SUOMEN AKTUAARIYHDISTYS THE ACTUARIAL SOCIETY OF FINLAND

Transkriptio

1 97 SUOMEN AKTUAARIYHDISTYS THE ACTUARIAL SOCIETY OF FINLAND WORKING PAPERS ISSN SUOMEN AKTUAARIYHDISTYS The Acuarial Sociey o Finland 97 Auranen, Ani Omavauueu (2009)

2

3 Omavauueu SHV-yö Ani Auranen Keäkuu 2009

4 Suary I P&C Inurance Comany oer or i Finnih rivae oal cuomer deducible benei rom claim ree year. The idea i o reward cuomer wih ew claim and remind hem o be careul and encourage hem o reven claim. Gahered deducible benei can be ued o deducible o moor and roery claim. The claim amoun ha o ill exceed he deducible. Similarly hee claim during he year reven he increae o benei. Claim ree year gaher deducible benei unil he maximum benei i reached in ix year. In cae o cancellaion he gahered benei i ree. Thi aer reen how deducible benei can be mahemaically modelled. The model i baed on raniion marix, which ae rereen dieren amoun o gahered benei. The raniion robabiliie beween ae are calculaed uing dieren ye o claim requencie, choen deducible and he number o dieren cuomer including alo he cuomer dynamic rom one comany o anoher. Traniion marice are ueul, when one i modelling yearly change. The challenge or hi kind o model are ixed arameer which are e o be ame rom year o year. Thi can be olved eiher uing redeined yearly raniion marice or leing he raniion robabiliie yearly change ochaically wihin redeined boundarie. Wihin la year i ha haened a lo in he inurance marke, which make he oreca o cuomer dynamic challenging. Seniiviy analyi how he model being able enough or reaonable change in he arameer value. The change in main arameer eem o have aroximaely linear eec o he benei uage. Comanie wan more and more oal cuomer who alo ay longer in he comany. Thi reduce naurally acquiiion co, bu alo increae he uage o deducible benei by increaed number o cuomer wih benei and decreaed number o benei ree in cancellaion. The model decribed in hi aer can be ued o model he co o deducible benei. The benei need o be modelled earaely, when buine cae i required. Benei can be een reached by decreaed cuomer cancellaion, change in claim requencie and ale.

5 Siälly 1 Johdano Omavauuedun maemaainen malli Omavauueumallin iirymämariii Siirymämariiin ominaiuukia Vuoiaie kerymä ja käyö Aiakakannan ja vahinkorekvenin muuuminen Mallin haaeia Heryyanalyyi Vaihoehoinen malli Yheenveo Kirjalliuua

6 1 Johdano I Omavauueu on Iin uomalaiille henkilöaiaailleen anama eu, joa heiä alkiaan vahingoomia vuoia kerryämällä omavauueua. Kerynyä omavauueua voidaan käyää vahingon yheydeä omavauun makamieen. Omavauueu kannuaa aiaaia huolelliuueen ja vahinkojen ynymien ennala ehkäiyyn. Aiaaan vakuuuen uudiuea vuoierääivänä keryy omavauueua, mikäli hänelle edelliellä vakuuukaudella ei ole aunu vakuuukea korvaavia ajoneuvo- ai omaiuuvahinkoja. Kuuden vahingooman vuoden jälkeen omavauueu aavuaa eniäimääränä. Omavauuedun kerymien edellyykenä on Iin kekiäjäaiauu. Aiaka on kekiäjäaiaka, kun hänellä on riiävän kaavan urvan akaava vakuuurakaiu. Tyyillinen kekiäjäaiaaan vakuuurakaiu koouu eimerkiki koivakuuukea, henkilöauon liikennevakuuukea ja äykakoa. Aiaka voi käyää kerynyä omavauueua ajoneuvo- ja omaiuuvahinkojen omavauun makamieen. Vahingon on kuienkin olava vähinään omavauun uuruinen. Kerynyä omavauueua ei voi muuaa rahaki ja e nollauuu aiauuden ääyeä. Tää yöä eiellään kuinka omavauueua voidaan maemaaiei mallinaa. Työä eiely malli auaa arvioimaan omavauuedun vakuuuyhiölle aiheuamia kuannukia. Edun voidaan ajaella uovan ääöjä aranuneena aiakayyvyyenä ja vaikuavan oiiiviei myö myyniin. Omavauuedun kannaavuuden arvioimieki en uoma uoo on mallinneava erikeen eikä niiä ole eiely ää yöä. 2 Omavauuedun maemaainen malli Tää luvua omavauueua mallinneaan imuloimalla aiaaiden käyäyymiä vuoiain. Vuoiaien iliyyien aahumien mallinamieen voidaan käyää iirymämariieja. 2.1 Omavauueumallin iirymämariii Omavauuedun maemaaien mallin eruana on iirymämariii, jonka iloina ova erilaie omavauuedun määrä. Aiaaan iirymiä ilaa oieen mallinneaan odennäköiyykillä, joka iälävä ieoja eriyyien vahinkojen odennäköiyykiä, uuien aiaaiden uheelliea määrää ekä aiakayyvyydeä. Mallia arkaellaan erikeen kekiäjäaiaaia, joille omavauueua keryy, ja muia aiaaia. Vaiei aiakaa enää kaoaiikaan kekiäjäaiaaaki eikä omavauueua ien karu, aiaka voi ili käyää hänelle kerynyä omavauueua. 2

7 Muiden aiaaiden omavauuedun määrä käyäyyy ien eri avalla ja ulee mallinaa erikeen kekiäjäaiaaia. Mallia erilaie aiaaa on huomioiu jakamalla iirymämariii lohkoihin: kekiäjäaiaaa, muu aiaaa, vakuuumarina ekä iirymälohkoihin näiden aiauukien välillä. Vakuuumarinoiden avulla mallinneaan uuaiakahankinaa ja aiakaoiumaa. Poiuva aiaaa iiryvä vakuuumarinoille ja vakuuumarinoila aadaan uuia aiaaia. Vahinkoilaneea omavauueua käyeään vahingon omavauun verran, eniillään kuienkin aiaaalle keryneen omavauuedun verran. Siirymämariii P koouu yheenä yhdekää eri aiauukien väliiä iirymiä kuvaavaa lohkoa P P vk P P vm P P kv P P P P, mv vv miä k m v kekiäjäaiaka muu aiaka vakuuumarina. Kukin aiauuyyi iälää omavauuedun eri määriä kuvaava ila. Lohko P, P, P ja P koouva ien eri omavauuedun määrien muuokia kuvaavia alkioia. Tällöin lohkon P l iälämä iirymäodennäköiyyde l ( i, j) iirryäeä omavauuedun määrää i määrään j muodouva uloa ( i, j) ( i, j) ( i, j), l l l miä iirymää riiuen vahinko- ai vahingoomuuodennäköiyy odennäköiyy aiaaan iirymielle lohkojen välillä. Todennäköiyyde voiva mallia riiua omavauuedun määrää i ai en muuumiea j-i. Tämä mahdolliaa eimerkiki ieneän aiakaoiuman käyön niille aiaaille, joille eua on keryny eneän. Vakuuumarinoille iiryviä aiaaia kuvaava lohko P kv ja P mv muodouva kekiäjä- ja muiden aiaaiden oiumaodennäköiyykiä kv (i,0) ja mv (i,0) eri omavauuedun määrillä i. Lohko P vk ja P vm kuvaava vaaavai vakuuumarinoila ulevia uuia kekiäjä- ja muia aiaaia iirymäodennäköiyykinään vaaavai vk (0,i) ja vm (0,i), kun uuien aiaaiden omavauuedun määrä on i. Lohko P vv iälää odennäköiyyden vakuuumarinoilla yyville aiaaille ja koouu ainoaaan odennäköiyydeä vv. 3

8 Lohkojen iälämä iirymäodennäköiyyde muodoava ii iirymämariiin alkio, jolloin iirymämariii voidaan eiää muodoa (1,0) ( d,0) (0,1) (1,1) ( d,1) (0, d) (1, d) ( d, d) (1,0) ( d,0) (0,1) (1,1) ( d,1) (0, d) (1, d) ( d, d) kv kv kv (1,0) ( d,0) P (1,0) ( d,0) (0,1) (1,1) ( d,1) (0, d) (1, d) ( d, d) (1,0) ( d,0) (0,1) (1,1) ( d,1) (0, d) (1, d) ( d, d) mv mv mv (1,0) ( d,0). vk vk (0,1) vk (0, d) vm vm (0,1) vm (0, d) vv Muroviiva kuvaava iirymämariiin lohkoja. Tila 0,1,,d kuvaava erilaiia omavauuedun määriä. Tilaa 0 omavauueua ei ole keryny ja ila d vaaa omavauuedun eniäimäärää. Alaindeki k, m ja v kuvaava vaaavai aiauuyyejä kekiäjäaiaka, muu aiaka ja vakuuumarina. 4

9 Eimeri omavauuedun iirymämariiia Mallin ykinkeraiamieki ehdään euraava oleuke: vahingoon vuoi karuaa 10 euroa omavauueua, jonka eniäimäärä on 50 euroa kekiäjäaiaaia 8 % muuuu muiki aiaaiki, 20 % iiryy vakuuumarinoille ja 72 % yyy edelleen kekiäjäaiaaina muia aiaaia 21 % muuuu kekiäjäaiaaiki, 30 % iiryy vakuuumarinoille ja 49 % yyy edelleen muina aiaaina odennäköiyyde iirymille kekiäjäaiauuden, muun aiauuden ja vakuuumarinoiden välillä eivä riiu omavauuedun määrää kekiäjäaiaaia 40 roenille auu vahinko vuoden aikana ja muia aiaaia 20 roenille, odennäköiyyde eivä riiu omavauuedun määrää ai en muuokea vahingon yheydeä kaii keryny omavauueu käyeään vakuuumarinoila 3 % ulee uuiki aiaaiki, joia 70 % kekiäjäaiaaiki ja 30 % muiki aiaaiki ykinkeraiuken vuoki oiuville aiaaille ei au vahinkoja oiumivuonna ja heidän omavauueuna nollauuu aiaaiden lukumäärä on , joia alua 70 % on kekiäjäaiaaia ja 30 % muia aiaaia vakuuumarinoiden koko on miljoona aiakaa kaiien aiaaiden omavauuedun määrä on aluki 0 euroa ja iirymä ilaa oieen aahuva kalenerivuoiain aina vuoden vaiheea omavauuedun vaikuu mallin aramereihin iälyy aeeuihin aramerien arvoihin (eimerkiki ienenyny kekiäjäaiaaiden oiuminen ja muuoke vahinkoodennäköiyykiä) Lohko P iälää eimerkiki iirymäodennäköiyyden 0,20 0,21 0,042 eli 4,2 roenin odennäköiyydellä muu aiaka muuuu kekiäjäaiaaaki ja hänelle auu vahinko, jonka euraukena hänen omavauueuna määrä muuuu 30 euroa 0 euroon. Vaaava odennäköiyyde lohkoia P, P, ja P iirymälle 30 euron omavauuedun määrää 0 euroon ova 0,40 0,72 0,288 0,40 0,08 0,032 0,20 0,49 0,098. 5

10 Vaaava aiakaoiuma vakuuumarinoille kekiäjä- ja muille aiaaille 30 euron omavauuedun määrää vaaavaa ilaa ova kv mv 0,20 0,30. Vakuuumarinoila aadaan uuia kekiäjä- ja muia aiaaia odennäköiyykillä vk vm 0,03 0,03 0,70 0,30 0,021 0,009 ja vakuuumarinoille jää vv 1 0,03 0,97 eli 97 roenia vakuuumarinoia. Omavauuedun karumia kuvaa aa eimerkiki iirymäodennäköiyy (10,20) (10,20) (10,20) (1 0,40) 0,72 0,432. Koka vahingon auea kaii omavauueu käyeään, odennäköiyy eimerkiki iirymielle omavauuedun määrää 40 euroa 20 euroon on nolla. Samoin odennäköiyy omavauuedun määrän karumielle 20 euroa 40 euroon on nolla, illä eua karuu 10 euroa vuodea. Siirymämariiia on ii eimerkiki euraava iirymäodennäköiyyde (40,20) (20,40) (40,20) (20,40) (40,20) (20,40) 0,20 0 (1 0,40)

11 2.2 Siirymämariiin ominaiuukia Siirymämariiin ominaiuukien mukaiei mariiin odennäköiyykien ua kullekin riville on yki eli b j ab( i, j ) 1, miä a ja b kuvaava erilaiia aiauukia k, m ja v. Liäki jokaieen mariiin ilaan voidaan jäädä ai iiä voidaan iiryä johonkin muuhun ilaan. Tällaiella mariiilla ei ole jakolliia iloja ja en anoaan ien olevan jakoon mariii. Vuoien kuluea omavauuedun määrä aiaailla kavaa ja en äyi määrä ulee mahdollieki. Aiaaiden iirymiä ilaa oieen ueaan vuoden kuluua voidaan arkaella koroamalla iirymämariii arkaelavien vuoien lukumäärän ooiamaan oeniin. Siirymämariii vuodelle on ien P. Kun arkaellaan riiävän ikää ajanjakoa, iirymämariiin jokainen alkio on nollaa uuremi, mikä arkoiaa iä, eä miä ahana ilaa on mahdollia iiryä mihin ahana muuhun ilaan. Tällöin alkueräien iirymämariiin kaiien ilojen anoaan kounikoivan kekenään ja mariii on reduoimaon eli iä ei voida jakaa oamariieiki. Tällaia mariiia P anoaan äännöllieki ja illä on ellainen ominaiuu, eä millä ahana ilojen lähöjakaumalla µ 0 on olemaa ykikäieinen rajajakauma µ (Howard, 1998) 0 P. Rajajakauma µ on jakauma, joka ei muuu kerroaea iirymämariiillaan eli Rajajakauman olemaaoloa euraa, eä loula aiaaiden jakauma eri omavauuedun iloia aaainouu ja omavauuedun kerymä ja käyö aavuava aaainon, joa ne äilyvä amoina vuodea oieen. Rajajakauma keroo ikän aikavälin odennäköiyyde löyää aiaka eri omavauuedun iloia, oiin anoen aljonko aiaaalle on keryny omavauueua, ja onko hän kekiäjä- vai muu aiaka riiumaa iiä, miä ilaa aiauu on alkanu. P. 7

12 Tauluo 1 havainnolliaa eimeriaauken mukaiia aiaaiden lähö- ja rajajakaumia. Alua omavauuedun määrä on kaikilla aiaailla 0 euroa, kekiäjäaiaaia on ja muia aiaaia Vakuuumarinoiden koko on alua aiakaa. Aiaaiden kokonailukumäärä on ii aiakaa, jonka uheellia jakauumia eri iloihin jakauma eiävä. Tauluo 1. Eimeriaauken iirymämariiin lähö- ja rajajakauma. Vakuuumarina ova arkaelua mukana omana ilanaan ja niiden uheellinen ouu on luonnolliei uurin. 2.3 Vuoiaie kerymä ja käyö Yllä eiellyn iirymämariiin avulla voidaan imuloida aiaaiden omavauuedun kerymiä ja käyöä. Omavauuedun ilaa oieen iirymäodennäköiyykien liäki arviaan vielä aiaaiden omavauuedun lähöjakauma ja kuannumariii kuvaamaan edun kerymiä ja käyöä ilaa oieen iirryäeä. Omavauuedun kerymää voidaan kuvaa kuannumariiin W avulla. Kuannumariiin lohkon W l alkio koouva iirymämariiin vaaavan lohkon P l alkioiden ja niiä vaaavien iirymien kuannuen uloa w ( i, j) max( j i,0) ( i, j), l kun omavauuedun määrä muuuu määrää i määrään j. Siirymän euromääräinen kuannu kerroaan iirymämariiin vaaavalla iirymäodennäköiyydellä l (i,j). Vaaavai edun käyöä voidaan kuvaa kuannumariiin U avulla u ( i, j) max( i j,0) ( i, j). l Mallin ykinkeraiamieki kuannuke iirryäeä vakuuumarinoille voidaan määriellä nollan uuruiiki, eli u kv (i,0)=0 ja u mv (i,0)=0. Tällöin oiuville aiaaille ei oleea auvan omavauuedun käyöä aiheuavia vahinkoja oiumivuonna. l l 8

13 Tilakohaie kerymä ja käyö aiauuyyin a ilalle i ajanhekellä aadaan aiaaiden omavauuedun jakaumavekorin µ ja aiaaiden kokonailukumäärän N ekä kuannumariiien W ja U avulla. Aiauuyyin a ilan i aiaaiden lukumäärä aadaan keromalla aiaaiden kokonailukumäärä N ilaa vaaavalla aiaaiden ouudella, joka on jakaumavekorin alkio µ a (i). Tilaa vaaava omavauuedun kerymä ja käyö aadaan keromalla ilaa olevien aiaaiden lukumäärä kuannumariiien ilaa vaaavilla riviuilla N N a a ( i) ( i) w b j ab u b j ab ( i, j) ( i, j). Kuannumariiin riviua on arkaelavaa ilaa kaiiin mahdolliiin iloihin iirymien kuannuen ja iirymäodennäköiyykien ulojen ua ja keroo ilaa olevan aiaaan omavauuedun kerymän ai käyön odouarvon. Suaamalla kerymä ja käyö kaiien aiauuyyien a ja ilojen i yli aadaan kerymä ja käyö koko aiakakannalle. Taaainoilaa omavauuedun kerymä on ien N ( i) w ( i, j). b a b i j ab miä N on kekiäjä- ja muiden aiaaiden lukumäärä ekä vakuuumarinoiden koko yheenä. Tauluo 2 havainnolliaa eimeriaauken mukaiia ilakohaiia kerymiä ja käyöjä. Tauluo 2. Eimeriaauken kerymä ja käyö ilaa oieen iirryäeä. Siirymämariiin ja vuoiaien kerymien ja käyöjen avulla voidaan imuloida aiakakannan vuoiaia käyäyymiä. Tauluo 3 havainnolliaa kuinka aiakaiirymä kekiäjäaiauuden ja muun aiauuden välillä vaikuava näiden ryhmien uheelliiin kokoihin ja iä kaua aiakaoiuvuueen. Valiuilla aramereilla aaainoilaa vakuuumarinoila on aau lähe uua aiakaa. Kekiäjäaiaaiden ouu on kavanu 70 roenia 75 roeniin. 9

14 Tauluo 3. Eimeriaauken aiakakannan jakauuminen eri omavauuedun määriin. Malli aavuaa aria kyeneä vuodea aaainon, joa vakuuuyhiön iäinen omavauuedun jakauma ja oiaala aiakavaihuvuu vakuuumarinoilla yyvä aaainoa vuodea oieen. Taaainoa vuoiaie kerymä ova noin ja käyö Taaainoilan kerymä ova käyöjä uurea, illä oiuvien aiaaiden omavauueu nollauuu käyämäömänä. 2.4 Aiakakannan ja vahinkorekvenin muuuminen Uuaiakahankinnan ja aiakaoiuman uuruuden arvioinnia on oeava vallievan ilaneen liäki huomioon myö omavauuedun vaikuu. Uuaiakahankinnan voidaan arvioida iriyvä hieman omavauuedun käyöönoon yheydeä, illä aiaaille ulee arjolle uui aiakaeu. Liäki aiakayyvyyden voidaan oleaa hieman aranevan, illä vakuuuyhiön vaihoa harkiaea keryny omavauueu aaaa ioa aiaaan arein vakuuuyhiöön. Omavauuedun kuannuen ja aiakayyvyyvaikuuken liäki on arvioiava edun vaikuua rikiuheeeen ekä iihen, aljonko käyeäviä oleva omavauueu vaikuaa ienen vahinkojen lukumäärän liäänymieen. Pienen vahinkojen lukumäärän voidaan oleaa kavavan jonkin verran, illä aikaiein muuamalla eurolla omavauun yliäviä vahinkoja ei ole ienen korvaumäärän vuoki ollu hyödylliä ilmoiaa vakuuuyhiölle. Mikäli omavauueua on kuienkin ehiny keryä jo muuamaa vahingoomaa vuodea, ienen vahingon ilmoiaminen on aiaaalle kannaavamaa, illä ällöin hän aa muuaman euron liäki vakuuuyhiölä korvaua myö omavauuouudelaan keryneen omavauuedun verran. Pienen vahinkojen lukumäärän kavun arvioimiea voidaan käyää auna havaiuja vahinkojakaumia eriuuruiilla omavauilla, mikäli jakauma ova riiävän amankalaiia. Pieneän omavauun valinnee aiaaa ilmoiava uheea eneän niiä vahinkoja, joia uurean omavauun valinneiden aiaaiden ei ienen korvauken akia kannaa vakuuuyhiölle ilmoiaa. 10

15 ouu vahingoia Kuva 4 havainnolliaa, kuinka voidaan arvioida ienen vahinkojen oikeaa lukumäärää. Samanuuruien vahinkojen lukumäärä on elväi uuremi ieneän omavauun aaukea ja lähemänä näiden vahinkojen oikeaa lukumäärää. Omavauueu vaikuaa oki molemien vahinkojakaumien alkuäähän, ainouen kuienkin lähiä omavauua. Suurean omavauun jakauma ulee iirymään yleä uheea eneän kuin ieneän omavauun jakauma, kun ukiaan amanuuruiia vahinkoja. Kuva 4. Vahingon uuruuden jakauma kahdelle eri omavauulle. Jakaumia ova mukana ne vahingo, joka yliävä uurean omavauun. Pieneän omavauun vahingo on merkiy kakoviivalla. Käyännön verailun heloamieki molea jakauma on kaalau uauumaan 100 roeniin. 4,0 % 3,0 % 2,0 % 1,0 % 0,0 % vahingon uuruu 2.5 Mallin haaeia Malli on arameriohjau, mua käyey arameri ova kiineiä vuodea oieen. Vaihoehoiei malliin voiaiiin luoda aunnaiuua anamalla aramerien muuua vuodea oieen. Mallia aiakaryhmien uheellie muuoke yyvä amoina vuodea oieen. Käyännöä ämä arkoiaa iä, eä aiaaiden jakauma eri iloihin vuoden kuluua aadaan keromalla alkueräinen aiakajakauma iirymämariiilla, joka on koroeu oeniin. Mallinnukea yki haae ova vahinkoodennäköiyyde. Tarkaelemalla areeki uura vahinkoaineioa ueaan vuoden ajala vahinkoodennäköiyykille aadaan riiävän hyvä arvio. Liäki ulee arvioida vahinkoodennäköiyykien muuumia vuodea oieen. Malli noudaaa aina aiakakannan muuokia valiuilla aramereilla. Vakuuumarinoilla aahuva muuoke vakuuuyhiön ai en kilailijoiden vakuuuarjonnaa aaava aiheuaa äiviyarvea myö mallin aramereihin. 11

16 2.6 Heryyanalyyi Mallin heryyä voidaan eaa vaihelemalla mallin aramerien arvoja. Tää luvua mallin heryyä ukiaan vahinkoodennäköiyykien, aiakayyvyyden ekä aiauuyyin erilaiilla aramerien arvoilla. Omavauuedua on aiaaalle makimihyöy, jo hänelle auu vahinko kekimäärin joka kuude vuoi. Tällöin eua ehii keryä 50 euroa ja vuoiaieki hyödyki aiaaalle ulee hieman yli 8 euroa. Euahan ei kerry vahinkovuoila eikä oiaala enää edun aavueua eniäimääränä. Heryyanalyyiä ämä näkyy ien, eä oivalla vahinkoodennäköiyydellä aavueaan omavauuedun makimikäyö. Kuva 5 havainnolliaa vahinkoodennäköiyyden muuoken vaikuua omavauuedun käyöön eimeriaaukea. Soivalla vahinkoodennäköiyydellä malli aavuaa makimikäyön. Vahinkoodennäköiyyden kavaea omavauuedun keryminen eyy ueain eikä vahinkoilaneea eua ole ehiny keryä käyeäväki vähävahinkoien aiaaiden aaan. Vahinkoodennäköiyyden ieneeä riiäväi omavauueua ei kerry aavueuaan eniäimääränä ja ien vuoiaie kerymä vähenevä ja edelleen vuoiainen edun käyö ienenee. Kuva 5. Vahinkoodennäköiyyden vaikuu omavauuedun käyöön % -20 % -15 % -10 % -5 % 0 % 5 % 10 % 15 % 20 % 25 % 12

17 Paranunu aiakayyvyy liää omavauuedun käyöä, illä ällöin oiuvia aiaaia, joille keryny omavauueu nollauuu, on väheän. Tää havainnollieaan kuvaa 6. Kuva 6. Aiakaoiuvuuden vaikuu omavauuedun käyöön % -2.5 % -2.0 % -1.5 % -1.0 % -0.5 % 0.0 % 0.5 % 1.0 % 1.5 % 2.0 % 2.5 % 3.0 % Liäänyny muiden aiaaiden iiryminen kekiäjäaiaaiki kavaaa omavauuedun käyöä uomalla yhä ueaan aiaaan omavauuedun iiriin. Vaaavai liäänyny kekiäjäaiaaiden iiryminen muiki aiaaiki vähenää aiaaia omavauuedun kerymien iiriä ja vähenää näin käyöä. Eua ei enää kerry, mua iä voi vielä vahinkoilaneea käyää. Tällaien aiakaiirymien muuumien vaikuukia omavauuedun käyöön on havainnollieu kuvaa 7. Kuva 7. Kekiäjä- ja muiden aiauukien välien iirymien vaikuu omavauuedun käyöön % 6 % 7 % 8 % 9 % 10 % 11 % 12 % 13 % 14 % 15 % ouu kekiäjäaiaaia iiryy muiki aiaaiki % 20 % 25 % 30 % 35 % 40 % 45 % 50 % ouu muia aiaaia iiryy kekiäjäaiaaiki 13

18 3 Vaihoehoinen malli Siirymämariiien ijaan omavauuedun käyöä voidaan arvioida aiaaiden lukumäärän ja erilaien unnulukujen kekiarvojen avulla. Kekiarvo arviaan vahinkoodennäköiyydeä, valiun omavauun ja keryneen omavauuedun määrää ja oiumiodennäköiyydeä. Vahinkoodennäköiyy keroo kuinka uein vahinko kekimäärin aahuu. Tää voidaan edelleen käyää vahinkoilaneea keryneen kekimääräien omavauuedun arvioiniin, mua myö vuoden aikana vahinkoja kärivien aiaaiden lukumäärän arvioimieki. Arvio omavauuedun käyölle aadaan kerolakulla r ( 1 c) h, miä r c h aiaaiden lukumäärä aiaaiden oiuvuu vahinkoodennäköiyy kekimääräinen keryneen omavauuedun määrä. Eimeriaaukeae omavauueua on keryny kekimäärin 7,66 euroa kekiäjäaiaaille ja 1,81 euroa muille aiaaille. Kekimääräinen keryny omavauueu aadaan aulukon 3 viimeien araeen vuoi n aiaaiden lukumäärien avulla. Liäki oleeaan, eei oiuville aiaaille au vahinkoja. Arvioki omavauuedun käyölle aadaan ällöin (1-0,20) 0,40 7, (1-0,30) 0,20 1,81 = = Käyö on ämälleen ama, miä iirymämariiimallilla aaiin. Arvion aruueen vaikuaa e, kuinka hyvin keryneen omavauuedun kekimääräinen määrä oaaan arvioida. Tää aaukea e aaiin varinaiea mallia ja äädyiin amaan käyöarvioon. Siirymämariiimallin edu ovakin omavauueukohaiia arkaeluia ja uleva eiin, kun eimerkiki kekiäjä- ja muun aiauuden väliille aiauuyyin vaihdoille haluaan aeaa omia vahinko- ja aiakayyvyyaramereja. 14

19 Arvio aiaaiden lukumäärälle vuonna aadaan r ( k) r ( m) r ( v) r r 1 r 1 1 ( k) ( v) ( m) vv r r 1 r 1 ( m) 1 ( k) kv ( k) r r 1 1 r ( v) 1 ( m) vk ( v) mv vm, miä r (i) aiauuyyin i aiaaiden lukumäärä hekellä ij iirymäodennäköiyy aiauuyyiä i yyiin j. Eimeriaauken aaainoilan aiakajakaumaki (ilanne n vuoden kuluua) aadaan r n (k)=97 059, r n (m)= ja r n (v)= Sama ulo aaiin myö iirymämariiimallilla. Kekiäjäaiaaiden omavauuedun käyöä aaainoilaa voidaan arvioida kaavalla miä k r ( k) n (1 kv ) k 0 [1 (1 )][ kekiäjäaiaaan vahinkoodennäköiyy vuoien lukumäärä edellieä vahingoa. k (1 )] k min(10, 50), Ennen uaua oleva ermi r n (k) (1- kv ) k kuvaa omavauueua käyävien aiaaiden lukumäärää ja minimilaueke keryneen omavauuedun määrää. Suaukea arkaellaan erikeen kuakin aiakaluoaa en mukaan, koka heille viimeki on aunu vahinko. Suaukea aiakakana käydään läi ien, eä enin anneaan 0 euroa omavauueua niille aiaaille, joille on kuluvan vuoden aikana aunu vahinko. Tämän jälkeen omavauueua anneaan 10 euroa niille aiaaille, joille on aunu vahinko edellien vuoden aikana ja niin edelleen. Termi 1 (1 k ) kuvaa iä oaa arkaelavia aiaaia, joille on aunu vahinko ai joka ova uuia kekiäjäaiaaia. Taaainoilaa uuien kekiäjäaiaaiden lukumäärä on yhä uuri kuin vakuuuyhiöä läheneiden kekiäjäaiaaiden ja muiki aiaaiki iiryneiden aiaaiden lukumäärä. Suaa ermi [ (1 k )] kuvaa iä oaa aiaaia, joille on aunu vahinko ai joka ova ullee vakuuuyhiön kekiäjäaiaaiki vuoa ien. Suaukea näiden ermien ja omavauuedun ulo arkoiaa iä, eä jäljellä olevaa arkaelavaa aiakamaaa omavauueua anneaan viimeki vahinkoja kärineille ai uuille kekiäjäaiaaille, vahingoomille ja vanhoille kekiäjäaiaaille omavauueua on keryny ää eneän ja heille omavauueua anneaan vaa myöhein uauken edeeä. Yllä mainiuilla aramerien arvioilla kekiäjäaiaaiden aaainoilan omavauuedun käyöki ämä malli anaa Sualaueke keroo keryneen omavauuedun kekimääräien määrän, joka on 7,49. Siirymämariiimallilla kekiäjäaiaaiden omavauuedun käyöki aaiin ja 7,66 kekimääräieki keryneen omavauuedun määräki. 15

20 Oalle muia aiaaia on keryny omavauueua, mikäli he aiein ova ollee kekiäjäaiaaia. Omavauueua aaneille muille aiaaille omavauueua voidaan oleaa keryneen kekimäärin yllä mainiun 7,49 euron verran ja heidän lukumääräänä voidaan arvioida kaavalla miä m r ( k) n (1 k ) 0 [ muun aiaaan vahinkoodennäköiyy vuoien lukumäärä iirymieä kekiäjäaiauudea muuhun aiauueen. (1 m )], Ennen uaua oleva ermi r n (k) (1- k ) kuvaa vuoiaia vahingoomien aiaaiden lukumäärää, joka muuuva kekiäjäaiaaaa muuki aiaaaki, ja ualaueke iä, aljonko vaaavia aiaaia on jäljellä kulakin vuodela ajaa aakeäin. Eimeriaaukea näiden aiaaiden lukumääräki aadaan Muille aiaaille on ii keryny omavauueua kekimäärin ( / ) 7,49 = 1,77. Muiden aiaaiden, joille omavauueua on keryny, omavauuedun käyöki aadaan kekiäjäaiaaiden aaua ovelaen (1-0,30) 0,20 7,49 = Siirymämariiimalli anoi vaaavai 1,81 keryneeki kekimääräieki omavauuedun määräki ja en käyöki muille aiaaille. Ykinkeraieun mallin anama arvio omavauuedun aaainoilan (n vuoden kuluua) käyöki on ii = Tämä on alle kolme roenia iirymämariiimallin anamaa arvioa ienemi. Tää ykinkeraieua mallia ei eimerkiki huomioida mahdollia iirymiä kekiäjäaiauudea muuhun aiauueen ja akaiin kekiäjäaiauueen. 16

21 4 Yheenveo Siirymämariii ova luoneva keino iliyyien aahumien vuoiaien kehiyken mallinamieen. Maemaainen malli on kuienkin aina ykinkeraiu monimukaiea ilmiöä. Lohkomalla iirymämariii voidaan huomioida myö niiden aiaaiden omavauuedun käyö, joille eua ei enää kekiäjäaiauuden iiriä oiumien jälkeen kerry. Vakuuumarina on mallinneu omana ilanaan, johon lähevä aiaaa iiryvä ja joa malliin voidaan uoda uuia aiaaia. Omavauueua keryy kekiäjäaiaaille, joen odennäköiyy ille, eä vuoden aikana auu vahinko ja eua ullaan käyämään, ulee lakea yhä kekiäjäaiakaa kohi. Vahinkoodennäköiyyden liäki omavauuedun käyöön vaikuava valiu omavauu, aiaaan yyminen kekiäjäaiaaana ja vakuuuyhiön aiaaana. Siirymämariiin liäki kullekin ilaiirymälle on anneava kuannu, joa kokonaikuannukia aiakakannan iirymille ilaa oieen voidaan arvioida. Vaaavai edun käyön liäki on mahdollia arvioida kerynyä eua. Mallin aavueua aaainoilan omavauuedun keryminen ja käyö yyvä amanlaiena vuodea oieen. Tällainen ominaiuu meneeään, mikäli mallin aramerien anneaan muuua vuodea oieen. Paramerien arvojen vaikuua mallin anamiin edunkäyöihin voidaan ukia aramerien arvoja muuamalla. Tällaia analyyiä kuuaan heryyanalyyiki. Paramerien arvoja ulee areen ullen äiviää. Päiviyarve voi ynyä vakuuumarinoiden muuuea ai vakuuukannaa havaiujen aramerien arvojen muuuea. Vakuuukannaa aramerien arvo voiva muuua vahinkoodennäköiyykien ai aiakayyvyyden muuuea, vakuuukannan laji- ai omavauurakeneen muuuea ai kekiäjäaiauukien uheellien määrän muuuea. Kun aiaaalle keryneen omavauuedun määrälle ja vahinko- ekä oiumiodennäköiyykille on aau riiävän ara arvio, voidaan omavauuedun aaainoilan käyöä arvioida myö ilman iirymämariieja, kuen ehiin kaaleea 3 Vaihoehoinen malli. Ykinkeraieallakin mallilla käyöarvio on lähellä iirymämariiimallin anamaa käyöarvioa. Siirymämariiimallin euina ova vuoikohaien edunkäyöjen arvioinimahdolliuu ja moniuoliea arameroinimahdolliuude. Siirymämariieilla voidaan eimerkiki eri aiauukien väliille iirymille luoda omia vahinko- ja oiuvuuaramereja. Omavauuedun käyöönoon jälkeen on mahdollia euraa mallin oivuua arkaelavaan ilmiöön ekä arviaea äiviää edunkäyöarvioa aramerien arvoja äiviämällä. Mielenkiinoieki jää euraa, vaikuaako omavauueu omavauun uuruuden valinaan. Korkeami omavauu ienenää vakuuumakua ja ulee vahinkoilaneea komenoiduki keryneen omavauuedun käyön mahdolliuudella. Toiaala omavauun uuruuden vaikuu vakuuumakuun vaihelee vakuuuyyeiäin, ja on yleenä ieni, jo vakuuuyyin kekivahinko on uuri. 17

22 Kirjalliuua Howard, M.T., S. Karlin: An Inroducion o Sochaic Modeling, 3rd ediion, Academic Pre, Högnä, Göran: Sochaic Procee, lecure noe, Åbo Akademi, Rukeeää, Heii: Todennäköiyylakena II, luenomonie, Turun ylioio,