1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

Transkriptio

1 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A ominaisarvoksi (eigenvalue). Vastaavasti ratkaisut x 0 ovat A:n ominaisarvoa λ vastaavia ominaisvektoreita. Ominaisarvojen joukko = A:n spektri. Ominaisarvoon λ liittyvät ominaisvektorit yhdessä vektorin 0 kanssa muodostavat tähän ominaisarvoon liittyvän A:n ominaisavaruuden (eigenspace). Matriisin ominaisarvojen ja vektorien määräämistä kutsutaan ominaisarvo ongelmaksi (eigenvalue problem).

2 Ominaisarvoyhtälö voidaan kirjoittaa muotoon (A λi)x = 0 (2) 2 Tällä yhtälöllä on nollasta poikkeavia ratkaisuja jos ja vain jos a 11 λ a 12 a 1n a 21 a 22 λ a 2n D(λ) = det(a λi) =..... = 0. a n1 a n2 a nn λ (3) Yo. yhtälö on matriisin A karakteristinen yhtälö, ja D(λ) karakteristinen determinantti. Kun D(λ) kehitetään, saadaan λ:n suhteen n:nnen asteen polynomi, joka on matriisin A karakteristinen polynomi.

3 n n matriisilla on siis vähintään yksi ominaisarvo ja enintään n erilaista ominaisarvoa. 3 Jos ajatellaan matriisia A lineaarimuunnoksena, ominaisvektorit ovat niitä vektoreita jotka säilyttävät suuntansa tässä kuvauksessa. Näissä tapauksissa kuvaus on siis vain tietyn skalaarin sanelema pituuden skaalaus, ja tämä skalaari on kyseistä ominaisvektoria vastaava ominaisarvo. Suurille matriiseille ominaisarvot lasketaan yleensä tietokoneella. Ominaisarvot laskettava ensin, sen jälkeen voidaan laskea ominaisvektorit esim. Gaussin eliminoinnilla.

4 Jos x on matriisin A ominaisarvoa λ vastaava ominaisvektori, niin on myös kx k 0. Jos matriisin A ominaisarvo λ on karakteristisen yhtälön M λ :nnen kertaluvun juuri, M λ on λ:n algebrallinen kertaluku (algebraic multiplicity). 4 Ominaisarvoon λ liittyvien lineaarisesti riippumattomien ominaisvektorien lukumäärä m λ on λ:n geometrinen kertaluku (geometric multiplicity). Huom. reaalisen matriisin ominaisarvot ja vektorit voivat olla kompleksisia. Esim. 0 1 (4) 1 0 Matriisin A ja sen transpoosin A T ominaisarvot ovat samat.

5 2 Ortogonaaliset, symmetriset ja vinosymmetriset matriisit Reaalinen neliömatriisi A = [a jk ] on symmetrinen, jos A T = A (5) 5 vinosymmetrinen, jos ja ortogonaalinen, jos A T = A (6) A T = A 1 (7) Jokainen reaalinen neliömatriisi A voidaan esittää symmetrisen matriisin R = 1 2 (A + AT ) ja vinosymmetrisen matriisin S = 1 2 (A AT ) summana.

6 6 Symmetrisen matriisin ominaisarvot ovat reaalisia. Vinosymmetrisen matriisin ominaisarvot ovat puhtaasti imaginäärisiä.

7 2.1 Ortogonaalimuunnokset Ortogonaalimuunnos on muunnos y = Ax, (8) missä A on ortogonaalinen matriisi. 7 Jokaista vektoria x avaruudessa R n vastaa vektori y R n :ssä, jolle muunnos on voimassa. Esimerkki muunnoksesta: Kierto tasossa. Tärkeä ominaisuus: Ortogonaalimuunnos säilyttää vektorien sisätulon a b = a T b (9) ja normin a = a a = a T a (10)

8 Lauseen (9) todistus: Olkoon u = Aa ja v = Ab. Tällöin u v = u T v = (Aa) T Ab = a T A T Ab = a T Ib = a T b = a b (11) 8 Reaalinen neliömatriisi on ortogonaalinen jos ja vain jos sen pysty (sarake )vektorit (ja myös vaakavektorit) muodostavat ortonormaalin järjestelmän, eli a j a k = a T 0 j k j a k = (12) 1 j = k Ortogonaalisen matriisin determinantin arvo on +1 tai 1. Ortogonaalisen matriisin ominaisarvot ovat reaalisia tai pareittain kompleksikonjugaatteja ja niiden itseisarvo on 1.

9 2.2 Ominaiskanta, diagonalisointi, neliömuoto n n matriisin ominaisarvot saattavat muodostaa R n :n kannan. Näin muodostettua kantaa kutsutaan matriisin ominaiskannaksi (eigenbase). 9 Jos n n matriisilla on n toisistaan eroavaa ominaisarvoa, tällöin A:n ominaisvektorit {x 1,, x n } muodostavat lineaarisesti riippumattoman joukon. Edellisestä lauseesta seuraa, että jos A:lla on n keskenään erilaista ominaisarvoa, A:n ominaisvektorit muodostavat R n :n kannan. (Jos ominaisarvoja on alle n, ominaisvektorit joko muodostavat tai eivät muodosta R n :n kantaa.) Symmetrisen matriisin ominaisvektorit muodostavat R n :n ortonormaalin kannan (kanta on ortogonaalinen, ja kaikkien kantavektorien pituus on 1).

10 n n matriisit  ja A ovat similaarisia (similar), jos  = T 1 AT (13) 0 jollekin ei singulaariselle matriisille T. Tätä muunnosta kutsutaan similaarisuusmuunnokseksi. Jos  ja A ovat similaarisia, niillä on samat ominaisarvot. Jos x on A:n ominaisvektori, y = T 1 x on Â:n samaa ominaisarvoa vastaava ominaisvektori.

11 Näin ollen muunnos y = Ax voidaan esittää ominaisvektorien x 1, x n avulla muodossa y = Ax = A(c 1 x c n x n ) = c 1 Ax c n Ax n = c 1 λ 1 x c n λ n x n (14) 1 Jos n n matriisilla A on ominaisvektorien muodostama kanta, D = X 1 AX (15) on diagonaalinen, A:n ominaisarvot ovat D:n päälävistäjällä. X on matriisi, jossa A:n ominaisvektorit ovat pystyvektoreina. Pätee myös D m = X 1 A m X (16)

12 Tarkastellaan neliömuotoa Q = x T Ax (17) 2 Oletetaan, että matriisi A on reaalinen ja symmetrinen. Tällöin A:lla on n:n ortonormaalin ominaisvektorin kanta. Näiden vektorien muodostama matriisi X on ortogonaalinen ja X 1 = X T. Näin ollen A = XDX 1 = XDX T ja Q = x T XDX T x (18) Asettamalla X T x = y, saadaan (X 1 = X T ) x = Xy, (19) jolloin Q tulee muotoon Q = y T Dy = λ 1 y1 2 + λ 2 y λ n yn 2 (20)

13 Näin ollen on voimassa pääakselilause: Muunnos (19) muuntaa neliöllisen muodon n n Q = x T Ax = a jk x j x k (21) j=1 k=1 3 pääakselimuotoon (20), missä λ 1,, λ n ovat symmetrisen matriisin A ominaisarvoja ja X on ortogonaalinen matriisi, jonka pystyvektorit ovat vastaavia ominaisvektoreita x 1,, x n. Esim. Muuta pääakselimuotoon neliömuoto Mitä käyrää neliömuoto esittää? Q = 17x x 1 x x 2 2 = 128. (22)

14 3 Vektoriavaruudet, Sisätuloavaruudet, Lineaarimuunnokset 4 Ei tyhjä joukko V, jossa on alkiot a, b, on reaalinen vektoriavaruus (reaalinen lineaarinen avaruus) ja sen alkioita kutsutaan vektoreiksi, jos V :ssä on määritelty 1. Vektorien yhteenlasku: Jokaista vektoriparia a ja b vastaa yksikäsitteinen vektori a + b, joka toteuttaa aksiomat: (a) Vaihdannaisuus: a + b = b + a a, b (b) Liitännäisyys: (u + v) + w = u + (v + w) u, v, w (c) On olemassa yksikäsitteinen nollavektori s.e. a V, a + 0 = a (d) a V on olemassa yksikäsitteinen vektori a s.e. a + ( a) = 0

15 2. Skalaarilla kertominen: Jokaista reaalilukua (skalaaria) c ja vektoria a vastaa yksikäsitteinen V :hen kuuluva vektori ca, jota kutsutaan c:n ja a:n tuloksi, joka toteuttaa seuravat aksiomat: (a) Osittelulaki: Jokaiselle skalaarille c ja vektoreille a ja b V :ssä c(a + b) = ca + cb (23) 5 (b) Osittelulaki: Kaikille skalaareille c ja k ja jokaiselle vektorille a V :ssä (c + k)a = ca + ka (24) (c) Liitännäisyys: Kaikille skalaareille c ja k ja jokaiselle vektorille a V :ssä (d) Jokaiselle a avaruudessa V c(ka) = (ck)a (25) 1a = a (26)

16 3.1 Sisätuloavaruudet Reaalinen vektoriavaruus on reaalinen sisätuloavaruus, jos jokaiseen vektoripariin a ja b V :ssä liittyy reaaliluku, jota merkitään (a, b) ja jolla on seuraavat ominaisuudet: 1. Lineaarisuus: Kaikilla skalaareilla q 1 ja q 2 ja kaikilla vektoreilla a, b, c V :ssä on voimassa: 6 (q 1 a + q 2 b, c) = q 1 (a, c) + q 2 (b, c) (27) 2. Symmetria: Kaikilla a ja b V :ssä (a, b) = (b, a) (28) 3. Positiividefiniittisyys: Jokaiselle a:lle V :ssä (a, a) 0 (a, a) = 0 a = 0 (29)

17 Vektorit, joiden sisätulo on nolla, ovat ortogonaalisia. Vektorin normi (pituus) määritellään a = (a, a) (30) 7 Vektori, jonka normi = 1 on yksikkövektori Voidaan osoittaa myös Schwarzin epäyhtälö (a, b) a b, (31) kolmioepäyhtälö ja suunnikasyhtälö a + b a + b (32) a + b 2 a b 2 = 2( a 2 + b 2 ) (33)

18 3.2 Lineaarimuunnokset Jos jokaista vektoria x vektoriavaruudessa X vastaa yksikäsitteinen vektori y vektoriavaruudessa Y, kyseessä on kuvaus (tai muunnos tai opeaattori) X:stä Y :hyn, merkitään F (x) tai F x. Vektori y on vektorin x kuva. 8 F on lineaarinen kuvaus, jos kaikilla vektoreilla x ja v X:ssä ja skalaareille c F (v + x) = F (v) + F (x) F (cx) = cf (x) Jos X = R n ja Y = R m, reaalinen m n matriisi A = [a jk ] määrittelee muunnoksen R n :stä R m :ään: (34) y = Ax (35)

19 Matriisia A kutsutaan kuvauksen F esitykseksi R n :n ja R m :n kantojen suhteen. 9 Esimerkki standardikannasta: R 3 :n standardikanta = e (1) = i, e (2) = j, e (3) = k i = 0 j = 1 k = 0 (36) Jos A on ei singulaarinen neliömatriisi, voidaan määritellä käänteismuunnos x = A 1 x (37)

20 Kertauksen vuoksi: Olkoon A neliömatriisi (n n). Seuraavat väittämät ovat joko kaikki yhtäaikaa tosia, tai kaikki yhtäaikaa epätosia. A:lle löytyy käänteismatriisi. A T :lle löytyy käänteismatriisi. A:n determinantti ei ole nolla. 0 A:n sarakkeet (ja rivit) muodostavat R n :n kannan. ranka = n A:n nulliteetti (nolla-avaruuden dimensio) = 0. Yhtälöllä Ax = 0 on vain triviaaliratkaisu. A:n sarakkeet (ja rivit) muodostavat lineaarisesti riippumattoman joukon. Luku 0 ei ole A:n ominaisarvo.