaarialgebra (muut ko) p. 138/162 Ominaisarvot Ominaisarvot löydetään ominaisarvopolynomin nollakohtina. det(a λi) = 0 Ominaisarvoon λ kuuluvat ominaisvektorit löydetään yhtälöryhmästä (A λi)x = 0.

142 Lineaarialgebra (muut ko) p. 139/162 Ominaisarvot Ominaisarvot löydetään ominaisarvopolynomin nollakohtina. det(a λi) = 0 Ominaisarvoon λ kuuluvat ominaisvektorit löydetään yhtälöryhmästä (A λi)x = 0. Huom. x C n ja x 0.

143 Lineaarialgebra (muut ko) p. 140/162 Ominaisarvot Ominaisarvot löydetään ominaisarvopolynomin nollakohtina. det(a λi) = 0 Ominaisarvoon λ kuuluvat ominaisvektorit löydetään yhtälöryhmästä (A λi)x = 0. Huom. x C n ja x 0. Ominaisarvon algebrallinen kertaluku det(a ti) = ( 1) n (t λ 1 ) k 1...(t λ s ) k s.

144 Lineaarialgebra (muut ko) p. 141/162 Kertausta Matriisin muuttuminen kannanvaihdossa (Lause 2.5.2): missä M B (f) = P 1 M B (f)p P = P B B

145 Lineaarialgebra (muut ko) p. 142/162 Kertausta Matriisin muuttuminen kannanvaihdossa (Lause 2.5.2): missä M B (f) = P 1 M B (f)p P = P B B Meillä oli esimerkki ( ) = ( 1/7 3/7 2/7 1/7 )( 20/7 3/7 2/7 15/7 )( )

146 Lineaarialgebra (muut ko) p. 143/162 Diagonalisoituvuus Matriisi A on diagonalisoituva, jos P 1 AP = D Tällöin D = λ λ λ n missä λ i on A:n ominaisarvo

147 Lineaarialgebra (muut ko) p. 144/162 Diagonalisoituvuus Matriisi A on diagonalisoituva, jos P 1 AP = D Tällöin D = λ λ λ n missä λ i on A:n ominaisarvo Matriisi on diagonalisoituva ominaisvektoreista voidaan muodostaa kanta C n :lle

148 Lineaarialgebra (muut ko) p. 145/162 Diagonalisoituvuus Olkoot λ 1,...,λ s erisuuret ominaisarvot ja k 1,...,k s niiden algebralliset kertaluvut. Jos A on diagonalisoituva, niin D = λ λ 1... λ s... 0 λ s k 1 kpl k s kpl

149 Lineaarialgebra (muut ko) p. 146/162 Diagonalisoituvuus Olkoot λ 1,...,λ s erisuuret ominaisarvot ja k 1,...,k s niiden algebralliset kertaluvut. Jos A on diagonalisoituva, niin P = λ 1 :n... λ s :n ominaisvektoreita ominaisvektoreita k 1 kpl k s kpl

150 Lineaarialgebra (muut ko) p. 147/162 Diagonalisoituvuus Olkoot λ 1,...,λ s erisuuret ominaisarvot ja k 1,...,k s niiden algebralliset kertaluvut. Jos A on diagonalisoituva, niin P = λ 1 :n... λ s :n ominaisvektoreita ominaisvektoreita } {{ } lineaarisesti riippumattomia! k 1 kpl k s kpl

151 Lineaarialgebra (muut ko) p. 148/162 Ominaisavaruus Ominaisavaruus V λ = {x C n (A λi)x = 0} Erisuurille ominaisarvoille λ 1,...,λ s V λ1 V λs

152 Lineaarialgebra (muut ko) p. 149/162 Diagonalisoituvuus Olkoot λ 1,...,λ s erisuuret ominaisarvot ja k 1,...k s niiden algebralliset kertaluvut. Jos A on diagonalisoituva, niin P = λ 1 :n... λ s :n ominaisvektoreita ominaisvektoreita k 1 kpl }{{} lin.riippumattomia k s kpl }{{} lin.riippumattomia

153 Lineaarialgebra (muut ko) p. 150/162 Geometrinen kertaluku Ominaisarvon λ geometrinen kertaluku dimv λ Erisuurille ominaisarvoille λ 1,...,λ s V λ1 V λs Ominaisarvon algebrallinen kertaluku det(a ti) = ( 1) n (t λ 1 ) k 1...(t λ s ) k s. k 1 + +k s = n

154 Lineaarialgebra (muut ko) p. 151/162 Ortonormaalisuus Vektorijoukko {x 1,...,x m } on ortogonaalinen, jos (x i,x j ) = 0 i j ortonormaali, jos ortogonaalinen ja pituudet = 1 eli (x i,x j ) = δ ij

155 Lineaarialgebra (muut ko) p. 152/162 Ortonormaalisuus Vektorijoukko {x 1,...,x m } on ortogonaalinen, jos (x i,x j ) = 0 i j ortonormaali, jos ortogonaalinen ja pituudet = 1 eli pituus ykköseksi, x 0, (x i,x j ) = δ ij 1 x x

156 Lineaarialgebra (muut ko) p. 153/162 Ortonormaalikanta Aliavaruudelle U R n ortonormaalikanta? Jos u 1,...,u m on ortonormaalikanta, niin kantaesitys helposti m x = r i u i i=1

157 Lineaarialgebra (muut ko) p. 154/162 Ortonormaalikanta Aliavaruudelle U R n ortonormaalikanta? Jos u 1,...,u m on ortonormaalikanta, niin kantaesitys helposti m x = (x,u i )u i (5.2) i=1

158 Lineaarialgebra (muut ko) p. 155/162 Kertausta Aliavaruudelle U R n ortonormaalikanta? Jos u 1,...,u m on ortonormaalikanta, niin kantaesitys helposti m x = (x,u i )u i (5.2) i=1 Vektorin u ortogonaaliprojektio vektorilla v p = (u,v) v 2 v = (u,v) (v,v) v

159 Lineaarialgebra (muut ko) p. 156/162 Kannasta ortonormaalikanta Aliavaruudella U R n on aina ortonormaalikanta: 1) Gramin-Schmidtin menetelmällä saadaan kannasta {x 1,...,x m } ortogonaalinen: 2) pituudet ykköseksi y 1 = x 1 y j = x j j 1 i=1 { 1 y 1 y 1,..., (x j,y i ) (y i,y i ) y i. 1 y m y m}

160 Lineaarialgebra (muut ko) p. 157/162 Ortogonaalikomplementti Ortogonaalikomplementti U = {x R n x u u U} R n = U U (U ) = U

161 Lineaarialgebra (muut ko) p. 158/162 Ortogonaalimatriisi P on ortogonaalinen, jos P 1 = P T Neliömatriisi P on ortogonaalinen sen vaaka- ja pystyrivit muodostavat ortonormaalin joukon

162 Lineaarialgebra (muut ko) p. 159/162 Symmetrinen ja reaalinen matriisi Yleisesti matriisin ominaisarvot λ C eri ominaisarvojen ominaisvektorit lineaarisesti riippumattomat

163 Lineaarialgebra (muut ko) p. 160/162 Symmetrinen ja reaalinen matriisi Yleisesti matriisin ominaisarvot λ C eri ominaisarvojen ominaisvektorit lineaarisesti riippumattomat

164 Lineaarialgebra (muut ko) p. 161/162 Symmetrinen ja reaalinen matriisi Yleisesti matriisin ominaisarvot λ C eri ominaisarvojen ominaisvektorit lineaarisesti riippumattomat Symmetrisen ja reaalisen matriisi ominaisarvot aina R:ssä eri ominaisarvojen ominaisvektorit ortogonaalisia

165 Lineaarialgebra (muut ko) p. 162/162 Välikoe 2 Toinen välikoe klo 9:00 saleissa IX, X. Tärkeitä perusasioita: 1. Käänteismatriisi alkeismuunnoksilla 2. Kannanvaihdon matriisi 3. Lineaarikuvauksen matriisi 4. Diagonalisointi 5. Gramin-Schmidtin menetelmä Käy läpi demotehtävät! Tärkeät lauseet: 2.3.3, 2.6.5, 2.7.1, 3.1.6, 4.6.2, 5.1.2, 5.1.4, 5.3.4, 6.1.2, 6.1.3